第七章 参数估计

x > θ1
⎪⎩
0,
其它
(6)
f (x,σ ) =
1
− | x|
e σ,
其中 σ
> 0 为未知参数.
2σ
2. 求上题中各未知参数的极大似然估计量.
3. 设总体 X 服从参数为 m, p 的二项分布:
P{X
=
x}
=
⎜⎜⎝⎛
m x
⎟⎟⎠⎞
p
x
(1
−
p)m−x ,
x
=
0,1,2,…, m
,
0 < p < 1, p 是未知参数 X1,
在五年内未引起严重事故的概率 p 的极大似然估计值.使用下面 122 个观察值.下表中, r 表示 一扳道员五年内引起严重事故的次数, s 表示观察到的扳道员人数.
r
0
1
2
3
4
5
s
44
42
21
9
4
2
5.(1)设 Z = ln X ~ N (μ,σ 2 ) ,即 X 服从对数正态分布,验证 E( X ) = exp{μ + 1 σ 2} . 2
(xi
i =1
0,
−
θ1
⎫ )⎬,
⎭百度文库
xi > θ1, i = 1,2, 其它
,n
所以当 xi > θ1,i = 1,2, n 时, L(θ1,θ2 ) > 0 ,并且
∑ ln
L
=
−n lnθ2
−
1 θ2
n
xi
i =1
+ nθ1 θ2
由 于 ∂ ln L = n ∂θ1 θ 2
> 0 , 所 以 L(θ1,θ 2 ) 是 θ1 的 单 调 递 增 函 数 ,
估计量
∑ θˆ1
=
1 n
n i =1
Xi
−
1 2
,
θˆ2
=
X (n)
−
n n +1
皆为参数θ 的无偏估计,并且θˆ2 比θˆ1 有效. 10.从一台机床加工的轴承中,随机地抽取 200 件,测量其椭圆度,得样本均值 x = 0.081mm ,并 由累积资料知道椭圆度服从 N (μ,0.0252 ) ,试求 μ 的置信度为 0.95 的置信区间.
n
ln L(θ ) = n ln 2 − 2∑ (xi − θ ) i =1
因为 d ln L = 2n > 0, 所以 L(θ ) 单调递增. dθ
因为必须满足 xi ≥ θ (i = 1,2, ) ,因此θ = x(1) = min{x1, , x(n)} 时, L(θ ) 取最大 值,所以θ 的极大似然估计值为θˆ = x(1) ,极大似然估计量为
14.为比较甲与乙两种型号同一产品的寿命,随机地抽取甲型产品 5 个,测得平均寿命
x = 1000h ,标准差 s1 = 28h ,随机地抽取乙型产品 7 个,测得平均寿命 y = 980h , s2 = 32h ,
设总体服从正态分布,并且由生产过程知它们的方差相等,求两个总体均值差的置信度为 0.99 的置信区间. 15.为了在正常条件下检验一种杂交作物的两种新处理方案,在同一地区随机地挑选 8 块地, 在每块试验地上按两种方案种植作物,这 8 块地的单位面积产量分别是: 一号方案产量: 86 87 56 93 84 93 75 79 二号方案产量: 80 79 58 91 77 82 74 66 假设两种方案的产量都服从正态分布,试求这两个平均产量之差的置信度为 0.95 的置信区间.
n−1
∑ c ( X i+1 − X i )2 为σ 2 的无偏估计. i =1
7.设θˆ1 和θˆ2 相互独立且均为参数θ 的无偏估计,并且θˆ1 的方差是θˆ2 的方差的 2 倍,试求出常
数 a,b ,使得 aθˆ1 + bθˆ2 是θ 的无偏估计,并且在所有这样的无偏估计中方差最小.
8. 设总体 X 服从参数为 λ 的泊松分布, X1, , X n 是来自总体 X 的一个样本, X , S 2 分别
13.从自动机床加工的同类零件中抽取 16 件,测得长度为(单位 mm)： 12.15 12.12 12.01 12.08 12.09 12.16 12.03 12.01 12.06 12.13 12.07 12.11 12.08 12.01 12.03 12.06
设零件长度近似服从正态分布,试求方差σ 2 的置信度为 0.95 的置信区间.
令
∑ d ln L
dθ
=
θ
n+ +1
n i =1
ln xi
=
0
解得θ 的极大似然估计值为
θˆ = −1 − n n ∑ ln xi i =1
从而θ 的极大似然估计量为
θˆ = −1 − n n
∑ ln X i
i =1
(2) 设 x1, x2 , , xn 是相应于 X1, X 2 , , X n 的样本，则似然函数为
因为必须满足
xi > θ1,i = 1,2, n ,所以对于任意给定的θ 2 ,
L(x(1) ,θ 2
)
=
inf θ1
L(θ1 ,θ 2
)
n
令
∑ ∂ ln L(x(1) ,θ2 )
=
−n +
xi
i =1
− nx(1)
=0
∂θ 2
θ2
θ
2 2
解得 θˆ2 = x − x(1) ,所以θ1,θ2 的极大似然估计值分别为
1、解 (1)
∫ ∫ E(X ) =
∞
xf (x)dx
=
1
(θ
+ 1)xθ +1dx
=
θ
+1
−∞
0
θ +2
令
θ +1 = X
θ +2
得未知参数θ 的矩估计量为
θˆ = 2X −1 1− X
（2） 因为 E( X ) = 1 ,所以 p 的矩估计量为 p
pˆ = 1 X
(3)
∫ ∫ E(X )
=
∞
xf
的单词数分别为 54 24 15 67 15 22 63 26 16 32 7 33 28 14 7 29 10 6 59 30 问这本书中,一个句子字数均值的极大似然估计值等于多少?
6.设总体 X ~ N (μ,σ 2 ) , X1, , X n 是来自总体 X 的一个样本,试确定常数 c ,使统计量
,Xn
是来自该总体的一个样本,求 p 的极大似然估计量.
4. (1) 设 总 体 X 服 从 参 数 为 λ 的 泊 松 分 布 , X1, , X n 是 来 自 总 体 X 的 一 个 样 本 , 求
P{X = 0}的极大似然估计;
(2)某铁路局证实一个扳道员在五年内所引起的严重事故的次数服从泊松分布.求一个扳道员
为样本均值和样本方差,(1)试证对一切α ( 0 ≤ α ≤ 1),统计量αX + (1 − α )S 2 均为 λ 的无偏
估计量;(2)试求 λ, λ2 的极大似然估计量 λˆM , λˆ2M ;(3)讨论 λˆ2M 的无偏性,并给出 λ2 的一个无偏
估计量.
9.设总体 X 服从区间 (θ ,θ + 1) 上的均匀分布, X1, , X n 是来自总体 X 的一个样本,证明
（5）
∫ ∫ E(X )
=
∞
xf
−∞
(x;θ1,θ 2 )dx
=
∞x θ θ1 2
exp⎨⎧− ⎩
x −θ1 θ2
⎫ ⎬dx ⎭
= θ1
+θ2
∫ ∫ E(X
2)
=
∞
x2
−∞
f
(x;θ1,θ 2 )dx
=
∞ θ1
x2 θ2
exp⎨⎧− ⎩
x −θ1 θ2
⎫ ⎬dx ⎭
=
(θ1
+ θ2 )2
+
θ
2 2
令
0,
其它
当 0 ≤ xi ≤ 1,i = 1,2, , n 时, L(θ ) > 0 ,并且
∑ ln L = n lnθ + (
2
n
θ −1) ln xi
i =1
n
令
∑ d ln L =
n
+
ln xi
i =1
=0
dθ 2θ 2 θ
解得θ 的极大似然估计值为
θˆ =
n2
∑⎡ n
⎤2
⎢⎣ i=1 ln xi ⎥⎦
从而θ 的极大似然估计量为
pˆ = 1 X
(3) 设 x1, x2 , , xn 是相应于 X1, X 2 , , X n 的样本，则似然函数为
∏ L(θ ) =
n
f
(xi
,θ
)
⎧ =⎪⎨2 n
n
∑ −2 ( xi −θ ) e i=1
,
xi ≥ θ ,i = 1,2,
,n
i =1
⎪⎩ 0,
其它
当 xi ≥ θ (i = 1,2, ) 时, L(θ ) > 0 ,并且
θˆ = X (1) = min{X1, , X n } (4) 设 x1, x2 , , xn 是相应于 X1, X 2 , , X n 的样本，则似然函数为
∏ L(θ ) =
n
f
(
xi
,θ
)
=⎪⎨⎧θ
n 2
(
x1
x
2
xn ) θ −1, 0 ≤ xi ≤ 1, i = 1,2, , n
i =1
⎪⎩
第七章 参数估计
(一) 习题
1. 设 X1, , X n 是来自总体 X 的一个样本,求下述各总体的概率密度或分布律中的未知参
数的矩估计量
(1)
f
(x)
=
⎧(θ ⎨
+ 1)xθ
,
⎩ 0,
0< x<1 其它
其中θ > −1是未知参数;
(2)
P{X = x} = p(1 − p) x−1, x = 1,2 其中 0 < p < 1是未知参数;
(x,θ )dx
=
∞
2xe −2(x−θ ) dx
=
1
+θ
−∞
θ
2
令
1 +θ = X
2
解得θ 矩估计量为
θˆ = X − 1 2
（4）
∫ ∫ ∞
1
E( X ) = xf (x,θ )dx = θ x θ dx =
θ
−∞
0
θ +1
令
θ =X
θ +1
解得θ 矩估计量为
θˆ
=
⎜⎜⎝⎛
1
X −X
⎟⎟⎠⎞ 2
∑ ⎧
⎪ ⎪⎩⎨(θ1
θ1 + θ2 = X
+ θ2 )2
+
θ
2 2
=
1 n
n i =1
X
2 i
解得参数θ1,θ 2 的矩估计量为:
θˆ1 = X − θˆ2 ,
∑ θˆ2 =
1 n
n i =1
X
2 i
− (X)2
(6)
∫ ∫ ∞
因为一阶矩 E( X ) = xf (x,σ )dx =
∞
x
−|x|
e σ dx = 0 ,它与σ 无关,所以还必须求二
⎧2e−2(x−θ ) , x ≥ θ ,
(3)
f
(
x,θ
)
=
⎪ ⎨
, 其中θ > 0 为未知参数;
⎪ ⎩
0
, x <θ
⎧ θ x θ −1 , 0 ≤ x ≤ 1,
(4)
f
(x,θ
)
=
⎪ ⎨
, 其中θ > 0 为未知参数;
⎪ ⎩
0
, 其他
(5)
f
(x;θ1,θ 2 )
=
⎪⎨⎧θ12
exp{−
x −θ1 }, θ2
n
∏ L( p) =
n
p(1 −
p) xi −1
=
p n (1 −
∑ xi −n p) i=1
i =1
n
ln L = n ln p + (∑ xi − n) ln(1 − p) i =1
n
令
∑ d ln L = n + n − i=1 xi = 0
dp p 1 − p
解得 p 的极大似然估计值为
pˆ = 1 x
11.设总体 X ~ N (μ,σ 2 ) , x1, x2 , , xn 是其样本值,如果σ 2 为已知,问 n 取多大值时,能保证 μ 的置信度为1 −α 的置信区间的长度不大于给定的 L ?
12.在测量反应时间中,一心理学家估计的标准差为 0.05 秒,为了以 95%的置信度使他对平均
反应时间的估计误差不超过 0,01 秒,应取多大的样本容量 n .
16.设两位化验员 A, B 独立地对某种聚合物含氯量用相同的方法各做 10 次测定,其测定值的
样本方差依次为
s
2 A
=
0.5419
,
s
2 B
=
0.6065
,设
σ
2 A
,σ
2 B
分别为
A, B 所测定的测定值总体的
方差,设总体均为正态的.求方差比 σ
2 A
σ
2 B
的置信度为
0.95
的置信区间.
（二）解答
−∞
−∞ 2σ
阶矩,
∫ ∫ ∫ E(X 2 ) =
∞
x 2 f (x,σ )dx
=
∞
x2
− | x|
e σ dx
∞
=
x2
−x
eσ
dx
=2σ
2
−∞
−∞ 2σ
0σ
令
∑ 2σ 2
=
1 n
n i =1
X
2 i
解得参数σ 的矩估计量为
∑ σˆ =
1 2n
n i =1
X
2 i
2、解：(1)设 x1, x2 , , xn 是相应于 X1, X 2 , , X n 的样本，则似然函数为
∏ ∏ L(θ ) =
n i =1
f
( xi
)
=
⎧ ⎪⎨(θ ⎪⎩
+ 1)n
⎜⎜⎝⎛
n i =1
0,
xi ⎟⎟⎠⎞θ ,
0 < xi < 1,i = 1,2, 其它
,n
当 0 < xi < 1,i = 1,2, , n 时， L(θ ) > 0, 并且有
n
ln L(θ ) = n ln(θ + 1) + θ ∑ ln xi i =1
θ 的极大似然估计量为
θˆ =
n2
∑⎡ n
⎤2
⎢⎣ i=1 ln X i ⎥⎦
(5) 设 x1, x2 , , xn 是相应于 X1, X 2 , , X n 的样本，则似然函数为
∏ ∑ L(θ1,θ2 ) =
n i =1
f (xi ,θ1,θ2 ) =⎪⎩⎪⎨⎧θ12n
⎧ exp⎨−
⎩
1 θ2
n
(2)设从对数正态总体 X 取容量为 n 样本 x1, x2 , , xn ,求 E( X ) 的极大似然估计值.此处
μ ,σ 2 均为未知.
(3)已知在文学家萧伯纳的《AN Intelligent Woman’s Guide To Socialism》一书中,一个句子
的单词数近似服从对数正态分布. μ ,σ 2 均为未知.今从该书中随机的取 20 个句子.这些句子