大数定理与中心极限定理PPT课件

布, 下面是l=30时的普阿松概率分布图.
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
P
0.03
0.02
0.01
0 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48
18
在c2(n)分布中, 如果自由度n很大, 也可以认为 是多个自由度为1的相互独立的c2(1)分布的随
即 1 n
n
x
依概率收敛于
i
i 1
1 n
n i 1
Exi
:
1
n
n
xi
i 1
P
1 n
n i 1
Exi
n
11
定理5.1(切贝谢夫大数定律)的证明:
x1,x2, 相互独立,
D 1
n
n
xi
i1
1 n2
n
Dxi
i1
1 n2
n
l
i1
l n
有
E
1 n
n
xi
i1
1 n
n i1
Exi ,根据切贝谢夫不等式
P(6800 x 7200 )
Ck 10000
0.7 k
0.310000k
k 6801
如果用切贝谢夫不等式 估计 :
Ex np 10000 0.7 7000
Dx npq 10000 0.7 0.3 2100
P{6800 x 7200 } P(| x 7000 | 200 )
例2 测量一个长度a, 一次测量的结果不见得 就等于a, 量了若干次, 其算术平均值仍不见得 等于a, 但当测量次数很多时, 算术平均值接近 于a几乎是必然的.
9
定义 5.1 若存在常数a, 使对于任何e>0, 有
lnimP{|xn a|e}1,则称随机变量
{xn}依概率收敛 a,记 于作:
xn
Pa n
15
正态分布的概率密度的图形
ms m m+s
x
16
二项分布的随机变量可看作许多相互独立的
0-1分布的随机变量之和, 下面是当x~B(20,0.5) 时, x的概率分布图
P
0.2
0.15
0.1
0.05
0
17
普阿松分布相当于二项分布中p很小n很大的
分布, 因此, 参数l=np当很大时也相当于n特
别大, 这个时候普阿松分布也近似服从正态分
第17次课:大数定律中心极限定理Ⅰ
熟悉切贝谢夫不等式，会进行概率的估计
大数定律的实际意义和数学表现形式: 大量随机现象中频率和平均结果的稳定性
中心极限定理的实际意义和数学表现形式: 正态分布的普遍性
完成课后作业习题五（1，3，5，6，7，9，11，13， 15）。
1
切贝谢夫不等式
设随机变量x有期望值Ex及方差Dx, 则任给 e>0, 有
Ex 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 7 ,
6
2
E x 2 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 91
6
6
D x E x 2 ( E x ) 2 91 49 182 147 35
64
12
12
e
Dx 1: e2
35 12
2 3
P (| x
7 2
| 1)
e
2
:
Exk )2 e2
pk
Dx e2
4
如果x是连续型随机变量, x~j(x), 则
P (| x Ex | e ) j ( x)dx |xEx |e
|xEx |e
(x
Ex e2
)2
j
( x)dx
+(x Ex )2
e2
j ( x)dx
Dx e2
5
例1 设x是掷一颗骰子所出现的点数, 若给定e=1,2, 实际计算P(|xEx|e), 并验证切贝谢夫不等式成立. 解 因P(x=k)=1/6, (k=1,2,3,4,5,6)
2100 1 200 2 0.95
可见只要有供应7200盏灯的电力就够用.
8
大数定律的概念
频率的稳定性:
例1 掷一颗骰子, 出现1点的概率是1/6, 在掷的 次数比较少时, 出现1点的频率可能与1/6相差 很大, 但是在掷的次数很多时, 出现1点的频率 接近1/6是必然的.
平均结果的稳定性:
1
n
n
xi
i1
Pa n
这个定理说明我们应当相信只要反复试验, 则 一个随机变量的算术平均值将趋向于常数, 通 常就是数学期望.
13
定理 5.2 (贝努里大数定律) 在独立试验序列
中, 当试验次数n无限增加时, 事件A发生的频
率x/n(x是n次试验中事件A发生的次数)满足,
x x1+x2 +...+xn Pp
n
n
n
其中 P(A) p,xi是指的i次 第试验 A发生
的次数 ,满足参数 p的 为 01分布 .
这个定理说明在试验条件不变的情况下, 重复 进行多次试验时, 任何事件A发生的频率将趋 向于概率.
14
中心极限定理 数学意义: 如果多个相互独立的随机变量相加, 不管它们 是离散的还是连续的或者是任何类型的, 只要 它们大小相差并不悬殊, 则加起来以后得到的 随机变量, 就近似服从正态分布. 实际意义: 如果一个随机现象由众多的随机因素引起,而 每一个因素的作用都不显著,则这个随机现象 就近似服从正态分布.
对任意e
0,1
P
1 n
n
xi
i1
1 n
n
Exi
i1
e
1
e
l 2n
n
x x e lim P {1| n
n n
i1
i1 ni n1Ei|}1,
12
定理 5.3 (辛钦大数定律) 如果x1,x2,...是相互独 立并且具有相同分布的随机变量, 有Exi=a
(i=1,2,...), 则有
D
e
x
2
35 4 12
35 48
1 3
P (| x
7 | 2
源自文库
2)
6
例2 设电站供电所有10000盏电灯, 夜晚每一 盏灯开灯的概率都是0.7, 而假定开关时间彼 此独立, 估计夜晚同时开着的灯数在6800与 7200之间的概率.
7
解 令x为同时开灯的数目, 则x~B(10000, 0.7)
7199
10
定理5.1(切贝谢夫大数定律)
设x1,x2,...是相互独立的随机变量序列, 各有数
学期望Exi (i=1,2,…) 和方差Dxi (i=1,2,…) ,且
存在常数l,使得Dxi < l (i=1,2,…) ,则对于任何
e>0,
lim P{|
n
1 n
n
xi
i 1
1 n
n i 1
Exi
| e } 1,
P(|x
Ex
|
e)
Dx e2
P(|x Ex | e) 1 Dx e2
2
示意图
j(x)
Dx/e2
Exe Ex
Ex+e
x
3
证: 如x是离散型随机变量, 那么
P(|x Ex | e) P(x xk ) pk
|xk Ex|e
|xk Ex|e
(xk
|xk Ex|e
Exk )2 e2
pk
k
(xk