高考中数学不等式经典题型

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高中不等式经典例题

高中不等式经典例题例1解不等式：(1)2x ³-x ²-15x>0;(2)(x+4)(x+5)²(2-x)³<0.分析：如果多项式 f(x)可分解为 n 个一次式的积，则一元高次不等式f(x)>0(或f(x)<0)把方程x(2x+5)(x-3)=0的三个根说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正：②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如图.典型例题二例2解下列分式不等式： (1)3x−2≤1−2x+2; (2)x 2−4x+13x 2−7x+2<1分析：当分式不等式化为 f (x )g (x )<0(或≤0)时，要注意它的等价变形(1) 解：原不等式等价于3x−2≤x x+23x−2−x x+2≤03(x+2)−x (x−2)(x−2)(x+2)≤0−x 2+5x+6(x−2)(x+2)≤0可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况。

解:(1) 原不等式可化为x(2x+5)(x-3)>0x 1=0,x 2=−52,x 3=3顺次标上数轴，然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分，∴原不等式解集为(2) 原不等式等价于(x+4)(x+5)³(x -2)³>0x>2 ∴原不等式解集为或-5<x<-4或x>2}f (x )g (x )<0f (x )⋅g (x )<0;(x−6)(x+1)(x−2)(x+2)≥0{(x −6)(x +1)(x −2)(x +2)≥0(x +2)(x −2)≠0(2) 解法一：原不等式等价于2x 2−3x+13x 2−7x+2>0 (2x 2−3x +1)(3x 2−7x +2)>0{2x 2−3x +1>03x 2−7x +2>0或 {2x 2−3x +1<03x 2−7x +2<0x <13或 12<x <1或x>2，∴原不等式解集为 (−∞,13)∪(12,1)∪(2,+∞). 解法二：原不等式等价于典型例题三例3解不等式|x ²-4|<x+2 分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义 |a|={a (a ≥0)−a(a <0)二是根据绝对值的性质： |x|<a −a <x <a,|x|ax >a 或x<-a, 因此本题有如下两种解法。

高三数学不等式解法15个典型例题doc

高三数学不等式解法15个典型例题典型例题一例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或（2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．典型例题二例2 解下列分式不等式：（1）22123+-≤-x x ；（2）12731422<+-+-x x x x 分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或（1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。

高考数学23题不等式多种题型及解法

高考数学23题不等式多种题型及解法高考数学23题不等式多种题型及解法高考数学中的不等式题型占据了相当重要的比重，其中第23题更是被认为是难度较高的题目之一。

不同的不等式类型呈现多种解法，本文将以该题为例，分别探讨不同类型不等式的解法。

1. 绝对值不等式第23题题干如下：若$x+y+z=1$，那么$\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}$最大值为多少？解法：显然这是一个求最值的问题，用$M\leq\sqrt{(a+b+c)(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b})}$来解决本题。

2. 平均数不等式第23题变形如下：设$a,b,c$是正数，且满足$abc=(1-a)(1-b)(1-c)$，求最大值：$$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$$解法：根据平均数不等式，得到：$$9(a+b+c)\geq (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2$$即：$$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq 3\sqrt{\frac{a+b+c}{3}}$$ 3. 夹逼定理第23题变形如下：对所有的正整数$n$，证明如下不等式成立：$$\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{n}<\sqrt{n}+\sqrt{n-1}+...+\sqrt{1}+\sqrt{n}$$解法：通过夹逼定理，得到：$$2n\sqrt{n}<2\sum_{i=1}^{n}\sqrt{i}<2n\sqrt{n+1}$$ 即：$$\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{n}<\sqrt{n}+\sqrt{n-1}+...+\sqrt{1}+\sqrt{n}$$4. 柯西不等式第23题变形如下：对于任意正整数$n$，证明如下不等式成立：$$\sqrt{\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}}<\frac{2}{\sqrt{n+ 1}}$$解法：通过柯西不等式，得到：$$\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}\right)(n+1+n+2+...+ 2n)\geq (\sqrt{n}+\sqrt{n+1}+...+\sqrt{2n})^2$$即：$$\sqrt{\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}}\geq\frac{2}{\sqrt{n+1}}$$结语：高考数学中的不等式题型固然需要掌握多种解法，但更需要在平时的学习中悉心积累、勤于实践。

高中数学不等式高考真题精选和解析

高中数学不等式高考真题精选和解析1.(2020·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝|x－a2|＋|x－2a＋1|.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4的解集；(2)若f(x)≥4，求a的取值范围．2.(2020·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|3x＋1|－2|x－1|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式f(x)＞f(x＋1)的解集．2.(2020·全国卷Ⅲ)设a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1.(1)证明：ab＋bc＋ca<0；(2)用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥3 4.4.(2019·全国卷Ⅰ)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：(1)1a ＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.5.已知函数f(x)＝|x＋1|＋|2x－1|.(1)解不等式f(x)≤x＋3；(2)若g(x)＝|3x－2m|＋|3x－2|，对任意的x1∈R，存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数m的取值范围．6.已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集；(2)若直线y＝x＋a与y＝f(x)的图象所围成的多边形面积为92，求实数a的值．答案解析1.解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|x －4|＋|x －3|.当x ≤3时，f (x )＝4－x ＋3－x ＝7－2x ，由f (x )≥4，解得x ≤32；当3＜x ＜4时，f (x )＝4－x ＋x －3＝1，f (x )≥4无解；当x ≥4时，f (x )＝x －4＋x －3＝2x －7，由f (x )≥4，解得x ≥112. 综上所述，f (x )≥4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤32或x ≥112. (2)f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1|≥|(x －a 2)－(x －2a ＋1)|＝|－a 2＋2a －1|＝(a －1)2(当且仅当2a －1≤x ≤a 2时取等号)，∴(a －1)2≥4，解得a ≤－1或a ≥3，∴a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．2.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3，x ≥1，5x －1，－13＜x ＜1，－x －3，x ≤－13，作出图象，如图所示．(2)将函数f (x )的图象向左平移1个单位，可得函数f (x ＋1)的图象，如图所示：由－x －3＝5(x ＋1)－1，解得x ＝－76.所以不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－76.3. 证明 (1)∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)．由abc ＝1得a ，b ，c 均不为0，则a 2＋b 2＋c 2＞0，∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)＜0.(2)不妨设max{a ，b ，c }＝a ，由a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1可知，a ＞0，b ＜0，c ＜0，∵a ＝－b －c ，a ＝1bc ，∴a 3＝a 2·a ＝(b ＋c )2bc ＝b 2＋c 2＋2bc bc ≥2bc ＋2bc bc ＝4. 当且仅当b ＝c 时，取等号，∴a ≥34，即max{a ，b ，c }≥34.4. 证明 (1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，又abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca＝ab ＋bc ＋ca abc＝1a ＋1b ＋1c . 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以1a ＋1b ＋1c ≤a 2＋b 2＋c 2.(2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1，故有(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥3 3(a ＋b )3(b ＋c )3(c ＋a )3＝3(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a ) ≥3×(2ab )×(2bc )×(2ca )＝24.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.5.(1)原不等式等价于⎩⎨⎧ x ≤－1，－3x ≤x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x ≤12，－x ＋2≤x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧ x >12，3x ≤x ＋3，解得－12≤x ≤32，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12≤x ≤32. (2)由f (x )＝|x ＋1|＋|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ，x ≤－1，－x ＋2，－1<x ≤12，3x ，x >12，可知当x ＝12时，f (x )最小，无最大值，且f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32. 设A ＝{y |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝g (x )}，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≥32，因为g (x )＝|3x －2m |＋|3x －2|≥|(3x －2m )－(3x －2)|＝|2m －2|，所以B ＝{y |y ≥|2m －2|}．由题意知A ⊆B ，所以|2m －2|≤32，所以m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，74. 故实数m的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |14≤m ≤74.6.解 (1)由题意，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ，x ≥1，x ＋2，－12<x <1，－3x ，x ≤－12.当x ≥1时，由f (x )≥3得3x ≥3，解得x ≥1；当－12<x <1时，由f (x )≥3得x ＋2≥3，解得x ≥1，这与－12<x <1矛盾，故舍去；当x ≤－12时，由f (x )≥3得－3x ≥3，解得x ≤－1.综上可知，不等式f (x )≥3的解集为{x |x ≤－1或x ≥1}．(2)画出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，B (1,3)， ∴k AB ＝3－321＋12＝1，∴直线y ＝x ＋a 与直线AB 平行．若要围成多边形，则a >2.易得直线y ＝x ＋a 与y ＝f (x )的图象交于两点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，3a 2，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，3a 4，则|CD|＝2·|a2＋a4|＝324a，平行线AB与CD间的距离d＝|a－2|2＝a－22，|AB|＝322，∴梯形ABCD的面积S＝322＋324a2·a－22＝32＋34a2·(a－2)＝92(a>2)，即(a＋2)(a－2)＝12，∴a＝4.故所求实数a的值为4.。

不等式高考试题精选

不等式高考试题精选（2）一．填空题（共40小题）1．已知a＞0，b＞0，且2a+b=4，则的最小值是．2．已知正数a，b满足4a+b=ab，则a+b的最小值为．3．函数f（x）=x+（x＞0）的最小值为．4．已知，那么y的最小值是．5．设x，y∈R+且x+y=2，则+的最小值为．6．均值不等式已知x+3y=4xy，x＞0，y＞0则x+y的最小值是．7．若x＞0，y＞0，且xy=4，则的最小值为．8．若实数x满足x＞﹣4，则函数f（x）=x+的最小值为．9．若实数a，b满足2a+2b=1，则a+b的最大值是．10．若x＞1，则x+的最小值是．11．已知a＞0，b＞0且a+b=2，则的最小值为．12．若x，y＞0，且，则x+3y的最小值为．13．若x≥0，则y=x+的取值范围为．14．若x∈（1，+∞），则y=x的最小值是．15．已知x＞0，y＞0，且2x+y=1，则+的最小值是．16．已知正实数x，y满足2x+y=1，则xy的最大值为．17．若x＞0，y＞0，x+xy=2，则x+y的最小值是．18．若x，y∈R，且3x+9y=2，则x+2y的最大值是．19．已知正数x，y满足，则log2x+log2y的最小值为．20．已知a＞0，b＞0，a+2b=3，则+的最小值为．21．已知x＞0，则的最小值为．22．已知ab＞0，且a+4b=1，则的最小值为．23．当x＞0时，不等式x+≥a恒成立，则实数a的取值范围是．24．若正数x，y满足x+2y﹣9=0，则的最小值为．25．已知不等式对一切x∈（1，+∞）恒成立，则实数m的取值范围是．26．已知正数x，y满足2x+y=1，则+的最小值为．27．已知x＞0，则的最小值等于．28．若正数x，y满足=5，则4x+3y的最小值为．29．若不等式x2﹣log a x＜0对一切恒成立，则a的取值范围为．30．若正实数{a n}满足a+2b=1，则+的最小值为．31．已知x，y∈R*，且x+4y=1，则+的最小值为．32．已知函数f（x）=4x+（x＞0，a＞0）在x=3时取得最小值，则a=．33．已知x＞0，则函数f（x）=7﹣x﹣的最大值为．34．已知=1，且x＞0，y＞0，则x+y的最小值是．35．若直线ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）过点（1，2），则的最小值为．36．已知x＞0，y＞0，4x+y=1，则+的最小值为．37．设x≥0，y≥0，若2x+y=2，则xy2的最大值是．38．已知实数x，y满足y=2，则+的最小值为．39．若实数a，b满足2a=5b=λ且，则λ的值为．40．不等式（x﹣3）2﹣2﹣3＜0的解是．不等式高考试题精选（2）参考答案与试题解析一．填空题（共40小题）1．已知a＞0，b＞0，且2a+b=4，则的最小值是．【解答】解：因为a＞0，b＞0，所以，所以．故答案为．2．已知正数a，b满足4a+b=ab，则a+b的最小值为9．【解答】解：∵正数a，b满足4a+b=ab，即=1．则a+b=（a+b）=5++≥5+2=9，当且仅当b=2a=6时取等号．∴a+b的最小值为9．故答案为：9．3．函数f（x）=x+（x＞0）的最小值为4．【解答】解：∵x＞0，∴f（x）=x+≥=4，当且仅当x=，即x=2时，函数f（x）=x+（x＞0）的最小值为4．故答案为：44．已知，那么y的最小值是3．【解答】解：∵x＞1，则y=x﹣1++1≥2+1=3，当且仅当x=2时取等号．故答案为：3．5．设x，y∈R+且x+y=2，则+的最小值为．【解答】解：∵x，y∈R+且x+y=2，∴+===，当且仅当=时取等号．∴+的最小值为．故答案为：．6．均值不等式已知x+3y=4xy，x＞0，y＞0则x+y的最小值是．【解答】解：x+3y=4xy，x＞0，y＞0，∴=4．则x+y=（x+y）=≥=，当且仅当x=y=时取等号．故答案为：．7．若x＞0，y＞0，且xy=4，则的最小值为1．【解答】解：x＞0，y＞0，且xy=4，则≥2=1，当且仅当x=y=2时取等号，故选：18．若实数x满足x＞﹣4，则函数f（x）=x+的最小值为2．【解答】解：∵x＞﹣4，∴x+4＞0，∴f（x）=x+=x+4+﹣4≥2﹣4=2当且仅当x+4=即x=﹣1时取等号，故答案为：2．9．若实数a，b满足2a+2b=1，则a+b的最大值是﹣2．【解答】解：∵2a+2b=1，∴=，即，∴a+b≤﹣2，当且仅当，即a=b=﹣1时取等号，∴a=b=﹣1时，a+b取最大值﹣2．故答案为：﹣2．10．若x＞1，则x+的最小值是3．【解答】解：∵x＞1，∴x+=x﹣1++1+1=3，当且仅当x﹣1=即x=2时取等号，∴x=2时x+取得最小值3，故答案为：3．11．已知a＞0，b＞0且a+b=2，则的最小值为2．【解答】解：∵a＞0，b＞0且a+b=2，则===2，当且仅当a=b=1时取等号．因此其最小值为2．故答案为：2．12．若x，y＞0，且，则x+3y的最小值为16．【解答】解：∵x，y＞0，且，∴x+3y==10+≥10+6=16，当且仅当x+3y=1，即=y取等号．因此x+3y的最小值为16．故答案为16．13．若x≥0，则y=x+的取值范围为[3，+∞）．【解答】解：∵x≥0，则y=x+=x+1+﹣1≥2﹣1=3，当且仅当x=1时取等号．∴y=x+的取值范围为[3，+∞）．故答案为：[3，+∞）．14．若x∈（1，+∞），则y=x的最小值是5．【解答】解：∵x∈（1，+∞），∴x﹣1＞0，∴y=x+=x﹣1++1≥2 +1=4+1=5，当且仅当x=3时取等号，∴y=x+的最小值是5，故答案为：5．15．已知x＞0，y＞0，且2x+y=1，则+的最小值是3+2．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且2x+y=1，则+=（2x+y）=3+≥3+2=3+2，当且仅当y==﹣1时取等号．其最小值为3+2．故答案为：3+2．16．已知正实数x，y满足2x+y=1，则xy的最大值为．【解答】解：根据题意，正实数x，y满足2x+y=1，则xy=（2x）y≤[]2=×=，当且仅当2x=y=，时等号成立，即xy的最大值为；故答案为：．17．若x＞0，y＞0，x+xy=2，则x+y的最小值是2﹣1．【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+xy=2，∴y=﹣1，∴x+y=x+﹣1﹣1=2﹣1，当且仅当x=时取等号．故答案为：2﹣1．18．若x，y∈R，且3x+9y=2，则x+2y的最大值是0．【解答】解：∵3x+9y=2，∴2=3x+9y≥2=2，当且仅当x=0，y=0时取等号，∴3x+2y≤1=30，∴x+2y≤0，∴则x+2y的最大值是0，故答案为：019．已知正数x，y满足，则log2x+log2y的最小值为2．【解答】解：正数x，y满足+=xy，∴xy=+≥2=，当且仅当y=16x时，即x=取等号，∴（xy）3≥43，解得xy≥4，∴log2x+log2y=log2xy≥log24=2，故答案为：2．20．已知a＞0，b＞0，a+2b=3，则+的最小值为．【解答】解：∵a＞0，b＞0，a+2b=3，∴+=（+）（a+2b）×=≥+=，（当且仅当=即a=，b=时取等号），∴+的最小值为；故答案为：．21．已知x＞0，则的最小值为4．【解答】解：∵x＞0，∴=4，当且仅当x=时取等号．因此的最小值为4．故答案为4．22．已知ab＞0，且a+4b=1，则的最小值为9．【解答】解：∵ab＞0，且a+4b=1，∴=（）（a+4b）=1+4++≥5+2=9，当且仅当a=，b=时取等号，∴的最小值为9，故答案为：9．23．当x＞0时，不等式x+≥a恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，2] ．【解答】解：当x＞0时，不等式x+≥2=2，当且仅当x=1时取等号，∵不等式x+≥a恒成立，∴a≤2，故答案为：（﹣∞，2]24．若正数x，y满足x+2y﹣9=0，则的最小值为1．【解答】解：，x=y=3时取等号．所以的最小值为1．故答案为：125．已知不等式对一切x∈（1，+∞）恒成立，则实数m的取值范围是[﹣5，+∞）．【解答】解：不等式可得：（x﹣1）+＞﹣1﹣m．∵x＞1，∴x﹣1＞0，∴（x﹣1）+≥2=4，当且仅当x=3时取等号．即：4≥﹣1﹣m，解得：m≥﹣5．实数m的取值范围是[﹣5，+∞）．故答案为：[﹣5，+∞）．26．已知正数x，y满足2x+y=1，则+的最小值为．【解答】解：正数x，y满足2x+y=1，则+=（2x+y）=2+++≥+2=，当且仅当x=y=时取等号．∴+的最小值为．故答案为：．27．已知x＞0，则的最小值等于2+4．【解答】解：≥2+2=2+4，当且仅当x=时取等号，故最小值为．故答案为：2+428．若正数x，y满足=5，则4x+3y的最小值为5．【解答】解：正数x，y满足=5，则4x+3y=（4x+3y）=≥=5，当且仅当y=2x=1时取等号．∴4x+3y的最小值为5．故答案为：5．29．若不等式x2﹣log a x＜0对一切恒成立，则a的取值范围为[）．【解答】解：不等式x2﹣log a x＜0对一切恒成立，即x2＜log a x在内图象二次函数在下方，对数函数在上方；由此可知：0＜a＜1，当时，y=x2，这二次函数是递增函数，最大值小于．而y=log a x对数函数是减函数，其最小值大于log a．∴log a解得：a≥．∴a的取值范围为[）故答案为[）．30．若正实数{a n}满足a+2b=1，则+的最小值为9．【解答】解：+=（a+2b）（+）=1+4++≥5+2=5+4=9，当且仅当a=b=，故+的最小值为9．故答案为：9．31．已知x，y∈R*，且x+4y=1，则+的最小值为9．【解答】解：已知x，y∈R*，且x+4y=1，则+=≥5+4=9．故答案为：9．32．已知函数f（x）=4x+（x＞0，a＞0）在x=3时取得最小值，则a=36．【解答】解：∵x＞0，a＞0，∴f（x）=4x+≥2=4，当且仅当4x=即x=时取得等号．∴，解得a=36．故答案为：36．33．已知x＞0，则函数f（x）=7﹣x﹣的最大值为1．【解答】解：∵x＞0，则函数f（x）=7﹣x﹣=7﹣≤7﹣=1，当且仅当x=3时取等号．故答案为：1．34．已知=1，且x＞0，y＞0，则x+y的最小值是25．【解答】解：∵=1，且x＞0，y＞0，∴x+y=（）（x+y）=13++≥13+2=25当且仅当=即x=10且y=15时取等号．故选答案为：25．35．若直线ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）过点（1，2），则的最小值为．【解答】解：直线ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）过点（1，2），∴a+2b=2．则=+=≥=，当且仅当a=b=时取等号．故答案为：．36．已知x＞0，y＞0，4x+y=1，则+的最小值为16．【解答】解：∵x＞0，y＞0，4x+y=1，则+=（4x+y）=8+≥8+2=16，当且仅当y=4x=时取等号．其最小值为16．故答案为：16．37．设x≥0，y≥0，若2x+y=2，则xy2的最大值是．【解答】解：∵x≥0，y≥0，2x+y=2，∴2=2x++≥，化为：xy2≤，当且仅当4x=y=时取等号．则xy2的最大值是．故答案为：．38．已知实数x，y满足y=2，则+的最小值为．【解答】解：实数x，y满足y=2，∴y==，即xy=4．则+≥2=2=，当且仅当x=2y=2时取等号．故答案为：．39．若实数a，b满足2a=5b=λ且，则λ的值为10．【解答】解：∵2a=5b=λ，∴a=log2λ，b=log5λ，故=logλ2，=logλ5，故=logλ10，解得：λ=10，故答案为：10．40．不等式（x﹣3）2﹣2﹣3＜0的解是（0，6）．【解答】解：设=t，则原不等式化为t2﹣2t﹣3＜0，（t≥0），所以t∈[0，3），即∈[0，3），所以（x﹣3）2＜9，解得﹣3＜x﹣3＜3，所以0＜x＜6，故原不等式的解集为（0，6）；故答案为：（0，6）．。

2024年高考数学高频考点(新高考通用)柯西不等式(精讲+精练)解析版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展01柯西不等式（精讲+精练）
1.二维形式的柯西不等式
.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++2.二维形式的柯西不等式的变式
bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2(
.),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.)
,0,,,(())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++3.
二维形式的柯西不等式的向量形式
.),,,(等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαβk k =≤注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。

比如，对2
2
2
c b a ++，并不是不等式的形状，但变成
()()
2222221113
1
c b a ++∙++∙就可以用柯西不等式了。

4.扩展：()()233221122322212
2322
21)(n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a ++++≥++++++++ ，当且仅当n n b a b a b a :::2211=== 时，等号成立.
【题型训练1-刷真题】
二、题型精讲精练
一、知识点梳理。

高中不等式试题和答案

不等式一、选择题：1．不等式(1＋x )(1－|x |)＞0的解集是 A ．{x |0≤x ＜1} B ．{x |x ＜0且x ≠－1} C ．{x |－1＜x ＜1}D ．{x |x <1且x ≠－1}2．直角三角形ABC 的斜边AB ＝2，内切圆半径为r ，则r 的最大值是 A ． 2B ．1C ．22D ．2－13．给出下列三个命题 ①若1->≥b a ，则bba a +≥+11 ②若正整数m 和n 满足n m ≤，则2)(n m n m ≤- ③设),(11y x P 为圆9:221=+y x O 上任一点，圆2O 以),(b a Q 为圆心且半径为1．当1)()(2121=-+-y b x a 时，圆1O 与圆2O 相切其中假命题的个数为 A ．0B ．1C ．2D ．34．不等式|2x －log 2x |＜2x ＋|log 2x |的解集为 A ．(1，2) B ．(0，1)C ．(1，+∞)D ．(2，+∞)5．如果x ，y 是实数，那么“xy ＜0”是“|x －y |＝|x |＋|y |”的 A ．充分条件但不是必要条件 B ．必要条件但不是充分条件 C ．充要条件D ．非充分条件非必要条件6．若a ＝ln22，b ＝ln33，c ＝ln55，则A ．a B ．c b a ()-<0C ．c b a b 22< D ．0)(<-c a ac 8．设10<<a ，函数)22(log )(2--=xx a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，log a 3)D ．(log a 3，＋∞)9．某工厂第一年年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则A ．x ＝2ba + B ．x ≤2b a + C ．x ＞2b a + D ．x ≥2ba + 10．设方程2x ＋x ＋2＝0和方程log 2x ＋x ＋2＝0的根分别为p 和q ，函数f (x )＝(x ＋p )(x ＋q )+2，则A ．f (2)＝f (0)<f (3)B ．f (0)<f (2)<f (3)C ．f (3)<f (0)＝f (2)D ．f (0)<f (3)<f (2)二、填空题：11．对于－1<a <1，使不等式(12)2x ax +<(12)2x +a －1成立的x 的取值范围是_______ ．12．若正整数m 满足m m 102105121<<-，则m ＝．(lg2≈0．3010)13．已知{1,0,()1,0,x f x x ≥=-<则不等式)2()2(+⋅++x f x x ≤5的解集是．14．已知a ＞0，b ＞0，且2212b a +=，则的最大值是． 15．对于10<<a ，给出下列四个不等式 ①)11(log )1(log aa a a +<+ ②)11(log )1(log aa a a +>+ ③aaa a 111++<④aaaa111++>其中成立的是．三、解答题：16．(本题满分l2分)设函数f (x )|1||1|2--+=x x ，求使f (x )≥22的x 取值范围．17．（本题满分12分）已知函数2()2sin sin 2,[0,2].f x x x x π=+∈求使()f x 为正值的x 的集合．18．（本题满分14分）⑴已知,a b 是正常数，a b ≠，,(0,)x y ∈+∞，求证：222()a b a b x y x y++≥+，指出等号成立的条件；⑵利用⑴的结论求函数29()12f x x x=+-（1(0,)2x ∈）的最小值，指出取最小值时x 的值．19．（本题满分14分）设函数f(x)＝|x－m|－mx，其中m为常数且m<0．⑴解关于x的不等式f(x)<0；⑵试探求f(x)存在最小值的充要条件，并求出相应的最小值．20．(本题满分14分)已知a>0，函数f(x)＝ax－bx2．⑴当b>0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明a≤2b；⑵当b>1时，证明对任意x∈[0，1]，都有|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2b；⑶当0<b≤1时，讨论：对任意x∈[0，1]，都有|f(x)|≤1的充要条件．21．(本题满分14分)⑴设函数)10( )1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值； ⑵设正数n p p p p 2321,,,, 满足12321=++++n p p p p ，证明 n p p p p p p p p n n -≥++++222323222121log log log log ．[不等]符号定，比较技巧深参考答案二、填空题11．x ≤0或x ≥2； 12．155；13．]23,(-∞； 14 15．②④ 三、解答题16．解：由于y ＝2x 是增函数，f (x )≥22等价于|x +1|－|x －1|≥32， ① (2)分(i)当x ≥1时，|x +1|－|x －1|＝2。

(完整版)高考不等式经典例题

高考不等式经典例题【例1】已知a＞0，a≠1，P＝loga (a3－a＋1)，Q＝loga(a2－a＋1)，试比较P与Q的大小.【解析】因为a3－a＋1－(a2－a＋1)＝a2(a－1)，当a＞1时，a3－a＋1＞a2－a＋1，P＞Q；当0＜a＜1时，a3－a＋1＜a2－a＋1，P＞Q；综上所述，a＞0，a≠1时，P＞Q.【变式训练1】已知m＝a＋A.m＜n11－(a＞2)，n＝x2(x≥)，则m，n之间的大小关系为()2a－2B.m＞nC.m≥nD.m≤n【解析】选C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递.m＝a＋111＝a－2＋＋2≥2＋2＝4，而n＝x－2≤()－2＝4.2a－2a－2【变式训练2】已知函数f(x)＝ax2－c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围.【解析】由已知－4≤f(1)＝a－c≤－1，－1≤f(2)＝4a－c≤5.令f(3)＝9a－c＝γ(a－c)＋μ(4a－c)，5⎧γ=-,⎪⎧γ+4μ=9,⎪3所以⎨⇒⎨⎩-γ-μ=-1⎪μ=8⎪3⎩58故f(3)＝－(a－c)＋(4a－c)∈[－1,20].33题型三开放性问题c d【例3】已知三个不等式：①ab＞0；②＞；③bc＞ad.以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组a b成多少个正确命题？c d bc－ad【解析】能组成3个正确命题.对不等式②作等价变形:＞⇔＞0.a b abbc－ad(1)由ab＞0，bc＞ad⇒＞0，即①③⇒②；abbc－ad(2)由ab＞0，＞0⇒bc－ad＞0⇒bc＞ad，即①②⇒③；abbc－ad(3)由bc－ad＞0，＞0⇒ab＞0，即②③⇒①.ab故可组成3个正确命题.【例2】解关于x的不等式mx2＋(m－2)x－2＞0 (m∈R).【解析】当m＝0时，原不等式可化为－2x－2＞0，即x＜－1；当m≠0时，可分为两种情况：2(1)m＞0时，方程mx2＋(m－2)x－2＝0有两个根，x1＝－1，x2＝.m2所以不等式的解集为{x|x＜－1或x＞}；m(2)m＜0时，原不等式可化为－mx2＋(2－m)x＋2＜0，m＋222其对应方程两根为x1＝－1，x2＝，x2－x1＝－(－1)＝.m m m2①m＜－2时，m＋2＜0，m＜0，所以x2－x1＞0，x2＞x1，不等式的解集为{x|－1＜x＜}；m②m＝－2时，x2＝x1＝－1，原不等式可化为(x＋1)2＜0，解集为∅；2③－2＜m＜0时，x2－x1＜0，即x2＜x1，不等式解集为{x|＜x＜－1}.m【变式训练2】解关于x的不等式ax－1＞0.x＋1【解析】原不等式等价于(ax－1)(x＋1)＞0.1当a＝0时，不等式的解集为{x|x＜－1}；当a＞0时，不等式的解集为{x|x＞或x＜－1}；a1当－1＜a＜0时，不等式的解集为{x|＜x＜－1}；当a＝－1时，不等式的解集为∅；a1当a＜－1时，不等式的解集为{x|－1＜x＜}.a【例3】已知ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|1＜x＜3}，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集.1【解析】由于ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|1＜x＜3}，因此a＜0，解得x＜或x＞1.32y＋1(1)z＝x＋2y－4的最大值；(2)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；(3)z＝的取值范围.x＋1【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A(1,3)，B(3,1)，C(7,9).(1)易知直线x＋2y－4＝z过点C时，z最大.所以x＝7，y＝9时，z取最大值21.(2)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0,5)的距离的平方，过点M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是(|0－5＋2|9)2＝.221(3)z＝2·表示可行域内任一点(x，y)与定点Q(－1，－)连线斜率的2倍.2x－(－1)7337因为kQA＝，kQB＝，所以z的取值范围为[，].4842【例1】(1)设x，y∈R＋，且xy－(x＋y)＝1，则()1y－(－)2A .x ＋y ≥2(2＋1)B .x ＋y ≤2(2＋1) C.x ＋y ≤2(2＋1)2D.x ＋y ≥(2＋1)2(2)已知a ，b ∈R ＋，则ab ，a ＋b，2a 2＋b 22ab，的大小顺序是.2a ＋bx ＋y x ＋y)2，所以()2≥1＋(x ＋y ).22【解析】(1)选A.由已知得xy ＝1＋(x ＋y )，又xy ≤(解得x ＋y ≥2(2＋1)或x ＋y ≤2(1－2).因为x ＋y ＞0，所以x ＋y ≥2(2＋1).a ＋b 2ab 2ab(2)由≥ab 有a ＋b ≥2ab ，即a ＋b ≥，所以ab ≥.2ab a ＋b a ＋b 又＝2a 2＋2ab ＋b 2≤42(a 2＋b 2)，所以4a 2＋b 2a ＋b≥，所以22a 2＋b 2a ＋b 2ab≥≥ab ≥.22a ＋b11λ【变式训练1】设a ＞b ＞c ，不等式＋＞恒成立，则λ的取值范围是.a －b b －c a －c 【解析】(－∞，4).因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0.而(a －c )(1111＋)＝[(a －b )＋(b －c )](＋)≥4，所以λ＜4.a －b b －c a －b b －c 51【例2】(1)已知x ＜，则函数y ＝4x －2＋的最大值为；44x －5511【解析】(1)因为x ＜，所以5－4x ＞0.所以y ＝4x －2＋＝－(5－4x ＋)＋3≤－2＋3＝1.44x －55－4x1当且仅当5－4x ＝，即x ＝1时，等号成立.所以x ＝1时，y max ＝1.5－4x(a ＋b )2【变式训练2】已知x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，求的取值范围.cd 【解析】由等差数列、等比数列的性质得a ＋b ＝x ＋y ，(a ＋b )2(x ＋y )2(a ＋b )2(a ＋b )2x y y y cd ＝xy ，所以＝＝2＋＋，当＞0时，≥4；当＜0时，≤0，cd xy y x x cd x cd (a ＋b )2故的取值范围是(－∞，0]∪[4，＋∞).cd例已知x ,y ,>0,28+=1，求xy的最小值。

高中不等式经典题型

高中不等式经典题型
1.均值不等式：在实数范围内，对于任意正数a，b，总有2a+b≥ab，当且仅当
a=b时等号成立。

例如，求函数y=x+4/x的最小值。

2.绝对值不等式：对于任意实数x，y，总有∣x+y∣≥∣∣x∣−∣y∣∣，当且
仅当x，y同号时等号成立。

例如，求函数f(x)=|x-1|-|x+2|的最大值。

3.柯西不等式：对于任意实数a，b，c，总有(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2，当且仅
当c=ad时等号成立。

例如，求函数f(x)=x^2+y^2的最小值。

4.排序不等式：对于任意实数a，b，c，总有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等
号成立。

例如，求函数f(x)=x^2+y^2的最小值。

这些不等式在数学中有着广泛的应用，可以用于解决一些最优化问题、比较大小等问题。

在解决不等式问题时，需要灵活运用这些不等式，结合具体的题目条件进行求解。

高考不等式经典例题

高考不等式经典例题高考数学中的不等式经典例题通常包括比较两个数（式）的大小、不等式的性质、一元二次不等式恒成立问题、特值法判断不等式等。

以下是一些高考数学中不等式的经典例题：例1：比较两个数的大小题目：若a = 1/2, b = 3, c = 2, 请比较a, b, c的大小。

解答：因为a = 1/2 < 1 < 2 < 3 = b < c，所以a < b < c。

例2：不等式的性质题目：若x > 0, y > 0, 且x + y > 2, 请证明：xy < 1。

解答：根据不等式的性质，可以得到以下推导：x > 0, y > 0, 则x + y > 2 > 0, 所以xy < (x + y) / 2 < 1。

例3：一元二次不等式恒成立问题题目：若a, b, c均为实数，且a > 0, b > 0, c > 0。

求解不等式：ax2 + bx + c > 0。

解答：首先考虑判别式，由一元二次方程的判别式可知，当判别式小于0时，不等式恒成立。

因此，我们需要求解判别式：Δ= b2 - 4ac < 0，所以不等式ax2 + bx + c > 0恒成立。

例4：特值法判断不等式题目：若a, b为实数，且a > 0, b > 0。

求解不等式：a2 + b2 > ab。

解答：我们可以使用特值法来求解这个不等式。

取a = 2, b = 1，则a2 = 4, b2 = 1, ab = 2。

因为4 > 2 > 1，所以a2 + b2 > ab。

希望以上例题能够帮助你复习不等式部分的知识，祝你高考取得好成绩！。

高考文科数学不等式题型

高考文科数学不等式题型
在高考文科数学中，不等式是一种重要的题型，主要考察学生的数学思维和解决问题的能力。

以下是一些常见的不等式题型：
1. 基础不等式：考察学生对基本不等式的理解和应用，如AM-GM不等式、Cauchy-Schwarz不等式等。

2. 绝对值不等式：考察学生对绝对值不等式的理解和应用，如a ≤ b ≤ c等。

3. 线性规划问题：考察学生利用不等式表示的可行域，求目标函数的最值。

4. 函数不等式：考察学生对函数不等式的理解和应用，如f(x) > g(x)或f(x) < g(x)，以及求解一些函数的不等式。

5. 序列不等式：考察学生对序列不等式的理解和应用，如an < bn或an > bn等。

6. 综合不等式：考察学生综合运用不等式的能力，如通过构造特定的函数或序列，利用不等式性质求解问题。

在解决不等式问题时，学生需要掌握一些基本的解题技巧和方法，如因式分解、配方、换元、放缩法等。

同时，还需要注意一些关键的细节，如不等式的定义域、取值范围等。

高考数学经典专题：三元基本不等式习题(含详解答案)

高考经典专题：三元基本不等式习题1．设0x >，则()2142f x x x =--的最大值为（） A．4B．4C ．不存在 D ．52 2．函数()230y x x x=+>的最小值是 ( ) A．33218 B ． C ． D ． 3．若2,3a b >>，则1(2)(3)a b a b ++--的最小值为________. 4．（1）已知,,x y z 均为正数，且1864xyz =，求证：(82)(82)(82)27x y z +++≥；（2）已知实数,m n 满足m 1≥，12n ≥，求证：222224142m n mn m n m n ++≤++. 5．已知正数x 、y 、z ，且1xyz =. （1）证明：222x y z y z x z y++≥；（2）证明：()()()22212x y y z z x +++++≥.6．已知,,a b c 为正数，且1abc =，求证333()()()24a b a c b c +++++≥．7．已知a ，b ，c 为一个三角形的三边长.证明：（1）3b c a a b c++≥；（2）22a b c >++.8．（选修4-5：不等式选讲）已知0,0,0x y z >>>，且1xyz =，求证：333x y z xy yz xz ++≥++参考答案1．D ()2211544422222x x f x x x x ⎛⎫=--=-++≤-= ⎪⎝⎭ 当21222x x x==即1x =时等号成立2．A 函数2233322y x x x x x =+=++≥=，当且仅当232x x =，即x＝2时取等号，故函数()230y x x x =+>． 3．8令2,3a t b m -=-=2,3a b >>，20,30a b ∴->->，即0,0t m >>，所以3115358(2)(3)a b t m t m a b tm ++=+++⨯⨯=--，当且仅当1t m tm==，即123(2)(3)a b a b -=-=--，即当3,4a b ==时等号成立. 4．（1）证明：因为0x >，由三个正数的基本不等式可得，82811x x +=++≥18x时取等号；同理可得82y +≥82z +≥，当且仅当11,88y z ==时取等号；故(82)(82)(82)x y z +++≥18x y z ===时取等号，因为1864xyz =，所以(82)(82)(82)27x y z +++≥，当且仅当18x y z ===时取等号. （2）证明：要证222224142m n mn m n m n ++≤++，即证2222442210m n mn n m n m -+-+-≥，即证24(1)(22)(1)10mn m mn n m m --+-+-≥，即证()2(1)42210m mn mn n ---+≥，即证(1)[2(21)(21)]0m mn n n ----≥，即证(1)(21)(21)0m n mn ---≥，因为m 1≥，12n ≥，所以10m -≥，210n -≥，210mn -≥，所以(1)(21)(21)0m n mn ---≥，所以222224142m n mn m n m n ++≤++得证..5．（1）因为x 、y 、z 为正数，且1xyz =，所以222x y y z z+≥==，当且仅当32y zx =时等号成立，即4y x =时，等号成立；同理22y z z x +≥，22x z y x y +≥，所以22222x y z y z x ⎛⎫++≥+ ⎪⎝⎭⎝⎭，即222x y z y z x ++≥，当且仅当1x y z ===时等号成立；（2）因为()()()222x y y z z x +++++≥由二元均值不等式得x y +≥y z +≥，z x +≥，当且仅当x y z ==时，等号同时成立，所以()24x y xy +≥，()24y z yz +≥，()24z x xz +≥， ()()()()22226464x y y z z x xyz ∴+++≥=，因此，()()()22212x y y z z x +++≥=++，当且仅当1x y z ===时，等号同时成立.6．证明：已知,,a b c为正数，且1abc =，故有 333()()()a b a c b c +++++≥3()()()a b b cc a =+++3≥⨯⨯⨯24=.当1a b c ===时等号成立.故333()()()24a b a c b c +++++≥．7.（1）证明:由三项基本不等式可知3b c a a b c ++≥= （2）证明:由于a ,b,c 为一个三角形的三边长,则有：2b c a=++>,>a=>,b >c >,相加得：a b c >++,左右两边同加a b c ++得：()22a b c>++所以22a b c >++8．证明：因为0,0,0x y z >>>，所以3333x y z xyz ++≥， 3313x y xy ++≥，3313y z yz ++≥，3313x z xz ++≥，将以上各式相加，得33333333333x y z xyz xy yz xz +++≥+++，又因为1xyz =，从而333x y z xy yz xz ++≥++．。

高考数学解不等式基本训练题及参考答案

高考数学解不等式基本训练题及参考答案一、选择题(1)不等式6x 2+5x <4的解集为（） A (-∞,-34)∪(21,+∞) B (- 34,21) C (- 21,43) D (-∞,-21)∪(34,+∞) (2)a >0,b >0,不等式a >x1>-b 的解集为（） A -b 1 <x <0或0<x <a 1 B - a 1<x <b1 C x <-b 1或x >a 1 D - a 1<x <0或0<x 0,且不等式ax 2+bx +c <0无解,则左边的二次三项式的判别式（）A Δ<0B Δ=0C Δ≤0D Δ>0(5)A={x |x 2+(p +2)x +1=0,x ∈R },且R *∩A=∅,则有（）A p >-2B p ≥0C -4-4(6)θ在第二象限,cos θ=524+-m m ,sin θ=53-+m m ,则m 满足（） A m <-5或m >3 B 3<m <9 C m =0或m =8 D m =8(7)已知不等式l o g a (x 2-x -2)>l o g a (-x 2+2x +3)在x =49时成立,则不等式的解集为 A {x |1<x <2} B {x |2<x <25} C {x |1<x <25} D {x |2<x <5} (8)设0b 21B l o g b (1-b )>1 C cos(1+b )>cos(1-b ) D (1-b )n <b n ,n ∈N (9)若不等式x 2-l o g a x <0在(0,21)内恒成立,则a 满足（） A 16≤a <1 B 16<a <1 C 0<a ≤161 D 0<a <161 (10)不等式112+<-x x 的解集是（）A ［0,1］B ［0,+∞］C (1,+∞)D -1,1］ (11)不等式112)21(--<x x 的解集是（） A B (1,2) C (2,+∞) D (1,+∞) (12)不等式(x -1)2+x ≥0的解集是（） A {x |x >1} B {x |x ≥1或x =-2} C {x |x ≥1} D {x |x ≥-2且x ≠1}(13)函数f (x )=822--x x 的定义域为A ,函数g(x )=a x --11的定义域为B ,则使A ∩B=∅,实数a 的取值范围是（） A {a |-1<a <3} B {a |-2<a <4}C {a -2≤a ≤4}D {a |-1≤a ≤3}(14)关于x 的不等式22x a -<2x +a (a >0)的解集为（） A (0,a ) B (0,a ］ C ∞)∪(-∞,-54 a ) D ∅ 二．填空题(15)不等式1≤|x -2|≤7的解集是(16)不等式x1>a 的解集是 (17)不等式lg|x -4|<-1的解集是(18)不等式xb c -<a (a >0,b >0,c >0)的解集是 (19)若不等式43)1(22+++--x x a ax x <0的解为-1<x <5,则a = (20)不等式1lg -x <3-lg x 的解集是(21)函数f (x )=l o g 2(x 2-4),g(x )=2k x 2-(k <-1),则f (x )g(x )的定义域为三、解答题（22）解下列不等式(1)(x +4)(x +5)2>(3x -2)(x +5)2；(2)1)3()4)(1(2+---x x x x ≤0；(3)45820422+-+-x x x x ≥3（23）设不等式(2x -1)>m (x 2-1)对满足|m |≤2的一切实数m 的值都成立,求x 的取值范围解不等式练习题参考答案：1．B 2．C 3．B 4．C 5．B 6．D 7．B8．C 9．A 10．A 11．D 12．B 13．D 14．B15．［-5,1］∪［3,9］16．a =0时x >0;a >0时,0<x <a 1;a <0时,x <a 1或x >0 17．{x |4<x <1041或1039<x <4} 18．{x |x b -ac } 19．4 20．10≤x <100 21．［2k -2)∪(2,+∞) 22．解:(1)当x ≠-5时,(x +5)2>0,两边同除以(x +5)2得x +4>3x -2, 即x <3且x ≠-5；∴x ∈(-∞,-5)∪(-5,3)(2)当x ≠4时,原不等式⇔(x -1)(x -3)(x +1)≤0(x ≠-1) ⇔1≤x ≤3或x <-1,当x =4时,显然左边=0,不等式成立故原不等式的解集为{x |1≤x ≤3或x <-1或x =4}(3)原不等式可化为451820422+-+-x x x x -3≥00456522≥+-+-⇔x x x x 0)4)(1()3)(2(≥----⇔x x x x ∴x ∈(-∞,1)∪［2,3］∪(4,+∞) 23．解:①若x 2-1=0,即x =±1,且2x -1>0,即x >21时,此时x =1,原不等式对|m |≤2恒成立;②若x 2-1>0,要使1122--x x >m ,对|m |≤2恒成立,只要1122--x x >2,即 ⎩⎨⎧->->-22120122x x x 得1<x 23 ③若x 2-1<0时,要使1122--x x <m ,对|m |≤2恒成立,只要1122--x x <-2,即 ⎩⎨⎧+->-<-22120122x x x 得271+-<x <1 综合①②③得,所求x 的范围为271+-<x 23。

不等式选讲高考常考题型汇总(详解答案)

,1
上恒成立,
x 2 max a x 2 min ,
1 a 5 , 2
a
的取值范围为
1,
5 2
.
【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解,以及绝对值三角不等式的应用,其中解答中熟记含绝对值不等式的解法,以及合理应用绝对值的三角不等式求解最值是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档题.
2
8．已知函数 f (x) x2 1, g(x) | x a | | 2x 1|, a R .
（1）当 a 1 时，解不等式 g(x2 ) 7 ；
2
2
（2）对任意 x1, x2 R ，若不等式 f (x1) ≥ g(x2 ) 恒成立，求实数 a 的取值范围.
试卷第 2页，总 6页
9．选修 4-5：不等式选讲
故 a 的取值范围为 (,5] [7, )
【点睛】本题考查含有绝对值的不等式的解法，绝对值的三角不等式，恒成立问题，考查了计算化简，分析求值的能力，属中档题. 7．【详解】
（2）当 m 1时，函数 g(x) f (x) | x m | 的图象与 x 轴围成一个三角形，求实数 m 的取值范围.
21．设函数 f x 2x 4 1．（1）画出函数 y f x 的图象；（2）若不等式 f x ax 的解集非空，求 a 的取值范围．
试卷第 6页，总 6页
参考答案
试卷第 5页，总 6页
19．已知函数 f (x) | 3x 1| 2 | x 1| ．
（1）画出 y f (x) 的图像；
（2）求不等式 f (x) f (x 1) 的解集．
20．[选修 4-5：不等式选讲]
已知函数 f x 2x 2 5 . （1）解不等式： f x | x 1| ；

不等式恒成立、能成立问题【七大题型】(举一反三)(新高考专用)(解析版)—2025年高考数学一轮复习

不等式恒成立、能成立问题【七大题型】【题型1 一元二次不等式在实数集上恒成立问题】 (2)【题型2 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】 (3)【题型3 给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】 (5)【题型4 基本不等式求解恒成立问题】 (7)【题型5 一元二次不等式在实数集上有解问题】 (10)【题型6 一元二次不等式在某区间上有解问题】 (11)【题型7 一元二次不等式恒成立、有解问题综合】 (13)1、不等式恒成立、能成立问题一元二次不等式是高考数学的重要内容.从近几年的高考情况来看，“含参不等式恒成立与能成立问题”是常考的热点内容，这类问题把不等式、函数、三角、几何等知识有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐.另一方面，在解决这类数学问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维能力都起到很好的作用.【知识点1 不等式恒成立、能成立问题】1．一元二次不等式恒成立、能成立问题不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为{a>0，Δ＝b2－4ac<0；一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为{a>0，Δ＝b2－4ac≤0；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为{a<0，Δ≤0.2．一元二次不等式恒成立问题的求解方法(1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数.①若ax2+bx+c>0恒成立，则有a>0，且△<0；若ax2+bx+c<0恒成立，则有a<0，且△<0.②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法).3．给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题的解题策略解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数；即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解.4．常见不等式恒成立及有解问题的函数处理策略不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下：(1)对任意的x∈[m,n]，a>f(x)恒成立a>f(x)max；若存在x∈[m,n]，a>f(x)有解a>f(x)min；若对任意x∈[m,n]，a>f(x)无解a≤f(x)min.(2)对任意的x∈[m,n]，a<f(x)恒成立a<f(x)min；若存在x∈[m,n]，a<f(x)有解a<f(x)max；若对任意x∈[m,n]，a<f(x)无解a≥f(x)max.【例1】（2023·福建厦门·二模）“b∈(0,4)”是“∀x∈R，bx2―bx+1>0成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解题思路】由∀x∈R，bx2―bx+1>0成立求出b的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【解答过程】由∀x∈R，bx2―bx+1>0成立，则当b=0时，1>0恒成立，即b=0，当b≠0时，b>0b2―4b<0，解得0<b<4，因此∀x∈R，bx2―bx+1>0成立时，0≤b<4，因为(0,4)[0,4)，所以“b∈(0,4)”是“∀x∈R，bx2―bx+1>0成立”的充分不必要条件.故选：A.【变式1-1】（2023·江西九江·模拟预测）无论x取何值时，不等式x2―2kx+4>0恒成立，则k的取值范围是（）A．(―∞,―2)B．(―∞,―4)C．(―4,4)D．(―2,2)【解题思路】由题知4k2―16<0，再解不等式即可得答案.【解答过程】解：因为无论x取何值时，不等式x2―2kx+4>0恒成立，所以，4k2―16<0，解得―2<k<2，所以，k的取值范围是(―2,2)故选：D.【变式1-2】（2023·福建厦门·二模）不等式ax2―2x+1>0（a∈R）恒成立的一个充分不必要条件是（）A．a>2B．a≥1C．a>1D．0<a<12【解题思路】分a=0和a≠0两种情况讨论求出a的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.【解答过程】当a=0时，―2x+1>0，得x<12，与题意矛盾，当a≠0时，则a>0Δ=4―4a<0，解得a>1，综上所述，a>1，所以不等式ax2―2x+1>0（a∈R）恒成立的一个充分不必要条件是A选项.故选：A.【变式1-3】（2023·四川德阳·模拟预测）已知p:0≤a≤2，q：任意x∈R,ax2―ax+1≥0，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据一元二次不等式恒成立解得q：0≤a≤4，结合充分、必要条件的概念即可求解.【解答过程】命题q：一元二次不等式ax2―ax+1≥0对一切实数x都成立，当a=0时，1>0,符合题意；当a≠0时，有a>0Δ≤0，即a>0a2―4a≤0，解为a∈(0,4]，∴q：0≤a≤4．又p：0≤a≤2，设A=[0,2],B=[0,4]，则A是B的真子集，所以p是q成立的充分非必要条件，故选：A．【题型2 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】【例2】（2023·辽宁鞍山·二模）已知当x >0时，不等式：x 2―mx +16>0恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．(―8,8)B ．(―∞,8]C ．(―∞,8)D ．(8,+∞)【解题思路】先由x 2―mx +16>0得m <x +16x，由基本不等式得x +16x≥8，故m <8.【解答过程】当x >0时，由x 2―mx +16>0得m <x +16x，因x >0，故x +16x≥=8，当且仅当x =16x即x =4时等号成立，因当x >0时，m <x +16x恒成立，得m <8，故选：C.【变式2-1】（23-24高一上·贵州铜仁·期末）当x ∈(―1,1)时，不等式2kx 2―kx ―38<0恒成立，则k 的取值范围是（）A ．(―3,0)B ．[―3,0)C ．―D ．―【解题思路】对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解.【解答过程】当x ∈(―1,1)时，不等式2kx 2―kx ―38<0恒成立，当k =0时，满足不等式恒成立；当k ≠0时，令f (x )=2kx 2―kx ―38，则f (x )<0在(―1,1)上恒成立，函数f (x )的图像抛物线对称轴为x =14，k >0时，f (x )在―,1上单调递增，则有f (―1)=2k +k ―38≤0f (1)=2k ―k ―38≤0，解得0<k ≤18；k <0时，f (x )在―,1上单调递减，则有=2k 16―k 4―38<0，解得―3<k <0.综上可知，k的取值范围是―故选：D.【变式2-2】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）若对于任意x ∈[m,m +1]，都有x 2+mx ―1<0成立，则实数m 的取值范围是（）A ．―23,0B ．―,0C ．―23,0D ．,0【解题思路】利用一元二次函数的图象与性质分析运算即可得解.【解答过程】由题意，对于∀x ∈[m,m +1]都有f(x)=x 2+mx ―1<0成立，∴f (m )=m 2+m 2―1<0f (m +1)=(m +1)2+m (m +1)―1<0，解得：―<m <0，即实数m 的取值范围是―,0.故选：B.【变式2-3】（22-23高一上·安徽马鞍山·期末）已知对一切x ∈[2,3]，y ∈[3,6]，不等式mx 2―xy +y 2≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．m ≤6B ．―6≤m ≤0C ．m ≥0D ．0≤m ≤6【解题思路】令t =yx ，分析可得原题意等价于对一切t ∈[1,3]，m ≥t ―t 2恒成立，根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算.【解答过程】∵x ∈[2,3]，y ∈[3,6]，则1x ∈[13,12]，∴yx ∈[1,3]，又∵mx 2―xy +y 2≥0，且x ∈[2,3],x 2>0，可得m ≥y x―，令t =yx ∈[1,3]，则原题意等价于对一切t ∈[1,3]，m ≥t ―t 2恒成立，∵y =t ―t 2的开口向下，对称轴t =12，则当t =1时，y =t ―t 2取到最大值y max =1―12=0，故实数m 的取值范围是m ≥0.故选：C.【题型3 给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】【例3】（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）若命题“∃―1≤a ≤3，ax 2―(2a ―1)x +3―a <0”为假命题，则实数x 的取值范围为（）A ．{x |―1≤x ≤4 }B ．x |0≤xC ．x |―1≤x ≤0或53≤x ≤4D ．x |―1≤x <0或53<x ≤4【解题思路】由题意可得：命题“∀―1≤a ≤3,ax 2―(2a ―1)x +3―a ≥0”为真命题，根据恒成立问题结合一次函数运算求解.【解答过程】由题意可得：命题“∀―1≤a ≤3,ax 2―(2a ―1)x +3―a ≥0”为真命题，即ax 2―(2a ―1)x +3―a =(x 2―2x ―1)a +x +3≥0对a ∈[―1,3]恒成立，则―(x 2―2x ―1)+x +3≥03(x 2―2x ―1)+x +3≥0，解得―1≤x ≤0或53≤x ≤4，即实数x 的取值范围为x |―1≤x ≤0或53≤x ≤4.故选：C.【变式3-1】（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）当1≤m ≤2时，mx 2―mx ―1<0恒成立，则实数x 的取值范围是（）A<x <B<x <C <x<D <x <【解题思路】将不等式整理成关于m 的一次函数，利用一次函数性质解不等式即可求得结果.【解答过程】根据题意可将不等式整理成关于m 的一次函数(x 2―x )m ―1<0，由一次函数性质可知(x 2―x )×1―1<0(x 2―x )×2―1<0 ，即x 2―x ―1<02x 2―2x ―1<0；<x <<x <<x <故选：B.【变式3-2】（23-24高一下·河南濮阳·期中）已知当―1≤a ≤1时，x 2+(a ―4)x +4―2a >0恒成立，则实数x 的取值范围是（）A ．(―∞,3)B ．(―∞,1]∪[3,+∞)C ．(―∞,1)D ．(―∞,1)∪(3,+∞)【解题思路】将x2+(a―4)x+4―2a>0化为(x―2)a+x2―4x+4>0，将a看成主元，令f(a)=(x―2) a+x2―4x+4，分x=2，x>2和x<2三种情况讨论，从而可得出答案.【解答过程】解：x2+(a―4)x+4―2a>0恒成立，即(x―2)a+x2―4x+4>0，对任意得a∈[―1,1]恒成立，令f(a)=(x―2)a+x2―4x+4，a∈[―1,1]，当x=2时，f(a)=0，不符题意，故x≠2，当x>2时，函数f(a)在a∈[―1,1]上递增，则f(a)min=f(―1)=―x+2+x2―4x+4>0，解得x>3或x<2（舍去），当x<2时，函数f(a)在a∈[―1,1]上递减，则f(a)min=f(1)=x―2+x2―4x+4>0，解得x<1或x>2（舍去），综上所述，实数x的取值范围是(―∞,1)∪(3,+∞).故选：D.【变式3-3】（2008·宁夏·高考真题）已知a1>a2>a3>0，则使得(1―a i x)2<1(i=1,2,3)都成立的x取值范围是（）A．B．0,C．D．(a i>0)，【解题思路】由(1―a i x)2<1可求得0<x<2a i【解答过程】由(1―a i x)2<1，得：1―2a i x+a2i x2<1，(a i>0)，即x(a2i x―2a i)<0，解之得0<x<2a i因为a1>a2>a3>0，使得(1―a i x)2<1(i=1,2,3)都成立，；所以0<x<2a1故选：B.【题型4 基本不等式求解恒成立问题】【例4】（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的x∈(0,+∞)，x2―2mx+1>0恒成立，则m的取值范围为（）A．[1,+∞)B．(―1,1)C．(―∞,1]D．(―∞,1)【解题思路】参变分离可得2m <x +1x 对任意的x ∈(0,+∞)恒成立，利用基本不等式求出x +1x 的最小值，即可求出参数的取值范围.【解答过程】因为对任意的x ∈(0,+∞)，x 2―2mx +1>0恒成立，所以对任意的x ∈(0,+∞)，2m <x 2+1x=x +1x 恒成立，又x +1x ≥=2，当且仅当x =1x ，即x =1时取等号，所以2m <2，解得m <1，即m 的取值范围为(―∞,1).故选：D.【变式4-1】（22-23高三上·河南·期末）已知a >0，b ∈R ，若x >0时，关于x 的不等式(ax ―2)(x 2+bx ―5)≥0恒成立，则b +4a 的最小值为（）A ．2B ．C ．D ．【解题思路】根据题意设y =ax ―2，y =x 2+bx ―5，由一次函数以及不等式(ax ―2)(x 2+bx ―5)≥0分析得x =2a 时，y =x 2+bx ―5=0，变形后代入b +4a ，然后利用基本不等式求解.【解答过程】设y =ax ―2（x >0），y =x 2+bx ―5（x >0），因为a >0，所以当0<x <2a 时，y =ax ―2<0；当x =2a 时，y =ax ―2=0；当x >2a 时，y =ax ―2>0；由不等式(ax ―2)(x 2+bx ―5)≥0恒成立，得：ax ―2≤0x 2+bx ―5≤0 或ax ―2≥0x 2+bx ―5≥0 ，即当0<x ≤2a 时，x 2+bx ―5≤0恒成立，当x ≥2a 时，x 2+bx ―5≥0恒成立，所以当x =2a 时，y =x 2+bx ―5=0，则4a 2+2b a―5=0，即b =5a 2―2a ，则当a >0时，b +4a =5a 2―2a +4a =5a 2+2a ≥=当且仅当5a2=2a ，即a =所以b +4a 的最小值为故选：B.【变式4-2】（23-24高三上·山东威海·期中）关于x 的不等式ax 2―|x|+2a ≥0的解集是(―∞,+∞)，则实数a 的取值范围为（）A +∞B ．―∞C ．―D ．―∞,∪+∞【解题思路】不等式ax 2―|x|+2a ≥0的解集是(―∞,+∞)，即对于∀x ∈R ，ax 2―|x|+2a ≥0恒成立，即a ≥|x |x 2+2，分x =0和a ≠0两种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案.【解答过程】解：不等式ax 2―|x|+2a ≥0的解集是(―∞,+∞)，即对于∀x ∈R ，ax 2―|x|+2a ≥0恒成立，即a ≥|x |x 2+2，当x =0时，a ≥0，当a ≠0时，a ≥|x |x 2+2=1|x |+2|x |，因为1|x |+2|x |≤=所以a ≥综上所述a ∈+∞.故选：A.【变式4-3】（23-24高一上·湖北·阶段练习）已知x >0,y >0，且1x+2+1y =27，若x +2+y >m 2+5m 恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．(―4,7)B ．(―2,7)C ．(―4,2)D ．(―7,2)【解题思路】利用基本不等式“1”的代换求不等式左侧最小值，结合x +2+y >m 2+5m 恒成立得到不等式，解一元二次不等式求参数范围【解答过程】因为x >0,y >0，且1x+2+1y =27，所以x +2+y =72×(x +2+y =72×1+1+y x+2+≥72×2+=14，当且仅当y =x +2=7时取等号，又因为x +2+y >m 2+5m 恒成立，所以14>m 2+5m ，解得―7<m <2.所以实数m的取值范围是(―7,2).故选：D.【题型5 一元二次不等式在实数集上有解问题】【例5】（2024·陕西宝鸡·模拟预测）若存在实数x，使得mx2―(m―2)x+m<0成立，则实数m的取值范围为（）A．(―∞,2)B．(―∞,0]∪C．―∞D．(―∞,1)【解题思路】分别在m=0、m>0和m<0的情况下，结合二次函数的性质讨论得到结果.【解答过程】①当m=0时，不等式化为2x<0，解得：x<0，符合题意；②当m>0时，y=mx2―(m―2)x+m为开口方向向上的二次函数，；只需Δ=(m―2)2―4m2=―3m2―4m+4>0，即0<m<23③当m<0时，y=mx2―(m―2)x+m为开口方向向下的二次函数，则必存在实数x，使得mx2―(m―2)x+m<0成立；综上所述：实数m的取值范围为―∞故选：C.【变式5-1】（22-23高一上··阶段练习）若关于x的不等式x2―4x―2―a≤0有解，则实数a 的取值范围是（）A．{a|a≥―2 }B．{a|a≤―2 }C．{a|a≥―6 }D．{a|a≤―6 }【解题思路】直接利用判别式即可研究不等式的解的情况.【解答过程】若关于x的不等式x2―4x―2―a≤0有解,则Δ=16+4(2+a)≥0，解得a≥―6.故选：C.【变式5-2】（23-24高一上·山东临沂·阶段练习）若不等式―x2+ax―1>0有解，则实数a的取值范围为（）A．a<―2或a>2B．―2<a<2C．a≠±2D．1<a<3【解题思路】根据一元二次不等式有实数解的充要条件列式求解作答.【解答过程】不等式―x2+ax―1>0有解，即不等式x2―ax+1<0有解，因此Δ=a2―4>0，解得a<―2或a>2，所以实数a的取值范围为a<―2或a>2.故选：A.【变式5-3】（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知关于x的不等式―x2+4x≥a2―3a在R上有解，则实数a 的取值范围是（）A．{a|―1≤a≤4 }B．{a|―1<a<4 }C．{a|a≥4 或a≤―1}D．{a|―4≤a≤1 }【解题思路】由题意知x2―4x+a2―3a≤0在R上有解，等价于Δ≥0，解不等式即可求实数a的取值范围.【解答过程】因为关于x的不等式―x2+4x≥a2―3a在R上有解，即x2―4x+a2―3a≤0在R上有解，只需y=x2―4x+a2―3a的图象与x轴有公共点，所以Δ=(―4)2―4×(a2―3a)≥0，即a2―3a―4≤0，所以(a―4)(a+1)≤0，解得：―1≤a≤4，所以实数a的取值范围是{a|―1≤a≤4 }，故选：A.【题型6 一元二次不等式在某区间上有解问题】【例6】（2023·福建宁德·模拟预测）命题“∃x∈[1,2],x2≤a”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥1B．a≥4C．a≥―2D．a≤4【解题思路】根据能成立问题求a的取值范围，结合充分不必要条件理解判断.【解答过程】∵∃x∈[1,2],x2≤a，则(x2)min≤a，即a≥1，∴a的取值范围[1,+∞)由题意可得：选项中的取值范围对应的集合应为[1,+∞)的真子集，结合选项可知B对应的集合为[4,+∞)为[1,+∞)的真子集，其它都不符合，∴符合的只有B，故选：B.【变式6-1】（22-23高二上·河南·开学考试）设a为实数，若关于x的不等式x2―ax+7≥0在区间(2,7)上有实数解，则a的取值范围是（）A．(―∞,8)B．(―∞,8]C．(―∞D．―∞【解题思路】参变分离，再根据对勾函数的性质，结合能成立问题求最值即可.【解答过程】由题意，因为x ∈(2,7)，故a ≤x +7x 在区间(2,7)上有实数解，则a <x +，又g (x )=x +7x在上单调递减，在上单调递增，且g (2)=2+72=112，g (7)=7+77=8>g (2)，故x +<8.故a ≤x +7x 在区间(2,7)上有实数解则a <8.故选：A.【变式6-2】（23-24高一上·福建·期中）若至少存在一个x <0，使得关于x 的不等式3―|3x ―a |>x 2+2x 成立，则实数a 的取值范围是（）A ．―374,3B ．―C ．―374D ．(―3,3)【解题思路】化简不等式3―|3x ―a |>x 2+2x ，根据二次函数的图象、含有绝对值函数的图象进行分析，从而求得a 的取值范围.【解答过程】依题意，至少存在一个x <0，使得关于x 的不等式3―|3x ―a |>x 2+2x 成立，即至少存在一个x <0，使得关于x 的不等式―x 2―2x +3>|3x ―a |成立，画出y =―x 2―2x +3(x <0)以及y =|3x ―a |的图象如下图所示，其中―x 2―2x +3>0.当y =3x ―a 与y =―x 2―2x +3(x <0)相切时，由y =3x ―ay =―x 2―2x +3消去y 并化简得x 2+5x ―a ―3=0，Δ=25+4a +12=0,a =―374.当y =―3x +a 与y =―x 2―2x +3(x <0)相切时，由y =―3x +ay =―x 2―2x +3消去y 并化简得x 2―x +a ―3=0①，由Δ=1―4a +12=0解得a =134，代入①得x 2―x +14=x=0，解得x =12，不符合题意.当y =―3x +a 过(0,3)时，a =3.结合图象可知a 的取值范围是―374,3.故选：A.【变式6-3】（22-23高一上·江苏宿迁·期末）若命题“∀x 0∈(0,+∞)，使得x 20+ax 0+a +3≥0”为假命题，则实数a 的取值范围是（）A ．(―∞,―2),(6,+∞)B ．(―∞,―2)C ．[―2,6]D ．[2+【解题思路】根据题意可知“∃x 0∈(0,+∞)，使得x 20+ax 0+a +3<0”为真命题，然后参变分离，将问题转化为最值问题，利用基本不等式可解.【解答过程】因为“∀x 0∈(0,+∞)，使得x 20+ax 0+a +3≥0”为假命题，所以“∃x 0∈(0,+∞)，使得x 20+ax 0+a +3<0”为真命题，即a <―x 20+3x 0+1在(0,+∞)内有解，即a <―.因为―x 20+3x 0+1=―(x 0+1)2―2(x 0+1)+4x 0+1=―x 0+1―2≤―2，当且仅当x 0=1时等号成立，所以=―2，所以实数a 的取值范围为(―∞,―2).故选：B.【题型7 一元二次不等式恒成立、有解问题综合】【例7】（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）已知关于x 的不等式2x ―1>m(x 2―1).(1)是否存在实数m ，使不等式对任意x ∈R 恒成立，并说明理由；(2)若不等式对于m ∈[―2,2]恒成立，求实数x 的取值范围；(3)若不等式对x ∈[2,+∞)有解，求m 的取值范围.【解题思路】将2x ―1>m(x 2―1)转化为mx 2―2x +(1―m)<0，（1）讨论m =0和m ≠0时的情况；（2）f(m)=(x 2―1)m ―(2x ―1)，显然该函数单调，所以只需f(2)<0f(―2)<0即可.（3）讨论当m =0时，当m <0时，当m >0时，如何对x ∈[2,+∞)有解，其中m <0，m >0，均为一元二次不等式，结合一元二次函数图象求解即可.【解答过程】（1）原不等式等价于mx2―2x+(1―m)<0，当m=0时，―2x+1<0，即x>12，不恒成立；当m≠0时，若不等式对于任意实数x恒成立，则m<0且Δ=4―4m(1―m)<0，无解；综上，不存在实数m，使不等式恒成立.（2）设f(m)=(x2―1)m―(2x―1)，当m∈[―2,2]时，f(m)<0恒成立，当且仅当f(2)<0f(―2)<0，即2x2―2x―1<0―2x2―2x+3<0，解得<x<x<x><x<所以x的取值范围是.（3）若不等式对x∈[2,+∞)有解，等价于x∈[2,+∞)时，mx2―2x―m)<0有解.令g(x)=mx2―2x+(1―m)，当m=0时，―2x+1<0即x>12，此时显然在x∈[2,+∞)有解；当m<0时，x∈[2,+∞)时，结合一元二次函数图象，mx2―2x+(1―m)<0显然有解；当m>0时，y=g(x)对称轴为x=1m，Δ=4―4m(1―m)=4m2―4m+4=(2m―1)2+3>0，∵x∈[2,+∞)时，mx2―2x+(1―m)<0有解，∴结合一元二次函数图象，易得：g(2)<0或g(2)≥01m>2，解得m<1或m≥1m<12（无解），又∵m>0，∴0<m<1;综上所述，m的取值范围为(―∞,1).【变式7-1】（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）设函数y=ax2―(2a+3)x+6,a∈R．(1)若y+2>0恒成立，求实数a的取值范围：(2)当a=1时，∀t>―2，关于x的不等式y≤―3x+3+m在[―2,t]有解，求实数m的取值范围．【解题思路】（1）利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解；（2）根据已知条件及二次函数的性质即可求解.【解答过程】（1）y+2>0恒成立，即ax2―(2a+3)x+8>0恒成立，当a=0时，―3x+8>0，解得x<83，舍去；当a≠0时，a>04a2―20a+9<0，解得12<a<92所以实数a（2）当a=1时，∀t>―2，关于x的不等式y≤―3x+3+m在[―2,t]有解，则―2是x2―2x+3―m≤0的解，因为抛物线y=x2―2x+3开口向上，对称轴x=1，所以11―m≤0，解得m≥11，所以m的取值范围为[11,+∞)．【变式7-2】（23-24高一上·浙江台州·期中）已知函数f(x)=2x2―ax+a2―4，g(x)=x2―x+a2―314，(a∈R)(1)当a=1时，解不等式f(x)>g(x)；(2)若任意x>0，都有f(x)>g(x)成立，求实数a的取值范围；(3)若∀x1∈[0,1]，∃x2∈[0,1]，使得不等式f(x1)>g(x2)成立，求实数a的取值范围.【解题思路】（1）作差后解一元二次不等式即可.（2）解法一：构造函数，分类讨论求解二次函数最小值，然后列不等式求解即可；解法二：分离参数，构造函数k=x+154x，利用基本不等式求解最值即可求解；（3）把问题转化为f(x)min>g(x)min，利用动轴定区间分类讨论即可求解.【解答过程】（1）当a=1时，f(x)=2x2―x―3，g(x)=x2―x―274所以f(x)―g(x)=x2+154>0，所以f(x)>g(x)，所以f(x)>g(x)的解集为R.（2）若对任意x>0，都有f(x)>g(x)成立，即x2+(1―a)x+154>0在x>0恒成立，解法一：设ℎ(x )=x 2+(1―a )x +154，x >0，对称轴x =a―12，由题意，只须ℎ(x )min >0，①当a―12≤0，即a ≤1时，ℎ(x )在0，+∞上单调递增，所以ℎ(x )>ℎ(0)=154，符合题意，所以a ≤1；②当a―12>0，即a >1时，ℎ(x )在+∞单调递增，所以ℎ(x )>=―(a―1)24+154>0，解得1<a <1+a >1，所以1<a <1+综上，a <1+解法二：不等式可化为(a ―1)x <x 2+154，即a ―1<x +154x ，设k =x +154x ，x >0，由题意，只须a ―1<k (x )min ，k =x +154x ≥=当且仅当x =154x 即x =k min =所以a ―1<a <1+（3）若对任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[0,1]，使得不等式f (x 1)>g (x 2)成立，即只需满足f (x )min >g (x )min ，x ∈[0,1]，g (x )=x 2―x +a 2―314，对称轴x =12，g (x )在0,递增，g (x )min ==a 2―8，f (x )=2x 2―ax +a 2―4，x ∈[0,1]，对称轴x =a4，①a4≤0即a ≤0时，f (x )在[0,1]递增，f (x )min =f (0)=a 2―4>g (x )min =a 2―8恒成立；②0<a4<1即0<a <4时，f (x )在0,,1递增，f (x )min ==78a 2―4，g (x )min =a 2―8，所以78a 2―4>a 2―8，故0<a <4；③a4≥1即a ≥4时，f (x )在[0,1]递减，f (x )min =f (1)=a 2―a ―2，g (x )min =a 2―8，所以a 2―a ―2>a 2―8，解得4≤a <6，综上：a ∈(―∞,6).【变式7-3】（23-24高一上·山东威海·期中）已知函数f(x)=x 2―(a +3)x +6(a ∈R)(1)解关于x 的不等式f(x)≤6―3a ；(2)若对任意的x ∈[1,4]，f(x)+a +5≥0恒成立，求实数a 的取值范围(3)已知g(x)=mx +7―3m ，当a =1时，若对任意的x 1∈[1,4]，总存在x 2∈[1,4]，使f (x 1)=g (x 2)成立，求实数m 的取值范围．【解题思路】（1）由不等式f(x)≤6―3a 转化为(x ―3)(x ―a)≤0，分a <3，a =3，a >3讨论求解；（2）将对任意的x ∈[1,4]，f(x)+a +5≥0恒成立，转化为对任意的x ∈[1,4]，a(x ―1)≤x 2―3x +11恒成立，当x =1，恒成立，当x ∈(1,4]时，a ≤(x ―1)+9x―1―1恒成立，利用基本不等式求解；（3）分析可知函数f (x )在区间[1,4]上的值域是函数g (x )在区间[1,4]上的值域的子集，分m =0、m <0、m >0三种情况讨论，求出两个函数的值域，可得出关于实数m 的不等式组，综合可得出实数m 的取值范围.【解答过程】（1）因为函数f(x)=x 2―(a +3)x +6(a ∈R)，所以f(x)≤6―3a ，即为x 2―(a +3)x +3a ≤0，所以(x ―3)(x ―a)≤0，当a <3时，解得a ≤x ≤3，当a =3时，解得x =3，当a >3时，解得3≤x ≤a ，综上，当a <3时，不等式的解集为{x |a ≤x ≤3}，当a ≥3时，不等式的解集为{x |3≤x ≤a }（2）因为对任意的x ∈[1,4],f(x)+a +5≥0恒成立，所以对任意的x ∈[1,4]，a(x ―1)≤x 2―3x +11恒成立，当x =1时，0≤9恒成立，所以对任意的x ∈(1,4]时，a ≤(x ―1)+9x―1―1恒成立，令(x ―1)+9x―1―1≥1=5，当且仅当x ―1=9x―1，即x =4时取等号，所以a ≤5，所以实数a 的取值范围是(―∞,5]（3）当a =1时，f(x)=x 2―4x +6，因为x ∈[1,4]，所以函数f(x)的值域是[2,6]，因为对任意的x 1∈[1,4]，总存在x 2[1,4]，使f (x 1)=g (x 2)成立，所以f(x)的值域是g(x)的值域的子集，当m >0时，g(x)∈[7―2m,m +7]，则m >07―2m ≤2m +7≥6，解得m ≥52当m <0时，g(x)∈[m +7,7―2m]，则m <07―2m ≥6m +7≤2，解得m ≤―5，当m =0时，g(x)∈{7}，不成立；综上，实数m 的取值范围(―∞,―5]∪+∞.一、单选题1．（2023·河南·模拟预测）已知命题“∃x 0∈[―1,1]，―x 20+3x0+a >0”为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．(―∞,―2)B ．(―∞,4)C ．(―2,+∞)D ．(4,+∞)【解题思路】由题知x 0∈[―1,1]时，a >x 20―3x 0min ，再根据二次函数求最值即可得答案.【解答过程】解：因为命题“∃x 0∈[―1,1]，―x 20+3x 0+a >0”为真命题，所以，命题“∃x 0∈[―1,1]，a >x 20―3x 0”为真命题，所以，x 0∈[―1,1]时，a >x 20―3x 0min ，因为，y =x 2―3x =x―94，所以，当x ∈[―1,1]时，y min =―2，当且仅当x =1时取得等号.所以，x 0∈[―1,1]时，a >x 20―3x 0min=―2，即实数a 的取值范围是(―2,+∞)故选：C.2．（2024·浙江·模拟预测）若不等式kx 2+(k ―6)x +2>0的解为全体实数，则实数k 的取值范围是（）A ．2≤k ≤18B ．―18<k <―2C ．2<k <18D ．0<k <2【解题思路】分类讨论k =0与k ≠0两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.【解答过程】当k =0时，不等式kx 2+(k ―6)x +2>0可化为―6x +2>0，显然不合题意；当k ≠0时，因为kx 2+(k ―6)x +2>0的解为全体实数，所以k >0Δ=(k ―6)2―4k ×2<0，解得2<k <18；综上：2<k <18.故选：C.3．（2023·辽宁鞍山·二模）若对任意的x ∈(0,+∞),x 2―mx +1>0恒成立，则m 的取值范围是（）A ．(―2,2)B ．(2,+∞)C ．(―∞,2)D ．(―∞,2]【解题思路】变形给定不等式，分离参数，利用均值不等式求出最小值作答.【解答过程】∀x ∈(0,+∞),x 2―mx +1>0⇔m <x +1x ，而当x >0时，x +1x ≥=2，当且仅当x =1x ，即x =1时取等号，则m <2，所以m 的取值范围是(―∞,2).故选：C.4．（2023·宁夏中卫·二模）已知点A(1,4)在直线x +y=1(a >0,b >0)上，若关于t 的不等式a +b ≥t 2+5t +3恒成立，则实数t 的取值范围为（）A ．[―6,1]B ．[―1,6]C ．(―∞,―1]∪[6,+∞)D ．(―∞,―6]∪[1,+∞)【解题思路】将点代入直线方程，再利用基本不等式求得a +b 的最小值，从而将问题转化9≥t 2+5t +3，解之即可.【解答过程】因为点A(1,4)在直线xa +yb =1(a >0,b >0)上，所以1a +4b =1，故a +b =(a +b +=ba +4a b+5≥=9，当且仅当ba =4a b且1a +4b =1，即a =3,b =6时等号成立，因为关于t 的不等式a +b ≥t 2+5t +3恒成立，所以9≥t 2+5t +3，解得―6≤t ≤1，所以t ∈[―6,1].故选：A.5．（23-24高二上·山东潍坊·阶段练习）若两个正实数x ，y 满足1x +4y =2，且不等式x +y4<m 2―m 有解，则实数m 的取值范围是（）A ．(―1,2)B ．(―∞,―2)∪(1,+∞)C ．(―2,1)D ．(―∞,―1)∪(2,+∞)【解题思路】利用均值不等式求出最小值，根据题意列不等式求解即可.【解答过程】x +y4=+=+1+y 4x≥12(1+1+2)=2，要使得不等式x +y4<m 2―m 有解，只需m 2―m >2有解即可，解得m >2或者m <―1，故选：D.6．（23-24高一上·全国·单元测试）不等式2x 2―axy +y 2≥0，对于任意1≤x ≤2及1≤y ≤3恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．a|a ≤B ．a|a ≥C ．a|a ≤D ．a|a【解题思路】由于在不等式2x 2―axy +y 2≥0中出现两个变量，对其进行变形令t =xy 则转化为含参数t 的不等式2t 2―at +1≥0，在t ∈,2上恒成立的问题，然后进行分离参数求最值即可.【解答过程】由y ∈[1,3]，则不等式2x 2―axy +y 2≥0两边同时乘以1y 2不等式可化为：+1≥0，令t =xy ，则不等式转化为：2t 2―at +1≥0，在t ∈,2上恒成立，由2t 2―at +1≥0可得a ≤2t 2+1t即a ≤2t +，又2t +1t ≥=t =t =2t +1t 取得最小值故可得a ≤故选：A ．7．（2023·江西九江·二模）已知命题p ：∃x ∈R ，x 2+2x +2―a <0，若p 为假命题，则实数a 的取值范围为（）A ．(1,+∞)B ．[1,+∞)C ．(―∞,1)D ．(―∞,1]【解题思路】首先由p 为假命题，得出¬p 为真命题，即∀x ∈R ，x 2+2x +2―a ≥0恒成立，由Δ≤0，即可求出实数a 的取值范围．【解答过程】因为命题p ：∃x ∈R ，x 2+2x +2―a <0，所以¬p ：∀x ∈R ，x 2+2x +2―a ≥0，又因为p 为假命题，所以¬p 即∀x ∈R ，x 2+2x +2―a ≥0恒成立，所以Δ≤0，即22―4(2―a)≤0，解得a ≤1，故选：D ．8．（2024·上海黄浦·模拟预测）已知不等式ρ：ax 2+bx +c <0(a ≠0)有实数解．结论（1）：设x 1，x 2是ρ的两个解，则对于任意的x 1，x 2，不等式x 1+x 2<―ba 和x 1⋅x 2<ca 恒成立；结论（2）：设x 0是ρ的一个解，若总存在x 0，使得ax 02―bx 0+c <0，则c <0，下列说法正确的是（）A ．结论①、②都成立B ．结论①、②都不成立C ．结论①成立，结论②不成立D ．结论①不成立，结论②成立【解题思路】根据一元二次不等式与二次方程以及二次函数之间的关系，以及考虑特殊情况通过排除法确定选项.【解答过程】当a<0且Δ=b2―4ac<0时，ρ：ax2+bx+c<0(a≠0)的解为全体实数，故对任意的x1，x2，x1+x2与―ba的关系不确定，例如：ρ：―x2+2x―2<0,取x1=1，x2=4,而―ba =2，所以x1⋅x2=4>ca=2，故结论①不成立.当a<0且Δ=b2―4ac>0时，ρ：ax2+bx+c<0的解为x|x<p或x>q，其中p,q是ax2+bx+c=0的两个根.当x0<p,―x0>q此时ax02―bx0+c<0，但c值不确定，比如：ρ：―x2+x+2<0，取x0 =―3，则―x02―x0+2<0，但c>0，故结论②不成立.故选：B.二、多选题9．（2023·江苏连云港·模拟预测）若对于任意实数x，不等式(a―1)x2―2(a―1)x―4<0恒成立，则实数a可能是（）A．―2B．0C．―4D．1【解题思路】首先当a=1，不等式为―4<0恒成立，故满足题意；其次a≠1，问题变为了一元二次不等式恒成立问题，则当且仅当a―1<0Δ<0，解不等式组即可.【解答过程】当a=1时，不等式为―4<0恒成立，故满足题意；当a≠1时，要满足a―1<0Δ<0，而Δ=4(a―1)2+16(a―1)=4(―1)(a+3)，所以解得―3<a<1；综上，实数a的取值范围是(―3,1]；所以对比选项得，实数a可能是―2，0，1.故选：ABD.10．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（）A．不等式4x2―5x+1>0的解集是x|x>14或x<1B．不等式2x2―x―6≤0的解集是x|x≤―32或x≥2C．若不等式ax2+8ax+21<0恒成立，则a的取值范围是∅D．若关于x的不等式2x2+px―3<0的解集是(q,1)，则p+q的值为―12【解题思路】对于AB ，直接解一元二次不等式即可判断；对于C ，对a 分类讨论即可判断；对于D ，由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，先求得p,q ，然后即可判断.【解答过程】对于A ，4x 2―5x +1>0⇔(x ―1)(4x ―1)>0⇔x <14或x >1，故A 错误；对于B ，2x 2―x ―6≤0⇔(x ―2)(2x +3)≤0⇔―32≤x ≤2，故B 错误；若不等式ax 2+8ax +21<0恒成立，当a =0时，21<0是不可能成立的，所以只能a <0Δ=64a 2―84a <0 ，而该不等式组无解，综上，故C 正确；对于D ，由题意得q,1是一元二次方程2x 2+px ―3=0的两根，从而q ×1=―322+p ―3=0，解得p =1,q =―32，而当p =1,q =―32时，一元二次不等式2x 2+x ―3<0⇔(x ―1)(2x +3)<0⇔―32<x <1满足题意，所以p +q 的值为―12，故D 正确.故选：CD.11．（22-23高三上·河北唐山·阶段练习）若(ax -4)(x 2+b )≥0对任意x∈(-∞,0]恒成立，其中a ，b 是整数，则a +b 的可能取值为（）A ．-7B ．-5C ．-6D ．-17【解题思路】对b 分类讨论，当b≥0由(ax -4)(x 2+b )≥0可得ax -4≥0，由一次函数的图象知不存在；当b <0时，由(ax -4)(x 2+b )≥0，利用数形结合的思想可得出a ,b 的整数解.【解答过程】当b≥0时，由(ax -4)(x 2+b )≥0可得ax -4≥0对任意x∈(-∞,0]恒成立，即a≤4x 对任意x∈(-∞,0]恒成立，此时a 不存在；当b <0时，由(ax -4)(x 2+b )≥0对任意x∈(-∞,0]恒成立，可设f (x )=ax -4，g (x )=x 2+b ，作出f (x ),g (x )的图象如下，aa，b是整数可得a=-1b=-16或a=-4b=-1或a=-2b=-4所以a+b的可能取值为-17或-5或-6故选：BCD.三、填空题12．（2024·陕西渭南·模拟预测）若∀x∈R,a<x2+1，则实数a的取值范围是(―∞,1).（用区间表示）【解题思路】利用二次函数的性质计算即可.【解答过程】由题得a<(x2+1)min=1，即实数a的取值范围为(―∞,1).故答案为：(―∞,1).13．（2024·辽宁·三模）若“∃x∈(0,+∞)，使x2―ax+4<0”是假命题，则实数a的取值范围为(―∞,4].【解题思路】将问题转化为“a≤x+4x在(0,+∞)上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解.【解答过程】因为“∃x∈(0,+∞)，使x2―ax+4<0”是假命题，所以“∀x∈(0,+∞)，x2―ax+4≥0”为真命题，其等价于a≤x+4x在(0,+∞)上恒成立，又因为对勾函数f(x)=x+4x在(0,2]上单调递减，在[2,+∞)上单调递增，所以f(x)min=f(2)=4，所以a≤4，即实数a∞,4].故答案为：(―∞,4].14．（2023·河北·模拟预测）若∃x∈R，ax2+ax+a―3<0，则a的一个可取的正整数值为1（或2，3）.【解题思路】由判别式大于0求解.【解答过程】由题意Δ=a2―4a(a―3)>0，解得0<a<4，a的正整数值为1或2或3，故答案为：1（也可取2，3）．四、解答题15．（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)=|2x―a|，且f(x)≤b的解集为[―1,3]．(1)求a和b的值；(2)若f(x)≤|x―t|在[―1,0]上恒成立，求实数t的取值范围．【解题思路】（1）根据绝对值不等式的性质即可求解，（2）将问题转化为3x2+(2t―8)x+4―t2≤0在[―1,0]上恒成立，即可利用二次函数零点分布求解.【解答过程】（1）由f(x)≤b得|2x―a|≤b，易知b≥0，则―b≤2x―a≤b，解得a―b2≤x≤b+a2，由于f(x)≤b的解集为[―1,3]，则b+a2=3,a―b2=―1，解得a=2,b=4．（2）由（1）知f(x)=|2x―2|，由f(x)≤|x―t|得|2x―2|≤|x―t|，得3x2+(2t―8)x+4―t2≤0在[―1,0]上恒成立，Δ=(2t―8)2―4×3×(4―t2)=16(t―1)2>0，故t≠1．令g(x)=3x2+(2t―8)x+4―t2，若g(x)≤0在[―1,0]上恒成立，则g(―1)≤0g(0)≤0，即―t2―2t+15≤04―t2≤0，解得t≤―5或t≥3，故实数t的取值范围为(―∞,―5]∪[3,+∞)．16．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）已知函数f(x)=|x―1|+|x+2|.（1）求不等式f(x)≤5的解集；（2）若不等式f(x)≥x2―ax+1的解集包含[―1,1]，求实数a的取值范围.【解题思路】（1）分类讨论，求解不等式即可；（2）将问题转化为二次函数在区间上恒成立的问题，列出不等式组即可求得.【解答过程】（1）当x≤―2时，f(x)≤5等价于―2x―1≤5，解得x∈[―3,―2]；当―2<x<1时，f(x)≤5≤5，恒成立，解得x∈(―2,1)；当x≥1时，f(x)≤5等价于2x+1≤5，解得x∈[1,2]；综上所述，不等式的解集为[―3,2].（2）不等式f(x)≥x2―ax+1的解集包含[―1,1]，等价于f(x)≥x2―ax+1在区间[―1,1]上恒成立，也等价于x2―ax―2≤0在区间[―1,1]恒成立.则只需g(x)=x2―ax―2满足：g(―1)≤0且g(1)≤0即可.即1+a―2≤0,1―a―2≤0，解得a∈[―1,1].。

专题07 不等式丨十年高考数学真题分项汇编(解析版)(共39页)

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—不等式目录题型一：不等式的性质及其应用.......................................1题型二：解不等式...................................................4题型三：基本不等式.................................................5题型四：简单的线性规划问题.........................................7题型五：不等式的综合问题 (34)题型一：不等式的性质及其应用一、选择题1．(2019·天津·理·第6题)已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为()A ．a c b <<B．a b c<<C．b c a<<D．c a b<<【答案】A解析：5511log 2log ,0,22a a ⎛⎫=<=∴∈ ⎪⎝⎭，110.5222log 2log 50.log 5log 42b --===>=，即2b >，11520.211220.5,,12222c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==>=∴∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以a c b <<．2．(2019·全国Ⅰ·理·第3题)已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则()A ．a b c <=，0.300.20.21,(0,1)c c =<=∴∈，故a c b <<．3．(2014高考数学四川理科·第4题)若0,0a b c d >><<，则一定有()A．a b c d >B．a b c d <C．a b d c >D．a b d c<【答案】D解析：由1100c d d c <<⇒->->，又0a b >>，由不等式性质知：0a b d c ->->，所以a bd c<4．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）·第12题)设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则()A ．0a b ab +<<B．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D．0ab a b<<+【答案】B解析：一方面()0.2log 0.30,1a =∈，()2log 0.32,1b =∈--，所以0ab <0.31log 0.2a =，0.31log 2b =，所以()()0.30.311log 0.22log 0.40,1a b+=⨯=∈所以1101a b <+<即01a b ab +<<，而0ab <，所以0a b +<，所以1a ba b ab ab+<⇒+>综上可知0ab a b <+<，故选B ．5．(2014高考数学湖南理科·第8题)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A．2q p +B．()()2111-++q p C．pqD．()()111-++q p 【答案】D解析：设两年的平均增长率为x ,则有()()()2111x p q +=++1x ⇒=-,故选D．6．(2017年高考数学山东理科·第7题)若0a b >>,且1ab =,则下列不等式成立的是()A．()21log 2a ba ab b +<<+B．()21log 2a b a b a b<+<+C．()21log 2a b a a b b +<+<D．()21log 2a ba b a b +<+<【答案】B【解析】221,01,1,log ()log 1,2aba b a b ><<∴<+>=12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+,所以选B．二、填空题1．(2017年高考数学北京理科·第13题)能够说明“设,,a b c 是任意实数．若a b c >>,则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为_________________________．【答案】1,2,3---(答案不唯一)【解析】()123,1233->->--+-=->-出现矛盾,所以验证是假命题．三、多选题1．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第11题)已知a >0，b >0，且a +b =1，则()A ．2212a b +≥B ．122a b->C ．22log log 2a b +≥-D +≤【答案】ABD解析：对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为2112a b =+≤++=，所以≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确；故选：ABD 2．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第12题)已知a >0，b >0，且a +b =1，则()A ．2212a b +≥B ．122a b->C ．22log log 2a b +≥-D +≤【答案】ABD解析：对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为2112a b =+≤++=，所以≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确；故选：ABD一、选择题1．(2015高考数学北京理科·第7题)如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是()()A．{}|10x x -<≤B．{}|11x x -≤≤C．{}|11x x -<≤D．{}|12x x -<≤【答案】C解析：如图所示，把函数2log y x =的图象向左平移一个单位得到2log (1)y x =+的图象1x =时两图象相交，不等式的解为11x -<≤，用集合表示解集，故选C．二、填空题1．(2015高考数学江苏文理·第7题)不等式422<-xx的解集为_______．【答案】(1,2).-解析：由题意得：2212x x x -<⇒-<<，解集为(1,2).-2．(2017年高考数学上海(文理科)·第7题)不等式11x x->的解集为________．【答案】(),0-∞【解析】111100x x x->⇒<⇒<,解集为(,0)-∞．一、填空题1．(2021高考天津·第13题)若0 , 0a b >>，则21a b a b ++的最小值为____________．【答案】解析： 0 , 0a b >>，212a b b a b b b ∴++≥+=+≥=，当且仅当21a a b =且2b b=，即a b ==所以21a b ab ++的最小值为故答案为：．2．(2020天津高考·第14题)已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________．【答案】4【解析】0,0,0a b a b >>∴+> ，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b∴++=++++842a b a b +=+≥=+，当且仅当a b +=4时取等号，结合1ab =,解得22a b =-=，或22a b ==时，等号成立．故答案为：43．(2020江苏高考·第12题)已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．【答案】45【解析】22451x y y += ,0y ∴≠且42215y x y -=42222221144+5555y y x y y y y -∴+=+=≥=，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号．22x y ∴+的最小值为45．故答案为：45．4．(2019·天津·理·第13题)设0,0,25x y x y >>+=，则的最小值为．【答案】解析：524x y =+≥，=====即31xy=⎧⎨=⎩或232xy=⎧⎪⎨=⎪⎩时等号成立，因为2538<<5．(2019·上海·第7题)若x y R+∈、，且123yx+=，则yx的最大值为________.【答案】98【解析】法一：yxyx212213⋅≥+=，∴892232=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤xy；法二：由yx231-=，yyyyxy32)23(2+-=⋅-=(230<<y)，求二次最值89max=⎪⎭⎫⎝⎛xy. 6．(2019·江苏·第10题)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线()4y x xx=+>0上一动点，则点P到直线x y+=的距离最小值是______.【答案】4【解析】法1：由已知，可设4(,0P x x xx+>，，所以42+4xxd===.当且仅当42xx=，即x=时取等号，故点P到直线的距离的最小值为4.法2：距离最小时，24'11yx-=-=，则x=，所以P,所以最小值为4.7．(2018年高考数学江苏卷·第13题)在ABC△中，角,,A B C所对的边分别为,,a b c，120ABC∠=︒，ABC∠的平分线交AC于点D，且1BD=，则4a c+的最小值为．【答案】9解析：由题意可知，ABC ABD BCDS S S∆∆∆=+，由角平分线性质和三角形面积公式得，111sin1201sin60+1sin60222ac a c=⨯⨯⨯⨯，化简得+ac a c=，111a c+=，因此1144(4)()5c aa c a ca c a c+=++=++≥，当且仅当=2=3c a时取等号，所以4a c+的最小值为9．8．(2018年高考数学天津(理)·第13题)已知,a b∈R，且360a b-+=，则128ab+的最小值为．【答案】14解析：由360a b -+=，得36a b =-，所以3633112222284ab b b ---+=+=⨯=≥，当且仅当363b b -=-，即1,3b a =-=-时等号成立，故128ab +的最小值为14．9．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x =吨．【答案】20解：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，则需要购买400x次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，一年的总运费与总存储费用之和为40044x x ⋅+万元，40044x x⋅+≥160，当16004x x=即x =20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小。

高中基本不等式的十一类经典题型

高中基本不等式的十一类经典题型类型一：基本不等式的直接运用类型二：分式函数利用基本不等式求最值类型三：分式与整式乘积构造的基本不等式类型四：1的妙用类型五：利用整式中和与积的关系来求最值类型六：两次运用基本不等式的题型类型七：负数的基本不等式类型八：化成单变量形式☆类型九：与函数相结合类型十：判别式法类型十一：构造高考真题10.已知512a -=，函数()x f x a =，若实数m 、n 满足()()f m f n >，则m 、n 的大小关系为▲.[解析] 考查指数函数的单调性. 51(0,1)2a -=∈，函数()x f x a =在R 上递减.由()()f m f n >得：m<n.类型一、基本不等式的直接运用1 （1）求(4)(04)y x x x =-<<的最大值，并求取时的x 的值（改)4(2x x y -=）（2）求)20(42<<-=x x x y 的最大值，并求取最大值时x 的值（3）求)20(42<<-+=x x x y 的最大值，并求取最大值时x 的值2 ,141,0,0=+>>yx y x 则xy 的最小值是 3 ,141,0,0=+>>yx y x 则y x +的最小值是 4已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值 5.如果函数f （x ）=（m ﹣2）x 2+（n ﹣8）x+1（m ≥0，n ≥0）在区间[]上单调递减，则mn 的最大值为 18 ．【解答】解：∵函数f （x ）=（m ﹣2）x 2+（n ﹣8）x+1（m ≥0，n ≥0）在区间[，2]上单调递减，∴f ′（x ）≤0，即（m ﹣2）x+n ﹣8≤0在[，2]上恒成立．而y=（m ﹣2）x+n ﹣8是一次函数，在[，2]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f ′（）≤0，f ′（2）≤0即可．即，由②得m ≤（12﹣n ），∴mn ≤n （12﹣n ）≤=18，当且仅当m=3，n=6时取得最大值，经检验m=3，n=6满足①和②．∴mn 的最大值为18．故答案为：18．类型二、分式函数利用基本不等式求最值1设1->x ，求函数1)2)(5(+++=x x x y 的最值 2 已知1x >-，求2311x x y x -+=+的最值及相应的x 的值 3 不等式1322<+-x x 的解集为类型三、分式与整式乘积构造的基本不等式1 若c b a >>，求使11k a b b c a c+≥---恒成立的k 的最大值. 2 若0,0>>b a 且11121=+++b b a ，求b a 2+的最小值 3 函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________．4. 设,1,1,,>>∈b a R y x 若,4,22=+==b a b a x x 则yx 12+的最大值为 5. 求)490(4911<<-+x x x 的最小值 6. 已知0,0x y >>且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值围。

(完整版)数学不等式高考真题

1.(2018•卷Ⅱ）设函数(1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围2。

（2013•辽宁)已知函数f（x）=|x﹣a|，其中a＞1(1）当a=2时,求不等式f(x)≥4﹣｜x﹣4｜的解集；(2)已知关于x的不等式｜f(2x+a)﹣2f(x）|≤2的解集｛x｜1≤x≤2}，求a的值．3.（2017•新课标Ⅲ)［选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=｜x+1|﹣|x﹣2｜．（Ⅰ）求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空,求m的取值范围．4.（2017•新课标Ⅱ)［选修4-5：不等式选讲]已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明：（Ⅰ)（a+b）（a5+b5)≥4；(Ⅱ）a+b≤2．5。

（2017•新课标Ⅰ卷）[选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=﹣x2+ax+4,g（x）=|x+1｜+|x﹣1｜．（10分）（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x)的解集;(2）若不等式f(x）≥g（x）的解集包含［﹣1，1］,求a的取值范围．6.(2017•新课标Ⅱ)［选修4—5：不等式选讲］已知a＞0，b＞0，a3+b3=2,证明：（Ⅰ）(a+b）(a5+b5）≥4；（Ⅱ）a+b≤2．7。

（2018•卷Ⅰ）已知（1）当时，求不等式的解集(2)若时，不等式成立，求的取值范围8.（2018•卷Ⅰ）已知f（x)=|x+1|—|ax-1｜(1)当a=1时,求不等式f(x)〉1的解集（2）若x∈（0，1）时不等式f(x）〉x成立,求a的取值范围9。

（2017•新课标Ⅲ)[选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2｜．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．10。

（2014•新课标II）设函数f（x)=｜x+ |+｜x﹣a|(a＞0)．（1）证明：f（x）≥2;（2）若f(3）＜5，求a的取值范围．11。