高数期末考试题
高数期末考试题及答案
高数期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=\( e^x - x^2 \)在点x=0处的导数为：A. 1B. -1C. 0D. 22. 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则下列说法正确的是：A. f(x)在[a,b]上单调递增B. f(x)在[a,b]上存在极值点C. f(x)在[a,b]上一定有最大值和最小值D. f(x)在[a,b]上无界3. 曲线y=\( x^3 + 2x^2 - 5x + 7 \)在点(1, 9)处的切线斜率为：A. 12B. 10C. 8D. 64. 定积分∫[0,1] x^2 dx的值为：A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 15. 若f(x)=\( \ln(x) \)，则f'(1)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 26. 微分方程dy/dx + 2y = 4x的通解为：A. y = 2x^2 + CB. y = x^2 + CC. y = 2x - CD. y = x + C7. 级数∑[1,∞] \( (1/n^2) \)是：A. 收敛B. 发散C. 条件收敛D. 绝对收敛8. 若函数f(x)在点x=a处可导，则f(x)在该点处的泰勒展开式至少包含：A. 常数项B. 一次项C. 二次项D. 高次项9. 函数f(x)=\( x^2 \sin(1/x) \)在x=0处的极限为：A. 0B. 1C. ∞D. 不存在10. 函数f(x)=\( x^3 - 3x^2 + 2 \)的拐点为：A. x=1B. x=2C. x=0D. x=3二、填空题（每题2分，共10分）11. 若f(x)=\( x^3 \)，则f''(1)=________。
12. 函数f(x)=\( \sin(x) \)的原函数为________。
13. 定积分∫[1,e] \( e^x \)dx的值为________。
14. 微分方程\( y'' - 4y' + 4y = 0 \)的特征方程为________。
高数期末考试题及答案解析
高数期末考试题及答案解析一、选择题（每题2分，共10分）1. 函数 \( f(x) = \sin x + 2x^2 \) 在区间 \( [0,\frac{\pi}{2}] \) 上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 先递增后递减D. 先递减后递增答案解析：首先求导数 \( f'(x) = \cos x + 4x \)。
在区间\( [0, \frac{\pi}{2}] \) 上，\( \cos x \) 始终大于等于0，而\( 4x \) 也是非负的，因此 \( f'(x) \geq 0 \)，说明函数 \( f(x) \) 在该区间上单调递增。
所以答案是 A。
2. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 \)，则下列哪个选项是正确的？A. \( \lim_{x \to 0} f(x) = 0 \)B. \( \lim_{x \to 0} g(x) = 0 \)C. \( \lim_{x \to 0} f(x) = 1 \)D. \( \lim_{x \to 0} g(x) = 1 \)答案解析：根据极限的性质，如果 \( \lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)} = 0 \)，则 \( g(x) \) 不能趋向于0，否则分母为0，极限不存在。
同时，\( f(x) \) 趋向于0。
因此，选项 A 是正确的。
3. 曲线 \( y = x^3 - 3x \) 在点 \( (1, -2) \) 处的切线斜率是：A. 0B. 2C. -2D. 4答案解析：求导数 \( y' = 3x^2 - 3 \)，将 \( x = 1 \) 代入得到 \( y' = 0 \)。
因此，曲线在点 \( (1, -2) \) 处的切线斜率为 0，答案是 A。
4. 若 \( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \)，则\( \int_{0}^{1} x^3 dx \) 的值是：A. \( \frac{1}{4} \)B. \( \frac{1}{3} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \frac{2}{3} \)答案解析：根据积分的基本公式，\( \int x^n dx =\frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)，所以 \( \int_{0}^{1} x^3 dx =\left[\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} \)。
高等数学期末试题(含答案)
高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。
选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。
3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。
4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。
5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。
二。
填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。
2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。
3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。
4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。
高数期末考试试题
四、1、a g ( 0 ) ； x[ g ( x ) sin x ] [ g ( x ) cos x ] ,x 0 2 x 2、 f ( x ) . 1 ( g ( 0) 1), x 0 2 (n) f (1) ( 1) n 2 ( n 2 )! . 五、 六、2.09. 20 8.16 (公里/小时). 七、 6
三、证明 x e t sin t ， y e t cos t 满足方程 d2y dy 2 ( x y) 2( x y) . 2 dx dx g ( x ) cos x ,x 0 四、已知 f ( x ) 其中g ( x ) 有二阶连 x a , x 0 续导数，且 g ( 0) 1 ， 1、确定 a 的值，使 f ( x ) 在x 0 点连续； 2、求 f ( x ) y x ln x , 求 f ( n ) (1) . 五、设 3 六、计算 9.02 的近似值 .
6、已知函数 f ( x ) 具有任意阶导数，且 2 f ( x ) f ( x ) ,则当n 为大于 2 的正整数时， f ( x ) 的 n 阶导数 f ( n ) ( x ) 是（ ） n1 n1 （A）n![ f ( x )] ； （B） n[ f ( x )] ； [ f ( x )] 2 n ； n![ f ( x )] 2 n . （C） （D） t 7、若函数 x x (t ) , y y (t ) 对 可导且x ( t ) 0 ,又 x x (t ) 的反函数存在且可导，则 dy =（ ） dx y ( t ) y ( t ) （A） ； （B） ； x( t ) x ( t ) y ( t ) y( t ) （C） ； （D） . x ( t ) x ( t )
高数期末考试题大题及答案
高数期末考试题大题及答案一、极限题目1：求函数 \( f(x) = \frac{3x^2 - x}{x^2 + 2} \) 在 \( x \to \infty \) 时的极限。
解答：首先，我们可以通过分子分母同时除以 \( x^2 \) 来简化函数：\[ f(x) = \frac{3 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x^2}} \]当 \( x \to \infty \) 时，\( \frac{1}{x} \) 和\( \frac{2}{x^2} \) 都趋向于 0，所以：\[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{3 - 0}{1 + 0} = 3 \]二、导数与微分题目2：求函数 \( g(x) = x^3 - 2x^2 + x \) 的导数。
解答：使用幂函数的导数规则，我们有：\[ g'(x) = 3x^2 - 4x + 1 \]三、积分题目3：计算定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \)。
解答：首先，我们需要找到 \( x^2 \) 的原函数，即：\[ F(x) = \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C \]然后，我们可以计算定积分：\[ \int_{0}^{1} x^2 dx = F(1) - F(0) = \frac{1^3}{3} -\frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \]四、无穷级数题目4：判断级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \) 的收敛性。
解答：该级数可以重写为：\[ \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} -\frac{1}{n+1}\right) \]这是一个交错级数，我们可以通过比较测试来判断其收敛性。
由于每一项都是正的且递减，我们可以得出结论，该级数是收敛的。
高数期末考试卷和答案
高数期末考试卷和答案**高数期末考试卷**一、选择题（每题4分，共40分）1. 极限的定义中，当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于一个确定的数值，这个数值称为该点的（）。
A. 函数值B. 极限C. 导数D. 积分答案：B2. 函数f(x)=x^2在x=0处的导数为（）。
A. 0B. 1C. 2D. -1答案：C3. 以下哪个函数是奇函数？（）A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x答案：B4. 以下哪个函数是偶函数？（）A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x答案：A5. 以下哪个选项是正确的不定积分？（）A. ∫x^2 dx = x^3 + CB. ∫x^2 dx = 2x^3 + CC. ∫x^2 dx = 3x^3 + CD. ∫x^2 dx = x^3/3 + C答案：D6. 以下哪个选项是正确的定积分？（）A. ∫[0,1] x^2 dx = 1/3B. ∫[0,1] x^2 dx = 1/2C. ∫[0,1] x^2 dx = 2/3D. ∫[0,1] x^2 dx = 1/4答案：A7. 以下哪个选项是正确的二重积分？（）A. ∬[0,1] x^2 dy dx = 1/3B. ∬[0,1] x^2 dy dx = 1/2C. ∬[0,1] x^2 dy dx = 2/3D. ∬[0,1] x^2 dy dx = 1/4答案：A8. 以下哪个选项是正确的多元函数偏导数？（）A. ∂f/∂x = 2xB. ∂f/∂y = 2yC. ∂f/∂z = 2zD. ∂f/∂x = 2x + 2y答案：A9. 以下哪个选项是正确的多元函数全微分？（）A. df = 2x dx + 2y dyB. df = 2x dx + 2y dy + 2z dzC. df = x dx + y dyD. df = x dx + y dy + z dz答案：A10. 以下哪个选项是正确的泰勒展开？（）A. e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. e^x = 1 + x + x^2 + x^3 + ...C. e^x = 1 + x + x^2/3! + x^3/4! + ...D. e^x = 1 + x + x^2/2 + x^3/3 + ...答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = sin(x)在x=0处的导数为______。
大一高数b下期末考试题及答案
大一高数b下期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+c在x=2处的导数是（）。
A. 0B. 2C. 4D. 8答案：B2. 极限lim(x→0)(sin(x)/x)的值是（）。
A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B3. 曲线y=x^3-3x^2+2在点(1,0)处的切线斜率是（）。
A. 0B. 1C. -2D. 2答案：C4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是（）。
A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=ln(x)的定义域是（）。
答案：(0, +∞)2. 微分方程dy/dx + y = e^x的通解是（）。
答案：y = Ce^(-x) + e^x3. 曲线y=x^3-6x^2+9x+1在x=3处的切线方程是（）。
答案：y = 18x - 424. 定积分∫(0,2) (x^2-4x+4) dx的值是（）。
答案：4三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2的极值点。
答案：首先求导数f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0，解得x=0或x=2。
当x<0时，f'(x)>0；当0<x<2时，f'(x)<0；当x>2时，f'(x)>0。
因此，x=0是极大值点，x=2是极小值点。
2. 求极限lim(x→∞) (x^2-1)/(x^2+x+1)。
答案：lim(x→∞) (x^2-1)/(x^2+x+1) = lim(x→∞) (1-1/x^2)/(1+1/x+1/x^2) = 1/1 = 13. 求曲线y=x^3-3x^2+2在点(1,0)处的切线方程。
已知切线斜率k=f'(1)=-2，切点为(1,0)。
因此，切线方程为y-0=-2(x-1)，即y=-2x+2。
4. 求定积分∫(0,2) (x^2-4x+4) dx。
高数期末考试题及答案大全
高数期末考试题及答案大全试题一：极限的概念与计算问题：计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
答案：根据洛必达法则，当分子分母同时趋向于0时，可以对分子分母同时求导，得到：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cosx}{1} = \cos(0) = 1.\]试题二：导数的应用问题：设函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\)，求其在 \(x=1\) 处的切线方程。
答案：首先求导数 \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 2\)。
在 \(x=1\) 处，导数值为 \(f'(1) = -1\)，函数值为 \(f(1) = 0\)。
切线方程为 \(y - 0 = -1(x - 1)\)，即 \(y = -x + 1\)。
试题三：不定积分的计算问题：计算不定积分 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx\)。
答案：这是一个基本的三角换元积分问题，令 \(x = \tan(\theta)\)，\(dx = \sec^2(\theta) d\theta\)。
则 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \int \frac{1}{\tan^2(\theta) + 1} \sec^2(\theta) d\theta = \int \cos^2(\theta) d\theta\)。
利用二倍角公式，\(\cos^2(\theta) = \frac{1 +\cos(2\theta)}{2}\)。
积分变为 \(\int \frac{1}{2} d\theta + \frac{1}{2} \int\cos(2\theta) d\theta = \frac{\theta}{2} +\frac{\sin(2\theta)}{4} + C\)。
高数一期末考试题及答案
高数一期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个选项是函数f(x)=x^2+3x+2的导数？A. 2x+3B. x^2+3C. 2x+6D. x+2答案：A2. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是多少？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 以下哪个选项是函数f(x)=e^x的不定积分？A. e^x + CB. e^xC. ln(e^x) + CD. x*e^x + C答案：A4. 以下哪个选项是函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点？A. x=1B. x=2C. x=3D. x=4答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 求定积分∫(0 to 1) x^2 dx的值是______。
答案：1/36. 函数y=x^3-3x+2的拐点是x=______。
答案：07. 函数f(x)=ln(x)在x=1处的切线斜率是______。
答案：18. 函数f(x)=x^2+2x+1的最小值是______。
答案：0三、解答题（每题10分，共60分）9. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调区间。
答案：单调增区间为(3, +∞)和(-∞, 1)；单调减区间为(1, 3)。
10. 求函数f(x)=x^2-4x+3的极值。
答案：当x=2时，函数取得极小值f(2)=-1。
11. 求函数f(x)=x^3-3x+2在x=1处的切线方程。
答案：切线方程为y=5x-2。
12. 求定积分∫(0 to 2) (x^2-2x+1) dx的值。
答案：413. 求函数f(x)=e^x-x-1的零点。
答案：函数f(x)=e^x-x-1的零点为x=0。
14. 求函数f(x)=ln(x)+x^2在x=1处的切线方程。
答案：切线方程为y=2x-1。
四、证明题（每题10分，共20分）15. 证明：函数f(x)=x^3+3x^2-2x+1在(-∞, -2)上是单调递减的。
答案：首先求导f'(x)=3x^2+6x-2，令f'(x)<0，解得x<-2，因此函数在(-∞, -2)上单调递减。
安农大高数期末考试卷
安农大高数期末考试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3在区间[0,6]上的最大值是：A. 3B. 6C. 9D. 122. 已知等差数列的首项a1=2，公差d=3，求第10项的值：A. 37B. 32C. 29D. 253. 曲线y=x^3-6x^2+9x在x=2处的切线斜率是：A. -6B. 0C. 12D. 184. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 15. 圆x^2+y^2=r^2的面积是：A. πrB. 2πrC. πr^2D. 2πr^26. 函数y=sin(x)的周期是：A. 2πB. πC. 1D. 27. 已知级数∑(1/n^2) (n从1到∞)是收敛的，那么它的和是：A. π^2/6B. eC. 1D. 28. 微分方程dy/dx + 2y = 4x的通解是：A. y = 2x^2 + CB. y = x^2 + CC. y = 2x + CD. y = x + C9. 函数f(x)=e^x的n阶导数是：A. n!e^xB. e^xC. n*e^xD. (n-1)!e^x10. 已知函数f(x)=ln(x)，求f'(1)的值：A. 0B. 1C. -1D. 2二、填空题（每题2分，共20分）11. 若f(x)=x^3-2x^2+x-2，则f'(x)=______。
12. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线方程是______。
13. 函数y=cos(x)的二阶导数是______。
14. 定积分∫(1,e) e^x dx的值是______。
15. 圆心在原点，半径为1的圆的方程是______。
16. 函数y=x^2+3x+2的极小值点是______。
17. 微分方程dy/dx - y = 0的通解是______。
18. 函数f(x)=x^3的泰勒级数展开到x^2项是______。
19. 函数y=ln(x)在x=e处的导数值是______。
高数期末总复习题库
高数期末总复习题库一、选择题1. 函数f(x) = x^2 + 3x - 2在区间[-5, 2]上的最大值是：A. 0B. 9C. 13D. 42. 已知函数f(x) = sin(x) + cos(x)，求f'(x)：A. cos(x) - sin(x)B. sin(x) + cos(x)C. sin(x) - cos(x)D. -sin(x) + cos(x)3. 曲线y = x^3 - 2x^2 + x在点(1, 0)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. -2D. 2二、填空题4. 函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x + 1的二阶导数f''(x)是________。
5. 若f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(2) = ________。
6. 已知∫(0, 1) x^2 dx = 1/3，求∫(0, 1) x^3 dx = ________。
三、计算题7. 求函数f(x) = 3x^4 - 2x^3 + x^2 - 5x + 6在区间[-1, 2]上的定积分。
8. 求函数y = ln(x)的原函数F(x)。
9. 计算极限lim (x→0) [(sin(x) - x)/x^3]。
四、证明题10. 证明：对于任意正整数n，有e^n > n!。
11. 证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)f(b) < 0，则至少存在一点c∈(a, b)使得f(c) = 0。
五、应用题12. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x) = 2x^2 + 300x + 5000，其中x为生产数量。
求该产品的平均成本函数，并求出当生产数量为多少时，平均成本最低。
13. 一个物体从静止开始下落，受到的空气阻力与速度成正比，即f(v) = kv，其中k为常数。
求物体下落的速度随时间的变化规律。
六、综合题14. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求其所有极值点，并讨论其单调性。
高数期末考试题及答案
高数期末考试题及答案1. 单选题：1) 高数是一门基础学科。
2) 导数的几何意义是函数在某一点的斜率。
3) 定积分是求曲线下某一段的面积。
4) 曲线的凸性由函数的二阶导数决定。
答案：ABCD2. 多选题：1) 函数y = √x在x = 0处不可导的原因有：a) 函数不连续；b) 函数在x = 0处有间断点；c) 函数在x = 0处的左、右导数不等；d) 函数在x = 0处的导数不存在。
2) 函数y = e^x在区间(-∞, +∞)上是增函数的条件是：a) 函数在该区间内连续；b) 函数在该区间内为正；c) 函数的导数在该区间内恒大于0；d) 函数的导数在该区间内恒小于0。
答案：1) CD；2) C3. 简答题：请详细解释导数的定义，并给出一个实际例子。
解答：导数的定义是一个函数在某一点处的变化率或斜率。
数学上，对函数y = f(x)求导数，表示为f'(x)或dy/dx。
导数可以用于描述曲线的斜率，也可用于求函数的最大值、最小值等。
例如，一个移动的物体的位置随时间的变化可以用函数s(t)表示。
速度是位置对时间的导数，即v(t) = ds(t)/dt。
假设某物体的位置函数为s(t) = 2t^3 + t^2 - 3t + 1，则速度函数为v(t) = 6t^2 + 2t - 3。
4. 计算题：计算下列定积分：1) ∫(x - 2) dx，积分区间为[-1, 3]。
2) ∫(2e^x + 3x^2) dx，积分区间为[0, 2]。
3) ∫(2cos(x) - e^x) dx，积分区间为[0, π]。
解答：1) ∫(x - 2) dx = (1/2)x^2 - 2x + C （C为常数）在积分区间[-1, 3]上计算，得到：∫[-1, 3](x - 2) dx = [(1/2)(3)^2 - 2(3)] - [(1/2)(-1)^2 - 2(-1)]= (9/2 - 6) - (1/2 + 2)= -11/22) ∫(2e^x + 3x^2) dx = 2∫e^x dx + 3∫x^2 dx= 2e^x + x^3 + C （C为常数）在积分区间[0, 2]上计算，得到：∫[0, 2](2e^x + 3x^2) dx = [2e^2 + 2^3] - [2e^0 + 0^3]= 2e^2 + 8 - 2 - 1= 2e^2 + 53) ∫(2cos(x) - e^x) dx = 2∫cos(x) dx - ∫e^x dx= 2sin(x) - e^x + C （C为常数）在积分区间[0, π]上计算，得到：∫[0, π](2cos(x) - e^x) dx = [2sin(π) - e^π] - [2sin(0) - e^0]= 0 - 1 - 0 + 1= 0以上就是高数期末考试题及答案，希望对你的学习有所帮助。
高等数学期末试卷及答案
高等数学测试题一一、单项选择题(每小题4分，满分20分)1．曲面22214x y z ++=在点(1,2,3)处的切平面方程是（ ）A.123123x y z ---==B.23140x y z ++-=C.123213x y z ---==D.2340x y z ++-= 2．设函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，(,)z f xy y =，则2z x y ∂∂∂=（ ）A.111f xyf '''+ B.112f yf '''+ C.1211yf xyf ''''+ D.112f xyf yf '''''++ 3．设空间区域2222222212:,0;:,0,0,0x y z R z x y z R x y z Ω++≤≥Ω++≤≥≥≥，则下列等式（ ）成立.A.12d 4d x v x v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ B.12d 4d y v y v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰C.12d 4d z v z v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ D.12d 4d xyz v xyz v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰4．下列级数中，绝对收敛的级数是（ ）A.11(1)nn n ∞=-∑ B.2311(1)n n n ∞=-∑C.1(1)nn ∞=-∑11(1)ln(1)n n n∞=-+∑5．已知幂级数0(1)n n n a x ∞=-∑在2x =-处收敛，在4x =处发散，则幂级数0(1)n n n a x ∞=+∑的收敛域为（ ）A.[4,2)-B.[3,3)-C.[2,4)-D.[1,5)- 二、填空题(每小题4分，满分20分)6．通过曲线22222241x y z x y z ⎧++=⎨--=⎩且母线平行于z 轴的柱面方程为 ．7．设函数2(,,)e x f x y z yz =，其中(,)z z x y =是由0x y z xyz +++=确定的隐函数，则(0,1,1)x f '-= ．8．微分方程230y y y '''+-=的通解为 ． 9．交换积分次序1100d (,)d xx f x y y -=⎰⎰ ．10．级数1(21)nn x n ∞=+∑的收敛半径R = ．三、计算题(每小题6分，满分30分)11．求函数22(,)22425f x y x xy y x y =++++-的极值．12．求曲面22z x y =+介于两平面1z =与4z =之间的部分的面积．13．求微分方程22d d yxy x y x=+满足条件e |2e x y ==的特解．14．求过点1(1,1,1)M 和2(0,1,1)M -且垂直于平面0x y z +-=的平面方程．15．求幂级数211nn n x n ∞=+∑的和函数．四、理论及其应用题（每题满分8分，共24分）16．求二阶线性非齐次微分方程2y y y x '''-+=满足条件(0)2,(0)0y y '==的特解．17．已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1)．线段AB 绕z 轴旋转一周所成的旋转曲面为S ．求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积．18．将函数1()f x x =展开成(3)x -的幂级数，并求10(1)3n n n ∞+=-∑的和．五、证明题（本题满分6分）19．设z 是,x y 的函数，且()(), ()()0xy xf z yg z xf z yg z ''=++≠，求证：[()][()]z zx g z y f z x y∂∂-=-∂∂．《高等数学（下）》测试题一参考答案一、1．B ；2．D ；3．C ；4．C ；5．A ．二、6．22531x y -=；7．1；8．312e e x x y C C -=+；9．1100d (,)d yy f x y x -⎰⎰；10．1/2．三、11．解224, 242f f x y x y x y ∂∂=++=++∂∂，由0, 0f f x y∂∂==∂∂解得驻点(3,1)P -，又因为2, 2, 4xxxy yy f f f ''''''===，则在点(3,1)P -处，2, 2, 4A B C ===，240B AC -=-<，且20A =>，故点(3,1)P -是函数(,)f x y 的极小值点，极小值为(3,1)10f -=-．12．解2214d d D x y A x y x y ≤+≤==⎰⎰232π22111πd d 2π(14)126r r r θ==⨯+=⎰⎰． 13．解 因22(,)(),()P x y x y Q x xy =-+=均为二次齐式，故所给方程为齐次微分方程．令y xu =，则d d d d y u u x x x=+，代入方程2221d d y y x y x y x xy x⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==，得2d 1d u u u x x u ++=，即d 11d d d u x u u x x u x =⇒=．两边积分，得21ln 2u x C =+，将y u x=代回，得通解222(ln )y x x C =+．由初始条件e |2e x y ==，得1C =．故所求特解为222(ln 1)y x x =+．14．解 由题设知，所求平面的法向量n ，既垂直于已知平面的法向量0n i j k =+-，又垂直于向量122M M i k =--，故可取01211123102ijkn n M M i j k =⨯=-=-++--，由此得所求平面的点法式方程为2(1)3(1)(1)0x y z --+-+-=，即2320x y z --+=．15．解 因为211111n n nn n n n x nx x n n∞∞∞===+=+∑∑∑， 1211()1(1)nn n n x x S x nx x x x x x ∞∞==''⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑， 记211()n n S x x n∞==∑，则121111()1n n n n S x x x n x ∞∞-=='⎛⎫'=== ⎪-⎝⎭∑∑， 对上式从0到x 的积分，得201()d ln(1)1xS x x x x==---⎰，故 2211ln(1) (11)(1)n n n xx x x n x ∞=+=---<<-∑. 四、16．解 原方程对应的齐次方程为20y y y '''-+=，齐次方程的特征方程是2221(1)0r r r -+=-=，解得其特征根为121r r ==，于是齐次方程的通解为12()e x y C C x =+．由于0λ=不是特征根，故非齐次方程2y y y x '''-+=的特解形式应设为*()Y x Ax B =+，将它代入非齐次微分方程中，得1, 2A B ==.于是，非齐次微分方程的通解为12()e 2x y C C x x =+++.将初始条件(0)2,(0)0y y '==代入，得120, 1C C ==-，故所求的特解为e 2x y x x =-++．17．解 直线AB 的方程为1111x y z-==-，即⎩⎨⎧=-=.,1z y z x 过z 轴上的[0,1]中任一点z 且垂直于z 轴截旋转体所得截面是一个圆，与AB 交于点1(1,,)M z z z -．于是圆的半径为r ==，面积为2π(122)z z -+．因此，1120()2d d d d d d π(122)d π3s z V x y z z x y z z z Ω===-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰． 18．解 因为当|3|3x -<时，有011111333(3)33313nn x x x x ∞=-⎛⎫==⋅=- ⎪-+-⎝⎭+∑ 1001(3)1(1)(1)(3)333n n n n n n n n x x ∞∞+==-=-=--∑∑ 所以，取4x =，得10(1)134n n n ∞+=-=∑．五、19．证明 在方程()()xy xf z yg z =+两边同时对x 求导数得()()()()()()z z z y f z y f z xf z yg z x x x xf z yg z ∂∂∂-''=++⇒=''∂∂∂+， ()()0xf z yg z ''+≠.同理，得()()()z x g z y xf z yg z ∂-=''∂+，将所求偏导数代入等式[()][()]z zx g z y f z x y∂∂-=-∂∂，即得恒等式．故命题得证．《高等数学（下）》测试题二一、单项选择题(每小题4分，满分20分，把答案写在括号内)1．函数(,)f x y =(0,0)处的偏导数存在情况是（ ） (A)(0,0)x f '存在，(0,0)y f '存在； (B)(0,0)x f '存在，(0,0)y f '不存在； (C)(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在； (D)(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '不存在． 2．变换积分210d (,)d xx x f x y y ⎰⎰的次序为（ ）(A)10d (,)d y y f x y x ⎰； (B)110d (,)d y y f x y x ⎰⎰；(C)210d (,)d y y y f x y x ⎰⎰； (D)10d (,)d y y f x y x ⎰． 3．直线12:213x y zL -+==与平面:21x y z ∏--=的关系是（ ） (A)互相平行，L 不在∏上； (B) L 在∏上； (C)垂直相交； (D) 相交但不垂直． 4．若级数21n n u ∞=∑与21n n v ∞=∑均收敛，则下列级数绝对收敛的是（ ）A ．1n n u ∞=∑；B ．1()n n n u v ∞=+∑；C ．21(1)nnn u ∞=-∑；D ．21()n n n u v ∞=+∑．5．设平面区域D 是由直线1,12x y x y +=+=及两条坐标轴所围成，记233123()d , ()d , [ln()]d DDDI x y I x y I x y σσσ=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰；则有（ ）(A)123I I I <<； (B) 321I I I <<； (C)132I I I <<； (D) 312I I I <<． 二、填空题(每小题4分，满分20分，把答案写在横线上)6．过点(1,2,1)-且与直线2341x t y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩垂直的平面方程是 ．7．微分方程20y y y '''++=的通解为 ．8．已知平面24x y z m +-=是曲面222z x y =+在点(1,1,3)处的切平面，则m 的值等于 ．9．级数2114nnn x ∞=∑的收敛域为 ． 10．D 是由0,0x y ==与221x y +=所围成的图形在第一象限内的部分，则二重积分2d d Dx y x y =⎰⎰ ．三、基本计算题(每小题6分，共30分)11．设3,y z x f xy x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中f 具有二阶偏导数，求,z z x y∂∂∂∂．12．已知||||1a b ==，且a 与b 的夹角π6θ=，求以2a b +和3a b +为边的平行四边形的面积．13．设Ω是由曲线22x y z=⎧⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =围成的空间区域，求22()d x y z v Ω++⎰⎰⎰．14．求微分方程323e x y y y x -'''++=的通解．15．将函数1()(1)f x x x =-展开成2x -的幂级数．四、概念及其应用题（每小题8分，共24分） 16．求11, (0,0)z xy x y x y=++>>的极值．17．求曲面22z x y =+与226()z x y =-+所围立体的体积．18．求幂级数13nn n x n ∞=∑的收敛半径、收敛域及和函数．五、证明题（本题6分）19．证明y x z x y x y ϕψ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭满足方程2222220z z x y x y ∂∂-=∂∂．《高等数学（下）》测试题二参考答案一、1．B ；2．D ；3．A ；4．C ；5．B ．二、6．340x y z --+=；7．12()e x y C C x -=+；8．3；9．(2,2)-；10．115． 三、11．解231223,zy y x f xy x f y f xx x ∂-⎛⎫⎡⎤''=+⋅+⋅ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦， 3121z x f x f y x ∂⎡⎤''=⋅+⋅⎢⎥∂⎣⎦． 12．解 由向量积的几何意义知，以2a b +和3a b +为边的平行四边形面积为(2)(3)(3)(2)(3)(2)π555sin 62S a b a b a a a b b a b ba b a b =+⨯+=⨯+⨯+⨯+⨯=⨯=⋅⋅=13．解 Ω由旋转抛物面221()2z x y =+与平面4z =围成．曲面与平面的交线为228,4.x y z ⎧+=⎨=⎩ 选用柱坐标变换cos,sin ,. x r y r z z θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩由题意得积分区域:02π,04,0z r θΩ≤≤≤≤≤≤，于是42π2220()d d d )d x y z v z r z r r θΩ++=+⎰⎰⎰⎰⎰22442002562πd 2π2d π.423r r z z z z ⎛=+== ⎝⎰⎰ 14．解 由特征方程2()320r r r ϕ=++=得特征根为121,2r r =-=-，所以，齐次方程的通解为212e e x x y c c --=+，又由1λ=-是特征方程的单根，于是*()e xy x ax b -=+，即2()Q x ax bx =+，代入公式2()()0()()3j j j Q x x ϕλ==∑中，得3,32a b ==-，所以*332y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而，原方程的通解为2121e e 31e 2x x x y c c x x ---⎛⎫=++- ⎪⎝⎭．15．解 因为111()(1)1f x x x x x==---， 011(1)(2), |2|1112n n n x x x x ∞===---<-+-∑；100111112(2)(1)()(1), |2|2222222212n n n n n n n x x x x x x ∞∞+==--===-=--<-+-+∑∑； 故101()(1)(1)(2), |2|12n n n n f x x x ∞+==----<∑． 四、16．解 2211,z z y x x x y y ∂∂=-=-∂∂，令221010y xx y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得驻点(1,1)．因为 222232322,1,z z z x x x y y y∂∂∂===∂∂∂∂， 2222(1,1)(1,1)2, 1, 2, 1430zzA B C xy∂∂=====∆=-=-<∂∂，0A >，故有极小值，极小值为3z =．17．解 222222:36z x y D x y z x y⎧=+⇒+≤⎨=--⎩.方法一：222π62π2000d d d d d (62)d r rV v r z r r θθ-Ω===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰240192π32π99π22r r ⎡⎛⎫=-=-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.方法二：22222[6()()]d d [62]d d DDV x y x y x y r r r θ=-+-+=-⎰⎰⎰⎰2π2240019d (62)d 2π32π99π22r r r r θ⎡⎛⎫=-=-=-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎰.18．解 1131limlim ,3(1)33n n n n n na n R a n ++→∞→∞===+. 当3x =时，级数11n n ∞=∑发散；当3x =-时，级数1(1)n n n ∞=-∑收敛，所以，级数的收敛域为[3,3)-．令111131(),()33133n n n n n n x x f x f x n x x -∞∞=='====--∑∑，001()(0)d ln(3)|ln 3ln(3)3xxf x f x x x x-==--=---⎰3 ()lnln(1)33x xf x -∴==-. 五、19．证明 利用一阶微分形式不变性，有d d d y y y x y x x x z x y x x x y x y y y ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''=-+++-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ϕϕψϕψψ从而2223222311z y y y x x x x x y z y y x x x x y y z y x x x y x y y y z y x x y x x y y ϕϕψϕψϕψψϕψ⎛⎫∂⎛⎫⎛⎫''=-+ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂⎛⎫''''=+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫''=+- ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂⎛⎫''''=+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭于是2222220z z x y x y∂∂-=∂∂．。
高数三期末考试题及答案
高数三期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数f(x)=x^3-3x，求f'(x)的值。
A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. x^3-3D. x^3+3答案：A2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：B3. 判断下列级数是否收敛。
∑(1, 2, 3, 4, ...)A. 收敛B. 发散答案：B4. 求解微分方程dy/dx+y=x的通解。
A. y = e^(-x)∫x dx + CB. y = e^(x)∫x dx + CC. y = e^(-x)∫e^x dx + CD. y = e^(x)∫e^(-x) dx + C答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=sinx的二阶导数是______。
答案：-cosx2. 求极限lim(x→0) (sinx/x)。
答案：13. 已知函数f(x)=x^2-4x+4，求其顶点坐标。
答案：(2, 0)4. 计算二重积分∬D xy dA，其中D为x^2+y^2≤1的闭区域。
答案：π/2三、解答题（每题10分，共30分）1. 求函数y=x^3-6x^2+9x+1的极值点。
解：首先求导数y'=3x^2-12x+9，令y'=0，解得x=1或x=3。
然后检查二阶导数y''=6x-12，发现x=1时y''<0，x=3时y''>0，因此x=1为极大值点，x=3为极小值点。
2. 计算定积分∫(0,2) (x^2-4x+4) dx。
解：首先进行积分运算，得到∫(x^2-4x+4) dx = (1/3)x^3-2x^2+4x。
然后将积分上限2和下限0代入，计算得到(1/3)(2)^3-2(2)^2+4(2)- [(1/3)(0)^3-2(0)^2+4(0)] = 8/3 - 8 + 8 = 8/3。
3. 求解微分方程dy/dx-2y=e^(2x)。
高数下册期末考试试卷
高数下册期末考试试卷一、选择题（每题4分，共40分）1. 以下哪个函数在x=0处不可导？A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = sin(x)D. f(x) = e^x2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx的结果为：A. 1/3B. 1/2C. 1/4D. 1/63. 函数y=x^3的导数是：A. 3x^2B. 3xC. x^2D. x^34. 以下哪个级数是发散的？A. ∑(1/n^2)B. ∑(1/n)C. ∑(1/2^n)D. ∑(1/n^3)5. 计算二重积分∬(D) xy dA，其中D是由x=0, y=0, x+y=1围成的区域，结果为：A. 1/12B. 1/24C. 1/8D. 1/66. 以下哪个函数是偶函数？A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)7. 计算极限lim(x→0) (sin(x)/x)的结果为：A. 0B. 1C. -1D. ∞8. 以下哪个函数的不定积分是ln|x|+C？A. 1/xB. xC. x^2D. e^x9. 函数y=ln(x)的二阶导数是：A. 1/x^2B. 1/xC. -1/x^2D. -1/x10. 以下哪个级数是收敛的？A. ∑((-1)^n/n)B. ∑(1/n^2)C. ∑(1/n)D. ∑(1/n^3)二、填空题（每题3分，共30分）11. 函数f(x) = x^3 - 3x的极小值点是__________。
12. 计算定积分∫(-1,1) x dx的结果为__________。
13. 函数y=e^x的反函数是__________。
14. 计算二重积分∬(D) x^2 + y^2 dA，其中D是由x=0, y=0, x=1, y=1围成的区域，结果为__________。
15. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的最小值是__________。
高数期末考试复习题库
高数期末考试复习题库一、选择题1. 函数f(x)=x^2+3x-2的导数是：A. 2x+3B. 2x-3C. 2x+6D. 2x+12. 曲线y=x^3-6x^2+9x在x=1处的切线斜率是：A. 0B. -6C. 6D. 123. 若f(x)=sin(x)，则f'(π/4)的值是：A. 1B. √2/2C. 0D. -14. 函数f(x)=e^x的不定积分是：A. e^x + CB. e^x - CC. e^x * x + CD. x * e^x + C5. 曲线y=x^2与直线y=4x-5的交点坐标是：A. (1,3)B. (2,3)C. (1,1)D. (2,5)二、填空题6. 若f(x)=x^3-2x^2+x，求f'(x)=______。
7. 函数y=ln(x)的导数是______。
8. 曲线y=sin(x)在x=π/6处的切线斜率是______。
9. 函数y=x^2的原函数是______。
10. 若曲线y=x^3-2x^2+x与x轴相交，则交点的横坐标是______。
三、计算题11. 求函数f(x)=2x^3-5x^2+3x+1在区间[0,2]上的最大值和最小值。
12. 求曲线y=x^2-4x+4在x=2处的切线方程。
13. 计算定积分∫[0,1] (3x^2-2x+1)dx。
14. 求函数f(x)=x^2e^x的n阶导数。
15. 利用分部积分法计算定积分∫[1,e] (1/x)lnxdx。
四、解答题16. 证明：若函数f(x)在区间[a,b]上连续且f(a)f(b)<0，则至少存在一点c∈(a,b)，使得f(c)=0。
17. 解微分方程：dy/dx + 2y = x^2，y(0) = 1。
18. 利用泰勒公式展开函数f(x)=e^x在x=0处的前三项。
19. 讨论函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1的单调性。
20. 求曲线y=x^3-6x^2+9x与直线y=kx平行的切线方程。
高数期末考试题及答案
高数期末考试题及答案第一部分：选择题1. 下面哪个函数在整个实数域上都是偶函数？A. sin(x)B. x^3C. ln(x)D. cos(x)答案：D. cos(x)2. 函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1，求其极大值点的横坐标。
A. x = -1/3B. x = 1/3C. x = 2/3D. x = 1答案：B. x = 1/33. 已知函数f(x) = ln(x)，求f'(e)的值。
A. eB. 1C. 0D. -1答案：B. 14. 函数f(x) = e^x + 2x，求f''(0)的值。
A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A. 25. 已知函数f(x) = (x - 1)e^x，在区间[0, 1]上的最大值点为x = a，最小值点为x = b，求a + b的值。
A. 1B. 0C. -1D. e答案：B. 0第二部分：计算题1. 求不定积分∫(2x + 1)dx。
解：∫(2x + 1)dx = x^2 + x + C2. 求定积分∫[0, 1] (3x^2 - 2x + 1)dx。
解：∫[0, 1] (3x^2 - 2x + 1)dx = [x^3 - x^2 + x] |[0, 1] = 13. 求函数y = x^3在点x = 2处的切线方程。
解：首先求导，得到y' = 3x^2。
在x = 2处，斜率k = 3(2)^2 = 12。
切线方程为y - y1 = k(x - x1)，代入x = 2，y = 2^3 = 8，得到y - 8 = 12(x - 2)。
4. 求解方程sin(x) + cos(x) = 0的所有解。
解：sin(x) + cos(x) = 0sin(x) = -cos(x)tan(x) = -1x = π/4 + nπ，其中n为整数。
5. 计算θ = arctan(1) + arctan(2)的值。
解：利用反正切的加法公式，有θ = arctan((1 + 2)/(1 - 1*2)) = arctan(3/(-1)) = arctan(-3)。
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往届高等数学期终考题汇编2009-01-12一．解答下列各题(6*10分): 1．求极限)1ln(lim 1xx e x ++→.2.设⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=22222ln a x x a a x x y ,求y d .3.设⎪⎩⎪⎨⎧-=-=3232tt y tt x ，求22d d x y .4.判定级数()()0!12≥-∑∞=λλλn nn n n e 的敛散性.5.求反常积分()⎰-10d 1arcsinx x x x .6.求⎰x x x d arctan .7.⎰-π03d sin sin x x x .8.将⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<=πππx x x x f 2,02,)(在[]ππ,-上展为以π2为周期的付里叶级数，并指出收敛于()x f 的区间.9.求微分方程0d )4(d 2=-+y x x x y 的解.10.求曲线1=xy 与直线0,2,1===y x x 所围平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积. 二.(8分)将()()54ln -=x x f 展开为2-x 的幂级数,并指出其收敛域.三.(9分)在曲线()10sin 2≤≤=x x y 上取点()()10,sin ,2≤≤a a a A ,过点A 作平行于ox 轴的直线L ,由直线L ,oy 轴及曲线()a x x y ≤≤=0sin 2所围成的图形记为1S ,由直线L ,直线1=x 及曲线()1sin 2≤≤=x a x y 所围成的图形面积记为2S ,问a 为何值时,21S S S +=取得最小值.四.(9分)冷却定律指出,物体在空气中冷却的速度与物体和空气温度之差成正比,已知空气温度为30℃时,物体由100℃经15分钟冷却至70℃,问该物体冷却至40℃需要多少时间? 五.(8分)(学习《工科数学分析》的做（1），其余的做（2）) （1）证明级数∑∞=-02n nx e x 在[),0+∞上一致收敛.（2）求幂级数()∑∞=-----122121212)1(n n n n x n 的收敛域及和函数.六.(6分)设()[]b a C x f ,2∈,试证存在[]b a ,∈ξ,使()()()()⎰''-+⎪⎭⎫⎝⎛+-=ba f ab b a f a b dx x f ξ324122008．1．15一．解答下列各题(6*10分):1.计算极限 ()xx x e x x 3sin 22lim ++-→.2.设,5arctan log 22π+-=x x ey x求y d .3.设,20;cos sin ,cos ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<⎩⎨⎧-==πt t t t y t x 求322d d π=t x y .4.判定级数∑∞=123n nnn 的敛散性. 5.计算反常积分dx xx⎰+∞12ln . 6.计算不定积分⎰x x xx d cos sin 23.7.计算定积分()⎰+1021d x e x.8.求函数()⎩⎨⎧<<≤≤=21,210,1x x x f 在[]2,0上展成以4为周期的正弦级数.9.求微分方程()()0d d 132=++++y y y x x y 的通解.10.求由曲线72+=x y 及532+=x y 所围成的图形绕ox 轴旋转一周而成的旋转体的体积. 二.(9分)证明:当0≥x 时,有()()[]()221ln 2arctan 4111ln 21x x x x x +-≥+-++.三.(9分) 设抛物线()02<+=a bx ax y 通过点()3,1M ,为了使此抛物线与直线x y 2=所围成的平面图形的面积最小,试确定a 和b 的值.四.(8分)设一车间空间容积为10000立方米,空气中含有0.12%的二氧化碳(以容积计算),现将含二氧化碳0.04%的新鲜空气以1000立方米每分钟的流量输入该车间,同时按1000立方米的流量抽出混合气体，问输入新鲜空气10分钟后，车间内二氧化碳的浓度降到多少？ 五．（8分）求幂级数nn nx n n ∑∞=+0!21的收敛域及其和函数. 六.(6分)设函数()x f 在0=x 的邻域内有连续的一阶导数,且()a xx f x =→0lim()0>a ,证明:()⎪⎭⎫⎝⎛-∑∞=-n f n n 1111条件收敛.2007年1月一. 计算下列各题(6*10分):1．计算极限()xx x e x x arctan 11ln lim 0---+→.2. 设21arcsin x y -=, 求y d .3. 设⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⎰-.01sin .d 02y t e u e x y t u 求0d d =x x y .4. 判定级数∑∞=+134n nn的敛散性. 5. 计算反常积分()⎰∞+11d xx x.6设()21ln x x ++为()x f 的原函数, 求()⎰'x x f x d .7. 将()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤≤=.2 ,0;20 ,1πππx x x f 展开成以π2为周期的傅立叶正弦级数, 并求此级数分别在π23=x 和π25=x 两点的收敛值.8. 将函数()x x f ln =展开为2-x 的幂级数,并指出其收敛域.9求微分方程()()27121+=-'+x y y x 的通解.10. 求抛物线25y x =与21y x +=所围图形的面积.二. (9分) 若函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰.0,;0 ,d 1cos 2x a x x te xf x t 在0=x 点可导. 求a 和()0f '.三. (9分) 在曲线()0≥=-x e y x 上求一点()0,0xe x -,使得过该点的切线与两个坐标轴所围平面图形的面积最大, 并求出此最大面积.四(8分)半径为R 的半球形水池充满水,将水从池中抽出, 当抽出的水所作的功为将水全部抽出所作的功的一半时, 试问此时水面下降的深度H 为多少? 五.(8分)求幂级数()∑∞=+11n nx n n 的和函数并求出级数()∑∞=+1211n n n n 的和. 六. (6分) 已知函数()x f 在[)+∞,0上可导, 且()10=f 并满足等式()()()0d 110=+-+'⎰x t t f x x f x f , 求()x f '并证明()().0 1≥≤≤-x x f e x2006年1月一. 计算下列各题(6*10分):1. 30sin tan limxxx x -→ 2.设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2tan 21arctan x y , 求y d .3.设()⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=-0,10,2x x x e x f x, 求()x x f d 121⎰--.4. 判定级数212121n n n n n ⎪⎭⎫⎝⎛+∑∞=的敛散性. 5. 设()x y y =由方程()y x y +=tan 所确定,求y '.6.计算不定积分()⎰++x e e xx d 1122.7. 将()x x f +=2, []ππ,-∈x 展成以π2为周期的傅立叶级数.8. 将函数()2312++=x x x f 展成()4+x 的幂级数, 并指出收敛区间. 9. 求微分方程xe x y y x 43=-'的通解.10. 设曲线2ax y =()0,0≥>x a 与21x y -=交于点A, 过坐标原点O 和点A 的直线与曲线2ax y =围成一个平面图形. 问: 当a 为何值时,该图形绕x 轴旋转一周所产生的旋转体体积最大?二. (8分) 证明不等式: 当0>x 时, ααα-≤-1x x , ()10<<α. 三. (9分). 设()⎰-=221d x t t ex f , 求()⎰1d x x xf .四. (9分). 一物体在某一介质中按3ct x =作直线运动,已知介质的阻力与物体速度的平方成正比, 计算物体由0=x 移动到a x =时克服阻力所作的功.五. (9分) 求级数()∑∞=+0311n nn 的和. 六. (5分). 设()0>''x f , []b a x ,∈, 证明:()()()()⎰+≤-≤⎪⎭⎫⎝⎛+b ab f a f x x f a b b a f 2d 12.2005年1月15日一. 解答下列各题（6×10分）1． 计算极限()x x x x x e x x sin 1sin lim 0-+-→ 2． 设()1ln 211222++++=x x x x y ，求y d .3． 设()⎩⎨⎧>+≤=02 , ,x x b ax x x x x f 在0x 处可导,求常数a 和b .4． 判定级数()∑∞=--1131n nn n 的敛散性. 若收敛,是条件收敛还是绝对收敛?5． 设()x y y =由方程ye y x y ++-=)ln(1所确定,求y '. 6． 设()xf 连续,且满足()x t t f x =⎰-13d .求()?26=f .7． 求()1123223+--=x x x x f 的极值. 8． 计算不定积分⎰-x xx 2ln 4d .9． 计算定积分x x d arctan1⎰.10． 求由曲线12+=x y , 直线,0=y 0=x , 1=x 所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所产生的旋转体的体积.二. (8分). 试证明不等式⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx 时, 3tan 3x x x +>.三. (9分) 将函数()3212-+=x x x f 展成3-x 的幂级数,并指出收敛区间. 四. (9分) 已知()x f 在12=x 的邻域内可导, 且()0lim 12=→x f x ,()22005lim 12='→x f x . 求极限()()312121212d d limx t u u f t xt x -⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰→→.五.(8分) 求幂级数nn x n n ∑∞=+0!1的收敛域及和函数. 六. (6分) 设()x f 在[]1,0上连续, 在()1,0内可导, 且()10≤'<x f , ()00=f .证明 ()()x x f dx x f d 103210⎰⎰≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡2004年1月一、解下列各题1、10lim ,(0,0)2x xxx a b a b →⎛⎫+>>⎪⎝⎭其中 2、设22(sin )x xy x e x -=+,求y '3、求不定积分arctan x xdx ⎰4、求不定积分21(1)dx x x +⎰5、求定积分4⎰6、求由曲线1|ln |,,y x x x e e===及x 轴围成的图形的面积。