大学物理考试复习题

8-6 长l =15.0cm

的直导线AB 上均匀地分布着线密度λ=5.0x10-9C ·m

-1

的正电荷．试求：

(1)在导线的延长线上与导线B 端相距1a =5.0cm 处P 点的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距2d =5.0cm 处Q 点的场强．

解： 如题8-6图所示

(1)在带电直线上取线元x d ，其上电量q d 在P 点产生场强为

20)(d π41d x a x E P -=

λε

2220)(d π4d x a x

E E l

l

P P -==⎰⎰-ελ ]

2121[π40

l a l a +

--=ελ

)4(π220l a l

-=

ελ

用15=l cm ，9100.5-⨯=λ1

m C -⋅, 5.12=a cm 代入得

21074.6⨯=P E 1C N -⋅ 方向水平向右

(2)同理

2

220d d π41d +=x x

E Q λε 方向如题8-6图所示 由于对称性

⎰=l

Qx E 0d ，即Q E ϖ

只有y

分量，

∵

22

2222

20d d d d π41d

++=

x x x

E Qy

λε

2

2π4d d ελ⎰==l

Qy

Qy E E ⎰

-+22

2

322

2

)d (d l

l x x

22

20d 4π2+=

l l

ελ

以9100.5-⨯=λ1

cm C -⋅, 15=l cm ,5d 2=cm 代入得

21096.14⨯==Qy Q E E 1

C N -⋅，方向沿y 轴正向

8-7 一个半径为R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ,求环心处O 点的场强．

解: 如8-7图在圆上取ϕRd dl =

题8-7图

ϕλλd d d R l q ==，它在O 点产生场强大小为

20π4d d R R E εϕ

λ

=

方向沿半径向外

则 ϕ

ϕελ

ϕd sin π4sin d d 0R E E x ==

ϕϕελ

ϕπd cos π4)cos(d d 0R E E y -=

-=

积分

R R E x 000

π2d sin π4ελϕϕελπ

==⎰

0d cos π400

=-=⎰

ϕϕελ

πR E y

∴

R E E x 0π2ελ

=

=，方向沿x 轴正向．

8-8 均匀带电的细线弯成正方形，边长为l ，总电量为q ．(1)求这正方形轴线上离中心为r 处的场强E ；(2)证明：在l r >>处，它相当于点电荷q 产生的场强E ．

解: 如8-8图示，正方形一条边上电荷4q 在P 点产生物强P E ϖ

d 方向如图，大小为

()4π4cos cos d 22

021l r E P +

-=

εθθλ ∵

22cos 22

1l r l +

=

θ 12cos cos θθ-= ∴

24π4d 22

220l r l

l r E P +

+=

ελ P E ϖ

d 在垂直于平面上的分量βcos d d P E E =⊥

∴

42

4

π4d 2

2

2

2

2

2

l r r

l r l r l

E +

+

+

=

⊥ελ

题8-8图

由于对称性，P 点场强沿OP 方向，大小为

2)4(π44d 422

2

2

0l r l r lr

E E P +

+=

⨯=⊥ελ ∵

l q 4=

λ ∴

2)4(π42

2220l r l r qr

E P ++=

ε 方向沿OP 8-9 (1)点电荷q 位于一边长为a 的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一

个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少?*(3)如题8-9(3)图所示，在点电荷q 的电场中取半径为R 的圆平面．q 在该平面轴线上的A 点处，求：通过圆平面的电通量．(

x R

arctan

=α)

解: (1)由高斯定理

0d ε

q S E s

⎰=

⋅ϖϖ 立方体六个面，当q 在立方体中心时，每个面上电通量相等

∴ 各面电通量

06εq

e =

Φ．

(2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长a 2的立方体，使q 处于边长a 2的立方体中心，则边长a 2的正方形上电通量

06εq e =

Φ

对于边长a 的正方形，如果它不包含q 所在的顶点，则024εq

e =

Φ，

如果它包含q 所在顶点则

0=Φe ．

如题8-9(a)图所示．题8-9(3)图

题8-9(a)图 题8-9(b)图 题8-9(c)图

(3)∵通过半径为R 的圆平面的电通量等于通过半径为2

2

x R +的球冠面的电通量，球冠面积*

]

1)[(π22

2

22x

R x x R S +-

+=