充分条件、必要条件与命题的四种形式

【解】 (1)逆命题：全等三角形的面积相等，真 命题． 否命题：面积不相等的两个三角形不是全等三角 形，真命题． 逆否命题：两个不全等的三角形的面积不相等， 假命题．
(2)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1，
真命题．
否命题：若q>1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，真
命题．
逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q>1，
充要条件，原命题和逆命题(或逆否命题和否命题) 都成立，命题中的条件是充要的．
例2 下列各命题中，p 是 q 的什么条件？ (1)在△ABC 中，p：∠A＝∠B，q：sinA＝sinB； (2)对于实数 x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2 或 y≠6； (3)p：ff－xx ＝1，q：y＝f(x)是偶函数．
(3)从集合的角度理解，小范围可以推出大范 围，大范围不能推出小范围．
考点三 充分条件与必要条件的应用
涉及求参数的取值范围又与充分、必要条件有 关的问题，常常借助集合的观点来考虑．若涉 及参数问题解决起来较为困难时，注意运用等 价转化．
例3
2．命题的四种形式 (1)四种命题
若 原 命 题 为 “ 若 p ， 则 q” ， 则 其 逆 命 题 是 __若__q_，__则__p_____ ； 否 命 题 是 _若__非__p_，__则__非__q__ ； 逆 否命题是__若__非__q_，__则__非__p___.
(2)四种命题间的关系
答案：C
2．命题“若m>－2，则m>－3”以及它的逆命题、
否命题、逆否命题中，正确命题的个数为
()
A．1
B．2
C．3
D．3
答案：B
3 ． (2010 年 高 考 陕 西 卷 )“a>0” 是 “|a|>0” 的
() A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A
思考感悟 “否命题”与“命题的否定”有何不同？ 提示： “否命题”与“命题的否定”是两个不
同的概念，如果原命题是“若p，则q”，那么这 个原命题的否定是“若p，则非q”，即只否定结 论，而原命题的否命题是“若非p，则非q”，即
既否定命题的条件，又否定命题的结论．
课前热身
1．命题“若a>0，则a2>0”的否命题是( ) A．若a2>0，则a>0 B．若a<0，则a2<0 C．若a≤0，则a2≤0 D．若a≤0，则a2≥0
充分条件、必要条件与命题的四种形式
双基研习•面对高考
基础梳理
1．充分条件、必要条件与充要条件
(1)“ 若 p ， 则 q” 为 真 命 题 ， 记 作 ： p ⇒ q ， 则 _p_是__q___的充分条件，__q_是__p__的必要条件． (2) 如 果 既 有 p ⇒ q ， 又 有 q ⇒ p ， 记 作 ： p ⇔ q ， 则 __p_是__q__的充要条件，q也是p的___充__要__条__件____．
(3)∵ff－xx＝1，
∴f(－x)＝f(x)，
∴y＝f(x)是偶函数．
∴p⇒q.
取 f(x)＝x2 为 R 上的偶函数，
但f－x在 fx
x＝0
时没有意义，
∴.
∴p 是 q 的充分不必要条件．
【名师点评】 (1)要分清充分性和必要性；
(2)注意两种说法“p是q的必要不充分条件” 与“q的必要不充分条件是p”是等价的；
真命题．
【名师点评】 (1)“都是”的否定是“不都是
”，而不是“都不是”，因为“x、y不都是奇数 ”包含“x是奇数y不是奇数”、“x不是奇数y是 奇数”、“x、y都不是奇数”三种情况；(2)“x ＝0或y＝0”的否定是“x≠0且y≠0”，而不是 “x≠0或y≠0”，因为“x＝0或y＝0”包含“x ＝0且y≠0”、“x≠0且y＝0”、“x＝0且y＝0”
三种情况．
考点二 充分条件与必要条件的判定
判断一个命题是另一个命题的什么条件，关键是利
用定义．如果p⇒q，则p叫做q的充分条件，原命题
(或逆否命题)成立，命题中的条件是充分的，也可
称q是p的必要条件；如果q⇒p，则p叫做q的必要条
件，逆命题(或否命题)成立，命题中的条件为必要
的，也可称q是p的充分条件；如果既有p⇒q，又有 q⇒p，记作p⇔q，则p叫做q的充分必要条件，简称
【思路分析】 先判断p⇒q是否成立，再判断
q⇒p是否成立．
【解】 (1)若∠A＝∠B，则sinA＝sinB，即p⇒q. 又若sinA＝sinB，则2RsinA＝2RsinB，即a＝b. ∴∠A＝∠B，即q⇒p. 所以p是q的充要条件． (2)其逆否命题为： 对于实数x、y，若x＝2且y＝6，则x＋y＝8， 显然当x＝2，y＝6时，x＋y＝8成立； 但当x＋y＝8时，x＝2且y＝6不一定成立， 故p⇒q， ， ∴p是q的充分不必要条件．
4．“a＝1”是“直线y＝ax＋1与y＝(a－2)x＋
3垂直”的________条件． 答案：充要
5．与命题“若a∈M，则b∉பைடு நூலகம்”等价的一个命题
是________________________________．
答案：若b∈M，则a∉M
考点探究•挑战高考
考点突破
考点一 四种命题及其关系
在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的 条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的 关系，要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命 题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”、 “否命题”和“逆否命题”．
例1
分别写出下列命题的逆命题、否
命题、逆否命题，并判断它们的真假．
(1)面积相等的两个三角形是全等三角形；
(2)若q≤1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；
(3)若x2＋y2＝0，则实数x、y全为零；
(4)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数．
【思路分析】 写成“若p，则q”的形式→写
出逆命题、否命题、逆否命题→判断真假．
真命题．
(3)逆命题：若实数x、y全为零，则x2＋y2＝0，
真命题．
否命题：若x2＋y2≠0，则实数x、y不全为零，
真命题．
逆否命题：若实数x、y不全为零，则x2＋y2≠0，
真命题．
(4)逆命题：若x＋y是偶数，则x、y都是奇数，
假命题．
否命题：若x、y不都是奇数，则x＋y不是偶数，
假命题．
逆否命题：若x＋y不是偶数，则x、y不都是奇数，