线性代数第三章行列式例题

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线性代数练习册第三章部分答案（本）

线性代数练习册第三章部分答案（本）第三章⾏列式及其应⽤§3-1 ⾏列式的定义⼀、填空题。

1、⾏列式a bc d=__ad bc -___;112213141---=____-24____. 2、⾏列式111112121200000a a a ab bc cd d =______0_____. 3、已知⾏列式1111111111111111D -=-----,则32M =___4__;32A =___-4__. 4、已知排列2145697m n 为奇排列，则m =__8_;n =__3_. 5、4阶⾏列式中含1331a a 且符号为负的项是____13223144a a a a -____.⼆、选择题。

1、⽅程0110001x x x=的实根为__C___. （A ）0; （B ）1; （C ）-1; （D ）2.（A ）18; （B ）19; （C ）20; （D ）21 4、n 阶⾏列式00102000D n = 的值为__D ___.（A ）!n ; （B ）!n -; （C ）(1)!nn -; （D ）(1)2(1)!n n n --.5、⾏列式312111321111x x x x x--中4x 的系数为__A____.(A ）-1; （B ）1; （C ）2; （D ）3.三、计算下列⾏列式1、12110001- 解：3331212110(1)(1)111001r +--=-按展开2、1010120012301234解：44432101010112004(1)120123012312341014120243、1132101123011002-- 解：414113211310111013223012303100210001300133033c c --------=--按r 展开四、设排列12n a a a 的逆序数为k ，证明排列11n n a a a - 的逆序数为(1)2n n k --. 证明：设i a 在排列12n a a a 的逆序数为i k ，则12n k k k k +++= ，且i a 在排列11n n a a a - 的逆序数为i t ，则i i i k t n a +=-，所以，i i i t n a k =--，所以，排列11n n a a a - 的逆序数为12112122122(1)()()2n n n n n n a k n n n t t t n a k n a k a a k k a k k ---=--+++=--+--++++++++=-（另解：因为12n a a a 中的任两个不同的元素,i j a a 必在排列12n a a a或排列11n n a a a - 中构成逆序且只能在其中⼀个中构成逆序，所以排列12n a a a 和11n n a a a - 的逆序数之和等于从n 个元素中任取两个不同数的组合数kn C ，即11n n a a a - 的逆序数为(1)§3-2 ⾏列式的性质与计算⼀、填空题。

高等代数《行列式》部分习题及解答

高等代数《行列式》部分习题及解答例1：决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性： 1）.134782695；2）.217986354；3）.987654321. 答：1）. ()134782695=10τ，134782695是一个偶排列；2）. ()217986354=18τ，217986354是一个偶排列； 3）. ()987654321=36τ，987654321是一个偶排列. 例2：写出把排列12435变成排列25341的那些对换.答：()()()()()()()12154,312435214352543125341−−→−−→−−−→.例3：如果排列121...n n x x x x -的逆序数为k ，排列121...n n x x x x -的逆序数是多少？答：()112n n k --例4：按定义计算行列式： 000100201).0100000n n - 010000202).0001000n n -001002003).1000000n n-答：1）.原行列式()()()()1,1,,2,121!1!n n n n n n τ--=-=-2）.原行列式()11!.n n -=-3）.原行列式()()()1221!n n n --=-.例5：由行列式定义计算()212111321111x x x f x x x-=中4x 与3x 的系数，并说明理由. 答：()f x 的展开式中x 的4次项只有一项；2,x x x x ⋅⋅⋅故4x 的系数为2；x 的3次项也只有一项()()213411,x x x τ-⋅⋅⋅故3x 的系数为-1.例6：由111111=0111，证明：奇偶排列各半.证明：由于12n j j j 为奇排列时()()121n j j j τ- 为-1，而偶排列时为1,.设有k 个奇排列和l 个偶排列，则上述行列式()()()()12121212110.n n nnj j j j j j j j j j j j l k ττ=-+-=-=∑∑ 即奇偶排列各占一半.例7：证明1111111112222222222b cc a a b a b c b c c a a b a b c b c c a a b a b c ++++++=+++. 证明：111111111111111111122222222222222222222222.2b cc a a bac aa baa b a cab c b c c a a b a c a a b a a b a c a b c b c c a a b a c a a b a a b a c a b c +++-+++++++=-++=++=+++-++++ 例8：算出行列式：121401211).00210003-；1122).321014-的全部代数余子式. 答：111213142122232431323334414243441).6,0;12,6,0;15,6,3,0;7,0,1, 2.A A A A A A A A A A A A A A A A =-====-=====-=-=====-1112132122233132332).7,12,3;6,4,1;5,5, 5.A A A A A A A A A ==-====-=-== 例9：计算下面的行列式：111121131).12254321-；11112112132).1111321112---；01214201213).135123312121035-- 答：1111111111110115011501151).= 1.011400010012012300120001---------==-=-------原式132).12-3).483-. 例10：计算下列n 级行列式： 0000001).;000000x y x y x yyx1112121222122).n nn n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------122222223).;2232222n1231110004)..02200011n n n n-----答：()()110000000000000001).11.000000000000000n n n n xy xy yx y x xy x y x y x y x yy yxxxy++=+-=+-2）.当1n =时，为11a b -；当2n =时，为()()1212a a b b --；当3n ≥时，为零.()12221000222222223).22!223200102220002n n n -==-⋅--（利用第2行（列）的特点）()()11231110001!4).1.02200211n n nn n n---+=---- （从左起，依次将前一列加到后一列）例11：用克拉默法则解线性方程组1234123412341234232633325323334x x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++=⎪⎨--+=⎪⎪-+-=⎩.答：2132333270031123131d --==-≠----，所以可以用克拉默法则求解.又因16132533270;31124131d --==-----22632353270;33123431d ==---32162335270;31323141d --==----42136333570;31133134d --==----所以此线性方程组有唯一解，解为1234 1.x x x x ====例12：求12121212111222,n nnnj j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a ∑这里12nj j j ∑是对所有n 级排列求和.答：对每个排列12n j j j ，都有：()()121212121111112122221222121.n n nnj j j n j j j j j j nn n nnnj nj nj a a a a a a a a a a a a a a a a a a τ=- 因为在全部n 级排列中，奇偶排列个数相同，各有!2n 个.所以121212121112220n n nnj j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a =∑.例13：计算n 级行列式：12222122221212111.nnn n n nnn n nx x x x x x x x x x x x ---答：作范德蒙德行列式：1212222121111111211211111.n n n n n n n n n n nnn nn n x x x x x x x x D x x x x x x x x ++----++=将这个行列式按最后一列展开，展开式中11n n x -+的系数的()11n n++-倍就是所求行列式D ，因为()111,ji i j n D xx ≤<≤+=-∏所以()()()()11111111.nnn nji k ji k k k i j n i j n D xx x xx x ++==≤<≤+≤<≤+=---=-∑∑∏∏。

线性代数第三章习题及答案

习题 3-11．设)1,0,2(-=α，)4,2,1(-=β，求32-αβ．解：)11,4,8()8,4,2()3,0,6()4,2,1(2)1,0,2(323--=---=---=-βα 2．设)4,3,2,1(=α，)3,4,1,2(=β，且324+=αγβ，求γ．解：由324+=αγβ得αβγ232-= 所以)0,27,1,25()6,29,3,23()6,8,2,4()4,3,2,1(23)3,4,1,2(2-=-=-=γ。

3．试问下列向量β能否由其余向量线性表示，若能，写出线性表示式：（1）)1,2(-=β，)1,1(1=α，)4,2(2-=α；（2）)1,1(-=β，)1,1(1=α，)1,0(2=α，)0,1(3=α；（3）)1,1,1(=β，)1,1,0(1-=α，)2,0,1(2=α，)0,1,1(3=α；（4）)1,2,1(-=β，)2,0,1(1=α，)0,8,2(2-=α，0α（5）),,,(4321k k k k =β，)0,0,0,1(1=e ，)0,0,1,0(2=e ，)0,1,0,0(3=e ，)1,0,0,0(4=e ．解：（1）设2211ααβx x +=，即)4,2()4,2()1,1()1,2(212121x x x x x x -+=-+=-从而⎩⎨⎧-=-=+14222121x x x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==21121x x所以β能由21,αα线性表示，表示式为2121ααβ+=。

（2）设332211αααβx x x ++=，即),()0,1()1,0()1,1()1,1(2131321x x x x x x x ++=++=-从而⎩⎨⎧-=+=+112131x x x x ，有无穷解⎪⎩⎪⎨⎧-=--==cx c x cx 11321所以β能由321,,ααα线性表示，表示式不唯一，为321)1()1(αααβc c c -+--+= （c 为任意常数）（3）设332211αααβx x x ++=即)2,,()0,1,1()2,0,1()1,1,0()1,1,1(213132321x x x x x x x x x +-++=++-=从而⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=+1211213132x x x x x x ，因为010********≠=-，所以有唯一解，解为⎪⎩⎪⎨⎧===011321x x x所以β能由321,,ααα线性表示，且表示式为3210αααβ⋅++=（4）设2211ααβx x +=，即)2,8,2()0,8,2()2,0,1()1,2,1(222121x x x x x x -+=-+=-从而⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+1228121221x x x x ，由②，③式得211-=x ，412-=x 代入①式11)41(221≠-=-⋅+-所以该方程组无解，即β不能由21,αα线性表示。

线性代数第三章习题及解答

解：取 α1 = (1, 0, 0)T , α2 = (0, 1, 0)T , β1 = (−1, 0, 0)T , β2 =
(0, −1, 0) α1 + α2 + β1 + β2 = 0, 但 α1 , α2 线性无关，且 β1 , β2 也线性无关 (3) 若只有当 λ1 , . . . , λm 全为 0 时，等式 λ1 α1 + · · · + λm αm + λ1 β1 +· · ·+λm βm = 0 才能成立，则 α1 , α2 , . . . , αm 线性无关， β1 , β2 , . . . , βm
证明：因为 n = R(e1 , . . . , en ) ≤ R(α1 , . . . , αn ) ≤ n 于是 R(α1 , . . . , αn ) = n，则 α1 , α2 , . . . , αn 线性无关
7. 设向量组 α1 , α2 , . . . , αm 线性相关，且 α1 ̸= 0, 证明：存在某
2
(0, 0, 0)T , β3 = (−1, −1, 1)T 5. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大线性无关
组，并把其余列向量用最大线性无关组线性表示 . 25 31 17 43 75 94 53 132 (1) 75 94 54 134 25 32 20 48 25 31 17 43 25 31 17 75 94 53 132 0 1 2 解： 75 94 54 134 −→ 1 3 0 25 32 20 48 0 1 3 α1 α2 α3 α4 25 31 17 43 1 0 0 8 5 0 1 2 3 0 1 0 −1 −→ 0 0 1 2 −→ 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 于是最大线性无关向量组之一为 α1 , α2 , α3

行列式典型例题

行列式典型例题
目录
• 计算行列式 • 行列式的性质 • 行列式的展开 • 行列式的应用 • 特殊行列式
01
计算行列式
二阶行列式
总结词：二阶行列式是2x2矩阵的行列式值，计算方法为对角线元素乘积减去副对角线元素乘积。
|3 4|
示例：对于行列式|1 2|，其值为1*32*4=-5。
详细描述：对于二阶行列式，其一般形式为|a b|，计算公式为a*c-b*d，其中a、b、 c、d分别代表矩阵中的元素。
行列式与矩阵的逆和转置有关，它们都可以通过行列式进行计算或判断。
行列式有一些重要的性质，如交换律、结合律、分配律等，这些性质在矩阵运算中非常重要。
05
特殊行列式
对角线型行列式
总结词
对角线型行列式是指除了主对角线上的元素外，其他元素都为零的行列式。
详细描述
对角线型行列式的值就是主对角线上的元素乘积，计算过程相对简单，因为除了主对角线元素外，其他元素都为零，所以可以直接将主对角线上的元素相乘得到结果。
04
行列式的应用
行列式在几何中的应用
线性变换
行列式可以表示线性变换前后的面积比，用于研究几何图形的变换性质。
Hale Waihona Puke 定向行列式可以用来确定定向，即方向和旋转顺序，对于三维空间中的向量场和曲线非常重要。
体积
行列式可以用来计算多面体的体积，特别是平行六面体的体积。
行列式在代数方程组中的应用
线性方程组
行列式的加法性质
总结词
行列式的加法满足分配律
详细描述
对于任何两个n阶方阵A和B，以及任意的常数c和d，有|cA + dB| = c|A| + d|B|。

线性代数03-行列式按行(列)展开

1
3 4 c1 2c3 11
1
3 1
2 0 1 1 c4 c3
0010
1 5 3 3
5 5 3 0
511 (1)33 11 1 1
5 5 0
r2 r1
5 11 6 2 0 5 5 0
(1)13 6 2 40. 5 5
说明
定理3叫做行列式按行(列)展开法则，利用这个法则降阶并结合行列式的性质，可以简化行列式的计算.
思考任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，
留下来的n－1阶行列式叫做元素 aij 的余子式，记作Mij .
把 Aij 1 i j Mij 元素 aij 的代数余子式．
例如
a11 a12 a13 a14
D a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
a11 a12 a14 M23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23 1 23 M23 M23
结论行标和列标是行列式中元素的唯一标识，有且仅有一个余子式和一个代数余子式与行列式中每一个元素对应.
说明
(1)对于给定的 n 阶行列式 D det(aij ) ，元素
证明我们以3阶行列式为例.
a11 a12 a13 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a21 a22 a23
a31 a32 a33
把第1行的元素换成第2行的对应元素，则
a21 a22 a23
a21 A11 a22 A12 a23 A13 a21 a22 a23 0.

线性代数重要知识点和典型例题答案

线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。

（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。

推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。

③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。

推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。

④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。

克莱姆法则：非齐次线性方程组：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a →②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。

化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章矩阵n （零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A TT =)( TTTB A B A +=+)( TTkA kA =)( TTTA B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……）对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方注：把分出来的小块矩阵看成是元素N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的，|A|=0、伴随矩阵)2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 初等变换不改变矩阵的可逆性初等矩阵都可逆倍乘阵倍加阵） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr矩阵的秩r(A)：满秩矩阵降秩矩阵若A 可逆，则满秩若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ）初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n n ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。

9.4.1 三阶行列式(含答案)

【课堂例题】例1.用对角线法则计算下列行列式，并化简：(1)302213231-- (2)123456789例2.求证：ad g d a g be h eb h cfif c i=-例3.利用行列式解方程组：632752215x y z x y z x y z ++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩(选用)课堂练习1.用对角线法则展开下列行列式，并化简：(1)101111111aa-+-；(2)000a b c d e f2.求关于,,x y z 的方程组13x y mz x my z m x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩有唯一解的条件，在此条件下写出方程组的解.【知识再现】1.行列式111222333a b c a b c a b c = . (按对角线法则展开)2.关于,,x y z 的三元线性方程组111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的系数行列式D =,若记x D =，y D =，z D =，当D 时，方程有唯一解：x = ，y = ，z = . 【基础训练】1.把下列行列式按对角线法则展开并求值:(1)123142301-= = ； (2)123012331-= = . 2.计算：201010=- . 3.按对角线法则展开下列行列式，并化简：(1)000a bba ab = = ； (2)000xyzp q r= = .4.已知齐次线性方程组111222333000a x b y c z a x b y c z a x b y c z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，若系数行列式1112223330a b c a b c a b c ≠，则方程组的解是 .5.用行列式解线性方程组：273514223x y z x y z x y z -+=⎧⎪-+=⎨⎪--=⎩6.利用三阶行列式，证明下列行列式的性质I ：(只需证明“列”的情况，并且(1)(2)(3)只需证明一种情形，其余情况不必证明) (1)行列式A 的某一列(行)的元素全为0，则0A =； (2)行列式A 的两列(行)相同,则0A =；(3)互换行列式A 的两列(行)，则行列式的值变为原来的相反数.7.用行列式解关于,,x y z 的方程组x y z a x y z b x y z c -+=⎧⎪+-=⎨⎪-++=⎩【巩固提高】8.已知1112223330a b c a b c a b c =但它的所有元素均不为零且没有两行或两列的元素相同，试写出这样的一个行列式．(课堂例题中出现过的行列式不得使用)9.当a 为何值时，关于,,x y z 的三元一次方程组2112x y z x y az x ay a z ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解？在此条件下写出该方程组的解.(选做)10.阅读题：余子式与代数余子式以三阶行列式111213212223313233a a a a a a a a a 为例，划去第i 行第j 列的的全部元素后，剩余元素所构成的二阶行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，例：21a 的余子式1213213233a a M a a =，把(1)i jij M +-称为元素ij a 的代数余子式，记为ij A ，例：21a 的代数余子式212121(1)A M +=-.(1)写出23a 的余子式与代数余子式； (2)求证： 111213111121213131212223313233a a a a A a A a A a a a a a a ⋅+⋅+⋅=； 1112212231320a A a A a A ⋅+⋅+⋅=； (3)模仿(2)再写出两个相仿的等式.【温故知新】11.线性方程组273514223x y z x y z x y z -+=⎧⎪-+=⎨⎪--=⎩用矩阵乘法可以表示为 .【课堂例题答案】例1.(1)-40 (2)0例2.证：左=aei dhc bfg ceg afh bdi ++---，右=()dbi ahf ecg fbg dch aei -++---aei dhc bfg ceg afh bdi =++---=左证毕例3.1,2,3x y z === 【课堂练习答案】 1.(1)2a a + (2)adf2.1m ≠±时有唯一解：344,,11m x y z m m -===-++ 【知识再现答案】1.123231312321132213a b c a b c a b c a b c a b c a b c ++---2.111111111111222222222222333333333333,,,x y z a b c d b c a d c a b d D a b c D d b c D a d c D a b d a b c d b c a d c a b d ====0,,,y x zD D D D D D≠ 【习题答案】1.(1)141322(1)03343102(1)21⨯⨯+⨯⨯+-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯--⨯⨯，-18 (2)1113(2)20333131230(2)1⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯-⨯，-262.03.(1)000000a b b a a b a a a b b b ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯，33a b -- (2)00000x z r p y q p z x q a y r ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯，xzr4.000x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 5.213x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩6.证：(1)1122233112213213330000000000b c b c b c b c b c b c b c b c b c =⨯+⨯+⨯-⨯-⨯-⨯= (2) 1112221232313123211322133330a a c a a c a a c a a c a a c a a c a a c a a c a a c =++---= (3) 111111222123231312321132213222333333a cb a bc a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a b c a c b a b c =++---=- 证毕 7.,,222a b b c a cx y z +++===8.答案不唯一 1234567899.当1a ≠时有唯一解，21,,011a x y z a a -===-- 10.(1)1112111223232331323132,(1)a a a a M A a a a a +==- (2)证：222312131213112131323332333223a a a a a a a a a a a a a a a -+=111213112233211332311223113223211233312213212223313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---=212311131113112131313331332123a a a a a a a a a a a a a a a -+-=1121331131232111332131133111233121130a a a a a a a a a a a a a a a a a a -++--+=(3)111213121222223232212223131223233333313233,0a a a a A a A a A a a a a A a A a A a a a ++=++=，答案不唯一 11.1217351142213x y z -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

线性代数重要知识点及典型例题答案

线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和nnn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ〔奇偶〕排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。

〔转置行列式〕TD D =②行列式中*两行〔列〕互换，行列式变号。

推论：假设行列式中*两行〔列〕对应元素相等，则行列式等于零。

③常数k 乘以行列式的*一行〔列〕，等于k 乘以此行列式。

推论：假设行列式中两行〔列〕成比例，则行列式值为零；推论：行列式中*一行〔列〕元素全为零，行列式为零。

④行列式具有分行〔列〕可加性⑤将行列式*一行〔列〕的k 倍加到另一行〔列〕上，值不变行列式依行〔列〕展开：余子式、代数余子式ij M ijji ij M A +-=)1( 定理：行列式中*一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。

克莱姆法则：非齐次线性方程组：当系数行列式时，有唯一解：0≠D )21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组：当系数行列式时，则只有零解01≠=D 逆否：假设方程组存在非零解，则D 等于零特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a →②对称行列式:jiij a a =③反对称行列式:奇数阶的反对称行列式值为零ji ij a a -=④三线性行列式: 方法：用把化为零，。

化为三角形行列式333122211312110a a a a a a a 221a k 21a ⑤上〔下〕三角形行列式:行列式运算常用方法〔主要〕行列式定义法〔二三阶或零元素多的〕化零法〔比例〕化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章矩阵矩阵的概念：〔零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵)n m A * 矩阵的运算：加法〔同型矩阵〕---------交换、结合律数乘---------分配、结合律n m ij ka kA *)(= 乘法注意什么时候有意义nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑== 一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0转置A A TT =)(TTTBA B A +=+)((反序定理)T T kA kA =)(T T T A B AB =)(方幂：2121k k k kA AA += 几种特殊的矩阵：对角矩阵：假设AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、AB 都是n 阶对角阵数量矩阵：相当于一个数〔假设……〕单位矩阵、上〔下〕三角形矩阵〔假设……〕对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方都是0分块矩阵：加法，数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A 是N 阶方阵，假设存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的，(非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵)B A =-1 初等变换1、交换两行〔列〕2.、非零k 乘*一行〔列〕3、将*行〔列〕的K 倍加到另一行〔列〕初等变换不改变矩阵的可逆性初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的〔对换阵倍乘阵倍加阵〕等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr 矩阵的秩r(A)：满秩矩阵降秩矩阵假设A 可逆，则满秩假设A 是非奇异矩阵，则r 〔AB 〕=r 〔B 〕初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵，行列式n ij n ij a k ka )()(=nijn nij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆；③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④假设A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。

线性代数专题：行列式计算

2
β + α
β β = 1+ + + α α
β α =
n +1
β + α ⋅
n
−1 =
1
β −1 α
αn
β n +1 − α n +1 β −α
∴ Dn =
β n +1 − α n +1 ，当 β≠α β −α
Dn
（3）
当 β = α，从
= ( x + y ) Dk −1 − xy 0 0 = ( x + y ) Dk −1 − xyDk − 2 Dk −1 = x k −1 + x k − 2 y + D k − 2 = x k − 2 + x k −3 y +
= ( x + y )( x k −1 + x k − 2 y + − xy ( x k − 2 + x k −3 y + = x k + x k −1 y +
a x −a
a a x
a a a a x
Dn = − a − a x … −a −a −a
a = −a −a x a … x −a −a −a
a + −a … a x −a ②
−a −a
= − a( x − a) n −1 + ( x + a) Dn −1
①×（x + a） ②×（x – a）
( x + a ) Dn = a ( x + a ) n + ( x 2 − a 2 ) Dn −1 ( x − a ) Dn = − a ( x − a ) n + ( x 2 − a 2 ) Dn −1

线代第三章习题解答

第三章行列式习题3.13-1-6.用定义计算行列式（1）()2,1,0,,,0000000222211114=≠=i d c b a d c b a d c b a D i i i i解：设444⨯=ija D 则4D 中第1行的非0元为113111,b a a a ==，故11,3j =同法可求：2342,4;1,3;2,4j j j ===∵4321,,,j j j j 可组成四个4元排列 1 2 3 4，1 4 3 2，3 2 1 4，3 4 1 2，故4D 中相应的非0项有4项，分别为2211d b c a ，,2211c b d a -2211d a c b -，2211c a d b 其代数和即为4D 的值，整理后得 ()()122112214d c d c b a b a D --=(2)010...0002 0000...000 0n D n =M M MM解：由行列式的定义121212()12(1)n n nj j j n j j nj j j j D a a a τ=-∑L L L仅当12,,,n j j j L 分别取2，3,…,n-1,n,1 时，对应项不为零，其余各项都为零12121()(231)1212231(1)(1)(1)(1)(1)12(1)!n n n j j j n n j j nj n n n n D a a a a a a a n n ττ---=-=-=-⋅=-⋅L L L L L习题3.23.2-2.证明(1)0sin cos 2cos sin cos 2cos sin cos 2cos 222222=γγγβββααα证明:22222222222222132222222cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin c c αααααααβββββββγγγγγγγ-=-+-左0= (2) 322)(11122b a b b a a b ab a -=+证明:23222212()()2()11001c c a ab ab b b a a b b a b a b c c a ba b b a b a b a b --------==---左右=-=3)(b a(3) 121211221100001000001n n n n n nn n x x x a x a x a x a x a a a a a x-------=+++++-+L L M MM O M M L L L证明: 按最后一行展开，得1211000000010001000(1)(1)00010000100101n n n n x x a a x x x ++----=-+-----L L L L O M M M M M O M M L L LL左321220000100000000100(1)(1)0001000000001001n n n x x x x a a x x +----+-++----LL L L L M M M O M M M M M O M M L L LL21100100()(1)000100nx x x a x x--++--LL M M M O M M L L222222121221(1)(1)(1)(1)()(1)n n n n n n n n n n a a x a x a x x a x ----=-+-+-++-++-L 2211221n n n n n n a a x a x a x a x x ----=++++++=L 右3=2-3．计算下列行列式（1）11111100((1))((1))0x a a a x a a x a x a x n a x n a a a xa a xx a-=+-=+--LL L LLLM M O M M M OM M M OM LLL])1([)(1a n x a x n -+-=-(2)()()()()()()111(1)211111111()1(1)(1)111111nnnn n n n n n n n n nnna a a n a a a n a a a n D a a a n a a a n a a a n ---++---------==-------L L L LM MOMMM O ML L LL（最后一行（n+1）行依次与第n,n-1,…,2,1行交换，经过n 次交换；再将新的行列式的最后一行（即原来的n 行）依次换到第二行，经过n-1次交换；。

线性代数行列式例题讲解

例7
1 D4 x1 x12 x
1 x 1 x1 x12 x13 x14
4 1
1 x2
2 x2
1 x3
2 x3
1 x4
2 x4
x
1 x2 x2 2 x23 x2 4
4 2
x
1 x3 x32 x33 x34
4 3
x
1 x4 x4 2 x43 x4 4
4 4
解：构造下面的范德蒙行列式
D5 x 2 x3 x4
例1 （行（列）和相同，提取公因子）
c1 c2 c3 c4 a c d b a c b d 提取第一列公因子 c a b d
1 a d (a b c d ) 1 c 1 c 1 a d b b b b d d
c
a d
b
r3 r2 r4 r1
1 a (a b c d ) 1 c
行和相同，提取公因子
( x1 x2 xn m)
ri r1,i 2,3 , n
... xn m
1 ( m xi )
i 1 n
x2 ... 0
... ...
xn 0 ...
0 ... 0
m ...
... m
xi n (1 )( m) i 1 m
(ad bc) n
递推法
d
例5
1 1 Dn 1 1
2 2 0 0
3 ... n 0 ... 0 3 ... 0 0 n
或
爪型行列式
r1 r2 r3 rn
cn c2 c3 c1 2 3 n Dn (n 2) n !
... ... ... ... ...

线性代数典型例题

A = C 1,： 2,： 3),B =(：1： 2： 3, j 2 24 3√ 13： 29 3)线性代数第一章行列式典型例题、利用行列式性质计算行列式、按行（列）展开公式求代数余子式四、抽象行列式的计算或证明1. 设四阶矩阵 A=[2>,3 2,4 3, 4]，B=「,2 2,3 3,4 4],其中2, 3, 4 均为四维列向量，且已知行列式|A| = 2,|B|=-3,试计算行列式|A - B|.A12. 设A 为三阶方阵，A 为A 的伴随矩阵，且IAI=',试计算行列式2"（3A ） j-2A * 0〕 2 L :O AT3. 设A 是n 阶（n 工2）非零实矩阵，元素a ij与其代数余子式A j 相等，求行列式|A|.2 1 04. 设矩阵 A= 1 2 0 ,矩阵 B 满足 ABA * = 2BA*+E ,则 |B|= ________ .'0 0 1 J5. 设＞1√∙2, : 3均为3维列向量，记矩阵已知行列式D 4 =1 3 1 123 5 1 34 6 2 4 4 7 2=-6，试求 A 41 A 42 与 A 43 ' A 44.三、利用多项式分解因式计算行列式11、tW1 2 —X1 •计算D =151 9-x 22 •设 f(x)=X b b b b X C C C C Xddd ,则方程f (X) =O 有根X = d如果I A ∣=1，那么| B |= __ .五、n阶行列式的计算六、利用特征值计算行列式1. 若四阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为丄丄,则行列式2 3 4 51IB -E∣= _________ .2. 设A为四阶矩阵，且满足|2E ∙ A∣=0,又已知A的三个特征值分别为-1,1,2，试计算行列式|2A 3E |.第二章矩阵典型例题一、求逆矩阵1. 设代B, A ■ B都是可逆矩阵，求：（A J■ B」）」.-00021〕000532.设 A =12300,求A JL4580034600一二、讨论抽象矩阵的可逆性1. 设n阶矩阵A满足关系式A3∙ A2- A- E =0,证明A可逆，并求A^l.2. 已知A3 =2E,B = A2 -2A ∙ 2E ,证明B可逆，并求出逆矩阵。

线性代数习题册行列式-习题详解

行列式的概念一、选择题1．下列选项中错误的是( ) (A)ba d c dc b a -= ； (B)acb d dc b a =；(C)dc b a dcd b c a =++33； (D)dc b a dc b a -----=.答案：D2．行列式n D 不为零，利用行列式的性质对n D 进行变换后，行列式的值（）．(A)保持不变； (B)可以变成任何值； (C)保持不为零； (D)保持相同的正负号．答案：C二、填空题1.ab b a log 11log = .解析：0111log log log 11log =-=-=ab abb a ba . 2.6cos3sin6sin3cosππππ= . 解析：02cos 6sin 3sin 6cos 3cos 6cos 3sin6sin3cos==-=πππππππππ3.函数x x xxx f 121312)(-=中，3x 的系数为； xx xx x x g 21112)(---=中，3x 的系数为 . 答案：-2；-2.阶行列式n D 中的n 最小值是 . 答案：1.5. 三阶行列式11342321-中第2行第1列元素的代数余子式等于 . 答案：5.6.若02182=x，则x = . 答案：2. 7.在n阶行列式ija D =中，当i<j 时，),,2,1,(0n j i a ij L ==，则D = .答案：nn a a a Λ2211.8.设a ,b 为实数，则当a = ,b = 时，010100=---ab b a .解析：0)()1(1010022=+-=--=---b a ab ba abb a故0,0==b a .三、解答题1.用行列式的定义计算.(1)1100001001011010；解：原式=100010101)1(1010000011)1(14121++-⨯+-⨯110010100-=--=(2)000000hgf e d c b a.原式=00000gf e d b hf e dc a - =00000g f bd hf df e c a +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=bdfg adfh -2. 设行列式λλλ01010101-=D , 3512321132=D ,若21D D =,求λ的值.解：由对角线法则，得()()0,11221=-+=D D λλ若21D D =,则()()0112=-+λλ于是1-=λ或1.四、证明题1.（略）行列式的性质一、选择题1．设行列式x x xD 0101011-=, 1133512322=D ,若21D D =,则x 的取值为 ( ).(A)2，-1； (B)1，-1； (C)0，2； (D)0，1．答案：B2．若3333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则3332333123222321131213111525252a a a a a a a a a a a a D +++==（）． (A)30； (B) -30； (C)6； (D)-6．答案：C二、填空题1．若三阶行列式D 的第一行元素分别是1,2,0,第三行元素的余子式分别是8，x ，19，则x = . 解析：1820190,4x x ⨯-+⨯==. 2．2016201420182016 = .解析：4202220162014222016201420182016===.3.行列式cb dc a bcb aD =，则312111A A A ++= . 解析：312111A A A ++0111==cb c acb .4.行列式xx x xx D 31213231232154-=的展开式中，4x 的系数为；3x 的系数为 .解析：xxx x x x x x xx D 312131232321531213231232154--=-=xx x x 3121312512585103215---= 含4x ，3x 的项仅有主对角线上元素之积项，故4x ，3x 的系数分别为15，-3.三、解答题1.计算下列行列式 .(1)3214214314324321；解：各行加到第一行，得原式=32142143143211111032142143143210101010==160400400121011111012301211210111110=---=------.(2)4444333322225432154321543215432111111；解：原式=(5-4)(5-3)(5-2)(5-1)(4-3)(4-2)(4-1)(3-2)(3-1) =288.(3)49362516362516925169416941；原式=02222222297531694113119711975975316941==.(4)000000xyy x y x x y ；原式=xy x yx x xyy y xy 00000000-- =22222)(y x xyy x xxyy x y--=-.(5)xy z zx yyzx111；原式=)(0)(01x z y x z x y z x y yzx------ =))()((11))((x z z y y x yz x z x y ---=---.(6)200012000000130012000101--；原式=31012010140131201014200013012001012---=--=--=2031124=---. (7)43211111111111111111x x x x ++++；解：原式=432111110010011x x x x x x x ---+=432111413121100000001x x x x x x x x x x x x x ---++++ =3214214314324321x x x x x x x x x x x x x x x x ++++.2.设4322321143113151-=D ，计算44434241A A A A +++的值.其中)4,3,2,1(4=j A j 是D 的代数余子式.解：44434241A A A A +++61111321143113151=-=.3. 已知1142113110111253------=D ,求41312111M M M M +++.解：41312111M M M M +++=41312111)1(1)1(1M M M M --⋅+--⋅=1141113110111251-------=0.4.计算下列n 阶行列式.(1)211121112ΛMM M ΛΛ；解：原式=211121111ΛM M MΛΛ+++n n n =211121111)1(ΛMMM ΛΛ+n =1100010111)1(+=+n n ΛMM M ΛΛ. (2)xy yyy x y yy y x yy y y x ΛM M M M ΛΛΛ ；解：原式=[]x y y y y x y yy y x yy n x ΛM M M M ΛΛΛ1111)1(-+ =[]yx y x y x y n x ----+ΛM M M MΛΛΛ0000001111)1(=[]1)()1(---+n y x y n x .(3)),,2,1,0(010011111021n i x x x x i nΛΛM M M M ΛΛΛ=≠.解：原式=nni ix x x x ΛM M M M ΛΛΛ0000000011101211∑=- =)1(121∑=-ni in x x x x Λ.四、证明题1.设a ,b ,c 是互异的实数，证明0111333=c b a c b a的充分必要条件是a+b+c=0.证明：33333333001111a c ab aa c ab acbac b a----==3333a c a b a c a b ----=222211))((a ac c a ab b a c a b ++++--=))()((22ab ac b c a c a b -+--- =))()()((c b a b c a c a b ++---=0,由于a ,b ,c 是互异的实数，故要上式成立，当且仅当a+b+c=0.2.证明4+2324323631063a b c d a a b a b c a b c da a ab a bc a b cd a a b a b c a b c d +++++=++++++++++++证明：左边43322102320363a b c d r r a a b a b cr r a a b a b c r r a a b a b c-+++-+++-+++433210002003a b c d r r a a b a b ca ab r r a a b-++++-+4430002000a b c d a a b a b cr r a a a b a+++-=+=右边克莱姆法则一、选择题1．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++1,1,1321321321x x x x x x x x x λλλ, 有唯一解,则( ).(A)1-≠λ且2-≠λ； (B) 1≠λ且2-≠λ；(C) 1≠λ且2≠λ； (D) 1-≠λ且2≠λ．解析：由克莱姆法则，当0)1)(2(1111112≠-+=λλλλλ，即1≠λ且2-≠λ，选B.2.当≠a （）时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+02,02,0z y ax z ax x z ax 只有零解.(A) -1 ；(B) 0 ；(C) -2 ；(D) 2. 解析：由克莱姆法则，当0)2(212012100121210≠-=--=-a aaa aa即2≠a ，选D.三、解答题1.用克莱姆法则下列解方程组.(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-+;32,322,22z y x z y x z y x解： 03112221121≠=---=D ，由克莱姆法则知，此方程组有唯一解，31132231221=---=D ，61322311212=-=D ，93323312213==D ，因此方程组的解为11==D D x ,22==D Dy ，33==DD z .(2)..23342,223,3232,124321432143214321⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+++=+-+=-++x x x x x x x x x x x x x x x x解：043342123121321121≠=---=D由克莱姆法则知，此方程组有唯一解，833421232213311211=---=D ， 233221221213211112-=---=D ,232421231233211213=--=D ,223422231313211214=-=D .因此方程组的解为211==D D x ,2122-==D D x ，2133==D D x ,2144==D D x . 2.判断线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+0285,042,022321321321x x x x x x x x x 是否有非零解解：因为系数行列式285122421285421122----=---=D=0305009604212218960421≠-=--=----, 所以，方程组只有零解.3.已知齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=-+02,0,0321321321x x x x x kx x kx x 有非零解，求k 的值.解：因为齐次线性方程组有非零解，所以该方程组的系数行列式必为零，即32101101111211112k k kk kk --+--=--=)21)(1()1(32k k k +++- =0)4)(1(=-+k k 解得，k =-1或k =4.4.当μ取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=-+-=-++0)1(02)3(0)1(42321321321x x x x x x x x x μμμ有非零解解：由齐次线性方程组有非零解的条件可知，0111213142=------μμμ,解得3,2,0=μ.第一章综合练习一、判断题1. n 阶行列式n D 中的n 最小为2.( ╳ )2. 在n 阶行列式ij a D =中元素),2,1,(L =j i a ij 均为整数，则D 必为整数.( √ )3.413223144433221144413332232214110000000a a a a a a a a a a a a a a a a -=.( ╳)二、选择题1.若11131--+=x x x D ，211122-+=x x D ，则1D 与2D 的大小关系是( ).(A)21D D <； (B)21D D >；(C)21D D =；(D)随x 值变化而变化.答案：C 2.行列式{})2,1,1,,,(-∈d c b a dc b a 的所有可能值中，最大的是( ).(A) 0； (B)2； (C)4； (D)6.答案：D三、填空题1.︒︒︒︒40cos 20sin 40sin 20cos = .解析：︒︒-︒︒=︒︒︒︒40sin 20sin 40cos 20cos 40cos 20sin 40sin 20cos2160cos =︒=. 2.若y y x x y x -=-1122,则x+y = . 解析：由y y x x y x -=-1122，得xy y x 222-=+ 即0)(2=+y x ，从而x+y =0.3.已知111,0112==yx x ，则y = . 解析：由111,0112==yxx ,得x =2,x-y =1,从而y =14. 若222222222642531C c B b A a c b a ++=,则2C 化简后的结果等于 . 解析：242312=-=C .5.设xxx x xx f 111123111212)(-=，则4x 的系数为；3x 的系数为 .解析：当f (x )的主对角线的4个元素相乘才能得出4x ，系数为2；含3x 的项只能是44332112,,,a a a a 的乘积，系数为-1. 答案：2，-1.6.设0123411222641232211154321=D ,则(1)333231A A A ++= ； (2)3534A A + ；（3）5554535251A A A A A ++++ . 解析：0)(23534333231=++++A A A A A 0)()(23534333231=++++A A A A A于是0333231=++A A A ，03534=+A A .5554535251A A A A A ++++1111111222641232211154321=01111133333641232211154321==. 即0555*******=++++A A A A A .四、解答题1.计算下列行列式.(1)44342414433323134232221241312111y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x ++++++++++++++++；解：原式=14131214141312131413121214131211y y y y y y y x y y y y y y y x y y y y y y y x y y y y y y y x ---+---+---+---+=000000000014131214131211=------+x x x x x x y y y y y y y x .(2)43211111111111111111x x x x ++++；解：原式=432111110010011x x x x x x x ---+=432111413121100000001x x x x x x x x x x x x x ---++++ =3214214314324321x x x x x x x x x x x x x x x x ++++.(3)2007000002006000200500020001000ΛΛΛMM M M M ΛΛ. 解：原式=!2006)1(2007220052006⨯-⋅=!2007-2.已知123452221127312451112243150D ==, 求(1)434241A A A ++；(2)4544A A +. 解：27)(21114544434241=++⋅+⋅+⋅A A A A A0)()(24544434241=++++A A A A A得9434241-=++A A A ,184544=+A A . 3.计算下列n 阶行列式.(1)nn n n n n n D ΛM M M ΛΛΛ222333222111=；解：（利用范德蒙行列式计算）1122133321111!--==n n n Tn n n n n D D ΛM MMΛΛΛ [])1()2()24)(23)(1()13)(12(!--------=n n n n n ΛΛΛ!2)!2()!1(!Λ--=n n n .(2)211121112ΛMM M ΛΛ；解：原式=211121111ΛM M MΛΛ+++n n n =211121111)1(ΛMMM ΛΛ+n =1100010111)1(+=+n n ΛMM M ΛΛ.(3)mx x x x m x x x x mx D n n n n ---=ΛM M M ΛΛ212121解：将第2列，L ，第n 列分别加到第一列，并提取第一列的公因子，得m x x mx x x x m x m x x x x x m x x x D n n n n n n n --+++--+++-+++=ΛΛM M MΛΛΛΛ221221221mx x x m x x x m x x x n n n n ---+++=ΛMM M ΛΛΛ22221111)(mm m x x x n ---+++=ΛM M M ΛΛΛ0101001)(21121))((---+++=n n m m x x x Λ(4)nn n n n a a a a a a b b b b b D 1322113210000000-----=ΛM M M M M ΛΛΛ （其中n i a i ,,2,1,0Λ=≠）解： 1221100000000)1(-+----=n nn n a a a a b D ΛM M M M ΛΛ1222112210000000------+n n n n n a a a a a b b b b a ΛM M M M ΛΛΛ 121-+⋅=n n nnn D a a b a a a Λ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∑=n i i in a b a a a 121ΛΛ. 三、证明题1.试证：如果n 次多项式n n x a x a a x f +++=Λ10)(对n+1个不同的x 值都是零，则此多项式恒等于零.(提示：用范德蒙行列式证明)。

考研数学三线性代数(行列式)模拟试卷3(题后含答案及解析)

考研数学三线性代数（行列式）模拟试卷3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设2n阶行列式D的某一列元素及其余子式都等于a，则D=( )A．0。

B．a2。

C．一a2。

D．na2。

正确答案：A解析：按这一列展开，D=a1jA1j+a2jA2j+…+a2njA2nj=aA1j+aA2j+…+aA2nj，并注意到这一列元素的代数余子式中有n个为a，n个为一a，从而行列式的值为零，故选A。

知识模块：行列式2．四阶行列式的值等于( )A．a1a2a3a4一b1b2b3b4。

B．a1a2a3a4+b1b2b3b4。

C．(a1a2一b1b2)(a3a4一b3b4)。

D．(a2a3一b2b3)(a1a4一b1b4)。

正确答案：D解析：方法一：将此行列式按第一行展开，原式=a1=(a1a4—b1b4)(a2a3一b2b3)，故选D。

方法二：交换该行列式的第二行与第四行，再将第二列与第四列交换，即原式=由拉普拉斯展开可知，原式=(a1a4一b1b4)(a2a4一b2b3)，故选D。

知识模块：行列式3．设A=，且|A|=m，则|B|=( )A．m。

B．一8m。

C．2m。

D．一2m。

正确答案：D解析：方法一：故选D。

方法二：将行列式|A|的第一列加到第二列上，再将第二、三列互换，之后第一列乘以2就可以得到行列式|B|。

由行列式的性质知|B|=一2|A|=一2m，故选D。

知识模块：行列式4．α1，α2，α3，β1，β2均为四维列向量，A=(α1，α2，α3，β1)，B=(α3，α1，α2，β2)，且|A|=1，|B|=2，则|A+B|=( )A．9。

B．6。

C．3。

D．1。

正确答案：B解析：方法一：由矩阵加法公式，得A+B=(α1+α3，α2+α1，α3+α2，β1+β2)，结合行列式的性质有|A+B|=|α1+α3，α2+α1，α3+α2，β1+β2| =|2(α1+α2+α3)，α2+α1，α3+α2，β1+β2| =2 |α1+α2+α3，α2+α1,α3+α2，β1+β2| =2 |α1+α2+α3，α3，一α1,β1+β2|=2|α2，－α3，α1,β1+β2|=2|α1，α2，α3，β1+β2|=2(|A|+|B|)=6。

线性代数行列式经典例题【精选】

线性代数行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式.解方法1 由题设知，=0，，，故11a 121a =1,1,n a n =- 01110212n n n D n n --=--1,1,,2i i r r i n n --=-=011111111n ----1,,1j nc c j n +=-=1211021(1)2(1)020001n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第列．n 方法2 01110212n n n D n n --=--11,2,,111111112i i r r i n n n +-=----=--=12,,101201231j c c j nn n n +=---=---12(1)2(1)n n n ----例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明:的充要条件是a + b + c =0.证明: 考察范德蒙行列式:=行列式即为y 2前的系数. 于是=所以的充要条件是a + b + c = 0.例3计算D =n 121100010nn n x x a a a x a ----+ 解：方法1 递推法按第1列展开，有D = x D +（－1）a = x D + a n 1-n 1+n n 11111n x x x -----1-n n 由于D = x + a ，，于是D = x D + a =x （x D +a ）+ a =x D 112211x D a x a -=+n 1-n n 2-n 1-n n 2+ a x + a == xD + a x++ a x + a =2-n 1-n n 1-n 122-n 1-n n 111nn n nx a xa x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 倍，，第n 列的x倍分别加到第1列上21-n 12c xc n D +=21121010010000n n n n x x xa xa a a x a -----++、手握防变的出，在为以上认“三严树立彻落实要（一“两开展一次主党誓找标距。

线性代数习题--行列式

行列式二阶、三阶行列式—对角线原理■计算下列二阶行列式2312； 22b a ba1log log 1ba ab ;θθθcos 1sin tan ;cos sin sin cos θθθθ-；1111121221212222a b a b a b a b ++++；1112111221222122a ab b a a b b +. 解22ba b a =22ba ab -; 1log log 1b aa b =-1a b log b a log 110=-=;θθθcos 1sin tan =0sin cos tan =-⋅θθθ;■计算下列三阶行列式(1)111111111--- (2)38114112---; (3)b a c a c b c b a (4)222111c b a c b a(5)00000d c ba (6)ed ba00000. (7)y x y x x y x y yx y x +++.解 111111111---=111(1)(1)(1)11111(1)⨯⨯+-⨯-⨯-+⨯⨯-⨯⨯-(1)111(1)1--⨯⨯-⨯-⨯1111114=-++++=381141102---=2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8-0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1)=-24+8+16-4=-4.=ba c a cb cb a ccc aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---==222111c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---=00000d c b a =00000000000ac bd ab cd ⨯⨯+⋅+⋅-⨯⨯-⋅-⋅=; 0000ab c de=00000000abe c d b cda e abe acd ++---=-.yx y x x y x y yx y x +++=x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3=-2(x 3+y 3).行列式的定义排列与逆序■计算以下各个排列的逆序数, 并指出它们的奇偶性: 1234 4132 2413314265 ；314265789； 542391786； 134785692 139782645987654321； 246813579；(1)21n n -.(4)13…)12(-n 24 …)2(n ； (5)13…)12(-n )2(n )22(-n … 2. (6)1(2)3(22)5(24)(21)2n n n n ---.解逆序数为0逆序数为4: 41, 43, 42, 32. 逆序数为3.(314265)2114τ=++= 偶排列(314265789)2114τ=++= 偶排列 (542391786)431141115τ=++++++= 奇排列 11; 17.(987654321)8765432136τ=+++++++= 偶排列 (246813579)123410τ=+++= 偶排列1((1)21)(1)(2)21(1)2n n n n n n τ-=-+-+++=-, 这表明该排列的逆序数与n 有关, 故要对n 进行讨论:当4,41n k k =+时1(1)2n n -为偶数，此时排列(1)21n n -.为偶排列;当42,43n k k =++时1(1)2n n -为奇数，此时排列(1)21n n -.为奇排列.(4)逆序数为2)1(-n n . 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n -1)(2n -2) (n -1个)(5)逆序数为)1(-n n .3 2(1个) 5 2, 54 (2个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n -1)(2n -2) (n -1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n )2, (2n )4, (2n )6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n )(2n -2) (n -1个) (6)当n 为偶数时，2n k =，排列为143425212221223412k k k k k kk k --+++-[]1122(1)(1)t k k k =+++++-+-+L [](1)(2)21k k +-+-+++L()()()()()22(1)1313142n k k k k k k n 轾+++++++++-=-=-犏臌L 其中11(1)(1)k k +++-+-L 为1434252122k k k k --+的逆序数；k 为21k +与它前面数构成的逆序数；(1)(2)21k k -+-+++L 为23,25,,2(21)k k k k +++-L 与它们前面数构成的逆序数的和；()()()()()()113131k k k k ++++++++-L 为2k ，22,24,,2k k --L 与它们前面数构成的逆序数的和.当n 为奇数时，21n k =+，排列为142345212223225412k k k k k kk k ++++++()1122t k k =+++++++L [](1)21k k ++-+++L()()()2213323432n k k k k k k n +轾++++?+=+=-臌L其中1122k k ++++++L 为1423452122k k k k +++的逆序数；(1)21k k +-+++L 为23,25,,2(21)k k k k ++++L 与它们前面数构成的逆序数的和；()()()3323k k k k +++?+L为2,22,,2k k -L 与它们前面数构成的逆序数的和.■确定,i j ，使6元排列2316i j 为奇排列.■在由1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9组成的下述9阶排列中, 选择i j 与使得: (1)2147958i j 为偶排列； (2)1254896i j 为奇排列； (3)4125769i j 偶排列； (3)3142786i j 奇排列. 均要求说明理由.分析排列1254896i j 中的两个未知数i j 与据排列的定义只能取3或7. 因而只有两种情况：1132574896与2172534896，然而我们只需计算上述的一个排列就可得知结果，因为1与2是3和7作一次对换得到的，而作一次对换必改变排列的奇偶性，也就是说若1为偶排列, 则2必为奇排列. 其余题解法也类似.解 (1)取3,6i j ==有(214739568)11226τ=+++=为偶排列, 符合题目要求.(2)取3,7i j ==有(132574896)112116τ=++++=为偶排列, 故取7,3i j ==时172534896为奇排列, 符合题目要求.(3)取3,8i j ==有(412357698)3115τ=++=为偶排列，符合题目要求.(4)取5,9i j ==有(531429786)42131112τ=+++++=为偶排列. 故取9,5i j ==时931425786为奇排列, 符合题目要求.■写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项. 解由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++故44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.■写出4阶行列式ij a 中包含因子4223a a 的项, 并指出正负号.解 4阶行列式ij a 中包含因子4223a a 的项有11233442a a a a 和14233142a a a a . 由于(1342)2τ=，故11233442a a a a 取正号; (4312)5τ=，故14233142a a a a 取负号.■当i =___, k =___时13242553i k a a a a a 成为5阶行列式ij a 中一个取负号的项,为什么?解 i 和k 只能取1,4或者4,1.不妨先假设1,4i k ==, 则13242553i k a a a a a =1132442553a a a a a , 这个项的符号就是(13425)(12453(1)(1)1ττ+-=-=+, 不符合要求. 那么当4,1i k ==时13242553i k a a a a a =1432412553a a a a a , 它和1132442553a a a a a 相比就是交换了列指标1和4的位置, 因(12453)τ与(42153)τ相比改变了奇偶性, 所以1432412553a a a a a 的符号为负. 故应填4,1i k ==.■若(415)(12345)41213455(1)k i k i a a a a a ττ+-是5阶行列式ij a 中的一项, 则当i =___, k =___时该项的符号为正, 当i =___, k =___时该项的符号为负, 为什么?解此问和问题3类似, i 和k 只能取2,3或者3,2.不妨先假设2,3i k ==, 则符号为(43125)(12345)(1)ττ+-=5(1)(1)-=-, 所以取的是负号. 那么由问题3的分析可知当3,2i k ==时符号取正. 所以当3,2i k ==时该项的符号为正, 当2,3i k ==时该项的符号为负.■在6阶行列式ij a 中, 下列项应该取什么符号? 为什么?(1) 233142561465a a a a a a ; (2) 324354116625a a a a a a ; (3) 215316426534a a a a a a ; (4) 511332442665a a a a a a . 解 (1) 因(234516)(312645)448ττ+=+=, 所以取正号;另一种方法是: 233142561465a a a a a a =142331425665a a a a a a , 因(431265)τ6=, 所以取正号. (2), (3), (4) 也可这样做, 不再列出.(2) 因(345162)(234165)7411ττ+=+=, 所以取负号; (3) 因(251463)(136254)6511ττ+=+=, 所以取负号; (4) 因(513426)(132465)628ττ+=+=, 所以取正号.■按行列式定义, 计算下列行列式((4)中1n >, 并均要求写出计算过程):0001100000100100=D=D 000000000000a c db .=D 00000000000a b c d ;=D 0001002003004000；=D 1234512345121212000000000a a a a ab b b b bc cd de e ;=D 000100002000010n n -=D n n 000000100200100-=D 000101001001000----.=D 11121,1121222,11,11,21000n n n n n n a a a a a a a a a a ----.解001100000100100=D =1=D 000000000000a c db (1342)(1)abcd abcd t =-==D 00000000000a b c d根据定义44ija ⨯=123412341234()1234(1)j j j j j j j j j j j j a a a a τ-∑.在行列式的通项中, 只有11233244a a a a 这一项的因子中不含零, 所以=D (1324)11233244(1)a a a a τ-=11233244a a a a -=abcd -.=D 0001002003004000(4321)(1)2424t =-==D 1234512345121212000000000a a a a ab b b b bc cd de e 根据定义,55ijD a ⨯==123451234512345()12345(1)j j j j j j j j j j j j j j j a a a a a τ-∑.在行列式D 的通项中每一个项1234512345j j j j j a a a a a 中最后三个因子345345,,j j j a a a 分别取值于行列式最后三行的不同列的三个数, 而行列式最后三行中均只有二个数不为零, 所以这三个因子中至少一个取零. 这样行列式的每一项中都含有因子零, 所以每项都为零, 从而0=D .=D 000100002000010 n n -所给行列式的展开式中只含有一个非零项1,12312n n n a a a a - ，它前面的符号应为()()()112311--=-n n τ ，所以D =()n n 11--！。

《高等代数》第三章习题及答案

习题3.1计算下列行列式：①5312--+a a ②212313121+----a a a解 ①5312--+a a =(a+2)(a-5)+3=a 2-3a-7②212313121+----a a a =(a-1)(a-1)(a+2)-3-12+2(a-1)-3(a-1)+6(a+2)= a 3+2a习题3.2求从大到小的n 阶排列(n n-1 … 2 1)的逆序数．解 τ(n n-1 … 2 1)=(n-1)+(n-2)+…+1+0=2)1(-n n 习题3.31.在6阶行列式中，项a 23a 31a 42a 56a 14a 65和项a 32a 43a 14a 51a 66a 25应各带有什么符号？解因为a 23a 31a 42a 56a 14a 65=a 14a 23a 31a 42a 56a 65，而τ(4 3 1 2 6 5)=3+2+0+0+1+0=6，所以项a 23a 31a 42a 56a 14a 65带有正号．又因为项a 32a 43a 14a 51a 66a 25=a 14a 25a 32a 43a 51a 66，而τ(4 5 2 3 1 6)=3+3+1+1+0+0=8，所以项a 32a 43a 14a 51a 66a 25带有正号． 2.计算：000400010002000300050000 解因为a 15a 24a 33a 42a 51的逆序数为τ(5 4 3 2 1)=5×4/2=10，带有正号，所以000400010002000300050000=5×3×2×1×4=120 习题3.4计算：6217213424435431014327427246-解 6217213424435431014327427246-=6211003424431001014327100246-=100×621134244*********1246-=-294×105习题3.51.计算下列行列式：①1723621431524021----- ②6234352724135342------解 ①1723621431524021-----=1374310294111120001------=137410291111-----=-726②6234352724135342------=1035732130010313410------=0105731331310---- =05723133710----=-5×72337--=-1002. 计算下列n 阶行列式（n ≥2）：①ab ba b a b a 000000000000 ②1210010010011110-n a a a③n n n n x x x x x x a a a a x a 1322113211000000000-----+④111)()1()()1()()1(111n a a a n a a a n a a a n n n n n n --------- 解 ① n n a b b a b a b a ⨯000000000000=)1()1(00000000000-⨯-⨯n n a b a b a b a a+)1()1(1000000000000)1(-⨯-+⨯-n n n b a b b ab b=a n+(-1)n+1b n② D n =1210010*********-n a a a=a n-1×D n-1+(-1)n+1×)1)(1(2100000000001111---n n n a a= a n-1D n-1+(-1)n+1×(-1)1+(n-1)×)2)(2(232100000000----n n n n a a a a=a n-1D n-1-a 1a 2…a n-2=a n-1(a n-2D n-2-a 1a 2…a n-3)-a 1a 2…a n-2 =a n-1a n-2D n-2-a n-1a 1a 2…a n-3-a 1a 2…a n-2 …= a n-1a n-2…a 2D 2-a n-1a n-2…a 3a 1-…-a n-1a n-2a 1a 2…a n-4-a n-1a 1a 2…a n-3-a 1a 2…a n-2= a n-1a n-2…a 21110a -a n-1a n-2…a 3a 1-…-a n-1a n-2a 1a 2…a n-4-a n-1a 1a 2…a n-3-a 1a 2…a n-2=-a n-1a n-2…a 2-a n-1a n-2…a 3a 1-…-a n-1a n-2a 1a 2…a n-4-a n-1a 1a 2…a n-3-a 1a 2…a n-2 =-∑---11211)...(n i in a a a a ③ D n =nn n n x x x x x x a a a a x a 1322113211000000000-----+=112111...)1()1(---++-⨯-n n n n n n D x x x x a =a n x 1x 2…x n-1+x n D n-1=a n x 1x 2…x n-1+x n (a n-1x 1x 2…x n-2+x n-1D n-2) =a n x 1x 2…x n-1+x n a n-1x 1x 2…x n-2+x n x n-1D n-2 …=a n x 1x 2…x n-1+x n a n-1x 1x 2…x n-2+…+x n x n-1…x 4a 3x 1x 2+x n x n-1…x 4x 3D 2=a n x 1x 2...x n-1+x n a n-1x 1x 2...x n-2+...+x n x n-1...x 4a 3x 1x 2+x n x n-1...x 4x 3[(a 1+x 1)x 2+a 2x 1] =)( (1)1121121∑=+--+ni n i i i n n x x a xx x x x x x④D n+1=111)()1()()1()()1(111n a a a n a a a n a a a n n n nn n ---------=nn n n n n n n a a a n a a a n a a a )1()1()()1()()1(111)1(1112)1(----------+=)1()]}1([)2)(1)]{(()2)(1[()1(2)1(---------+ n n n n=2!3!...n!3.计算下列n 阶行列式（n ≥1）：①n a a a a ++++1111111111111111321②ax x x x x a x x x x a x a x x x x x a x n n nn ----- 321321321321解 ① D n =na a a a ++++1111111111111111321=na a a a +++++++11110111*********11321=1111111111111111321a a a ++++na a a a111011101110111321+++ =110010010321a a a +1-n n D a =a n D n-1-a 1a 2…a n-1=a n (a n-1D n-2-a 1a 2…a n-2)-a 1a 2…a n-1 =a n a n-1D n-2-a n a 1a 2…a n-2-a 1a 2…a n-1 =n ni n i i a a a a a aa 211111)(+∑=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=ni i n a a a a 12111 (a i ≠0) ②D n =a x x x x x a x x x x a x a x x x x x a x n n n n -----321321321321=ax x x x x a x x x x a x a x x x x x a x n n n n -+-+--+- 321321321321000=n n n n x x x x x a x x x x a x a x x x x x a x 321321321321----+ax x x a x x x a x a x x x x a x -----321321321321000 =x n (-a)n-1(x 1+x 2+…+x n )+(-a)n4.证明：n 阶行列式yz z x y y x z xzz zz y y x z z yy y x z yy y y x nn ----=)()( 其中z ≠y ．解 D n =xzz zzy y x z z yy y x z x y zx00--=(x-z)D n-1-(y-x))1()1(-⨯-n n x zz zy y x zy y y z=(x-z)D n-1-(y-x)z)1()1(111-⨯-n n x z z y y x y yy=(x-z)D n-1-(y-x)z)1()1(10010001-⨯-----n n y x yz y z y x=(x-z)D n-1-(y-x)z(x-y)n-2=(x-z)D n-1+z(x-y)n-1即有D n =(x-z)D n-1+z(x-y)n-1(1)又D n =xzz zy y x z yy y x x z yy y y y x--=(x-y)D n-1-(z-x))1()1(-⨯-n n x zz zy y x zy y y y=(x-y)D n-1-(z-x)y)1()1(1111-⨯-n n x z z z yy x z=(x-y)D n-1-(z-x)y)1()1(001111-⨯-----n n z x z y z y z x=(x-y)D n-1-(z-x)y(x-z)n-2即有D n =(x-y)D n-1+y(x-z)n-1(2) 联立式（1）和式（2）得yz z x y y x z xzz zzy y x z z yy y x z yy y y x nn ----=)()( 习题3.61.设A,B,P ∈Mat n ×n (F)，并且P 是可逆的，证明：如果B=P -1AP ，则|B|=|A|．证因为|P -1||P|=1，所以|B|=|P -1AP|=|P -1||A||P|=|A|． 2*.仿照例3.6.1，试用分块初等变换，证明定理3.6.1．证设A ，B 都是n ×n 矩阵，则nE BA -0=B A B A A E B n n n n=-=--+)1(0)1(另一方面，对nE BA -0的第2行小块矩阵乘以A 加到第一行上去，有nE BA -0=AB E BAB n=0所以B A AB =．习题3.71.求下列矩阵的伴随矩阵和逆矩阵①⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1112 ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--325436752解 ①设原矩阵为A ，则A 11=-1，A 21=-1，A 12=1，A 22=2，伴随矩阵A *=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2111，|A|=-2+1=-1，所以，A -1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---211111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2111②设原矩阵为A ，则A 11=3243--=-9+8=-1，A 21=3275---=-（-15+14）=1，A 31=4375=20-21=-1，A 12=3546--=38，A 22=3572-=-41，A 32=4672-=34， A 13=2536-=-27，A 23=2552--=29，A 33=3652=-24伴随矩阵A *=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----242927344138111，|A|=-18-84+100-105+16+90=-1，所以，A -1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------24292734413811111=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2429273441381112.证明：上三角形矩阵是可逆矩阵的充分必要条件是：它的主对角线元全不为零．证因为矩阵可逆的充分必要条件是它的行列式不为零，而上三角形矩阵的行列式等于它的主对角线上所有元的乘积，所以上三角形矩阵的行列式不为零的充分必要条件是：它的主对角线元全不为零，故上三角形矩阵可逆矩阵的充分必要条件是：它的主对角线元全不为零．3.设A 是n ×n 矩阵．证明：A 是可逆的，当且仅当A *也是可逆的．证因为 AA *=|A|E ，两边取行列式得|A||A *|=|A|n．若A 可逆，则A 的行列式|A|≠0，从而有|A *|=|A|n-1≠0，所以A *可逆．反之，若A *可逆，设A *的逆阵为(A *)-1．用反证法，假设A 不可逆，则A 的行列式|A|=0，所以AA *=|A|E=0，对AA *=0两边同时右乘(A *)-1，得A=0，从而A 的任一n-1阶子式必为零，故A *=0，这与A *可逆相矛盾，因此A 可逆． 4.证明定理3.7.2的推论1．推论1的描述：设A 是分块对角矩阵，A=diag(A 1,A 2,…,A s )，证明：A 可逆当且仅当A 1,A 2,…,A s 均可逆，并且A -1=diag(A 1-1,A 2-1,…,A s -1)．证 A 可逆，当且仅当A 的行列式|A|≠0，而|A|=|A 1||A 2|…|A s |，所以|A|≠0当且仅当|A 1|，|A 2|，…，|A s |都不为零，即A 1,A 2,…,A s 均可逆．令B=diag(A 1-1,A 2-1,…,A s -1)，则有AB=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛S A A A21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11211s A A A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛S E E E21=E 故A -1=diag(A 1-1,A 2-1,…,A s -1)．4.设A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a aa a a a a a 是实矩阵（实数域上的矩阵），且a 33=-1．证明：如果A 的每一个元都等于它的代数余子式，则|A|=1．证如果A 的每一个元都等于它的代数余子式，则A 的伴随矩阵A *=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332313322212312111a a a a a a a a a =A T ．所以|A *|=|A|，又AA *=|A|E ，两边取行列式得|A|2=|A|3．由a 33=-1，得AA *=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211a a aa a a a a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332313322212312111a a a a a a a a a =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12313322212312111a a a a a a a a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-12313322212312111a a a a a a a a =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++1232231a a =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛||000||000||A A A比较最后一个等式两端第3行3列的元素知|A|=a 312+a 322+1≠0，对|A|2=|A|3两边同时除以|A|2得|A|=1．6.设A=(a ij )是n ×n 可逆矩阵，有两个线性方程组（Ⅰ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++u x c x c x c bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a n n nn nn n n n n n n (221122112222212111212111)（Ⅱ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++vx b x b x b cx a x a x a c x a x a x a c x a x a x a n n nn nn n n n n n n (221122112222211211221111)如果（Ⅰ）有解．证明：当且仅当u =v 时，（Ⅱ）有解．证设方程组（Ⅰ）的解为x 1*, x 2*,…, x n *，代入方程组（Ⅰ）得（Ⅲ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++ux c x c x c bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a n n n n n nnn n n n n **2*1**2*12*2*22*211*1*12*11................................................ (212)12121 当u =v 时，因为 A=(a ij )是n ×n 可逆矩阵，A 的行列式不等于零，根据克莱姆法则，方程组（Ⅱ）的前n 个方程作为一个线性方程组，它有唯一解，记该解为x 1**, x 2**,…, x n **，代入方程组（Ⅱ）的前n 个方程中得（Ⅳ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++----nnn n n n nn n n n n c x a x a x a cx a x a x a c x a x a x a c x a x a x a n n nn ****2**11**1**12**112**2**22**121**1**21**11......................................................21212121 对等式组（Ⅳ）中第1个等式的两端同时乘以x 1*,第2个等式的两端同时乘以 x 2*,…, 第n个等式的两端同时乘以 x n *，然后将n 各等式的左边全部相加，也将右边全部相加，并利用（Ⅲ）式，可得b 1x 1**+b 2x 2**+…+b n x n **=c 1x 1*+ c 2x 2*+…+ c n x n *=u由u =v ，得b 1x 1**+b 2x 2**+…+b n x n **=u即x 1**, x 2**,…, x n **也满足（Ⅱ）中最后一个方程．所以方程组（Ⅱ）有解．反之，若方程组（Ⅱ）有解，设其解为x 1**, x 2**,…, x n **，代入（Ⅱ）得到（Ⅴ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++-vx b x b x b cx a x a x a c x a x a x a c x a x a x a n n n n n n nn n n n n ****2**11****2**12**2**22**121**1**21**11......................................................21212121 对等式组（Ⅲ）中第1个等式的两端同时乘以x 1**,第2个等式的两端同时乘以 x 2**,…,第n 个等式的两端同时乘以 x n **，然后将n 各等式的左边全部相加，也将右边全部相加，并利用（Ⅴ）式，可得c 1x 1*+c 2x 2*+…+c n x n *=b 1x 1**+ b 2x 2**+…+ b n x n **将上式左端与（Ⅴ）式中最后一个等式比较，将上式右端与（Ⅲ）式中最后一个等式比较，得 u =v ．7.设A 是n ×n 矩阵．证明：|A *|=|A|n-1证因为AA *=|A|E ，两边取行列式得 |A||A *|=|A|n ．如果|A|≠0，两边除以|A|，得|A *|=|A|n-1如果|A|=0，也可写成|A *|=|A|n-1，总之，有|A *|=|A|n-1成立．。

几何与线性代数(第三章行列式与矩阵)

n
n 2时，D a11 A11 a12 A12 a1n A1n a1 j A1 j j1
其中A1 j (1)1 j M1 j
a21 a2, j1
M1 j
a31
a3, j1
an1 an, j1
a2, j1 a2n a3, j1 a3n
an, j1 ann
( j 1,2,..,n)
ai1 j1 ai2 j1
aik j1
ai1 j2 ai2 j2
aik j2
ai1 jk ai2 jk
aik jk
非零子式
定义（秩）：非零矩阵A的非零子式的最高阶数称为A的秩，记为r(A)或R(A)。规定：零矩阵的秩为0
注：最高阶数，即指A存在r阶非零子式，但所有r+1阶子式（如果存在）都等于0，则最高阶数为r。注：r(A)=r(AT)
例：
1 4 2
A 3 5 1
2 1 6
性质2：
a11
a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ann
推论：
** * * 0 0 0 0 ** * *
性质3：
***
*** ***
k (5) A1 1
A
规定：当A可逆时，A0 E, Ak ( A1 )k k N，则当r, s Z时，有
Ar As Ars , ( Ar )s Ars
伴随矩阵
a11
A
a21
an1
a12 a22
an2
a1n
A11
a2n ann
A*
A12
A1n
A21 A22
| A|
| A|

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法二：
加边法
x1 m x1 ... x1
1 0 0 ... 0 x1 x2
x2 ... x2
...
... xn ... xn ... xn
xn
n+1阶，保证行列式值不变
Dn
x2 m ... xn
n阶
同上
ri r1,i 2,3 , n 1
1
x1
x2
...
xn 0 0
1 m 0 ... 1 0 m ... ... 1 ... 0 ... 0
... ... ... m
爪型行列式：用对角线上的非零元消掉第一列（行）的非零元(（1，1）位置元除外)
cn 1 c2 c3 c1 m m m
a11 0 0 ... 0
例1 （行（列）和相同，提取公因子）
c c c c 1 2 3 4 a c d b a c b d 提取第一列公因子 c a b d
1 1 (a b c d ) 1 1 a c c a d b d b b d b d
c a d
b
r3 r2 r4 r1
1 1 (a b c d ) 0 0
(b 1) 2 (b 1) 1
1 b 1 2 (b 1) 3 (b 1)
(b 2) 2 (b 2) 1
1 b2 2 (b 2) 3 (b 2)
范德蒙行列式？
(2 1)(2 ( 1))(2 0)(1 ( 1))(1 0)( 1 0) 3 2 2 (1) 12
1i j 4
x2 x 1 x 2 x 3 2x 2 2x 1 2x 2 2x 3 求f ( x) 0根的个数 3x 3 3x 2 4 x 5 3x 5 r2 2r1 4x 4 x 3 5x 7 4 x 3
例8
x 2 x 1 x 2 x 3 2 1 2 3 解: f ( x) 3 1 x 1 4 8 1 x 1 9
0 y 0 x
r1 r4 x c2 c3 0 2 2 2 y ( y x ) 0
例4
a 0 0 c
0 0 b c2 c4 a b 0 2 (ad bc) c d 0 0 0 d
r2 r4
例4’
a a b c d c
b
2n阶， a b c d 各n 个
1i j 4
[ B0 B1 x B2 x 2 ( x1 x2 x3 x4 ) x3 B4 x 4 ] ( x j xi )
1i j 4
上面是按x的多项式展开，对照系数，有
D4 ( x1 x2 x3 x4 ) ( x j xi )
(ad bc) n
d
递推法
例5
1 1 Dn 1
2 2 0
3 ... n 0 ... 0 3 ... 0
或
爪型行列式
r1 r2 r3 rn
cn c2 c3 c1 2 3 n Dn (n 2)n !
... ... ... ... ... 1 0 0 n
x1
x2
...
xn 0 0 a11 (m) n
m 0 ... 0 m ... 0 0 0 0
... 0 ... m
所作变换为：
cn c2 c3 c1 m m m
n
xn xi x1 x2 a11 1 1 m m m i 1 m
a d c d 0 bd 0 bd
b b 0 d b d b
例2
x1 m Dn x1 ... x1
法一：
x2 ... x2
... ...
1 1 ... 1
xn xn xn
x2 ... x2
x2 m ...
c1 c2 cn
... xn m
... ... xn xn xn x2 m ...
Hale Waihona Puke 从而：xi n Dn (1 )(m) i 1 m
n
练习：用四种方法下面行列式： 1.定理1（定义）；2.（初等行变换）化成上三角形； 3.P78 例9，行（列）和同，提取公因子；4.加边法；
3 1 1 1
1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 48 1 3
例3
0 x 0 y
y 0 x 0
例7
1 D4 x1 x x
2 1 4 1
1 x2 x x
1 x2 x2 2 x23 x2 4
2 2 4 2
1 x3 x x
1 x3 x32 x33 x34
2 3 4 3
1 x4 x x
1 x4 x4 2 x43 x4 4
2 4 4 4
解：构造下面的范德蒙行列式
1 x D5 x 2 x3 x4 1 x1 x12 x13 x14
r3 3r1 r4 4r1
x 2 x 1 x 2 x 3 2 1 2 3 3 1 x 1 4 5 0 0 5
即f ( x)是x的二次多式，故有二根。
说明：判断多项式方程根的个数，应尽量消掉多项式中的未知数，再根据定义判断多项式的次数。（化行阶梯型的方法）
求 Dn ,
A11 A12 A1n
说明：一般求行列式某行（列）代数余子式的线性和，只用把相应系数换到原行列式的对应行（列）中，计算行列式即可。如有余子式，则先把余子式转化成代数余子式，再按上法计算。
1 1 n A1 j 1
j 1
1 2 0
1 ... 1 0 ... 0 3 ... 0
注意：M 41 D4
A11 xA21 x 2 A31 x 3 A41 x 4 A51
由范德蒙行列式的计算公式：
D5 ( x j xi ), 其中x0 x
0 i j 4
( x4 x)( x3 x)( x2 x)( x1 x) ( x j xi )
行和相同，提取公因子
( x1 x2 xn m)
ri r1,i 2,3 , n
... xn m
1 (m xi )
i 1 n n
x2 ... 0
... ...
xn 0 ...
0 ... 0
m ...
... m
xi n (1 )(m) i 1 m
把第1行的元换成系数，此时系数全为1
... ... ... ... ... 1 0 0 n
1 (1 )n! i 2 i
n
例6 b3 (b 1)3 (b 1)3 (b 2)3
b2 b 1
1 b 2 b 3 b
(b 1) 2 (b 1) 1
1 b 1 2 (b 1) 3 (b 1)