换底公式一

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对数函数运算公式大全

对数函数运算公式大全对数函数是指以常数为底的对数函数。

对数函数运算公式如下：1. 对数函数定义：对数函数的定义为 y = logₐ(x)，其中 a 为底数，x 为实数。

2.换底公式：- logₐ(x) = logₑ(x) / logₑ(a)，其中 logₑ表示以自然对数为底的对数。

- logₐ(x) = 1 / logₐ⁡(a)。

- logₐ(b) = logₐ(c) / logₐ(b)，其中 b、c 为任意正数。

3.对数函数的性质：- logₐ(1) = 0，对于任意正数 a。

- logₐ(a) = 1，对于任意正数 a。

- logₐ(a^m) = m，对于任意正数 a 和整数 m。

- logₐ(m * n) = logₐ⁡(m) + logₐ⁡(n)，对于任意正数 a、m 和 n。

- logₐ(m / n) = logₐ⁡(m) - logₐ⁡(n)，对于任意正数 a、m 和 n。

- logₐ(m^n) = n * logₐ⁡(m)，对于任意正数 a、m，并且 n 为任意实数。

- a^logₐ⁡(x) = x，对于任意正数 a 和实数 x。

4.常用对数函数：- 以底数 10 的对数函数称为常用对数函数，记为 log(x) 或 lg(x)。

- log(x) 的运算规则与对数函数相同。

5.自然对数函数：- 以底数 e(自然常数) 的对数函数称为自然对数函数，记为 ln(x)。

- ln(x) 的运算规则与对数函数相同。

6.对数函数的图像及性质：-对数函数的图像是一个以点(1,0)为对称轴的增函数，即随着x的增大，y也增大。

- 当 x > 1 时，logₐ⁡(x) > 0；当 0 < x < 1 时，logₐ⁡(x) < 0；当 x = 1 时，logₐ⁡(x) = 0。

-当a>1时，对数函数呈现上凸形状；当0<a<1时，对数函数呈现下凸形状。

以上是对数函数运算公式的大致内容，其中包含了对数函数的定义、换底公式、性质以及常用对数函数和自然对数函数的特点。

换底公式原理

换底公式原理好的，以下是为您生成的关于“换底公式原理”的文章：咱先来说说这换底公式，它在数学里可有着不小的作用呢！打个比方哈，就像咱们出门旅游，有时候会换不同的交通工具，比如从坐火车换成坐飞机，目的都是为了更快更方便地到达目的地。

这换底公式就像是数学世界里的“交通工具换乘”。

那换底公式到底是啥呢？它就是：logₐb = logₓb / logₓa 。

这里的 a、b、x 都是正数，而且 a 不等于 1 ，x 也不等于 1 。

咱来仔细琢磨琢磨，为啥要有这么个公式呢？想象一下，你在计算数学题的时候，有时候给你的底数不太顺手，就好像你拿着一把不太称手的工具干活儿，那多费劲啊！这时候换底公式就派上用场啦，它能帮你把底数换成你觉得好处理的那个，让解题变得轻松一些。

比如说，有一道题让你算 log₂5 ，直接算可能有点头疼。

但要是用换底公式，把它换成以 10 为底，那就是 log₁₀5 / log₁₀2 。

这时候，你是不是觉得心里有底多了？因为以 10 为底的对数咱比较熟悉呀，查对数表或者用计算器都能很快得出结果。

我还记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙皱着眉头问我：“老师，这换底公式到底有啥用啊，感觉好麻烦！”我笑着跟他说：“别着急，咱们来做一道题你就明白啦。

”于是我出了一道题：已知 log₃8 = x ，求 log₆4 。

一开始这小家伙还一脸迷茫，后来我引导他用换底公式把 log₆4 换成以 3 为底的形式，他突然眼睛一亮，“哎呀，老师，我懂啦！”看着他那恍然大悟的表情，我心里别提多高兴了。

其实在生活中也有类似换底公式的道理。

就好比你做一件事情，用一种方法走不通，那就换一种方法试试，说不定就能柳暗花明又一村呢！再深入想想，这换底公式还能帮助我们比较不同底数的对数的大小。

比如说要比较 log₂3 和 log₃2 的大小，直接看很难判断，但用换底公式都换成以 10 为底，就能算出具体的值，然后轻松比较大小啦。

高一数学log换底公式

高一数学log换底公式对于学习高中数学的同学来说，log换底公式是一个非常重要且常用的公式。

掌握了log换底公式，可以简化解决一些数学题目的过程，提高解题效率。

下面我们就一起来详细地了解一下log换底公式的概念、原理和应用。

首先，我们需要了解log的概念。

log是以10为底数的对数函数，表示为logₐx，其中a表示底数，x表示真数。

log函数的作用是求出一个数x以底数a的幂次为多少。

假设$logₐb=c$，那么根据对数的定义，我们可以得到$a^c=b$。

这里的c表示以a为底数，b的对数。

换底公式就是将已知以一个底数表示的对数，换算成以另一个底数表示的对数。

设$a>0且a≠1$，b>0，c>0，且$a≠1$，则换底公式为：$logₐb=\frac{log_cb}{log_ca}$。

这个公式就是log换底公式。

公式中的a、b、c分别表示真数、新底数、旧底数。

接下来，我们来分析一下换底公式的原理。

换底公式的推导利用了对数的换底原则，即对于任意底数a,b和c，$log_ab=\frac{log_cb}{log_ca}$。

我们可以通过换底原理，将以任意底数表示的对数转换成以其他底数表示的对数。

换底公式的原理是基于对数的性质：对数之间可以进行变基公式的转化。

通过换底公式，我们可以将一个对数转换为另一个底数的对数。

这样，在实际解题中，我们就可以更方便地进行计算。

换底公式在实际应用中有很多用途。

一方面，它可以简化计算过程。

例如，如果我们需要计算$log_{100}2$，我们可以利用换底公式将其转换为$log_22/log_2100$，然后就可以直接计算结果。

另一方面，换底公式可以用于解决一些难题。

比如，当我们遇到无法直接计算的对数问题时，可以通过换底公式将其转换为其他底数的对数，再进行计算。

这样可以大大简化解题的难度，提高解题的效率。

总结一下，换底公式是高中数学中一个非常重要且常用的公式。

通过掌握换底公式，我们可以在解题过程中简化计算，提高解题效率。

换底公式

(3)
loga
M N
log a M log a N;
例3：科学家以里氏震级来度量地震的强度。若设 I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r可定义为r=0.6lgI，试比较6.9级和7.8级地震的相对能量程度。
解：设6.9级和7.8级地震的相对能量程度
分别为I1和I2，由题意得
6.9 0.6 lg I1 ,
loga b logb c logc a 1.(a 0, b 0,c 0,a 1, b 1,c 1)
证明：
loga b logb c logc a
lg b lg c lg a 1 lg a lg b lg c
2.利用换底公式求值。
(1) log2 25 log3 4 log5 9 ___8____
5
3 (1)log6 216 2
(2) log0.5 1 log0.5 4 2
3.用lgx,lgy,lgz表示下列各式。
(1) lg(x2 yz 3) 2 lg x lg y 3 lg z
(2) lg
x y3z
1 lg x 3 lg y lg z 2
问题1: 使用对数的运算法则运算的前提条件是“同底”，如果底不同怎么办？问题2: 我们知道科学计算器通常只能对常用对数或自然对数进行计算，要计算log215，必须将它换成常用对数或自然对数，如何转换？
2.三个结论：
(1)负数和零没有对数
(2) loga 1 0, loga a 1
(3)aloga N N
复习旧知
积、商、幂对数的运算法则
如果a>0,a≠1,M>0,N>0 ,则：
(1) log a (MN) log a M log a N;

换底公式课件1

4．利用换底公式求值： 2 (1)log54· log85＝ 3 .
10 (2)log89· log2732＝ 9 .
[解析]
lg4 lg5 2 (1)原式＝ · ＝ . lg5 lg8 3
lg9 lg32 2lg3 5lg2 10 (2)log89· log2732＝lg8×lg27＝3lg2×3lg3＝ 9 .
先利用换底公式化成同底的对数，然后根据对数的运算法则求解．
[解析]
解法一：log189＝a,18b＝5，∴log185＝b，
log1845 log189×5 log189＋log185 ∴log3645＝log 36＝＝ log1818×2 1＋log182 18 a＋b ＝ 18＝2－a. 1＋log18 9 a＋b
logcb 2．换底公式： logab＝ (其中 a>0 且 a≠1， c>0 且 c≠1， logca b>0)． 3．由换底公式可得： 1 (1)logab＝log a(a>0 且 a≠1，b>0 且 b≠1)． b
n (2)logambn＝ m logab(其中 a>0 且 a≠1，b>0)
思路方法技巧
命题方向 1 换底公式的应用
[例 1]
1 1 1 (1)计算 log2 · log3 · log5 . 25 8 9
(2)若 log34· log48· log8m＝log42，求 m 的值． [分析] (1)将底统一成以 10 为底的常用对数； (2)等式左
边前一个对数的真数是后面对数的底数，利用换底公式很容易进行约分求解 m 的值．
lg27 lg33 3lg3 (2)解法一： (换成以 10 为底)： log927＝ lg9 ＝lg32＝2lg3＝ 3 2.

指数函数换底公式

指数函数换底公式指数函数换底公式是数学中非常重要的一个公式，它能够解决指数函数运算中底数不同的问题，也是解决指数函数方程的一个关键方法。

换底公式的推导和运用涉及到对数函数的性质和指数函数的特点，下面我将详细介绍指数函数换底公式。

1.指数函数和对数函数的关系对于指数函数y = a^x，其中a为常数且a>0，a≠1，我们可以通过对数函数来描述这个指数函数。

首先，我们定义以a为底b的对数为log_a b，它表示满足a^x = b的x值。

对数函数的定义域为(0,∞)，值域为(-∞,+∞)。

2.换底公式的推导假设我们要将指数函数y=a^x换底为底为b的指数函数。

我们可以先将a^x转化为以e为底的指数函数，然后再将以e为底的指数函数转换为底为b的指数函数。

具体推导如下：2.1将a^x转化为以e为底的指数函数根据指数函数和对数函数的关系，我们有以下等式：a^x = e^(ln a^x) = e^(x ln a)其中ln a表示以e为底的对数函数，它满足e^(ln a) = a。

2.2将以e为底的指数函数转换为底为b的指数函数根据指数函数和对数函数的关系，我们有以下等式：e^(x ln a) = (e^(ln a))^x = a^x所以，将以e为底的指数函数转换为底为b的指数函数时，只需要将指数部分由ln a替换为ln b即可。

综上所述，指数函数换底公式可以表示为：a^x = (b^ln a)^x3.换底公式的运用3.1不同底数之间的换算当我们需要计算底数不同的指数函数的值时，可以利用换底公式将其转化为同一底数的指数函数进行计算。

例如，计算2^3.2和5^1.6的值，我们可以先将2^3.2换底为以5为底的指数函数：2^3.2 = (5^(ln 2))^3.2然后计算5^（ln 2）的值，再将其代入计算。

3.2指数方程的求解当需要解决形如a^x=b的指数方程时，可以利用换底公式将其转化为以同一底数的指数方程进行求解。

和你一起学习对数的换底公式

ʏ刘长柏对数的换底公式可以实现不同底数的对数式之间的转化,它可正用㊁逆用,还可以变形应用㊂灵活应用对数的换底公式,有利于提高解题能力和应变能力㊂一㊁换底公式的正用例1 若l o g 142=a ,14b=5,用a ,b 表示l o g 3528=㊂解:因为14b=5,所以b =l o g 145,所以l o g 3528=l o g 1428l o g 1435=l o g 1414+l o g 142l o g 1414+l o g 145-l o g 142=1+a1+b -a㊂对数的换底公式中的底,可由题中的条件决定,也可换为常用对数的底㊂用已知对数的值表示所求对数的值的关键是灵活换底㊂练习1:已知l g 2=a ,l g 3=b ,则l o g 475=( )㊂A .a -b +22a B .b -2a +22aC .b -a +22aD .2a -b +22a提示:因为l o g 475=l g 75l g 4=l g 3ˑ522l g2=l g 3+2l g 52l g 2=l g 3+2(1-l g 2)2l g2,又l g 2=a ,l g 3=b ,所以l o g 475=b +2-2a2a㊂应选B ㊂二㊁换底公式的逆用例2 若2x=5,l o g 35=y ,则x -y x +y=㊂解:因为2x=5,所以x =l o g 25,所以x -y x +y =1y -1x1y +1x =l o g 53-l o g 52l o g 53+l o g 52=l o g 523l o g 56=l o g 623㊂逆向应用对数的换底公式是解答本题的关键㊂练习2:已知2x=3,l o g 289=y ,则yx=㊂提示:由2x=3,可得x =l o g 23㊂因为y =l o g 289,所以y x =l o g 289l o g 23=l o g 389=3l o g 32-2㊂三㊁换底公式的变形应用例3 若12a =3b=m ,且1a -1b=2,则m =㊂解:因为12a =3b=m ,且1a -1b=2,所以m >0且m ʂ1,所以a =l o g 12m ,b =l o g 3m ,所以1a =l o g m 12,1b =l o g m 3,所以1a -1b=l o g m12-l o g m 3=l o g m4=2,所以m =2㊂换底公式的变形式l o g ab =1l o g ba ,体现了底数㊁真数交换后,两个对数的关系㊂本题将指数式转化为对数式,求出1a ,1b ,代入1a -1b=2,再利用对数的运算性质得到m 的值㊂练习3:已知3a =5b=A ,且1a +2b=2,则A 等于㊂提示:由3a =5b=A ,可得a =l o g 3A ,b =l o g 5A ,且A >0,所以1a =l o g A 3,1b=l o g A5㊂因为1a +2b=2,所以l o g A 3+2l o g A5=2,可得l o g A 3+l o g A 25=2,即l o g A75=2,所以A 2=75㊂因为A >0,所以A =53㊂作者单位:江苏省盐城市时杨中学(责任编辑郭正华)6知识结构与拓展高一数学 2023年11月。

换底公式

log x z log x y log y z log x y log x z log x y
还可以变形,得
② log x y log y z log x z
公式的运用：利用换底公式统一对数底数，即“化异为同” 是解决有关对数问题的基本思想方法；
log 8 9 log 27 32
log c b log a b log c a
n
(a, c (0,1) (1,), b 0) a, b (0,1) (1,)
n log am b log a b m log a b log b a 1
例三、设求证：
3x 4 y 6 z t 1
2 10 lg
9 5
2+ ຫໍສະໝຸດ g 2 lg10 2+ lg 2
= ( 1 －lg 2 ) 2 + lg 2 ( 1 －lg 2 ) + lg 2 = 1 －2lg 2 + lg 2 2 + lg 2 －lg 2 2 + lg 2 =1
2、已知 lg x + lg y = 2lg ( x －2y )，求 log
3)x 2 3
3或( 2
∴ x = 1 或 x = －1 故方程的解为 x = 1 或 x = －1.
，一定要求
log 18 2 1 a
log18 45 log18 9 log18 5 a b log 36 45 log18 36 1 log18 2 2a
利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，它在求值或恒等变形中起了重要作用，在解题过程中应注意：（1）针对具体问题，选择好底数；（2）注意换底公式与对数运算法则结合使用；（3）换底公式的正用与逆用；

高中数学知识点精讲精析换底公式

3.4.2 换底公式1.对数换底公式：证明：设 a log N = x , 则 x a两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =⇒= 从而得：a N x m m log log = ∴ aN N m m a log log log =2.两个常用的推论:①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a ② b mn b a n a m log log =（ a, b > 0且均不为1证：①1lg lg lg lg log log =⋅=⋅ba ab a b b a ②b m n a m b n a b b a m n na m log lg lg lg lg log ===常用对数换底公式：换底公式的一个简单的证明：设，由对数定义可知：，代入右式得：，故左边=右边，得证换底公式的意义是把一个对数式的底数改变可将不同底问题化为同底，便于使用运算法则．例1 已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b, 用 a, b 表示42log 56解：因为2log 3 = a ，则2log 13=a , 又∵3log 7 = b, ∴1312log 7log 2log 37log 42log 56log 56 log 33333342+++=++⋅+==b ab ab lg log (0,1,0)lg a N N a a N a =>≠>log a N x =N a x =log log log log log log x b b b b b b N a x a x a a a ===例2计算：①3log 12.05- ② 4219432log 2log 3log -⋅ 解：①原式 = 15315555531log 3log 52.0===②原式 = 2345412log 452log 213log 21232=+=+⋅例3设),0(,,+∞∈z y x 且z y x 643==1︒ 求证 zy x 1211=+ ； 2︒ 比较z y x 6,4,3 证明1︒：设k z y x ===643 ∵),0(,,+∞∈z y x ∴1>k取对数得：3lg lg k x = ， 4lg lg k y =， 6lg lg k z = ∴zk k k k k y x 1lg 6lg lg 22lg 23lg 2lg 24lg 3lg 2lg 24lg lg 3lg 211==+=+=+=+ 2︒ k y x lg )4lg 43lg 3(43-=-04lg 3lg 8164lg lg lg 4lg 3lg 81lg 64lg <=-=k k ∴y x 43<又：k z y lg )6lg 64lg 4(64-=-06lg 2lg 169lglg lg 6lg 2lg 64lg 36lg <⋅=-=k k ∴z y 64<∴z y x 643<<例4已知a log x=a log c+b ，求分析：由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将a log c 移到等式左端，或者将b 解法一：由对数定义可知：b c a a x +=log b c a a a ⋅=log b a c ⋅=解法二：由已知移项可得b c x a a =-log log ，即b c x a =log 由对数定义知：b ac x = b a c x ⋅=∴解法三：b a a b log = b a a a ac x l o g l o g l o g +=∴b a a c ⋅=l o g b a c x ⋅=∴。

换底公式

则 x=log0.840.5 = ln0.84/ln0.5 ≈3.98
所以经过4年，该物质的剩留量是原来的一半。
推广公式：
1 a 0, b 0, a 1, b 1. (1) loga b logb a m m (2) log a n b log a ba 0, b 0, a 1. n
log a N 换底公式： log b N log a b
x 证明：设 log b N x, 则：b N log a b log a N x log a b log a N
x
log a N x log a b
loga N 即logb N loga b
练习1.利用换底公式把下列各式转化为
常数对数和自然对数：
log3 4
log2 2.5
log0.2 3
logc d (c 0且c 1, d 0)
练习2.化简：
log5 3 log5 4
log2 2.5 log2 0.2
lg 5 lg 2
ln 0.1 ln 3
换底公式
练习3.利用换底公式计算下式
log 4 log 5 log 3 3 4 5
换底公式：
log a N log b N (a 0, a 1, b 0, b 1, N 0) log a b
log a a 1 特例： N a 时，log b a log a b log a b
即loga b logb a 1
lg N 通常我们取以10为底的对数 loga N lg a
特别的 log bn log ba 0, b 0, a 1. a a
n
1 log a n b log a ba 0, b 0, a 1. n

高中数学同步学案换底公式

2．2.2 换底公式换底公式1．换底公式log a N ＝log c Nlog c a (a>0,a≠1,c>0,c≠1,N>0)2．几个常见结论： (1)log a b·log b a ＝1； (2)log a n b n＝log a b ； (3)log a m b n＝n mlog a b ；(4)log a b·log b c·log c d ＝log a d.1．换底公式如何证明？ [提示] 设x ＝log a b,则a x＝b, 两边取以c 为底的对数得 log c a x＝log c b 即xlog c a ＝log c b, 所以x ＝log c b log c a ,即log a b ＝log c blog c a .2．写出下面几个式子的值．(1)log 28；(2)log 416；(3)log 24；(4)log 322；(5)log 6416. [提示] (1)3 (2)2 (3)4 (4)110 (5)23对数式的求值[例1] 求值：(1)log 23·log 35·log 516；(2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)．[思路点拨] 先利用换底公式化同底,再运用运算性质． [解] (1)因为log 23＝lg3lg2,log 35＝lg5lg3,log 516＝lg16lg5.所以log 23·log 35·log 516＝lg3lg2·lg5lg3·lg16lg5＝lg16lg2＝4lg2lg2＝4. (2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg2lg3＋lg2lg9⎝ ⎛⎭⎪⎫lg3lg4＋lg3lg8＝⎝⎛⎭⎪⎫lg2lg3＋lg22lg3⎝ ⎛⎭⎪⎫lg32lg2＋lg33lg2＝3lg22lg3·5lg36lg2＝54.借题发挥换底公式即将底数不同的对数转化为底数相同的对数,进而化简、计算与证明,在化简求值过程中,出现不同底数的对数不能运用运算法则时,可统一化成以同一个实数为底的对数,再根据运算法则进行化简和求值.1．计算： (1)log 927； (2)log 89·log 2732； (3)log 21125·log 3132·log 513.解：(1)log 927＝log 327log 39＝log 333log 332＝3log 332log 33＝32. (2)log 89·log 2732＝lg9lg8·lg32lg27＝lg32lg23·lg25lg33＝2lg33lg2·5lg23lg3＝109. (3)log 21125·log 3132·log 513＝log 25－3·log 32－5·log 53－1＝－3log 25·(－5log 32)·(－log 53) ＝－15·lg5lg2·lg2lg3·lg3lg5＝－15.条件等式的求值与证明[例2] 设a,b,c 都是正数,且3a ＝4b ＝6c,证明：a ＋b ＝c.[思路点拨] 解答本题可以先令3a ＝4b ＝6c＝k,两边取对数后,表示出a,b,c,再用换底公式代入证明．证明：法一：设3a＝4b＝6c＝k(a,b,c 均为正数,k>0), 则a ＝log 3k,b ＝log 4k,c ＝log 6k. ∴1a ＝log k 3,1b ＝log k 4,1c ＝log k 6, ∴2log k 3＋log k 4＝2log k 6, 即2a ＋1b ＝2c. 法二：对3a＝4b＝6c 同时取以10为底的对数, 得lg3a＝lg4b＝lg6c, ∴alg3＝blg4＝clg6,∴c a ＝lg3lg6＝log 63,c b ＝lg4lg6＝log 64, ∵2log 63＋log 64＝log 636＝2, 即2c a ＋c b ＝2,∴2a ＋1b ＝2c. 借题发挥换底公式的主要作用就是化不同底为同底,只有化同底后方可使用对数的运算性质,在条件求值中,常常是把所求靠拢已知,根据已知的条件,逐步消除已知与未知之间的差异,使问题顺利解决.2．已知2x＝3,log 483＝y,求x ＋2y 的值．解：因为2x＝3,所以x ＝log 23.所以x ＋2y ＝log 23＋2log 483＝log 23＋log 283＝log 23＋log 28－log 23＝log 223＝3.1.log 89log 23的值为( ) A ．2 B ．3 C.32 D.23答案：D2．已知lg2＝a,lg3＝b,则log 36＝( ) A.a ＋b a B.a ＋bbC.a a ＋b D.b a ＋b解析：选B log 36＝lg6lg3＝lg2＋lg3lg3＝a ＋b b.3．已知log 34·log 48·log 8m ＝log 416,则m 的值为( ) A.12 B ．9 C ．18D ．27解析：选B 由题知lg4lg3·lg8lg4·lgm lg8＝lg16lg4,∴lgm lg3＝lg16lg4＝2,∴lgm ＝lg32＝lg9,m ＝9. 4．若log a b·log 3a ＝4,则b 的值为________．解析：log a b·log 3a ＝lg b lg a ·lg a lg 3＝lg blg 3＝4,所以lg b ＝4lg 3＝lg 34,所以b ＝34＝81. 答案：815．已知log a x ＝1,log b x ＝2,log c x ＝4,则log abc x ＝________. 解析：由已知得log x a ＝1,log x b ＝12,log x c ＝14.∴log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c ＝11＋12＋14＝47. 答案：476．求(log 23＋log 89)(log 34＋log 98＋log 32)的值．解：原式＝(log 23＋log 2332)(log 322＋log 3223＋log 32)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53log 23⎝ ⎛⎭⎪⎫92log 32＝152.已知log 189＝a,18b＝5,求log 3645,你能用不同的方法解决这个问题吗？让我来试试吧！ ∵18b＝5,∴log 185＝b,于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 189×5log 1818×2＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b2－a.看我的！∵18b＝5,∴log 185＝b,于是log 3645＝log 189×5log 181829＝log 189＋log 1852log 1818－log 189 ＝a ＋b2－a.我也能解． ∵log 189＝a,18b＝5, ∴lg9＝alg18,lg5＝blg18. ∴log 3645＝lg45lg36＝lg9×5lg 1829＝lg9＋lg52lg18－lg9 ＝alg18＋blg182lg18－alg18＝a ＋b2－a.一、选择题1．下列各式中正确的是( ) A ．log 23·log 8116＝1 B.log 24log 28＝－1 C ．lg4·lg9＝lg36D ．(log 515)3＝－3解析：选A log 23·log 8116＝lg3lg2·lg16lg81＝lg3lg2·4lg24lg3＝1.2．若log 37·log 29·log 49a ＝log 412,则a 的值等于( )A.14B.22C. 2D ．4解析：选B 原方程可化为log 37·2log 23·12log 7a ＝－12,即log 2a ＝－12,∴a ＝212-＝22.3．设lg2＝a,lg3＝b,那么lg 1.8等于( ) A.12(a ＋2b －1) B ．a ＋b －1 C.12(2a ＋b －1) D ．a ＋b解析：选A lg 1.8＝12lg(0.1×9×2)＝12(lg2＋lg9＋lg0.1)＝12(a ＋2b －1)． 4．已知lga 、lgb 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两根,则⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2的值是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C lga ＋lgb ＝2,lga·lgb＝12,⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2＝(lga －lgb)2＝(lga ＋lgb)2－4lga·lgb＝22－4×12＝2.二、填空题5．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，3x，x≤0，那么f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值为________．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2,f(－2)＝3－2＝19.答案：196．已知2x ＝72y＝A,且1x ＋1y ＝1,则A 得值是________．解析：∵2x＝72y＝A,∴x ＝log 2A,2y ＝log 7A ∴1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A ＝log A 2＋2log A 7 ＝log A 2＋log A 49＝log A 98＝1. ∴A ＝98. 答案：98 三、解答题7．(1)计算log 53·log 27125； (2)计算log 2125·log 318·log 519.解：(1)log 53·log 27125＝lg3lg5·lg125lg27＝lg3lg5·3lg53lg3＝1.(2)log 2125·log 318· log 519＝－log 225·log 38·log 59＝－2lg5lg2·3lg2lg3·2lg3lg5＝－12.8．若a,b 是方程2(lg x)2－lg x 4＋1＝0的两个实根,求lg(ab)·(log a b ＋log b a)的值．解：原方程可化为2(lg x)2－4lg x ＋1＝0. 设t ＝lg x,则方程化为2t 2－4t ＋1＝0, ∴t 1＋t 2＝2,t 1·t 2＝12.又∵a,b 是方程2(lg x)2－lg x 4＋1＝0的两个实根, ∴t 1＝lg a,t 2＝lg b,即lg a ＋lg b ＝2,lg a·lg b＝12.∴lg(ab)·(log a b ＋log b a) ＝(lg a ＋lg b)·⎝⎛⎭⎪⎫lg b lg a ＋lg a lg b＝(lg a ＋lg b)·lg b 2＋lg a2lg a·lg b＝(lg a ＋lg b)·lg a ＋lg b 2－2lg a·lg blg a·lg b＝2×22－2×1212＝12,即lg(ab)·(log a b ＋log b a )＝12.。

换底公式

换底公式1．对数的换底公式b N N a a b log log log =(a ，b >0，且a ，b ≠1，N >0)． 2、利用对数换底公式可得到如下等式： ①a b b a log 1log =，即1log log =⋅a b b a (a >0，a ≠1，b >0，b ≠1)． ②b n m ba m a n log log =(a >0，a ≠1，b >0，m ∈R ，n ≠0)．特例：b n b a a n log 1log = b b a n a n log log = b n b a n a l o g l o g = 课堂巩固练习1、21log log 9log 7log 44923=a ，则=a __22__________ 2、若x 3log 2log 23=，则=x （ C ）A 、1-B 、1C 、23)2(logD 、22)3(log3、=+51log 5log 3333_556____________ 4、（2012安徽文科）（2l o g 9）·（3log 4）=( D ) （A ） 14 （B ）12（C ） 2 （D ）4 解：利用ab b a log 1log =，即1log log =⋅a b b a 5、(2010辽宁文科)设2b =5b =m ,且11a b+＝２，则m=（ A ）(A) (B)10 (C)20 (D)100 解：利用ab b a log 1log =，即1log log =⋅a b b a 6、log 916·log 881的值为( )A ．18 B.118 C.83 D.38解析：log 916·log 881＝lg 16lg 9·lg 81lg 8＝4lg 22lg 3·4lg 33lg 2＝83.答案：C7、若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝( )A.12 B ．9 C ．18 D ．27解析：∵log 34·log 48·log 8m ＝log 416，∴lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝log 442，化简得lg m ＝2lg 3，即lg m ＝lg 9，∴m ＝9.答案：B8、已知2x＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为( ) A ．3 B ．8 C ．4 D ．log 48解析：x ＝log 23，x ＋2y ＝log 23＋2log 483＝log 23＋2·log 283log 24＝log 23＋log 283＝log 28＝3.答案：A9、已知log 95＝a ，log 37＝b ，则log 359＝________.解析：∵a ＝log 95＝log 35log 39＝log 352，∴log 35＝2a ，∴log 359＝log 39log 35＋log 37＝22a ＋b. 答案：22a ＋b10、计算：(1)log 1627·log 8132；(2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)．解：(1)log 1627·log 8132＝lg 27lg 16×lg 32lg 81＝lg 33lg 24×lg 25lg 34＝3lg 34lg 2×5lg 24lg 3＝1516.(2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋log 32log 39⎝ ⎛⎭⎪⎫log 23log 24＋log 23log 28 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋12log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＋13log 23 ＝32log 32×56log 23＝54×lg 2lg 3×lg 3lg 2＝54.11、若a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg (ab )·(log a b ＋log b a )的值．解：原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0.设t ＝lg x ，则方程化为2t 2－4t ＋1＝0，∴t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝12.又∵a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，∴t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12.∴lg (ab )·(log a b ＋log b a )＝(lg a ＋lg b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg b lg a ＋lg a lg b ＝(lg a ＋lg b )·(lg b )2＋(lg a )2lg a ·lg b＝(lg a ＋lg b )·(lg a ＋lg b )2－2lg a ·lg b lg a ·lg b＝2×22－2×1212＝12，即lg (ab )·(log a b ＋log b a )＝12.。

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