2020年湖北省荆州市中考数学试卷和答案解析
2020年湖北省荆州市中考数学试卷
和答案解析
一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）有理数﹣2的相反数是（）
A．2B．C．﹣2D．﹣
解析：直接利用相反数的定义得出答案．
参考答案：解：有理数﹣2的相反数是：2．
故选：A．
点拨：此题主要考查了相反数，正确把握相关定义是解题关键．2．（3分）下列四个几何体中，俯视图与其它三个不同的是（）
A．B．C．D．
解析：俯视图是分别从物体上面看，所得到的图形．
参考答案：解：选项A的俯视图是三角形，选项B、C、D的俯视图均为圆．
故选：A．
点拨：本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
3．（3分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象是（）
A．B．
C．D．
解析：依据一次函数y＝x+1的图象经过点（0，1）和（﹣1，0），即可得到一次函数y＝x+1的图象经过一二三象限．
参考答案：解：一次函数y＝x+1中，令x＝0，则y＝1；令y＝0，则x＝﹣1，
∴一次函数y＝x+1的图象经过点（0，1）和（﹣1，0），
∴一次函数y＝x+1的图象经过一二三象限，
故选：C．
点拨：本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线．
4．（3分）将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB＝30°，则∠ACB的度数是（）
A．45°B．55°C．65°D．75°
解析：根据平行线的性质和翻折的性质解答即可．
参考答案：解：如图所示：
∵将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，
∴ED∥FA，∠EBC＝∠CBA，
∴∠EBC＝∠ACB，∠CAB＝∠DBA＝30°，
∵∠EBC+∠CBA+∠ABD＝180°，
∴∠ACB+∠ACB+30°＝180°，
∴∠ACB＝75°，
故选：D．
点拨：本题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，熟记各性质是解题的关键．
5．（3分）八年级学生去距学校10km的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为xkm/h，则可列方程为（）A．﹣＝20B．﹣＝20
C．﹣＝D．﹣＝
解析：设骑车学生的速度为xkm/h，则乘车学生的速度为2xkm/h，根据时间＝路程÷速度结合骑车的学生比乘车的学生多用20min
（即h），即可得出关于x的分式方程，此题得解．
参考答案：解：设骑车学生的速度为xkm/h，则乘车学生的速度为2xkm/h，
依题意，得：﹣＝．
故选：C．
点拨：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
6．（3分）若x为实数，在“（+1）□x”的“□”中添上一种运算符号（在“+，﹣，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（）
A．+1B．﹣1C．2D．1﹣
解析：根据题意，添上一种运算符号后一判断即可．
参考答案：解：A．（+1）﹣（+1）＝0，故本选项不合题意；B．（+1）＝2，故本选项不合题意；
C．（+1）与无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意；
D．（+1）（1﹣）＝﹣2，故本选项不合题意．
故选：C．
点拨：本题主要考查了实数的运算，熟记平方差公式是解答本题的关键．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
7．（3分）如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①BE＝CF；②CE⊥AB，
DF⊥BC；③CE＝DF；④∠BCE＝∠CDF．只选取其中一条添加，不能确定△BCE≌△CDF的是（）
A．①B．②C．③D．④
解析：根据菱形的性质和全等三角形的判定定理即可得到结论．参考答案：解：∵四边形BCD是菱形，
∴BC＝CD，AB∥CD，
∴∠B＝∠DCF，
①∵添加BE＝CF，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
②∵添加CE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠CEB＝∠F＝90°，
∴△BCE≌△CDF（AAS），
③∵添加CE＝DF，
不能确定△BCE≌△CDF；
④∵添加∠BCE＝∠CDF，
∴△BCE≌△CDF（ASA），
故选：C．
点拨：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，正确的识别图形是解题的关键．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．C为OA的中点，BC＝1，则点A的坐标为（）
A．（，）B．（，1）C．（2，1）D．（2，）
解析：根据题画出图形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB的值，再根据勾股定理可得OB的值，进而可得点A的坐标．
参考答案：解：如图，
∵Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．∴∠AOD＝30°，
∴AD＝OA，
∵C为OA的中点，
∴AD＝AC＝OC＝BC＝1，
∴OA＝2，
∴OD＝，
则点A的坐标为：（，1）．
故选：B．
点拨：本题考查了解直角三角形、坐标与图形性质、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是综合运用以上知识．
9．（3分）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）
A．有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
解析：利用新定义得到（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用△＞0可判断方程根的情况．
参考答案：解：∵x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，
∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，
整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，
∵△＝（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣1）
＝4k2+5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
点拨：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程
无实数根．
10．（3分）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cos∠BAC的值为（）
A．B．C．D．
解析：作直径BD，连接CD，根据勾股定理求出BD，根据圆周角定理得到∠BAC＝∠BDC，根据余弦的定义解答即可．
参考答案：解：如图，作直径BD，连接CD，
由勾股定理得，BD＝＝2，
在Rt△BDC中，cos∠BDC＝＝＝，
由圆周角定理得，∠BAC＝∠BDC，
∴cos∠BAC＝cos∠BDC＝，
故选：B．
点拨：本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、余弦的定义是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）若a＝（π﹣2020）0，b＝﹣（）﹣1，c＝|﹣3|，则a，b，c的大小关系为b＜a＜c．（用“＜”号连接）
解析：利用负整数指数幂的性质、绝对值的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
参考答案：解：∵a＝（π﹣2020）0＝1，b＝﹣（）﹣1＝﹣2，c＝|﹣3|＝3，
∴b＜a＜c．
故答案为：b＜a＜c．
点拨：此题主要考查了负整数指数幂的性质、绝对值的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题的关键．
12．（3分）若单项式2x m y3与3xy m+n是同类项，则的值为2．解析：根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程，求出n，m的值，再代入代数式计算即可．
参考答案：解：根据题意得：m＝1，m+n＝3，
解得n＝2，
所以2m+n＝2+2＝4，
＝＝2．
故答案是：2．
点拨：本题考查了算术平方根和同类项的定义．解题的关键是掌握
算术平方根和同类项的定义，要注意同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．13．（3分）已知：△ABC，求作：△ABC的外接圆．作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们相交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画圆．如图，⊙O即为所求，以上作图用到的数学依据有：线段的垂直平分线的性质．（只需写一条）
解析：利用线段垂直平分线的性质得到OA＝OC＝OB，然后根据点与圆的位置关系可判断点A、C在⊙O上．
参考答案：解：∵点O为AC和BC的垂直平分线的交点，
∴OA＝OC＝OB，
∴⊙O为△ABC的外接圆．
故答案为：线段的垂直平分线的性质．
点拨：本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
14．（3分）若标有A，B，C的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一
只（摘B前需先摘C），直到摘完，则最后一只摘到B的概率是．
解析：画出树状图，由概率公式即可得出答案．
参考答案：解：画树状图如图：
共有3个可能的结果，最后一只摘到B的结果有2个，
∴最后一只摘到B的概率为；
故答案为：．
点拨：本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；画出树状图是解题的关键．
15．（3分）“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的Rt△ABC，其中∠C＝90°，AB与BC间另有步道DE 相连，D地在AB正中位置，E地与C地相距1km．若tan∠ABC ＝，∠DEB＝45°，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，则他跑了24km．
解析：过D点作DF⊥BC，设EF＝xkm，则DF＝xkm，BF＝xkm，在Rt△BFD中，根据勾股定理得到BD，进一步求得AB，再根据三角函数可求x，可得BC＝8km，AC＝6km，AB＝10km，从而求解．
参考答案：解：过D点作DF⊥BC，
设EF＝xkm，则DF＝xkm，BF＝xkm，
在Rt△BFD中，BD＝＝xkm，
∵D地在AB正中位置，
∴AB＝2BD＝xkm，
∵tan∠ABC＝，
∴cos∠ABC＝，
∴＝，
解得x＝3，
则BC＝8km，AC＝6km，AB＝10km，
小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，他跑了8+10+6＝24（km）．
故答案为：24．
点拨：此题考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
16．（3分）我们约定：（a，b，c）为函数y＝ax2+bx+c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为（m，﹣m﹣2，2）的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为（1，0）、（2，0）或（0，2）．
解析：根据题意令y＝0，将关联数（m，﹣m﹣2，2）代入函数y ＝ax2+bx+c，则有mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0，利用求根公式可得m，将m代入可得函数图象与x轴的交点坐标；令x＝0，可得y＝c＝2，即得这个函数图象上整交点的坐标（0，2）．
参考答案：解：根据题意，令y＝0，将关联数（m，﹣m﹣2，2）代入函数y＝ax2+bx+c，则有mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0，
△＝（﹣m﹣2）2﹣4×2m＝（m﹣2）2＞0，
∴mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0有两个根，
由求根公式可得x＝
x＝
x1＝＝1，此时m为不等于0的任意数，不合题意；
x2＝＝，当m＝1或2时符合题意；x2＝2或1；
x3＝＝，当m＝1或2时符合题意；x3＝2或1；
x4＝＝1，此时m为不等于0的任意数，不合题意；
所以这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）；
令x＝0，可得y＝c＝2，即得这个函数图象上整交点的坐标（0，2）．综上所述，这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）或（0，2）；
故答案为：（2，0），（1，0）或（0，2）．
点拨：本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的特征，理解题意是解答此题的关键．
三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）
17．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a是不等式组的最小整数解．
解析：先化简分式，然后将a的整数解代入求值．
参考答案：解：原式＝?
＝．
解不等式组中的①，得a≥2．
解不等式②，得a＜4．
则2≤a＜4．
所以a的最小整数值是2，
所以，原式＝＝．
点拨：本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键．18．（8分）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．
【问题】解方程：x2+2x+4﹣5＝0．
【提示】可以用“换元法”解方程．
解：设＝t（t≥0），则有x2+2x＝t2
原方程可化为：t2+4t﹣5＝0
【续解】
解析：利用因式分解法解方程t2+4t﹣5＝0得到t1＝﹣5，t2＝1，再分别解方程＝﹣5和方程＝1，然后进行检验确定原方程的解．
参考答案：解：（t+5）（t﹣1）＝0，
t+5＝0或t﹣1＝0，
∴t1＝﹣5，t2＝1，
当t＝﹣5时，＝﹣5，此方程无解；
当t＝1时，＝1，则x2+2x＝1，配方得（x+1）2＝2，解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；
经检验，原方程的解为x 1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
点拨：本题考查了解无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择
解题方法．注意：用乘方法来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
19．（8分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C 的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．
（1）求证：BC∥AD；
（2）若AB＝4，BC＝1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．
解析：（1）只要证明∠CBE＝∠DAB＝60°即可，
（2）由题意，BA＝BD＝4，BC＝BE＝1，∠ABD＝∠CBE＝60°，利用弧长公式计算即可．
参考答案：（1）证明：由题意，△ABC≌△DBE，且∠ABD∠CBE＝60°，
∴AB＝DB，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠DAB＝60°，
∴∠CBE＝∠DAB，
∴BC∥AD．
（2）解：由题意，BA＝BD＝4，BC＝BE＝1，∠ABD＝∠CBE＝60°，
∴A，C 两点旋转所经过的路径长之和＝+＝．点拨：本题考查轨迹，全等三角形的性质，等边三角形的判定，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．（8分）6月26日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；八年级85，85，95，80，95，90，90，90，100，90．
整理数据：
分数
80859095100人数
年级
七年级22321
八年级124a1
分析数据：
平均数中位数众数方差七年级89b9039
八年级c90d30
根据以上信息回答下列问题：
（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；
（2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由；（3）该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”．估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？
解析：（1）根据提供数据确定八年级95分的人数，利用众数中位数及平均数分别确定其他未知数的值即可；
（2）利用平均数、众数及方差确定哪个年级的成绩好即可；（3）用样本的平均数估计总体的平均数即可．
参考答案：解：（1）观察八年级95分的有2人，故a＝2；
七年级的中位数为，故b＝90；
八年级的平均数为：[85+85+95+80+95+90+90+90+100+90]＝90，故c＝90；
八年级中90分的最多，故d＝90；
（2）七、八年级学生成绩的中位数和众数相同，但八年级的平均成绩比七年级高，且从方差看，八年级学生成绩更整齐，综上，八年级的学生成绩好；
（3）∵600×＝390（人），
∴估计该校七、八年级这次竞赛达到优秀的有390人．
点拨：本题考查了中位数、众数、平均数、方差等统计基础知识，
明确相关统计量表示的意义及相关计算方法是解题的关键．21．（8分）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y＝的图象与性质共探究过程如下：（1）绘制函数图象，如图1．
列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝1；
x…﹣3﹣2﹣1﹣123…
y…12442m…
描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；
（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质；
①函数的图象关于y轴对称；
②当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小；
（3）①观察发现：如图2．若直线y＝2交函数y＝的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC ＝4；
②探究思考：将①中“直线y＝2”改为“直线y＝a（a＞0）”，其他条件不变，则S四边形OABC＝4；
③类比猜想：若直线y＝a（a＞0）交函数y＝（k＞0）的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C，则S四
边形OABC＝2k．
解析：（1）根据表格中的数据的变化规律得出当x＜0时，xy＝﹣2，而当x＞0时，xy＝2，求出m的值；补全图象；
（2）根据（1）中的图象，得出两条图象的性质；
（3）由图象的对称性，和四边形的面积与k的关系，得出答案．参考答案：解：（1）当x＜0时，xy＝﹣2，而当x＞0时，xy＝2，∴m＝1，
故答案为：1；补全图象如图所示：
（2）故答案为：①函数的图象关于y轴对称，②当x＜0时，y 随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小；
（3）如图，①由A，B两点关于y轴对称，由题意可得四边形OABC 是平行四边形，且S四边形OABC＝4S△OAM＝4×|k|＝2|k|＝4，
②同①可知：S四边形OABC＝2|k|＝4，
③S四边形OABC＝2|k|＝2k，
故答案为：4，4，2k．