大学物理 守恒定律(一)
大学物理-机械能守恒定律
解：重力的功：W＝mgl( cosf－cos45°) ,根据动能定理有：
1 mv 2 mgl(cosf cos45)
2
O
所以 v 2gl (cosf cos45)
当f＝10°时， v＝2.33 m/s (亦可用功能原理求解)
45 °
f
l T
B＇
B
C＇
A
C mg
19
三、计算题
1．一质量为m的质点在沿x轴方向的合外力 F F0ekx作用下（其中，F0 ,k 为正的恒量），从x=0处自静止出发，求它沿x轴运动时所能达到的最大速 率。
Fy
dy
Fz
dz）
xB
Ax xA Fxdx
yB
Ay yA Fydy
zB
Az zA Fzdz
A Ax Ay Az
6
功的单位（焦耳）
1J 1Nm
平均功率 P A
t
瞬时功率
P
lim
ΔA
dW
Fv
t0 Δt
dt
P Fvcos
功率的单位（瓦特）
1 W 1 J s1 1 kW 103 W
(a)
即，各力作功之和等于合力作的功。 但对质点系：写不出像质点那样的简单式子， 即，各力作功之和不一定等于合力的功。
10
例 1 一质量为 m 的小球 竖直落入水中， 刚接触水面时
其速率为 v0 ．设此球在水中所
受的浮力与重力相等，水的阻
力为 Fr bv , b 为一常量.
求阻力对球作的功与时间的函
v
ds
P
17
m 1.0 kg l 1.0 m
0 30o
θ 10o
A mgl (cos cos0 )
大学物理(上册)_动量 动量守恒定律(1)
mi ai
i
M
或
adm M
质心加速度是各质点加速度的加权平均
vc , ac
也可以写成分量式。
3.质点系动量的时间变化率
质心运动定理
内力——质点系内质点间的相互作用力 外力——质点系外的物体对系内任一质点的作用力
F外 Fi外
i
F1外
F12
m1
F13
i
M
;
yc
m y
i i 1
N
i
M
; zc
m zi 1N源自i iM质量连续分布的质点系
z
dm x , y , z
体分布
dm dV
dm dS dm dl
r
M
面分布
线分布
x o
y
dm：宏观小，微观大
xc
rc r dm M
xdm
M
yc zc
（英）I . Newton
《自然哲学的数学原理》
1642-1727
1687年出版
结构框图 质量 动 量
动量的时 间变化率
速度
动量 定理
动量守恒 定律
牛顿运动定律 以动量及其守恒定律为主线，从动量时间变化率引 入牛顿运动定律，并在中学基础上扩展其应用范围。 恒力，质点，惯性系 变力，质点系，非惯性系
?
第二篇 实物的运动规律 第四章 动量 动量守恒定律
本章共2讲
运动学（第三章 运动的描述）
第四章： 动量 动量守恒定律
动力学
第五章： 角动量 角动量守恒定律
（运动的度量）
第六章： 能量 能量守恒定律 特点：以守恒量和守恒定律为中心。
大学物理：2-1 机械能守恒定律
26
例2 求使物体不仅摆脱地球引力作用, 而且脱离太 阳引力作用的最小速度。(第三宇宙速度）
解 根据机械能守恒定律有
1 2
mv22
G
m ms r0
0
v2
2Gms 42.1103 m s-1 r0
地球公转速度 v1 物体相对于地球速度
Gms 29.7 103 m s-1 r0
v v2 v1 (42.1103 29.7 103 )m s- 1 12.4 103 m s-1
y
A
小mg球和在F滚N 两动个过力程的中作受用到。 h
合力为
F mg FN
O
FN
mg
B
x
根据动能定理有
B A
F
d
r
1 2
mvB2
1 2
mv
2 A
即
B mg d r
A
B A FN
d
r
1 2
mvB2
1 2
mv2A
12
因
FN
始终垂直于
dr
，
所以
B A FN dr 0
(2)功和动能都是与参照系有关的量。但动能定理 在不同惯性系中都成立，这是力学相对性原理的必 然结果。在一般情况下，如无特别声明，就是指以 地面为参照系。
11
例3 小球以初速率vA 沿光滑曲面向下滚动,
如图所示。问当小球滚到距出发点A的垂直距离
为h 的B 处时, 速率为多大 ?
解 建立右图的坐标系，
F3 F3n Fn3 Fn
所以 A外 + A非保内 = (EkQ +EpQ ) (EkP + EpP ) 22
系统的动能与势能之和称为系统的机械能，用E表示 于是有 A外 + A非保内 = E(Q) E(P)
大学物理 动量 动量守恒定律汇总
Fdt (m dm)v (mv dm 0) vdm vkdt
F k v 200 4 8 10
2
N
12
3-9 一小船质量M=100kg，船头到船尾长度l=3.6m。现 有一质量m=50kg的人从船尾走到船头时，船头将移动多 少距离？假定水的阻力不计。
Fi外
Fij
j
i
内力-----是质点系内各质点间的作用力； 外力------是质点系外物体对质点系内质点的力。
由牛顿第三定律，内力必定是成对出现，且每对内力 都沿两质点连线的方向。
3
i质点合力
t2
t1
( Fi外 f ji )dt mi vi 2 mi vi1
j 1
n 1
F i外 f
9
n
例2.5 一弹性球，质量m＝0.20kg，速度 v＝5m/s， 与墙碰撞后弹回.设弹回时速度大小不变，碰撞前后的 运动方向和墙的法线所夹的角都是α，设球和墙碰撞 的时间Δt＝0.05s，α＝60°，求在碰撞时间内，球和 墙的平均相互作用力. 解：以球为研究对象.设墙对 球的平均作用力为 f ，球在 碰撞前后的速度为 v1和 v 2 ， 由动量定理可得
2
t1 t2
Fx dt mv2 x mv1x
Iy Iz
t1 t2
Fy dt mv2 y mv1 y Fz dt mv2 z mv1z
2
t1
3
二 质点系的动量定理
如果研究的对象为多个质 点，则称为质点系 对质点系，受力可分为 “内力”和“外力”。
质点系
Fj外
Fji
§2.2 动量 动量守恒定律
力对时间的累积效应
大学物理学第3章 力学的守恒定律
00:03
t2 I F (t )dt
t1
注意
•力的冲量是矢量，计算 冲量要考虑 方向 性。
•冲量是过程量。 •冲量决定于力和时间两个因素。
•F-t图上曲线下的面积与冲量大小 的关系。
00:03
（三）用冲量概念表述动量定理
质点动量定理的微分形式 dp
F
m v Fdp Fdt d
00:03
（3）矢量性质： 系统各质点的动量的矢量和不变；
若某一方向合外力为零, 则此方向动量守恒 .
ex x
F
0, 0,
px mi vix C x p y mi viy C y pz mi viz Cz
Fyex 0 , F
ex z
（4）瞬时特征： 任意两个瞬时，动量的大小和方向都相同。
m1 v' 则 v2 v m1 m2
v2 2. 10 m s 17
3 1
(m1 m2 )v m1v1 m2 v2
v1 3. 103 m s 1 17
• 力 F=12ti（SI）作用在质量m=2kg的物体上， 使物体由原点从静止开始运动，则它在3秒末的动量 为： (A)-54 i kg.m/s (B)54i kg.m/s (C)-108 i kg.m/s (D)108 i kg.m/s (B)
y
s
v
z'
y'
s'
v'
x x'
o
00:03
z
o'
已知
v 2.5 10 m s 3 1 v' 1.0 10 m s
大学物理—运动守恒定律
由质点动能定理： A E k 2 E k 1 E k
质点系动能定理：系统的外力和内力作功的总和等 于系统动能的增量。
Ae A i
(2m
i
1
i
v
2 i2
1 2
m iv ) E k 2 E k1 E k
2 i1
二、质点系功能原理
Work-energy principle of particle system 1、系统的机械能 mechanical energy of system
x
1 2
kx
2
选弹簧原长为弹性势能零点
/\/\/\/\/\/\/\
E
p
1 2
k ( y0 y )
2
k o
其中 ky 0 mg
y0
mg k
m
y
选弹簧系统平衡位置为弹性势能零点
E
p
1 2
ky
2
C
E
p0
1 2
1 2
ky
2 0
2 0
C 0
1 2 ky
2
C
1 2
ky
2 0
与与路径有关。
b
A
a ( L)
F cos ds F dr
a ( L)
b
b
( F dx F dy F dz )
x y z a ( L)
• 2、保守力 conservative force ：作功的大小只与物体的
始末位置有关，而与所经历的路径无关，这种力叫做保守 力。重力、万有引力，弹性力及静电力都是保守力。没有 这种性质的力称为非保守力nonconservative force (耗散 力 dissipative force），如摩擦力。
大学物理第三章动量守恒定律和能量守恒定律
动量守恒定律的表述
总结词
动量守恒定律表述为系统不受外力或所 受外力之和为零时，系统总动量保持不 变。
VS
详细描述
动量守恒定律是自然界中最基本的定律之 一，它表述为在一个封闭系统中，如果没 有外力作用或者外力之和为零，则系统总 动量保持不变。也就是说，系统的初始动 量和最终动量是相等的。
动量守恒定律的适用条件
能量守恒定律可以通过电磁学 的基本公式推导出来。
能量守恒定律可以通过相对论 的质能方程推导出来。
能量守恒定律的应用实例
01
02
03
04
机械能守恒
在无外力作用的系统中，动能 和势能可以相互转化，但总和
保持不变。
热能守恒
在一个孤立系统中，热量只能 从高温物体传递到低温物体，
最终达到热平衡状态。
电磁能守恒
详细描述
根据牛顿第三定律，作用力和反作用力大小相等、方向相反。如果将一个物体施加一个力F，则该力会产生一个 加速度a，进而改变物体的速度v。由于力的作用是相互的，反作用力也会对另一个物体产生相同大小、相反方向 的加速度和速度变化。因此，在系统内力的相互作用下，系统总动量保持不变。
02
能量守恒定律
能量守恒定律的表述
感谢观看
01
能量守恒定律表述为：在一个封闭系统中，能量不能被创造或消灭， 只能从一种形式转化为另一种形式。
02
能量守恒定律是自然界的基本定律之一，适用于宇宙中的一切物理过 程。
03
能量守恒定律是定量的，可以用数学公式表示。
04
能量守恒定律是绝对的，不受任何物理定律的限制。
能量守恒定律的适用条件
能量守恒定律适用于孤立系统，即系统与外界没有能量 交换。
大学物理,力学中的守恒定律 1
保守力在 l 方向投影
v F保 = − gradEp = −∇Ep
=−
(
∂Ep ∂x
v ∂Ep v ∂Ep v i + ∂y j + ∂z k
)
第19页 共32页 页 页
大学物理
的质点在外力F的作用下沿 轴运动。 练习3 练习3 质量为 m的质点在外力 的作用下沿 轴运动。 的质点在外力 的作用下沿x轴运动 已知t 时质点位于原点， 已知 = 0时质点位于原点，初速度为零。力F随距离线 时质点位于原点 初速度为零。 随距离线 性减小， 性减小，x = 0处，F=F0; x=L处，F = 0。试求质点在 处 处 。 x=L处的速率。 处的速率。 处的速率
v s
s
b
(1) 变力的功 v v d 元功： 元功： A = F ⋅ d r v = F ⋅ d r ⋅ cos θ 直角坐标系： 直角坐标系：
= F d s cos θ
ds v r θd
b
v v v v v r F = Fx i + Fy j + Fz k r a r r r dr = dxi + dyj + dzk v v dA = F ⋅ dr = Fx dx + Fy dy + Fz dz
P
C
y
R
r F
m
解： v
.
o
v v F = F0 x i + F0 y j
v r
x
0
v v v d r = dx i + dyj
2R
v v v r = xi + yj
v v 2 A= ∫ F ⋅ dr = ∫ F xd x + ∫ F yd y = 2F R 0 0 0
大学物理动量守恒
大学物理动量守恒一、动量守恒定律动量守恒定律是自然界中最重要、最普遍、最基本的规律之一。
它表述了一个基本物理规律，即在没有外力作用的情况下，物体的动量总保持不变。
动量守恒定律可以表述为：如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为零，那么这个系统的总动量保持不变。
动量是矢量，具有方向和大小两个分量。
在表述动量守恒定律时，必须同时考虑这两个分量。
二、动量守恒的条件动量守恒的条件是系统不受外力或者所受外力的矢量和为零。
这个条件可以理解为系统内部的相互作用力相互抵消，或者系统受到的外部作用力为零。
在这种情况下，系统内部的物体之间的相互作用不会改变系统的总动量。
三、动量守恒的应用动量守恒定律在物理学中有着广泛的应用，特别是在研究物体碰撞、衰变、爆炸等过程中，它可以提供重要的理论基础。
在这些过程中，物体的形状、大小和运动状态都会发生变化，但是动量守恒定律保证了系统总动量的不变。
四、动量守恒的意义动量守恒定律是物理学中最基本的规律之一，它反映了自然界的对称性和基本性质。
它不仅在理论上有着广泛的应用，而且在实践中也有着广泛的应用。
例如，在航天技术中，动量守恒定律被用来设计火箭的推进系统和飞行轨迹；在军事领域，动量守恒定律被用来设计导弹和枪炮的弹道和射击精度。
动量守恒定律是物理学中非常重要的规律之一，它反映了自然界的本质和基本性质。
它不仅在理论上有着广泛的应用，而且在实践中也有着广泛的应用。
高中物理动量守恒题型归类标题：高中物理动量守恒题型归类在物理学的海洋中，动量守恒是一个非常重要的概念。
它表述的是，在一个封闭系统中，如果只考虑相互作用的力，那么系统的总动量将保持不变。
这一原理广泛应用于各种物理场景，从天体运动到分子碰撞，从电磁学到量子力学。
在这篇文章中，我们将重点探讨高中物理中的动量守恒题型及其解法。
一、单一物体的动量守恒单一物体的动量守恒通常指的是一个物体在受到外力作用后，其动量保持不变。
例如，一个在光滑水平面上滑行的物体，当它撞上另一个物体时，两个物体的总动量将保持不变。
大学物理 机械能守恒1
•质点系机械能守恒 质点系机械能守恒
• 功能原理与动能定理的物理本质是一致的，它们 功能原理与动能定理的物理本质是一致的， 的区别是从不同的角度处理保守内力作功。 的区别是从不同的角度处理保守内力作功。 • 只有外力和非保守内力才会引起机械能的改变； 只有外力和非保守内力才会引起机械能的改变； 保守内力作功会引起质点系动能的改变， 保守内力作功会引起质点系动能的改变，但不会 引起质点系机械能的改变 • 当外力和内非保守力都有不作功或所作功之和为 零，则质点系机械能守恒。 则质点系机械能守恒。
v dr
v L1 F
rQΒιβλιοθήκη L2QP rP保守力：做功与路径无关的力， 保守力：做功与路径无关的力，或沿闭合回路做 功等于零的力 练一练：证明重力 是保守力 练一练：证明重力mg是保守力 挑战： 挑战：证明有心力和弹性力都是保守力 •保守力的势能：引力作功与路径无关，只取决于质 保守力的势能： 保守力的势能 引力作功与路径无关，
r2 r2
v •保守力与势能的微分关系：W保 = − ∆U , → F ⋅ dr = − dU 保守力与势能的微分关系： 保守力与势能的微分关系
•保守力与势能的微分关系进一步讨论 保守力与势能的微分关系进一步讨论* 保守力与势能的微分关系进一步讨论
r r f • dr = −dU 在直角坐标系中 : f x • dx + f y • dy + f z • dz = − dU ∂U ∂U ∂U 由偏微分公式知 : f x = − ; fy = − ; fz = − ∂x ∂y ∂z r r r r 可合写为 : f = f x i + f y j + f zk = −∇U = − gradU
大学物理学教程马文蔚43角动量-角动量守恒定律1
解：（1）对子弹、圆盘系统用角动量守恒定律
m00 R
(1 mR2
m020
m0
R2
)
(
1 2
m
m0
)
R
（2）先求摩擦力矩，在圆盘
上取一同轴圆环，如图，则
mOr R
dr 0
m0
dm ds 2 rdr,
m
R2
摩擦力矩
dM
dmgr
第四章 刚体的转动
M
解：小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动 量守恒
mv0
l 4
1 12
ml
2
m(
l 4
)2
12 v0
7l
小虫与细杆系统的外力矩为
M mgr cos
第四章 刚体的转动
角速度恒定，由角动量定理
M dL d(J) dJ J 1 ml 2 mr 2
时0各反自向对滑绳行中,交点错的时角动,各量抓为住L长,为他d们的将绳绳索收一拢端为,然d 后时相,各对自旋的转速,率此
为 20 .
2
L
m0
d 2
2m0
d 2
2m
d/2 2
20
d
例8: 两只同重量的猴子,一只用力往上爬,另一只不爬,若滑轮重 量忽略不计,问哪一只先到达滑轮顶端?
R
R
若 M 0 ，则 L J 恒量
讨论：(1) 守恒条件 M 0
若 J 不变，不变；若J 变， 也变，但 L J 不变.
(2) 内力矩不改变系统的角动量.
第四章 刚体的转动
(3)在冲击等问题中,M in M ex L C
大学物理 动量守恒
y
v2
0.1 2 9.8 1.6 2 9.8 2.5 0.01 126 N (负号表示什么意思?)
v1
(一个馒头2两，重力约为1N)
撞击力126N,
约等于126个馒头的重力。
四、质点系 质点系动量守恒条件
质点系: 有相互作用的若干质点组成的系统。 内力 f : 质点系内质点之间的相互作用力。
二、力的叠加原理
如质点A与n个质点相互作用时，质点A 的动量的增量是所有n个质点传递给它的 动量的矢量和，用力来表示即： dp f1 f 2 ... f n F （叠加原理） dt “一个质点所受的合力等于所有其它质 点对它的作用力的矢量和” ——力的叠加原理
dp 由于 p mv 及 F dt dp d dv dm F (mv ) m v dt dt dt dt
……（牛顿第二定律） 牛 : 物体的动量对时间的变化率等于物 体所受的合力。
若只讨论低速运动情形（质量 近似为常 量）, 就有： d m
将式（2）代入（1）得
m Vx u cos M m
负号代表什么意义？
（2）求发射过程中炮车移动的距离 炮车的移动过程非匀速的，也非匀变速的！
设发射过程中的某时刻 t ： 炮车的移动速度为
炮弹相对炮车的速度为
V x (t )
u(t )
利用
m Vx (t ) u( t ) cos M m
§2.1 惯性
一、惯性定律（牛顿第一定律） 任何物体都保持静止或匀速直线运动的 状态，除非作用在它上面的力迫使它改 变这种状态。
数学形式：
F 0时, v 恒量
大学物理之电荷守恒定律
§7-1电荷守恒定律库仑定律一．电荷及其基本性质所谓电荷，就是带电的物质微粒。
电荷不能脱离物体而单独存在，带电是物质的一个基本属性。
电量是带电体所带电荷的多少。
1．电荷的种类：美国物理学家富兰克林首次以正、负电荷命名至今。
电荷分正负两种类型。
同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。
宏观带电体所带电荷种类不同根源在于组成它们的微观粒子所带电荷种类不同：电子带负电、质子带正电、中子不带电。
电子带电电荷集中在半径小于的体积内，比较而言，电子可看成没有内部结构的有质量和电荷的点。
2．电荷的相对论不变性。
带电体的电量不随带电体的运动状态改变而改变，即相对于不同的参考系，同一个带电体的电量是相同的。
简单地说，就是电荷与运动状态无关。
3．电荷的量子化。
宏观物体带电的根源在于微观粒子带电：电子带负电，质子带正电，中子不带电。
大量事实表明，任何带电体的电量都不是无限可分的，即电荷只能是一份一份存在的，都是一最小电荷基本单元的整数倍。
电荷的最小基本单元（基本电荷）是，这也是一个电子或质子所带电量的大小。
4．电量的单位是库仑，，。
库仑是个很大的单位，如两电量的点电荷相距为时的作用力。
（相当于90万吨，这种力量足以压碎一栋大楼）5．电荷守恒定律人们总结了大量的实验事实，得到了如下的结论：不论进行任何物理过程，都只能使电荷从一个物体转移到另一物体，或从物体的一部分转移到另一部分。
当一种电荷出现时，必有等量的异号电荷同时出现；当一种电荷消失时，必有等量的异号电荷同时消失。
也就是说，在一个孤立的系统内，不论进行怎样的物理过程，电量的代数和（净电荷）始终保持不变。
这个结论叫做电荷守恒定律。
注意：电荷是可以产生和消失的。
（如正负电子对的湮没和产生）二．库仑定律1．点电荷所谓点电荷，是指这样的带电体，它本身的几何线度比起所研究问题的范围要小得多，其几何形状和电荷的分布情况对问题的研究已无关紧要，这样的带电体就可以抽象成一个几何的点，叫做点电荷。
大学物理动量守恒定律和能量守恒定律
注意:
1、计算势能必须规定零势能参考点。势能是相对量， 其量值与零势能点的选取有关。
2、势能函数的形式与保守力的性质相关，对应于一种 保守力的函数就可以引进一种相关的势能函数。
3、势能是属于以保守力形式相互作用的物体系统所共 有的。
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
守恒定律
动量守恒定律 机械能守恒定律 能量守恒定律
物理学大厦 的基石
3-1 质点和质点系的动量定理
一、冲量 质点的动量定理
F dpd(mv) dt dt
牛顿第二定律 动量 pm v
F d td pd(m v)
I t 1 t2 F d t p p 1 2 d p p 2 p 1 m v 2 m v 1
vv 21 vv 2m m 1v 1 rvm r 23 .1 2 7 .1 71 0 1 3 0m 3m /s /s
3-4 动能定理
一、功、功率
1、功
r
i
F
B
i
恒力功： W F s c o s F s
变力功
A
元功：
d W Fd r
取得有限位移 W dW r2Fdr r1
冲量： I t2 Fdt t1
力对时间的累积效应
作用于物体上的合外力的冲量等于物体动量的增量
——质点的动量定理
分量表示式
t1t2FxdtIx mv2xmv1x t1 t2FydtIymv2ymv1y t1t2FzdtIz mv2zmv1z
问题：动量增量方向？
o v0
x
冲量的方向？动量增量的 方向，一般与力的方向不一致。
功的单位：焦耳(J)
大学物理动量守恒定律(一)
大学物理动量守恒定律（一）引言概述：大学物理中，动量守恒定律是一个重要的物理原理。
它指出在一个孤立系统中，总动量的大小和方向在时间上保持不变。
在本文中，我们将介绍大学物理中的动量守恒定律的基本概念和运用。
正文内容：1. 动量守恒定律的概念1.1 动量的定义1.2 动量守恒的表达方式1.3 动量守恒定律的基本假设1.4 动量守恒定律的起源2. 动量守恒定律的适用范围2.1 孤立系统的概念2.2 非弹性碰撞和完全弹性碰撞区别2.3 动量守恒定律在完全弹性碰撞中的应用2.4 动量守恒定律在非弹性碰撞中的应用3. 动量守恒定律的解析方法3.1 基于物体质量和速度的动量守恒定律公式3.2 动量守恒定律公式的推导过程3.3 动量守恒定律的应用示例3.4 动量守恒定律与能量守恒定律的联系4. 动量守恒定律在实际问题中的应用4.1 车辆碰撞事故中的动量守恒定律4.2 火箭发射中的动量守恒定律4.3 橄榄球比赛中的动量守恒定律4.4 高尔夫球运动中的动量守恒定律4.5 倒水过程中的动量守恒定律5. 动量守恒定律的局限性和拓展5.1 动量守恒定律在相对论中的修正5.2 多物体系统中的动量守恒定律5.3 运动领域中其他守恒定律的关系5.4 与其他物理原理的综合应用总结：动量守恒定律是大学物理中一个重要的概念，它描述了一个孤立系统中总动量不变的现象。
本文介绍了动量守恒定律的基本概念和适用范围，以及在实际问题中的应用和局限性。
理解和掌握动量守恒定律对于分析和解决物理问题具有重要意义，并为进一步研究和探索相关领域提供了基础。
大学物理上公式总结(力学)(一)
大学物理上公式总结(力学)（一）引言概述：大学物理力学是物理学的基础课程之一，它涉及了许多重要的物理量和公式。
在本文档中，将对大学物理力学部分的公式进行总结和分析。
以下将以五个大点来归类和阐述这些公式，旨在帮助读者更好地理解和应用力学知识。
正文内容：一、运动学公式1. 位移公式：位移（s）等于速度（v）乘以时间（t）。
2. 速度公式：速度（v）等于位移（s）除以时间（t）。
3. 加速度公式：加速度（a）等于速度变化量（Δv）除以时间（Δt）。
4. 平均速度公式：平均速度（v）等于总位移（Δs）除以总时间（Δt）。
5. 平均加速度公式：平均加速度（a）等于速度变化量（Δv）除以总时间（Δt）。
二、力学公式1. 牛顿第一定律：物体在无外力作用下保持静止或匀速直线运动。
2. 牛顿第二定律：物体的加速度（a）等于作用在物体上的合力（F）除以物体的质量（m）。
3. 牛顿第三定律：任何两个物体之间的相互作用力大小相等、方向相反。
4. 重力公式：物体所受的重力（F）等于物体的质量（m）乘以重力加速度（g）。
5. 弹力公式：弹性力（F）等于物体的弹性系数（k）乘以物体的弹性形变量（x）。
三、动能与势能公式1. 动能公式：物体的动能（K）等于物体质量（m）乘以速度的平方（v²）再乘以0.5。
2. 势能公式（重力场）：物体在重力场中的势能（U）等于物体质量（m）乘以重力加速度（g）乘以高度（h）。
3. 动能定理：物体的净工作（功）等于物体的动能变化量（ΔK）。
4. 势能定理：物体的净工作（功）等于物体的势能变化量（ΔU）。
5. 机械能守恒定律：封闭系统中，机械能（E）等于动能与势能之和，保持不变。
四、动量与冲量公式1. 动量公式：物体的动量（p）等于物体质量（m）乘以物体的速度（v）。
2. 冲量公式：物体所受的冲量（J）等于物体的质量（m）乘以物体的加速度（a）乘以撞击时间（Δt）。
3. 动量定理：物体受到的总冲量等于物体的动量变化量。
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F
解：A
1 2
mv32
1 2
mv12
0
所有外力的功
AF
F ds
F
dsdt dt
Fvdt v Fdt
vI 4 201 40 125.6(J )
2
20 10
0 12 3 t
弹簧k，一端固定，水平面光滑，A、B间轻绳相连。恒 力F使 m2自平衡位置由静止开始运动。则
a) A、B系统所受合外力为0时的速度
0
Fdx
1 2
mv02
即子弹到深度x=0.02m时速度还没有减为0
A
0.02
0
105
xdx
xm
0.02
2
103
dx
0
1 2
mv02
xm
0.21m
桌面光滑, m与挡板摩擦系数为μ，求m一端进另端出的过 程中A摩
解：A
2
F
1
dr
Ek
1 mv 2 2
1 2
mv
2 0
1 2
mv
2 0
(e
2
1)
ma
ma
x
A
T fr ma
a
N mg ma 0 T 3mg(1 )
B
T mg ma ma
4
fr N
[教材P45:1-18] 物体m1下落时，带动绳子从细圆柱m2的 中心细孔中加速上升。若m2相对绳子的加速度为a， 求m1、m2相对地面的加速度a1 、a2。
解： m1：以地面为参照系 m1g T m1a 1 ①
vmM 0 v0
vmM末 0
(mg
m2 g
M )SmM
1 2
mv
2 0
0
SmM
Mv02
2g(m
M)
v
m
Sm
SmM
v
m
解：m、M :
F外x 0 Px守恒，即mv0 (m M )V
A外
0 Af r
1 (m M )V 2 2
1 2
mv02
＝－fr SmM mgSmM
SM
SmM
Mv02
2g(m M )
“一对内力”的功之和等于其中一个力乘以二物体间的相对位移。
证明：m:
mgSm
1 2
mV
2
TTmmggNmaB地 fr＝mm(aaA地＝a)m(a
a)
A
a
B
非惯性系中的力学问题
牛顿运动定律只适用于惯性系。
F a
ma物地 m(a a0 ) ma ma0 — —物体相对非惯性系的加速度
aFF0—(—mma非a00— 惯 ) 性—m系a惯 相性对力惯性F系 F的 加m速a度
惯性力的引入是运动学思想与动力学思想等效性的体现。
作在用如于图质坐点标上系，中求，：质质点点做从圆原周点运到动（。0力，F2R）Fo点( x，i 力yjF)
作功多少？ [自测（上）P16]
解:
A F dr
P
o Fo ( xi yj ) (dxi dyj )
y P (0, 2R)
R
P
Fo o ( xdx ydy)
Fo
2R 0
1 2
mv02 （1）
M : mgSM
1 MV 2 (2) 2
（1）＋（2）得：
mgSmM
1 (m M )V 2 2
1 2
mv02
Af r
方法四：非惯性系中功能关系 fr
以m为研究对象， 以M为参照系（非惯性系）
M mg
a mg
M
F ma m2 g
M
m
mg
v0
m
fr
Sm
SM
M SmM
b) 此过程绳中拉力T对m1做功
，F对m2做功
解：a）A、B、弹
AT TB F
m1
m2
AF
A非 内
1 2
m1
m2 v2
1 2
kx2
0
v
F k m1 m2
合外力为0：F = kx
x F k
A外＝AF
Fx
F2 k
A、B位移相同 AT 0 即：A非保内＝0
b）
A、弹 ：AT
1 2
m1v
2
1 kx2 2
Sm SmM
v
m
SmM
Sm
SM
Mv02
2g(m M )
SM
{m}: fr mg mam am g
Sm
v0t
1 2
amt 2
v v0 amt
{M }:
fr
mg
MaM
aM
mg
M
SM
1 2
aM
t
2
v aM t
方法二：非惯性系力学定律
fr
以m为研究对象，
以M为参照系（非惯性系）
自测题（上）P24计算题1
图示系统置于以a=g/2的加速度上升的升降机内，A、B两物体
质量相等，均为m。A是放在水平桌面上的，绳子不伸长，它和
定滑轮的质量不计。A与桌面间摩托车擦系数为μ。若物体A在
桌面上加速滑动，则绳中张力多大？
受力分析：
y
fr
N
A
T
mg a
T
以升降机为参照系
B a
mg
a A机＝a B机＝a
A m
解：选系OA非惯性
沿OA方向分 解
l
F惯 sin mg cos 0 ml 2 sin2 mg cos O
F惯＝man m(l sin)2
z
向杆A端发生一位移 —向A端加速
m[(l l ) 2 ]sin2 mg cos
向杆O端发生一位移Δl —向O端加速
N A FF惯 l mg
m2：以绳子(a1 )为参照系
加惯性力：F * m2a1 m2 g m2a1 T m2a ②
T a1 T
a1 m1
m2
由①、②得：T , a 1 ( aa22
a
a1
a a1
)
m1g
a
m2a1 m2g
如图所示，光滑OA绕Oz匀,为常数.
z
m环与杆此处相对静止. 以杆为参考系 求此时；讨论环是否稳定平衡？
ydy
2Fo R2
o
x
m=0.02kg子弹以200m/s的速率，打入一固定的墙壁内。 设子弹所受阻力与其进入墙壁的深度x有如下关系曲线， 则子弹能进入墙壁的深度是多少？
解：
A
xm 0
Fdx
0
1 2
mv02
xm
?
F/N
2000
x: 0~0.02m F = -kx = -105x
o 0.02
x/m
0.02
自测题（上）P24计算题1
图示系统置于以a=g/2的加速度上升的升降机内，A、B两物体
质量相等，均为m。A是放在水平桌面上的，绳子不伸长，它和
定滑轮的质量不计。A与桌面间摩托车擦系数为μ。若物体A在
桌面上加速滑动，则绳中张力多大？
受力分析：
fr
Na
A
T
mg a
a
T
B a
mg
a A机＝a B机＝a
牛顿运动定律：
0
AT
F 2 2m1 m2 2km1 m2
AF
Fx
F2 k
例：质量为m的物体放在质量为M的板上，它们静止在光滑的水平
面上，物与板的摩擦系数为μ，若给物体一个初速 v0，
求：物体m在板上滑行的最大距离。
v0
分析：当m、M具有相同速度时 fr m
fr
M
m在M上滑行了最大距离。 方法一：牛顿运动定律＋运动学
O
m (l l)2 sin2 < mg cos
守 恒定 律
三个基本物理量：
机械能（Ek
Ep
)、 动量（mv)、 角动量（L
r
mv)
三个定理：
A外＝
F
ds
Ek
I
F
dt
P M
dt
L
三条守恒定理的条件：
A外＋A非保守＝0机械能守恒 F外＝0动量守恒 M 外＝0角动量守恒
f N
N mv 2 R
f m dv dt
v 2 dv dv ds dv ds
R dt dt ds dt Rd
v dv v0 v
d
0
v v 0e
一物体在多个外力作用下作匀速直线运动，速度v=4m/s,已知
其中一力F的方向恒与运动方向一致，大小随时间的变化如图为半
个椭圆。求：F在1s到3s间作的功。
vmM 0 v0
vmM末 0
amM
am地
(aM地 )
g
mg
M
[am地 amM aM地 ]
v0
m
fr
Sm
SM
SmM
vmM
0t
1 2
amM
t
2
vmM末 vmM 0 amM t 0
Mv02
2g(m M )
M SmM
v
m
M mg
aM地
mg
M
am地＝g m
Байду номын сангаас0
fr m
fr
M
方法三：动量守恒＋功能原理