圆锥曲线专题——定值定点问题(附解析)

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圆锥曲线专题——定值定点问题

1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为1

2

，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为

半径的圆与直线0x y -+=相切．

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A 、B 两点，且2

2OA OB

b k k a

=-，判断AOB ∆的面

积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．

【解答】

解：（1）椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切，

∴b ==

又222a b c =+，1

2

c e a =

=， 解得24a =，23b =，

故椭圆的方程为22

143

x y +=．

()II 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由22

14

3y kx m

x y =+⎧⎪

⎨+=⎪⎩化为222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， △22226416(34)(3)0m k k m =-+->，化为22340k m +->．

∴122

834mk

x x k +=-+，21224(3)34m x x k -=+．

222

2

121212122

3(4)

()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k

-=+

+=+++=+， 3

4

OA OB k k =-，

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∴

121234y y x x =-，12123

4

y y x x =-， 22222

3(4)34(3)34434m k m k k --=-

+

+，化为22

243m k -

=，

||AB

==

又11)

4d

=

=-

=

，

1

||2

S AB d ===

22342

k +=== （1）求椭圆E 的标准方程；

（2）过F 作直线l 与椭圆交于A 、B 两点，问：在x 轴上是否存在点P ，使PA PB 为定值，若存在，请求出P 点坐标，若不存在，请说明理由．

【解答】解：（

1）由题意知1c =，过F 且与x 轴垂直的弦长为3，

则223b a =，即222()

3a c a -=，则2a =，b

∴椭圆E 的标准方程为22143

x y +=；

（2）假设存在点P 满足条件，设其坐标为(,0)t ，

设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，当l 斜率存在时，设l 方程为(1)y k x =-，

联立22

(1)

3412

y k x x y =-⎧⎨+=⎩，整理得：2222(43)84120k x k x k +-+-=，△0>恒成立．

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2122

843k x x k ∴+=+，2122412

43

k x x k -=+． ∴1(PA x t =-，1)y ，2(PB x t =-，2)y ．

∴222212121212()()(1)()()PA PB x t x t y y k x x k t x x k t =--+=+-++++

22222222(1)(412)()8()(43)

43k k k t k k t k k +--++++=

+， 2222

(485)3(12)

43

t t k t k --+-=+， 当PA PB 为定值时，2248531243t t t ---=

，11

8t ∴=， 此时22312135

4364

t PA PB t -==-=-

． 当l 斜率不存在时，11(8P ，0)，3(1,)2A ，3(1,)2B -．3(8PA =-，3

)2

，3(8PB =-，3)2-，

∴135

64

PA PB =-

， ∴存在满足条件的点P ，其坐标为11

(

8

，0)． 此时PA PB 的值为135

64

-

． 3．已知点(2,1)M 在抛物线2:C y ax =上，A ，B 是抛物线上异于M 的两点，以AB 为直径的圆过点M ．

（1）证明：直线AB 过定点；

（2）过点M 作直线AB 的垂线，求垂足N 的轨迹方程． 【解答】证明：（Ⅰ）点(2,1)M 在抛物线2:C y ax =上，

14a ∴=，解得1

4

a =

，

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∴抛物线的方程为24x y =，

由题意知，故直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y kx m =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，

2)y ，

联立得24x y

y kx m

⎧=⎨=+⎩，消y 可得2440x kx m --=，得124x x k +=，124x x m =，

由于MA MB ⊥，

∴0MA MB =，

即1212(2)(2)(2)(2)0x x y y --+--=，

即121212122()()50x x x x y y y y -++-++=，(*)

1212()2y y k x x m +=++，22121212()y y k x x km x x m =+++，

代入(*)式得224865k k m m +=-+，即22(22)(3)k m +=-， 223k m ∴+=-，或223k m +=-，即25m k =+，或21m k =-+，

当25m k =+时，直线AB 方程为(2)5y k x =++，恒过定点(2,5)， 经验证，此时△0>，符合题意，

当21m k =-+时，直线AB 方程为(2)5y k x =++，恒过定点(2,1)，不合题意，

∴直线AB 恒过点(2,5)-，

（Ⅱ）由（Ⅰ）设直线AB 恒过定点(2,5)R -，则点N 的轨迹是以MR 为直径的圆且去掉(2,1)±，

方程为22(3)8x y +-=，1y ≠．