大学物理 守恒定律(一)

Sm SmM
v
m
SmM
Sm
SM
Mv02
2g(m M )
SM
{m}: fr mg mam am g
Sm
v0t
1 2
amt 2
v v0 amt
{M }:
fr
mg
MaM
aM
mg
M
SM
1 2
aM
t
2
v aM t
方法二：非惯性系力学定律
fr
以m为研究对象，
以M为参照系（非惯性系）
ma
ma
x
A
T fr ma
a
N mg ma 0 T 3mg(1 )
B
T mg ma ma
4
fr N
[教材P45:1-18] 物体m1下落时，带动绳子从细圆柱m2的 中心细孔中加速上升。若m2相对绳子的加速度为a， 求m1、m2相对地面的加速度a1 、a2。
解： m1：以地面为参照系 m1g T m1a 1 ①
O
m (l l)2 sin2 < mg cos
守 恒定 律
三个基本物理量：
机械能（Ek
Ep
)、 动量（mv)、 角动量（L
r
mv)
三个定理：
A外＝
F
ds
Ek
I
F
dt
P M
dt
L
三条守恒定理的条件：
A外＋A非保守＝0机械能守恒 F外＝0动量守恒 M 外＝0角动量守恒
Sm
SmM
v
m
解：m、M :
F外x 0 Px守恒，即mv0 (m M )V
A外
0 Af r
1 (m M )V 2 2
1 2
mv02
＝－fr SmM mgSmM
SM
SmM
Mv02
2g(m M )
“一对内力”的功之和等于其中一个力乘以二物体间的相对位移。
证明：m:
mgSm
1 2
mV
2
vmM 0 v0
vmM末 0
(mg
m2 g
M )SmM
1 2
mv
2 0
0
SmM
Mv02
2g(m
M)
v
m
1 2
mv02 （1）
M : mgSM
1 MV 2 (2) 2
（1）＋（2）得：
mgSmM
1 (m M )V 2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 2
mv02
Af r
方法四：非惯性系中功能关系 fr
以m为研究对象， 以M为参照系（非惯性系）
M mg
a mg
M
F ma m2 g
M
m
mg
v0
m
fr
Sm
SM
M SmM
vmM 0 v0
vmM末 0
amM
am地
(aM地 )
g
mg
M
[am地 amM aM地 ]
v0
m
fr
Sm
SM
SmM
vmM
0t
1 2
amM
t
2
vmM末 vmM 0 amM t 0
Mv02
2g(m M )
M SmM
v
m
M mg
aM地
mg
M
am地＝g m
v0
fr m
fr
M
方法三：动量守恒＋功能原理
ydy
2Fo R2
o
x
m=0.02kg子弹以200m/s的速率，打入一固定的墙壁内。 设子弹所受阻力与其进入墙壁的深度x有如下关系曲线， 则子弹能进入墙壁的深度是多少？
解：
A
xm 0
Fdx
0
1 2
mv02
xm
?
F/N
2000
x: 0~0.02m F = -kx = -105x
o 0.02
x/m
0.02
自测题（上）P24计算题1
图示系统置于以a=g/2的加速度上升的升降机内，A、B两物体
质量相等，均为m。A是放在水平桌面上的，绳子不伸长，它和
定滑轮的质量不计。A与桌面间摩托车擦系数为μ。若物体A在
桌面上加速滑动，则绳中张力多大？
受力分析：
y
fr
N
A
T
mg a
T
以升降机为参照系
B a
mg
a A机＝a B机＝a
F
解：A
1 2
mv32
1 2
mv12
0
所有外力的功
AF
F ds
F
dsdt dt
Fvdt v Fdt
vI 4 201 40 125.6(J )
2
20 10
0 12 3 t
弹簧k，一端固定，水平面光滑，A、B间轻绳相连。恒 力F使 m2自平衡位置由静止开始运动。则
a) A、B系统所受合外力为0时的速度
0
AT
F 2 2m1 m2 2km1 m2
AF
Fx
F2 k
例：质量为m的物体放在质量为M的板上，它们静止在光滑的水平
面上，物与板的摩擦系数为μ，若给物体一个初速 v0，
求：物体m在板上滑行的最大距离。
v0
分析：当m、M具有相同速度时 fr m
fr
M
m在M上滑行了最大距离。 方法一：牛顿运动定律＋运动学
0
Fdx
1 2
mv02
即子弹到深度x=0.02m时速度还没有减为0
A
0.02
0
105
xdx
xm
0.02
2
103
dx
0
1 2
mv02
xm
0.21m
桌面光滑, m与挡板摩擦系数为μ，求m一端进另端出的过 程中A摩
解：A
2
F
1
dr
Ek
1 mv 2 2
1 2
mv
2 0
1 2
mv
2 0
(e
2
1)
作在用如于图质坐点标上系，中求，：质质点点做从圆原周点运到动（。0力，F2R）Fo点( x，i 力yjF)
作功多少？ [自测（上）P16]
解:
A F dr
P
o Fo ( xi yj ) (dxi dyj )
y P (0, 2R)
R
P
Fo o ( xdx ydy)
Fo
2R 0
b) 此过程绳中拉力T对m1做功
，F对m2做功
解：a）A、B、弹
AT TB F
m1
m2
AF
A非 内
1 2
m1
m2 v2
1 2
kx2
0
v
F k m1 m2
合外力为0：F = kx
x F k
A外＝AF
Fx
F2 k
A、B位移相同 AT 0 即：A非保内＝0
b）
A、弹 ：AT
1 2
m1v
2
1 kx2 2
A m
解：选系OA非惯性
沿OA方向分 解
l
F惯 sin mg cos 0 ml 2 sin2 mg cos O
F惯＝man m(l sin)2
z
向杆A端发生一位移 —向A端加速
m[(l l ) 2 ]sin2 mg cos
向杆O端发生一位移Δl —向O端加速
N A FF惯 l mg
自测题（上）P24计算题1
图示系统置于以a=g/2的加速度上升的升降机内，A、B两物体
质量相等，均为m。A是放在水平桌面上的，绳子不伸长，它和
定滑轮的质量不计。A与桌面间摩托车擦系数为μ。若物体A在
桌面上加速滑动，则绳中张力多大？
受力分析：
fr
Na
A
T
mg a
a
T
B a
mg
a A机＝a B机＝a
牛顿运动定律：
f N
N mv 2 R
f m dv dt
v 2 dv dv ds dv ds
R dt dt ds dt Rd
v dv v0 v
d
0
v v 0e
一物体在多个外力作用下作匀速直线运动，速度v=4m/s,已知
其中一力F的方向恒与运动方向一致，大小随时间的变化如图为半
个椭圆。求：F在1s到3s间作的功。
m2：以绳子(a1 )为参照系
加惯性力：F * m2a1 m2 g m2a1 T m2a ②
T a1 T
a1 m1
m2
由①、②得：T , a 1 ( aa22
a
a1
a a1
)
m1g
a
m2a1 m2g
如图所示，光滑OA绕Oz匀,为常数.
z
m环与杆此处相对静止. 以杆为参考系 求此时；讨论环是否稳定平衡？
TTmmggNmaB地 fr＝mm(aaA地＝a)m(a
a)
A
a
B
非惯性系中的力学问题
牛顿运动定律只适用于惯性系。
F a
ma物地 m(a a0 ) ma ma0 — —物体相对非惯性系的加速度
aFF0—(—mma非a00— 惯 ) 性—m系a惯 相性对力惯性F系 F的 加m速a度
惯性力的引入是运动学思想与动力学思想等效性的体现。