第七章 参数估计

13.从自动机床加工的同类零件中抽取 16 件,测得长度为(单位 mm)： 12.15 12.12 12.01 12.08 12.09 12.16 12.03 12.01 12.06 12.13 12.07 12.11 12.08 12.01 12.03 12.06
设零件长度近似服从正态分布,试求方差σ 2 的置信度为 0.95 的置信区间.
n−1
∑ c ( X i+1 − X i )2 为σ 2 的无偏估计. i =1
7.设θˆ1 和θˆ2 相互独立且均为参数θ 的无偏估计,并且θˆ1 的方差是θˆ2 的方差的 2 倍,试求出常
数 a,b ,使得 aθˆ1 + bθˆ2 是θ 的无偏估计,并且在所有这样的无偏估计中方差最小.
8. 设总体 X 服从参数为 λ 的泊松分布, X1, , X n 是来自总体 X 的一个样本, X , S 2 分别
−∞
−∞ 2σ
阶矩,
∫ ∫ ∫ E(X 2 ) =
∞
x 2 f (x,σ )dx
=
∞
x2
− | x|
e σ dx
∞
=
x2
−x
eσ
dx
=2σ
2
−∞
−∞ 2σ
0σ
令
∑ 2σ 2
=
1 n
n i =1
X
2 i
解得参数σ 的矩估计量为
∑ σˆ =
1 2n
n i =1
X
2 i
2、解：(1)设 x1, x2 , , xn 是相应于 X1, X 2 , , X n 的样本，则似然函数为
∑ ⎧
⎪ ⎪⎩⎨(θ1
θ1 + θ2 = X
+ θ2 )2
+
θ
2 2
=
1 n
n i =1
X
2 i
解得参数θ1,θ 2 的矩估计量为:
θˆ1 = X − θˆ2 ,
∑ θˆ2 =
1 n
n i =1
X
2 i
− (X)2
(6)
∫ ∫ ∞
因为一阶矩 E( X ) = xf (x,σ )dx =
∞
x
−|x|
e σ dx = 0 ,它与σ 无关,所以还必须求二
θˆ = X (1) = min{X1, , X n } (4) 设 x1, x2 , , xn 是相应于 X1, X 2 , , X n 的样本，则似然函数为
∏ L(θ ) =
n
f
(
xi
,θ
)
=⎪⎨⎧θ
n 2
(
x1
x
2
xn ) θ −1, 0 ≤ xi ≤ 1, i = 1,2, , n
i =1
⎪⎩
(2)设从对数正态总体 X 取容量为 n 样本 x1, x2 , , xn ,求 E( X ) 的极大似然估计值.此处
μ ,σ 2 均为未知.
(3)已知在文学家萧伯纳的《AN Intelligent Woman’s Guide To Socialism》一书中,一个句子
的单词数近似服从对数正态分布. μ ,σ 2 均为未知.今从该书中随机的取 20 个句子.这些句子
(xi
i =1
0,
−
θ1
⎫ )⎬,
⎭
xi > θ1, i = 1,2, 其它
,n
所以当 xi > θ1,i = 1,2, n 时, L(θ1,θ2 ) > 0 ,并且
∑ ln
L
=
−n lnθ2
−
1 θ2
n
xi
i =1
+ nθ1 θ2
由 于 ∂ ln L = n ∂θ1 θ 2
> 0 , 所 以 L(θ1,θ 2 ) 是 θ1 的 单 调 递 增 函 数 ,
（5）
∫ ∫ E(X )
=
∞
xf
−∞
(x;θ1,θ 2 )dx
=
∞x θ θ1 2
exp⎨⎧− ⎩
x −θ1 θ2
⎫ ⎬dx ⎭
= θ1
+θ2
∫ ∫ E(X
2)
=
∞
x2
−∞
f
(x;θ1,θ 2 )dx
=
∞ θ1
x2 θ2
exp⎨⎧− ⎩
x −θ1 θ2
⎫ ⎬dx ⎭
=
(θ1
+ θ2 )2
+
θ
2 2
令
的单词数分别为 54 24 15 67 15 22 63 26 16 32 7 33 28 14 7 29 10 6 59 30 问这本书中,一个句子字数均值的极大似然估计值等于多少?
6.设总体 X ~ N (μ,σ 2 ) , X1, , X n 是来自总体 X 的一个样本,试确定常数 c ,使统计量
令
∑ d ln L
dθ
=
θ
n+ +1
n i =1
ln xi
=
0
解得θ 的极大似然估计值为
θˆ = −1 − n n ∑ ln xi i =1
从而θ 的极大似然估计量为
θˆ = −1 − n n
∑ ln X i
i =1
(2) 设 x1, x2 , , xn 是相应于 X1, X 2 , , X n 的样本，则似然函数为
⎧2e−2(x−θ ) , x ≥ θ ,
(3)
f
(
x,θ
)
=
⎪ ⎨
, 其中θ > 0 为未知参数;
⎪ ⎩
0
, x <θ
⎧ θ x θ −1 , 0 ≤ x ≤ 1,
(4)
f
(x,θ
)
=
⎪ ⎨
, 其中θ > 0 为未知参数;
⎪ ⎩
0
, 其他
(5)
f
(x;θ1,θ 2 )
=
⎪⎨⎧θ12
exp{−
x −θ1 }, θ2
n
ln L(θ ) = n ln 2 − 2∑ (xi − θ ) i =1
因为 d ln L = 2n > 0, 所以 L(θ ) 单调递增. dθ
因为必须满足 xi ≥ θ (i = 1,2, ) ,因此θ = x(1) = min{x1, , x(n)} 时, L(θ ) 取最大 值,所以θ 的极大似然估计值为θˆ = x(1) ,极大似然估计量为
16.设两位化验员 A, B 独立地对某种聚合物含氯量用相同的方法各做 10 次测定,其测定值的
样本方差依次为
s
2 A
=
0.5419
,
s
2 B
=
0.6065
,设
σ
2 A
,σ
2 B
分别为
A, B 所测定的测定值总体的
方差,设总体均为正态的.求方差比 σ
2 A
σ
2 B
的置信度为
0.95
的置信区间.
（二）解答
x > θ1
⎪⎩
0,
其它
(6)
f (x,σ ) =
1
− | x|
e σ,
其中 σ
> 0 为未知参数.
2σ
2. 求上题中各未知参数的极大似然估计量.
3. 设总体 X 服从参数为 m, p 的二项分布:
P{X
=
x}
=
⎜⎜⎝⎛
m x
⎟⎟⎠⎞
p
x
(1
−
p)m−x ,
x
=
0,1,2,…, m
,
0 < p < 1, p 是未知参数 X1,
11.设总体 X ~ N (μ,σ 2 ) , x1, x2 , , xn 是其样本值,如果σ 2 为已知,问 n 取多大值时,能保证 μ 的置信度为1 −α 的置信区间的长度不大于给定的 L ?
12.在测量反应时间中,一心理学家估计的标准差为 0.05 秒,为了以 95%的置信度使他对平均
反应时间的估计误差不超过 0,01 秒,应取多大的样本容量 n .
1、解 (1)
∫ ∫ E(X ) =
∞
xf (x)dx
=
1
(θ
+ 1)xθ +1
−∞
0
θ +2
令
θ +1 = X
θ +2
得未知参数θ 的矩估计量为
θˆ = 2X −1 1− X
（2） 因为 E( X ) = 1 ,所以 p 的矩估计量为 p
pˆ = 1 X
(3)
∫ ∫ E(X )
=
∞
xf
θ 的极大似然估计量为
θˆ =
n2
∑⎡ n
⎤2
⎢⎣ i=1 ln X i ⎥⎦
(5) 设 x1, x2 , , xn 是相应于 X1, X 2 , , X n 的样本，则似然函数为
∏ ∑ L(θ1,θ2 ) =
n i =1
f (xi ,θ1,θ2 ) =⎪⎩⎪⎨⎧θ12n
⎧ exp⎨−
⎩
1 θ2
n
估计量
∑ θˆ1
=
1 n
n i =1
Xi
−
1 2
,
θˆ2
=
X (n)
−
n n +1
皆为参数θ 的无偏估计,并且θˆ2 比θˆ1 有效. 10.从一台机床加工的轴承中,随机地抽取 200 件,测量其椭圆度,得样本均值 x = 0.081mm ,并 由累积资料知道椭圆度服从 N (μ,0.0252 ) ,试求 μ 的置信度为 0.95 的置信区间.
,Xn
是来自该总体的一个样本,求 p 的极大似然估计量.