中考数学压轴题：探究角度问题

⎪⎪

⎩⎩探究角度问题

1．如图，抛物线经过原点O(0，0)，与x轴交于点A(3，0)，与直线l交于点B(2，－2)．

(1)求抛物线的解析式；

第1题图

(2)点C是x轴正半轴上一动点，过点C作y轴的平行线交直线l于点E，交抛物线于点F，当EF＝OE时，请求出点C的坐标；

(3)点D为抛物线的顶点，连接OD，在抛物线上是否存在点P，使得∠BOD＝∠AOP？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

解：(1)由题意可设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx，将A(3，0)，B(2，－2)代入y＝ax2

⎧9a＋3b＝0⎧a＝1

＋bx中，得⎨，解得⎨，

⎪4a＋2b＝－2⎪b＝－3

∴抛物线的解析式为y＝x2－3x；

(2)方法一：设直线l的解析式为y＝kx，

将B(2，－2)代入y＝kx中，得－2＝2k，

解得k＝－1，

∴直线l的解析式为y＝－x，

设点C的坐标为(n，0)，则点E的坐标为(n，－n)，点F的坐标为(n，n2－3n)．

①当点C在点A的左侧时，如解图①所示，E F＝－n－(n2－3n)＝－n2＋2n，OE＝n2＋（－n）2＝2n，

—1—

∵EF＝OE，

∴－n2＋2n＝2n，

解得n1＝0(C，E，F三点均与原点重合，舍去)，n2＝2－2，

∴点C的坐标为(2－2，0)；

②当点C在点A的右侧时，如解图②所示，EF＝n2－3n－(－n)＝n2－2n，OE＝n2＋（－n）2＝2n，

∵EF＝OE，

∴n2－2n＝2n，

解得n1＝0(C，E，F均与原点重合，舍去)，n2＝2＋2，

∴点C的坐标为(2＋2，0)；

方法二：设直线l的解析式为y＝kx，将点B(2，－2)代入y＝kx中，得－2＝2k，解得k＝－1，

∴直线l的解析式为y＝－x，

∴∠AOB＝45°，

∵CF∥y轴，

∴△OCE为等腰直角三角形，

∴OE＝2CE，

∵EF＝OE，

∴EF＝2CE.

设点C的坐标为(m，0)，则点E的坐标为(m，

－m)，点F的坐标为(m，m2－3m)，

当点C在点A左侧时，如解图①所示，EF＝－m－(m2－3m)＝－m2＋2m，CE＝m，由EF＝2CE得－m2＋2m＝2m，

解得m1＝0(C，E，F点均与原点重合，舍去)，m2＝2－2，

∴C点的坐标为(2－2，0)；

—2—

(3)存在点P使得∠BOD＝∠AOP，点P的坐标为(，－)或(，)．

第1题解图①

当点C在A点右侧时，如解图②所示，EF＝m2－3m－(－m)＝m2－2m，CE＝m，由EF＝2CE得m2－2m＝2m，

解得m3＝0(C，E，F三点均与原点重合，舍去)，m4＝2＋2，

∴C点的坐标为(2＋2，0)．

综上所述，当EF＝OE时，点C的坐标为(2－2，0)或(2＋2，0)；

第1题解图②

14141616

525525 2．如图，已知点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，1)在抛物线y＝ax2＋bx＋c上．

第2题图

(1)求抛物线解析式；

—3—

解：(1)抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋1；

(2)由B(3，0)，C(0，1)可得直线BC解析式为y＝－x＋1，如解图①，过点P作直线

设P(x，－x2＋x＋1)，易得D(x，－x＋1)，

∴PD＝－x2＋x，

(2)在直线BC上方的抛物线上求一点△P，使PBC面积为1；

(3)在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC＝∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．

12

33

1

3

PD⊥x轴交直线BC于点D.连接PC，PB，

第2题解图①

121

333

1

3

113

∴△S PBC＝△S PDC＋S

△PDB

＝2PD(x B－x C)＝－2x2＋2x，

13

又∵△S PBC＝1，∴－2x2＋2x＝1，∴x2－3x＋2＝0，

4

解得x2＝1，x2＝2，∴P1(1，3)，P2(2，1)；

(3)存在，

理由如下：如解图，∵A(－1，0)，C(0，1)，

∴OC＝OA＝1，∴∠BAC＝45°，

∵∠BAC＝∠BQC，∴∠BQC＝45°，

∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点．

设△ABC外接圆心为M，

—4—

∵线段AC的垂直平分线为直线y＝－x，线段AB的垂直平分线为直线x＝1，∴点M为直线y＝－x与直线x＝1的交点，即M(1，－1)．

∴∠BMC＝2∠BQC＝90°，

又∵MQ＝MB＝5，∴y Q＝－(1＋5)＝－1－5，

∵点Q在直线x＝1上，

＝1，∴Q(1，－1－5)．

∴x

Q

第2题解图②

—5—