长郡中学2018-2019学年高二期中考试数学答案
湖南四大名校内部资料答案—长郡中学2018-2019学年高二上学期第二次模块检测数学(理)
长郡中学2018-2019学年度高二第一学期第二次模块检测数学(理科)参考答案一、选择题二、填空题13.440x y --=或690x y --=14.5或15.3216.2018三、解答题17.【解析】p 真：101m m ->⇒>q 真：0m ≥∵p ⌝是真命题，p q ∨是真命题∴p 假q 真∴10m m ≤⎧⎨≥⎩∴01m ≤≤18.【解析】(1)第1组人数：50.510÷=，所以100.1100n =÷=第2组人数：1000.220⨯=，所以200.918a =⨯= 第3组人数：1000.330⨯=，所以27300.9x =÷= 第4组人数：1000.2525⨯=，所以250.369b =⨯= 第5组人数：1000.1515⨯=，所以3150.2y =÷= (2)第2，3，4组回答正确的人数比为18:27:92:3:1= 所以2，3，4组每组应各依次抽取2人，3人，1人(3)抽取的6人中，第2组的记为1a ，2a ，第3组的记为1b ，2b ，3b ，第4组的记为c ，则从6名中任取2名的所有可能的情况有15种：ln x(2)由(1)可知1x ，2x 分别是方程ln 20x ax +=的两个根，即11ln 2x ax =-，22ln 2x ax =-设120x x >>，作差得，()1122ln 2x a x x x =--，即1212ln2x x a x x -=-原不等式212x x e >等价于()()12112122122ln ln 222ln x x x x x a x x x x x -+>⇔-+>⇔>+ 令12x t x =，则1t >，()()121212221ln ln 1x x t x t x x x t -->⇔>++ 设()()21ln 1t g t t t -=-+，1t >，()()()22101t g t t t -'=>+ ∴函数()g t 在()1,+∞上单调递增 ∴()()10g t g >=即不等式()21ln 1t t t ->+成立 故所证不等式212x x e >成立.。
湖南四大名校内部资料长郡中学2018-2019学年高二上学期第二次模块检测数学(文)答案
(2)由题意可得当直线 的平行线与椭圆相切时， 取得最值
设与直线 平行的直线方程为
联立 ，可得
由直线与椭圆相切，可得
解得 ，显然 时
取得最小值，即有
另解：设 ，由 到直线的距离为
当 时， 的最小值为
18.【解析】(1)∵ ， 恒成立
∴
解得
∴实数 的取值范围是
(2)∵“ 或 ”为假命题
所有可能基本事件有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 个
事件 包含的基本事件有： ， ， ， ， ， ， ， ， 共 个，所以 ，故从年龄在 内的广场舞者中任取 名，选中的两人中至少有一人年龄在 内的概率为
20.【解析】(1)由题意得，
∴
∴ 关于 的线性回归方程为：
(2)(ⅰ)线性回归方程 对应的相关系数为
∴ ， 均为假命题
当 为真命题时，则
解得 或
∴ 为假命题时，
由(1)知， 为假命题时
从而 ，即
∴实数 的取值范围为
19.【解析】(1)广场舞者的平均年龄为：
所以广场舞者的平均年龄大约为 岁
(2)记事件 为“从年龄在 内的广场舞者中任取 名，选中的两人中至少有一人年龄在 内”，由直方图可知，年龄在 内的有 人，分别记为 ， ，在 内的有 人，分别记为 ， ， ， ，现从这 人中任选两人
∴
∴ 的面积的取值范围是
另法：也可设 去求最值
22.【解析】(1)定义域为
，记
(ⅰ)当 时，因为
所以 ，函数 在 上单调递增
(ⅱ)当 时，因为
所以
函数 在 上单调递增
(ⅲ)当 时
由 ，解得
所以函数 在区间 上单调递减
2018-2019学年高二第二学期期中测评考试理科数学答案
≠m2-5m+6=0，
17. 解：（1）由 z 为纯虚数得
解得 m=2． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 5 分
m2-8m+15≠0，
（2）复数 z－8i=（m2-5m+6）+（m2-8m+7）i，因为复数 z－8i 位于第四象限，
≠m2-5m+6＞0，
所以
解得 1＜m＜2 或 3＜m＜7.故 m 的取值范围为（1，2）∪（3，7）. !!!!!!!!!!! 10 分
a a 故函数 g（x）的最大值为 g
1 a
=-2lna+
1 a
-1．
高二理科数学试题答案 第 4 页（共 5 页）
由题意得需 g
1 a
=-2lna+
1 a
-1≤0，
令
h（a）=-2lna+
1 a
-1，∵h（a）在（0，+∞）上单调递减，又 ∵h（1）=0，
∴ 当 a≥1 时，h（a）≤0 恒成立，∴ 实数 a 的取值范围为［1，+∞）． !!!!!!!!!!!!!!!!! 12 分
12. C 【解析】f（ 1 x）=f ′（x）=cosx－e－x+2018x2017， f（ 2 x）=f ′（ 1 x）=－sinx+e－x+2018×2017x2016， f（ 3 x）=f ′（ 2 x）=－cosx－e－x+2018×2017×2016x2015， f（ 4 x）=f ′（ 3 x）=sinx+e－x+2018×2017×2016×2015x2014， …
乙 乙 4
4
5. B 【解析】 姨4-（x-2）2 dx表示以（2，0）为圆心，以 2 为半径的圆的上半部分的面积， 姨4-（x-2）2 dx=2π.故选 B.
2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高二下学期期中数学试题(解析版)
2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．若集合{|12}A x x =-<<，{|13}B x x =剟，则A B =I （ ） A ．(1,2)- B ．[1,2) C ．[1,3] D ．(1,3]-【答案】B【解析】根据集合的交集的概念及运算，即可求解A B I ，得到答案. 【详解】由题意，集合{|12}A x x =-<<，{|13}B x x =剟， 根据集合的交集的概念及运算，可得{|12}[1,2)A B x x =≤<=I . 故选：B. 【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中熟记集合的交集的概念及运算是解答的关键，着重考查了推运算能力.2．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是相邻两边的长分别为1和2的矩形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积为（ ）A ．4πB ．πC ．12πD ．13π【答案】B【解析】几何体为底面半径为1高为1的圆柱，计算体积得到答案. 【详解】根据三视图知几何体为底面半径为1高为1的圆柱，故体积2V r h ππ==. 故选：B . 【点睛】本题考查了三视图和几何体的体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 3．下列函数中，在区间()0,1上是增函数的是（ ） A ．y x = B ．3y x =-C ．1y x=D ．24y x =-+【答案】A【解析】根据一次函数，反比例函数，二次函数性质可得3y x =-，1y x=，24y x =-+在()0,1不是增函数，在区间()0,1上，y x x ==是增函数. 【详解】()0,1x ∈时， y x x ==，所以y x =在()0,1上是增函数；13,y x y x=-=在()0,1上均是减函数； 24y x =-+是开口向下以0x =为对称轴的抛物线，所以24y x =-+在在()0,1上是减函数，所以A 正确． 故选：A 【点睛】此题考查函数单调性的判断，需要对常见函数的基本性质熟练掌握. 4．函数2cos ()y x x R =∈的最小值是（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】A【解析】根据余弦函数的性质，得到1cos 1x -≤≤，即可求得函数的最小值，得到答案. 【详解】由题意，根据余弦函数的性质，可得1cos 1x -≤≤， 当cos 1x =-时，函数2cos y x =取得最小值，最小值为2-. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质的应用，其中解答中熟记余弦函数的值域是解答的关键，着重考查了计算能力. 5．如果0x >,那么14x x+的最小值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】利用基本不等式的性质有144x x +≥=,最后验证取等的情况即可. 【详解】 解: 因为0x >,所以144x x +≥=, 当且仅当14x x =,即12x =时等号成立. 故14x x+的最小值为4. 故选:C 【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值,是基础题.解决此类题型一定要注意”一定二正三相等”.6．在空间中，设m ，n 为两条不同直线， α，β为两个不同平面，则下列命题正确的是A ．若//m α且//αβ，则//m βB ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥且//αβ，则m β⊥D ．若m 不垂直于α，且n ⊂α，则m 必不垂直于n 【答案】C 【解析】【详解】解：由m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，知： 在A 中，若m ∥α且α∥β，则m ∥β或m ⊂β，故A 错误；在B 中，若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m 与n 相交、平行或异面，故B 错误； 在C 中，若m ⊥α且α∥β，则由线面垂直的判定定理得m ⊥β，故C 正确； 在D 中，若m 不垂直于α，且n ⊂α，则m 有可能垂直于n ，故D 错误． 故选：C ．7．某袋中有9个除颜色外其他都相同的球,其中有5个红球,4个白球,现从中任意取出1个,则取出的球恰好是白球的概率为( ) A ．15B ．14C ．49D ．59【答案】C【解析】样本点总数为9，取出的球恰好是白球含4个样本点，计算得到答案. 【详解】从9个球中任意取出1个,样本点总数为9,取出的球恰好是白球含4个样本点,故所求概率为4 9 ,故选：C.【点睛】本题考查了古典概率的计算，属于简单题.8．已知一个算法，其流程图如图所示，则输出结果是（）A．7 B．10 C．13 D．16【答案】B【解析】根据程序框图的计算功能，可得x的取值依次构成一个等差数列，结合等差数列的通项公式，即可求解.【详解】由题意，根据程序框图的计算功能，可得x的取值依次构成一个等差数列，且满足首项为1，公差为3，写出这个教列1，4，7，10，…，故输出结果为10.故选B.【点睛】本题主要考查了程序框图的计算与输出，其中解答中根据给定的程序框图，得到该程序框图的计算功能是解答的关键，着重考查了计算能力.9．设x，y满足约束条件则的最大值与最小值的比值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察直线在轴上取得最大值和最小值时相应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出最大值和最小值，于此可得出答案。
湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含解析【KS5U 高考】
长郡中学2018-2019学年度高二第二学期期末考试数学(理科)一、选择题。
1.设集合{}{}21,2,3,3410A B x x mx ==-+=，若{}1A B ⋂=，则m =（ ）A. 1B. 12-C.12D. -1【答案】A 【解析】 【分析】由{}1A B ⋂=得1A ∈且1B ∈，把1代入二次方程求得1m =，最后对m 的值进行检验. 【详解】因为{}1A B ⋂=，所以1A ∈且1B ∈， 所以3410m -+=，解得1m =.当1m =时，1{1,}3B =，显然{}1A B ⋂=，所以1m =成立，故选A. 【点睛】本题考查集合的交运算，注意求出参数m 的值后要记得检验.2.已知函数()21y f x =-的定义域为[]0，3，则函数()y f x =的定义域为（ ）A. [2,1][1,2]--UB. []1,2C. []0,3D. []1,8-【答案】D 【解析】 【分析】函数()21y f x =-中21x -的取值范围与函数()y f x =中x 的范围一样.【详解】因为函数()21y f x =-的定义域为[]0，3，所以03x ≤≤，所以2118x -≤-≤，所以函数()y f x =的定义域为[]1,8-.选D.【点睛】求抽象函数定义域是一种常见题型，已知函数的定义域或求函数的定义域均指自变量x 的取值范围的集合，而对应关系f 所作用的数范围是一致的，即括号内数的取值范围一样.3.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若角α是第三象限角，且1sin 3α=-，则cos β=（ ）A.3B. 3-C.13D. 13-【答案】A 【解析】 【分析】由单位圆中的三角函数线可得：终边关于y 轴对称的角α与角β的正弦值相等，所以1sin 3β=-，再根据同角三角函数的基本关系，结合余弦函数在第四象限的符号，求得cos β=3.【详解】角α与角β终边关于y 轴对称，且α是第三象限角，所以β为第四象限角，因为1sin 3α=-，所以1sin 3β=-，又22sin cos 1ββ+=，解得：cos β=3，故选A. 【点睛】本题考查单位圆中三角函数线的运用、同角三角函数的基本关系，考查基本的运算求解能力.4.已知命题“x R ∀∈，使得212(1)02x a x +-+>”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A. (.1)-∞- B. (3,)-+∞C. (13)-， D. ()3.1-【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数与二次不等式的关系，可得函数的判别式∆<0，从而得到13a -<<. 【详解】由题意知，二次函数的图象恒在x 轴上方，所以21(1)4202a ∆=--⋅⋅<， 解得：13a -<<，故选C.【点睛】本题考查利用全称命题为真命题，求参数的取值范围，注意利用函数思想求解不等式.5.已知某批零件的长度误差ξ(单位:毫米)服从正态分布2(1)3N ，，从中随机取一件.其长度误差落在区间(4)7，内的概率为（ ） (附:若随机变量ξ服从正态分布N 2(,)μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+≈，(22)95.44%P μσξμσ-<<+≈)A. 4. 56%B. 13.59%C. 27. 18%D.31. 74%【答案】B 【解析】 【分析】利用3σ原则，分别求出(24),(57)P P ξξ-<<-<<的值，再利用对称性求出(47)13.59%P ξ<<=.【详解】正态分布2(1)3N ，中，1,3μσ==， 所以(24)(1313)68.26%P P ξξ-<<=-<<+≈，(57)(123123)95.44%P P ξξ-<<=-⨯<<+⨯≈，所以(57)(24)(47)13.59%2P P P ξξξ-<<--<<<<=≈，故选B.【点睛】本题考查正态分布知识，考查利用正态分布曲线的对称性求随机变量在给定区间的概率.6.定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x -=+，且当(2,0)x ∈-时，()31xf x =-，则()9f =（ ） A. 2- B. 2C. 23-D.23【答案】D【解析】 【分析】由等式()()22f x f x -=+可得函数()f x 的周期4T=，得到()9(1)f f =，再由奇函数的性质得()9(1)(1)f f f ==--，根据解析式()31xf x =-求出2(1)3f -=-，从而得到()9f 的值.【详解】因为()())()2(42f x f f x x f x -=⇒+=+，所以()f x 的周期4T =，所以()229(1)(1)()33f f f ==--=--=，故选D. 【点睛】由等式()()22f x f x -=+得函数()f x 的周期4T=，其理由是：(2)x -为函数()f x 自变量的一个取值，(2)x +为函数()f x 自变量的另一个取值，这两个自变量的差始终为4，函数值始终相等，所以函数的周期为4.7.函数()tan(2)3f x x π=-的单调递增区间为（ ）A. 5[,]()212212k k k Z ππππ-+∈ B. 5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈C. 5(,)()212212k k k Z ππππ-+∈ D. 2(,)()63k k k Z ππππ++∈ 【答案】C 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性，直接把23x π-代入tan y x =的单调递增区间，求出x 的范围即函数()f x 的单调递增区间.【详解】因为2232k x k πππππ-<-<+，解得：5,212212k k x k Z ππππ-<<+∈， 所以函数的单调递增区间为：5(,)()212212k k k Z ππππ-+∈，故选C. 【点睛】本题考查正切函数单调递增区间，注意单调区间为一个开区间，同时要注意不能错解成222232k x k πππππ-<-<+，即把正、余弦函数的周期2k π与正切函数的周期k π混淆.8.函数()cos xf x e x =⋅在()()0,0f 处切线斜率为（ ）A. 0B. 1-C. 1D.2【答案】C 【解析】分析：首先求得函数()f x 的导函数，然后结合导函数研究函数的切线即可. 详解：由函数的解析式可得：()()()'cos sin cos sin xxxf x e x e x ex x =+⨯-=-，则()()()0'0cos0sin01101f e =-=⨯-=，即函数()xf x e cosx =⋅在()()0,0f 处切线斜率为1.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查导函数与原函数切线之间的关系，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.已知函数()sin(2)3f x x π=+，将其图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（ ） A.12πB.512π C.6π D.56π 【答案】B 【解析】 【分析】由平移变换得到()sin(22)3g x x πϕ=-+，由偶函数的性质得到sin(22)13x πϕ-+=±，从而求min 512πϕ=. 【详解】由题意得：()sin[2())]sin(22)33g x x x ππϕϕ=-+=-+，因为()g x 为偶函数，所以函数()g x 的图象关于0x =对称，所以当0x =时，函数()g x 取得最大值或最小值，所以sin(2)13πϕ-+=±，所以2,32k k Z ππϕπ-+=+∈，解得：1,22k k Z ππϕ=--∈， 因为0ϕ>，所以当1k =-时，min 512πϕ=，故选B. 【点睛】平移变换、伸缩变换都是针对自变量x 而言的，所以函数()f x 向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x ，不能错误地得到()sin (2)3g x x x πϕ=+-.10.已知函数2(1),10()1x x f x x ⎧+-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，则11()f x dx -⎰=（ ）A. 3812π-B. 44π+C. 3412π+D.3412π- 【答案】C 【解析】 【分析】由积分运算、微积分基本定理、积分的几何意义分别求出2101(1),,34x dx π-+==⎰⎰，从而求得1134()12f x dx π-+=⎰. 【详解】因为10111()()(),f x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰由微积分基本定理得：023011111()(1)(1)|33f x dx x dx x ---=+=+=⎰⎰，由积分的几何意义得：1(),4f x dx π==⎰⎰所以1134()12f x dx π-+=⎰，故选C. 【点睛】本题考查积分的运算法则及积分的几何意义的运用，考查数形结合思想和运算求解能力.11.若函数()()sin 2f x x b ϕ=++，对任意实数x 都有()2,133f x f x f ππ⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数b 的值为（ ） A. 2-和0 B. 0 和1 C. 1± D. 2±【答案】A【解析】 由()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得函数一条对称轴为π6x =,因此ππsin()1π()36k k ϕϕ+=±⇒=+∈Z ,由213f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭得4ππsin(π)1112036k b b b +++=-⇒=-±⇒=-或 ,选A. 点睛：求函数解析式sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>方法：(1)max min max min,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ. （4）由 ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴12.已知3tan 44πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A.725B.925C.1625D.2425【答案】B 【解析】π1tan 3tan 41tan 4ααα+⎛⎫+==⎪-⎝⎭，解得1tan 7α=-，故2π1cos 2π1sin 212cos sin cos 4222ααααα⎛⎫+- ⎪+⎛⎫⎝⎭-===+ ⎪⎝⎭，其中222sin cos tan 7sin cos sin cos tan 150αααααααα===-++，故19sin cos 225αα+=.点睛：本题驻澳考查三角恒等变换，考查两角和的正切公式，考查降次公式和二倍角公式，考查利用同角三角函数关系求解齐次方程.首先先根据两角和的正切公式求得tan α，然后利用降次公式和诱导公式化简要求解的式子，再利用齐次方程来求出结果.最突出的是选项的设置，如果记错降次公式或者诱导公式，则会计算出,A C 选项.13.设函数()()224,ln 25xf x e xg x x x =+-=+-，若实数,a b 分别是()(),f x g x 的零点，则（ ）A. ()()0g a f b <<B. ()()0f b g a <<C. ()()0g a f b <<D.()()0f b g a <<【答案】A 【解析】由题意得，函数()(),f x g x 在各自的定义域上分别为增函数， ∵()()120,130f e g =->=-<， 又实数,a b 分别是()(),f x g x 的零点 ∴1,1a b <>，∴()(1)0,()(1)0g a g f b f ， 故()()0g a f b <<。
湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高二下学期入学考试数学(理)试题含答案
长郡中学2018-2019学年度高二第二学期入学考试数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量90分钟.满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若222x y +>，则1x >或1y >的否命题是（ ） A. 若222x y +<，则1x ≤或1y ≤ B. 若222x y +<，则1x ≤且1y ≤ C. 若222x y +<，则1x <或1y <D. 若222x y +≤，则1x ≤且1y ≤2.在复平面内，复数(1)(1)z a a i =-++（a R ∈，i 为虚数单位），对应的点在第四象限的充要条件是（ ） A. 1a ≥- B. 1a >-C. 1a ≤-D. 1a <-3.已知{}n a 等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差为（ ）A.23B.32C. 23-D. 32-4.设函数()sin (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图象向左平移3π个单位长度后，所得图象与原函数的图象重合，则ω的最小值是（ ） A.13B. 3C. 6D. 95.已知x y 、满足2213xy +=，则2432u x y x y =+-+--的取值范围为（ ）A. []112， B. []06，C. []012， D. []113， 6.已知点P 是椭圆221168x y +=上非顶点的动点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M是12F PF ∠的平分线上一点，且10F M MP ⋅=u u u u r u u u r，则OM u u u u r 的取值范围是（ ） A. [)0,3B. (0,C. )⎡⎣D. (]0,4 7.执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为2670，则判断框中的条件可以为（ ）是A. 5?i <B. 6?i <C. 7?i <D. 8?i <8.已知点P ,Q 为圆C :x 2+y 2=25上任意两点,且|PQ|<6,若PQ 中点组成的区域为M ,在圆C 内任取一点,则该点落在区域M 上的概率为( )A.35 B.925 C. 1625D. 259.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ( )A. 4B.203C.263D. 810.已知函数224log ,02(){1512,22x x f x x x x <<=-+≥，若存在实数a b c d 、、、，满足()()()()f a f b f c f d ===，其中0d c b a >>>>，则abcd 的取值范围是（ ） A. (16,21)B. (16,24)C. (17,21)D. (18,24)11.三角形ABC 中，5BC =，G ，O 分别为三角形ABC 重心和外心，且5GO BC ⋅=u u u r u u u r，则三角形ABC的形状是（ ） A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 上述均不的12.设函数2()ln 2f x x x x =-+，若存在区间1[,][,)2a b ⊆+∞，使得()f x 在[,]a b 上的值域为[(2),(2)]k a k b ++，则k 的取值范围是（ ）A. 92ln 2[1,]4+ B. 92ln 2(1,)4+ C. 92ln 2[1,]10+ D. 92ln 2(1,]10+ 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题纸上.13.设{}1,0,1,3a ∈-，{}2,4b ∈-，则以(),a b 为坐标的点落在第四象限的概率为___________.14.已知向量,a b rr 满足：13a =r ,1b =r ,512a b -≤r r ，则b r 在a r 上的投影的取值范围是 ．15.曲线sin y x =与直线,32x x ππ=-=及x 轴所围成的图形的面积是________．16.如图所示，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上数字标签：原点处标数字0，点()1,0处标数字1，点(11)-，处标数字2，点(01)-，处标数字3，点(11)，--处标数字4，点(10)-，处标数字5，点()11-，处标数字6，点(01)，处标数字7，…以此类推：记格点坐标为()m n ，的点（m n ，均为正整数）处所标的数字为()f m n =，，若n m >，则()f m n =， ．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.通过市场调查,得到某种产品的资金投入x (单位:万元)与获得的利润y (单位:万元)的数据,如表所示: 资金投入x 2 3 4 5 6 利润y 23569(1)画出数据对应的散点图;(2)根据上表提供的数据,用最小二乘法求线性回归直线方程y bx a =+$$$; (3)现投入资金10万元,求获得利润的估计值为多少万元?参考公式：1122211ˆ()ˆ)(()nni i i ii i n nii i i x x y y x y nxyax x x nx b y bx====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑ 18.在数列{}n a 中，11a =，()1121n n n a ca c n ++=++()n *∈N ，其中实数0c ≠．(1)求23,a a ，并由此归纳出{}n a 的通项公式； (2) 用数学归纳法证明(Ⅰ)的结论．19.已知(2cos ,1),(cos ,)m x x n x y =+=-v v，且m n ⊥u v v． (1)将y 表示为x 的函数()f x ，并求()f x 的单调递增区间；(2)已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角A,B,C 的对边，若()32Af =，且2a =，4b c +=，求ABC ∆的面积．.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂中为G ，G 在AD 上，且14,,,23PG AG GD BG GC GB GC ==⊥==，E 是BC 的中点．（1）求异面直线GE 与PC 所成角余弦值；（2）若F 点是棱PC 上一点，且DF GC ⊥，求PFFC的值． 21.已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线的距离为322．设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点．(1) 求抛物线C 的方程；(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；(3) 当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值． 22.已知函数21()ln ,2f x x ax x a R =-+∈. （1）若(1)0f =，求函数()f x 的单调递减区间；（2）若关于x 的不等式()1f x ax ≤-恒成立，求整数a 的最小值数学（理科）参考答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量90分钟.满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.D2.D3.A4.C5.D6.B7.B8.B9.B10.B11.B12.D第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题纸上..13. 14,1]14 [51315 3216. (2n+1)2+m−n−1三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(1)依次画出图中所对应的五个点，（2）根据上表提供数据，先求平均数和，然后根据所给的第二个公式，计算，和，代入公式求出以后，再根据回归直线过点，代入直线方程求，得到回归直线方程；（3）当时，代入回归直线方程，得到利润的预报值.试题解析：（1）（2）x̅=2+3+4+5+65=4，y̅=2+3+5+6+95=5b=∑x i y i−nx̅y̅ni=1∑x i2−nx̅2ni=1=2×3+3×3+4×5+5×6+6×9−5×4×54+9+16+25+36−5×16=1.7∴a=y̅−bx̅=−1.8，∴ŷ=1.7x−1.8（3）当x=10（万元），ŷ=15.2（万元）18.(1) 由a1=1，及a n+1=ca n+c n+1(2n+1)(n∈N∗)得a2=ca1+c2⋅3=(22−1)c2+c，a3=ca2+c3(2×2+1)=c[(22−1)c2+c]+c3(2×2+1)=(32−1)c3+c2于是猜测:a n=(n2−1)c n+c n−1(n∈N∗)(2)下面用数学归纳法予以证明:10当n=1时，由a1=1=(12−1)c+c1−1显然结论成立．20假设n=k时结论成立，即a k=(k2−1)c k+c k−1那么，当n=k+1时，由a k+1=ca k+c k+1(2k+1)=c[(k2−1)c k+c k−1]+c k+1(2k+1)=(k2+2k)c k+1+c k=[(k+1)2−1]c k+1+c k显然结论成立．由10、20知，对任何n∈N∗都有a n=(n2−1)c n+c n−1(n∈N∗)19.（1）∵，∴，，由，得kπ−π3≤x≤kπ+π6,k∈Z，∴函数的递增区间为[kπ−π3,kπ+π6],k∈Z．（2）由（1）得，∴，，，∴．在中，由余弦定理得，，∴，∴．20.（1）以G点为原点，、、分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(2,0,0)，C(0,2,0),P(0,0,4)，故∵，∴GE与PC所成角的余弦值为√1010．（2）解：设F(0,y,z)，则，∵，∴，即(32,y −32,z)⋅(0,2,0)=2y −3=0，∴y =32， 又，即(0,32,z −4)=λ(0,2,−4)，∴z =1，故F(0,32,1)，，∴PFFC =3√52√52=321.解：（1）依题意，设拋物线C 的方程为x 2=4cy ，由√2=3√22结合c >0，解得c =1，所以拋物线C 的方程为x 2=4y .（2）拋物线C 的方程为x 2=4y ，即y =14x 2，求导得y ′=12x ， 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)(其中y 1=x 124,y 2=x 224)则切线PA,PB 的斜率分别为12x 1,12x 2，所以切线PA 的方程为y −y 1=x 12(x −x 1)，即y =x 12x −x 122+y 1，即x 1x −2y −2y 1=0，同理可得切线PB方程为x 2x −2y −2y 2=0，因为切线PA,PB 均过点P(x 0,y 0)，所以x 1x 0−2y 0−2y 1=0，x 2x 0−2y 0−2y 2=0， 所以(x 1,y 1),(x 2,y 2)为方程x 0x −2y 0−2y =0的两组解， 所以直线AB 的方程为x 0x −2y −2y 0=0.（3）由拋物线定义可知|AF|=y 1+1,|BF|=y 2+1，联立方程{x 0x −2y −2y 0=0x 2=4y，消去x 整理得y 2+(2y 0−x 02)y +y 02=0. 由一元二次方程根与系数的关系可得y 1+y 2=x 02−2y 0,y 1y 2=y 02， 所以|AF|⋅|BF|=y 1y 2+(y 1+y 2)+1=y 02+x 02−2y 0+1又点P(x 0,y 0)在直线l 上，所以x 0=y 0+2，所以y 02+x 02−2y 0+1=2y 02+2y 0+5=2(y 0+12)2+92， 所以当y 0=−12时，|AF|⋅|BF|取得最小值,且取得最小值为92. 22.（1）因为f(1)=1−a2=0，的所以a=2，故f(x)=lnx−x2+x,x>0，所以f′(x)=1x −2x+1=−2x2+x+1x=−(x−1)(2x+1)x(x>0)，由f′(x)<0，解得x>1，所以f(x)的单调减区间为(1,+∞)．（2）令g(x)=f(x)−(ax−1)=lnx−12ax2+(1−a)x+1，x>0，由题意可得g(x)<0在(0,+∞)上恒成立．又g′(x)=1x −ax+(1−a)=−ax2+(1−a)x+1x．①当a≤0时，则g′(x)>0．所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，又因为g(1)=ln1−12a×12+(1−a)+1=−32a+2>0，所以关于x的不等式f(x)≤ax−1不能恒成立．②当a>0时，g′(x)=−ax2+(1−a)x+1x =−a(x−1a)(x+1)x，令g′(x)=0，得x=1a．所以当x∈(0,1a)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增；当x∈(1a,+∞)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减．故当x=1a 时，函数g(x)取得极大值，也为最大值，且最大值为g(1a)=ln1a−12a×(1a)2+(1−a)×1a+1=12a−lna．令ℎ(a)=12a−lna,a>0，则ℎ(a)在(0,+∞)上单调递减，因为ℎ(1)=12>0，ℎ(2)=14−ln2<0．所以当a≥2时，ℎ(a)<0，所以整数a的最小值为2．。
2018-2019学年三湘教育联盟下学期高二期中考试数学试题(解析版)
2018-2019学年三湘教育联盟下学期高二期中考试 数学试题一、单选题1．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则C U B A I A ．{}1,6 B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,7【答案】C【解析】先求U A ð，再求U B A ⋂ð． 【详解】由已知得{}1,6,7U C A =，所以U B C A ⋂={6,7}，故选C ． 【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案． 2．设x ∈R ，则“02x <<”是“2230x x --<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】首先解一元二次不等式223013x x x --<⇒-<<，然后根据充分不必要条件即可判断. 【详解】由2230x x --<，则13x -<<，可知“02x <<”是“2230x x --<”的充分不必要条件， 故选：A 【点睛】本题主要考查充分不必要条件的含义，属于基础题. 3．在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a =（ ） A ．5 B ．8C ．10D ．14【答案】B【解析】试题分析：设等差数列{}n a 的公差为d ，由题设知，12610a d +=，所以，110216a d -==所以，716268a a d =+=+= 故选B.【考点】等差数列通项公式.4．已知向量a r ＝(1，0)，b r＝(-3，4)的夹角为θ，则sin2θ等于 ( )A ．725-B ．725C ．2425-D ．2425【答案】C【解析】首先根据向量夹角公式求出cos θ的值，然后求出sin θ，最后根据二倍角正弦公式即可得出结果. 【详解】33cos 155a b a bθ⋅==-=-⨯⋅r r r ，∵0θπ≤≤，∴4sin 5θ==，24sin 22sin cos 25θθθ==-，故选C. 【点睛】本题主要考查了向量夹角的计算以及二倍角正弦公式的应用，属于中档题.5．已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在半径为2的同一个球的球面上.则球的体积与圆柱的体积的比值为（ ） A ．43B ．916C ．34D ．169【答案】D【解析】根据圆柱的底面半径、球的半径与球心到圆柱底面的距离构成直角三角形求出圆柱的底面半径为r ，再有体积公式求出圆柱的体积与球的体积即可. 【详解】设圆柱的底面半径为r，则r ==所以圆柱的体积为2126V ππ=⋅⨯=， 又球的体积为32432233V =π⨯=π所以球的体积与圆柱的体积的比213216369V V ππ==故选：D 【点睛】本题主要考查几何体的体积，需熟记公式，属于基础题. 6．以下四个命题：①“若x y =，则22x y =”的逆否命题为真命题②“2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”的充分不必要条件 ③若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题④对于命题p ：0x R ∃∈，20010x x ++<，则p ⌝为：x R ∀∈，210x x ++≥其中真命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C【解析】①由原命题与逆否命题同真同假即可判断；②由函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”，则1a >，即可判断； ③由若p q ∧为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题即可判断出正误； ④由p ⌝的定义即可判断出正误； 【详解】对于①，由于原命题“若x y =，则22x y =”为真命题，即逆否命题也为真命题，故①对；对于②，“2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”为真命题，但“函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”，则1a >，故②对；对于③，若p q ∧为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题即可，故③错；对于④， 对于命题p ：0x R ∃∈，20010x x ++<，由p ⌝的定义可知p ⌝：x R ∀∈，210x x ++≥，故④对；故选：C 【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.7．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,L L ，即()()()()()121,12F F F n F n F n ===-+-()3,n n N *≥∈，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2019项的和为（ ）A ．672B ．673C ．1346D ．2019【答案】C【解析】求出已知数列除以2所得的余数，归纳可得{}n a 是周期为3的周期数列，求出一个周期中三项和，从而可得结果. 【详解】由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...各项除以2的余数， 可得{}n a 为1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,...， 所以{}n a 是周期为3的周期数列， 一个周期中三项和为1102++=， 因为20196733=⨯，所以数列{}n a 的前2019项的和为67321346⨯=， 故选C. 【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，考查了递推关系求数列各项的和，属于中档题.利用递推关系求数列中的项或求数列的和：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.8．已知变量x 、y 之间的线性回归方程为0.710.3y x =-+，且变量x 、y 之间的一-组相关数据如下表所示，则下列说法错误．．的是（ ）A ．可以预测，当20x =时， 3.7y =-B ．4m =C ．变量x 、y 之间呈负相关关系D ．该回归直线必过点()9,4【答案】B【解析】将20x =的值代入回归直线方程可判断出A 选项的正误；将(),x y 的坐标代入回归直线方程可计算出实数m 的值，可判断出B 选项的正误；根据回归直线方程的斜率的正负可判断出C 选项的正误；根据回归直线过点(),x y 可判断出D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，当20x =时，0.72010.3 3.7y =-⨯+=-，A 选项正确；对于B 选项，6810+1292x ++==，6321144m m y ++++==，将点(),x y 的坐标代入回归直线方程得110.7910.344m +=-⨯+=，解得5m =，B 选项错误； 对于C 选项，由于回归直线方程的斜率为负，则变量x 、y 之间呈负相关关系，C 选项正确；对于D 选项，由B 选项可知，回归直线0.710.3y x =-+必过点()9,4，D 选项正确.故选：B. 【点睛】本题考查回归直线方程有关命题的判断，解题时要熟悉与回归直线有关的结论，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题. 9．将函数()2sin(2)16f x x π=--的图象向左平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是 ( ) A ．函数()g x 的最小正周期是2π B ．函数()g x 的图象关于直线12x π=-对称C ．函数()g x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．函数()g x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上的最大值是1 【答案】C【解析】求出函数的周期判断A 的正误；函数的对称轴判断B 的正误；函数的单调性判断C 的正误；函数的最值判断D 的正误； 【详解】由题意知：()2sin(2)16g x x π=+-，最小正周期T 22ππ==，选项A 错误; 当12x π=-时，112g π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即函数()g x 的图象关于点(,1)12π--对称，选项B 错误；当(,)62x ππ∈时，72(,)626x πππ+∈， ∴函数()g x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，选项C 正确; ∵函数()g x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()()16g x g π<=，即函数()g x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上没有最大值， ∴选项D 错误，故选C. 【点睛】本题考查三角函数的简单性质，最值、单调性、周期以及单调性，考查命题的真假的判断，属于中档题．10．已知命题p ：“0x R ∃∈，200250x tx t +++<”，命题q ：“关于x 的方程20x t -=有正实数解”.若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则实数t 的取值范围是（ ） A ．[]1,10 B ．()(],21,10-∞-U C ．[]2,10- D ．()(],20,10-∞-U【答案】B【解析】根据“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，进行分了讨论，由此求得实数t 的取值范围. 【详解】当p 真时，()()()224258202100t t t t t t ∆=-+=--=+->，解得2t <-或10t >.当q 真时，0x >时，20x >，所以关于x 的方程20x t -=有正实数解，可得21x t =>. 由于“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，所以,p q 一真一假. 当p 真q 假时， “2t <-或10t >”且“1t ≤”，所以2t <-. 当p 假q 真时，“210t -≤≤”且“1t >”，所以110t <≤. 综上所述，实数t 的取值范围是()(],21,10-∞-U . 故选：B. 【点睛】本小题主要考查根据含有逻辑联结词的命题的真假性求参数的取值范围，属于基础题.11．已知1a >，1b >，且11111a b +=--.若不等式24416a b x x m +-++-…对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞ B ．(],3-∞C ．(],6-∞D ．[)6,+∞【答案】D【解析】首先根据不等式24416a b x x m +-++-…恒成立求得4a b m ++的取值范围.然后结合“1”代换的方法以及基本不等式，求得实数m 的取值范围. 【详解】由于不等式24416a b x x m +-++-…对任意实数x 恒成立，即24416a b m x x ++≥-++恒成立，而()2241622020x x x -++=--+≤，所以420a b m ++≥①.由于10,10a b ->->，()41415a b a b +=-+-+()()11141511a b a b ⎛⎫=-+-++⎡⎤⎪⎣⎦--⎝⎭()()414111101021111b b a a a b a b ----=++≥+⋅----10414=+=.所以1420m +≥，解得6m ≥.故选D. 【点睛】本小题主要考查根据不等式恒成立问题求参数的取值范围，考查利用“1”的代换的方法和基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12．如图，AD 是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔BD ，若某科研小组在坝底A 点测得15BAD ∠=o ，沿着坡面前进40米到达E 点，测得45BED ∠=o ，则大坝的坡角（DAC ∠）的余弦值为（ ）A ．31B ．312C 21D ．212【答案】A【解析】由15BAD ∠=o ，45BED ∠=o ，可得30ABE ∠=o ，在ABE ∆中，由正弦定理得20BE =，在BED ∆中，由正弦定理得sin 1BDE ∠=，进而由()sin sin 90BDE DAC ∠=∠+o可得结果.【详解】因为15BAD ∠=o ，45BED ∠=o ，所以30ABE ∠=o .在ABE ∆中，由正弦定理得sin 30sin15AE BE=o o，解得20BE =.在BED ∆中，由正弦定理得sin sin 45BE BDBDE =∠o，所以202sin 120BDE ∠==.又90ACD ∠=o ，所以()sin sin 90BDE DAC ∠=∠+o，所以cos 1DAC ∠=. 故选：A. 【点睛】本题考查正弦定理解三角形，考查诱导公式，考查学生合理进行边角转化的能力，属于中档题.二、填空题13．已知函数()22,11,1x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，则()()21f f -=_______.【答案】2【解析】由函数()22,11,1x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩求出(2)4f =，(1)112f =+=，由此能求出()()21f f -的值.【详解】Q 函数()22,11,1x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，∴(2)4f =，(1)112f =+=，()()21422f f ∴-=-=故答案为：2 【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题.14．已知tan α，tan β是方程22350x x +-=的两个实数根，则()tan αβ+=_______. 【答案】37-【解析】根据根与系数之间的关系得到tan tan αβ+和tan tan αβ的值，利用两角和的正切公式进行计算即可. 【详解】Q tan α，tan β是方程22350x x +-=的两个实数根，3tan tan 2αβ∴+=-，5tan tan 2αβ=-，由()3tan tan 25tan t 3tan 17a 21n ααβαββ+===--⎛⎫- ⎪⎝⎭-+-，故答案为：37- 【点睛】本题主要考查正切的两角和的公式，需熟记公式. 15．已知,R a b ∈，且360a b -+=，则128ab +的最小值为_____________. 【答案】14【解析】由题意首先求得3a b -的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件. 【详解】由360a b -+=可知36a b -=-， 且：312228aa b b -+=+，因为对于任意x ，20x >恒成立，结合均值不等式的结论可得：3122224ab-+≥==.当且仅当32236a b a b -⎧=⎨-=-⎩，即31a b =-⎧⎨=⎩时等号成立.综上可得128ab +的最小值为14. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1O x y +=，()221:44O x y -+=，动点P在直线0x b +-=上，过P 点分别作圆1,O O 的切线，切点分别为,A B ，若满足2PB PA =的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________．【答案】20(,4)3-. 【解析】设出点的坐标，将原问题转化为直线与圆相交的问题，求解关于b 的不等式即可求得实数b 的取值范围. 【详解】由题意O (0,0),O 1(4,0).设P (x ,y )，则 ∵PB =2P A ，=∴(x −4)2+y 2=4(x 2+y 2)， ∴x 2+y 2+81633x -=0， 圆心坐标为4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭,半径为83，∵动点P在直线x −b =0上，满足PB =2P A 的点P 有且只有两个， ∴直线与圆x 2+y 2+81633x -=0相交， ∴圆心到直线的距离83d =<， ∴4164163333b --<<-+， 即实数b 的取值范围是20,43⎛⎫-⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查圆的方程及其应用，等价转化的数学思想，直线与圆是位置关系的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题17．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，12a =，32216a a =+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（1）212n na -=（2）21n nT n =+ 【解析】（1）由等比数列的通项公式求出q 即可求解. （2）由（1）求出n b 的通项公式，再有裂项相消法求和即可. 【详解】解：（1）由已知：12a =，32216a a =+∴22416q q =+即2280q q --=，所以4q =或2q =-（舍去），∴11211242n n n n a a q ---==⨯=（2）由（1）知：2log n n b a ==212log 221n n -=- ∴()()1112121n n b b n n +==⋅-+11122121n n ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭ 12231111n n n T b b b b b b +=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ 111111123352121n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪-+⎝⎭L 11122121nn n ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭ 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于中档题.18．2018年，教育部发文确定新高考改革正式启动，湖南、广东、湖北等8省市开始实行新高考制度，从2018年下学期的高一年级学生开始实行.为了适应新高考改革，某校组织了一次新高考质量测评，在成绩统计分析中，高二某班的数学成绩的茎叶图和频率分布直方图因故都受到不同程度的损坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）求该班数学成绩在[)50,60的频率及全班人数； （2）根据频率分布直方图估计该班这次测评的数学平均分；（3）若规定90分及其以上为优秀，现从该班分数在80分及其以上的试卷中任取2份分析学生得分情况，求在抽取的2份试卷中至少有1份优秀的概率.【答案】（1）频率为0.08，全班人数为25.（2）73.8；（3）35【解析】（1）由频率分布直方图小矩形的面积即为频率，频数÷频率即得出全班人数.（2）根据频率分布图平均数=每个小矩形底边中点横坐标⨯小矩形的面积，代入数据即可求解.（3）列出基本事件，根据古典概型的概率求法即可求解. 【详解】（1）频率为0.08，频数=2，所以全班人数为20.08=25. （2）估计平均分为：550.08650.28750.4⨯+⨯+⨯+850.16950.0873.8⨯+⨯=. （3）由已知得[)80,100的人数为：（0.16+0.08）0.160.0825+⨯=（）426+=. 设分数在[)80,90的试卷为A ，B ，C ，D ，分数在[]90,100的试卷为a ，b . 则从6份卷中任取2份，共有15个基本事件，分别是AB ，AC ，AD ，Aa ，Ab ，BC ，BD ，Ba ，Bb ，CD ，Ca ，Cb ，Da ，Db ，ab ，其中至少有一份优秀的事件共有9个，分别是Aa ，Ab ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，Da ，Db ，ab ，∴在抽取的2份试卷中至少有1份优秀的概率为93155P ==. 【点睛】本题考查了茎叶图、频率分布直方图以及古典概型的概率，属于综合性题目. 19．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且asin B ＝－bsin 3A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭. (1)求A ；(2)若△ABC 的面积S ＝3c 2，求sin C 的值． 【答案】（1）56π；（2）7【解析】（1）利用正弦定理化简已知等式即得A=56π.(2)先根据△ABC 的面积S ＝3c 2得到b ＝3c ，再利用余弦定理得到a ＝7c ，再利用正弦定理求出sin C 的值． 【详解】(1)因为asin B ＝－bsin )3A π+（，所以由正弦定理得sin A ＝－sin )3A π+（，即sin A ＝－12sin A －3cos A ，化简得tan A ＝－3， 因为A ∈(0，π)，所以A ＝56π. (2)因为A ＝56π，所以sin A ＝12，由S ＝3c 2＝12bcsin A ＝14bc ，得b ＝3c ， 所以a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ＝7c 2，则a ＝7c ，由正弦定理得sin C ＝sin 7c A a =. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，D 、E 、F 、G 分别为1AA ，AC 、11A C 、1BB ，的中点，且5AB BC ==，23AC =，115AA =.（1）证明：AF P 平面1BEC ；（2）证明：AC FG ⊥；（3）求直线BD 与平面1BEC 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）31414【解析】（1）根据题意由1FC AE P ，1FC AE =，证出1AF EC P 即可证出AF P 平面1BEC ；（2）先证出AC ⊥平面BEF ，再有FG ⊂平面BEF 即可证出AC FG ⊥； （3）过D 作1DO C E ⊥于点O ，连接BO ，可证出DBO ∠就是所求的角，在三角形中求解即可； 【详解】（1）连接AF ，Q E ，F 分别为AC ，11A C 的中点且11AC AC P ，11AC A C =∴1FC AE P ，1FC AE =∴四边形1AEC F 是平行四边形，∴1AF EC P又AF ⊄平面1BEC ，1EC ⊂平面1BEC ，∴AF P 平面1BEC .（2）在三棱柱111ABC A B C -中，Q 1CC ⊥平面ABC ， ∴四边形11A ACC 为矩形．又E ，F 分别为AC ，11A C 的中点， ∴AC EF ⊥．Q AB BC =．∴AC BE ⊥，∴AC ⊥平面BEF ．又G 是1BB 中点，1BB EF P ，∴G 在平面BEF 内 ，∴AC FG ⊥.（3）过D 作1DO C E ⊥于点O ，连接BO ， 易证BE ⊥平面11ACC A ，∴DO BE ⊥，∴DO ⊥平面1BEC 从而DBO ∠就是所求的角.由平面几何知识计算得，BD =，sin DO DBO =⇒∠=14DO BD =.∴直线BD 与平面1BEC 【点睛】本题考查了立体几何中线面平行、异面直线垂直、线面角，要证线面平行，则要证线线平行；证明异面直线垂直，需证线面垂直；求线面角的步骤“作、证、求”，此题是立体几何的综合性题目.21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且220n n S a -+=，函数()f x 对任意的x ∈R 都有()()11f x f x +-=，数列{}n b 满足()120n b f f f n n ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…()11n f f n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足n n n c a b =⋅，n T 是数列{}n c 的前n 项和，是否存在正实数k ，对于任意n *∈N ，不等式()29264n n k n n T nc -+>，恒成立？若存在，请求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2nn a =.12n n b +=；（2）存在，()2,+∞ 【解析】（1）由n S 求n a ，根据220n n S a -+=得22n n S a =-，再有1122n n n n S S a a ---=-得12n n a a -=即可求出n a 的通项公式；由()()11f x f x +-=，根据倒序相加法可求n b .（2）用分离参数法，根据（1）由()29264n n k n n T nc -+>得()221926n k n n +>-+，令()()()*221926n g n n N n n +=∈-+求出()max2g n =即可.【详解】解：（1）Q 220n n S a -+=即22n n S a =- 当1n =时，1122S a =-，∴12a =当2n ≥时，1122n n S a --=-，∴1122n n n n S S a a ---=-，即12n n a a -=∴{}n a 是等比数列，首项为12a =，公比为2，∴2n n a =.Q ()()11f x f x +-=，∴111n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.Q ()120n b f f f n n ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…()11n f f n -⎛⎫++ ⎪⎝⎭.∴()121n n n b f f f n n --⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…()01f n f ⎛⎫++ ⎪⎝⎭. ∴①+②，得21n b n =+， ∴12n n b +=（2）Q n n n c a b =⋅，∴()112n n c n -=+⋅∴012223242n T =⋅+⋅+⋅+…()112n n -++⋅. ①1232223242n T =⋅+⋅+⋅+…()1212n n n n -+⋅++⋅ ②①－②得12222n T -=+++…()1212n n n -+-+⋅即2nn T n =⋅.要使得不等式()29264n n k n n T nc -+>恒成立，Q ()29260n n n T -+>恒成立∴()24926nnnc k nn T >-+对于一切的*n N ∈恒成立，即()221926n k n n +>-+ ，令()()()*221926n g n n N n n +=∈-+，则()()()()221111136n g n n n +==+-++()()22361111n n ≤=+-++当且仅当5n =时等号成立，故()max 2g n =. 故k 的取值范围为()2,+∞. 【点睛】本题考查由n S 求n a 的通项公式，倒序相加法求通项公式以及分离参数法求参数的取值范围，综合性比较强.22．若函数()y f x =对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的2x ，使()()121f x f x =成立，则称该函数为“依赖函数”.（1）判断函数()cos g x x =是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数()13x f x -=在定义域[],m n （0n m >>）上为“依赖函数”，求mn 的取值范围；（3）已知函数()()243h x x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭…在定义域4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为“依赖函数”.若存在实数4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意的t R ∈，不等式()()24h x t s t x -+-+…恒成立，求实数s的最大值.【答案】（1）不是“依赖函数”，见解析；（2）()0,1mn ∈（3）实数s 的最大值为4112. 【解析】（1）利用13x π=时，2cos 2x =不可能成立，判断出()g x 不是“依赖函数”.（2）结合指数型函数的单调性，利用“依赖函数”的定义，求得2n m =-，由此将mn 转化为()2m m -，然后结合二次函数的单调性，求得mn 的取值范围.（3）根据a 与区间4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦的位置关系进行分类讨论，结合二次函数的性质以及“依赖函数”的定义，求得a 的值.由此化简不等式()()24h x t s t x -+-+…为以t 为主变量的形式.利用判别式得到265324339s x x ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，结合存在性问题，由53239x x+的最大值，求得s 的取值范围，从而求得s 的最大值.【详解】（1）对于函数()cos g x x =的定义域R 内存在13x π=，则()22cos 2g x x ==，无解，故()cos g x x =不是“依赖函数”. （2）因为()13x f x -=在[],m n 递增，故()()1f m f n =，即11331m n --=，2m n +=由0n m >>，故20n m m =->>，得01m <<，从而()2mn m m =-在()0,1m ∈上单调递增，故()0,1mn ∈，（3）①若443a ≤<，故()()2h x x a =-在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值为0，此时不存在2x ，舍去；②若4a ≥故()()2h x x a =-在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴()4413h h ⎛⎫⋅=⎪⎝⎭，解得1a =（舍）或133a =. ∴存在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意的t R ∈，有不等式()221343x t s t x ⎛⎫-≥-+-+ ⎪⎝⎭都成立，即2226133039t xt x s x ⎛⎫++-++≥ ⎪⎝⎭恒成立，由22261334039x x s x ⎡⎤⎛⎫∆=--++≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 得2532926433s x x ⎛⎫+≤ ⎪+⎝⎭，由4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得265324339s x x ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭， 又53239y x x =+在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，故当43x =时，max 532145393x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 从而26145433s ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，解得4112s ≤， 综上，故实数s 的最大值为4112. 【点睛】本小题主要考查新定义函数概念的理解和运用，考查余弦函数函数值的特点，考查指数型函数的单调性，考查存在性与恒成立结合而成的问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.。
湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高二下学期期中数学试题
湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高二下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．若集合{|12}A x x =-<<，{|13}B x x =剟，则A B =I （ ） A ．(1,2)- B ．[1,2) C ．[1,3] D ．(1,3]-2．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是相邻两边的长分别为1和2的矩形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积为（ ）A ．4πB ．πC ．12πD ．13π3．下列函数中，在区间()0,1上是增函数的是（ ） A ．y x =B ．3y x =-C ．1y x=D ．24y x =-+4．函数2cos ()y x x R =∈的最小值是（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．25．如果0x >,那么14x x+的最小值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．56．在空间中，设m ，n 为两条不同直线， α，β为两个不同平面，则下列命题正确的是A ．若//m α且//αβ，则//m βB ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥且//αβ，则m β⊥D ．若m 不垂直于α，且n ⊂α，则m 必不垂直于n7．某袋中有9个除颜色外其他都相同的球,其中有5个红球,4个白球,现从中任意取出1个,则取出的球恰好是白球的概率为( ) A ．15B ．14C ．49D ．598．已知一个算法，其流程图如图所示，则输出结果是（ ）A ．7B ．10C ．13D ．169．设x ，y 满足约束条件{y +2⩾0，x −2⩽0，2x −y +1⩾0，则z =x +y 的最大值与最小值的比值为（ ）A ．−2B ．−32C ．−1D ．−5210． 已知函数()()221,1log 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，()2221g x x x m =-+-．若函数()y f g x m ⎡⎤=-⎣⎦ 恰有6个不同的零点，则的取值范围是( )A ．(]0,3B ．(),1-∞C ．()0,1D ．30,5⎛⎫ ⎪⎝⎭11．已知向量a r 与b r 的夹角为4π，若a r ||=4a b ⋅=r r ，则||b =r _______.12．已知2sin 3α=，则cos(2)πα-=__________． 13．在ABC V中，已知AB =cos 3C =，2A C =，则BC 的长为________. 14．某工厂生产,,A B C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本,样本中A 种型号产品有16件,那么此样本的容量n = 15．如图1，矩形ABCD 中，2AB BC =，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A EF C --（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF 所成的角的大小为________.16．已知等差数列{}n a 的公差2d =，且126a a +=. （1）求1a 及n a ；（2）若等比数列{}n b 满足11b a =，22b a =，求数列{}n n a b +的前n 项的和n S . 17．某校高三年级50名学生参加数学竞赛，根据他们的成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，已知分数在[)90,100的矩形面积为0.16，求：()1分数在[)50,60的学生人数； ()2这50名学生成绩的中位数(精确到0.1)；()3若分数高于60分就能进入复赛，从不能进入复赛的学生中随机抽取两名，求两人来自不同组的概率．18．已知向量()2sin ,1a x =r，()2cos ,1b x =r ，x ∈R ．（1）当4x π=时，求向量a b +rr 的坐标；（2）设函数()f x a b =⋅rr ，将函数()f x 图象上所有点向左平移4π个单位长度得到()g x 的图象，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的最小值． 19．已知函数2()log (1)f x x =-. （1）求函数()f x 的定义域；（2）设()()g x f x a =+，若函数()g x 在(2,3)上有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围；（3）设()()()mh x f x f x =+，是否存在正实数m ，使得函数()y h x =在[3,9]内的最小值为4？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由. 20．已知圆C ：22230x y x ＋＋－＝． (1)求圆的圆心C 的坐标和半径长；(2)直线l 经过坐标原点且不与y 轴重合，l 与圆C 相交于()()1122,,A x y B x y 、两点，求证：1211+x x 为定值；(3)斜率为1的直线m 与圆C 相交于D 、E 两点，求直线m 的方程，使CDE ∆的面积最大．参考答案1．B 【解析】 【分析】根据集合的交集的概念及运算，即可求解A B I ，得到答案. 【详解】由题意，集合{|12}A x x =-<<，{|13}B x x =剟， 根据集合的交集的概念及运算，可得{|12}[1,2)A B x x =≤<=I . 故选：B. 【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中熟记集合的交集的概念及运算是解答的关键，着重考查了推运算能力. 2．B 【解析】 【分析】几何体为底面半径为1高为1的圆柱，计算体积得到答案. 【详解】根据三视图知几何体为底面半径为1高为1的圆柱，故体积2V r h ππ==. 故选：B . 【点睛】本题考查了三视图和几何体的体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 3．A 【解析】 【分析】根据一次函数，反比例函数，二次函数性质可得3y x =-，1y x=，24y x =-+在()0,1不是增函数，在区间()0,1上，y x x ==是增函数. 【详解】()0,1x ∈时， y x x ==，所以y x =在()0,1上是增函数；13,y x y x=-=在()0,1上均是减函数； 24y x =-+是开口向下以0x =为对称轴的抛物线，所以24y x =-+在在()0,1上是减函数，所以A 正确． 故选：A 【点睛】此题考查函数单调性的判断，需要对常见函数的基本性质熟练掌握. 4．A 【解析】 【分析】根据余弦函数的性质，得到1cos 1x -≤≤，即可求得函数的最小值，得到答案. 【详解】由题意，根据余弦函数的性质，可得1cos 1x -≤≤， 当cos 1x =-时，函数2cos y x =取得最小值，最小值为2-. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质的应用，其中解答中熟记余弦函数的值域是解答的关键，着重考查了计算能力. 5．C 【解析】 【分析】利用基本不等式的性质有144x x +≥=,最后验证取等的情况即可. 【详解】 解: 因为0x >,所以144x x +≥=, 当且仅当14x x =,即12x =时等号成立. 故14x x+的最小值为4.故选:C【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值,是基础题.解决此类题型一定要注意”一定二正三相等”. 6．C【解析】【分析】【详解】解：由m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，知：在A中，若m∥α且α∥β，则m∥β或m⊂β，故A错误；在B中，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，若m⊥α且α∥β，则由线面垂直的判定定理得m⊥β，故C正确；在D中，若m不垂直于α，且n⊂α，则m有可能垂直于n，故D错误．故选：C．7．C【解析】【分析】样本点总数为9，取出的球恰好是白球含4个样本点，计算得到答案.【详解】从9个球中任意取出1个,样本点总数为9,取出的球恰好是白球含4个样本点,故所求概率为4 9 ,故选：C.【点睛】本题考查了古典概率的计算，属于简单题.8．B【解析】【分析】根据程序框图的计算功能，可得x的取值依次构成一个等差数列，结合等差数列的通项公式，即可求解.【详解】由题意，根据程序框图的计算功能，可得x 的取值依次构成一个等差数列， 且满足首项为1，公差为3，写出这个教列1，4，7，10，…，故输出结果为10. 故选B . 【点睛】本题主要考查了程序框图的计算与输出，其中解答中根据给定的程序框图，得到该程序框图的计算功能是解答的关键，着重考查了计算能力. 9．A 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线z =x +y ，观察直线在x 轴上取得最大值和最小值时相应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出z 最大值和最小值，于此可得出答案。
湖南省长郡中学2018-2019学年高二上学期第二次模块检测数学(理)答案
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湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高二_上_入学数学试卷_解析版_
2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）入学数学试卷一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分。
1．（3分）已知集合A＝{﹣1，1}，B＝{x|mx＝1}，且A∪B＝A，则m的值为（）A．1B．﹣1C．1或﹣1D．1或﹣1或0 2．（3分）下列命题中正确的是（）A．第一象限角必是锐角B．终边相同的角相等C．相等的角终边必相同D．不相等的角其终边必不相同3．（3分）已知函数g（x）＝3x+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为（）A．t≤﹣1B．t＜﹣1C．t≤﹣3D．t≥﹣34．（3分）等差数列{a n}中，a1+a4+a7＝39，a3+a6+a9＝27，则数列{a n}前9项的和S9等于（）A．99B．66C．144D．2975．（3分）如图，该程序运行后输出的结果为（）A．7B．15C．31D．636．（3分）下列命题中：（1）平行于同一直线的两个平面平行；（2）平行于同一平面的两个平面平行；（3）垂直于同一直线的两直线平行；（4）垂直于同一平面的两直线平行．其中正确的个数有（）A．1B．2C．3D．47．（3分）如图所示，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD＝6，AB ＝3，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为（）A．90°B．45°C．60°D．30°8．（3分）函数y＝tan（）的单调递增区间是（）A．（2kπ﹣，2kπ+）k∈ZB．（2kπ﹣，2kπ+）k∈ZC．（4kπ﹣，4kπ+）k∈ZD．（kπ﹣，kπ+）k∈Z9．（3分）若仅存在一个实数，使得曲线C：关于直线x＝t对称，则ω的取值范围是（）A．B．C．D．10．（3分）直线l：ax+y﹣2﹣a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是（）A．1B．﹣1C．﹣2或﹣1D．﹣2或111．（3分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知b2＝c（b+2c），若a＝，cos A＝，则△ABC的面积等于（）A．B．C．D．312．（3分）若函数f（x）＝lg（+a）是奇函数，则使f（x）＜0的x的取值范围是（）A．（0，1）B．（﹣1，0）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）13．（3分）已知圆T：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25，过圆T内定点P（2，1）作两条相互垂直的弦AC和BD，那么四边形ABCD面积最大值为（）A．21B．21C．D．4214．（3分）设a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，若，，依次成公差不为0的等差数列，则（）A．a，b，c依次成等差数列B．a2，b2，c2依次成等差数列C．，，依次成等比数列D．a2，b2，c2依次成等比数列15．（3分）已知函数f（x）＝|lnx|﹣1，g（x）＝﹣x2+2x+3，用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）＝min{f（x），g（x）}，则函数h（x）的零点个数为（）A．1B．2C．3D．416．（理科选做）已知函数f（x）＝|x|﹣1，关于x的方程f2（x）﹣|f（x）|+k＝0，下列四个结论中正确的有（）①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分。