龙贝格算法

龙贝格算法 一、问题分析

1.1龙贝格积分题目

要求学生运用龙贝格算法解决实际问题（塑料雨篷曲线满足函数y(x)=l sin(tx),则给定雨篷的长度后，求所需要平板材料的长度）。

二、方法原理

2.1龙贝格积分原理

龙贝格算法是由递推算法得来的。由梯形公式得出辛普生公式得出柯特斯公式最后得到龙贝格公式。

在变步长的过程中探讨梯形法的计算规律。设将求积区间[a ，b]分为n 个等

分，则一共有n+1个等分点,k x a kh =+,0,1,b a

h k n

-==，n 。这里用n T 表示复化梯形法求得的积分值，其下标n 表示等分数。

先考察下一个字段[1,k k x x +]，其中点()1

12

1

2

k k k x

x x ++=

+，在该子段上二分前后两个积分值

()()112

k k h

T f x f x +=

+⎡⎤⎣⎦ ()()21124k k k h T f x f x f x ++⎡

⎤⎛⎫=++⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

显然有下列关系

2112122

k h T T f x +⎛⎫

=+

⎪⎝⎭

将这一关系式关于k 从0到n-1累加求和，即可导出下列递推公式

1

210

2122n n n k k h T T f

x -+=⎛⎫

=+ ⎪⎝⎭

∑ 需要强调指出的是，上式中的b a

h n

-=

代表二分前的步长，而 12

12k x

a k h +

⎛

⎫=++ ⎪⎝

⎭

梯形法的算法简单，但精度低，收敛速度缓慢，如何提高收敛速度以节省计

算量，自然式人们极为关心的。

根据梯形法的误差公式，积分值n T 的截断误差大致与2h 成正比，因此步长减半后误差将减至四分之一，既有

211

14

n n T T -≈- 将上式移项整理，知

221

1()3

n n n T T T -≈-

由此可见，只要二分前后两个积分值n T 和2n T 相当接近，就可以保证计算保证结果计算结果2n T 的误差很小，这种直接用计算结果来估计误差的方法称作误差的事后估计

法。

按上式，积分值2n T 的误差大致等于21()3

n n T T -，如果用这个误差值作为2n T 的一种

补偿，可以期望，所得的

()222141333

n n n n n T T T T T T =+

-=- 应当是更好的结果。

按上式，组合得到的近似值T 直接验证，用梯形二分前后的两个积分值n T 和2n T 按

式组合，结果得到辛普生法的积分值n S 。

24133

n n n S T T =-

再考察辛普生法。其截断误差与4h 成正比。因此，若将步长折半，则误差相

应的减至十六分之一。既有

21

16

n n I S I S -≈- 由此得

21611515

n n I S S ≈

- 不难验证，上式右端的值其实就等于n C ，就是说，用辛普生法二分前后的两个积分值

n S 和2n S ，在按上式再做线性组合，结果得到柯特斯法的积分值n C ，既有

21611515

n n n C S S ≈

- 重复同样的手续，依据斯科特法的误差公式可进一步导出龙贝格公式

26416363

n n n R C C ≈-

应当注意龙贝格公式已经不属于牛顿—柯特斯公式的范畴。

在步长二分的过程中运用公式加工三次，就能将粗糙的积分值n T 逐步加工成

精度较高的龙贝格n R ，或者说，将收敛缓慢的梯形值序列n T 加工成熟练迅速的龙贝格值序列n R ，这种加速方法称龙贝格算法。

三、算法设计

3.1龙贝格积分算法

就是求出1T ,再走一遍求出2T ，根据12T T 求出1S ,再走一遍求出4T ，根据2T 4T 求出2S ，

根据1S 2S 求出1C ,再走一遍程序求出8T ，根据4T 8T 得出4S ，根据2S 4S 得出2C ，再根据

1C 2C 得出1R ,再走一边程序，得出16T ，根据8T 16T 得出8S ，根据4S 8S 得出4C ，再由2C 4

C 得出2R 。再根据1R 2R 相减的绝对值小于其精度。那其中2R 为求出的值。

四、案例分析

4.1龙贝格积分分析

a—积分下限

b—积分上限

n—区间个数

e—积分值要求达到的精度

s—用以存放除积分区间两端点以外的其他各节点函数值的累加和

p—积分区间两端点函数值之和

h—步长值

T1 、T2分别存放二分区间前后梯形积分值

S1 、S2分别存放二分区间前后辛普生积分值

C1 、C2分别存放二分区间前后斯科特积分值

R1 、R2分别存放二分区间前后龙贝格积分值

五、总结

5.1龙贝格积分总结

通过本次试验，了解了龙贝格算法的计算过程，了解了龙贝格公式的计算收敛过程，用变步长的方法，逐步减小步长，反复积分，逐步得到所求积分值满足精度要求。一步步从梯形法的递推到辛普森到柯特斯法，最后到龙贝格，让精度逐步升高。