等差数列前n项和最值问题的快速解法

★等差数列前n 项和最值问题的快速解法

等差数列前n 项和公式是2211(1)222n n n d d S na d n a n An Bn -⎛

⎫=+

=+-=+ ⎪⎝

⎭，记住抛物线对称轴方程1112222

d

a a n d d -

=-

=-⨯.最值一定在离对称轴最近的整数中取到.图像是过原点的抛物线上的一些离散点，由于二次函数图像的对称性，一旦给出

关系式m n S S =，则马上知道抛物线的对称轴方程为02

m n

n +=

，即两足标和的一半！关于n S 的最值问题可以转化成二次函数求解。其实，它还有一个零点式方程，

★设抛物线顶点的横坐标为0x ，则抛物线的两个零点为0和02x ，则可设

()02n S pn n x =- ■

（图像

中x 轴对应n 轴，y 轴对应n S 轴，等差n S 最值问题要立刻想到这2个图像！） 例1 等差数列}{n a 中，251=a ，917S S =，问此数列前多少项和最大？并

求此最大值。

速解：

917S S =⇒抛物线对称轴方程为179132

n +==，则可设()26n S pn n =-，

由()111126251S a p p ==⨯⨯-=⇒=-

13n ∴=时，()()13max 1131326169n S S ==-⨯⨯-=

例2 在等差数列}{n a 中,已知201

=a ,前n 项和为n S ,且1510S S =,求当n 取

何值时, n S 有最大值,并求它的最大值。 解：

15

10S S =⇒抛物线对称轴方程为1015

12.52

n +=

=，则可设

()25n S pn n =-

由()1151125206

S a p p ==⨯⨯-=⇒=-，则()5256n

S n n =-- 所以 n=12或13时，()()12

max 5

1212251306

n S S ==-⨯⨯-=

例3 等差数列}{n a 中，01

解 ∵129S S =，∴n S 的图像所在的抛物线的对称轴为2

21

2129=+=

n ，又*n N ∈ ,01

变式：等差数列}{n a 中，10a >，310S S =，该数列前多少项的和最大？ 解：310S S =⇒抛物线的对称轴为310

6.52

n +=

=，又*n N ∈，所以n=6 or 7

例4 设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知3121312,0,0a S S =>< （1） 求公差d 的取值范围

（2） 指出1212,,...,S S S 中哪一个值最大,并说明理由. 解：（1）31112212122a a d a d =⇒+=⇒=-

121121124

012027S a d d ⨯>⇒+

>⇒>- 13113112

0123032S a d d ⨯<⇒+<⇒<-

d ∴的取值范围是24,37⎛⎫

-- ⎪⎝⎭

（2） 由（1）知d<0,抛物线开口向下，设抛物线顶点的横坐标为0x ，则抛物线

的两个零点为0 和 02x ，因12130,0S S ><，则2()()0012,136,6.5x x ∈⇒∈，故6S 的值最大.

例5设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且4117,k S S S S ==，则k= 8 解：抛物线对称轴4117822

k

n k ++==⇒=

例6 ①设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且m n S S =，求m n S +的值 解：m n S S =⇒抛物线对称轴方程为02

m n

n +=

，则抛物线两个零点为0和02n m n =+，所以m n S +=0

②已知等差数列{}n a 的前n 项和满足716S S =，则23S = 上面的结论，答案是0，对吧？

③已知等差数列{}n a 的通项为*172,n a n n N =-∈，则使得n S 最大的n 的值是？

解：1172115

1722n a a n d =-⨯=⎧=-⇒⎨=-⎩（d 就是一次项n 的系数！why?），抛物线

开口向下，有最大值，由抛物线对称轴方程11115

8222

a n d =-=-=-，故答案为8.

例7 设等差数列{}n a 满足81335a a =，且10a >，则前n 项和n S 中最大的是（ ） A 10S B. 11S C 20S D 21S 解：81335a a =()()11139

375122

a a d a d d ⇒+=+⇒=-，10a >抛物线开口向下， 由对称轴1113920222a n d ⎛⎫

=-=--= ⎪⎝⎭

，20S ∴最大，选择C

例8 （2010福建理科3）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若

111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时, n 等于 （ ） A.6 B.7 C.8 D.9

速解：115

465511226315a a a d a a a a =-⎫⎧-⇒=

=⎨⎬+==-⇒=--⎩⎭，d>0,抛物线开口向上，故n S 有最小值。由抛物线对称轴方程111116222

a n d -=-=-=，故选A

例9 （2009安徽理科）已知{}n a 为等差数列，105531=++a a a ，99642=++a a a 。以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是 （A ）21 （B ）20 （C ）19 （D ）18

解：105531=++a a a ①

99642=++a a a ②

由②-①得2d =-，代入①得 ()31133210539a a d a =+=⇒= 故对称轴11139

20222

a n d =

-=-=-，故选B