已知数列{an}

已知数列{an}的首项为a（a≠0），前n项和为Sn，且有Sn+1=tSn+a （t≠0），bn=Sn+1．
已知数列{a n}的首项为a（a≠0），前n项和为S n，且有S n+1=tS n+a（t≠0），b n=S n+1．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）当t=1时，若对任意n∈N*，都有|b n|≥|b5|，求a的取值范围；
（3）当t≠1时，若c n=2+
n
i＝1
b i，求能够使数列{
c n}为等比数列的所有数对（a，t）．
解题思路：（1）由数列递推式求得首项，得到a n+1=a n t，由此说明数列是等比数列，由等比数列的通项公式得答案；
（2）当t=1时，S n=na，b n=na+1，b n+1-b n=a，得到{b n}为等差数列．当a＞0时，{b n}为单调递增数列，且对任意n∈N*，a n＞0恒成立，不合题意．当a＜0时，{b n}为单调递减数列，由题意知得b4＞0，b6＜0，结合|b n|≥|b5|去绝对值后求解a的取值范围；
（3）求出数列{a n}的前n项和S n，代入b n=S n+1求得b n，进一步代入c n=2+
n
i＝1
b i，由等比数列通项的特点列式求得a，t的值．
（1）当n=1时，由S2=tS1+a，解得a2=at，
当n≥2时，S n=tS n-1+a，
∴S n+1-S n=t（S n-S n-1），即a n+1=a n t，
又∵a1=a≠0，
综上有
an+1
an＝t(n∈N*)，
∴{a n}是首项为a，公比为的等比数列，
∴an＝atn−1；
（2）当t=1时，S n=na，b n=na+1，b n+1-b n=a，此时{b n}为等差数列；
当a＞0时，{b n}为单调递增数列，且对任意n∈N*，a n＞0恒成立，不合题意；当a＜0时，{b n}为单调递减数列，由题意知得b4＞0，b6＜0，且有
b4≥|b5|
−b6≥|b5|，解得−
2
9≤a≤−
2
11．
综上a的取值范围是[−
2
9，−
2
11]；
（3）∵t≠1，bn＝1+
a
1−t−
atn
1−t，
∴cn＝2+(1+
a
1−t)n−
a
1−t(t+t2+…+tn)
=2+(1+
a
1−t)n−
a(t−tn+1)
(1−t)2
=2−
at
(1−t)2+
1−t+a
1−tn+
atn+1
(1−t)2，
由题设知{c n}为等比数列，
∴有
点评：
本题考点：数列递推式；等比关系的确定．
考点点评：本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了学生的计算能力，是中档题．。