投影变换(换面法)

⒈ 一次换面 ⑵ 新旧投影之间的关系(即变换规律)

a ax
.
V
a


A
a' 1 v1
V X H

a1'
ax
X


ax1 a
H X1
ax1
H v1 X1
a

点的新投影与保留投影的连线，必垂直于新轴。 aa1 X1
点的新投影到新轴的距离，等于旧投影到旧轴的距离。 a1ax1 = aax
3、辅助投影面、辅助投影、辅助投影轴（辅助轴） 新投影面
新投影
新投影轴(新轴)
§5-2 辅助投影面法(换面法)
一、新投影面的选择原则
v1
a
V
A B a
H
a1 '
b
b1'
平行于新的投影面 垂直于新的投影面
b
1. 新投影面必须与空间几何元素处于有利的解题位置。
2. 新投影面必须垂直于原投影面之一。 以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。
新投影反映实形
c2 (a2 )
角平分线
d2
小 结
本章主要介绍了投影变换的一种常用方法 ——换面法。
一、 换面法就是改变投影面的位置，使它与所给物 体或其几何元素处于解题所需的特殊位置。 二、 换面法的关键是要注意新投影面的选择条件， 即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关系， 同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规 律继续有效。 三、点的变换规律是换面法的作图基础，四个基本 问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。
，就是求垂线CD的实长。 如下图：当直线AB垂 V X 直于投影面时，CD平行于 H 投影面，其投影反映实长。 c
AD
C B abd P
a d b a
.
距离 b b1'. a2 2d2
c2
d
. a1' d1'

H X1 V 1
c
如何确定d1 点的位置？ 过c1 作线平行于x2轴。
第五章 问题的提出
投影变换
★ 求实长、实形、倾角？ ★ 求距离：点与直线、点与平面、两直线、直线与平面、平 面与平面的距离？ ★ 求夹角：直线与直线、直线与平面、两平面的夹角？ 当几何元素处于特殊位置时，可直接由投影中求得。
解决方法：投影变换。
求解距离、夹角、实形、交点的最佳投影分析
b’ a’
c’ b’
X V H
c b
AB是水平 线
●
a2
a
●
. b . a1 b1
b2●
●
c2
c
H V1 X1
平面的实形
c1
●
X2轴的位置？ 与其平行
四、换面法的应用
例1：已知点A的两面投影a 、a′，且YA=YB，及B的新投影b1 ′ ，求a1 ′ ，及b 、b′。
a
X V H
b
a
b
b1
a1
例2：求线段AB的实长，及其α 、β 角
a1
实长
β
b1
X
V H
a
b
b
a
α
b1
实长
a1
例3：求直线EF与△ABC平面的交点，并判别可见性。
e
V H
b k c
f
a
X
b
f
f1
a e
k
c
a1 (c1 )
b1
k1
e1
例4：求点C到直线AB的距离，并求垂足D。 空间及投影分析： 作图: b c 求C点到直线AB的距离
换面法的四个基本问题：
1. 一次变换：把一般位置直线变成投影面平行线 新投影反映实长和一个倾角； 2. 二次变换：把一般位置直线变成投影面垂直线 新投影积聚为一点 3. 一次变换：把一般位置平面变成投影面垂直面 新投影积聚为一条直线，反映一个倾角 需先在面内作一条投影面平行线
4. 二次变换：把一般位置平面变成投影面平行面
⒉ 二次变换 ⑵ 求新投影的作图方法 a

作图规律

a2a1 X2 轴 a2ax2 = aax1
V X H
ax
a ax1 H X1 V1
.

a2
ax2 . a1 H2 V1 X 2
三、换面法的四个基本问题
1. 一次变换：一般位置直线变换成投影面平行线 例：求直线AB的实长及与H面的倾角。
二、变换原理：点的投影变换规律
⒈ 一次换面 ⑶ 求新投影的作图方法 更换V面 更换H面
X1 H 1 V
. ● a1
பைடு நூலகம்
a
V
a1
ax1
a
XV H
X
ax
ax1
.
H
ax

H
a
作图规律：
v1 X1
a
由点的保留投影向新轴作垂线，并在垂线上量取一段距离， 使这段距离等于替换(旧)投影到旧轴的距离。
例7 已知E点在平面ABC上，距离A、B为15，求点E的投影。 a2
15
b2 d2 e1
e2 c2
e
d
e
d
例8：在直线EF上找一 点K,使该点到两相 交平面的距离相等。
X
V H
e
k
f
d
b
a
c
d
e
a
f
c
c1
k
b
b1
k1 d1 e1
f1
a1
e2
k 2 f 2 b2
二、变换原理：点的投影变换规律
⒈ 一次换面 ⑴ 新投影体系的建立

a
V
a



A
a' 1

v1 V
ax
.
a1'
ax
X


X
H
ax1
a
H X1

ax1
H v1 X1
a
旧投影体系
V X— H A点的两个投影：a， a
新投影体系
X1 — H A点的两个投影：a，a1
v1
二、变换原理：点的投影变换规律
作 图：
a
X V H
c ●
d d●
●
几个解？ 两个解！
b b2●
. .
●
a2 D点的投影 如何返回？
a
c
d2
●
60°
●
b
a'1b'1
●
c2
H V 1 X1
H2 c 1 ' V1 X 2
●
已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上， 思考： 求等边三角形的投影。（用基本法和换面法分别求解） 如何解？ 解法相同！
a’
c’ b’ a’ d’ d c
c’ d’
a’
a b c
b’
c d b
a
b
a
两平面夹角
b
a
两点之间距离
三角形实形
直线 与平面的交点
第五章
投影变换
§5-1 投影变换的目的和方法
1、变换的目的 研究如何变换原有的投影为新投影，以使空间几何元素由一 般位置变成特殊位置，从而达到简化解题的目的。 2、变换的方法 研究的是投影面与空间几何元素的关系。 常用的变换方法有换面法(辅助投影面法)和旋转法。 换投影面 旋转几何元素
作 图 过 程： ★ 在平面内取一条水平 线AD。 ★ 将AD变换成新投影 面的垂直线。
c
b c
H X1 V1
a
d
.
α c1 a1 d1 b1
● ● ●
反映平面对哪个投影面 的夹角？
4. 二次变换：把一般位置平面变换成投影面平行面
空间分析： 一次换面, 把一般位置平面变换成新投影面的垂直面； 二次换面，再变换成新投影面的平行面。 作 图： a
二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。
与ab平行。 X1轴的位置？
X2轴的位置？与a1 b1 垂直
X2
b V H
a2b2
V a b
H2

ax2 b1
a
b a
H X1 V1a
1
● ●
V1
X
B A
a1
b
X
a H X1
b1
.
a2b2
3. 一次变换：把一般位置平面变换成投影面垂直面 空间分析：两平面垂直需满足什么条件？ 如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么 该平面则变换成新投影面的垂直面。 作图方法：
c1 '
V1 H2 X2
例5.
求两直线AB与CD的公垂线 。
b' 1' 2'
1 2 c1'
X2 V1 H2 22 d2 21' d1' 11'
c2 12
a2b2
返回
例6: 过C点作直线CD与AB相交成60º 角。
空间及投影分析：AB与CD都平行于投影面时，其投影的夹角才反映实 大（60°），因此需将AB与C点所确定的平面变换成投影面平行面。
在平面内取一条投 影面平行线，经一次换 面后变换成新投影面的 垂直线，则该平面变成 新投影面的垂直面。
c
V
C
V1
c1 a1 d1 b1
X1
a
A X
d b′
D B
思考： 若变换H面，需在面 内取什么位置直线？
答案：正平线！
c
d
a
b
H
例：把三角形ABC变换成投影面垂直面。
b a
V X H d
空间分析： 用V1面代替V面，在V1/H投影体系中，AB//V1。
b 作图： a
V
A V1
a
V
a1
b1
X
H
b
B
b
a
X1
H
V1
.
a
H
a1
●

b1
●
b 新投影轴的位置？
与ab平行。
2. 二次变换：把一般位置直线变换成投影面垂直线 一次变换：把投影面平行线变换成投影面垂直线
空间分析： 一次换面把直线变成投影面平行线；
§5-2 辅助投影面法(换面法)
指的是换“投影面”
物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助 投影面）代替原有投影面，使物体相对新的投影面处于解题
所需要的有利位置，然后将物体向新投影面进行投射。
旧投影面
旧投影 旧投影轴(旧轴)
1、替换投影面、替换投影、替换投影轴（替换轴） 2、保留投影面、保留投影
二、变换原理：点的投影变换规律
⒈ ⒉ 一次换面 二次变换
⑴ 新投影体系的建立
X2
a2
V H2


ax2
V1
a

A



a 1

ax
X
a
H

ax1
X1
V X1 —1 先把V面换成平面V1， V1H，得到中间新投影体系: H V1 X2 — 再把H面换成平面H2， H2 V1，得到新投影体系: H2