二阶偏微分方程模型

(
x,
t
)dx
u
1
2
O
T1
T2
x1
x2
x
图3
外 设u方向作用在弦上的外力线密度为F ( x,t)，则此段
力
分 弦所受外力为：
析
x2 F ( x, t )dx
x1
在任意时间段(t1 , t2 )中内力和外力产生的冲量为:
t2 t1
T
x2 x1
uxxdx
x2 x1
F
(
x
,
t
)dx
dt
t时刻的动量:
T
(
x1
)
sin
1
T
u( x1 x
,
t
)
在 x2处的右张力在 u方向的投影为：
分 析
T ( x2 )sin 2
T u( x2 , t ) x
设u对 x 二次连续可微, 则弦 x1 x2 上张力的合力在u方
向的投影为:
T ux ( x2 , t ) ux ( x1 , t ) T
x2 x1
u
xx
T ( x1 )cos 1 T ( x1 )
向 受
在 x2处的右张力在 x 方向的投影为：
力 分
T ( x2 )cos 2 T ( x2 )
析 由于各点没有左右偏移，故合力T ( x2 ) T ( x1 ) 0
即 T(x) T
u
1
2
O
T1
T2
x1
x2
x
图3
垂 直 方 向 受 力
在 x1处的左张力在 u方向的投影为：
x2 x1
ut
(
x
,
t
)dx
从t1时刻到t2时刻动量的增量:
x2 x1
ut
(
x,
t2
)
ut
(
x, t1
)
dx
x2 x1
t2 t1
utt
(
x
,
t
)dt
dx
由物理学定律, 冲量应等于动量的增量，所以:
t2 t1
T
x2 x1
u xx dx
x2 x1
F ( x, t)dxdt
x2 x1
x1
x2
2
x
T2
图1
三、数学推导
x 轴——弦的平衡位置；u 轴——弦的振动方向。
u( x,t)——位于 x 处的弦在 t 时刻离开平衡位置的位移；
T( x, t)——位于 x 处的弦在 t 时刻的张力大小；
微小横振动： u 1，因此u 的高阶项可忽略不计。
x
x
s
1
(
u x
)2
x
x
由Hooke定律 T ( x, t ) T ( x)
c
c
u a 2u f t
若物体内部无热源，则 f 0 ，得齐次热传导方程
u a 2u t
二、双曲型方程模型
设有一沿水平直线绷紧的弦，以某种方法激发后在垂直平面 内作微小横振动。求弦上各点的运动规律。
一、基本假设：
1、细 弦的截面直径与弦的长度相比可忽略，因此可视为一根 曲线；
2、均匀 线密度是常数； 3、柔软 变形时不抵抗弯曲，弦上各质点间的张力与弦的切线
Q1 c[u( x, y, z,t2 ) u( x, y, z,t1 )]dxdydz
c
t2 t1
u(
x, y t
,
z
,
t
)
dt
dxdydz
t2 t1
c
u(
x, y, t
z,
t
)dxdydzdt
②由 Fourier 热传导定律 ：热流向量 q与温度的梯度
成正比，即 q ku k(u , u , u) x y z
f (x,t)
(1)
2u t 2
a
2
2u x 2
f (x,t)
(1)
f(x,t) 表示时刻t 在点x 处, 单位质量的弦所受外力。
方向一致（没有法向分量）；
4、有弹性 弦的伸长形变与张力服从胡克定律。
二、基本定律：
牛顿第二定律：
Baidu Nhomakorabea
F (t) m a m dv dt
作用在物体上的力＝该物体的质量×该物体的加速度
在任一时段内：
t2 t1
F
(t )dt
mv(t2
)
mv(t1
)
作用在物体上的冲量＝该物体的动量的增量
u
O
T1
1
Q3
t2 dt
t1
F ( x, y, z,t)dxdydz
由能量守恒律，得：
t2 dt c u dxdydz t2 dt ku F( x, y, z, t)dxdydz
t1
t
t1
由[t1 , t2 ]及的任意性知： c u ku F ( x, y, z,t ) t
记a 2 k ， f F ，得三维热传导方程
Q1 c( x, y, z)( x, y, z)[u( x, y, z, t2 )
u( x, y, z, t1 )]dxdydz
其中c( x, y, z)，( x, y, z)分别为点( x, y, z)处的比热与质 量体密度。由于考虑的是均匀、各向同性的物体，因此 c( x, y, z) c(常数)，( x, y, z) (常数)。
在G 内任取一小块区域 ，其边界为闭曲面 。
热量 － 热量 ＝ 通过边界的流入量 ＋ 热源的生成量
t=t2
t=t1
t1≤ t ≤t2
t1≤ t ≤t2
Q1
Q2
Q3
数学推导：
①在时间间隔[t1 , t2 ]内，物体的温度由u( x, y, z, t1 )变 到u( x, y, z, t2 )所需要的热量为Q1：
tan ux sin ux
cos
1
1
1 tan2 1 ux2
1
1 2
u
2 x
1
u
M0
T ( x0 , t )
0
O x0 图2
x
下面推导弦的位移 u( x, t )所满足的微分方程。为此，任意截取一段
弦 [ x1 , x2 ]，并考察受力情况。（见图 3）
水 平 方
在 x1处的左张力在 x 方向的投影为：
t2 t1
utt
dt
dx
i.e.
t2 t1
x2 x1
[Tuxx
F( x, t)]dxdt
t2 t1
x2 x1
u
tt
dxdt
由t1，t2，x1，x2的任意性得:
T uxx F ( x, t ) utt
记 a2 T , f (x,t) F(x,t), 则有 :
2u t 2
a2
2u x 2
二阶偏微分方程模型
一、抛物型方程模型
物理模型：在三维空间中，考虑一均匀、各向同性 的物体 G（其边界为分片光滑曲面 ），假定其内部有 热源，并且与周围介质有热交换。研究物体内部温度的 分布和变化。
物理定律：物体内部由于各部分温度不同，产生热 量的传递。热传导过程中遵循 能量守恒定律，即，物 体内部热量的增加等于通过物体的边界流入的热量与 由物体内部的热源所产生的热量的总和：
负号表明热量是由高温向低温流动，
q
n
k 是导热系数，这里为常数。
设 n为 的单位外法向量，则
Q2
t2 dt q nds
t1
t2 dt ku nds
t1
t2 t1
dt
k
nuds
t2 dt ku dxdydz t2 dt kudxdydz
t1
t1
③ 设物体内部热源密度为 F ( x, y, z,t)，则