材料力学第三章扭转课件

Me
截面法
x
m Me
x T
简便算法：扭矩等于截面一侧所有外力偶矩的代数和。
26
五 薄壁圆筒的扭转 1 实验结论 ① 无轴向正应力 ② 无径向正应力 ③ 切应力环向均布 ④ 切应力径向均布
t= T 2p r02 t
纯剪切应力状态
t t
27
g
平衡吗？
28
二 切应力互等（双生）定理
å Mz=0
t × tdy × dx = t ¢ × tdx × dy
1
第三章 扭 转
§3–1 扭转的概念和实例 §3–2 外力偶矩 扭矩及扭矩图 §3–3 薄壁圆筒的扭转 纯剪切 §3–4 等直圆杆扭转时的应力和变形 §3–5 等直圆杆扭转时的强度和刚度计算 §3–7 非圆截面杆扭转的概念
2
§3–1 扭转的概念和实例
一 工程实例
A: 攻丝手柄 B （联轴器）轴
P P
围。关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、
（C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。
2d d
T
G2
O G1
(A)
(B)
(C)
(D)
圆轴扭转横截面上的应力 式中：T—横截面上的扭矩，通过外力偶矩可求。
r —该点到圆心的距离。 Ip—截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
I p = ò A r 2dA 单位：mm4，m4。
t max
=
T Wt
单位：mm3或m3。
实心圆截面： 空心圆截面：
Wt = I p R = p D3 16 » 0.2D3 Wt = I p R = p D3 (1- a 4 ) 16 » 0.2D3 (1-4a4 4 )
四 圆轴扭转时斜截面的应力
TA T
e
h
a dA
n
t
sa
dA cos a
a
x
ta
a = 00
s 00 = 0
t 00 = t max = t
a = -450 a = 450
s -450 = s max = t
t -450 = 0 s 450 = s min = -t
t 450 = 0
τ
τ
σmin
τ
τ
σmax
纯剪状态
思考 由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模
量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如图所示。圆轴 受扭时，里、外层之间无相对滑动，且均处于线弹性范
T3 = m4 = 6.37 kN × m
11
③扭矩图
T = 9.56 kN × m max
BC段为危险截面段。
m2
m3
m1
m4
n
A
B
C
D
T
–
4.78
–
6.37 Å
x
9.56
12
§3–3 纯剪切—薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒：壁厚
t
£
1 10
r0
（r0：为平均半径）
一 实验：
1 实验前： ①绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。
二 受力特点 构件两端受到两个在垂直于轴线 平面内的力偶作用，两力偶大小 相等，转向相反。
3
三 变形特点 各横截面绕轴线发生相对转动 即：任意两截面间有相对的角位移 — 扭转角
扭转角（jAB）：B截面绕轴线相对A截面转动的角位移。 切应变（g）：直角的改变量。
jAB
A
O B
A
g
O
B
M
M
4
四轴 工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆等。
3 扭矩的符号规定
Me
右手螺旋规则：与外法线方向一致为正
4
简便算法 扭矩等于截面一侧所有外力偶矩的代数和M。e
m Me
x T
7
I
I
扭
T
T
矩
符
I
T+
I
号
规
I
I
定
T
T
T-
I
I
三 扭矩图
表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律
意 1 变化规律直观； 义 2 |T|max值及其截面位置
强度计算（危险截面）。
故
t =t¢
t´
a
gb
t dy
t
t´
c
t
z
dx d
在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，且 数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向 或共同背离该交线。
单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应 力状态称为纯剪切应力状态。
29
试根据切应力互等定理，判断图中所示的各单元体上的
表
里
34
等直圆杆扭转实验观察： 1. 平截面假设； 2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍平行。
35
1 变形几何关系
g » tg g = aa ' = R × dj
dx
dx
常数
gr
=
r
dj dx
距圆心为 r 任一点处的gr与该点到圆心的距离r成正比
36
2 应力应变关系
胡克定律：
t = G×g
单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应 力状态称为纯剪切应力状态。
19
试根据切应力互等定理，判断图中所示的各单元体上的
切应力是否正确。
t
t
t
t
t
t
对非纯剪切应t 力状态仍然适用！！t
t
t
10kN
10kN
20kN 50kN
t 30kN
50kN
20kN
30kN 30kN
三 剪切胡克定律 1 j 与 g 的关系
传动轴
5
§3–2 外力偶矩 扭矩及扭矩图
一 传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系
Me
=
9549
P n
(N × m)
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
6
二 扭矩
1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。
2 截面法求扭矩
m
SM x = 0 T = M
注：1）两个截面的相对扭转角
2）l 段内T、 G、 Ip 均为常数 分段计算
å ( ) f总 = i
Tili GIP i
40
三 公式讨论 1 仅适用于各向同性、线弹性材料，小变形等直圆杆。
2 式中：T—横截面上的扭矩，通过外力偶矩可求。
r —该点到圆心的距离。
Ip—截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
代入物理关系式
tr
=
T ×r Ip
扭转应力公式
38
二 扭转时的变形
1 单位长度扭转角
j'= dj = T dx GI p
或
(rad/m)
j' = dj = T × 180 (°/m) dx GI p p
39
2 扭转角
ò f = ò df = l T dx
0 GI p
抗扭刚度
= Tl GI p
(若 T、 G、 I p 值 不Biblioteka Baidu变 ）
A
g
O
B
M
M
24
三 传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系
Me
=
9549
P n
(N × m)
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
25
四 扭转时的内力
m
1 扭矩：横截面上的内力偶矩，“T”。
2 符号规定：
Me
右手螺旋规则：与外法线方向一致为正
3 扭矩计算
f
dAsina t x
e
τ
τ
A
τ
sa dåA +F(htd=A0scoasa=)s-inta s+i(ntd2Aasina )cosa = 0
τf
ta
å
dA -
t Fx = 0
(tdA coas
a=)ctosaco+ s(td2Aasin
a
)sin a
=
0
sa = -t sin 2a
讨论:
ta = t cos 2a
P2 n
=
9.55
×
150 300
= 4.78 (kN
× m)
m4
= 9.55
P4 n
=
9.55
×
200 300
= 6.37 (kN
× m)
10
②求扭矩
T1 = - m2 = -4.78 kN × m
m2 1 m3 2 m1 3 m4
x
n
A 1B 2C 3 D
T2 = - m2 - m3 = -9.56 kN × m
I p = ò A r 2dA 单位：mm4，m4。
tr
=
T ×r
Ip
dj
dx
=
T GI p
41
3 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
只是Ip值不同。
a. 实心圆截面：
Ip
=
pD 4 32
»
0.1D 4
b. 空心圆截面：
d
O
D
Ip
=
p 32
(D4
-
d 4)
= pD 4 (1 - a 4 ) » 0.1D 4 (1 - a 4 ) 32
1 单位长度扭转角
j'= dj = T dx GI p
或
(rad/m)
j' = dj = T × 180 (°/m) dx GI p p
切应力是否正确。
t
t
t
t
t
t
对非纯剪切应t 力状态仍然适用！！t
t
t
10MPa
10MPa
20MPa 50MPa
t 30MPa
50MPa
20MPa
30MPa 30MPa
三 剪切胡克定律 1 j 与 g 的关系
g ×l = f × R
g
=f
×
R l
2 剪切胡克定律 当τ ≤τp ，切应力与切应变成正比关系
ag
t dy
t´ c
z
dx
t´ b
t
dt
3 剪切胡克定律 当τ ≤τp ，切应力与切应变成正比关系
t = G ×g
t =t¢
剪切弹性模量
23
一 受力特点 构件两端受到两个在垂直于轴线平面内的力偶作用，两力 偶大小相等，转向相反。
二 变形特点 各横截面绕轴线发生相对转动
扭切转应角变（（jg）AB：）：直B角截的面改绕变轴量线。相对A截面转动的角位jA移B 。
42
4 应力分布
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。
43
5 最大切应力：
由
tr
=
T ×r
Ip
知：当
r =R= D 2
,
t r ® t max
\
t max
=
T×D 2
Ip
=
T Ip
D 2
=T Wt
(令 Wt = I p
D) 2
扭转截面系数（扭转截面模量）
t t
15
5 薄壁圆筒切应力t
ò A t × dA × r0 = T
t
\ t × r0 × ò AdA = t × r0 × 2p r0 × t = T
t
\
t
=
T 2p r02 t
=
T 2 A0
t
A0：平均半径所作圆的面积
16
Me
n
Me
n
T
tdA
n
n
ò
t
A
dA
·r
=
T
= r0
= T =T 2pr02d 2 A0d
T
Å –
x
9
[例1] 已知一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW， 从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试画扭矩图。
解：①计算外力偶矩
m2
m3
m1
m4
m1
=
9.55
P1 n
=
9.55
×
500 300
= 15.9(kN × m)
A
n
B
C
D
m2
= m3 = 9.55
g ×L = j ×R
g =j×RL
2 剪切胡克定律 当τ ≤τp ，切应力与切应变成正比关系
t = G ×g
剪切弹性模量 Pa
l
tT
jg
21
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个 常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系
G= E 2(1 + m )
22
2 切应力互等（双生）定理 在单元体相互垂直的两个平面 上，剪应力必成对出现，且数 值相等，其方向则共同指向或 共同背离该交线。
13
2 实验后：
①圆周线不变；
j
②纵向线变成斜直线。
3 结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改
变，只是绕轴线作了相对转动。
g
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 g 。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
14
4 抽象假设 ① 圆周线无平移，无轴向变形，假设无轴向正应力 ② 周向线仍为圆形，假设无径向正应力 ③ 纵向线倾斜角度相同，假设各截面都有切应力，环向均布 ④ 壁很薄，切应力径向也是均布的
T Wt
知：当
r =R= D 2
,
t r ® t max
扭转截面系数（扭转截面模量） 单位：mm3或m3。
实心圆截面： 空心圆截面：
Wt = I p R = p D3 16 » 0.2D3 Wt = I p R = p D3 (1- a 4 ) 16 » 0.2D3 (1-a 4 )
51
扭转时的变形
t = G ×g
剪切弹性模量 Pa
l
tT
jg
31
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个 常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系
G= E 2(1 + m )
32
§3–4 等直圆杆扭转时的应力和变形
一 等直圆杆横截面应力
①变形几何方面 ②物理关系方面 ③静力学方面
33
无数薄壁圆筒
代入上式得：
tr
= G×gr
=G×r
dj dx
=
r ×G
dj dx
tr
=
r
G
dj dx
？
37
3 静力平衡关系
T = ò A t rdA × r
=
òA
Gr 2
dj dx
dA
=
G
dj dx
òA
r
2dA
T
=
GI p
dj dx
t r dA
r O
令 I p = ò A r 2dA
dj dx
=
T GI p
截面性质 扭转变形公式
tr
=
T ×r
Ip
48
a. 实心圆截面：
Ip
=
pD 4 32
»
0.1D 4
b. 空心圆截面：
d
O
Ip
=
p 32
(D 4
-
d 4)
= pD 4 (1 - a 4 ) » 0.1D 4 (1 - a 4 ) 32
D
49
应力分布
（实心截面）
（空心截面）
50
最大切应力：
由
tr
=
T ×r
Ip
t max
=
ò dA A
=
A = 2pr0d
r0
17
g
平衡吗？
18
二 切应力互等（双生）定理
å Mz=0
t × tdy × dx = t ¢ × tdx × dy
故
t =t¢
t´
a
gb
t dy
t
t´
c
t
z
dx d
在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，且 数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向 或共同背离该交线。