投影变换(换面法)
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土木工程制图第五章,投影变换-换面法
H
3、一般位置直线变成投影面垂直线
• 先将一般位置直线变成 投影面平行线； • 再将投影面平行线变成 X 投影面垂直线。 1 X 2 X • 注意：什么是二次变换？
b a'
2 2
土木工程制图
a' b'
a
b a'
1
b'
1
土木工程制图 4、一般位置平面变成投影面垂直面 • 在一般面上作一投影面平行线，例作一水 平线；
第5章 投影变换—换面法
土木工程制图
教学提示：画法几何中有关点、直线和平面的问 题，一般可以归纳为定位和度量问题。 当几何元素处于一般位置时，为了求 解方便，常采用换面法改变其中的某 些元素与投影面的相对位置，成为有 利于解题的特殊位置。 学习要求：通过本章学习，学生应掌握换面法的 一般概念及特点，能够使用换面法解 决有关点、直线和平面等几何元素之 间的定位和度量问题。
分析：在投影图中直接反映两平面夹角的特殊 情况，只要将这两个相邻平面用换面法变成同 时垂直于同一投影面，也就是将这两个平面的 交线变换成投影面垂直线，即可求得夹角θ。
土木工程制图
a' f'c' e'd' 1.在适当的位置作O1X1∥cd1，将CD变换为H、 V1新投影面体系中的V1面平行线。
X
V H
土木工程制图
3）求平面的实形： 将平面变成投影面平行面。 4）求平面的倾角、点到平面的距离、两平行面距离、直线 与平面交点和两平面交线等： 将一般面变成投影面垂直面。
二、换面法基本方法
土木工程制图
1、基本原则： 1）新投影面必须设立在使空间元素处 在有利于解题的位置； 2）新投影面必须垂直于原有投影体系 中的一个投影面。 2、基本概念：
第三章 换面法
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§3-1 换面法的基本概念 一、问题的提出
★ 如何求一般位置直线的实长？ ★ 如何求一般位置平面的真实大小？ ★ 如何求一般位置平面与投影面的真实倾角？
解决问题方法
改变空间几何元素与投影面的相对位置，使 它们相互之间处于某一特殊位置的情况，从而使 问题简化、得到解决——投影变换。
投影变换的方法：1. 换面法
V X H X
A
a' 1
V1
ax
ax1
H X1
a
ax a'1 ax1
a
V1 H X1
思考：如何用 新面H1代替H ？
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§3-2 点的换面 投影变换的基本规律 a 由点的换面可知：
aa'1 O1X1
V X H
ax
O O1
a'1
a'1ax1 = aax
●
n ●
● c
M
N
a
XV H
●
m
b
当直线AB垂直于投影 面时，MN平行于投影面， 这时它的投影m1n1=MN,且 m1n1⊥c1d1。 A
C N M D B a1m1b1 P1
●
a
c
● ●
m
d b
d'1
.
●
n
a'1≡b'1≡m'1
●
c1
n1
d1
求m点是难点。
H P1 X1 c'1
●
n'1
圆半径=MN
O O1
c a
换面法
实形
保持空间几何元素位置不动，通过变换投影面，使几何元素 在新投影面体系中处于对解题有利的位置，这种方法叫做变换投影 面方法，简称换面法。
二、点的换面投影规律
★
1.点的新投影与不变投影之间的连线垂直于新投影轴；
不变投影 新投影
原投影
2.点的新投影到新投影轴之间的距离等于原投影到原投影轴之间的
距离。
解题步骤：
1.将交线AB 变换为新投 影面的垂直线 2.两平面 随之变换 3.角 即为所求
例7 求直线AB 与平面DEF 之间的夹角θ
—— 应用换面法解题：
例8 平行四边形ABCD 给定一平面，试求点S 至该平面的距离 空间分析：
—— 应用换面法解题：
. 距离
解题步骤：
1.将平面ABCD 变换为新投 影面的垂直面 2.点S 随之变换 3.过S 作ABCD 的垂线,s1’k1’ 即为所求
.
Hale Waihona Puke 例5 求两交叉直线AB 和CD 的公垂线，并求两者之间的最短距离
—— 应用换面法解题：
解题步骤：
1.将两已知直线之一CD 变 换为投影面垂直线,直线 AB 随之变换 2.在投影面H2 中作公垂线 ST 的投影s2t2 3.将s2t2返回原体系
距离实长
例6 求△ABC 与△ABD 之间的夹角
—— 应用换面法解题：
.
.
例2 试过定点A 作直线与已知直线EF 正交
—— 应用换面法解题
解题步骤：
1.将直线EF 变换 为新投影面的 平行线 2.点A 随之变换 3.过a1’作e1’f1’的 垂线,得k1’
4.将k1’a1’返回原 体系
例3 过点K 作直线与平面△CDE 平行，并与直线AB 相交
投影变换——换面法
旋转正平线成铅垂线
旋转水平线成正垂线
旋转法
3.3.1 问题的提 出 3.3.2 旋转法 的概念
3.3.3
绕垂直轴 旋转
3.3.4
绕垂直轴 一次旋转 可解决四 种作图问 题
3.3.5 绕垂直轴 二次旋转
结束 返回
3、将投影面垂直面旋转成投影面平行面
将正垂面旋转成水平面 将铅垂面旋转成正平面
三、点的变换规律是换面法的作图基础，四个基本 问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。
换面法的四个基本问题：
1. 把一般位置直线变成投影面平行线 变换一次投影面
2. 把一般位置直线变成投影面垂直线 变换两次投影面
3. 把一般位置平面变成投影面垂直面 变换一次投影面 需先在面内作一条投影面平行线
4. 把一般位置平面变成投影面平行面 变换两次投影面
3.3.4
绕垂直轴 一次旋转 可解决四 种作图问 题
3.3.5 绕垂直轴 二次旋转
结束 返回
点A绕正垂轴旋转
投影规律：点的一个投影在 垂直于旋转轴的投影面上作圆 周运动，在另一投影面上的投 影作与投影轴平行的直线运动。
旋转法
3.3.1 问题的提 出 3.3.2 旋转法 的概念
3.3.3
绕垂直轴 旋转
a1' d. 1'
b1'. a2b2d2
如何确定d1 点的位置？
c1'
V1 H2
c2
X2
过c1作线平行于x2轴。
例2. 求两直线AB与CD的公垂线 。
b' 1'
2'
1
X2
V1 H2 c2
2
22
12
d2
c1'
投影变换概述
机械制图
谢谢观看！
（2）旋转法
原投影面保持不变，将空间几何元素绕着某条选定的轴线 旋转到有利于解题的位置，这种投影变换方法称为旋转法。
如图2-57所示，以△ABC上垂直于H面的直角边AB为轴， 使△ABC旋转到与V面平行的位置△ ABC1 ，此时在V面上的投 影△ a'b'c换面法
图2-57 旋转法
2．投影变换的分类
投影变换的方法一般有换面法和旋转法两种。
（1）换面法 保持空间几何元素不动，设置一个新的投影面替换原投影
体系中的某一个投影面，组成一个新的投影体系，使几何元素 在新投影面上的投影直接反映所需要的几何关系，这种方法称 为换面法。
如图2-56所示，△ABC在原投影体系H面和V面上的投影 均不反映实形。现设置一个新投影面V1 ，使 V1面垂直于H面 并与△ABC平行，这就组成了一个新投影体系V1 /H， V1面 与H面的交线 O1X1称为新投影轴。在这个新投影体系中， △ABC在V1面上的投影△a1'b1'c1'反映实形。
机械制图
投影变换概 述
投影变换概述
1．投影变换的概念
当直线或平面相对投影面处于一般位置或不利于解题的 位置时，在投影图中不能较简便地解决它们之间的一些度量 问题或某些空间几何问题。
若能改变直线或平面对投影面的相对位置，使其由一般 位置变换为特殊位置，就能达到有利于解题的目的。这种变 换空间几何元素（点、线、面）对投影面相对位置的方法， 称为投影变换。
土木工程制图第5章投影变换换面法
5.2
图5-9 一般位置直线变换成垂直线
5.2
4.将一般位置平面变换成垂直面
如图5-10所示，△ABC为一个一般位置平面，如果要将其 变换为正垂面，
(1)在△ABC上作水平线AD，其投影为a′d′和ad (2)作X1轴⊥ad (3)作△ABC在V1面的投影a1′b1′c1′，a1′b1′c1′ 积聚为一条直线，它与X1轴的夹角即反映△ABC对H面的 倾角α
5.2
图5-6 一般位置直线变换成平行线(求α角)
5.2
2.
如图5-8所示，AB为 一条正平线，要变换成垂 直线。根据垂直线的投影 特性，反映实长的投影必 定为不变投影，只要变换 水平投影，即作新投影面 H1垂直于直线AB，作图时 作X1⊥a′b′，则直线AB 在H1面上的投影积聚为一 a1(b1)
(2)过a点作新投影轴X1的垂线，得交点aX1 (3)在垂线aaX1上截取a1′aX1= a′aX，即得A点在V1面 上的新投影a1′。
5.2
图5-3 点的一次变换(变换V面)
5.2
(1)不论在新的或原来的(被代替的)投影面体 系中，点的两面投影的连线垂直于相应的投影轴。
(2)点的新投影到新投影轴的距离等于原来的 投影到原来投影轴的距离。
5.2
图5-16 求侧平线与倾斜面的交点
5.2
【例5-3】
求两条交叉直线AB、CD间的距离，如图5-17(a)
【解】分析：两条交叉直线间的距离即为它们之间公垂线的
长度。如图5-17(a)所示，若将两条交叉直线中的一条(
AB )
MK
并在该投影面上的投影反映实长，而且与另一条直线在新投
影面上的投影互相垂直。
5.2
图5-18 求两平面间的夹角
投影法第六章投影变换
d'
d
例题4
返回
例题4 已知点E在平面ABC上，距离A、B为15，求E点的投影。
15 b1'
a1' e1'
e' d'
e1 d1' c1'
ed
返回
a1'
a2
b2 b1' a1'
X1 例题 放大图
返回
b' a'
X
V H
b
a
a1'
a2'b2' b1'
返回
例题 求两直线AB与CD的公垂线 。
b' 1'
2'
1
c2
2
22
12
d2
c1'
21' d1'
b1'
a2b2
a1'
11'
返回
（四）、把一般位置平面变为投影面垂直面
d'
b1
D
d1H1 a1
d
c1
返回
一、换面法的基本概念
c1’ V1
a1’
b1’
c1’ b1’
a1’
X1 X1
V/H 体系变为V1/H 体系
换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的 投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后找 出其在新投影面上的投影。
返回
（二）、新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：
d
c
例题2 例题3
返回
例题2 求点S到平面ABC的距离 k'
s'
d
例题4
返回
例题4 已知点E在平面ABC上，距离A、B为15，求E点的投影。
15 b1'
a1' e1'
e' d'
e1 d1' c1'
ed
返回
a1'
a2
b2 b1' a1'
X1 例题 放大图
返回
b' a'
X
V H
b
a
a1'
a2'b2' b1'
返回
例题 求两直线AB与CD的公垂线 。
b' 1'
2'
1
c2
2
22
12
d2
c1'
21' d1'
b1'
a2b2
a1'
11'
返回
（四）、把一般位置平面变为投影面垂直面
d'
b1
D
d1H1 a1
d
c1
返回
一、换面法的基本概念
c1’ V1
a1’
b1’
c1’ b1’
a1’
X1 X1
V/H 体系变为V1/H 体系
换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的 投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后找 出其在新投影面上的投影。
返回
（二）、新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：
d
c
例题2 例题3
返回
例题2 求点S到平面ABC的距离 k'
s'
投影变换
改变空间几何元素和投影面的相对位置，除了用换面法外，还 可应用旋转法。旋转法就是让投影面不动，而使空间几何元素绕着 某一固定轴线旋转，旋转到与投影面处于有利解题的特殊位置。
a' o' a' V AO
旋转轴 旋转中心 旋转半径 轨迹圆
o'
b1' X
o1'
b' O
b1'
o1' b' O1 a b1 b
B1 X
3. 将一般位置平面变为投影面的垂直面
分析 ： 若△ABC中包含某投影面的垂直线，则此平面一定与该投影面垂直，因 此只要将平面内的一条直线变换为投影面的垂直线即可。由前所知，投影面 平行线变换为垂直线只需一次换面，因此，在△ABC内可作一平行线，将其 变换为垂直线，则平面就可变垂直面。
a) 直观图
o' ( ) b1' a' o'
b'
X
a o b
O
分析： AB为一条水平线，利用旋转 法将其变换为正垂线。由于正垂 线的水平投影⊥X轴，必须改变 AB对V面的倾角，所以旋转轴应 为铅垂线，因此可过点A作一旋 转轴O，以o为圆心，ab为半径画 弧，使ab1⊥X轴，则AB1为旋转后 的正垂线。同理，也可将一条正 平线变换为铅垂线。
B 旋转点
b1
a
b
图4-14 直线AB绕OO轴旋转
4.2.2 点的旋转变换
V m 1' m'
m1'
M O O
m' o'(o')
o'(o')
X M1
X
o m
m1
图4-15 点绕正垂线旋转
a' o' a' V AO
旋转轴 旋转中心 旋转半径 轨迹圆
o'
b1' X
o1'
b' O
b1'
o1' b' O1 a b1 b
B1 X
3. 将一般位置平面变为投影面的垂直面
分析 ： 若△ABC中包含某投影面的垂直线，则此平面一定与该投影面垂直，因 此只要将平面内的一条直线变换为投影面的垂直线即可。由前所知，投影面 平行线变换为垂直线只需一次换面，因此，在△ABC内可作一平行线，将其 变换为垂直线，则平面就可变垂直面。
a) 直观图
o' ( ) b1' a' o'
b'
X
a o b
O
分析： AB为一条水平线，利用旋转 法将其变换为正垂线。由于正垂 线的水平投影⊥X轴，必须改变 AB对V面的倾角，所以旋转轴应 为铅垂线，因此可过点A作一旋 转轴O，以o为圆心，ab为半径画 弧，使ab1⊥X轴，则AB1为旋转后 的正垂线。同理，也可将一条正 平线变换为铅垂线。
B 旋转点
b1
a
b
图4-14 直线AB绕OO轴旋转
4.2.2 点的旋转变换
V m 1' m'
m1'
M O O
m' o'(o')
o'(o')
X M1
X
o m
m1
图4-15 点绕正垂线旋转
4、投影变换(换面法)
b' a'
X
• i' a c i • b
H X1 V1
c'
•c ' 1
V O H O2 O1
•
c2
• a1' (i1')
•i 2
• a2
实形
• b1'
V1 H2
• b2
是以其中一直线为依据来选择，即将其中一条直线（一般 线）更换成平行线，投射线，其它元素跟着过来。另一种 是以其中一个平面为依据来选择新轴。即将一般面改换成 投射面、平行面。其它元素跟变换过来。
不动，设立新的投影面代替原有的投影面中的一个，使新
投影面与几何元素处于有利于解题的位置。
一、换面法的投影规律：
如图4-2中，先只看A点的投影。如图4-3 （a)所示。
a' V
A
a'1 x1
o
x ax a
V1
ax1 H a'1 V1
o1
图4-3 （a)
新的投影面必须垂直于原投影面体系中的一个投影面。 如 V1H ，这样 V1 与H才能构成一个新的两投影面体系。 a' a x Aa a1' a x1 展开时V不动， V1 摊平到与H在 由图可知 同一面上，然后H面连同 V1 一齐绕OX轴旋转到与V在同一 平面上。 画投影图时，为表示清楚，在OX以上标V，OX下标H，在 的一方标H，另一方标
工程上要解决的问题： （一） 定位问题：包括线面交点、两面交线、截交线、相 贯线
(二） 度量问题：包括求直线实长、平面实形、点线距、 点面距离、平行线间距、两交叉线距离、平行面距离、直 线及平面对投影面倾角、两面夹角、线面夹角等。 一、投影变换的目的：将原来处于一般位置的空间几何元 素，变换为有利于解题的位置。
第七章 投影变换
a
V
A
作图：
b a
V H
V1
a1
b1
X
b
B
b a
H
V1
.
X
a
X1
H b
X1
a1
●
●
b1
新投影轴的位置？ 应与ab平行。
例2：已知直线AB的两投影ａｂ、ａ′ｂ′， 试求直线AB的实长和对V面的夹角β。
在变换平行线时，需确定：
确定更换哪一个投影面 选定新投影轴的方向
2、把投影面平行线变换成投影面垂直线
垂直面变换成平行面
A A
Ⅰ
Ⅱ
D
பைடு நூலகம்
Ⅰ
D
Ⅱ
两平面垂直 两平面不垂直
三、平面的投影变换
把一般位置平面变换为投影面垂直面 把投影面垂直面变换成投影面平行面 把一般位置平面变换为投影面平行面
一、点的投影变换
1、 点的一次变换
点的一次变换（变换V面）
点的变换规律:
1) 新投影与不变投影之间的连线始终垂直于新 投影轴，即a a 1⊥x1轴；
2） 新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距 离，即 a 1ax1= a ax轴。
2、 点的二次变换
在变换投影面法中，有时变换一次还不能解决问 题，这时必须变换两次或更多次。
在变换两个或两个以上的投影面时，点的新投影的求法 和原理与更换一个投影面时完全相同。但必须指出，v面和H 面必须交替变换。 对新、旧投影面（投影轴）的概念要随变换过程而随时 改变。
点 的 二 次 变 换
二、直线的投影变换
将一般位置直线变换成投影面垂直线，只经 过一次换面是不能实现的，因为垂直于一般位置 直线的平面是一般位置平面，它与原有的两个投 影面均不垂直，不能构成直角投影体系，所以必 须经过两次换面。 首先将一般位置直线变成投影面平行线，然 后将投影面平行线变成投影面垂直线。
V
A
作图：
b a
V H
V1
a1
b1
X
b
B
b a
H
V1
.
X
a
X1
H b
X1
a1
●
●
b1
新投影轴的位置？ 应与ab平行。
例2：已知直线AB的两投影ａｂ、ａ′ｂ′， 试求直线AB的实长和对V面的夹角β。
在变换平行线时，需确定：
确定更换哪一个投影面 选定新投影轴的方向
2、把投影面平行线变换成投影面垂直线
垂直面变换成平行面
A A
Ⅰ
Ⅱ
D
பைடு நூலகம்
Ⅰ
D
Ⅱ
两平面垂直 两平面不垂直
三、平面的投影变换
把一般位置平面变换为投影面垂直面 把投影面垂直面变换成投影面平行面 把一般位置平面变换为投影面平行面
一、点的投影变换
1、 点的一次变换
点的一次变换（变换V面）
点的变换规律:
1) 新投影与不变投影之间的连线始终垂直于新 投影轴，即a a 1⊥x1轴；
2） 新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距 离，即 a 1ax1= a ax轴。
2、 点的二次变换
在变换投影面法中，有时变换一次还不能解决问 题，这时必须变换两次或更多次。
在变换两个或两个以上的投影面时，点的新投影的求法 和原理与更换一个投影面时完全相同。但必须指出，v面和H 面必须交替变换。 对新、旧投影面（投影轴）的概念要随变换过程而随时 改变。
点 的 二 次 变 换
二、直线的投影变换
将一般位置直线变换成投影面垂直线，只经 过一次换面是不能实现的，因为垂直于一般位置 直线的平面是一般位置平面，它与原有的两个投 影面均不垂直，不能构成直角投影体系，所以必 须经过两次换面。 首先将一般位置直线变成投影面平行线，然 后将投影面平行线变成投影面垂直线。
投影变换换面与旋转
Ｖ/Ｈ→Ｖ/Ｈ1→Ｖ2/Ｈ1
例2 已知直线AB与平面CDE平行，试求它们之间的距离。 空间及投影分析：
将平面CDE变换为投影面垂直面，则BK变换为投影面平行线。
1）把CDE平面变换为 H/V1 体 系 中 的 投 影 面 垂 直 面 ， 求 得 d1’c1’e1’ （积聚为直线）； 2）求出a1’b1’； 3）求 距 离（ ＢＫ ）： 作ｂ1’k1’⊥ c1’d1’e1’则 ｂ1’k1’反映实长。 4）求BK的原投影 ｂｋ、 ｂ′ｋ′。
2．把投影面平行线变换为投影面垂直线 把投影面平行线变换为投影面垂直 线，是为了使直线投影成为一个点，从 而解决与直线有关的度量问题(如求两直 线间的距离)和定位问题(如求线面交点)。
［例2］已知正平线AB的两投影， 试把它变为投影面垂直线。
分析：直线AB为正平线，
应将AB变换为新投影面Ｈ1 的垂直线 ,因ＡＢ∥Ｖ，而 新投影面要垂直AB又必须 垂直一个投影面，所以只能 设置新投影面Ｈ1⊥Ｖ，且 Ｈ1⊥ＡＢ，即建立新投影 体系Ｖ/Ｈ1。
由上可知点的旋转规律：当点绕垂直轴旋转时，点在与 旋转轴垂直的那个投影面上的投影作圆周运动，而另一投影 则沿与旋转轴垂直的直线移动。
3.2
直线的旋转
直线的旋转，仅 需使属于该直线的任 意两点遵循绕同一轴、 沿相同方向、转同一 角度的规则作旋转， 然后，把旋转后的两 个点连接起来。
直线旋转的基本性质
1）直线AB经过两次投影变换， 变成Ｖ1/Ｈ2体系中的投影面 垂直线ａ2、ｂ2。 2）求距离MN的实长。 由点ａ2（ｂ2）向ｃ2ｄ2作垂 线ｎ2ｍ2，ｍ2ｎ2反映AB、CD 两直线间距离的实长， ｍ1’ｎ1’∥Ｏ2Ｘ2。 3）求MN的原投影ｍｎ和 ｍ′ｎ′。
例4：求平面ABC和ABD的夹角。
变换投影面法
第3章变换投影面法我们知道，当空间的直线和平面对投影面处于一般位置时，它们的投影都不能直接反映真实大小、度量和定位关系，也不具有积聚性；但当它们和投影面处于特殊位置时，则它们的投影有的可直接真实地反映度量关系和定位关系或具有积聚性，如图3—1所示。
由此可知，若能把几何元素由一般位置改变成特殊位置，有些问题就容易解决，而变换投影面法就是解决这一问题常用的一种图解方法。
§3—1 变换投影面法的基本概念在两投影面体系中空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替某一旧的投影面，保留原有的另一投影面，新投影面垂直于保留的投影面，使空间几何元素对新投影面的相对位置变成有利于解题的特殊位置，然后作出几何元素在新投影面上的投影，在新投影面与保留的原有投影面组成的新的两体系中解题，必要时还可将结果返回到原有的两投影面体系中去。
这种方法称为变换投影面法．．．。
．．．．．．，简称换面法如图3—2所示，△ABC平面为一铅垂面，该面在V、H两投影面体系（即V/H体系）中的两个投影都不反映真形。
取一个平行于△ABC且垂直于H面的V1面来代替V面，则新的V1面和保留的H面相交成新的投影轴X1，构成一个新的两投影面体系（即V1/H）。
△ABC平面在V1/H体系中V1面上的投影△a´1b´1c´1就反映了△ABC平面的真形。
再将V1面绕新投影轴X1旋转展开到与H面成一个平面，从而得出V1/H体系的投影图。
显然新投影面V1是不能任意选择的，首先要使空间几何元素在新的投影面上的投影能够有利于解题，并且新投影面V1和保留的H面仍要构成一个由两个相互垂直的投影面组成的两投影面体系，这样才仍能应用前面所讲述的正投影原理作图。
因此，用换面法时，新投影面的选择必须符合下面两个基本条件：(1)新投影面必须垂直于保留的投影面，以构成新的两投影面体系。
(2)新投影面必须处在空间几何元素有利于解题的位置。
变换投影面法
X
V H
ax
⑶在aax1的延长线沿V1的一侧，
截取一段距离a1'ax1，使其等于
a
被更换的投影a’至旧投影轴OX
的距离a'ax，即a1'ax1＝a'ax，求 出a1＇。
H X1 V1
o o1
ax1
a1＇
6
二、点的二次变换 1）V面和H面交替变换； 2）每后一次变换把前次变换的结果作为旧体系。
7
第三节 直线的投影变换 一、把一般位置直线变换为投影面平行线 二、将投影面平行线变为投影面垂直线 三、把一般位置直线变换成投影面垂直线
V X
X2
a2 (b2)
b H2
ax2
V1
a bX
b1
B A
a1
aX
bX1
b
aX1
a
H
X1
b
a
XV H
aX
bX b
a
H
aX1
X1
V1
●
a1
bX1
●.
b1
作图 X1轴与ab垂直 X2轴与a1 b1 垂直
a2 (b2)
11
第四节 平面的投影变换 一、把一般位置平面变换为投影面垂直面 二、把投影面垂直面变为投影面平行面 三. 把一般位置平面变换成投影面平行面
8
一、把一般位置直线变换为投影面平行线
例：求直线AB的实长及与H面的夹角。
空间分析：用V1面代替V面，在V1/H投影体系中，必须
满足二个条件：
1）V1⊥H
b
2）AB// V1。
a
a
V
b
A
V1a1
b1
B
投影变换
第三章 投影变换 3.1 投影变换的方法 3.2 变换投影面法
1
1. 投影变换的方法 1.1 变换投影面法（换面法） 变换投影面法（换面法）
几何元素保持不动，而改变投影面的位置， 几何元素保持不动，而改变投影面的位置， 使新的投影面与几何元素处于有利于解题 的位置。 的位置。 新投影面的选择应符合以下两条件： 新投影面的选择应符合以下两条件： （1）新投影面投影面必须处于有利于解题 ） 的位面必须垂直于原来投影面体系中 ） 的一个投影面。组成一个新的两投影面体系。 的一个投影面。组成一个新的两投影面体系。 1.2 旋转法 投影面保持不动， 投影面保持不动，而将几何元素绕某一轴 旋转到相对于 投影面处于有利于解题的位置。 投影面处于有利于解题的位置。
投影变换的方法
3
1
1. 投影变换的方法 1.1 变换投影面法（换面法） 变换投影面法（换面法）
几何元素保持不动，而改变投影面的位置， 几何元素保持不动，而改变投影面的位置， 使新的投影面与几何元素处于有利于解题 的位置。 的位置。 新投影面的选择应符合以下两条件： 新投影面的选择应符合以下两条件： （1）新投影面投影面必须处于有利于解题 ） 的位面必须垂直于原来投影面体系中 ） 的一个投影面。组成一个新的两投影面体系。 的一个投影面。组成一个新的两投影面体系。 1.2 旋转法 投影面保持不动， 投影面保持不动，而将几何元素绕某一轴 旋转到相对于 投影面处于有利于解题的位置。 投影面处于有利于解题的位置。
投影变换的方法
3
换面法
§1-5 换面法
1-5-1 概述 1-5-2 点的投影变换规律 1-5-3 四个基本作图问题 1-5-4 解题举例
1-5-1 概述
当空间的直线和平面平行于投影面时， 当空间的直线和平面平行于投影面时，它们的投影反映线段的 实长和平面的实形；当平面或两平面的交线垂直于投影面时， 实长和平面的实形；当平面或两平面的交线垂直于投影面时，它们 的相对位置关系、交点和交线在投影图上都能得到直接反映。 的相对位置关系、交点和交线在投影图上都能得到直接反映。
形的两面投影。 b’ a’ X A b a V b’ B a’ c’ C
1-5-3 四个基本作图问题
三、将一般位置平面变为投影面垂直面
[例] 将一般位置平面△ABC 变为新投影面 1 的垂直面。 例 将一般位置平面△ 变为新投影面H 的垂直面。
1-5-3 四个基本作图问题
四、将投影面垂直面变为投影面平行面
[例] 将铅垂面△ABC 变为新投影面 1 的平行面。 例 将铅垂面△ 变为新投影面V 的平行面。
d' e'
n
d
二、将投影面垂直面变换为投影面平行面
c’ c1 ’
V1
a’ b1’
b’ b c
c1 ’ a1 ’ a1 ’ X1
b1’
a c1 ’ a1’
例题1 例题
求一般位置平面△ＡＢＣ的实形。 求一般位置平面△ＡＢＣ的实形。 的实形
a2' 作 图 b2' d1' d' c2'
(１) 将△ＡＢＣ变换 １ ＡＢＣ变换 求出ａ 成铅垂面 , 求出ａ1、ｂ1 、ｃ1 、d1 ; (２) 将△ＡＢＣ变换 ２ ＡＢＣ变换 成正平面 ;
点是最基本的几何元素，要学会运用换面法解决问题， 点是最基本的几何元素，要学会运用换面法解决问题，必须掌握点的投影变换 规律。 规律。
1-5-1 概述 1-5-2 点的投影变换规律 1-5-3 四个基本作图问题 1-5-4 解题举例
1-5-1 概述
当空间的直线和平面平行于投影面时， 当空间的直线和平面平行于投影面时，它们的投影反映线段的 实长和平面的实形；当平面或两平面的交线垂直于投影面时， 实长和平面的实形；当平面或两平面的交线垂直于投影面时，它们 的相对位置关系、交点和交线在投影图上都能得到直接反映。 的相对位置关系、交点和交线在投影图上都能得到直接反映。
形的两面投影。 b’ a’ X A b a V b’ B a’ c’ C
1-5-3 四个基本作图问题
三、将一般位置平面变为投影面垂直面
[例] 将一般位置平面△ABC 变为新投影面 1 的垂直面。 例 将一般位置平面△ 变为新投影面H 的垂直面。
1-5-3 四个基本作图问题
四、将投影面垂直面变为投影面平行面
[例] 将铅垂面△ABC 变为新投影面 1 的平行面。 例 将铅垂面△ 变为新投影面V 的平行面。
d' e'
n
d
二、将投影面垂直面变换为投影面平行面
c’ c1 ’
V1
a’ b1’
b’ b c
c1 ’ a1 ’ a1 ’ X1
b1’
a c1 ’ a1’
例题1 例题
求一般位置平面△ＡＢＣ的实形。 求一般位置平面△ＡＢＣ的实形。 的实形
a2' 作 图 b2' d1' d' c2'
(１) 将△ＡＢＣ变换 １ ＡＢＣ变换 求出ａ 成铅垂面 , 求出ａ1、ｂ1 、ｃ1 、d1 ; (２) 将△ＡＢＣ变换 ２ ＡＢＣ变换 成正平面 ;
点是最基本的几何元素，要学会运用换面法解决问题， 点是最基本的几何元素，要学会运用换面法解决问题，必须掌握点的投影变换 规律。 规律。
8投影原理-换面法
a1 b1 b a1 b1
b
（三） 把一般位置直线变为投影面垂直线 ——求点到线的距离
a2 b2
b1 V1 a1
X1
作图过程
把一般位置直线变为投影面垂直线
a2 b2
[例题2] 求点C到直线AB的距离（可将一般位置线变换 成铅垂线，也可变换成正垂线。）一般位置线-正平线-铅 垂线；一般位置线-水平线-正垂线
二、新投影面的选择原则 三、点的投影变换规律 四、六个基本问题
一、换面法的基本概念
c c1 c1 b1 b1 X a1 X1 V/H 体系变为V1/H 体系 a bc a
V1
a1
b
X1
换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替 旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后 找出其在新投影面上的投影。
（1） 点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。 （2） 点的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投影轴的 距离。
点在V/H1体系中的投影 a1
a1
3． 点的两次变换
a2 a2
四、六个基本问题
（一） 把一般位置直线变为投影面平行线—求实长 或实际角度 例题1 （二） 把投影面平行线变为投影面垂直线—求点到 线的距离 （三） 把一般位置直线变为投影面垂直线—求点到 线的距离 例题2 （四） 把一般位置平面变为投影面垂直面—求点到 面的距离或实际角度 例题3 （五） 把投影面垂直面变为投影面平行面—求实形 （六） 把一般位置平面变为投影面平行面—求实形 例题4
（一） 把一般位置直线变为投影面平行线 ——求实长或实际角度
b1
a1
b1
ห้องสมุดไป่ตู้
a1
b
（三） 把一般位置直线变为投影面垂直线 ——求点到线的距离
a2 b2
b1 V1 a1
X1
作图过程
把一般位置直线变为投影面垂直线
a2 b2
[例题2] 求点C到直线AB的距离（可将一般位置线变换 成铅垂线，也可变换成正垂线。）一般位置线-正平线-铅 垂线；一般位置线-水平线-正垂线
二、新投影面的选择原则 三、点的投影变换规律 四、六个基本问题
一、换面法的基本概念
c c1 c1 b1 b1 X a1 X1 V/H 体系变为V1/H 体系 a bc a
V1
a1
b
X1
换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替 旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后 找出其在新投影面上的投影。
（1） 点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。 （2） 点的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投影轴的 距离。
点在V/H1体系中的投影 a1
a1
3． 点的两次变换
a2 a2
四、六个基本问题
（一） 把一般位置直线变为投影面平行线—求实长 或实际角度 例题1 （二） 把投影面平行线变为投影面垂直线—求点到 线的距离 （三） 把一般位置直线变为投影面垂直线—求点到 线的距离 例题2 （四） 把一般位置平面变为投影面垂直面—求点到 面的距离或实际角度 例题3 （五） 把投影面垂直面变为投影面平行面—求实形 （六） 把一般位置平面变为投影面平行面—求实形 例题4
（一） 把一般位置直线变为投影面平行线 ——求实长或实际角度
b1
a1
b1
ห้องสมุดไป่ตู้
a1
投影变换
例题1 例题1：求点 E 到直线 AB 的距离 。
例题2 例题2：求交叉直线 AB 和 CD 的最短距离 KL。 。
a′ V X H k a c l c1 ′ l1′ k1 ′ d1′ k′ c′ b′ d′ l′
一般位 置直线 铅垂线 公垂线 平行H 平行 H 2
b d l2 d2
H2
c2 k2 a2b2
1 换面法中确定新投影面的原则
（1）新投影面必须垂直于原投影面体系中一个不变的投影面。 新投影面必须垂直于原投影面体系中一个不变的投影面。 （2）新投影面必须使空间几何元素对其投影有利于定位和度量。 新投影面必须使空间几何元素对其投影有利于定位和度量。
2 换面法中点投影的变换规律
点的投影变换规律： 点的投影变换规律： （1）点的新投影与不变的旧投影的连线垂直于新的投影轴。 ）点的新投影与不变的旧投影的连线垂直于新的投影轴。 （2）点的新投影到新投影轴的距离等于被替换的旧投影到旧投影轴的距离。 ）点的新投影到新投影轴的距离等于被替换的旧投影到垂直面
先在平面EFG 内任取一条投影面 面的平行线，如水平线 E1。再变换 内任取一条投影面H 面的平行线， 再变换V 先在平面 面中是正垂线， 面中必积聚成一条直线， 面，使E1 在V1 /H面中是正垂线，那么平面在 1 /H面中必积聚成一条直线， 面中是正垂线 那么平面在V 面中必积聚成一条直线 同时反映平面EFG 与H面的夹角 。 面的夹角α。 同时反映平面 面的夹角
2 点的二次换面
2
点的第一次换面： 点的第一次换面：aa1 '⊥X1，a ' aX = a1 ' aX1； 点的第二次换面： 点的第二次换面：a1 ' a2⊥X2 ；aaX1=a2aX2
投影变换
以新的投影面置 换某一旧的投影 面，建立起一个 新的二面体系， 使某一直线或平 面由一般位置变 换为特殊位置。
旧的 V面
新的 V面
二.换面法
1)直线的一次换面
新投影与保
留投影的连线
a
垂直于新投影
b
轴；
V
XH
a
新投影到新
投影轴的距离
等于旧投影到
旧投影轴的距
b
a
离。
b1
直线的换面
a1
二.换面法
1)直线的一次换面 2)直线的二次换面
k'
a'
X HV a
k
c'
e' b' b
e
c X1
b1' L a'1
k1'
c1'
15
2020年4月5日星期日
第三章 投影变换
一.投影变换的目的与方法 二.换面法 三.例题
a
a
a
一.投影变换的目的与方法
1）投影变换的目的是将原 体系中的某一个处于一般位 置下的几何元素，改造为特 殊位置的元素，以利于图解。
2）投影变换所采用的方法: 置换投影面法（换面法） 旋转几何元素法（旋转法）
换面法 旋转法
二.换面法
一般位置
直线经过一次
b
变换可变为平 V
行线；
XH
一般位置直
线需先变换成
平行线后才能
再变换为垂直
b
线。
a a
a b1
直线的换面
b2(a2)
a1
二.换面法
平面的换面
1)平面的一次换面
注意：必 需先在该面上 取一条投影面 的平行线作为 变换依据。
旧的 V面
新的 V面
二.换面法
1)直线的一次换面
新投影与保
留投影的连线
a
垂直于新投影
b
轴；
V
XH
a
新投影到新
投影轴的距离
等于旧投影到
旧投影轴的距
b
a
离。
b1
直线的换面
a1
二.换面法
1)直线的一次换面 2)直线的二次换面
k'
a'
X HV a
k
c'
e' b' b
e
c X1
b1' L a'1
k1'
c1'
15
2020年4月5日星期日
第三章 投影变换
一.投影变换的目的与方法 二.换面法 三.例题
a
a
a
一.投影变换的目的与方法
1）投影变换的目的是将原 体系中的某一个处于一般位 置下的几何元素，改造为特 殊位置的元素，以利于图解。
2）投影变换所采用的方法: 置换投影面法（换面法） 旋转几何元素法（旋转法）
换面法 旋转法
二.换面法
一般位置
直线经过一次
b
变换可变为平 V
行线；
XH
一般位置直
线需先变换成
平行线后才能
再变换为垂直
b
线。
a a
a b1
直线的换面
b2(a2)
a1
二.换面法
平面的换面
1)平面的一次换面
注意：必 需先在该面上 取一条投影面 的平行线作为 变换依据。
工程制图 2.6投影变换方法
2、
1）保留有积聚性的投影 2）新轴平行于保留的投影，然后根据点的 换面规律得到新投影
换面法的应用举例
例 求C点到直线AB的距离，并画出距离的投影。
c'
b'
分析
C
A K B
a' X V H
b
c
a c H2
(k) a (b)
c' k′ a' V X H k
b'
b
CK=c2k2
a
c k 1′ a1′ c1 ′ b1′
一、点的换面 点的换面所遵循的规律：
若平面外的一直线与平面内的一 条直线平行，则该直线与此平面平行。
1.
1）新轴与保留投影平行，然后根据点的换 面规律得到新投影 2）新投影与新轴的夹角反映了直线与保留 投影面的倾角
2.
1）新轴与保留投影相垂直，然后根据点的 换面规律得到新投影
1. 1）作平面上的保留投影面平行线 2）新轴垂直于该平行线，然后根据点的换 面规律得到新投影
a2 ( b2Βιβλιοθήκη (k2)c2例 求平面P的实形
11
31
51
21 1′
41
X
X
3 5
1
2
4
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作 图 过 程： ★ 在平面内取一条水平 线AD。 ★ 将AD变换成新投影 面的垂直线。
c
b c
H X1 V1
a
d
.
α c1 a1 d1 b1
● ● ●
反映平面对哪个投影面 的夹角？
4. 二次变换：把一般位置平面变换成投影面平行面
空间分析： 一次换面, 把一般位置平面变换成新投影面的垂直面； 二次换面，再变换成新投影面的平行面。 作 图： a
⒉ 二次变换 ⑵ 求新投影的作图方法 a
作图规律
a2a1 X2 轴 a2ax2 = aax1
V X H
ax
a ax1 H X1 V1
.
a2
ax2 . a1 H2 V1 X 2
三、换面法的四个基本问题
1. 一次变换：一般位置直线变换成投影面平行线 例：求直线AB的实长及与H面的倾角。
例2：求线段AB的实长，及其α 、β 角
a1
实长
β
b1
X
V H
a
b
b
a
α
b1
实长
a1
例3：求直线EF与△ABC平面的交点，并判别可见性。
e
V H
b k c
f
a
X
b
f
f1
a e
k
c
a1 (c1 )
b1
k1
e1
例4：求点C到直线AB的距离，并求垂足D。 空间及投影分析： 作图: b c 求C点到直线AB的距离
在平面内取一条投 影面平行线，经一次换 面后变换成新投影面的 垂直线，则该平面变成 新投影面的垂直面。
c
V
C
V1
c1 a1 d1 b1
X1
a
A X
d b′
D B
思考： 若变换H面，需在面 内取什么位置直线？
答案：正平线！
c
d
a
b
H
例：把三角形ABC变换成投影面垂直面。
b a
V X H d
，就是求垂线CD的实长。 如下图：当直线AB垂 V X 直于投影面时，CD平行于 H 投影面，其投影反映实长。 c
AD
C B abd P
a d b a
.
距离 b b1'. a2 2d2
c2
d
. a1' d1'
H X1 V 1
c
如何确定d1 点的位置？ 过c1 作线平行于x2轴。
第五章 问题的提出
投影变换
★ 求实长、实形、倾角？ ★ 求距离：点与直线、点与平面、两直线、直线与平面、平 面与平面的距离？ ★ 求夹角：直线与直线、直线与平面、两平面的夹角？ 当几何元素处于特殊位置时，可直接由投影中求得。
解决方法：投影变换。
求解距离、夹角、实形、交点的最佳投影分析
b’ a’
c’ b’
§5-2 辅助投影面法(换面法)
指的是换“投影面”
物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助 投影面）代替原有投影面，使物体相对新的投影面处于解题
所需要的有利位置，然后将物体向新投影面进行投射。
旧投影面
旧投影 旧投影轴(旧轴)
1、替换投影面、替换投影、替换投影轴（替换轴） 2、保留投影面、保留投影
c1 '
V1 H2 X2
例5.
求两直线AB与CD的公垂线 。
b' 1' 2'
1 2 c1'
X2 V1 H2 22 d2 21' d1' 11'
c2 12
a2b2
返回
例6: 过C点作直线CD与AB相交成60º 角。
空间及投影分析：AB与CD都平行于投影面时，其投影的夹角才反映实 大（60°），因此需将AB与C点所确定的平面变换成投影面平行面。
换面法的四个基本问题：
1. 一次变换：把一般位置直线变成投影面平行线 新投影反映实长和一个倾角； 2. 二次变换：把一般位置直线变成投影面垂直线 新投影积聚为一点 3. 一次变换：把一般位置平面变成投影面垂直面 新投影积聚为一条直线，反映一个倾角 需先在面内作一条投影面平行线
4. 二次变换：把一般位置平面变成投影面平行面
二、变换原理：点的投影变换规律
⒈ ⒉ 一次换面 二次变换
⑴ 新投影体系的建立
X2
a2
V H2
ax2
V1
a
A
a 1
ax
X
a
H
ax1
X1
V X1 —1 先把V面换成平面V1， V1H，得到中间新投影体系: H V1 X2 — 再把H面换成平面H2， H2 V1，得到新投影体系: H2
⒈ 一次换面 ⑵ 新旧投影之间的关系(即变换规律)
a ax
.
V
a
A
a' 1 v1
V X H
a1'
ax
X
ax1 a
H X1
ax1
H v1 X1
a
点的新投影与保留投影的连线，必垂直于新轴。 aa1 X1
点的新投影到新轴的距离，等于旧投影到旧轴的距离。 a1ax1 = aax
X V H
c b
AB是水平 线
●
a2
a
●
. b . a1 b1
b2●
●
c2
c
H V1 X1
平面的实形
c1
●
X2轴的位置？ 与其平行
四、换面法的应用
例1：已知点A的两面投影a 、a′，且YA=YB，及B的新投影b1 ′ ，求a1 ′ ，及b 、b′。
a
X V H
b
a
b
b1
a1
二、变换原理：点的投影变换规律
⒈ 一次换面 ⑴ 新投影体系的建立
a
V
a
A
a' 1
v1 V
ax
.
a1'
ax
X
X
H
ax1
a
H X1
ax1
H v1 X1
a
旧投影体系
V X— H A点的两个投影：a， a
新投影体系
X1 — H A点的两个投影：a，a1
v1
二、变换原理：点的投影变换规律
c2 (a2 )
角平分线
d2
小 结
本章主要介绍了投影变换的一种常用方法 ——换面法。
一、 换面法就是改变投影面的位置，使它与所给物 体或其几何元素处于解题所需的特殊位置。 二、 换面法的关键是要注意新投影面的选择条件， 即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关系， 同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规 律继续有效。 三、点的变换规律是换面法的作图基础，四个基本 问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。
二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。
与ab平行。 X1轴的位置？
X2轴的位置？与a1 b1 垂直
X2
b V H
a2b2
V a b
H2
ax2 b1
a
b a
H X1 V1a
1
● ●
V1
X
B A
a1
b
X
a H X1
b1
.
a2b2
3. 一次变换：把一般位置平面变换成投影面垂直面 空间分析：两平面垂直需满足什么条件？ 如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么 该平面则变换成新投影面的垂直面。 作图方法：
a’
c’ b’ a’ d’ d c
c’ d’
a’
a b c
b’
c d b
a
b
a
两平面夹角
b
a
两点之间距离
三角形实形
直线 与平面的交点
第五章
投影变换
§5-1 投影变换的目的和方法
1、变换的目的 研究如何变换原有的投影为新投影，以使空间几何元素由一 般位置变成特殊位置，从而达到简化解题的目的。 2、变换的方法 研究的是投影面与空间几何元素的关系。 常用的变换方法有换面法(辅助投影面法)和旋转法。 换投影面 旋转几何元素
例7 已知E点在平面ABC上，距离A、B为15，求点E的投影。 a2
15
b2 d2 e1
e2 c2
e
d
e
d
例8：在直线EF上找一 点K,使该点到两相 交平面的距离相等。
X
V H
e
k
f
d
b
a
c
d
e
a
f
c
c1
k
b
b1
k1 d1 e1
f1
a1
e2
k 2 f 2 b2
3、辅助投影面、辅助投影、辅助投影轴（辅助轴） 新投影面
新投影
新投影轴(新轴)
§5-2 辅助投影面法(换面法)
一、新投影面的选择原则
v1
a
V
A B a
H
a1 '
b
b1'
平行于新的投影面 垂直于新的投影面
b
1. 新投影面必须与空间几何元素处于有利的解题位置。
2. 新投影面必须垂直于原投影面之一。 以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。
新投影反映实形
空间分析： 用V1面代替V面，在V1/H投影体系中，AB//V1。
b 作图： a
V
A V1
a