大数定理与中心极限定理PPT课件
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大数定律与中心极限定理通用课件
01
中心极限定理
定义
中心极限定理：在大量独立同散布的 随机变量下，这些随机变量的平均值 的散布趋近于正态散布，即使这些随 机变量的散布本身并不一定是正态散 布。
中心极限定理是概率论和统计学中的 一个基本概念，它在许多领域都有广 泛的应用，如金融、生物、社会科学 等。
适用范围
中心极限定理适用于大量独立同散布的随机变量，这些随机变量的散布可以是任何散布，不一定是正 态散布。
实际应用案例
股票市场分析
总结词
股票市场分析
详细描述
大数定律和中心极限定理在股票市场分析中有着广泛的应用。股票价格的波动受到多种 因素的影响，包括市场情绪、公司事迹、宏观经济状况等。通过运用大数定律和中心极 限定理，投资者可以对股票价格进行概率分析和预测，从而做出更加理性的投资决策。
保险精算
总结词：保险精算
深化理论分析
虽然大数定律和中心极限定理已有较为完善的理论体系，但在某些特定场景下，其理论分析仍需进一步深化和完善。 例如，对于非独立同散布样本的情况，这两个定理的适用性和证明方法仍需进一步探讨和研究。
与其他理论的结合
大数定律和中心极限定理可以与其他概率论和统计学中的理论相结合，形成更为完善的理论体系。例如 ，可以与贝叶斯统计、马尔科夫链蒙特卡洛方法等理论相结合，用于解决更为复杂和实际的问题。
本课件采用了理论分析和实证研究相 结合的方法，对大数定律和中心极限 定理进行了深入探讨。通过分析大量 的实证数据，我们发现这两个定理在 许多实际场景中都得到了验证和应用 ，为相关领域的研究和实践提供了重 要的理论支持和实践指点。
未来研究方向
拓展应用领域
随着科技的发展和研究的深入，大数定律和中心极限定理的应用领域将不断拓展。例如，在人工智能和大数据领域， 这两个定理可以用于设计和优化算法，提高数据分析和预测的准确性和效率。
大数定律及中心极限定理.ppt
高斯在研究误差理论时已经用到正态分布，以炮弹射击误
差为例，设靶心是坐标原点，多次射击的结 Y
果，炮弹弹着点为(X,Y)，它是二维随机变 量，都认为它服从正态分布，它的每一 个
M (X,Y)
y
分量X和Y服从正态分布，这到底为什么？ 要搞清误差是怎样？
一般来说，如果某个随机变量是由大量相互独立的随机因 素综合影响形成的，而其中每一项因素对总和的影响是“均 匀微小的”，那么可以断定这个随机变量服从或近似服从正 态分布中心极限定理是用极严格的数学推导来论证这一事 实。下面介绍中心极限定理的基本形式。
二、两个中心极限定理
定理3（同分布的中心极限定理）设随机变量X1, X2, …,X n…独立同分布,且E(Xk)= ,D(Xk)=2≠0，
n n
引人随机变量
Xk
1，在第k次试验中A发生 0，在第k次试验中A不发生, k
1，2，, n
n
因而 n
X
，
k
k 1
X
1，X
，
2
X
n
相互独立均服从两点分布，
EXk p，DXk p1 p，
由切比雪夫大数定律，有
1
lim
n
P
|
n
n
Xk
k 1
p
|
l i m P | n
n n
p | 1
X = X1 + X2 + X3 + X4 + ······
而且这些小误差可以看成彼此相互是独立的，因此要讨论 X的分布，就要讨论独立随机变量和的分布问题，中心极限 定理就是研究在什么条件下独立随机变量序列和的极限分布 服从正态分布的一系列定理的总称。由于正态分布在概率论 理论和应用中占有中心地位，因此这些定理称为中心极限定 理。
大数定律和中心极限定理课件
决策制定
中心极限定理可以帮助我们在不确定 的情况下做出决策。例如，通过模拟 大量可能的结果并计算其分布，可以 评估不同决策的风险和收益。
04
大数定律与中心极限定理的 关联与区别
关联性分析
大数定律和中心极限定理都是概率论中 的重要定理，它们在某些方面存在关联。
大数定律描述了在大量独立重复试验中， 大数定律是中心极限定理的一种特例， 某一事件的相对频率趋于该事件的概率， 当随机变量数量趋于无穷时，中心极限
而中心极限定理则说明无论独立随机变 定理可以看作是大数定律的一种推广。 量的分布是什么，它们的和或积的分布
都趋于正态分布。
差异性分析
大数定律和中心极限定理在适用范围和表现形式 上存在差异。
大数定律的结论是相对频率趋于概率，而中心极 限定理的结论是随机变量和的分布趋于正态分布。
大数定律适用于大量独立重复试验中某一事件的 相对频率，而中心极限定理则适用于独立随机变 量的和或积的分布。
02
中心极限定理
定义
• 中心极限定理：在大量独立同分布的随机变量下，这些随机变 量的平均值的分布趋近于正态分布，即无论这些随机变量的分 布是什么，只要样本量足够大，其平均值的分布都将呈现出正 态分布的特征。
适用范 围
中心极限定理适用于大量独立同分布的随机变量，这些随 机变量的分布可以是离散的也可以是连续的。
在金融领域，中心极限定理也被广泛应用。例如，股票价格的波动可以看作是大 量投资者决策的独立同分布的随机变量，因此股票价格的平均值（即指数）的分 布也呈现出正态分布的特征。
03
大数定律与中心极限定理的 应用
在统计学中的应用
样本均值和总体均值的近似
大数定律表明，当样本量足够大时，样本均值趋近于总体均值，这为统计学中的参数估计提供了基础。
中心极限定理可以帮助我们在不确定 的情况下做出决策。例如，通过模拟 大量可能的结果并计算其分布，可以 评估不同决策的风险和收益。
04
大数定律与中心极限定理的 关联与区别
关联性分析
大数定律和中心极限定理都是概率论中 的重要定理，它们在某些方面存在关联。
大数定律描述了在大量独立重复试验中， 大数定律是中心极限定理的一种特例， 某一事件的相对频率趋于该事件的概率， 当随机变量数量趋于无穷时，中心极限
而中心极限定理则说明无论独立随机变 定理可以看作是大数定律的一种推广。 量的分布是什么，它们的和或积的分布
都趋于正态分布。
差异性分析
大数定律和中心极限定理在适用范围和表现形式 上存在差异。
大数定律的结论是相对频率趋于概率，而中心极 限定理的结论是随机变量和的分布趋于正态分布。
大数定律适用于大量独立重复试验中某一事件的 相对频率，而中心极限定理则适用于独立随机变 量的和或积的分布。
02
中心极限定理
定义
• 中心极限定理：在大量独立同分布的随机变量下，这些随机变 量的平均值的分布趋近于正态分布，即无论这些随机变量的分 布是什么，只要样本量足够大，其平均值的分布都将呈现出正 态分布的特征。
适用范 围
中心极限定理适用于大量独立同分布的随机变量，这些随 机变量的分布可以是离散的也可以是连续的。
在金融领域，中心极限定理也被广泛应用。例如，股票价格的波动可以看作是大 量投资者决策的独立同分布的随机变量，因此股票价格的平均值（即指数）的分 布也呈现出正态分布的特征。
03
大数定律与中心极限定理的 应用
在统计学中的应用
样本均值和总体均值的近似
大数定律表明，当样本量足够大时，样本均值趋近于总体均值，这为统计学中的参数估计提供了基础。
第五章 大数定律与中心极限定理 《概率论》PPT课件
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
2）中 心极限 定理表明，若 随 机 变 量 序 列
X 1 , X 2 , , X n 独立同分布，且它们的数学期
望及方差存在，则当n充分大时，其和的分布,
n
即 X k 都近似服从正态分布. (注意:不一定是 k 1
标准正态分布）
3）中心定理还表明：无论每一个随机变量 X k ,
概率论与数理统计
§5.1 大数定律
定理1（Chebyshev切比雪夫大数定律）
假设{ Xn}是两两不相关的随机
变量序列，EXn , DXn , n 1,2, 存在，
其方差一致有界，即 D(Xi) ≤L，
i=1,2, …， 则对任意的ε>0，
lim P{|
n
1 n
n i1
Xi
1 n
n i1
E(Xi ) | } 1.
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
现在我们就来研究独立随机变量之和所 特有的规律性问题.
在概率论中，习惯于把和的分布 收敛于正态分布这一类定理都叫做中心 极限定理.
下面给出的独立同分布随机变量序 列的中心极限定理, 也称列维——林德 伯格（Levy－Lindberg）定理.
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
大量的随机现象平均结果的稳定性
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 字母使用频率 废品率
概率论与数理统计
§5.1 大数定律
一、大数定律
阐明大量的随机现象平均结果的稳定性的一系
列定理统称为大数定律。
定义1 如果对于任意 0, 当n趋向无穷时，事件
" Xn X " 的概率收敛到1，即
概率论与数理统计：大数定律与中心极限定理ppt课件
ห้องสมุดไป่ตู้
123456 7 14916 25 36 91 2 E x ,E x 6 2 6 6 91 49 182 147 35 2 2 D x E x (E x) 6 4 12 12 D x 35 2 7 1: 2 P (|x |1 ) 12 3 2 D x 35 35 1 7 2: 2 P (|x |2 ) 4 12 48 3 2
X ,X , ,X 1 2 n 相互独立， nA X k
n k 1
1n pq 记Y Xk , E ( Y ) p , D ( Y ) n n n n k1 n
由 Chebyshev 不等式， = 0.01n ,故
0 . 1875 n P |X 0 . 75 n | 0 . 01 n 1 2 ( 0 . 01 n )
令
0 .1875 n 1 0 .90 2 (0 .01 n )
解得 n 18750
若 E(X ) = , D(X ) = 2, 类似于正态分布的3 原理，由 Chebyshev 不等式可估计 1 P |X | 3 0 . 1111 9 1 P |X | 2 0 . 25 4 由 Chebyshev 不等式，可看出 D (X) 反映了 X 偏离 E(X ) 的程度. 固定 ， 较小者，
实际精确计算：
X 1 P 0 . 01 P 940 X 1060 6 6000
1 5 C 6 6
k 1059 k 6000 k 941
6000 k
0 . 959036
用Poisson 分布近似计算：
5.1
大数定律
123456 7 14916 25 36 91 2 E x ,E x 6 2 6 6 91 49 182 147 35 2 2 D x E x (E x) 6 4 12 12 D x 35 2 7 1: 2 P (|x |1 ) 12 3 2 D x 35 35 1 7 2: 2 P (|x |2 ) 4 12 48 3 2
X ,X , ,X 1 2 n 相互独立， nA X k
n k 1
1n pq 记Y Xk , E ( Y ) p , D ( Y ) n n n n k1 n
由 Chebyshev 不等式， = 0.01n ,故
0 . 1875 n P |X 0 . 75 n | 0 . 01 n 1 2 ( 0 . 01 n )
令
0 .1875 n 1 0 .90 2 (0 .01 n )
解得 n 18750
若 E(X ) = , D(X ) = 2, 类似于正态分布的3 原理，由 Chebyshev 不等式可估计 1 P |X | 3 0 . 1111 9 1 P |X | 2 0 . 25 4 由 Chebyshev 不等式，可看出 D (X) 反映了 X 偏离 E(X ) 的程度. 固定 ， 较小者，
实际精确计算：
X 1 P 0 . 01 P 940 X 1060 6 6000
1 5 C 6 6
k 1059 k 6000 k 941
6000 k
0 . 959036
用Poisson 分布近似计算：
5.1
大数定律
大数定律及中心极限定理通用教学课件
VS
不同点
大数定律主要研究随机变量的算术平均值 在样本容量趋于无穷大时的性质，而中心 极限定理则研究随机变量的算术平均值在 样本容量趋于无穷大时的散布情况。
大数定律与中心极限定理的联系与区分
联系
大数定律和中心极限定理都是研究随机变量的性质和散布，它们都是概率论中的重要理论。
区分
大数定律主要研究随机变量的算术平均值在样本容量趋于无穷大时的性质，而中心极限定理则研究随机变量的算 术平均值在样本容量趋于无穷大时的散布情况。
总结词
金融风险管理中中心极限定理的应用
详细描述
中心极限定理在金融风险管理中有着广泛的 应用。通过将多个独立同散布的随机变量相 加，中心极限定理可以近似描述这些随机变 量的散布特征。在金融风险管理领域，可以 利用中心极限定理对投资组合进行优化，降
低投资组合的风险。
案例三
总结词
大数据分析中的大数定律与中心极限定理应用
社会科学等。
对未来学习的展望和建议
深入学习概率论和统计学
大数定律和中心极限定理是概率论和统计学中的基础知识，但它们的 应用范围非常广泛，需要进一步深入学习。
学习其他相关课程
除了概率论和统计学，还可以学习其他相关课程，如回归分析、时间 序列分析、多元统计分析等，以更全面地掌握数据分析的方法。
关注实际应用
详细描述
在大数据分析中，大数定律和中心极限定理可以共同发挥作用。通过收集大量数据，利 用大数定律计算出数据的统计特征，然后利用中心极限定理对数据进行近似描述。这种
方法可以应用于数据发掘、机器学习等领域，帮助我们更好地理解和分析大数据。
06
CATALOGUE
总结与展望
本课程的主要内容总结
大数定律和中心极限定理.ppt
n
X i n
i 1
n
3
近似服从标准正态分布
于是所求概率为
P
1 n
n i 1
Xi
P
n i1
Xi
n
n
n
P i1 X i n
3n
2
3n 1
n
3
(2)当n 36, 1/ 6时,所求概率为
（1）保险公司一年的利润不少于6万元的概率；
（2）保险公司亏本的概率。
解 设参加保险的一万人中一年内的死亡的人数为X ,
则X ~ b10000,0.006,其分布律为
PX
k
1k0000
0.006k
0.994 10000k
k 0,1,2,,10000
lim n
P
n np
np1 p
x
x
1
t2
e2
dt
Φ
x
2π
当n充分大时,对任意a b,有
Pa n b P
a np
np1 p
n np
np1 p
b np
np1 p
Φ
第五章 大数定律和中心极限定理
第一节 第二节
大数定律 中心极限定理
第一节 大数定律
定义1设Y1,Y2 ,,Yn ,是一个随机变量序列, a是一个常
数, 若对任何正数 , 有
limP Yn a 1
n
则称序列Y1,Y2 ,,Yn ,依概率收敛于a,记为Yn Pa 依概率收敛的序列有如下性质： 设X n Pa,Yn Pb,又设g(x, y)在点(a,b)连续,则
大数定律及中心极限定理PPT课件
3
n) 1, 2
n 1,2
证明:{X n}服从大数定律.
证明： k 1,2, E
Xk
1 3 2
k
1 (3 2
k ) 0,
2
DX k
E
X
2 k
k3.
由切比雪夫不等式可得
相互独立
P
1 n
n k 1
1 n
n
EXk
k 1
lim
n
Fn
(
y)
lim
n
P(Yn
y) ( y)
例1.一加法器同时收到100个噪声电压Vk (k 1, 2,, 100),设它们是相互独立的随机变量, 且都在区间
100
(0,10)上服从均匀布, 记V Vk , 求P{V 520}的近似值. k 1
解 :易知E(Vk ) 5，D(Vk ) 100/12(k 1, 2, ,100).
由独立同分布的中心极限定理知
P{V 520} P{ V -100 5 520 -100 5 } 100/12 100 100/12 100
1 { 520 -100 5 ) 100/12 100
1- (0.693) 0.245.
练习： 某种电子元件40个，其寿命服从 参数为0.1(小时-1)的指数分布，让他们依次 工作, 求总工作时间不足380小时的概率。
1
D( 1 n n k 1
2
Xk)
1
n2
k3
k 1
n2 2
1
2
2
《概率论与数理统计》课件第五章大数定律及中心极限定理
有极其重要的地位？
4.大样本统计推断的理论基础
是什么？
大数定律中心极限定理
随机现象中平均结果的稳定性
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币正面出现频率
字母使用频率
生产过程中的废品率
§5.1 大数定律
背景：1. 频率稳定性2. 大量测量结果算术平均值的稳定性
回顾
随机现象的主要研究方法
概率分布
01
证：_x001A__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B_,⋯, _x001A__x001B__x001B_, ⋯相互独立同分布，则_x001A__x001B__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯也相互独立同分布,由辛钦大数定律得证.
第五章 大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律§5.2 中心极限定理
要点：用切比雪夫不等式估算概率独立同分布,用中心极限定理计算对于二项分布，当n很大时，计算
本章要解决的问题
1.为何能以某事件发生的频率
作为该事件的概率的估计？
2.为何能以样本均值作为总体
期望的估计？
3.为何正态分布在概率论中占
解：(1)设X表示一年内死亡的人数，则~(, )，其中=，=.%. 设Y表示保险公司一年的利润，=×−.需要求的是_x001A_<_x001B_.
由中心极限定理
_x001A_<_x001B_=_x001A_×−<_x001B_ =_x001A_>_x001B_=−_x001A_≤_x001B_
且，
由中心极限定理
解：设为第i个螺丝钉的重量， 相互独立同分布. 于是，一盒螺丝钉的重量为
4.大样本统计推断的理论基础
是什么？
大数定律中心极限定理
随机现象中平均结果的稳定性
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币正面出现频率
字母使用频率
生产过程中的废品率
§5.1 大数定律
背景：1. 频率稳定性2. 大量测量结果算术平均值的稳定性
回顾
随机现象的主要研究方法
概率分布
01
证：_x001A__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B_,⋯, _x001A__x001B__x001B_, ⋯相互独立同分布，则_x001A__x001B__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯也相互独立同分布,由辛钦大数定律得证.
第五章 大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律§5.2 中心极限定理
要点：用切比雪夫不等式估算概率独立同分布,用中心极限定理计算对于二项分布，当n很大时，计算
本章要解决的问题
1.为何能以某事件发生的频率
作为该事件的概率的估计？
2.为何能以样本均值作为总体
期望的估计？
3.为何正态分布在概率论中占
解：(1)设X表示一年内死亡的人数，则~(, )，其中=，=.%. 设Y表示保险公司一年的利润，=×−.需要求的是_x001A_<_x001B_.
由中心极限定理
_x001A_<_x001B_=_x001A_×−<_x001B_ =_x001A_>_x001B_=−_x001A_≤_x001B_
且，
由中心极限定理
解：设为第i个螺丝钉的重量， 相互独立同分布. 于是，一盒螺丝钉的重量为
大数定理与中心极限定理课件
值，从而对总体参数进行估计。
在金融领域，大数定理可以用来估计风 险和收益的散布。通过模拟大量的投资 组合，我们可以得到投资组合的收益率 和风险的近似值，从而为投资决策提供
参考。
在通讯领域，大数定理可以用来估计信 道容量和误码率。通过大量的实验和模 拟，我们可以得到信道容量和误码率的 近似值，从而为通讯系统的设计和优化
• 大数定理是指当实验次数足够多时，频率接近于概率的定理。 也就是说，当实验次数趋于无穷大时，随机事件的频率趋近于 该事件产生的概率。
大数定理的分类
弱大数定理
如果 $X_n$ 是独立同散布的随机变量序列，那么 $\frac{S_n}{n} \rightarrow \mu$（$n \rightarrow \infty$ ）的概率趋近于1。其中 $S_n = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$，$\mu$ 是 $X_n$ 的数学期望。
大数定理在其他领域的应用
金融领域
大数定理在金融领域中有着广泛的应用。在保险精算中，大数定理可以用来估计风险概率 和损失散布。在投资组公道论中，大数定理可以用来确定投资组合的最优配置。
统计学
大数定理是统计学中的基本原理之一，可以用来估计样本数据的散布特征。在抽样调查中 ，大数定理可以用来确定样本的代表性和可靠性。
计算机科学
大数定理在计算机科学中也有着广泛的应用。在密码学中，大数定理可以用来保证加密算 法的安全性。在数据发掘中，大数定理可以用来确定数据散布的特征和规律。
中心极限定理在其他领域的应用
生物学
中心极限定理可以用来研究生物 群体的遗传特征和演变规律。在 遗传学中，中心极限定理可以用 来确定基因频率的散布特征和演
变趋势。
在金融领域，大数定理可以用来估计风 险和收益的散布。通过模拟大量的投资 组合，我们可以得到投资组合的收益率 和风险的近似值，从而为投资决策提供
参考。
在通讯领域，大数定理可以用来估计信 道容量和误码率。通过大量的实验和模 拟，我们可以得到信道容量和误码率的 近似值，从而为通讯系统的设计和优化
• 大数定理是指当实验次数足够多时，频率接近于概率的定理。 也就是说，当实验次数趋于无穷大时，随机事件的频率趋近于 该事件产生的概率。
大数定理的分类
弱大数定理
如果 $X_n$ 是独立同散布的随机变量序列，那么 $\frac{S_n}{n} \rightarrow \mu$（$n \rightarrow \infty$ ）的概率趋近于1。其中 $S_n = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$，$\mu$ 是 $X_n$ 的数学期望。
大数定理在其他领域的应用
金融领域
大数定理在金融领域中有着广泛的应用。在保险精算中，大数定理可以用来估计风险概率 和损失散布。在投资组公道论中，大数定理可以用来确定投资组合的最优配置。
统计学
大数定理是统计学中的基本原理之一，可以用来估计样本数据的散布特征。在抽样调查中 ，大数定理可以用来确定样本的代表性和可靠性。
计算机科学
大数定理在计算机科学中也有着广泛的应用。在密码学中，大数定理可以用来保证加密算 法的安全性。在数据发掘中，大数定理可以用来确定数据散布的特征和规律。
中心极限定理在其他领域的应用
生物学
中心极限定理可以用来研究生物 群体的遗传特征和演变规律。在 遗传学中，中心极限定理可以用 来确定基因频率的散布特征和演
变趋势。
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Exk )2 e2
pk
Dx e2
4
如果x是连续型随机变量, x~j(x), 则
P (| x Ex | e ) j ( x)dx |xEx |e
|xEx |e
(x
Ex e2
)2
j
( x)dx
+(x Ex )2
e2
j ( x)dx
Dx e2
5
例1 设x是掷一颗骰子所出现的点数, 若给定e=1,2, 实际计算P(|xEx|e), 并验证切贝谢夫不等式成立. 解 因P(x=k)=1/6, (k=1,2,3,4,5,6)
对任意e
0,1
P
1 n
n
xi
i1
1 n
n
Exi
i1
e
1
e
l 2n
n
x x e lim P {1| n
n n
i1
i1 ni n1Ei|}1,
12
定理 5.3 (辛钦大数定律) 如果x1,x2,...是相互独 立并且具有相同分布的随机变量, 有Exi=a
(i=1,2,...), 则有
2100 1 200 2 0.95
可见只要有供应7200盏灯的电力就够用.
8
大数定律的概念
频率的稳定性:
例1 掷一颗骰子, 出现1点的概率是1/6, 在掷的 次数比较少时, 出现1点的频率可能与1/6相差 很大, 但是在掷的次数很多时, 出现1点的频率 接近1/6是必然的.
平均结果的稳定性:
布, 下面是l=30时的普阿松概率分布图.
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
P
0.03
0.02
0.01
0 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48
18
在c2(n)分布中, 如果自由度n很大, 也可以认为 是多个自由度为1的相互独立的c2(1)分布的随
第17次课:大数定律中心极限定理Ⅰ
熟悉切贝谢夫不等式，会进行概率的估计
大数定律的实际意义和数学表现形式: 大量随机现象中频率和平均结果的稳定性
中心极限定理的实际意义和数学表现形式: 正态分布的普遍性
完成课后作业习题五（1，3，5，6，7，9，11，13， 15）。
1
切贝谢夫不等式
设随机变量x有期望值Ex及方差Dx, 则任给 e>0, 有
D
e
x
2
35 4 12
35 48
1 3
P (| x
7 | 2
2)
6
例2 设电站供电所有10000盏电灯, 夜晚每一 盏灯开灯的概率都是0.7, 而假定开关时间彼 此独立, 估计夜晚同时开着的灯数在6800与 7200之间的概率.
7
解 令x为同时开灯的数目, 则x~B(10000, 0.7)
7199
Ex 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 7 ,
6
2
E x 2 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 91
6
6
D x E x 2 ( E x ) 2 91 49 182 147 35
64
12
12
e
Dx 1: e2
35 12
2 3
P (| x
7 2
| 1)
e
2
:
i
i 1
1 n
n i 1
Exi
:
1
n
n
xi
i 1
P
1 n
n i 1
Exi
n
11
定理5.1(切贝谢夫大数定律)的证明:
x1,x2, 相互独立,
D 1
n
n
xi
i1
1 n2
n
Dxi
i1
1 n2
n
l
i1
l n
有
E
1 n
n
xi
i1
1 n
n i1
Exi ,根据切贝谢夫不等式
10
定理5.1(切贝谢夫大数定律)
设x1,x2,...是相互独立的随机变量序列, 各有数
学期望Exi (i=1,2,…) 和方差Dxi (i=1,2,…) ,且
存在常数l,使得Dxi < l (i=1,2,…) ,则对于任何
e>0,
lim P{|
n
1 n
n
xi
i 1
1 n
n i 1
Exi
| e } 1,
例2 测量一个长度a, 一次测量的结果不见得 就等于a, 量了若干次, 其算术平均值仍不见得 等于a, 但当测量次数很多时, 算术平均值接近 于a几乎是必然的.
9
定义 5.1 若存在常数a, 使对于任何e>0, 有
lnimP{|xn a|e}1,则称随机变量
{xn}依概率收敛 a,记 于作:
xn
Pa n
15
正态分布的概率密度的图形
ms m m+s
x
16
二项分布的随机变量可看作许多相互独立的
0-1分布的随机变量之和, 下面是当x~B(20,0.5) 时, x的概率分布图
P
0.2
0.15
0.1
0.05
0
17
普阿松分布相当于二项分布中p很小n很大的
分布, 因此, 参数l=np当很大时也相当于n特
别大, 这个时候普阿松分布也近似服从正态分
n
n
n
其中 P(A) p,xi是指的i次 第试验 A发生
的次数 ,满足参数 p的 为 01分布 .
这个定理说明在试验条件不变的情况下, 重复 进行多次试验时, 任何事件A发生的频率将趋 向于概率.
14
中心极限定理 数学意义: 如果多个相互独立的随机变量相加, 不管它们 是离散的还是连续的或者是任何类型的, 只要 它们大小相差并不悬殊, 则加起来以后得到的 随机变量, 就近似服从正态分布. 实际意义: 如果一个随机现象由众多的随机因素引起,而 每一个因素的作用都不显著,则这个随机现象 就近似服从正态分布.
1
n
n
xi
i1
Pa n
这个定理说明我们应当相信只要反复试验, 则 一个随机变量的算术平均值将趋向于常数, 通 常就是数学期望.
13
定理 5.2 (贝努里大数定律) 在独立试验序列
中, 当试验次数n无限增加时, 事件A发生的频
率x/n(x是n次试验中事件A发生的次数)满足,
x x1+x2 +...+xn Pp
P(6800 x 7200 )
Ck 10000
0.7 k
0.310000k
k 6801
如果用切贝谢夫不等式 估计 :
Ex np 10000 0.7 7000
Dx npq 10000 0.7 0.3 2100
P{6800 x 7200 } P(| x 7000 | 200 )
P(|x
Ex
|
e)
Dx e2
P(|x Ex | e) 1 Dx e2
2
示意图
j(x)
Dx/e2
Exe Ex
Ex+e
x
3
证: 如x是离散型随机变量, 那么
P(|x Ex | e) P(x xk ) pk
|xk Ex|e
|xk Ex|e
(xk
|xk Ex|e
Exk )2 e2
pk
k
(xk