快速傅里叶变换(FFT)试题
《数字信号处理》真题强化教程(第1讲 快速傅里叶变换FFT)
主讲人：杨治丽网学天地网学天地（ ）版权所有考点重点考点1：基-2按时间抽取FFT 算法的原理，流图，特点考点2：按时间抽取的FFT 算法的变体考点3：基-2按频率抽取FFT 算法的原理，流图，特点考点4：FFT 的计算量考点5：FFT 的性质考点6：一个N 点FFT 同时计算两个N 点实序列考点7：一个N 点FFT 运算一个2N 点实序列考点8：利用FFT 求卷积、相关考点9：N 为复合数的FFT 算法。
考点10：分裂基FFT 算法。
网学天地（ ）版权所有考点1：基-2按时间抽取FFT 算法的原理，流图，特点。
例1：给出按时间抽取（DIT ）基2FFT 算法的蝶形运算公式，画出N =8时相应的算法流程图，并说明其特点。
网学天地（ ）版权所有N =8的算法流图：它的特点：原位运算，输入反序，输出自然顺序。
每列的蝶形类型（系数）比前一列增加一倍，参加蝶形运算的两个数据点的间距也增大一倍。
网学天地（ ）版权所有例2：网学天地（）版权所有网学天地（ ）版权所有例3：根据按时间抽取的基-2FFT 算法的思想，推导出用3个2点DFT 计算一个6点DFT 的快速算法，并画出算法流程图。
提示：6点数据按3个2点的分发为：{x (0), x (3)}，{x (1), x (4)}，{x (2), x (5)}。
解：考点2：按时间抽取的FFT 算法的变体网学天地（）版权所有网学天地（）版权所有网学天地（）版权所有网学天地（ ）版权所有例4：根据按时间抽取的基2 FFT 算法的思想推导出利用16点FFT 实现48点x (n )的DFT 的快速算法，并对具体步骤作简要说明。
网学天地（）版权所有网学天地（ ）版权所有例5：假设有一按时间抽取方式实现的8点FFT 芯片，试问如何利用这些芯片来计算24点的DFT ？请写出推导过程，并作简要说明。
网学天地（ ）版权所有22424()()()(),0,1,....15kk X k F k W G k W G k k =++=同理，可得：82(8)2424(8)()()()k k X k F k W G k W G k +++=++162(16)2424(16)()()()k k X k F k W G k W G k +++=++网学天地（ ）版权所有考点3：基-2按频率抽取FFT 算法的原理，流图，特点。
傅里叶变换练习题
18、频谱函数11)(+=ωωj j F 的傅立叶逆变换)(t f 等于（ ） A 、)(t e t --ε B 、)(t e t ε C 、)(t e t ---ε D 、)(t e t ε- 19、复数 j +1 用极坐标形式表示为（ ）A 、︒902j e B 、︒452j e C 、︒-452j e D 、︒-902j e 14、下列那个不是周期信号的频谱特点（ ）A 、齐次性B 、离散性C 、谐波性D 、收敛性1.频谱函数11)(+=ωωj j F 的傅立叶逆变换)(t f 等于（ ） A 、)(t e t --ε B 、)(t e t ε C 、)(t e t ---ε D 、)(t e t ε- 2.3.4. 39．ωj 1具有（ ）A ．微分特性B 。
积分特性C 。
延时特性D 。
因果特性 5. 47．某信号的频谱密度函数为,)]2()2([)(3ωπωεπωεωj e j F ---+=则=)(t f （ ）A ．)]3(2[-t Sa πB 。
2)]3(2[-t Sa πC ．)2(t Sa πD 。
2)2(t Sa π6.52．已知信号)(t f 的傅氏变换为),(ωj F 则)23(tf -的傅氏变换为（ ） A ．ωω3)2(2j e j F - B 。
ωω3)2(2j e j F -- C ．ωω6)2(2j ej F - D 。
ωω6)2(2j ej F --7.98．∑∞-∞=-=n n t t f )2()(δ周期信号的傅立叶变换为（ ）A ．∑∞-∞=-n n )(πωδπ B 。
2∑∞-∞=-n n )(πωδπ C 。
∑∞-∞=-n n )2(πωδπ D 。
0.5∑∞-∞=-n n )(πωδπ8. 3。
符号函数)sgn(4t2-的频谱函数F(jω)=________________。
六、有一幅度为1，脉冲宽度为2ms的周期矩形脉冲，其周期为8ms，如图所示,求频谱并画出频谱图频谱图。
傅立叶变换习题
Ch7 傅立叶变换习题1． 已知连续时间周期信号()⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=35s i n432c o s 2t t t f ππ。
将其表示成复指数傅立叶级数形式，求n F ，并画出双边幅度谱和相位谱。
2． 设()()ωF t f ↔，试用()ωF 表示下列各信号的频谱（1）()()t f t f +2； （2）()[]t t f m 0cos 1ω+（3）()t f 36-；（4）()()t f t 2+；（5）()t f t 3；（6）()dt t df etj 0ω-（7）()()t f t --11； （8）()()3-*t f t f ；（9）()t f d ττ-∞⎰（10）()ττd f t ⎰+∞-5（11）()ττd f t ⎰-∞-2/1（12）()()tj e t f dt t df --+23；（13）()()t Sa t f 2* （14）()()t u t f（15）()dtt df t-1（16）()()()322--t j e t f t3． 先求下图（a)所示信号()t f 的频谱()ωF 的具体表达式，再利用傅里叶变换的性质由()ωF 求出()1f t 信号频谱的具体表达式。
4． 利用三种方法求下图所示信号的频谱。
5． 用傅里叶变换的对称性，求下列各信号的频谱（1）()()112sin --t t ππ（2）()2sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t ππ；（3）0,222>+a ta a ；（4） tj a +1；6． 已知()ωF 的图形如图所示，求其傅里叶反变换()t f7． 已知()()()ωωω2cos 4Sa F =，求反变换()t f ，并画出()t f 的波形8． 求下列各傅里叶变换的原函数（1）()()0ωωδω-=F（2）()()()00ωωωωω--+=u u F ； （3）()()21a j F +=ωω；9． 已知如图所示信号 x(t)的付氏变换为试根据付氏变换的性质（不做积分运算）求 ： (a ) X(0) (b)10． 求下列各函数)(1t f 与 )(2t f 的卷积 )(*)(21t f t f（1）)()(),()(321t u e t f t u t f t -== （2）)()(),()(21t u t f t tu t f == （3）()2)()(),()(21--==t u t u t f t tu t f（4）)2()(),1()(21+=-=t u t f t tu t f （5）)45cos()(),2()(21 +=-=t t f t t f ωδ（6）)2()1()()],1()()[1()(21---=--+=t u t u t f t u t u t t f （7）)1()1()(),cos()(21--+==t t t f t t f δδω （8）)(sin )(),()(221t tu t f t u e t f t ==-11． 对图中所示的各组函数，计算卷积积分)()(21t f t f *, 并粗略画出)(1t f 与)(2t f 卷积的波形。
dsp考试试卷
dsp考试试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. DSP技术中，下列哪个选项不是数字信号处理的基本概念？A. 采样B. 量化C. 编码D. 调制2. 在数字信号处理中，傅里叶变换的主要作用是：A. 信号压缩B. 信号滤波C. 信号频谱分析D. 信号去噪3. 下列哪种滤波器不是无限冲击响应（IIR）滤波器？A. 巴特沃斯滤波器B. 切比雪夫滤波器C. 椭圆滤波器D. 有限冲击响应（FIR）滤波器4. 在数字信号处理中，下列哪个算法不是用于信号的频域分析？A. 快速傅里叶变换（FFT）B. 离散余弦变换（DCT）C. 离散正弦变换（DST）D. 卡尔曼滤波5. 对于一个离散时间信号，若其采样频率为Fs，信号中最高频率成分为Fm，则根据奈奎斯特采样定理，Fm与Fs的关系是：A. Fm ≤ Fs/2B. Fm ≥ Fs/2C. Fm ≤ FsD. Fm ≥ Fs6. 在数字信号处理中，下列哪种调制方式不是调制信号的频域特性？A. 幅度调制（AM）B. 频率调制（FM）C. 相位调制（PM）D. 脉冲编码调制（PCM）7. 下列哪个选项不是数字滤波器设计中的常用方法？A. 窗函数法B. 巴特沃斯设计法C. 切比雪夫设计法D. 傅里叶变换法8. 在数字信号处理中，下列哪种变换不是线性变换？A. 傅里叶变换B. 拉普拉斯变换C. 希尔伯特变换D. 离散余弦变换9. 对于一个数字信号处理系统，若其输入信号为x[n]，输出信号为y[n]，则该系统的频率响应H(ω)可以通过下列哪个公式计算？A. H(ω) = X(ω) / Y(ω)B. H(ω) = Y(ω) / X(ω)C. H(ω) = Y(ω) * X(ω)D. H(ω) = Y(ω) / |X(ω)|10. 在数字信号处理中，下列哪个选项不是数字滤波器的分类？A. 低通滤波器B. 高通滤波器C. 带通滤波器D. 线性滤波器二、填空题（每题2分，共20分）1. 数字信号处理中的离散傅里叶变换（DFT）是连续傅里叶变换在离散时间信号上的______。
课后习题及答案第4章快速傅里叶变换习题答案.pdf
和共轭反对称分量， 即
F(k)=X(k)+jY(k)=Fep(k)+Fop(k) 计算一次 N 点 IFFT 得到
f(n)=IFFT［F(k)］=Re［f(n)］+j Im［f(n)］ 由 DFT 的共轭对称性可知
Re［f(n)］=IDFT［Fep(k)］=IDFT［X(k)］=x(n) j Im［f(n)］=IDFT［Fop(k)］=IDFT［jY(k)］=jy(n)
X (k + N ) = X1(k) −W2kN X 2 (k)
k = 0,1,L, N −1
由上式可解出
X1(k)
=
1 2
[
X
(k)
+
X
(k
+
N )]
X
2
(k)
=
1 2
[X
(k)
+
X
(k
+
N
)]W2−Nk
k = 0,1, 2,L, N −1
由以上分析可得出运算过程如下：
（1）由 X(k)计算出 X1(k)和 X2(k):
Xk=conj(Xk)；
%对 Xk 取复共轭
xn=conj(fft(Xk， N))/N； %按照所给算法公式计算 IFFT
分别对单位脉冲序列、 长度为 8 的矩形序列和三角序列进行 FFT， 并调
用函数 ifft46 计算 IFFT 变换， 验证函数 ifft46 的程序 ex406.m 如下：
%程序 ex406.m
Tc = 2TF +1024 次复数乘计算时间 = 2 × 0.1536×10−3 +10×10−9 ×1024
= 0.317 44 ms 可实时处理的信号最高频率 fmax 为
数字信号处理期末试卷(共七套)
第一套试卷学号 姓名 成绩一、 选择题（每题3分，共5题） 1、)63()(π-=n j en x ，该序列是 。
A.非周期序列B.周期6π=N C.周期π6=N D. 周期π2=N2、序列)1()(---=n u a n x n ，则)(Z X 的收敛域为 。
A.a Z <B.a Z ≤C.a Z >D.a Z ≥3、若一线性移不变系统当输入为x(n)=δ(n)时输出为y(n)=R 3(n)，则当输入为u(n)-u(n -2)时输出为 。
A.R 3(n)B.R 2(n)C.R 3(n)+R 3(n -1)D.R 2(n)+R 2(n -1) 4、)()(101n R n x =，)()(72n R n x =，用DFT 计算二者的线性卷积，为使计算量尽可能的少，应使DFT 的长度N 满足 。
A.16>NB.16=NC.16<ND.16≠N5.已知序列Z 变换的收敛域为｜z ｜<1，则该序列为 。
A.有限长序列 B.右边序列 C.左边序列 D.双边序列 二、填空题（每题3分，共5题）1、离散时间信号，其时间为 的信号，幅度是 。
2、线性移不变系统的性质有__ ____、___ ___和分配律。
3、要想抽样后能够不失真的还原出原信号，则抽样频率必须 ，这就是奈奎斯特抽样定理。
4、序列R 4(n)的Z 变换为_____ _，其收敛域为____ __。
5、对两序列x(n)和y(n)，其线性相关定义为 。
三、10)(-≤≥⎩⎨⎧-=n n ba n x nn求该序列的Z 变换、收敛域、零点和极点。
（10分）四、求()()112111)(----=z z Z X ，21<<z 的反变换。
（8分）五、已知两个有限长序列如下图所示，要求用作图法求。
（10分）六、已知有限序列的长度为8，试画出按频率抽选的基－2 FFT算法的蝶形运算流图，输入为顺序。
（10分）七、问答题：数字滤波器的功能是什么？它需要那几种基本的运算单元？写出数字滤波器的设计步骤。
快速傅里叶变换FFT试题
第一章快速傅里叶变换（FFT ）4.1 填空题（1）如果序列)(n x 是一长度为64点的有限长序列)630(≤≤n ，序列)(n h 是一长度为128点的有限长序列)1270(≤≤n ，记)()()(n h n x n y *=（线性卷积），则)(n y 为 点的序列，如果采用基FFT 2算法以快速卷积的方式实现线性卷积，则FFT 的点数至少为 点。
解：64+128-1＝191点; 256(2)如果一台通用机算计的速度为：平均每次复乘需100s μ，每次复加需20s μ，今用来计算N=1024点的DFT )]([n x 。
问直接运算需（ ）时间，用FFT 运算需要（ ）时间。
解：①直接运算：需复数乘法2N 次，复数加法）（1-N N 次。
直接运算所用计算时间1T 为s s N N N T 80864.12512580864020110021==⨯-+⨯=μ）（② 基2FFT 运算：需复数乘法N N2log 2次，复数加法N N 2log 次。
用FFT 计算1024点DTF 所需计算时间2T 为s s N N N NT 7168.071680020log 100log 2222==⨯+⨯=μ。
(3)快速傅里叶变换是基于对离散傅里叶变换 和利用旋转因子k Nj e π2-的来减少计算量，其特点是 _______、_________和__________。
解：长度逐次变短；周期性；蝶形计算、原位计算、码位倒置 （4）N 点的FFT 的运算量为复乘 、复加 。
解：N NL N mF 2log 22==；N N NL aF 2log ==4.2 选择题1．在基2DIT —FFT 运算中通过不断地将长序列的DFT 分解成短序列的DFT ，最后达到2点DFT 来降低运算量。
若有一个64点的序列进行基2DIT —FFT 运算，需要分解 次，方能完成运算。
A.32 B.6 C.16 D. 8 解：B2．在基2 DIT —FFT 运算时，需要对输入序列进行倒序，若进行计算的序列点数N=16，倒序前信号点序号为8，则倒序后该信号点的序号为 。
程佩青《数字信号处理教程》(第4版)(课后习题详解 快速傅里叶变换(FFT))
4.2 课后习题详解4-1 如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘40ns ，每次复加5ns ，用它来计算512点的DFT[x （n ）]，问直接计算需要多少时问?用FFT 运算需要多少时间?若做128点快速卷积运算，问最低抽样频率应是多少?解：①直接利用DFT 计算：复乘次数为N 2，复加次数为N （N-1）。
②利用FFT计算：复乘次数为，复加次数为N㏒2N 。
（1）直接计算复乘所需时间复加所需时间所以（2）用FFT 计算复乘所需时间复加所需时间所以4-2 N ＝16时，画出基-2按频率抽选法的FFT 流图采用输入自然顺序，输出倒位序），统计所需乘法次数（乘±1，乘±j 都不计在内）。
根据任一种流图确定序列x （n ）＝4cos （n π／2）（0≤n ≤15）的DFT 。
解：按频率抽取法的FFT 流图中的复数乘法出现在减法之后，其运算量为复数乘法：；复数加法：；由于N ＝16，有，，，不需要乘法。
按频率抽取，见图4-1（a ）。
图4-1（a ）运算量：复数乘法：由于，，，不需要乘法。
由图P4.2（a ）可知，共有的个数为1＋2＋4＋8＝15有的个数为1＋2＋4＝7所以总的乘法次数为32-15-7＝10（个）复数加法：举例：对序列x （n ）＝4cos （n π／2）（0≤n ≤15）可表示为由于N ＝16，可采用P4.2（b ）的流图。
设Xi （k ）＝（i ＝1，2，3，4）分别为第i 级蝶形结构的输出序列，则由P4.2（b ）的流图可知由于采用的是顺序输入、逆序输出的结构，因此输出X （k ）与X 4（k ）为逆序关系，即，为k 二进制逆序值由此可知，x （n ）的DFT 为X （4）＝X 4（2）＝32，X （12）＝X 4（3）＝12图4-1（b ）4-3 用MATLAB 或C 语言编制以下几个子程序。
（1）蝶形结运算子程序；（2）求二进制倒位序子程序；（3）基-2 DIT FFT 流程图，即迭代次数计算子程序。
数字信号处理b考试题及答案
数字信号处理b考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在数字信号处理中，离散傅里叶变换（DFT）的周期是（）。
A. NB. 2NC. 2πD. π答案：A2. 对于一个长度为N的序列，其Z变换的收敛域（ROC）是（）。
A. |z| < 1B. |z| > 1C. |z| = 1D. |z| ≥ 1答案：B3. 如果一个离散时间信号是实数且偶对称，那么它的傅里叶变换系数具有什么特性？（）A. 实数且偶对称B. 实数且奇对称C. 虚数且偶对称D. 虚数且奇对称答案：A4. 在数字滤波器设计中，窗函数法的主要缺点是（）。
A. 引入了非线性相位B. 增加了滤波器的阶数C. 引入了吉布斯现象D. 增加了滤波器的延迟答案：C5. 快速傅里叶变换（FFT）算法的主要优点是（）。
A. 减少了计算量B. 提高了计算精度C. 增加了信号的带宽D. 减少了信号的延迟答案：A6. 对于一个因果稳定系统，其频率响应H(e^jω)必须满足（）。
A. |H(e^jω)| ≤ 1B. |H(e^jω)| ≥ 1C. |H(e^jω)| = 1D. |H(e^jω)| > 1答案：A7. 在数字信号处理中，采样定理指出，如果一个连续时间信号的频谱只包含频率低于f_max的分量，那么采样频率至少应该是（）。
A. 2f_maxB. f_maxC. f_max/2D. 4f_max答案：A8. 一个线性时不变（LTI）系统，其冲击响应h[n]是（）。
A. 系统的频率响应B. 系统的相位响应C. 系统的脉冲响应D. 系统的零点响应答案：C9. 在数字信号处理中，滤波器的截止频率是指（）。
A. 滤波器增益为0的频率B. 滤波器增益为1的频率C. 滤波器增益为-3dB的频率D. 滤波器增益为-6dB的频率答案：C10. 对于一个长度为N的序列，其离散傅里叶变换（DFT）的频率分辨率是（）。
A. 1/NB. 1/(2N)C. 2π/ND. 2N答案：C二、填空题（每题3分，共30分）1. 离散时间信号x[n]的傅里叶变换X(e^jω)是连续的，并且周期为______。
傅里叶变换的练习题
傅里叶变换的练习题傅里叶变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、图像处理、音频处理等领域。
通过傅里叶变换，我们可以将一个时域信号转换为频域表示，从而更好地理解和处理信号。
为了加深对傅里叶变换的理解，以下将提供一些傅里叶变换的练习题，帮助读者巩固相关知识点。
练习一：离散信号的傅里叶变换考虑离散信号x(n) = [1, 2, 3, 4]，使用离散傅里叶变换（DFT）计算其频谱X(k)。
解答：首先，我们需要计算离散信号的长度N，即N = 4。
然后，根据傅里叶变换的定义，计算频谱X(k)的每个元素：X(k) = Σ[n=0, N-1] x(n) * exp(-j2πkn/N)带入x(n)的值：X(0) = 1 * exp(-j2π*0*0/4) + 2 * exp(-j2π*0*1/4) + 3 * exp(-j2π*0*2/4) + 4 * exp(-j2π*0*3/4)= 1 + 2 + 3 + 4= 10X(1) = 1 * exp(-j2π*1*0/4) + 2 * exp(-j2π*1*1/4) + 3 * exp(-j2π*1*2/4) + 4 * exp(-j2π*1*3/4)= 1 + 2 * exp(-jπ/2) + 3 * exp(-jπ) + 4 * exp(-j3π/2)= 1 - 2j + 3 - 4j= 4 - 6jX(2) = 1 * exp(-j2π*2*0/4) + 2 * exp(-j2π*2*1/4) + 3 * exp(-j2π*2*2/4) + 4 * exp(-j2π*2*3/4)= 1 + 2 * exp(-jπ) + 3 + 4 * exp(-j2π)= 1 + 2 - 3 + 4= 4X(3) = 1 * exp(-j2π*3*0/4) + 2 * exp(-j2π*3*1/4) + 3 * exp(-j2π*3*2/4) + 4 * exp(-j2π*3*3/4)= 1 + 2 * exp(-j3π/2) + 3 * exp(-j3π) + 4 * exp(-j9π/4)= 1 + 2j + 3 - 4j= 4 - 2j因此，离散信号[1, 2, 3, 4]的频谱为X(k) = [10, 4-6j, 4, 4-2j]。
傅里叶变换练习题及答案
傅里叶变换练习题及答案傅里叶变换是数学中的一种重要工具，被广泛应用于信号处理、图像处理、物理学等领域。
它可以将一个函数表示为一系列正弦和余弦函数的和，从而使得复杂的信号可以被简化和分析。
在学习傅里叶变换的过程中，练习题是非常重要的一部分，通过解答练习题可以加深对傅里叶变换的理解和应用。
下面将给出一些傅里叶变换的练习题及答案，供读者参考。
1. 练习题：计算函数f(t) = 2cos(3πt) + 3sin(4πt) 的傅里叶变换。
解答：根据傅里叶变换的定义，函数的傅里叶变换可以通过积分来计算。
对于给定的函数 f(t)，其傅里叶变换F(ω) 定义为：F(ω) = ∫[f(t) * e^(-jωt)] dt其中，j 是虚数单位，ω 是频率。
将给定的函数 f(t) 代入上式，得到：F(ω) = ∫[(2cos(3πt) + 3sin(4πt)) * e^(-jωt)] dt根据欧拉公式，可以将 cos 和 sin 函数表示为复指数形式：F(ω) = ∫[(2 * e^(j3πt) + 3 * e^(j4πt)) * e^(-jωt)] dt根据指数函数的性质，可以将上式中的指数相乘并合并：F(ω) = ∫[(2 * e^((j3π-ω)t) + 3 * e^((j4π-ω)t))] dt对于指数函数的积分，可以直接求解：F(ω) = [(2/(j3π-ω)) * e^((j3π-ω)t) + (3/(j4π-ω)) * e^((j4π-ω)t)] + C其中，C 是积分常数。
综上所述，函数f(t) = 2cos(3πt) + 3sin(4πt) 的傅里叶变换为：F(ω) = [(2/(j3π-ω)) * e^((j3π-ω)t) + (3/(j4π-ω)) * e^((j4π-ω)t)] + C2. 练习题：计算函数 f(t) = e^(-2πt) 的傅里叶变换。
解答：同样地，根据傅里叶变换的定义，可以将函数 f(t) 的傅里叶变换表示为积分形式：F(ω) = ∫[f(t) * e^(-jωt)] dt将给定的函数 f(t) 代入上式，得到：F(ω) = ∫[e^(-2πt) * e^(-jωt)] dt根据指数函数的性质，可以将指数相加并合并：F(ω) = ∫[e^(-(2π+jω)t)] dt对于指数函数的积分，可以直接求解：F(ω) = [-(1/(2π+jω)) * e^(-(2π+jω)t)] + C其中，C 是积分常数。
习题四 快速傅里叶变换概要
习题四 快速傅里叶变换运算需要多少时间。
计算需要多少时间，用，问直拉点的，用它来计算每次复加速度为平均每次复乘需如果一台通用计算机的FFT DFT[x(n)]512s 5 s 50.1μμ点今需要从值的点实序列是两个已知IFFT N X DFT n y n x N k Y k X ,)(),()(),(.2 .3N 基.4N ,).5.6MN b M N a N z X DFT N >≤∙∙∙ )(; )(:)(,.7之个抽样的方法，并证明的就能计算点找出用一个实现过程示意图。
的路径及画出平面路径为。
已知的复频谱点法求其前面试用其他点序列已知一个CZT z A z z X CZT n x k k ; 20/2 ,2.1W ,3/ ,8.0)( 10 n,07n 0 ,1)( 8.80000πφπθ====⎩⎨⎧≤≤={}时的抽样。
为实数在变换不能计算即线性调频两者都不行两者都行和为实数为实数使变换的的实轴上各点平面在点有限长序列计算一个可以用来变换线性调频的结论在下列说法中选择正确z H(z)z ,(b)(b)(a) (c)0a ,a 1,-N ,1,0,k ,z (b)1a ,a 1,-N ,1, 0,k ,)(:),( )()(..9k ≠==±≠==∙∙∙∙∙∙ak a z a z H z z z z n h M CZT z k k k10. 当实现按时间抽取快速傅立叶变换算法时，基本的蝶形计算)()()()()()(11q X W p X q X q X W p X p X m rN m m m rN m m -=+=++利用定点算术运算实现该蝶形计算时，通常假设所有数字都已按一定比例因子化为小于1。
因此在蝶形计算的过程中还必须关心溢出问题。
(a) 证明如果我们要求2/1|)(|2/1|)(|<<q X p Xm m和则在蝶形计算中不可能出现溢出，即1)](Im[,1)](Re[1)](Im[, 1)](Re[1111<<<<++++q X q X p X p X m m m m2/1|)](Im[| 2/1|)](Re[| 2/1|)](Im[| 2/1|)](Re[| <<<<q X q X p X p X b m m m m ，，实际上要求）（似乎更容易些，也更适合些。
数字信号处理期末试卷及答案
数字信号处理期末试卷及答案A一、选择题（每题3分，共5题）1、)63()(π-=n j e n x ，该序列是。
A.非周期序列B.周期6π=N C.周期π6=N D. 周期π2=N 2、序列)1()(---=n u a n x n ，则)(Z X 的收敛域为。
A.a Z < B.a Z ≤ C.a Z > D.a Z ≥3、对)70()(≤≤n n x 和)190()(≤≤n n y 分别作20点DFT ，得)(k X 和)(k Y ，19,1,0),()()(Λ=?=k k Y k X k F ，19,1,0)],([)(Λ==n k F IDFT n f ，n 在范围内时，)(n f 是)(n x 和)(n y 的线性卷积。
A.70≤≤nB.197≤≤nC.1912≤≤nD.190≤≤n4、 )()(101n R n x =，)()(72n R n x =，用DFT 计算二者的线性卷积，为使计算量尽可能的少，应使DFT 的长度N 满足。
A.16>NB.16=NC.16<n< bdsfid="80" p=""></n<>D.16≠N5.已知序列Z 变换的收敛域为｜z ｜<1，则该序列为。
A.有限长序列B.右边序列C.左边序列D.双边序列二、填空题（每题3分，共5题）1、对模拟信号（一维信号，是时间的函数）进行采样后，就是信号，再进行幅度量化后就是信号。
2、要想抽样后能够不失真的还原出原信号，则抽样频率必须，这就是奈奎斯特抽样定理。
3、对两序列x(n)和y(n)，其线性相关定义为。
4、快速傅里叶变换（FFT ）算法基本可分为两大类，分别是：；。
5、无限长单位冲激响应滤波器的基本结构有直接Ⅰ型，，______ 和______ 四种。
三、10)(-≤≥-=n n ba n x n n求该序列的Z 变换、收敛域、零点和极点。
傅里叶变换练习题
证：因为 、 在 上可积， ， ，
设 ，
，
由系数公式得
．
当 时，
．
于是由贝塞尔等式得
．
总练习题15
1试求三角多项式
的傅里叶级数展开式．
解：因为 是以 为周期的光滑函数，所以可展为傅里叶级数，
由系数公式得
，
当 时，
，
，
故在 ， 的傅里叶级数就是其本身．
2设 为 上可积函数， 为 的
傅里叶系数，试证明，当 时，
推论1设 在 上可积，则
, ．
推论2设 在 上可积，则
，
．
定理2设以 为周期的函数 在 上可积，则
，
此称为 的傅里叶级数的部分和的积分表达式．
二、收敛性定理的证明
定理3 (收敛性定理)设以 为周期的函数 在 上按段光滑，则
，
定理4如果 在 上有有限导数，或有有限的两个单侧导数，则
．
定理5如果 在 按段单调，则
．
由贝塞尔等式得 ，
故 ．
(3)取 ，由§1习题1 (2)得
．
由贝塞尔等式得 ，
故 ．
4证明：若 均为 上可积函数，且他们的傅里叶级数在 上分别一致收敛于 和 ，则
．
其中 为 的傅里叶系数， 为 的傅里叶系数．
证：由题设知 ，
．
于是
而
，
，
所以 ．
5证明若 及其导函数 均在 上可积, ,
，且成立贝塞尔等式，则
由系数公式得
．
当 时，
所以
， 为所求．
2设 是以 为周期的可积函数，证明对任何实数 ，有
，
．
证：因为 ， ， 都是以 为周期的可积函数，所以令 有
dsp考试题及答案
dsp考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在数字信号处理中，离散时间信号是指（）。
A. 连续时间、连续幅度的信号B. 离散时间、连续幅度的信号C. 离散时间、离散幅度的信号D. 连续时间、离散幅度的信号答案：C2. 离散傅里叶变换（DFT）的周期是（）。
A. NB. 2NC. N/2D. 2N/3答案：A3. 快速傅里叶变换（FFT）算法的主要优点是（）。
A. 计算精度高B. 计算速度快C. 易于编程实现D. 占用存储空间小答案：B4. 线性时不变（LTI）系统的最基本性质是（）。
A. 线性B. 时不变性C. 因果性D. 稳定性答案：A5. 如果一个离散时间信号x[n]是实数，那么它的傅里叶变换X(e^jω)是（）。
A. 实数B. 虚数C. 共轭对称的D. 共轭反对称的答案：C6. 窗函数的主要作用是（）。
A. 滤波B. 放大C. 降低频谱泄漏D. 压缩信号答案：C7. 在数字滤波器设计中，巴特沃斯滤波器的特点是（）。
A. 最大峰值B. 最小相位C. 最小通带波动D. 最大阻带衰减答案：C8. 离散时间信号的采样定理要求采样频率至少是信号最高频率的（）。
A. 1倍B. 2倍C. 4倍D. 10倍答案：B9. 离散时间信号的Z变换是连续时间信号傅里叶变换的（）。
A. 时域表示B. 频域表示C. 复频域表示D. 时频域表示答案：C10. 离散时间信号的希尔伯特变换用于（）。
A. 滤波B. 调制C. 信号分析D. 信号的解析表示答案：D二、填空题（每题2分，共20分）1. 数字信号处理中的DFT是将离散时间信号从时域变换到______域。
答案：频域2. 一个离散时间信号x[n]的周期为N，则其DFT的周期为______。
答案：N3. 快速傅里叶变换（FFT）算法中，Cooley-Tukey算法是一种基于______分解的FFT算法。
答案：分而治之4. 线性时不变（LTI）系统的冲击响应h[n]与系统的频率响应H(e^jω)之间的关系是______。
傅里叶变换练习题
，
定理4如果 在 上有有限导数，或有有限的两个单侧导数，则
．
定理5如果 在 按段单调，则
．
二 习题解答
1设 以 为周期且具有二阶连续的导函数，证明 的傅里叶级数在 上一致收敛于 ．
证：由题目设知 与 是以 为周期的函数，且光滑，
故 ，
，
且 ．
5.47．某信号的频谱密度函数为 则 （）
A． B。2
C． D。2
6.52．已知信号 的傅氏变换为 则 的傅氏变换为（）
A． B。
C． D。
7.98． 周期信号的傅立叶变换为（）
A． B。2 C。
8.3。符号函数 的频谱函数F(jω)=________________。
六、有一幅度为1，脉冲宽度为2ms的周期矩形脉冲，其周期为8ms，如图所示,求频谱并画出频谱图频谱图。（10分）
当 时，
．
于是
．
由贝塞尔不等式得 收敛，又 收敛，
从而 收敛，
故 在 上一致收敛．
2设 为 上可积函数，证明：若 的傅里叶级数在 上一致收敛于 ，则成立贝塞尔(Parseval)等式
，
这里 为 的傅里叶系数．
证：设 ，
因为 的傅里叶级数在 上一致收敛于 ，
所以 ，
．
于是 ．而
．
所以 时，
，
故 ．
3由于贝塞尔等式对于在 上满足收敛定理条件的函数也成立．请应用这个结果证明下列各式．
证：因为 为 上光滑函数，所以 为 上的连续函数，故可积．
由系数公式得
．
当 时，
．
故结论成立．
10证明：若三角级数 中的系数 满足关系 ， 为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数．
(完整版)第三章傅立叶变换习题
第三章傅立叶变换第一题选择题1．连续周期信号f (t )的频谱F(w)的特点是 D 。
A 周期连续频谱B 周期离散频谱C 非周期连续频谱D 非周期离散频谱2．满足抽样定理条件下，抽样信号f s (t)的频谱)(ωj F s 的特点是 （1）（1）周期、连续频谱； （2）周期、离散频谱；（3）连续、非周期频谱； （4）离散、非周期频谱。
3．信号的频谱是周期的连续谱，则该信号在时域中为 D 。
A 连续的周期信号B 离散的周期信号C 连续的非周期信号D 离散的非周期信号4．信号的频谱是周期的离散谱，则原时间信号为 （2） 。
（1）连续的周期信号 （2）离散的周期信号（3）连续的非周期信号 （4）离散的非周期信号5．已知f （t ）的频带宽度为Δω，则f （2t -4）的频带宽度为（ 1 ）（1）2Δω （2）ω∆21 （3）2（Δω-4） （4）2（Δω-2） 6．若=)(1ωj F F =)()],([21ωj F t f 则F =-)]24([1t f （ 4 ）（1）ωω41)(21j e j F - （2）ωω41)2(21j e j F -- （3）ωωj e j F --)(1 （4）ωω21)2(21j e j F -- 7．信号f （t ）=Sa （100t ），其最低取样频率f s 为（ 1 ）（1）π100 （2）π200 （3）100π （4）200π 8．某周期奇函数，其傅立叶级数中 B 。
A 不含正弦分量 B 不含余弦分量 C 仅有奇次谐波分量 D 仅有偶次谐波分量9．某周期偶谐函数，其傅立叶级数中 C 。
A 无正弦分量B 无余弦分量C 无奇次谐波分量D 无偶次谐波分量10．某周期奇谐函数，其傅立叶级数中 C 。
A 无正弦分量B 无余弦分量C 仅有基波和奇次谐波分量D 仅有基波和偶次谐波分量11．某周期偶函数f(t)，其傅立叶级数中 A 。
A 不含正弦分量B 不含余弦分量C 仅有奇次谐波分量D 仅有偶次谐波分量第二题判断题1．若周期信号f （t ）是奇谐函数，则其傅氏级数中不会含有直流分量。
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第一章快速傅里叶变换（FFT ）4.1 填空题（1）如果序列)(n x 是一长度为64点的有限长序列)630(≤≤n ，序列)(n h 是一长度为128点的有限长序列)1270(≤≤n ，记)()()(n h n x n y *=（线性卷积），则)(n y 为 点的序列，如果采用基FFT 2算法以快速卷积的方式实现线性卷积，则FFT 的点数至少为 点。
解：64+128-1＝191点; 256(2)如果一台通用机算计的速度为：平均每次复乘需100s μ，每次复加需20s μ，今用来计算N=1024点的DFT )]([n x 。
问直接运算需（ ）时间，用FFT 运算需要（ ）时间。
解：①直接运算：需复数乘法2N 次，复数加法）（1-N N 次。
直接运算所用计算时间1T 为s s N N N T 80864.12512580864020110021==⨯-+⨯=μ）（② 基2FFT 运算：需复数乘法N N2log 2次，复数加法N N 2log 次。
用FFT 计算1024点DTF 所需计算时间2T 为s s N N N NT 7168.071680020log 100log 2222==⨯+⨯=μ。
(3)快速傅里叶变换是基于对离散傅里叶变换 和利用旋转因子k Nj e π2-的来减少计算量，其特点是 _______、_________和__________。
解：长度逐次变短；周期性；蝶形计算、原位计算、码位倒置 （4）N 点的FFT 的运算量为复乘 、复加 。
解：N NL N mF 2log 22==；N N NL aF 2log ==4.2 选择题1．在基2DIT —FFT 运算中通过不断地将长序列的DFT 分解成短序列的DFT ，最后达到2点DFT 来降低运算量。
若有一个64点的序列进行基2DIT —FFT 运算，需要分解 次，方能完成运算。
A.32 B.6 C.16 D. 8 解：B2．在基2 DIT —FFT 运算时，需要对输入序列进行倒序，若进行计算的序列点数N=16，倒序前信号点序号为8，则倒序后该信号点的序号为 。
A. 8 B. 16 C. 1 D. 4 解：C3．在时域抽取FFT 运算中，要对输入信号x(n)的排列顺序进行“扰乱”。
在16点FFT 中，原来x(9)的位置扰乱后信号为：。
A．x(7) B. x(9) C. x(1) D. x(15)解：B4.用按时间抽取FFT计算N点DFT所需的复数乘法次数与( )成正比。
A.NB.N2C.N3D.Nlog2N解：D5.直接计算N点DFT所需的复数乘法次数与( )成正比。
A.NB.N2C.N3D.Nlog2N解：B6.N点FFT所需的复数乘法次数为( )。
A.NB.N2C.N3D.(N/2)log2N解：D7.下列关于FFT的说法中错误的是( )。
A.FFT是一种新的变换B.FFT是DFT的快速算法C.FFT基本上可以分成时间抽取法和频率抽取法两类D.基2 FFT要求序列的点数为2L(其中L为整数)解：A8.不考虑某些旋转因子的特殊性，一般一个基2 FFT算法的蝶形运算所需的复数乘法及复数加法次数分别为( )。
A.1和2B.1和1C.2和1D.2和2解：A9．计算N=2L（L为整数）点的按时间抽取基-2FFT需要( )级蝶形运算。
A．L B.L/2 C.N D.N/2解：A10.基-2 FFT算法的基本运算单元为( )A.蝶形运算B.卷积运算C.相关运算D.延时运算解：A11.计算256点的按时间抽取基-2 FFT，在每一级有______个蝶形。
( )A.256B.1024C.128D.64解：C12.如图所示的运算流图符号是_______基 2FFT 算法的蝶形运算流图符号。
( ) A.按频率抽取B.按时间抽取C.A 、B 项都是D.A 、B 项都不是 解：B13.求序列x(n)的1024点基2—FFT ，需要_____次复数乘法。
( ) A.1024 B.1024×1024 C.512×10 D.1024×10 解：C4.3 问答题1.简述频域抽选法和时域抽选法的异同。
答：相同点：（1）进行原位运算（2）运算量相同，均为N N2log 2次复乘、N N 2log 次 复加；不同点：（1）时域抽选法输入为倒位序，输出为自然顺序。
频域抽选法正好与此相反，但时域抽选法也有输入为自然顺序、输出为倒位序的情况（2）蝶形运算不同 2.回答以下问题：（1） 画出按时域抽取4=N点基FFT 2的信号流图。
（2） 利用流图计算4点序列)4,3,1,2()(=n x （3,2,1,0=n ）的DFT 。
（3） 试写出利用FFT 计算IFFT 的步骤。
解：（1）)0(x )1(x )2(x )3(x )0(X )1(X )2(X )3(X )0(0Q )1(0Q )0(1Q )1(1Q 1-1-1-j -jkr001102W 02W 02W 12W k l001104W 04W 14W 2304W 04W 04W 24W 34W4点按时间抽取FFT 流图 加权系数 （2）⎩⎨⎧-=-=-==+=+=112)2()0()1(532)2()0()0(00x x Q x x Q ⎩⎨⎧-=-=-==+=+=341)3()1()1(541)3()1()0(11x x Q x x Q 1055)0()0()0(10=+=+=Q Q X 31)1()1()1(1140⋅+-=+=j Q W Q X055)0()0()2(1240=-=+=Q W Q Xj Q W Q X 31)1()1()3(1340--=+=即：3,2,1,0),31,0,31,10()(=--+-=k j j k X（3）具体步骤如下：1）对)(k X 取共轭，得)(*k X ；2）对)(k X *做N 点FFT ；3）对2）中结果取共轭并除以N 。
3.已知两个N 点实序列)(n x 和)(n y 得DFT 分别为)(k X 和)(k Y ，现在需要求出序列)(n x 和)(n y ，试用一次N 点IFFT 运算来实现。
解：依据题意)()(),()(k Y n y k X n x ⇔⇔取序列)()()(k jY k X k Z +=对)(k Z 作N 点IFFT 可得序列)(n z 。
又根据DFT 性质)()()]([)([)]()([n jy n x k Y jIDFT k X IDFT k jY k X IDFT +=+=+由原题可知，)(),(n y n x 都是实序列。
再根据)()()(n jy n x n z +=，可得)](Im[)()](Re[)(n z n y n z n x ==4.4 计算题1. 对于长度为8点的实序列)(n x ，试问如何利用长度为4点的FFT 计算)(n x 的8点DFT ？写出其表达式，并画出简略流程图。
解：∑==78)()(n nkW n x k X3,2,1,0),()()()()12()2(83483430)12(83028=+=+=++=∑∑∑∑===+=k k H W k G Wr h WWr g W r x Wr x k r rk k r rk r kr r rk ①∑∑=++=++=+3)4(44830)4(4)()()1(r k r k r k r Wr h WWr g k X2,1,0),()()()(834834=-=-=∑∑==k k H W k G Wr h WWr g k r rk k r rk ②按照式①和式②可画出如下图所示的流程图。
)2(x )4(x )6(x )1(x )3(x )5(x7(x )1(X )2(X )3(X )4(X )5(X )6(X )7(X )0(X )0(x2.][k X 是N 点序列)(n x 的DFT ，N 为偶数。
两个2N 点序列定义为])12[]2[(21][1++=n x n x n x120]),12[]2[(21][2-≤≤+-=N n n x n x n x ][1k X 和][2k X 分别表示序列][1n x 和][2n x 的2N点DFT ，试由][1k X 和][2k X 确定][n x N点DFT 。
解：DFT}{∑∑-=-===10221202][]2[]2[N l ml N N k mk N Wl x Wk x k x （l 为偶数）])2[][(2121][102N m X m X W W l x mlN N L lN N++=+=∑-= DFT}{∑∑-=--==+=+10212122][]12[]12[N l l m NN k mk N Wl x W k x k x ）（（l为奇数）mNm N ml N lN NN l W N m X m X W W Wl x ---=+-=-=∑]2[][(212)1(][21120],2[)1(41][)1(41][1-≤≤+-++=--N m N m X W m X W m X mN m N 120],2[)1(41][)1(41][2-≤≤+++-=--N m N m X W m X W m X m N m N 解上述方程可得120],[)1(][)1(][21-≤≤-++=Nm m X W m X W m X m N m N120],[)1(][)1(]2[21-≤≤++-=+N m m X W m X W N m X mN m N 3.已知长度为2N 的实序列)(n x 的DFT)(k X 的各个数值)12,...,1,0(-=N k ，现在需要由)(k X 计算)(n x ，为了提高效率，请设计用一次N 点IFFT 来完成。
解：如果将)(n x 按奇偶分为两组，即令1,,2,1,0)12()()2()(-=⎭⎬⎫+==N n n x n v n x n u K那么就有1,,2,1,0)()()()()()(22-=⎭⎬⎫-=++=N k k V W k U N k X k V W k U k X k N k N K其中)(k U 、)(k V 分别是实序列)(n u 、)(n v 的N 点DFT ，)(k U 、)(k V 可以由上式解出[][]1,,2,1,0)()(21)()()(21)(2-=⎪⎭⎪⎬⎫+-=++=-N k N k X k X W k V N k X k X k U kN K由于)12,...,1,0)((-=N k k X 是已知的，因此可以将)(k X 前后分半按上式那样组合起来，于是就得到了)(k U 和)(k V 。
令)()()(n jv n u n y +=根据)(k U 、)(k V ，做一次N 点IFFT 运算，就可以同时得到)(n u 和)(n v )1,...,1,0(-=N n它们分别是)(n x 的偶数点和奇数点序列，于是序列)(n x )12,...,1,0(-=N n 也就求出了。