正弦定理和余弦定理(公开课课件) ppt课件

A.
15 4
B．34
C.3
15 16
D．1116
(2)(2012·重庆高考)设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别
为
a、b、c，且
cos
A＝35，cos
B＝153，b＝3，则
14 c＝____5____.
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利用正弦、余弦定理判定三角形的形状
题型二：利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 题型三：与三角形面积有关的问题
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利用正弦、余弦定理解三角形
【考向探寻】 1．利用正弦定理解斜三角形． 2．利用余弦定理解斜三角形．
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又 sin B＋sin C＝1，∴sin C＝1－sin B， 代入上式，(2sin B－1)2＝0， ∴sin B＝12，∴sin B＝sin C＝12. 又 0°<B，C<90°，∴B＝C， 所以△ABC 是等腰的钝角三角形．
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∴sin B＝sin(A＋C)
＝sinA·cos C＋sin C·cos A
＝ 47×18＋387×34＝5167.
②由正弦定理得sinb B＝sina A，
57
∴b＝a·ssiinn
BA＝4×
16 7
＝5.
4
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(1)已知两边和一边的对角解三角形时，可 能出现两解、一解、无解三种情况，解题时应根据已知条件具 体判断解的情况，常用方法是根据图形或由“大边对大角”作 出判断或用余弦定理列方程求解．
C．直角三角形
D．钝角三角形
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(1)解析：因为 A，B，C 成等差数列，所以 2B＝A＋C＝π －B，所以 B＝3π，又 a，b，c 成等比数列，所以 b2＝ac，由余 弦定理得 cos B＝a2＋2ca2c－b2＝a2＋2ca2c－ac＝12，所以(a－c)2＝0， 所以 a＝c，又 B＝3π，故△ABC 为等边三角形．
第五章 三角函数、解三角形
第六节 正弦定理和余弦定理（2）
2013.11.21
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[知识能否忆起]——上节课知识回顾
一、正、余弦定理
定理
正弦定理
内
a sin
A＝sinb
B＝sinc
C
容 =2R
余弦定理
a2＝ b2＋c2－2bccos A ； b2＝ a2＋c2－2accos B ； c2＝ a2＋b2－2abcosC .
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在三角形中： ①大角对大边，大边对大角； ②大角的正弦值较大，正弦值较大 的角也较大，即在△ABC中， A>B⇔a>b⇔sin A>sin B.
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[目标早知道]——本节课教学目标 题组训练得方法：
题型一：利用正弦、余弦定理解三角形
1．S＝12a·ha，(ha 表示 a 边上的高)．
2．S＝12bcsin A＝ 12acsin B ＝ 12absin C
.
3．S＝12(a＋b＋c)·r(r 为三角形内切圆半径)．
4、S p( p a)( p b)( p c)其中p a b c 2
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【典例剖析】
(1)(2013·抚顺模拟)△ABC 的三个内角 A，B，C 所
对的边分别为 a，b，c，设向量 p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－
a)，若 p∥q，则角 C 的大小为
π A.6
B．π3
π C.2
D．32π
由向量共线得到三边关系，再用余弦定理求解．
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(3)解：①∵A 为△ABC 内角，且 cos A＝34， ∴sin A＝ 47， 又∵C＝2A. ∴sin C＝sin 2A＝2sin A·cos A＝387，
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cos C＝cos 2A＝2cos2A－1＝18.
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(2)解：①由已知和正弦定理得 2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c， 即 a2＝b2＋c2＋bc， 由余弦定理知 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝－2bbcc＝－12，A＝120°. ②由①知，a2＝b2＋c2＋bc， ∴sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C， 即34＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C.
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定理
变 形 形 式
正弦定理
余弦定理
①a＝ 2Rsin A ，
b＝ 2Rsin B ，
c＝ 2Rsin C ； ②sin A＝2aR，sin B＝2bR， sin C＝2cR； (其中 R 是△ABC 外接圆半径) ③a∶b∶c＝sinA∶sin B∶sin C
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【活学活用】
2．(1)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且
2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是( A )
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．等边三角形
(2)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝
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(3)在△ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边，
且 a＝4，C＝2A，cos A＝34.
①求 sin B；
②求 b 的值．
①先求sin A，sin C，cos C，利用sin B ＝sin(A＋C)求解；②利用正弦定理求解.
【考向探寻】 利用正余弦定理及三角形的边角关系判定三角形的形状．
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【典例剖析】
(1)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
三内角A，B，C成等差数列，三边长a，b，c成等比数列，则△ABC的形状
为
A．等边三角形
B．非等边的等腰三角形
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判断三角形形状的方法 (1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边与边关系，通过 因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形 状； (2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间 的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三 角形的形状，此时要注意A＋B＋C＝π这个结论的运用．
A＝π3，a＝ 3，b＝1，则 c 等于
A．1
B．2 C. 3－1 D． 3
法一：利用余弦定理求解． 法二：利用正弦定理求解．
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(2)解析：由正弦定理得sina A＝sinb B，即 3π＝sin1 B， sin3
∴sin B＝12，故∠B＝30°或 150°.由 a>b， 得∠A>∠B，∴∠B＝30°. 故∠C＝90°，由勾股定理得 c＝2. 答案：B
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(1)解析：由 p∥q 得a＋b c＝bc－－aa， ∴a2＋b2－c2＝ab. ∴cos C＝a2＋2ba2b－c2＝2aabb＝12. 又 0<C<π， ∴C＝π3. 答案：B
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(2)在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知
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(2)①证明：由 bsin4π＋C－csin4π＋B＝a 及正弦定理，得
sin Bsin4π＋C－sin Csin4π＋B＝sin A，………………2 分
∴sin
B
2 2 sin
C＋
2 2 cos
C－sin
C
2 2 sin
B＋
2 2 cos
cos
A＋2 B＝sin
C 2.
⑤在△ABC 中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C.
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【活学活用】
1．(1)若△ABC 的内角 A，B，C 满足 6sin A＝4sin B＝3sin
C，则 cos B＝( D )
(2)三角形中常见的结论 ①A＋B＋C＝π. ②三角形中大边对大角，反之亦然． ③任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
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④三角形内的诱导公式
sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；
tan(A＋B)＝－tan C；sin A＋2 B＝cos C2；
b2＋c2－a2 cosB= 2bc
a2＋c2－b2
cos B＝ 2ac ； a2＋b2－c2
cos C＝ 2ab .
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，
asin C＝csin A.
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定理
正弦定理
余弦定理
解决的 问题
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(1)由余弦定理得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2bbcc＝12， 又 0<A<π，∴A＝3π. 又A→C·A→B＝bccos A＝12bc＝4， ∴bc＝8. ∴S△ABC＝12bcsin A＝12×8× 23＝2 3.
答案：2 3
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(2)(2012·江西高考)(12 分)在△ABC 中，角 A，B，C 的对 边分别为 a，b，c.已知 A＝π4，bsinπ4＋C－csinπ4＋B＝a.
①求证：B－C＝π2； ②若 a＝ 2，求△ABC 的面积．
①由已知条件可得 sin(B－C)＝1，故可得 B－C＝π2； ②由已知及①求得 B，C，根据正弦定理求得 b，c，然后求面 积．
①已知两角和任一边，求另一 角和其他两条边；“AAS、ASA” ②已知两边和其中一边的对 角，求另一边和其他两角.“ASS”
①已知三边，求各
角；“SSS” ②已知两边和它们
的夹角，求第三边
和其他两个角. “SAS”
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二、三角形的面积公式
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【典例剖析】 (1)(2013·厦门模拟)在△ABC 中，角 A，B，C 的对
边分别是 a，b，c，若 b2＋c2＝a2＋bc，且A→C·A→B＝4，则△ABC 的面积等于________．
由条件得 cos A＝12，A＝π3；又由A→C·A→B＝4 得 bc，故△ABC 面积可求．
答案：A
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(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋ c)sin B＋(2c＋b)sin C.
①求A的大小； ②若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
(2)① 正弦定理、条件 → cos A＝－12 → A的大小 ； ② ①中a2＝b2＋c2＋bc → sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C ―条―件→ sin B、sin C的值 → 判断△ABC的形状
B＝
2 2.
整理得 sin Bcos C－cos Bsin C＝1，
∴sin(B－C)＝1，…………………………………… 4 分
∵0<B，C<34π，
∴B－C＝π2.………………………………………………5 分 新课标高考总复习·数学（RJA版）
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②解：由①知 B－C＝π2，又 B＋C＝π－A＝34π， ∴B＝58π，C＝8π.…………………………………………7 分 由正弦定理得
2bcos C，则此三角形一定是( C ) A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
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与三角形面积有关的问题
【考向探寻】 1．根据已知条件求三角形的面积． 2．已知三角形的面积，解三角形．
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