数学分析第二型曲线积分

数学分析第二型曲线积分

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§2 第二型曲线积分 教学目的与要求：

掌握第二型曲线积分的定义和计算公式，了解第一、二型曲线积分的差别． 教学重点，难点：

重点：第二型曲线积分的定义和计算公式 难点：第二型曲线积分的计算公式 教学内容：

第二型曲线积分

一 第二型曲线积分的意义

在物理学中还碰到另一种类型的曲线积分问题。例如一质点受力),(y x F 的作用沿平面曲线L 从点A 移动到点B ，求力),(y x F 所作的功(图220-)。

为此在曲线B A )

内插入1-n 个分点121,,,-n M M M Λ，与n M B M A ==,0一起把有向曲线B A )

分成n 个有向小曲线段),,2,1(1n i M M i i Λ=-，若记小曲线段i i M M 1-的弧长为

i s ∆，则分割T 的细度为

i n

i s T ∆=≤≤1max 。

设力),(y x F 在x 轴和y 轴方向的投影分别为),(y x P 与),(y x Q ，那么

)),(),,((),(y x Q y x P y x F =。

又设小曲线段i i M M 1-在x 轴与y 轴上的投影分别为1--=∆i i i x x x 与1--=∆i i i y y y ，其中),(i i y x 与),(11--i i y x 分别为分点i M 与1-i M 的坐标，记

),(1i i M M y x L i i ∆∆=-，

于是力),(y x F 在小曲线段i i M M 1-上所作的功

i i i i i i M M i i i y Q x p L F W i i ∆+∆=⋅≈-),(),(),(1ηξηξηξ,

其中),(i i ηξ为小曲线段i i M M 1-上任一点。因而力),(y x F 沿曲线B A )

所作的功近似的等于

∑∑∑===∆+∆≈=n

i i i i n i i i i n i i y Q x p W W 1

1

1

),(),(ηξηξ

当细度0→T 时，上式右边和式的极限就应该是所求的功。这种类型的和式的极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分。

定义1 设函数),(y x P 与),(y x Q 定义在平面有向可求长度曲线上。对L 的任一分割

T ，它把L 分成n 个小曲线段

),,2,1(1n i M M i i Λ=-

其中B M A M n ==,0。记各小曲线段i i M M 1-的弧长为i s ∆，分割T 的细度i n

i s T ∆=≤≤1max 。

又设T 的分点i M 的坐标为),(i i y x ，并记。在每个小曲线段i i M M 1-上任取一点),(i i ηξ，若极限

∑∑=→=→∆+∆n

i i

i

i

T n

i i

i

i

T y

Q x

p 1

1

),(lim

),(lim

ηξηξ

存在且与分割T 与点),(i i ηξ的取法无关，则称此极限为函数),(y x P ，),(y x Q 沿有向曲线

L 上的第二型曲线积分，记为

⎰+L

dy y x Q dx y x P ),(),(或⎰

+AB

dy y x Q dx y x P ),(),( )1(

上述积分也可写作

⎰⎰+L

L

dy y x Q dx y x P ),(),(

或 ⎰

⎰+AB

AB

dy y x Q dx y x P ),(),(

为书写简洁起见，)1(式常简写成

⎰+L

Qdy Pdx 或⎰

+AB

Qdy Pdx

若L 为封闭的有向曲线，则记为

⎰+L

Qdy Pdx

)2(

若记),()),,(),,((),(dy dx ds y x Q y x P y x F ==，则)1(式可写成向量形式 ⎰⋅L

ds F 或⎰

⋅AB

ds F )3(

于是，力)),(),,((),(y x Q y x P y x F =沿有向曲线B A L )

:对质点所作的功为

⎰+=L

dy y x Q dx y x P W ),(),(。

倘若L 为空间有向可求长度曲线，),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 为定义在L 上的函数，则可按上述办法类似地定义沿空间有向曲线L 上的第二型曲线积分，并记为

⎰++L

dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(， )4(

或简写成

⎰++L

Rdz Qdy Pdx 。

当把)),(),,(),,((),(y x R y x Q y x P y x F =与),,(dz dy dx ds =看作三维向量时，)4(式也可表示成)3(式的向量形式。

第二型曲线积分与曲线L 的方向有关。对同一曲线，当方向由A 到B 改变为由B 到A 时，每一小曲线段的方向都改变。从而所得的i i y x ∆∆,也随之改变符号，故有

⎰⎰

+-=+BA

AB

Qdy Pdx Qdy Pdx

而第一型曲线积分的被积表达式只是函数),(y x f 与弧长的乘积，它与曲线L 的方向无关。这是两种类型曲线积分的一个重要区别。

类似于第一型曲线积分，第二型曲线积分也有如下一些重要性质：

1. 若),,2,1(k i dy Q dx P AB i i Λ=+⎰存在，则dy Q c dx P c k i i i L

k i i i ⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∑⎰∑--11也存在，且

()∑⎰∑⎰∑=--+=⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫

⎝⎛k

i L

i k i i i L k i i i Qdy Pdx c dy Q c dx P c 111,

其中),,2,1(k i c i Λ=为常数。

2. 若有向曲线L 是由有向曲线k L L L Λ,,21首尾相接而成，且

)

,,2,1(k i Qdy Pdx i

L Λ=+⎰

存在，则

⎰+L

Qdy

Pdx 也存在, 且

∑⎰

⎰=+=+k

i L L

i

Qdy Pdx Qdy Pdx 1

。二 第二型曲线积分的计算

与第一型曲线积分一样，第二型曲线积分也可化为定积分来计算。

设平面曲线

⎩⎨

⎧==)

()

(:t y t x L ψϕ，],[βα∈t 其中)(),(t t ψϕ在[]βα,上具有一阶连续导函数，且点A 与B 的坐标分别为()()()αψαϕ,与

()()()βψβϕ,。又设),(y x P 与),(y x Q 为L 上的连续函数，则沿L 从A 到B 的第二型曲线

积分

()()()()()()()()[]dt

t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P L

⎰⎰'+'=+β

αψψϕϕψϕ,,),(),(

)6(