第二课时 直线方程 课时练习

2.斜率公式
(1)若直线 l 的倾斜角α≠90°，则斜率 k＝tan α. (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上，且 x1≠x2，则 l 的斜率 k＝y2－y1.
x2－x1 3.直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式 斜截式
y－y1＝k(x－x1) y＝kx＋b
不含直线 x＝x1 不含垂直于 x 轴的直线
；
例 2 设 m∈R，过定点 A 的动直线 x＋my＝0 和过定点 B 的动直线 mx－y－m＋3＝0 交于点
P(x，y)，则 PA·PB 的最大值是
.
例 3 已知直线 l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当 0＜a＜2 时，直线 l1，l2 与两坐 标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数 a 的值.
.
6.一条直线经过点 A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 1，则此直线的方程
为
.
7.已知 A(3,0)，B(0,4)，直线 AB 上一动点 P(x，y)，则 xy 的最大值是
.
8.已知直线 y＝kx＋2k＋1 与直线 y＝－1x＋2 的交点位于第一象限，则实数 k 的取值范围是 2
________.
已知直线 l：2x－3y＋1＝0，点 A(－1，－2)，则点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标为 ____________. （3）直线关于直线的对称问题 已知直线 l：2x－3y＋1＝0，求直线 m：3x－2y－6＝0 关于直线 l 的对称直线 m′的方
程
.
14.若圆 x 32 y 52 r2 上有且只有两个点到直线 4x 3y 2 0 的距离等于1，则
半径 r 的取值范围是
；
线方程是
；
题型三 与基本不等式相结合求最值问题 例 1 已知直线 l 过点 P(3,2)，且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两
点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线 l 的方程.
题型四 由直线方程解决参数问题
例 1 已知直线 l1 : k 3x 4 k y 1 0 与 l2 : 2k 3x 2 y 3 0 平行，则 k
例 4 已知 ABC 的三个顶点分别为 A0,4 ，B 2,6，C 8,0，D，E 分别为边 AC, AB
的中点.
（1）求边 AB 所在直线的方程； （2）求 DE 所在直线的方程； （3）求边 AC 上的高所在直线的方程；
例 5 经过两条直线 2x 3y 3 0 和 x y 2 0 的交点且与直线 3x y 1 0 平行的直
9.在等腰直角三角形 ABC 中，AB＝AC＝4，点 P 是边 AB 上异于 A，B 的一
点，光线从点 P 出发，经 BC，CA 发射后又回到原点 P(如图).若光线 QR 经
过△ABC 的重心，则 AP＝________.
10.(1)已知点 A 3,5， B2,15 ，直线 l : 3x 4 y 4 0 ，在 l 上求一点 P ， PA PB 的
3.过点 P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为
.
4.若过点 A(m,4)与点 B(1，m)的直线与直线 x－2y＋4＝0 平行，则 m 的值为 5.直线 l 经过 A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，则直线 l 的倾斜角的取值范围为
. .Biblioteka Baidu
三、题型分类
题型一 直线的倾斜角与斜率
例1
(1)直线
第二课时 直线方程
一、知识点 1.直线的倾斜角
(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线，把 x 轴所在的直线绕着交点按 逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.当直线 l 与 x 轴平
行或重合时，规定它的倾斜角为 0°. (2)范围：直线 l 倾斜角的范围是[0°，180°).
12.(1)如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线 l1：x＋2y－1＝0，l2： x＋2y－3＝0 所截的线段的中点在直线 l3：x－y－1＝0 上，求其方程. （2）正方形的中心为点 C(－1,0)，一条边所在的直线方程是 x＋3y－5 ＝0，求其他三边所在直线的方程.
13.（1）点关于点中心对称 过点 P(0,1)作直线 l，使它被直线 l1：2x＋y－8＝0 和 l2：x－3y＋10＝0 截得的线段被点 P 平 分，则直线 l 的方程为________________. （2）点关于直线对称
2xcos
α－y－3＝0
6
,
3
的倾斜角的取值范围是
.
(2)直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)，B(0， 3)为端点的线段有公共点，则直线 l 斜率的取
值范围为
.
变式训练 1.若将题(2)中 P(1,0)改为 P(－1,0)，其他条件不变，求直线 l 斜率的取值范围. 2.将题(2)中的 B 点坐标改为 B(2，－1)，其他条件不变，求直线 l 倾斜角的范围.
例 2 求适合下列条件的直线方程： (1)经过点 P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等； (2)经过点 A(－1，－3)，倾斜角等于直线 y＝3x 的倾斜角的 2 倍.
例 3 在 ABC 中，若点 A2,1 ，又 ACB 的角平分线所在直线的方程为 x 0 ，ABC
的角平分线所在的直线方程为 y x ，求边 AB 所在直线的方程.
例 2 (1)直线 xcos α＋ 3y＋2＝0 的倾斜角的范围是
.
(2)已知实数 x，y 满足 2x＋y＝8，当 2≤x≤3 时，则y的最大值为
；最小值为
.
x
题型二 求直线方程 例 1 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为 10；
10 (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为 12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为 5.
d＝|Ax0＋By0＋C|. A2＋B2
(3)两条平行线 Ax＋By＋C1＝0 与 Ax＋By＋C2＝0(其中 C1≠C2)间的距离 d＝ |C1－C2| . A2＋B2
二、考点自测
1.直线 3x－y＋a＝0 的倾斜角为
.
2.如果 A·C<0，且 B·C<0，那么直线 Ax＋By＋C＝0 不通过第
象限.
①两条直线平行：
(ⅰ)对于两条不重合的直线 l1、l2，若其斜率分别为 k1、k2，则有 l1∥l2⇔k1＝k2 (k1，k2 均存 在).
(ⅱ)当直线 l1、l2 不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. ②两条直线垂直：
(ⅰ)如果两条直线 l1、l2 的斜率存在，设为 k1、k2，则有 l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 (k1，k2 均存在). (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为 0 时，l1⊥l2. (2)两条直线的交点
.
3.若直线
l
的斜率为
k，倾斜角为α，而
6
,
4
2 3
,
，则
k
的取
值范围是
.
4.已知直线 PQ 的斜率为－ 3，将直线绕点 P 顺时针旋转 60°所得的直线的斜率为
.
5.若 A(m，－m－3)，B(2，m－1))，C(－1,4)，直线 AC 的斜率等于直线 BC 的斜率的三倍，
则实数 m 的值为
值最小，并求最小值.
(2) 在直线 l : 2x y 4 0 上有一点 P ，它与点 A4,1 ，B3,4的距离之差最大，求点 P
的坐标.
11.若过点 P0,1 的直线 l 夹在 m : x 3y 10 0, n : 2x y 8 0 间的线段 MN 被点 P 二
等分，求直线 l 的方程；
直 线 l1 ： A1x ＋ B1y ＋ C1 ＝ 0 ， l2 ： A2x ＋ B2y ＋ C2 ＝ 0 ， 则 l1 与 l2 的 交 点 坐 标 就 是 方 程 组 A1x＋B1y＋C1＝0，
的解. A2x＋B2y＋C2＝0 5.几种距离
(1)两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 P1P2＝ x2－x12＋y2－y12. (2)点 P0(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离
两点式 截距式
y－y1 ＝ x－x1 y2－y1 x2－x1
x＋y＝1 ab
不含直线 x＝x1 (x1≠x2)和直线 y＝ y1 (y1≠y2) 不含垂直于坐标轴和过原点的 直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A，B 不全为 0) 平面直角坐标系内的直线都适用
4.两条直线的位置关系
(1)两条直线平行与垂直
例 4 设直线 l 的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0 (a∈R). (1)若 l 在两坐标轴上截距相等，求 l 的方程； (2)若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围.
四 小试牛刀 1.如图中的直线 l1，l2，l3 的斜率分别为 k1，k2，k3，则 k1，k2，k3 的大小关
系为
.
2.斜率为 2 的直线经过(3,5)，(a,7)，(－1，b)三点，则 a＋b＝