等差数列前n项和最值问题的快速解法
等差数列的最值问题
解析（1）设数列{ }的公差为d，则由2009 = 0得20091 +
= 0，
2
1
2009−
即1 + 1004 = 0，则 = −
1 ,所以1 + =
1 ,所以 = (1 +
1004
1004
2
2009−
) = ⋅
1 = 1 ⋅ (2009 − 2 ).因为1 < 0, ∈ ∗ ,所以当 = 1004或
由 S5＝S12 得 5a1＋10d＝12a1＋66d，
d＝－ a1<0.
8
1
－ a1
n（n－1）
n（n－1）
1
则 Sn ＝ na1 ＋
d ＝ na1 ＋
· 8 ＝ － a1(n2 － 17n) ＝ －
16
2
2
17
n－
1
2 289
a1
2 ＋
a1，因为 a1>0，n∈N*，所以当 n＝8 或 9 时，Sn 有最大值．
2
1004
2008
1005
= 1005时， 取得最小值，最小值为
1 .
2
1005−
1
1005−
2
（2）由（1）得 =
1 . 由 ≤ , 得
(2009 − ) ≤
1 .
1004
2008
1004
因为 1 < 0, 所以 2 − 2011 + 2010 ≤ 0, 即 ( − 1)( − 2010) ≤ 0 ，解得 1 ≤
≤ 2010 .故所求 的取值集合为 {|1 ≤ ≤ 2010, ∈ ∗ } .
等差数列前n项和的最值问题(精品文档)
等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么? 解:当n>1时:1122n n n a s s n -=-==-当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122na n =-,其中:132a =,2d =探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,ns pn qn r =++其中:p.q.r 为常数,且p ≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是什么?结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、 应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时？n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。
解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为496.52n +==，而n N *∈，且6.5介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。
1.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2,n a =13-2(n-1), n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：6.5≤n ≤7.5,所以n=7时,n S 取最大值.2.已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n=错误!未找到引用源。
求等差数列前n项和的最值问题的两种常用解法
求等差数列前n 项和的最值问题的两种常用解法【必备方法】1.函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式bn an S n +=2，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解，一定注意n 是正整数。
2.邻项变号法：①0,01<>d a 时，满足⎩⎨⎧≤≥+001n n a a 的项数m 使得n S 取得最大值为m S ； ②当0,01><d a 时，满足⎩⎨⎧≥≤+001n n a a 的项数m 使得n S 取得最小值为m S . 【典例示范】例1、等差数列}{n a 前n 项和为n S ，已知1131,13S S a ==，当n S 最大时，n 的值是( )(A)5 (B)6 (C)7 (D)8解：方法一：由113S S =得01154=+++a a a ，根据等差数列性质可得087=+a a ，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到0,087<>a a ，故n=7 时，n S 最大.方法二：由113S S =可得d a d a 55113311+=+，把131=a 代入得2-=d ，故n n n n n S n 14)1(132+-=--=，根据二次函数性质，当n=7时，n S 最大. 方法三：根据131=a ,113S S =，知这个数列的公差不等于零.由于113S S =说明这个数列的和先是单调递增的然后又单调递减.根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，当113S S =时，只有72113=+=n 时，n S 取得最大值. 答案：C练习：1.已知在等差数列}{n a 中，311=a ，n S 是它的前n 项的和，2210S S =.（1）求n S ；（2）这个数列前多少项的和最大，并求出这个最大值. 解析：（1）∵102110a a a S ++= ，222122a a a S ++= ，又2210S S =， ∴0221211=++a a a ，则031212211=+=+d a a a ，又311=a ，2-=∴d ，∴21322)1(n n d n n na S n -=-+=。
等差数列前n项和的最值问题
等差数列前n项和的最值问题数列（二）一、数列的最大与最小项和最值问题1．直接求函数)(n f a n =的最大值或最小值，根据)(n f 的类型，并作出相应的变换，运用配方、重要不等式性质或根据)(n f 本身的性质求出)(n f 的最值。
2．研究数列)(n f a n =的正数与负数项的情况，这是求数列}{n a 的前n 项和n S 的最大值或最小值的一种重要方法.二、数列的求和1．拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（如等差数列、等比数列、常数数列等等），然后分别求和. 2．并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列. 3．裂项求和法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项. 4．错位求和法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前n 项和公式的方法. 三、数列其他知识 1．(1) {}{}成等比数列成等差数列na n ba ?{}2n n n a a a n b S A n B n ?=+?=+成等差数列（2）{}{}成等比数列成等比数列kn n a a ? {}{}成等差数列成等比数列n ba n a a n log>2．递推数列：(1)能根据递推公式写出数列的前n 项(2)由n n n n S a a S f ,,0),(求= 解题思路：利用)2(,1≥-=-n S S a n n n 变化（1）已知0),(11=--n n a S f (2)已知0),(1=--n n n S S S f 四、例题解析例1（1）已知n a =，则 n S =___________。
（2）从盛满a 升酒精的容器里倒出b 升，然后再用水加满，再倒出b 升，再用水加满；这样倒了n 次，则容器中有纯酒精_________升。
（3）3571013{}3224n a a a a a a ++++=在等差数列中，（）（），则此数列的前13项之和等于_______。
等差数列前n项和最值问题
等差数列前n项和最值问题Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗如果是,它的首项与公差分别是什么 解:当n>1时:1122n n n a s s n -=-==-当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122na n =-,其中:132a =,2d = 探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,n s pn qn r =++≠0,那么这个数列一定是等差数列吗如果是,它的首项和公差分别是什么结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、 应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。
解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为496.52n +==，而n N *∈，且介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。
1.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2, n a =13-2(n-1), n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：≤n ≤,所以n=7时,n S 取最大值.2.已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n==5时，数列a n 前5项和取得最大值．二、转化为求二次函数求最值例2、在等差数列{n a }中, 4a ＝－14, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值 分析：利用条件转化为二次函数，通过配方写成顶点式易求解。
微专题47等差数列的前n项和Sn的最值问题
微专题47 等差数列的前n项和S n的最值问题例题：设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3＝24，S11＝0.(1)求a n；(2)求数列{a n}的前n项和S n；(3)当n为何值时，S n最大，并求S n的最大值．变式1等差数列{a n}的前n项和为S n，且公差d<0，若S9＝S23，则数列{a n}的前多少项的和最大？变式2等差数列{a n}的前n项和为S n，且公差d<0，若S10＝S23，则数列{a n}的前多少项的和最大？串讲1已知数列{a n }的通项公式a n ＝40－5n 7，记T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋6，当|T n |取最小值时，n 的值为多少？串讲2已知数列{a n }的通项公式a n ＝40－5n 7，记T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋5，当|T n |取最小值时，n 的值为多少？(2018·全国Ⅱ卷改编)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15.求S n ，并求S n 的最小值．16n＋15(n≥2，n∈N*)．若对任意的n∈N*，总有S n≤S k，求正整数k的值．答案：k ＝7.解法1因为a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－S 2＝－13，a 3－S 3＝－24，也即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，a 1＋a 2＝24， 解得a 1＝13，a 2＝11，所以d ＝a 2－a 1＝－2，故a n ＝－2n ＋15，5分令⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1<0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2n ＋15≥0，－2n ＋13<0，所以132<n ≤152，9分 又n ∈N *，所以n ＝7，即数列{a n }的前7项和为S 7最大，所以k ＝7.14分解法2因为a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－S 2＝13，a 3－S 3＝－24，也即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，a 1＋a 2＝24， 解得a 1＝13，a 2＝11，7分所以d ＝a 2－a 1＝－2，故a n ＝－2n ＋15，9分S n ＝13n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，12分 所以数列{a n }的前7项和为S 7最大，故k ＝7.14分说明：通过以上两种解法的比较，可以发现“解法1”采用了“邻项变号法”，解题思路、过程比较简洁方便，这是因为这种解法紧紧抓住了等差数列的项a n 对和S n 的影响规律，因而过程相对简洁精炼．。
等差数列的前n项和公式的巧记及其性质
我们都知道等差数列的前n 项和公式有2个，你都记住了吗？有没有巧妙的记忆方法？等差数列的前n 项和S n 有哪些我们必须知道的性质呢？问题2：问题1：课前提示目录1. 等差数列的前n项和公式S n的巧记方法2. 等差数列的前n项和公式S n的性质及其应用等差数列的前n项和公式S n的巧记方法对一般的等差数列{a n } ，则有S n =a n +a n -1+…+a 12S n =(a 1+a 2+…+a n )+(a n +a n -1+…+a 1)=(a 1+a n )+(a 2+a n -1)+…+(a n +a 1)S n =a 1+a 2+…+a n=n (a 1+a n)等差数列的前n项和将a n用首项a1和公差d 表示，可得等差数列的前n项和已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式S n＝S n＝1a nna 1a n n a S n 与梯形面积1a n a 12()n n a a nS +⋅=n 补成平形四边形n a 1a n S S n与梯形面积1a 112()n n n d S n a -=+分割成一个平行四边形和一个三角形n 1a a n =a 1+(n -1)d(n -1)d n S S n 与梯形面积例1 已知数列{a n}是等差数列，(1)若a1＝1，a n＝－512，S n＝－1 022，求公差d；(2)若a2＋a5＝19，S5＝40，求a10；(3)若S10＝310，S20＝1 220，求S n.(1) 若a1＝1，a n＝－512，S n＝－1 022，求公差d；还有更简单的方法吗？(2) 若a2＋a5＝19，S5＝40，求a10；(3) 若S10＝310，S20＝1 220，求S n.[题后感悟] a1，n，d称为等差数列的三个基本量，a n和S n都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，n，d，a n ，S n中可知三求二，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，这种方法是解决数列问题的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．1. 在等差数列{a n}中，(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8.(2)已知a2＋a4＝48/5，求S5；(3)已知a10＝12，a20＝32，S n＝120，求a n和n的值．(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8.(2)已知a2＋a4＝48/5，求S5；(3)已知a10＝12，a20＝32，S n＝120，求a n和n的值a n=a10+(n－10)d1．等差数列{a n}中，d＝2，a n＝11，S n＝35，则a1等于( )A．5或7 B．3或5C．7或－1 D．3或－12．已知等差数列{a n}，a1＝50，d＝－2，S n＝0，则n等于( )A．51 B．50C．49 D．483．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＋a17＝10，则S19的值为________．4．已知{a n}是等差数列，a1＋a3＋a5＝9，a6＝9.求此数列前6项的和．等差数列的前n项和公式S n的性质等差数列的S n最值问题2122()n d d S n a n =+-S n 是一个关于n 的二次函数. 因此我们可以借助二次函数的图像 和性质来研究等差数列前n 项和的有关问题.等差数列的S n 最值问题2122()n d d S n a n =+-2A B n S n n =+若某个数列的前n 项和S n 可以表示成 ，则这个数列是等差数列.2A B n S n n =+等差数列的S n 的性质2122()n d d S n a n =+-122()n S d d n a n =+- 是一个等差数列，公差为 .2d {}n S n例2 在等差数列{a n}中，a1＝25，S17＝S9，求S n的最大值．由题目可获取以下主要信息：①{a n}为等差数列．②a1＝25，S17＝S9.解答本题可用二次函数求最值或由通项公式求n，使a n≥0，a n＋1<0或利用性质求出大于或等于零的项．方法三：先求出d＝－2(同方法一)，由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0，而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14, 故a13＋a14＝0.∵d＝－2<0，a1>0.∴a13>0，a14<0，故n＝13时，S n有最大值169.已知等差数列{a n}中，a1＝－3，11a5＝5a8－13，(1)求公差d 的值；(2)求数列{a n}的前n项和S n的最小值．已知等差数列{a n}中，a1＝－3，11a5＝5a8－13，(1)求公差d 的值；(2)求数列{a n}的前n项和S n的最小值．n117{|a n|}的前n项和．由题目可获取以下主要信息：①数列{a n}为等差数列；②a1＝－60，a17＝－12，可求得公差d.先分清哪些项是负的，再分段求出前n项的绝对值之和．n117 {|a n|}的前n项和．已知等差数列{a n}中，S2＝16，S4＝24，求数列{|a n|}的前n项和A n.{}n S n 是等差数列282=S 464=S 公差－12．等差数列的前n项和公式的应用(1)当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为简便；当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较好．(2)两个公式共涉及a1、d、n、a n及S n五个基本量，依据方程的思想，在五个基本量中要知道三个基本量可求其它基本量，这也就是我们所说的“知三求二”．。
等差数列前n项和最值的求法_唐辉
由方程an=0得 -2+(n-1)4/9=0
解得n=5.5 取 n=5 根据数列递增性可知a1,a2, a3,a4,a5均为负数，从第 六项起以后各项均为正数，因此前五项的和最小。 代入求和公式Sn=5×(-2)+[5×(5-1)/2]×4/9=-50/9
解法三：设该等差数列的公差为d。由S3=S7得
由首项及公差知：该数列为递增等差数列。 欲使前n项和最小必须前n项和都是由负数和零相加得到，
从第n+1项起以后各项均为零或正数，即 an≤0 -2+(n-1)×4/9 ≤0 即 an+1≥0 -2+(n+1-1)×4/9≥0 4/9≥0
解法四：设该等差数列的公差为d。由S3=S7得 3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2) ×d，得d=4/9。所以通项公式an=-2+(n-1)×4/9
3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2) ×d， 得d=4/9。
由首项及公Байду номын сангаас知：该数列为递增等差数列。 等差数列前n项和Sn 是n的二次函数，而S3=S7
正说明二次函数是以n=（3+7）/2为对称轴，
且二次函数开口向上，所以当n =5时Sn有最小值。
将n =5 代入前n项和公式，有
由首项及公差知：该数列为递增等差数列。 欲使前n项和最小必须前n项和都是由负数和零相加得到，
从第n+1项起以后各项均为零或正数，即 an≤0 -2+(n-1)×4/9 ≤0 即 an+1≥0 -2+(n+1-1)×4/9≥0 解得 4.5≤n ≤5 .5 所以n=5 即前5项的和最小，将 n =5 代入前n项和公式，
巧解等差数列前n项和的最值
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巧解等差数列前n项和的最值
作者：陈新成
来源：《新课程·中学》2012年第08期
一、二次函数法
等差数列前n项和Sn=a1n+n是关于常数项为0的二次函数，因此其最值可以转化成求二
次函数的最值（切记n∈N+）.
二、通项公式法
“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和，即由不等式组an≥0an+1≤0或an≤0an+1≥0能确定出前多少项为非负（或非正）（切记n∈N+），从而求出其最值.
例.在等差数列an中，已知a1=25，S17=S9，求Sn的最大值及此时的n值.
解法一：由a1=25S17=S9得d=—2
点评：解法一用二次函数最值求解；解法二利用二次函数图象的对称性求解；解法三、四用通项公式法求解.若能有意识、有目的地对这些数学问题进行深入的分析领悟，往往能起到
以小见大、以浅见深、以窄见宽、以点见面的效果，从而达到培养创新能力、复习巩固的目的.
变式训练：
1.若an是等差数列，a1>0，a2012+a2013>0，a2012·a20130成立的最大正整数是 .（答案：4024）
2.在等差数列an中，满足3a4=7a7，且a1>0，Sn是数列an前n项的和，若Sn取得最大值，则n= .（答案：9）。
等差数列的前n项和
(3)a1 14.5, d 0.7, an 32.
n 26, S 26
n(a1 an ) Sn 2
26 (14 .5 32 ) 604 .5. 2
(1)
n(n 1) S n na1 d (2) 2
习题1.设等差数列{an}的前n项和为Sn, 若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( B ) A.63 B.45 C.36 D.27
2. 从1到200的所有整数中，既不是2的倍数， 又不是3的倍数的所有整数和是多少？ 解： 从1到200的所有整数中， 所有2的倍数 2，4，6，8，… ，200 构成的等差数列. 所有3的倍数 3，6，9，12，… ，198 构成的等差数列.
S2k 1 (2k 1)ak T2k 1 (2k 1)bk
ak S 2 k 1 bk T2 k 1
a11 S21 23 . 21 2 b11 T21 3 21 4 67
练习题:
1．(1)已知等差数列{an}的an＝24－3n，则 前多少项和最大？ (2)已知等差数列{bn}的通项bn＝2n－17, 则前多少项和最小?
n
n(n 1) sn 2 这种求和法称为倒序相加法
1.公式推导
如何求等差数列an 的前n项和Sn ? 问题2：
sn a1 a2
a3
an a1
sn an a n 1 an 2 n(a1 an ) sn 2
1.公式推导
n(a1 an ) 公式1 S n 2
例2:等差数列－10，－6， －2，2，… 前多少项和是54?
高中数学解决等差数列前n项和的最值问题
高中数学解决等差数列前n项和的最值问题
解决等差数列前n项和的最值问题，有三种解法，函数法是通解通法，其他两种方法则要根据条件决定能否使用。
若数列是等差数列，是其前n项和，则
，其结构是以n为自变量的二次函数，从而数列的最值问题可转化为二次函数的最值问题。
例1、等差数列中，，是前n项和且，求当n为何值时，最大。
解法1（图象法）：设，由，，可知
d<>且二次函数图象的对称轴，故当n=13或14时，最大。
解法2（利用）：由，知，
，可得，即。
又，可知当n<>时，。
当n>14时，。
可得。
故当n=13或14时，最大。
解法3（函数法）：由，可知
，整理得。
所以。
故当n=13或14时，最大。
例2、是等差数列，，，是前n项和，求当n 为何值时，最大。
分析：，。
由，得。
然后解法同上（有兴趣的同学不妨试一试。
）
例3 等差数列中，，，是其前n项和，求当n为何值时，最大。
分析：该题从形式上完全等同于例2，但却不能化为例2的形式。
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等差数列前n项和的最值问题的两个解法
等差数列前n 项和的最值问题的两个解法求等差数列前n 项和最值的两种方法：n S 1.函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式，bn an S n +=2通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解，一定注意n 是正整数。
2.邻项变号法： ①时，满足的项数m 使得取得最大值为0,01<>d a ⎩⎨⎧≤≥+001n n a a n S mS ；②当时，满足的项数m 使得取得最小值为0,01><d a ⎩⎨⎧≥≤+001n n a a n S .m S 例1、等差数列前n 项和为，已知，当最大}{n a n S 1131,13S S a ==n S 时，n 的值是( )(A)5(B)6(C)7(D)8解：选C.方法一：由得，113S S =01154=+++a a a 根据等差数列性质可得， 087=+a a 根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到，故n=7 时，最大.0,087<>a a n S 方法二：由可得，把代入得113S S =d a d a 55113311+=+131=a 2-=d，故，根据二次函数性质，当n=7时，n n n n n S n 14)1(132+-=--=最大.n S 方法三：根据,，知这个数列的公差不等于零.由于131=a 113S S =说明这个数列的和先是单调递增的然后又单调递减.根据113S S =公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，当时，只有时，取得最大值.113S S =72113=+=n n S 练习：1.已知在等差数列中，，是它的前n 项的和，}{n a 311=a n S 2210S S =.（1）求； （2）这个数列前多少项的和最大，并求出这n S 个最大值.解析：（1）∵，，又，102110a a a S ++= 222122a a a S ++= 2210S S =∴，则，又，0221211=++a a a 031212211=+=+d a a a 311=a ，∴。
等差数列前n项和的最值求解方法
等差数列前n项和的最值求解方法例1设等差数列｛a n｝的前n项和为S n ,已知a3=12, s,2>0, S13 0 ,(1)求公差d的取值范围；(2)指出S2,…，&2中哪一个值最大，并说明理由.解析(1)由a3=12,得：a1+2d=12，即a1=12-2d,, 一12*11 ♦一一24由S12>0,得：12&+ ---------d 0 ,所以d>———,2 7, 一一13*12 . _ ~ .由s13 0,得：13 a l+ ------d 0,所以d<-3,2因此，d的取值范围为(-24 ,-3 ).7(2)解法一：a n a1 (n 1)d=12-2d+(n-1)d =12+(n-3)d由(1)知: 一13所以，—2 24<d<-3,7123—7,d令a n 0,得：n<3- 12,d一 * ...... .................... .又n N，故由等差数列的单调性可知：当n 6时，a n 0；当n>6时，a n 0 ,因此，s6最大.解法二：由题意可得：S n=n a1 + n(n 1) d =n(12-2d)+22n nd 25(12 2d)n 显然d 0, &是关于自变量n的二次函数,由(1)知：d<0,二次函数的图像抛物线的对称轴为, 「24由(1)知：——d 3 , n=5这2 d72 2_. 、* * 又因为n N, 故当n=6时，S n 最大, 即%最大.* 1 2 1例2已知等差数列｛a n ｝, a n N , S n = - a n 2)2.若b n -a n 30,求数列｛ b n ｝的前n 8 2 项和的最小值.分析：①由S n 与a n 的关系，可写出s n 1与a n 1之间的关系，两式作差，即可得出a n1与a n 间 的关系；②｛b n ｝的前n 项和最小，估计｛b n ｝的前n 项均为负值，后面均为正值，所有负值之和为最 小..一 1 c 1 C 解 a n1 = S n1-S n = - ( 1 1 2)2-1 ( [ 2)2, 8 8即 8a n 1= ( a n 1+2)2- ( a n +2)2, 所以(a n 1 -2 ) - ( a n +2)=0,即(a n 1 +a n) ( a n 1- a n -4) =0, *因为 a n N ,所以 a n 1 +a n 0,即 a n 1 - a n -4=0 , 所以 a n 1- a n =4,因此等差数列｛ a n ｝的公差大于0.12 a [ =& = 一 (a 2),斛信 a 1 二2.8 1所以 a n =4n-2,贝U b n —a n 30=2n-31.2即数列｛ b n ｝也为等差数列且公差为 2.2n 31 0 2931{2(n 1) 31 0，解得——n 一,E 、， . . * .一 5 所以6< — 2 12 13 不〈万,因为n N ,所以n=15,故｛>｝的前15项为负值，因此s]5最小，可知b1 =-29 , d=2,所以数列｛b n｝的前n项和的最小值为15( 29 2 15 31)sl5 = 2 =-225.小结：若｛a n｝是等差数列，求前n项和的最值时:a n 0①若a1 >0,d<0,当满足｛a n 1 0时，前n项和S n最大；a n 0② 若a1<0,d>0,当满足｛a n 1 0时，前n项和S n最小；除以上方法外，还可将｛a n｝的前n项和的最值问题看作S n关于n的二次函数问题，利用二次函数的图象或配方法求解，另外还可利用S n与n的函数关系，进行求导数求最值.。
等差数列前n项和的最值问题
当 ， 时，n为使 成立的最大的自然数时， 最大，这是因为：当 时， ，即 递增；已知等差数列{an}，a1＞0，d＜0，Sn存在最大值，
若am使Sn取得最大值，则am满足：成立的最大自然数n时， 最大
当 时， ，即 递减。类似地，当 ， 时，若am使Sn取得最小值，则am满足：成立的最大自然数n时， 最小。
解：在等差数列{an}中，因为a1＋a12＞0，
所以a6＋a7＞0,又因为a1＜0且a6a7＜0，所以所以当Sn最小时的n为6
例题2：已知等差数列{an}的通项公式an＝3n－20，当n取何值时，Sn取得最小值，并求此最小值.
我们分析数列为：
－17，－14，－11，－8，－5，－2，1，4，…
问题1：从数列中可以发现，数列在第几项时，Sn取得最小值？
问题2：使数列Sn取得最小值的项具备什么特征呢？
结论：若am使Sn取得最小值，则am满足：
解法一：若am使Sn取得最小值，则am满足：
即
解得≤n≤，因为n∈N*，所以n＝6．
所以当n取6时，Sn取得最小值，最小值为－57.
解法二：Sn＝n×（—17）＋×3＝n2－n，
其对称轴为n＝，所以离对称轴最近的整数为6．
所以当n取6时，Sn取得最小值，最小值为－57.
练习：
1、已知等差数列 的通项为 ，则使得 最大的 的值是？
又 ，∴ 的前10项或前11项的和最小。
说明：此处虽说是用图像法，但不一定要画出图像，而是利用图像的性质去解题。
练习1：等差数列 中， ， ，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。
速解： 抛物线对称轴方程为 ，则可设 ，
由
等差数列的前n项和Sn的最值问题
等差数列的前n项和S的最值问题数列是一种特殊的函数，因此高考题中常常会出现研究数列的单调性、最值等问题．其例题：设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3＝24，S11＝0.(1)求a n；(2)求数列{a n}的前n项和S n；(3)当n为何值时，S n最大，并求S n的最大值．变式1等差数列{a n}的前n项和为S n，且公差d<0，若S9＝S23，则数列{a n}的前多少项的和最大？变式2等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且公差d<0，若S 10＝S 23，则数列{a n }的前多少项的和最大？串讲1已知数列{a n }的通项公式a n ＝40－5n7，记T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋6，当|T n |取最小值时，n 的值为多少？串讲2已知数列{a n }的通项公式a n ＝40－5n7，记T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋5，当|T n |取最小值时，n 的值为多少？(2018·全国Ⅱ卷改编)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15.求S n ，并求S n 的最小值．(2018·苏州第一学期期初调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)．若对任意的n ∈N *，总有S n ≤S k ，求正整数k 的值．答案：k ＝7.解法1因为a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)，所以⎩⎨⎧a 2－S 2＝－13，a 3－S 3＝－24，也即⎩⎨⎧a 1＝13，a 1＋a 2＝24， 解得a 1＝13，a 2＝11，所以d ＝a 2－a 1＝－2，故a n ＝－2n ＋15，5分令⎩⎨⎧a n ≥0，a n ＋1<0，得⎩⎨⎧－2n ＋15≥0，－2n ＋13<0，所以132<n ≤152，9分又n ∈N *，所以n ＝7，即数列{a n }的前7项和为S 7最大，所以k ＝7.14分解法2因为a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)，所以⎩⎨⎧a 2－S 2＝13，a 3－S 3＝－24，也即⎩⎨⎧a 1＝13，a 1＋a 2＝24，解得a 1＝13，a 2＝11，7分所以d ＝a 2－a 1＝－2，故a n ＝－2n ＋15，9分S n ＝13n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，12分所以数列{a n }的前7项和为S 7最大，故k ＝7.14分说明：通过以上两种解法的比较，可以发现“解法1”采用了“邻项变号法”，解题思路、过程比较简洁方便，这是因为这种解法紧紧抓住了等差数列的项a n 对和S n 的影响规律，因而过程相对简洁精炼．例题答案：(1)a n ＝48－8n ；(2)S n ＝－4n 2＋44n ；(3)n ＝5或6时，S n 最大，S n ＝120. 解析：(1)因为a 3＝24，S 11＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝24，11a 1＋11×102d ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝40，d ＝－8，所以a n ＝48－8n.(2)由(1)知，a 1＝40，a n ＝48－8n ，所以S n ＝（a 1＋a n ）n 2＝（40＋48－8n ）n 2＝－4n 2＋44n.(3)解法1：由(2)有，S n ＝－4n 2＋44n ＝－4(n －112)2＋121，故当n ＝5或n ＝6时，S n 最大，且S n 的最大值为120.解法2 ：由a n ＝48－8n ，⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧48－8n≥0，48－8（n ＋1）<0，得5<n≤6，又n∈N *，所以n ＝6，即该数列前5项都是正数，第6项为0，所以前5项和、前6项的和同为最大值，最大值为120.说明：等差数列的前n 项和S n 最值问题的研究有两种主要思路：其一，利用S n ＝an 2＋bn 具有的二次函数的性质，结合单调性或抛物线图象来研究；其二，是利用“邻项变号法”研究，即由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1<0，求得S n 取得最大值时n的条件，同样由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1>0，求得S n 取得最小值时n 的条件．变式联想变式1 答案：16. 解析：由S 9＝S 23，得a 10＋a 11＋…＋a 23＝0，即a 16＋a 17＝0，又因为d<0，所以a 16>0，a 17<0，所以，数列{a n }的前16项的和最大．变式2答案：16或17.解析：由S 10＝S 23，得a 11＋a 12＋…＋a 23＝0，即a 17＝0，又因为d<0，所以a 16>0，a 18<0，所以，数列{a n }的前16项或17的和最大．说明：上述两个“变式”题的不同之处在于，“变式1”中不含为0的项，因此前n 项和S n 取得最值时，n 的值只有一解，“变式2”中含有数值为0的项，因此前n 项和S n 取得最值时，n 的值有两解！请同学们仔细体会其中的差别．串讲激活串讲1答案：n ＝5. 解析：由a n ＝40－5n7，知{a n }递减且a 8＝0，又T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋6＝7a n ＋3，考虑到|T n |≥0，且由n ＋3＝8，得n ＝5，即满足|T n |取得最小值的正整数n ＝5.串讲2答案：n ＝5或6.解析：由a n ＝40－5n7，知{a n }递减且a 8＝0，又T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋5，式子右边有6项，结合等差数列的对称性知，当下标n ＋(n ＋5)＝2×8±1，即就是n ＝5或6时，|T n |取得最小值．新题在线答案：－16. 解析：设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15.由a 1＝－7得d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9.所以S n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16.所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.。
人教版数学高二-等差数列前n项和最值问题求法
等差数列前n 项和最值问题求法等差数列的前n 项和最值问题反映了数的变化过程，体现了一种从量的积累到质的变化，揭示了数之间的关联，其最值的求法通常可从函数与不等式来考察，下面通过几个例题从不同的侧面来小议其求法。
一、应用二次函数图象求解最值例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时？n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。
解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d d S na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为49 6.52n +==， 而n N *∈，且6.5介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。
点评：利用二次函数图象的开口方向、对称性等、数形结合求解其最值简单易行，但要注意对称轴是介于两个整数的中点，此时应有两个n 的取值。
二、转化为求二次函数求最值例3、在等差数列{n a }中, 4a ＝－14, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值 分析：利用条件转化为二次函数，通过配方写成顶点式易求解。
解析：∵4a ＝1a ＋3d, ∴ －14＝1a ＋9, 1a ＝－23, ∴ n S ＝－23n ＋2)1(3-n n ＝23[(n －496)2－24936], ∴ 当n=496最小时，n S 最小， 但由于n N *∈，496介于8与9之间， 8100S =-，999S =- 即有且89S S >，故当n ＝8 8S ＝－100最小.点评：通过条件求出1a ，从而将n S 转化为关于n 的二次函数，然后配方求解，但要注意的是此处496介于8与9之间，但并不能取两个整数，判断的标准是对称轴是否处于两个整数中点，否则只有一个取值。
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★等差数列前n 项和最值问题的快速解法
等差数列前n 项和公式是2211(1)222n n n d d S na d n a n An Bn -⎛
⎫=+
=+-=+ ⎪⎝
⎭，记住抛物线对称轴方程1112222
d
a a n d d -
=-
=-⨯.最值一定在离对称轴最近的整数中取到.图像是过原点的抛物线上的一些离散点，由于二次函数图像的对称性，一旦给出
关系式m n S S =，则马上知道抛物线的对称轴方程为02
m n
n +=
，即两足标和的一半！关于n S 的最值问题可以转化成二次函数求解。
其实，它还有一个零点式方程，
★设抛物线顶点的横坐标为0x ，则抛物线的两个零点为0和02x ，则可设
()02n S pn n x =- ■
（图像
中x 轴对应n 轴，y 轴对应n S 轴，等差n S 最值问题要立刻想到这2个图像！） 例1 等差数列}{n a 中，251=a ，917S S =，问此数列前多少项和最大？并
求此最大值。
速解：
917S S =⇒抛物线对称轴方程为179132
n +==，则可设()26n S pn n =-，
由()111126251S a p p ==⨯⨯-=⇒=-
13n ∴=时，()()13max 1131326169n S S ==-⨯⨯-=
例2 在等差数列}{n a 中,已知201
=a ,前n 项和为n S ,且1510S S =,求当n 取
何值时, n S 有最大值,并求它的最大值。
解：
15
10S S =⇒抛物线对称轴方程为1015
12.52
n +=
=，则可设
()25n S pn n =-
由()1151125206
S a p p ==⨯⨯-=⇒=-，则()5256n
S n n =-- 所以 n=12或13时，()()12
max 5
1212251306
n S S ==-⨯⨯-=
例3 等差数列}{n a 中，01<a ，129S S =，该数列前多少项的和最小？
解 ∵129S S =，∴n S 的图像所在的抛物线的对称轴为2
21
2129=+=
n ，又*n N ∈ ,01<a ，∴}{n a 的前10项或前11项的和最小。
变式：等差数列}{n a 中，10a >，310S S =，该数列前多少项的和最大？ 解：310S S =⇒抛物线的对称轴为310
6.52
n +=
=，又*n N ∈，所以n=6 or 7
例4 设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知3121312,0,0a S S =>< （1） 求公差d 的取值范围
（2） 指出1212,,...,S S S 中哪一个值最大,并说明理由. 解：（1）31112212122a a d a d =⇒+=⇒=-
121121124
012027S a d d ⨯>⇒+
>⇒>- 13113112
0123032S a d d ⨯<⇒+<⇒<-
d ∴的取值范围是24,37⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
（2） 由（1）知d<0,抛物线开口向下，设抛物线顶点的横坐标为0x ，则抛物线
的两个零点为0 和 02x ，因12130,0S S ><，则2()()0012,136,6.5x x ∈⇒∈，故6S 的值最大.
例5设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且4117,k S S S S ==，则k= 8 解：抛物线对称轴4117822
k
n k ++==⇒=
例6 ①设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且m n S S =，求m n S +的值 解：m n S S =⇒抛物线对称轴方程为02
m n
n +=
，则抛物线两个零点为0和02n m n =+，所以m n S +=0
②已知等差数列{}n a 的前n 项和满足716S S =，则23S = 上面的结论，答案是0，对吧？
③已知等差数列{}n a 的通项为*172,n a n n N =-∈，则使得n S 最大的n 的值是？
解：1172115
1722n a a n d =-⨯=⎧=-⇒⎨=-⎩（d 就是一次项n 的系数！why?），抛物线
开口向下，有最大值，由抛物线对称轴方程11115
8222
a n d =-=-=-，故答案为8.
例7 设等差数列{}n a 满足81335a a =，且10a >，则前n 项和n S 中最大的是（ ） A 10S B. 11S C 20S D 21S 解：81335a a =()()11139
375122
a a d a d d ⇒+=+⇒=-，10a >抛物线开口向下， 由对称轴1113920222a n d ⎛⎫
=-=--= ⎪⎝⎭
，20S ∴最大，选择C
例8 （2010福建理科3）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若
111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时, n 等于 （ ） A.6 B.7 C.8 D.9
速解：115
465511226315a a a d a a a a =-⎫⎧-⇒=
=⎨⎬+==-⇒=--⎩⎭，d>0,抛物线开口向上，故n S 有最小值。
由抛物线对称轴方程111116222
a n d -=-=-=，故选A
例9 （2009安徽理科）已知{}n a 为等差数列，105531=++a a a ，99642=++a a a 。
以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是 （A ）21 （B ）20 （C ）19 （D ）18
解：105531=++a a a ①
99642=++a a a ②
由②-①得2d =-，代入①得 ()31133210539a a d a =+=⇒= 故对称轴11139
20222
a n d =
-=-=-，故选B。