高数期末考试题

往届高等数学期终考题汇编

2009-01-12

一．解答下列各题(6*10分): 1．求极限)1ln(lim 1

x

x e x ++

→.

2.设⎪⎭

⎫ ⎝⎛++++=22222ln a x x a a x x y ,求y d .

3.设⎪⎩⎪⎨⎧-=-=3

232t

t y t

t x ，求22d d x y .

4.判定级数()()0!1

2≥-∑∞

=λλλn n

n n n e 的敛散性.

5.求反常积分()

⎰-10

d 1arcsin

x x x x .

6.求⎰x x x d arctan .

7.⎰-π

03d sin sin x x x .

8.将⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<=ππ

πx x x x f 2,02,)(在[]ππ,-上展为以π2为周期的付里叶级数，并指出收敛于()x f 的区间.

9.求微分方程0d )4(d 2=-+y x x x y 的解.

10.求曲线1=xy 与直线0,2,1===y x x 所围平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积. 二.(8分)将()()54ln -=x x f 展开为2-x 的幂级数,并指出其收敛域.

三.(9分)在曲线()10sin 2≤≤=x x y 上取点()

()10,sin ,2≤≤a a a A ,过点A 作平行于ox 轴的直线L ,由直线L ,oy 轴及曲线()a x x y ≤≤=0sin 2所围成的图形记为1S ,由直线L ,直线1=x 及曲线

()1sin 2≤≤=x a x y 所围成的图形面积记为2S ,问a 为何值时,21S S S +=取得最小值.

四.(9分)冷却定律指出,物体在空气中冷却的速度与物体和空气温度之差成正比,已知空气温度为30℃时,物体由100℃经15分钟冷却至70℃,问该物体冷却至40℃需要多少时间? 五.(8分)(学习《工科数学分析》的做（1），其余的做（2）) （1）证明级数∑∞

=-02n nx e x 在[),0+∞上一致收敛.

（2）求幂级数()∑

∞

=-----1

221

21212)1(n n n n x n 的收敛域及和函数.

六.(6分)设()[]b a C x f ,2∈,试证存在[]b a ,∈ξ,使()()()()⎰''-+

⎪⎭⎫

⎝⎛+-=b

a f a

b b a f a b dx x f ξ324

1

2

2008．1．15

一．解答下列各题(6*10分):

1.计算极限 ()x

x x e x x 3

sin 2

2lim ++-→.

2.设,5

arctan log 22π

+-=x x e

y x

求y d .

3.设,20;cos sin ,cos ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<⎩⎨⎧-==πt t t t y t x 求3

2

2d d π

=

t x y .

4.判定级数∑∞

=1

23n n

n

n 的敛散性. 5.计算反常积分dx x

x

⎰+∞12ln . 6.计算不定积分⎰x x x

x d cos sin 23.

7.计算定积分

()

⎰+10

2

1d x e x

.

8.求函数()⎩⎨

⎧<<≤≤=2

1,21

0,1x x x f 在[]2,0上展成以4为周期的正弦级数.

9.求微分方程()()

0d d 13

2

=++++y y y x x y 的通解.

10.求由曲线72

+=x y 及532

+=x y 所围成的图形绕ox 轴旋转一周而成的旋转体的体积. 二.(9分)证明:当0≥x 时,有

()()[]()

2

2

1ln 2arctan 4111ln 21x x x x x +-≥+-++.

三.(9分) 设抛物线()02

<+=a bx ax y 通过点()3,1M ,为了使此抛物线与直线x y 2=所围成

的平面图形的面积最小,试确定a 和b 的值.

四.(8分)设一车间空间容积为10000立方米,空气中含有0.12%的二氧化碳(以容积计算),现将含二氧化碳0.04%的新鲜空气以1000立方米每分钟的流量输入该车间,同时按1000立方米的流量抽出混合气体，问输入新鲜空气10分钟后，车间内二氧化碳的浓度降到多少？ 五．（8分）求幂级数

n

n n

x n n ∑∞

=+0

!21的收敛域及其和函数. 六.(6分)设函数()x f 在0=x 的邻域内有连续的一阶导数,且()a x

x f x =→0

lim

()0>a ,

证明:

()

⎪⎭

⎫

⎝⎛-∑∞

=-n f n n 111

1

条件收敛.

2007年1月

一. 计算下列各题(6*10分):

1．计算极限()x

x x e x x arctan 1

1ln lim 0---+→.

2. 设21arcsin x y -=, 求y d .

3. 设⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⎰-.

01sin .d 0

2y t e u e x y t u 求0d d =x x y .

4. 判定级数∑∞

=+1

34n n

n

的敛散性. 5. 计算反常积分()⎰∞+1

1d x

x x

.

6设()

21ln x x ++为()x f 的原函数, 求()⎰

'x x f x d .

7. 将()⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧

≤<≤≤=.2 ,0;20 ,1πππx x x f 展开成以π2为周期的傅立叶正弦级数, 并求此级数分别

在π23=x 和π2

5

=x 两点的收敛值.

8. 将函数()x x f ln =展开为2-x 的幂级数,并指出其收敛域.

9求微分方程()()27

121+=-'+x y y x 的通解.

10. 求抛物线25y x =与2

1y x +=所围图形的面积.

二. (9分) 若函数()⎪

⎩⎪⎨⎧=≠=⎰.0

,;

0 ,d 1cos 2x a x x t

e x

f x t 在0=x 点可导. 求a 和()0f '.

三. (9分) 在曲线()0≥=-x e y x 上求一点()

0,0x

e x -,使得过该点的切线与两个坐标轴所围

平面图形的面积最大, 并求出此最大面积.

四(8分)半径为R 的半球形水池充满水,将水从池中抽出, 当抽出的水所作的功为将水全部抽出所作的功的一半时, 试问此时水面下降的深度H 为多少? 五.(8分)求幂级数()∑∞

=+1

1n n

x n n 的和函数并求出级数()

∑∞

=+1

2

1

1n n n n 的和. 六. (6分) 已知函数()x f 在[)+∞,0上可导, 且()10=f 并满足等式