静态电磁场边值问题精品PPT课件
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电磁场与电磁波第三章静态场及其边值问题的解PPT课件
解法的优缺点
分离变量法的优点是简单易行，适用于具有多个变量 的偏微分方程。但是，该方法要求边界条件和初始条
件相互独立，且解的形式较为复杂。
有限差分法的优点是简单直观，适用于各种形状的求 解区域。但是，该方法精度较低，且对于复杂边界条
件的处理较为困难。
有限元法的优点是精度较高，适用于各种形状的求解 区域和复杂的边界条件。但是，该方法计算量大，且
05 实例分析
实例一：简单电场的边值问题求解
总结词
通过一个简单的电场边值问题，介绍如 何运用数学方法求解静态场的边值问题 。
VS
详细描述
选取一个简单的电场模型，如平行板电容 器间的电场，通过建立微分方程和边界条 件，采用有限差分法或有限元法进行数值 求解，得出电场分布的解。
实例二：复杂电场的边值问题求解
恒定磁场与准静态场的定义与特性
恒定磁场
磁场强度不随时间变化的磁场。
准静态场
接近静态场的动态场，其特性随 时间缓慢变化。
特性
恒定磁场与准静态场均不产生电 磁波，具有空间稳定性和时间恒
定性。
恒定磁场与准静态场的边值问题
边值问题
描述场域边界上物理量（如电场强度、磁场强度）的约束条件。
解决边值问题的方法
静电屏蔽
在静电屏蔽现象中，静态 场用于解释金属屏蔽壳对 内部电荷或电场的隔离作 用。
高压输电
在高压输电线路中，静态 场用于分析电场分布和绝 缘性能。
02 边值问题的解法
定义与分类
定义
边值问题是指在一定的边界条件下，求解微分方程或积分方程的问题。在电磁场理论中，边值问题通常涉及到电 场、磁场和波的传播等物理量的边界条件。
特性
空间均匀性
电磁场与波课件教学PPT-第三章 静态场及其边值问题的解共154页PPT资料
静电场
静止
任意
J 0
匀速运动
有限
J 0
恒定电流场
第三章 静态场及其边值问题的解
5
电磁场与电磁波
静态（恒定）磁场问题
出发点 Maxwell方程组
H J B 0
条件
本构关系
H B
边界条件 en (H1 H2) J s en (B1 B2) 0
2
2
ta1 nE 1/tE 1n1/D 1n1 ta2 n E 2/tE 2n 2/D 2n 2
导体情况
静电平衡
介质
en E 1 E
导体内部的电场为零
1, 1 0
导体en表 D面的边S 界条件或
en E 0
常取无限远作电位参考点。
同一个问题只能有一个参考点。问题求解过程中参
考点应是固定的。
第三章 静态场及其边值问题的解
20
电磁场与电磁波
例 均匀电场的电位分布。选择点O为电位参考点
例 求长度为2L、电荷线密度为 l 0 的均匀带电线的电位。 无限长直均匀线电荷产生的电位， 任选有限远处的某点为电位参考点，例如，ρ= a 点 例 点电荷（带电球）的电位。选择无限远处为电位参考点
0
介质2 2
E2 2
2
2
0
第三章 静态场及其边值问题的解
15
电磁场与电磁波
4. 利用电位求无限大均匀媒质空间中的问题
点电荷源情况： 2(r)q(rr)
Rrr
E ( r ) 4 qR R 3 4 q R 1 4 qR 1
电磁场数值计算边值问题ppt课件
电磁场数值计算
2
1 0
n
2
0
0
混合边值问题包含了前面三种边值问题。
边值问题就是带有边界条件的偏微分方程
求解问题。
电磁场数值计算
静电场边值问题的三个要素是场源、材料和边 界条件。
静电场求解区域的外边界，一般是导体表面、 对称面或人工边界。
若已知导体电位，则导体表面是第一类边界条 件；
电磁场数值计算
在平行平面静电场中，拉普拉斯算子表示为
2 2 2 x2 y2
平行平面静电场若为开域且正负电荷数量相等， 则在远离源区中心的位置构造圆形人工边界。
在人工边界上将电场看做由相互靠近的两条正 负线电荷产生。
电磁场数值计算
设线电荷密度为 ，正负线电荷距离矢量为 d , 在圆柱坐标系中， d 方向 0 ，则人工边界上电位
电磁场数值计算
其求解区域代表面为 z 轴右侧 r ，z 坐标系的平
面区域。在轴对称静电场中，拉普拉斯算子表示为
2
1 r
r
r
r
2 z 2
在三维坐标系中，如果材料和边界条件沿两个
坐标方向都不变化，则恒定电流场可进一步简化为
一维场。
人工边界和第三类边界条件，参照静电场进行 设置。
电磁场数值计算
2.3 恒定磁场的边值问题
2 n 0
已知求解区域内部的自由电荷分布，给定
求解区域边界 上电位的法向导数与电位之
间的线性关系，计算求解区域中的电位和电场 强度分布，这类问题通常称为第三类边值问 题，又叫做劳平问题。
电磁场数值计算
相应的边界条件称为第三类边界条件。
第三类边值问题表述为
2
n
0 0
第6章静态场及其边值问题精选文档PPT课件
性，所得方程式称为场的基本方程的积分形式。
真空中静电场 的基本方程为
S
D0
dS
q
(1)
l E dl 0
(2)
(1)式称为真空中的高斯定律。它表明基本变量 D0 在闭合面S的
通量特性；(2)式称为静电系统的守恒定理，它表明基本变量 E
在闭合回路上的环流量特性，说明静电场是一种守恒性的矢量场。
第4章 静电场分析
5
紧紧束缚住。相应地把电介质的电荷称为束缚电荷。在外电场作 用下，束缚电荷只能做微小位移，在这里，极化是主要现象。研 究物质的磁效应时，把物质称为磁介质，磁化是磁介质的作用现 象。
如果研究物质空间内的电场，仅用电场强度一个场变量就不能 完全反应物质内发生的静电现象。因为当物质内存在电场时，构成 物质的带电粒子将在电场强度作用下出现运动或移动。这就需要另 一个场变量来描述这一现象的本质。电介质内存在电场时，电介质 内的束缚电荷在电场作用下会出现位移现象。一般用单位面积上位 移穿过的束缚电荷量来表示电场的另一基本变量，称为电通密度(电 位移) D ( r ) C/m2。
面，取ds在球面上的投影 与R2的比 值，即为面元ds对o点所张d的S立体er角。
ddS R 2er dSR c2os
ds RO
第4章 静电场分析
9
一个任意形状的闭合面对一点o所张的立体角分两种情况:(1)o点 在闭合面内，以o点为球心，任意半径作一个球面，则闭合面上 任一面元对o点所张的立体角也就是它对o点构成的锥体在球面上 割出的球面元所张的立体角。即该任意闭合面对o点所张的立体 角和球面对o点的立体角相等，为 4π 。(2)o点在任意闭合面之外 ，则此闭合面对o点所张的立体角为0。因为闭合面的两个部分表 面的立体角等值异号。（见图4-2）
静态场边值问题的解法.ppt
R
l
l
d '
' a2
l
/d
或
dl'
' d
（l 舍去）
结论：线电荷关于接地导体圆柱面的镜像为
l ' l （电量）
d
'
a2
/
d
（位置）
四、点电荷对电介质分解面的镜像
问题：
1
点电荷位于两种电介质分
界面上方h，求空间电位分布。
q
z
v R
h
P(x, y, z) x
分析：
2
在介质分界面上将存在极化电荷，空间电位由极
接地导体平面垂直相交。
q2 q h2
h2 q
要满足在导体平面 上电位为零，则必须引入 3个镜像电荷。如图所示。
h1
x
h1
q3 q
q1 q
对于非垂直相交的两 导体平面构成的边界，
若夹角为 ，则所有
n
镜像电荷数目为2n-1个。
q
x
二、点电荷对球面导体分解界的镜像
1、点电荷对接地球面导体边界的镜像
1 X (x)
d
2 X (x) dx2
Y
1 ( y)
d
2Y ( y) dy 2
k 2
若假设为：
1 d 2 X (x) 1 d 2Y ( y) k 2
X (x) dx2
Y ( y) dy2
( A0 x B0 )(C0 y D0 )＋
[ Ansh(kn x) Bnch(kn x)][Cn sin(kn y) Dn cos(kn y)]
k 2
分离常数
1 X (x)
1 Y ( y)
d 2 X (x) dx2
l
l
d '
' a2
l
/d
或
dl'
' d
（l 舍去）
结论：线电荷关于接地导体圆柱面的镜像为
l ' l （电量）
d
'
a2
/
d
（位置）
四、点电荷对电介质分解面的镜像
问题：
1
点电荷位于两种电介质分
界面上方h，求空间电位分布。
q
z
v R
h
P(x, y, z) x
分析：
2
在介质分界面上将存在极化电荷，空间电位由极
接地导体平面垂直相交。
q2 q h2
h2 q
要满足在导体平面 上电位为零，则必须引入 3个镜像电荷。如图所示。
h1
x
h1
q3 q
q1 q
对于非垂直相交的两 导体平面构成的边界，
若夹角为 ，则所有
n
镜像电荷数目为2n-1个。
q
x
二、点电荷对球面导体分解界的镜像
1、点电荷对接地球面导体边界的镜像
1 X (x)
d
2 X (x) dx2
Y
1 ( y)
d
2Y ( y) dy 2
k 2
若假设为：
1 d 2 X (x) 1 d 2Y ( y) k 2
X (x) dx2
Y ( y) dy2
( A0 x B0 )(C0 y D0 )＋
[ Ansh(kn x) Bnch(kn x)][Cn sin(kn y) Dn cos(kn y)]
k 2
分离常数
1 X (x)
1 Y ( y)
d 2 X (x) dx2
静态场及其边值问题的解课件
qh 2 π rdrd q 2 2 32 0 0 2π (r h )
2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像
镜像线电荷：
l
l , h h
有效区域
l
R 电位函数 l ln ( z 0) 2π R
当z = 0 时，r r
导体平面上的感应电荷密度为
( z 0)
q
S z
z 0
qh 2π( x 2 y 2 h 2 )3 2
h
导体平面上的总感应电荷为
qh dxdy qin S dS S 2π ( x 2 y 2 h 2 )3 2
像电荷的个数、位置及其电量大小——“三要素” 。
等效求解的“有效场域”。 5. 确定镜像电荷的两条原则
像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。 像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场
区域 的边界条件来确定。
6.3.2 接地导体平面的镜像
1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像
q
有效区域
q
2
V
(0 )2 0
0 0
S
0 C
C 0
S
对于第一类边界条件：0
0
1 2
对于第二类边界条件：若 1 和 2 取同一点Q为参考点 ，则
0
Q
0
S1
C 0
0
1 2
C 0
对于第三类边界条件：0
1 2
6.3
镜像法
本节内容
6.3.1 镜像法的基本原理 6.3.2 接地导体平面的镜像 6.3.3 点电荷与无限大电介质平面的镜像 6.3.4 线电流与无限大磁介质平面的镜像 6.3.5 导体球面的镜像 6.3.6 导体圆柱面的镜像
2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像
镜像线电荷：
l
l , h h
有效区域
l
R 电位函数 l ln ( z 0) 2π R
当z = 0 时，r r
导体平面上的感应电荷密度为
( z 0)
q
S z
z 0
qh 2π( x 2 y 2 h 2 )3 2
h
导体平面上的总感应电荷为
qh dxdy qin S dS S 2π ( x 2 y 2 h 2 )3 2
像电荷的个数、位置及其电量大小——“三要素” 。
等效求解的“有效场域”。 5. 确定镜像电荷的两条原则
像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。 像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场
区域 的边界条件来确定。
6.3.2 接地导体平面的镜像
1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像
q
有效区域
q
2
V
(0 )2 0
0 0
S
0 C
C 0
S
对于第一类边界条件：0
0
1 2
对于第二类边界条件：若 1 和 2 取同一点Q为参考点 ，则
0
Q
0
S1
C 0
0
1 2
C 0
对于第三类边界条件：0
1 2
6.3
镜像法
本节内容
6.3.1 镜像法的基本原理 6.3.2 接地导体平面的镜像 6.3.3 点电荷与无限大电介质平面的镜像 6.3.4 线电流与无限大磁介质平面的镜像 6.3.5 导体球面的镜像 6.3.6 导体圆柱面的镜像
第五章静态场的边值问题(1)精品PPT课件
第五章 静态场的边值问题
Boundary Value Problem
静态场的工程应用与特性 5.1 泊松方程和拉普拉斯方程 5.2 镜像法 5.3 分离变量法 5.4 有限差分法
静态场的工程应用
含石英硫酸盐矿
硫酸盐矿
石英
选矿器
喷墨打印机工作原理
均匀电场中带电粒子的 轨迹
阴极射线示波器原理
磁分离器
球坐标系
2 R 1 2 R (R 2 R ) R 2 s 1 in ( s in ) R 2 s 1 in 2 2 2
4. 惟一性定理
数学物理方程是描述物理量随空间和时间的变化规律。对于某一 特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始值与边界值，这 些初始值和边界值分别称为初始条件和边界条件，两者又统称为该 方程的定解条件。静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的泊 松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界条 件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题。
回旋加速器
磁悬浮列车
静态场特性 静态场基本概念
– 静态场是指电磁场中的源量和场量都不随时间发生变化的
场。
D0, B0,V 0
t t t
– 静态场包括静电场、恒定电场及恒定磁场，它们是时变电 磁场的特例。
– 静电场是指由静止的且其电荷量不随时间变化的电荷产生 的电场。
– 恒定电场是指导电媒质中，由恒定电流产生的电场。
因此，对于导体边界的静电场问题，当边界上的电位，或电 位的法向导数给定时，或导体表面电荷给定时，空间的静电场即 被惟一地确定。这个结论称为静电场惟一性定理。
5. 对偶原理
1. (1)概念：如果描述 两种物理现象的方 程具有相同的数学 形式，并具有对应 的边界条件，那么 它们解的数学形式 也将是相同的，这 就是对偶原理，亦 称为二重性原理。 具有同样数学形式 的两个方程称为对 偶方程，在对偶方 程中，处于同等地 位的量称为对偶量。
Boundary Value Problem
静态场的工程应用与特性 5.1 泊松方程和拉普拉斯方程 5.2 镜像法 5.3 分离变量法 5.4 有限差分法
静态场的工程应用
含石英硫酸盐矿
硫酸盐矿
石英
选矿器
喷墨打印机工作原理
均匀电场中带电粒子的 轨迹
阴极射线示波器原理
磁分离器
球坐标系
2 R 1 2 R (R 2 R ) R 2 s 1 in ( s in ) R 2 s 1 in 2 2 2
4. 惟一性定理
数学物理方程是描述物理量随空间和时间的变化规律。对于某一 特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始值与边界值，这 些初始值和边界值分别称为初始条件和边界条件，两者又统称为该 方程的定解条件。静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的泊 松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界条 件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题。
回旋加速器
磁悬浮列车
静态场特性 静态场基本概念
– 静态场是指电磁场中的源量和场量都不随时间发生变化的
场。
D0, B0,V 0
t t t
– 静态场包括静电场、恒定电场及恒定磁场，它们是时变电 磁场的特例。
– 静电场是指由静止的且其电荷量不随时间变化的电荷产生 的电场。
– 恒定电场是指导电媒质中，由恒定电流产生的电场。
因此，对于导体边界的静电场问题，当边界上的电位，或电 位的法向导数给定时，或导体表面电荷给定时，空间的静电场即 被惟一地确定。这个结论称为静电场惟一性定理。
5. 对偶原理
1. (1)概念：如果描述 两种物理现象的方 程具有相同的数学 形式，并具有对应 的边界条件，那么 它们解的数学形式 也将是相同的，这 就是对偶原理，亦 称为二重性原理。 具有同样数学形式 的两个方程称为对 偶方程，在对偶方 程中，处于同等地 位的量称为对偶量。
电磁场与电磁波课件第5章 静态场的边值问题
1 2 ，
然后进行 证明.同样可得出结论,其解唯一.
设φ1φ2是同一有源区域的边值问题
2 的解。 | f1 ( S )
即在区域V内，φ1和φ2满泊松方程，即
1 2 2
2
在V的边界S上，φ1和φ2满足同样的边界条件， 即
5.3.1 导体平面镜像
设在无限大导体平面(z=0)附近有一点电荷与平面距离为z=h 。 若导体平面接地，则导体平面电位为零，如图所示。求上半 空间中的电场。 分析：上半空间任一点 P处的电位，应等于点 电荷q和无限大导体平 板上感应的负电荷产生 的的电位总和。因此， 上半空间的电位问题可 表示为 ：
2
C (常数)
0
1 2
C 0
5.3 镜像法
实质:是以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具有边
界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过程 大为简化。
依据：惟一性定理。等效电荷的引入必须维持原来的边界 条件不变。这些等效电荷通常处于镜像位置，因此称为镜 像电荷，而这种方法称为镜像法。
2 A ( A) A J
人为规定
A 0
这个规定被称为库仑规范
于是有
2 A J
此式即为矢量磁位的泊松方程。
在没有电流的区域有J 0
2 A0
此式即为矢量磁位的拉普拉斯方程。 (2) 磁场的标量位函数 在没有电流分布的区域内，恒定磁场的基本方程变为 H 0 B 0 这样，在无源区域内，磁场也成了无旋场，具有位场的性 质，因此，象静电场一样，我们可以引入一个标量函数， 即标量磁位函数
第4章静态电磁场边值问题的解法精品PPT课件
圆心坐标 (x0,y0)(K K 2 2 1 1b,0) 圆半径 RK 2b 2 1 K
当K 取不同数值时,就得到一族偏心圆。且每个圆的
半径R，圆心位置 x 0 和电轴位置b 之间满足
R 2 b 2 (K 2 b 2 1 K )2 b 2 (K K 2 2 1 1 b )2 x 0 2
将两根线电荷看成两根电轴，并用来求解平行双导 线系统的方法，称为电轴法。
1. 静电场
2
0
/
E1t
D1n
E 2t D2n
0
s
1 2
1
1
n
2
2
n
0s
2. 恒流电场
2 0
E1t E 2t
J
1n
J 2n
1 1
2 1
n
2
2
n
3. 恒流磁场
➢ 标量磁位
2m 0
H 1t B1n
H 2t B2n
m1 m2
1
m1
n
2
m2
n
➢ 矢量磁位
2
A
0
• 利用给定的边界条件确定积分常数，最终得到电位 函数的解。
一. 直角坐标系中的分离变量法
直角坐标系中的拉普拉斯方程：
22x2 y22 2z2 0
设其解为： (x ,y ,z ) X (x ) Y (y )Z (z )
只要虚设电荷和求解区域内实际电荷的共同作用产 生的电场能满足给定的边界条件，则根据唯一性定理， 这种代替是正确有效的。一般虚设电荷处于镜像位置， 故称镜像法。
一.无限大导体平面的镜像法
0 （导板及无穷远处）
P4qr4qr0
（导板及无穷远处）
空间任一点Q点电位为：
第4章 静态场边值问题 电磁场 电磁波 课件
0
f(x)A 1 xA 2 (1 )
2020/10/3
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合肥工业大学
电磁场与电磁波
② 当 kx2 0 时
d2f dx2
kx2f(x)
d2f dx2
kx2f(x)0
通解： f( x ) A 1 s i n k x x A 2 c o s k x x ( 2 )
③ 当 k x 2 0 时 令 kx jx其中 x 为实数
0 x
0
00 00
U0 xx
aa
② x = a, φ(a, y) = 0 ④ y = b, φ(x, b) = U(x)
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电磁场与电磁波
分离变量
令
(x,y)f(x)g(y)
由于在X方向上有重复零点（x＝0和a点），因此 f ( x ) 函数
应为三角函数，即：k x 2 0 且 k y 2 0
dd22fxkx2f(x)0
通解：
f(x ) A 1 e k x x A 2 e k x x
(3 )
或者
f(x)A 1 shxxA 2 chxx
同理可以求得 g(y)和h(z)
双曲函数
利用给定的边界条件确定积分常数，最终得函数的解。
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电磁场与电磁波
例4.3-1 横截面如图所示的导体长槽，上方有一块与槽相互
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电磁场与电磁波
分离变量法解题的一般步骤：
✓ 根据边界的几何形状和场的分布特征选定坐标系，写出 对应的边值问题（微分方程和边界条件）；
✓ 分离变量，将一个偏微分方程，分离成几个常微分方程； ✓ 解常微分方程，并叠加各特解得到通解； ✓ 利用给定的边界条件确定积分常数，最终得函数的解。
《静态场的边值问题》PPT课件
nπ a
b
a nπ
sin
0
a
x sin mπ a
xdx
（x,
y)
n1
4U 0 nsh n
b
sin
nπ a
x sh nπ y a
a
(n 1,3,5，)
（2）U
(
x)
U
0
s
in
π a
x
π
U0 sin a
x
n1
Dn
sin
nπ a
x sh nπ b a
D1＝U 0
sh b
a
Dn＝0 (n 0)
双曲函数
例5-1
一长直金属槽的长度方向上平行于Z轴，其横截面如图5-1所示。其侧壁与
底面电位均为0，而顶盖电位 x, b U x。
分别以（1）U
（2）U x U0
sixnxU，求0，槽内电位
a
的解。
解 本例是一个矩形域的二维场问题。在直角坐标系下，位函数
x,
y
的边值问题为
y
2
x
2
2
y 2
（1） （2） （3） （4）
(5）
2) 分离变量 (x, y) 1 (x)2 ( y)
代入式（1）有
1
1
d 21
dx2
1
2
d 22
dy2
设
1
1
d 21
dx2
，
1
2
d 22
dy2
称为分离常数,可以取值 0, 0和 0
根据 可能的取值，可有6个常微分方程：
1
1
d 21
dx2
0
1 2
第三章 静态场及其边值问题的解PPT课件
0
en (E1 E2) 0
S
或
，0则
D1n E1t
D2 E 2t
n
安徽工程科技学院电气系 周鹏
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
6
场矢量的折射关系
ta1 nE 1/tE 1n1/D 1n1 ta2 n E 2/tE 2n 2/D 2n 2
导体表面的边界条件
介质1
线电荷的电位： (r)4π 1ClR (r)dlC
点电荷的电位： (r) q C 4πR
安徽工程科技学院电气系 周鹏
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
10
3. 电位差
将 E 两端点乘 dl，则有
E d l d l (d x d y d z ) d
x y y
(r ) q 4 π c d 0 r2 o s 4 π p e 0 r r2 4 π p 0 r r3
p qd表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。
安徽工程科技学院电气系 周鹏
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
13
5. 电位的微分方程
在均匀介质 n(D 1D 和2 1)S 2
D
媒质1 1 媒质2 2
1 P1 2 P2
Δl
2n21n1 S
en 1
E1
1
介质2
E2
2
2
在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的边
界条件为
en
D
S
en E 0
或
D E
n t
0
S
安徽工程科技学院电气系 周鹏
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
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φ=0 h r2
场源、边界条件不变
-q
19
待求电位：
点电荷q与-q各自产生电位的叠加：
q q
qq
4r1 4r2
20
待求区域电场强度：
Ex
4qx
1 r13
1 r23
Ey
4qy
1 r13
1 r23
Ez 4qzr13hzr23h
21
导体平面上的感应电荷：
s DnEz
qh
2 x2y2h2 3
qs sdS
n Si gi
i 1,2,, n
gi：边界Si上的位函数外法向偏导数值
10
第三类边值问题
边界条件：求解区域边界分为两部分，一部分边 界上给定位函数值，另一部分边界上 给定位函数沿边界外法向的偏导数值
2
F 0
Si
fi
i 1,2, , k
n Si gi
i k 1, k 2, , n
电磁场与电磁波
静态电磁场边值问题
内容
边值问题 唯一性定理 镜像法 分离变量法
2
作业
1. P137：4.1、4.2、4.3 2. 矩形槽沿直角坐标y方向无限延伸，槽两侧电位为 零，当y→∞时，电位φ→0，底部电位为φ(x, 0) =U0 ， 求槽内电位分布。
3
边值问题
概述
静态场问题
分布型问题：已知场源（电荷、电流），直接计 算空间各点的场强或位函数 边值型问题：已知⑴.位函数方程；⑵.空间某一 确定区域内的场源分布；⑶.该区域的边界条件 （边界面上的位函数或位函数的法向导数），求 区域内位函数的分布
分析：待求电位由q与导体平面感应电荷共同产生；
导体平面感应电荷未知，其
q
分布与空间电场有关； h
待求区域，除q所在点（奇 ε
异点）外，电位均满足 地
Laplace方程
18
镜像法：
对称位置放置虚拟的镜像电荷（等值异号）；
移去导电平面； 同一媒质；
问题转化：无限大均匀媒质 ε
中两点电荷的电
ε
位问题
q r1 h
q
q 2
q q q q
31
待求电荷：
q q
1 2 1 2 2 1q qFra bibliotek1 2
由q、q´、q〞直接求解电场与电位
32
问题二：无限大空间存在介电常数分别为ε1、ε2的 两种介质，介质1中距分界面为h处放置一均匀带电
无限长直导线，电荷密度为ρ，求解两介质中的电
场与电位
33
镜像法：
q的位置再放置点电荷q″； 移去分界面； 同一介质（介质二）； q与q"共同产生电场与电位
q+q"
h r3
ε2 ε2
q"的值待定
29
求解：
介质一电场：
E14q1r12 4q1r22
介质二电场：
E2
q q
4 2r33
30
应用边界条件： E1t E2t
1E1n 2E2n
求解待定电荷：
q
q 1
2qh
dxdy x2y2h2 3
22
问题二：无限大接地导体平面上方，距导体平面为h
处平行放置一电荷均匀分布的无限长直导线，电荷
密度为ρ，求解导体平面上方空间的电位
分析：待求电位由导线与导体平面感应电荷共同产生；
导体平面感应电荷未
知；
ρ
待求区域，除导线位
置外，电位均满足
ε
h
Laplace方程 23
分析：待求电场与电位由q与分界面上束缚电荷共同产生；
问题分解：
q
介质1，介电常数ε1；
h
介质2，介电常数ε2
ε1
两区域分别求解
ε2
27
镜像法（介质一）：
对称位置放置镜像电荷q´；
移去分界面；
同一介质（介质一）；
ε1
q与q´共同产生电场与电位 ε1
q´的值待定
q
r1
h
r2 h
q'
28
镜像法（介质二）：
5
边值问题的求解
已知求解区域，确定边界条件； 求解位函数方程（Poisson方程或Laplace方程）， 得到位函数的解； 由位函数与场强间的关系得到电场、磁场的解
6
边值问题求解方法
解析法：边值问题的解可以用数学表达式描述， 包括：镜像法； 分离变量法； 复变函数法； 格林函数法
7
数值法：边值问题的解无法用数学表达式描述， 只能由空间各点离散值表示 包括：差分方程法； 积分方程法； 有限元法； 边界元法
镜像法：
叠加原理：导线分解为无穷多线电荷元，近似点电荷； 对称位置放置镜像电荷（镜像电荷叠加为虚拟无限长直 导线，带等量异号电荷，电荷密度为-ρ）； 移去导电平面，同一媒质； 问题转化：无限大均匀媒质中两无限长带电直导线产生 的电位问题
场源、边界条件不变
24
待求电位：
两无限长直导线各自产生
电位的叠加
则空间中各部分的场唯一确定。 满足Poisson方程或Laplace方程以及给定边界条 件的的解是唯一的
15
镜像法
概述
镜像法
建立在静态电磁场唯一性定理基础之上； 镜像法思想：
放置适当的“镜像电荷”代替边界的影响； 镜像问题的解满足原问题的边界条件
17
无限大导体平面
问题一：无限大接地导体平面上方，距导体平面为h 处存在一点电荷q，求解导体平面上方空间的电位
ln r2 2 r1
ρ
ε
h
h
-ρ
25
总结
镜像电荷位于求解区域之外，与场源电荷相对于 边界对称； 镜像电荷与边界上电荷电量相等，性质相同； 镜像电荷与场源电荷电量相等，性质相反； 方法只对求解区域有效
26
无限大介质平面
问题一：无限大空间存在介电常数分别为ε1、ε2的两 种介质，介质1中距分界面为h处放置一点电荷q，求 两种介质中的电场与电位
11
辅助边界条件
媒质分界面
求解区域为非单一媒质，其中存在分区均匀媒质； 辅助边界条件：任意两种媒质分界面上位函数的
边界条件
12
无限大求解空间
场源分布于有限区域中； 无穷远处位函数的边界条件： 若满足：
limr
r
则：
0 13
唯一性定理
静态电磁场唯一性定理
任意静态电磁场中，已知： ⑴.空间各点的电荷分布（或电流分布）； ⑵. 边界条件
叠加原理：导线分解为近似点电荷； 设等效电荷密度ρ'、ρ"：
ρ'与ρ镜像； ρ"与ρ同一位置； 由边界条件确定ρ'、ρ"
34
等效电荷密度：
1 2 1 2
2 1 1 2
由ρ、ρ'、ρ"直接求解电场与电位
35
分离变量法
概述
分离变量法是求解数学物理方程最广泛的解析方 法之一； 分离变量法将待求的多变量函数表示为若干单变 量函数的乘积，从而将求解偏微分方程转化为求 解常微分方程； 应用分离变量法时，通常将边界面与某一坐标面 相重合，或分段重合，使坐标变量成为单变量函 数的自变量
8
边值问题分类
第一类边值问题（Dirichlet问题）
边界条件：给定求解区域整个边界上的位函数值
2
F 0
Si
fi
i 1,2,, n
Si：求解区域的边界 fi：边界Si上的位函数值
9
第二类边值问题（Neumann问题）
边界条件：给定求解区域整个边界上位函数沿边 界外法向的偏导数值
2
F 0
场源、边界条件不变
-q
19
待求电位：
点电荷q与-q各自产生电位的叠加：
q q
4r1 4r2
20
待求区域电场强度：
Ex
4qx
1 r13
1 r23
Ey
4qy
1 r13
1 r23
Ez 4qzr13hzr23h
21
导体平面上的感应电荷：
s DnEz
qh
2 x2y2h2 3
qs sdS
n Si gi
i 1,2,, n
gi：边界Si上的位函数外法向偏导数值
10
第三类边值问题
边界条件：求解区域边界分为两部分，一部分边 界上给定位函数值，另一部分边界上 给定位函数沿边界外法向的偏导数值
2
F 0
Si
fi
i 1,2, , k
n Si gi
i k 1, k 2, , n
电磁场与电磁波
静态电磁场边值问题
内容
边值问题 唯一性定理 镜像法 分离变量法
2
作业
1. P137：4.1、4.2、4.3 2. 矩形槽沿直角坐标y方向无限延伸，槽两侧电位为 零，当y→∞时，电位φ→0，底部电位为φ(x, 0) =U0 ， 求槽内电位分布。
3
边值问题
概述
静态场问题
分布型问题：已知场源（电荷、电流），直接计 算空间各点的场强或位函数 边值型问题：已知⑴.位函数方程；⑵.空间某一 确定区域内的场源分布；⑶.该区域的边界条件 （边界面上的位函数或位函数的法向导数），求 区域内位函数的分布
分析：待求电位由q与导体平面感应电荷共同产生；
导体平面感应电荷未知，其
q
分布与空间电场有关； h
待求区域，除q所在点（奇 ε
异点）外，电位均满足 地
Laplace方程
18
镜像法：
对称位置放置虚拟的镜像电荷（等值异号）；
移去导电平面； 同一媒质；
问题转化：无限大均匀媒质 ε
中两点电荷的电
ε
位问题
q r1 h
q
q 2
q q q q
31
待求电荷：
q q
1 2 1 2 2 1q qFra bibliotek1 2
由q、q´、q〞直接求解电场与电位
32
问题二：无限大空间存在介电常数分别为ε1、ε2的 两种介质，介质1中距分界面为h处放置一均匀带电
无限长直导线，电荷密度为ρ，求解两介质中的电
场与电位
33
镜像法：
q的位置再放置点电荷q″； 移去分界面； 同一介质（介质二）； q与q"共同产生电场与电位
q+q"
h r3
ε2 ε2
q"的值待定
29
求解：
介质一电场：
E14q1r12 4q1r22
介质二电场：
E2
q q
4 2r33
30
应用边界条件： E1t E2t
1E1n 2E2n
求解待定电荷：
q
q 1
2qh
dxdy x2y2h2 3
22
问题二：无限大接地导体平面上方，距导体平面为h
处平行放置一电荷均匀分布的无限长直导线，电荷
密度为ρ，求解导体平面上方空间的电位
分析：待求电位由导线与导体平面感应电荷共同产生；
导体平面感应电荷未
知；
ρ
待求区域，除导线位
置外，电位均满足
ε
h
Laplace方程 23
分析：待求电场与电位由q与分界面上束缚电荷共同产生；
问题分解：
q
介质1，介电常数ε1；
h
介质2，介电常数ε2
ε1
两区域分别求解
ε2
27
镜像法（介质一）：
对称位置放置镜像电荷q´；
移去分界面；
同一介质（介质一）；
ε1
q与q´共同产生电场与电位 ε1
q´的值待定
q
r1
h
r2 h
q'
28
镜像法（介质二）：
5
边值问题的求解
已知求解区域，确定边界条件； 求解位函数方程（Poisson方程或Laplace方程）， 得到位函数的解； 由位函数与场强间的关系得到电场、磁场的解
6
边值问题求解方法
解析法：边值问题的解可以用数学表达式描述， 包括：镜像法； 分离变量法； 复变函数法； 格林函数法
7
数值法：边值问题的解无法用数学表达式描述， 只能由空间各点离散值表示 包括：差分方程法； 积分方程法； 有限元法； 边界元法
镜像法：
叠加原理：导线分解为无穷多线电荷元，近似点电荷； 对称位置放置镜像电荷（镜像电荷叠加为虚拟无限长直 导线，带等量异号电荷，电荷密度为-ρ）； 移去导电平面，同一媒质； 问题转化：无限大均匀媒质中两无限长带电直导线产生 的电位问题
场源、边界条件不变
24
待求电位：
两无限长直导线各自产生
电位的叠加
则空间中各部分的场唯一确定。 满足Poisson方程或Laplace方程以及给定边界条 件的的解是唯一的
15
镜像法
概述
镜像法
建立在静态电磁场唯一性定理基础之上； 镜像法思想：
放置适当的“镜像电荷”代替边界的影响； 镜像问题的解满足原问题的边界条件
17
无限大导体平面
问题一：无限大接地导体平面上方，距导体平面为h 处存在一点电荷q，求解导体平面上方空间的电位
ln r2 2 r1
ρ
ε
h
h
-ρ
25
总结
镜像电荷位于求解区域之外，与场源电荷相对于 边界对称； 镜像电荷与边界上电荷电量相等，性质相同； 镜像电荷与场源电荷电量相等，性质相反； 方法只对求解区域有效
26
无限大介质平面
问题一：无限大空间存在介电常数分别为ε1、ε2的两 种介质，介质1中距分界面为h处放置一点电荷q，求 两种介质中的电场与电位
11
辅助边界条件
媒质分界面
求解区域为非单一媒质，其中存在分区均匀媒质； 辅助边界条件：任意两种媒质分界面上位函数的
边界条件
12
无限大求解空间
场源分布于有限区域中； 无穷远处位函数的边界条件： 若满足：
limr
r
则：
0 13
唯一性定理
静态电磁场唯一性定理
任意静态电磁场中，已知： ⑴.空间各点的电荷分布（或电流分布）； ⑵. 边界条件
叠加原理：导线分解为近似点电荷； 设等效电荷密度ρ'、ρ"：
ρ'与ρ镜像； ρ"与ρ同一位置； 由边界条件确定ρ'、ρ"
34
等效电荷密度：
1 2 1 2
2 1 1 2
由ρ、ρ'、ρ"直接求解电场与电位
35
分离变量法
概述
分离变量法是求解数学物理方程最广泛的解析方 法之一； 分离变量法将待求的多变量函数表示为若干单变 量函数的乘积，从而将求解偏微分方程转化为求 解常微分方程； 应用分离变量法时，通常将边界面与某一坐标面 相重合，或分段重合，使坐标变量成为单变量函 数的自变量
8
边值问题分类
第一类边值问题（Dirichlet问题）
边界条件：给定求解区域整个边界上的位函数值
2
F 0
Si
fi
i 1,2,, n
Si：求解区域的边界 fi：边界Si上的位函数值
9
第二类边值问题（Neumann问题）
边界条件：给定求解区域整个边界上位函数沿边 界外法向的偏导数值
2
F 0