数学阶段滚动检测(四)
2014版广西《复习方略》(数学文)阶段滚动检测(四)
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阶段滚动检测（四）第一～十一章（120分钟 150分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(滚动单独考查)已知集合A={x||x|>1},B={x|y=},则A∩B=( )(A)[-2,2] (B)(-2,2)(C)[-2,-1)∪(1,2] (D)(-2,-1)∪(1,2)2.(滚动单独考查)在等差数列{a n}中,a1+a3+a5=6,则该数列前5项的和S5=( )(A)8 (B)10 (C)12 (D)183.同一宿舍的6名同学站成一排照相留念,甲乙两名同学必须排在一起的不同排法有( )(A)120 (B)180 (C)240 (D)3004.甲、乙两人参加“讲文明树新风构建和谐社会”知识竞赛,共有10道不同的题目,其中6道选择题,4道判断题,两人依次各抽一题,则甲抽到选择题,乙抽到判断题的概率是( )(A)(B)(C)(D)5.(2013·桂林模拟)在△ABC中,“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件6.(滚动单独考查)=( )(A)2 (B)(C)(D)7.(2012·广东高考)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是( )(A)(B)(C)(D)8.如图,直三棱柱A1B1C1-ABC中,∠BCA=90°,点D1,F1分别是A1B1,A1C1的中点,若BC=CA=CC1,则BD1与AF1所成角的余弦值为( )(A)(B)(C)(D)9.若每名学生测试达标的概率都是(相互独立),测试后r个人达标,经计算5人中恰有r人同时达标的概率是,则r的值为( )(A)3或4 (B)4或5(C)3 (D)410.(滚动单独考查)已知F1,F2是双曲线的两个焦点,PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦,如果∠PF2Q=90°,则该双曲线的离心率等于( )(A)(B)+1(C)-1 (D)+111.f(x)是集合A到集合B的一个函数,其中A={1,2,…,n},B={1,2,…,2n},n∈N*,则f(x)为单调递增函数的概率是( )(A)(B)(C)(D)12.已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上,当正六棱柱的体积最大(柱体体积=底面积×高)时,其高的值为( )(A)3(B)2(C)(D)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2013·钦州模拟)从一副扑克牌(52张)中随机抽取2张,则“抽出的2张不是同一花色”的概率为.14.(滚动单独考查)函数y=x+(x<-1)的最大值是.15.(2013·河池模拟)若(x-)6展开式的常数项为60,则常数a的值为.16.(滚动单独考查)已知{a n}是等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10= .三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2013·防城港模拟)在“环境保护低碳生活知识竞赛”第一环节测试中,设有A,B,C三道必答题,分值依次为20分,30分,50分.竞赛规定:若参赛选手连续两道题答题错误,则必答题总分记为零分;否则各题得分之和记为必答题总分.已知某选手回答A,B,C三道题正确的概率分别是,,,且回答各题时相互之间没有影响.(1)若此选手按A,B,C的顺序答题,求其必答题总分不小于80分的概率.(2)若此选手可以自由选择答题顺序,求其必答题总分为50分的概率.18.(12分)(滚动单独考查)设函数f(x)=m·n,其中向量m=(2,2cosx),n=(sin2x,2cosx),x∈R.(1)求f(x)的最大值与最小正周期.(2)在△ABC中,a,b,c分别是A,B,C的对边,f(A)=4,a=,b+c=3(b>c),求b,c的值.19.(12分)(2013·玉林模拟)某班将要举行篮球投篮比赛.比赛规则是:每位选手可以选择在A区投篮2次或选择在B区投篮3次,在A区每进一球得2分,不进球得0分;在B区每进一球得3分,不进球得0分,得分高的选手胜出.已知参赛选手甲在A区和B区每次投篮进球的概率分别是和.(1)若选手甲选在A区投篮,求选手甲至少得2分的概率.(2)求选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率.20.(12分)已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为直角三角形,且∠ACB=90°,侧棱与底面成60°角,点B1在底面上的射影D为BC的中点,且BC=2cm.(1)求证:AB1⊥BC1.(2)若A-BB1-C为30°的二面角,求四棱锥A-B1BCC1的体积.21.(12分)甲、乙、丙三个同学同时报名参加某重点高校2012年自主招生,高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试,只有审核过关后才能参加文化测试,文化测试合格者即可获得自主招生入选资格.因为甲、乙、丙三人各有优势,甲、乙、丙三人审核材料过关的概率分别为0.5,0.6,0.4,审核过关后,甲、乙、丙三人文化测试合格的概率分别为0.6,0.5,0.75.(1)求甲、乙、丙三人中只有一人通过审核材料的概率.(2)求甲、乙、丙三人中至少有两人获得自主招生入选资格的概率.22.(12分)(滚动单独考查)已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为F(-2,0),且长轴长与短轴长的比是2∶.(1)求椭圆C的方程.(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上,点P是椭圆上任意一点,当||最小时,点P 恰好落在椭圆的右顶点,求实数m的取值范围.答案解析1.【解析】选C.∵A={x|x>1或x<-1},B={x|-2≤x≤2},∴A∩B={x|-2≤x<-1,或1<x≤2}.2.【解析】选B.由题意得3a3=6,即a3=2,∴S5===10.3.【解析】选C.用捆绑法,共有=240(种)排法.4.【解析】选D.由等可能事件的概率公式得P==.【误区警示】解答本题易误选B,做法如下:P==,出错的原因是忽视了抽题的顺序,把排列问题当成了组合问题.5.【解析】选B.若cos A+sin A=cos B+sin B,则可以是A=B,∴C=90°不一定成立;反之,若C=90°,则A与B互余.∴cos A=sin B,sin A=cos B.∴cos A+sin A=cos B+sin B.∴“cos A+sin A=cos B+sin B”是“C=90°”的必要不充分条件.6.【解析】选A.原式====2.7.【解析】选D.由题意,知两位数中的个位数与十位数必是一奇一偶,当个位数为奇数,十位数为偶数时,这样的两位数有=20个,当个位数为偶数十位数为奇数时,这样的两位数有=25个,满足个位数与十位数之和为奇数的两位数共有20+25=45(个),其中个位数为0的两位数有=5(个),故所求概率P==. 8.【思路点拨】见中点找中点,利用中位线及平行四边形找出异面直线所成的角,再用余弦定理解三角形.【解析】选A.如图取BC的中点G,连结F1G,AG,D1F1,∵D1,F1分别是A1B1,A1C1的中点,∴D1F1∥B1C1且D1F1=B1C1,又在直三棱柱A1B1C1-ABC中,G是BC的中点,∴D1F1∥BG,且D1F1=BG,∴四边形BGF1D1是平行四边形,∴F1G∥BD1,∴∠AF1G是异面直线BD1与AF1所成的角(或其补角).令BC=CA=CC 1=2,则在△AGF1中,AF1=,AG=,GF1=BD1==,∴cos∠AF1G==.【方法技巧】异面直线所成角的找法平移法:也就是把两条异面直线平移成相交直线,一般情况是平移其中的一条,另一条不动,这里所谓的平移就是找一条直线和其中的一条异面直线平行且和另一条相交,常用的找法是中位线法、平行四边形法等,注意若平移后两条相交直线所成的角为钝角,则异面直线所成的角应是其补角.9.【解析】选A.由题意知,()r()5-r=,验算得r=3或4.10.【解析】选B.设双曲线的方程为-=1(a>b>0),半焦距c=.将x=-c代入双曲线方程得y=〒.∵∠PF2Q=90°,∴∠PF2F1=45°.∴2c=,2ac=b2,2ac=c2-a2.可化为e2-2e-1=0,解之得e=1〒.又∵e>1,∴e=1+.11.【思路点拨】先计算从集合A到集合B组成的函数的个数,再判断单调递增函数的个数.【解析】选D.从集合A到集合B,其中A={1,2,…,n},B={1,2,…,2n},n∈N*可以构成(2n)n个函数,其中为单调增函数的有个,故选D.12.【解析】选B.以正六棱柱的最大对角面作截面,如图.设球心为O,正六棱柱的上下底面中心分别为O1,O2,则O是线段O1O2的中点.设正六棱柱的底面边长为a,高为2h,则a2+h2=9.正六棱柱的体积为V=6〓a2〓2h,即V=3(9-h2)h,则V'=3(9-3h2),得极值点h=,不难知道这个极值点是极大值点,也是最大值点.故当正六棱柱的体积最大时,其高为2.13.【解析】每副扑克牌有4种花色,每种花色有13张.故所求概率为P==.答案：【变式备选】箱内有大小相同的6个红球和4个黑球,从中每次取1个球记下颜色后再放回箱中,则前3次恰有1次取到黑球的概率为.【解析】每一次取到黑球的概率均为=,每一次取到红球的概率均为=,则前3次恰有1次取到黑球的概率为()1〃()2=.答案：14.【解析】∵x<-1,∴x+1<0,∴y=x+1+-1=-[-(x+1)+]-1≤-2-1=-3.当且仅当-(x+1)=,即x=-2时“=”成立.答案：-315.【解析】T r+1=x6-r(-)r=(-1)r()r x6-3r(r=0,1, (6)由6-3r=0得r=2.∴展开式的常数项是()2=60.∴a=4.答案：416.【思路点拨】利用等比数列的性质及通项公式解答. 【解析】由等比数列的性质,得a5a6=a4a7=-8,∴解得或∴或∴a1+a10=a1(1+q9)=-7.答案：-717.【解析】(1)若考生按A,B,C的顺序答题,记该生最后得分不小于80分为事件E.则P(E)=〓〓+(1-)〓〓=,所以若此选手按A,B,C的顺序答题,其必答题总分不小于80分的概率为.(2)考生自由选择答题顺序,记总分得50分为事件D,记D1表示A,B答对,C答错,D2表示A,B答错,C答对,则D=D1+D2,且D1,D2互斥.又P(D1)=〓〓(1-)=,P(D2)=(1-)〓(1-)〓〓=.所以P(D)=P(D1+D2)=P(D1)+P(D2)=.18.【解析】(1)f(x)=m〃n=4cos2x+2sin2x=2cos2x+2sin2x+2=4sin(2x+)+2, 所以f(x)的最大值是6,最小正周期T=π.(2)由f(A)=4,得A=,由余弦定理cosA==,a=,b+c=3,可得bc=2,又因为b+c=3,b>c,所以b=2,c=1.19.【解析】(1)设“选手甲在A区投篮得2分”为事件M,“选手甲在A区投篮得4分”为事件N,则事件M与事件N互斥,“选手甲选在A区投篮至少得2分”为事件M+N,P(M)=(1-)=,P(N)=()2=,P(M+N)=P(M)+P(N)=+=,从而选手甲选在A区投篮,选手甲至少得2分的概率是.(2)设“选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分”为事件C,“选手甲在A区投篮得4分且在B区投篮得3分或0分”为事件D.“选手甲在A区投篮得2分且在B区投篮得0分”为事件E.则事件C=D+E,且事件D与事件E互斥,P(D)=〓(+)=,P(E)=〓=,P(C)=P(D+E)=P(D)+P(E)=+=,故选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率为.【方法技巧】解决概率问题的步骤1.确定事件性质.将所给的问题归类(如看是否是随机事件、等可能性事件、互斥事件、相互独立事件、n次独立重复试验).2.判断事件概率的运算,即判断至少有一个发生,还是同时发生,确定运用相加或相乘原理.3.运用公式计算.等可能性事件:P(A)=.互斥事件:P(A+B)=P(A)+P(B).相互独立事件:P(A〃B)=P(A)〃P(B).n次独立重复试验:P n(k)=P k(1-P)n-k(k=0,1,2,…,n).【变式备选】从甲地到乙地一天共有A,B两班车,由于雨雪天气的影响,一段时间内A班车正点到达乙地的概率为0.7,B班车正点到达乙地的概率为0.75. (1)有三位游客分别乘坐三天的A班车从甲地到乙地,求其中恰有两名游客正点到达的概率(答案用数字表示).(2)有两位游客分别乘坐A,B班车从甲地到乙地,求其中至少有1人正点到达的概率(答案用数字表示).【解析】(1)坐A班车的三人中恰有两人正点到达的概率为P=3〓0.72〓0.31=0.441.(2)记“A班车正点到达”为事件M,“B班车正点到达”为事件N,则两人中至少有一人正点到达的概率为P=P(M〃N)+P(M〃)+P(〃N)=0.7〓0.75+0.7〓0.25+0.3〓0.75=0.525+0.175+0.225=0.925.20.【思路点拨】(1)AB1与BC1是两条异面直线,不妨考虑用三垂线定理证之.因BC1在平面B1BCC1上,设法找出AB1在面B1BCC1上的射影.证AC⊥平面B1BCC1,连结B1C,则B1C为AB1在面B1BCC1上的射影,只要证明B1C⊥BC1即可.(2)由(1)知AC是棱锥A-B1BCC1的高.由A-BB1-C为30°及其他条件求出菱形B1BCC1面积即可.【解析】(1)∵D是B1在底面ABC上的射影,∴B1D⊥底面ABC.又∵AC⊂平面ABC,∴B1D⊥AC.∵∠ACB=90°,AC⊥BC,BC∩B1D=D.∴AC⊥平面B1BCC1.连结B1C,在▱B1BCC1中,∵侧棱与底面成60°,即∠B1BC=60°,且D为BC的中点,∴四边形B1BCC1为菱形.∴BC1⊥B1C.∵已证AC⊥平面B1BCC1,由三垂线定理,有AB1⊥BC1.(2)∵△B 1BC 为正三角形,且BC=2cm, ∴B 1B=2cm. 作CM ⊥B 1B 于M, 则CM=cm.∵AC ⊥平面B 1BCC 1,连结AM, ∴AM ⊥BB 1.∴∠CMA 是二面角A-B 1B-C 的平面角.则∠CMA=30°. 在Rt △CMA 中, CA=CM 〃tan30°=1(cm).又∵11B BCC S =BB 1〃BC 〃sin 60°=2(cm 2),∴11A-B BCC V =11B BCC 1S3〃AC=(cm 3).21.【解析】(1)分别记甲、乙、丙通过审核材料为事件A 1,A 2,A 3,记甲、乙、丙三人中只有一人通过审核为事件B,则P(B)=P(A 1)+ P(A 2)+ P(A 3)=0.5〓0.4〓0.6+0.5〓0.6〓0.6+0.5〓0.4〓0.4=0.38.(2)分别记甲、乙、丙三人中获得自主招生入选资格为事件C,D,E,记甲、乙、丙三人中至少有两人获得自主招生入选资格为事件F,则P(C)=P(D)=P(E)=0.3, ∴P(F)=〓0.32〓0.7+〓0.33=0.189+0.027=0.216. 22.【解析】(1)设椭圆C 的方程为+=1(a>b>0). 由题意,得解得a 2=16,b 2=12.所以椭圆C 的方程为+=1.(2)设P(x,y)为椭圆上的动点,由于椭圆方程为+=1,故-4≤x≤4.因为=(x-m,y),所以||2=(x-m)2+y2=(x-m)2+12〃(1-)=x2-2mx+m2+12=(x-4m)2+12-3m2.因为当||最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,即当x=4时,|取得最小值.而x∈[-4,4],故有4m≥4,解得m≥1.又点M在椭圆的长轴上,所以-4≤m≤4.故实数m的取值范围是[1,4].关闭Word文档返回原板块。
高考数学刷题评估练：滚动评估检测 (2)
滚动评估检测(二)(第一至第五章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设集合U={x|x<5，x∈N*}，M={x|x2-5x+6=0}，则U M= ( )A.{1，4}B.{1，5}C.{2，3}D.{3，4}【解析】选A.由题意可得:U={1，2，3，4}，M={2，3}，结合补集的定义可得: U M={1，4}.2.(2019·德州模拟)“<1”是“>1”的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由题意得，根据<1，解得x>0，又由>1，解得0<x<1，所以“<1”是“>1”的必要不充分条件.【变式备选】“若x=0或x=1，则x2-x=0”的否命题为( )A.若x=0或x=1，则x2-x≠0B.若x2-x=0，则x=0或x=1C.若x≠0或x≠1，则x2-x≠0D.若x≠0且x≠1，则x2-x≠0【解析】选D.“若x=0或x=1，则x2-x=0”的否命题为:若x≠0且x≠1，则x2-x≠0.3.已知向量a=(，1)，b=(0，-1)，c=(k，)，若(a-2b)⊥c，则k等于()A.2B.2C.-3D.1【解析】选C.因为(a-2b)⊥c，a-2b=(，3)，所以k+3=0，k=-3.4.已知a=1，b=log2 017，c=log2 018，则a，b，c的大小关系为( )A.c>b>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c【解析】选D.a=1>180=1，b=log2 017=log2 0172 018，因为log2 0172 018∈(1，2)，所以b∈，c=log2 018=log2 0182 017，因为log2 0182 017∈(0，1)，所以c∈，所以a>b>c.5.已知点P(-4，-3m)在角α的终边上，且sin α=，则cos的值为( )A.-B.-C.-D.-【解析】选A.由题意可得x=-4，y=-3m，r=，所以sin α===，y>0，解得m=-1或1(舍去)，所以x=-4，y=3，r=5，cos α==-，cos=cos αcos-sin αsin=×-×=-.6.(2019·广安模拟)已知函数f(x)=，则f(x)的大致图象为( )【解析】选A.因为f(-x)==-f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除B选项，因为f′(x)=≥0，所以函数单调递增，故排除C选项，令x=10，则f(10)=>4，故排除D.7.已知两个单位向量a和b夹角为60°，则向量a-b在向量a方向上的投影为( ) A.-1 B.1C.-D.【解析】选D.a·b=|a|·|b|cos 60°=，则向量a-b在向量a方向上的投影为:==.8.已知cos=，则cos 2α=( )A. B.-C. D.-【解析】选B.由题意结合诱导公式可得:sin α=cos=，则cos 2α=1-2sin2α=1-2×=-.9.已知函数f(x)=+cos x，下列说法中正确的个数为 ( )①f(x)在上是减函数;②f(x)在(0，π)上的最小值是;③f(x)在(0，2π)上有两个零点.A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选C.f′(x)=--sin x，当x∈时，f′(x)<0，故f(x)在上是减函数，①正确;f=<，故②错误;由y=和y=-cos x的函数图象可知在(0，2π)上有两个交点，所以f(x)在(0，2π)上有两个零点，③正确.10.已知函数f(x)(x∈R)满足f(1+x)=f(1-x)，f(4+x)=f(4-x)，且-3<x≤3时，f(x)=ln(x+)，则f(2 018)= ( )A.0B.1C.ln(-2)D.ln(+2)【解析】选D.因为f(1+x)=f(1-x)，f(4+x)=f(4-x)，所以f(x)=f(2-x)，f(x)=f(8-x)，所以f(2-x)=f(8-x)，所以T=8-2=6，所以f(2 018)=f(2)=ln(2+).11.已知为f(x)=sin(-2x+φ)(|φ|<)的一个对称中心，则f(x)的对称轴可能为( )A.x=B.x=-C.x=-D.x=【解题指南】由题意首先确定φ的值，然后求解函数的对称轴即可.【解析】选B.由题意可知，当x=时，-2x+φ=-2×+φ=kπ(k∈Z)，据此可得:φ=kπ+(k∈Z)，令k=0可得φ=，则函数的解析式为f(x)==-sin，函数的对称轴满足:2x-=kπ+(k∈Z)，解得:x=+(k∈Z)，令k=-1可知函数的一条对称轴为x=-，且很明显选项A，C，D不是函数f(x)的对称轴，故选B.【变式备选】已知△ABC的三边满足条件=3，则∠A= ()A.30°B.45°C.60°D.120°【解题指南】由题意首先求得cos A的值，然后确定∠A的大小即可.【解析】选D.由=3可得:(b-c)2-a2=-3bc，即b2+c2-a2=-bc，则cos A==-，据此可得∠A=120°.12.已知定义在R上的函数满足f(x+2)=-，x∈[0，2]时，f(x)=2x2-4，则f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2 019)的值为 ( )A. B.- C.2 018 D.1 515【解析】选B.因为f(x+2)=-，所以f(x+4)=-=f(x)，所以函数y=f(x)的周期T=4.又x∈[0，2]时，f(x)=2x2-4，所以f(1)=-2，f(3)=-=，f(5)=f(4+1)=f(1)=-2，所以f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2 019)=505[f(1)+f(3)]=505×= -.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.设x，y∈R，向量a=(x，1)，b=(1，y)，c=(2，-4)，且a⊥c，b∥c，则|a+b|=_____.【解析】由题意可得:a·c=2x-4=0，所以x=2，因为b∥c，所以=，y=-2，故a=(2，1)，b=(1，-2)，a+b=(3，-1)，据此可得:|a+b|==.答案:14.已知函数f(x)=则f(f(0))的值等于________.【解析】因为f(0)=-5，所以f(f(0))=f(-5)=-5.答案:-515.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=1-log2x，则不等式f(x)<0的解集是________. 【解析】由题意得，f(x)<0等价于或即或解得x>2或-2<x<0，所以不等式的解集是(-2，0)∪(2，+∞).答案:(-2，0)∪(2，+∞)【变式备选】若f(x)=ln(e x+1)+kx是偶函数，则k=________.【解析】因为f(x)是偶函数，所以f(-1)=f(1)，所以ln-k=ln(e+1)+k，k=-，经检验k=-符合题意.答案:-16.对于△ABC，有如下命题:(1)若sin 2A=sin 2B，则△ABC一定为等腰三角形.(2)若sin A=sin B，则△ABC一定为等腰三角形.(3)若sin2A+sin2B+cos2C<1，则△ABC一定为钝角三角形.(4)若tan A+tan B+tan C>0，则△ABC一定为锐角三角形.则其中正确命题的序号是________.(把所有正确的命题序号都填上)【解析】对于命题(1)，2A=2B或2A+2B=π，所以△ABC为等腰或直角三角形，不正确;对于命题(2)，因为sin A=sin B，由正弦定理可知，a=b，所以该三角形为等腰三角形，正确; 对于命题(3)由sin2A+sin2B+cos2C<1可得sin2A+sin2B<sin2C，由正弦定理可得a2+b2<c2，再由余弦定理可得cos C<0，C为钝角，命题(3)正确.(4)因为tan A+tan B=tan (A+B)(1-tan Atan B)=-tan C(1-tan Atan B)所以tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C>0，所以A，B，C全为锐角，命题(4)正确，故其中正确命题的序号是(2)(3)(4).答案:(2)(3)(4)三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)计算:(1)-+0.2×.(2)lg25+lg2-lg-log29×log32.【解析】(1)原式=-4-1+×()4=-3.(2)原式=lg2+lg2-lg1-log232×log32=lg(2×2×1)-2×log32=lg1-2=-2=-.18.(12分)已知函数f(x)=lo(x2-2ax+3).(1)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.(2)若f(x)在(-∞，1]内为增函数，求实数a的取值范围.【解析】令u=x2-2ax+3，y=lo u.(1)f(x)的值域为R⇔u=x2-2ax+3能取(0，+∞)的一切值，所以Δ=4a2-12≥0⇒a∈(-∞，-]∪[，+∞).(2)f(x)在(-∞，1]内为增函数⇔u=x2-2ax+3在(-∞，1]内单调递减且恒正，所以⇒⇒a∈[1，2).19.(12分)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2cos2+ sin 2A=1.(1)求A.(2)设a=2-2，△ABC的面积为2，求b+c的值.【解析】(1)因为2cos2+sin 2A=1，所以1+cos(B+C)+sin 2A=1，所以cos(B+C)+sin 2A=0，所以-cos A+2sin Acos A=0，又因为△ABC为锐角三角形，所以sin A=，所以A=30°.(2)因为S=bcsin A=2，所以bc=8，又因为a2=b2+c2-2bccos A，所以12+4-8=b2+c2-8，所以b2+c2=16，故b+c===4.20.(12分)函数f(x)=2x-的定义域为(0，1](a∈R).(1)当a=-1时，求函数y=f(x)的值域.(2)若函数y=f(x)在定义域上是减函数，求a的取值范围.(3)求函数y=f(x)在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值.【解析】(1)函数y=f(x)=2x+≥2，当且仅当x=时取等号，所以函数y=f(x)的值域为[2，+∞).(2)若函数y=f(x)在定义域上是减函数，则任取x1，x2∈(0，1]且x1<x2都有f(x1)>f(x2)成立，即(x1-x2)>0，只要a<-2x1x2即可，由x1，x2∈(0，1]，故-2x1x2∈(-2，0)，所以a≤-2，故a的取值范围是(-∞，-2].(3)当a≥0时，函数y=f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x=1时取得最大值2-a;由(2)得当a≤-2时，y=f(x)在(0，1]上单调递减，无最大值，当x=1时取得最小值2-a;当-2<a<0时，函数y=f(x)在上单调递减，在上单调递增，无最大值，当x=时取得最小值2.【变式备选】已知定义在实数集R上的奇函数f(x)，当x∈(0，1)时，f(x)=.(1)求函数f(x)在(-1，1)上的解析式.(2)判断f(x)在(0，1)上的单调性.(3)当λ取何值时，方程f(x)=λ在(-1，1)上有实数解?【解析】(1)因为f(x)是x∈R上的奇函数，所以f(0)=0，设x∈(-1，0)，则-x∈(0，1)，因为f(-x)===-f(x)，所以x∈(-1，0)时，f(x)=-，所以f(x)=(2)设0<x1<x2<1，则f(x1)-f(x2)==，因为0<x1<x2<1，所以<，>20=1，所以f(x1)-f(x2)>0，所以f(x)在(0，1)上为减函数.(3)当x∈(0，1)时，因为f(x)在(0，1)上为减函数，所以f(1)<f(x)<f(0)，即f(x)∈，同理，x∈(-1，0)时，f(x)∈，又f(0)=0，所以当λ∈或或λ=0时方程f(x)=λ在(-1，1)上有实数解.21.(12分)已知函数f(x)=x-alnx，g(x)=-(a∈R).(1)若a=1，求函数f(x)的极值.(2)设函数h(x)=f(x)-g(x)，求函数h(x)的单调区间.【解析】(1)f(x)的定义域为(0，+∞)，当a=1时，f(x)=x-ln x，f′(x)=1-=，当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如表:x (0，1) 1 (1，+∞)f′(x) - 0 +f(x) ↘极小值↗所以f(x)在x=1处取得极小值1.函数没有极大值.(2)h(x)=x+-aln x，h′(x)=1--=，=，①当a+1>0，即a>-1时，在(0，1+a)上h′(x)<0，在(1+a，+∞)上h′(x)>0，所以h(x)在(0，1+a)上单调递减，在(1+a，+∞)上单调递增;②当1+a≤0，即a≤-1时，在(0，+∞)上h′(x)>0，所以函数h(x)在(0，+∞)上单调递增.22.(12分)设函数f(x)=aln x+b(x-1)(x>0，ab≠0).(1)讨论函数f(x)的单调性.(2)若b=-2a，求函数f(x)的最值.【解析】(1)f′(x)=+b(x>0)，令f′(x)=+b>0，得x(bx+a)>0，①若b>0，a>0，则f′(x)>0恒成立，所以函数f(x)在(0，+∞)上单调递增;②若b>0，a<0，则由f′(x)>0，得x>-，所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减;③若b<0，a>0，则由f′(x)>0，得0<x<-，所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减;④若b<0，a<0，则f′(x)<0恒成立，所以函数f(x)在(0，+∞)上单调递减.(2)若b=-2a，①当a>0时，b<0，由(1)得，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，故a>0时，函数f(x)有最大值f=aln-2a=-aln 2+a，无最小值;②当a<0时，b>0，由(1)得，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，故a<0时，函数f(x)有最小值f=-aln 2+a，无最大值.【变式备选】已知函数f(x)=ln-ax.(1)讨论f(x)的单调性.(2)当x∈(0，1)时，e ax-e-ax<，求实数a的取值范围.【解析】(1)因为>0.所以-1<x<1，f′(x)=-a，因为-1<x<1，所以f′(x)≥2-a，①当a≤2时，f′(x)≥0，所以f(x)在(-1，1)上单调递增;②当a>2时，f′(x)<0⇒x∈，所以f(x)在上单调递减;所以f(x)在，上单调递增.(2)①当a≤2时，由(1)知f(x)在(-1，1)上单调递增;所以x∈(0，1)时，f(x)>f(0)=0，即有:ln>ax，ln<-ax，从而可得:>e ax，<e-ax，所以e ax-e-ax<.②当a>2时，由(1)知f(x)在上单调递减，所以x∈时，f(x)<f(0)=0，即有:ln<ax，ln>-ax，从而可得:<e ax，>e-ax，所以e ax-e-ax>，不合题意，舍去.综上所述，实数a的取值范围为a≤2.关闭Word文档返回原板块。
四年级数学上册阶段滚动提升测试卷(三)
四年级数学上册阶段滚动提升测试卷(三)一、认真填空，我能行。
(每空1分，共26分)1.在85后面添上( )个0，读作八十五亿:在6和3之间添上( )个0，成为六亿零三。
2.一个占地8公顷的长方形林地，长是400米，宽是( )米。
3.3时整，钟面上的时针与分针所成的角是( )度，是( )角:6时整，钟面上的时针与分针所成的角是( )度，是( )角。
4.估算402×18时，把402看成( )，把18看成( )，估算的结果是( )。
5.口51÷46，如果商是两位数，口里最小填( ):如果商是一位数，中最大填( )。
6.两条平行线间垂直线段的长度都( )。
7.被除数是130，除数是27，商是( )，余数是( )。
8.8口4÷2，要使商中间有0，口中可以填( )；64口÷4，要使商末尾有0，口中可以填( )。
9.600÷30=20，如果把被除数扩大到1800，要使商不变，除数应扩大到( )。
10.在里填上“＞”“＜”或“=”500×180××6 21 847÷360÷24 256÷236×260×6二、准确判断，我最棒。
(每题1分，共6分)1.个位、十位、百位…都是计数单位。
( )2.角的两条边越长，这个角就越大。
( )3.长方形和平行四边形的周长都等于两条邻边长度之和的2倍。
( )4.从平行四边形的一个顶点可向对边画无数条高。
( )5.被除数越大，商就越大。
( )6.468÷17的商的最高位上的数是2。
( )三、慎重选择，我最准。
(每题1分，共10分)1.下面各数只读一个零的是( )B.2004050C.1072009 A.30026002.把两个锐角拼在一起，拼成的角不可能是( )。
A.平角B.钝角C.直角3.平行四边形的( )对边分别平行。
A.一组B.两组C.三组4.梯形的内角和是( )度。
北师大版数学(理)提升作业：阶段滚动检测(三)(含答案)
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阶段滚动检测（三）第一～六章（120分钟 150分）一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2013·南昌模拟)已知集合P={(x,y)||x|+|y|≤1},Q={(x,y)|x2+y2≤1},则( )(A)P⊆Q (B)P=Q(C)P⊇Q (D)P∩Q=⌀2.(滚动单独考查)已知复数z=在复平面内对应的点在一、三象限的角平分线上,则实数a=( )(A)-(B)(C)1 (D)-13.(滚动单独考查)已知正项数列{a中,a1=1,a2=2,2=+(n≥2),则a6等于( )(A)16 (B)8 (C)2(D)44.(滚动单独考查)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时f(x)=4x-mx,且f(2)=2f(-1),则实数m的值等于( )(A)0 (B)6 (C)4 (D)25.(2013·蚌埠模拟)已知向量a=(x+4,1),b=(x2,2),则x=4是a∥b的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件6.设函数f(x)=x2+x+a(a>0)满足f(m)<0,则f(m+1)的符号是( )(A)f(m+1)≥0 (B)f(m+1)≤0(C)f(m+1)>0 (D)f(m+1)<07.(滚动单独考查)设a,b,c为三角形ABC的三边长,且a≠1,b<c,若log(c+b)a+log(c-b)a=2log(c+b)a·log(c-b)a,则三角形ABC的形状为( ) (A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)无法确定8.已知x,y满足则z=|y-x|的最大值为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)49.(滚动单独考查)如图所示为函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,≤φ≤π)的部分图像,其中A,B两点之间的距离为5,那么f(-1)=( )(A)(B)-(C)2 (D)-210.(2013·梅州模拟)已知命题p:存在a,b∈(0,+∞),当a+b=1时,+=3,命题q:任意x∈R,x2-x+1≥0恒成立,则下列命题是假命题的是( ) (A)⌝p或⌝q (B)⌝p且⌝q(C)⌝p或q (D)⌝p且q二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(滚动单独考查)若S+sin+…+sin(n∈N+),则在S1,S2,…,S100中,正数的个数是.12.(2013·石家庄模拟)若不等式2x>x2+a对于一切x∈[-2,3]恒成立,则实数a的取值范围是.13.(2013·南昌模拟)对于任意的a∈(-∞,0),存在x使得acosx+a≥0,则sin(2x-)= .14.已知区域D是由不等式组所确定的,则圆x2+y2=4在区域D内的弧长等于.15.(滚动交汇考查)对于等差数列{a n}有如下命题:“若{a n}是等差数列,a1=0,s,t是互不相等的正整数,则有(s-1)a t-(t-1)a s=0”.类比此命题,给出等比数列{b n}相应的一个正确命题是.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(2013·上饶模拟)已知=(-1,1),=(0,-1),=(1,m)(m ∈Z).(1)若A,B,C三点共线,求实数m的值.(2)证明对任意实数m,恒有·≥1成立.17.(12分)(2013·西安模拟)已知数列,,,…,,其前n 项和为S n.(1)求出S1,S2,S3,S4.(2)猜想前n项和S n并证明.18.(12分)(滚动交汇考查)已知向量p=(x,1),q=(x+a,b)(a,b∈R). (1)若当a=0时,关于x的不等式|p+q|≥4对x∈[-3,1]恒成立,求实数b的取值范围.(2)令f(x)=p·q,且f(x)的最小值为0,当关于x的不等式f(x)<c的解集为(k-3,k+3)时,求实数c的值.19.(12分)某企业计划2013年度进行一系列促销活动,已知其产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足3-x与t+1成反比例,当年促销费用t=0万元时,年销量是1万件,已知2013年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用,若将每件产品售价定为其生产成本的150%与“平均每件促销费的一半”之和,则当年生产的商品正好能销完.(1)将2013年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数.(2)该企业2013年的促销费投入多少万元时,企业年利润最大?(注:利润=销售收入-生产成本-促销费,生产成本=固定费用+生产费用)20.(13分)(2013·吉安模拟)已知a∈R,函数f(x)=x3+x2+(4a+1)x.(1)如果函数g(x)=f′(x)是偶函数,求f(x)的极大值和极小值.(2)如果函数f(x)是(-∞,+∞)上的单调函数,求a的取值范围.21.(14分)(滚动交汇考查)已知函数f(x)=x-1-ln(x+m)在x=1处取得极小值.(1)求f(x)的单调区间.(2)若对任意的x∈[1,+∞),不等式f(x)≤a(x-1)2恒成立,求实数a的取值范围.答案解析1.【解析】选A.作出集合P,Q表示的图形如图,可知P⊆Q.2.【解析】选B.由于z==-1-2ai,因此复数z对应的点是(-1,-2a),而它在一、三象限的角平分线上,必有-2a=-1,故a=.3.【解析】选 D.由2=+知,数列{}是等差数列,且公差d=-=22-12=3,所以=+(6-1)d=1+15=16.又{a为正项数列,所以a6=4.4.【解析】选B.由于f(2)=42-2m=16-2m,f(-1)=-f(1)=-(4-m)=m-4,所以依题意得16-2m=2(m-4),解得m=6,故选B.5.【解析】选A.当a∥b时,2(x+4)-x2=0,即x2-2x-8=0,解得x=4或x=-2,≨x=4是a∥b的充分不必要条件.6.【解析】选C.因为函数f(x)图象的对称轴是x=-,f(0)=a>0,所以由f(m)<0得-1<m<0,于是m+1>0,故f(m+1)>f(0)>0.7.【解析】选B.≧log(c+b)a+log(c-b)a=2log(c+b)alog(c-b)a,≨+=,≨=,≨log a(c-b)+log a(c+b)=2,即log a(c2-b2)=2,≨c2-b2=a2,故△ABC为直角三角形.8.【解析】选C.作出可行域如图阴影区域.可知A(1,2),B(4,1),由z=|y-x|=(1)当z=y-x时,目标函数过A(1,2)时,z ma x=2-1=1.(2)当z=x-y时,目标函数过B(4,1)时,z max=4-1=3.由(1)(2)可得,z max=3,故选C.9.【解析】选C.如图,由已知可得BC=4,而AB=5,所以AC=3,即〃=3,解得ω=,于是f(x)=2sin(x+φ).又因为函数图像经过点(0,1),代入得2sinφ=1,而≤φ≤π,故φ=π,因此f(x)=2sin(x+),故f(-1)=2.10.【解析】选B.当a,b∈(0,+≦),且a+b=1时,+=(a+b)(+)=2++≥4≠3,所以命题p为假命题.因为Δ=-3<0,所以x2-x+1≥0恒成立,因此命题q是真命题,所以p且q是假命题.11.【思路点拨】分析当n取前面几个较小的数值时S n的符号,再结合正弦函数的周期性,由归纳推理得到S n的取值规律,从而得出结论. 【解析】由于y=sin的周期为=14,因此只需求出S 1,S2,S3,…,S14的值即可.S1=sin>0,S2=sin+sin>0,S3=sin+sin+sin>0,…,S13=sin+sin+sin+…+sin=0,S14=sin+sin+sin+…+sin=0,因此在S1,S2,S3,…,S14中只有2项等于0,其余12项都是正数.故在S1,S2,S3,…,S100中,一共有100-7〓2=86个正数.答案：8612.【解析】不等式2x>x2+a可化为a<-x2+2x,函数g(x)=-x2+2x在区间[-2,3]上的最小值为g(-2)=-8,故实数a的取值范围是(-≦,-8).答案：(-≦,-8)13.【解析】由题意存在x使cosx≤-1,则cosx=-1,≨x=π+2kπ,k∈Z,≨2x=2π+4kπ,k∈Z,≨sin(2x-)=sin(-)=-.答案：-14.【思路点拨】关键是求出平面区域被圆截得的弧所对应的圆心角的弧度数,可以根据边界直线的斜率得到倾斜角,再求出圆心角的大小. 【解析】画出可行域如图,依题意可知,tan∠AOx=,tan∠BOx=,于是tan∠AOB==1,因此∠AOB=.又圆的半径等于2,所以弧长l=〓2=.答案：15.【解析】从等差数列到等比数列的类比.等差数列中+,-,〓,〔类比到等比数列经常是〓,〔,()n,,0类比1.故若{b n}是等比数列,b1=1,s,t是互不相等的正整数,则==1.答案：若{b n}是等比数列,b1=1,s,t是互不相等的正整数,则有=1 16.【解析】(1)=(-2,1-m),=(1,-2).≧A,B,C三点共线,≨-2=,≨m=-3.(2)≧=(-2,1-m),=(-1,-1-m),≨〃=m2+1≥1,≨恒有〃≥1.17.【解析】(1)由已知得:S1==;S2=+=;S3=++=;S4=+++=.(2)由(1)可归纳猜想得S n=.证明:≧=(-),≨S n=+++…+=(1-)+(-)+…+(-)=(1-+-+…+-)=(1-)=〓=.18.【解析】(1)当a=0时,p+q=(2x,1+b),所以|p+q|≥4,即≥4,因此4x2+(b+1)2≥16,所以(b+1)2≥16-4x2.令h(x)=16-4x2,由于x∈[-3,1],所以h(x)在[-3,1]上的最大值为16,因此(b+1)2≥16,故b≥3或b≤-5,故实数b的取值范围为(-≦,-5]∪[3,+≦).(2)f(x)= p〃q =x2+ax+b,由于f(x)的最小值为0,所以a2-4b=0,即b=.所以不等式f(x)<c,即x2+ax+<c,即(x+)2<c,故--<x<-.因为不等式f(x)<c的解集为(k-3,k+3),所以(-)-(--)=2=6,解得c=9.19.【解析】(1)由题意:3-x=,将t=0,x=1代入得k=2,≨x=3-.当年生产x(万件)时,年生产成本=32x+3=32(3-)+3=.当销售x(万件)时,年销售收入=150%〓+t.由题意,生产x万件产品正好销完,≨年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,即y=(t≥0).(2)≧y==50-(+)≤50-2=42,当且仅当=,即t=7时,y max=42,≨当促销费投入7万元时,企业年利润最大.20.【解析】f′(x)=x2+(a+1)x+4a+1.(1)≧f′(x)是偶函数,≨a=-1,≨f(x)=x3-3x,f′(x)=x2-3,令f′(x)=0,解得x=〒2.,-2) -2(-2,2) 2(2,+由上表可知,f(x)的极大值为f(-2)=4,f(x)的极小值为f(2)=-4.(2)≧f′(x)=x2+(a+1)x+4a+1,令Δ=(a+1)2-4〓(4a+1)=a2-2a≤0,解得0≤a≤2,此时f′(x)≥0恒成立,≨函数f(x)在(-≦,+≦)上为单调函数,≨0≤a≤2.21.【解析】(1)f'(x)=1-.由于函数f(x)在x=1处取得极小值, 所以f'(1)=0,即1-=0,因此m=0.于是f'(x)=1-=.由f'(x)>0得x>1;由f'(x)<0得0<x<1,故函数f(x)在(1,+≦)上是增加的,在(0,1)上是减少的.(2)由(1)知f(x)=x-1-lnx.若a≤0,取x=2,则f(x)=1-ln2>0不满足f(x)≤a(x-1)2,因此必有a>0. 不等式f(x)≤a(x-1)2,即为x-1-lnx≤a(x-1)2,所以a(x-1)2-x+1+lnx≥0在x∈[1,+≦)上恒成立.令g(x)=a(x-1)2-x+1+lnx,则g'(x)=2a(x-1)-1+==.①当≤1即a≥时,当x>1时,有g'(x)>0恒成立,即g(x)在[1,+≦)上是增加的,g(x)在[1,+≦)上的最小值为g(1)=0,故g(x)≥0在x∈[1,+≦)上恒成立.②方法一:当>1即0<a<时,由g'(x)=<0可得1<x<,即函数g(x)在(1,)上是减少的.又g(1)=0,所以当x∈(1,)时,g(x)<0,因此g(x)≥0在x∈[1,+≦)上不能恒成立.综上,实数a的取值范围是[,+≦).方法二:当>1即0<a<时,函数g(x)在(1,)上是减少的,在(,+≦)上是增加的,因此g(x)在x=取得极小值,亦即最小值,最小值为h(a)=g()=-+a-ln(2a),而h'(a)=+1-=>0,所以h(a)在(0,)上是增加的.又h()=0,所以当0<a<时,g(x)在[1,+≦)上的最小值h(a)<0,故不满足g(x)≥0在[1,+≦)上恒成立.综上,实数a的取值范围是[,+≦).关闭Word文档返回原板块。
2014版广西《复习方略》(数学文)阶段滚动检测(五)
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阶段滚动检测（五）第一～十三章（120分钟 150分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(滚动交汇检测)已知集合P={x|>0},集合Q={x|x2+x-2≥0},则“x∈Q”是“x ∈P”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件2.函数f(x)在定义域R内可导,若f(x)=f(2-x),且当x∈(-∞,1)时,(x-1)f′(x)<0,设a=f(0),b=f(),c=f(3),则( )(A)a<b<c (B)c<a<b(C)c<b<a (D)b<c<a3.函数y=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数等于( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)44.某校对高三年级的学生进行体检,现将高三男生的体重(单位:kg)数据进行整理后分成五组,并绘制频率分布直方图(如图所示).根据一般标准,高三男生的体重超过65 kg属于偏胖,低于55 kg属于偏瘦,已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的频率分别为0.25,0.20, 0.10,0.05,第二小组的频数为400,则该校高三年级的男生总数和体重正常的频率分别为( )(A)1000,0.50 (B)800,0.50(C)1000,0.60 (D)800,0.605.(滚动交汇检测)若lg2,lg(2x-1),lg(2x+3)成等差数列,则x的值等于( )(A)1 (B)0或32 (C)32 (D)log256.某单位共有老、中、青年职工430人,其中有青年职工160人,中年职工人数是老年职工人数的2倍,为了了解职工身体状况,现采用分层抽样的方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工32人,则该样本中的老年职工人数为( )(A)9 (B)18 (C)27 (D)367.(滚动单独检测)函数y=cos2(2x-)+sin2(2x+)-1是( )(A)周期为π的奇函数(B)周期为的奇函数(C)周期为π的偶函数(D)周期为的偶函数8.(2013·柳州模拟)2位教师与5位学生排成一排,要求2位教师相邻但不排在两端,不同的排法共有( )(A)480种(B)720种(C)960种(D)1440种9.函数f(x)=的大致图象为( )10.(2013·哈尔滨模拟)设函数f′(x)=x2+3x-4,则y=f(x+1)的单调减区间为( )(A)(-4,1) (B)(-5,0)(C)(-,+∞) (D)(-,+∞)11.(滚动单独检测)过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为( )(A)(B)(C)(D)12.若函数y=-x2+1(0<x<2)的图象上任意点处切线的倾斜角为α,则α的最小值是( )(A)(B)(C)(D)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(滚动交汇检测)数列{a n}是公差为正数的等差数列,a1=f(x-1),a2=0,a3=f(x+1),其中f(x)=x2-4x+2,则数列{a n}的通项公式a n= .14.(2013·贺州模拟)如图,已知点E是棱长为2的正方体AC1的棱AA1的中点,则点A到平面EBD的距离为.15.(x2-)9的展开式中x9的系数是.16.(滚动交汇检测)函数f(x)=ax3-3x+1对于x∈[-1,1],总有f(x)≥0成立,则a= .三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2013·唐山模拟)设函数f(x)=lg(2x-3)的定义域为集合A,函数g(x)=的定义域为集合B.求:(1)集合A,B.(2)A∩B,A∪(ðB).R18.(12分)(2013·贵港模拟)某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有10名工人,其中有6名女工人.现采用分层抽样方法(层内采用不放回地简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核.求:(1)从甲、乙两组各抽取的人数.(2)从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率.19.(12分)(2011·广东高考)在某次测验中,有6位同学的平均成绩为75分.用x n表示编号为n(n=1,2,…,6)的同学所得的成绩,且前5位同学的成绩如下(1)求第6位同学的成绩x6及这6位同学成绩的标准差s.(2)从前5位同学中,随机地选2位同学,求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率.20.(12分)在公差为d(d≠0)的等差数列{a n}和公比为q的等比数列{b n}中,a2=b1=3,a5=b2,a14=b3,(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式.(2)令c n=,求数列{c n}的前n项和T n.21.(12分)(2013·柳州模拟)已知函数f(x)=x3-ax2+3x,a∈R.(1)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)在x∈[1,5]上的最大值.(2)若函数f(x)是R上的单调递增函数,求实数a的取值范围.22.(12分)(2013·成都模拟)设a∈R,向量m=(a,1),函数y=f(x)的图象经过坐标原点,f′(x)是函数f(x)的导函数.已知A(-1,f′(-1)),B(x,x2),f′(x)=·m.(1)求f(x)的解析式.(2)若关于x的方程f(x)=(x+1)2-在区间[-1,1]上有两个不相等的实数根,求a 的取值范围.答案解析1.【解析】选D.P={x|x>1或x<-1},Q={x|x ≥1或x ≤-2},x ∈Q x ∈P, x ∈P x∈Q. 2.【解析】选B.由f(x)=f(2-x)可得对称轴为x=1,故f(3)=f(-1), 又x ∈(-≦,1)时,(x-1)f ′(x)<0,可知f ′(x)>0, 即f(x)在(-≦,1)上单调递增, 所以f(-1)<f(0)<f(), 即c<a<b.3.【解析】选D.≧y=(x+1)2(x-1)=x 3+x 2-x-1. y ′=3x 2+2x-1,故y ′|x=1=4.4.【解析】选C.第二小组的频率为1-(0.25+0.20+0.10+0.05)=0.40, 男生总数==1000,体重在55 kg ～65 kg 的频率为0.40+0.20=0.60.5.【解析】选D.lg2+lg(2x +3)=2lg(2x -1),2(2x +3)=(2x -1)2, (2x )2-4〃2x -5 =0,2x =5,x=log 25.6.【解析】选B.设老年职工为x 人,则430-3x=160,x=90,设抽取的样本容量为m,则×m=32,m=86,故抽取的样本中老年职工人数为×86=18.7.【解析】选B.本题考查三角恒等变换,整理得y=sin4x 是周期为的奇函数. 8.【解析】选C.根据题意可先让5名学生排,然后把2名老师先视为一个元素安排在5名学生形成的中间的四个空中的一个位置上,然后再松绑,2名教师再排,故共有=960(种)不同的排法.9.【解析】选D.因为函数f(x)为偶函数,所以图象关于y 轴对称,排除A,B. 当0<x<1时,f(x)=<0.⇒⇒10.【解析】选B.令f′(x)<0,得-4<x<1;令-4<x+1<1,得-5<x<0,故函数y=f(x+1)的单调减区间为(-5,0).11.【解析】选B.根据已知可得|PF1|=.在直角三角形PF1F2中可得|PF2|=2|PF1|=.由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|==2a⇒=,则椭圆离心率e===.12.【解析】选D.因为y′=x2-2x,又0<x<2,所以-1≤y′<0.故k=tanα∈[-1,0).又因为α∈[0,π),则α∈[,π),所以α的最小值是.13.【解析】a1=f(x-1)=x2-6x+7,a3=f(x+1)=x2-2x-1,≨-(x2-6x+7)=x2-2x-1,解得x=1或3,x=1不合题意,舍去,≨a1=-2,a3=2,a n=2n-4.答案：2n-414.【解析】如图所示,取BD的中点M,连接ME,过点A作AN⊥ME于点N,则AN⊥平面BDE,即AN的长就是点A到平面EBD的距离.由AB=2可得AE=1,AM=,ME=.≨AN===.答案：15.【解析】T r+1=(x2)9-r(-)r=x18-2r(-1)r(2x)-r=2-r(-1)r x18-3r.18-3r=9,r=3,2-3(-1)3=-.答案：-16.【思路点拨】分离参数,构造函数,转化为最值问题.【解析】若x=0,则不论a取何值,f(x)≥0显然成立;当x>0,即x∈(0,1]时,f(x)=ax3-3x+1≥0可化为a≥-.设g(x)=-,则g′(x)=,所以g(x)在区间(0,]上单调递增,在区间[,1]上单调递减,因此g(x)max=g()=4,从而a≥4;当x<0,即x∈[-1,0)时,f(x)=ax3-3x+1≥0可化为a≤-,g′(x)=>0,g(x)在区间[-1,0)上单调递增,因此g(x)min=g(-1)=4,从而a≤4,综上a=4.答案：4【误区警示】解答本题易出现不能将不等式转化为a≥-,使思路受阻的情况,解决恒成立问题应注意参数分离和等价转化.17.【解析】(1)由函数f(x)=lg(2x-3)有意义,得:2x-3>0,即x>,所以A={x|x>}.由函数g(x)=有意义,得:-1≥0,即≥0,解得1<x≤3.所以B={x|1<x≤3}.(2)由(1)得,ðB={x|x≤1或x>3},R所以A∩B={x|x> }∩{x|1<x≤3}={x|<x≤3}.A∪(ðB)={x|x≤1或x>}.R18.【解析】(1)由于甲、乙两组各有10名工人,根据分层抽样原理,要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核,则从每组各抽取2名工人.(2)记A表示事件:从甲组抽取的工人中恰有1名女工人,则P(A)==.19.【思路点拨】(1)由平均数的计算公式列出关于x6的方程,求出x6,由标准差的计算公式求标准差;(2)由古典概型概率计算公式直接求解.【解析】(1)由题意=75,即=75,解得x6=90;标准差s==7(2)从前5位同学的成绩中随机地选2位同学的成绩,有10种可能,分别是(70,76),(70,72),(70,70),(70,72),(76,72),(76,70),(76,72),(72,70),(72, 72),(70,72).恰有一位同学成绩在区间(68,75)中,有4种可能,分别是(70,76),(76,72),(76,70),(76,72).设事件A为“恰有1位同学成绩在区间(68,75)中”,则P(A)==.故恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率是.20.【解析】(1)由条件得:≨≨a n=2n-1,b n=3n.(2)由(1)得,≨c n==b2n-1=32n-1,≧==9,c 1=3,所以{c n}是首项为3,公比为9的等比数列.≨T n==(9n-1).21.【解析】(1)f′(x)=3x2-2ax+3.f′(3)=0,即27-6a+3=0,≨a=5f(x)=x3-5x2+3x,f′(x)=3x2-10x+3=0,解得x=3或x=(舍去)当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表因此,当x=5时,f(x)在区间[1,5]上的最大值是f(5)=15,(2)将f(x)是R上的单调递增函数转化为f′(x)≥0在R上恒成立.从而有f′(x)=3x2-2ax+3=0的Δ=(-2a)2-4×3×3≤0,解得a∈[-3,3].【方法技巧】求函数最值的方法步骤:设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下:①求f(x)在[a,b]内的极值;②将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.22.【解析】(1)≧AB=(x+1,x2-f′(-1)),≨f′(x)=〃m=a(x+1)+x2-f′(-1).令x=-1,则f′(-1)=a(-1+1)+(-1)2-f′(-1),解得f′(-1)=.≨f′(x)=x2+ax+a-.≧y=f(x)的图象过原点.≨f(x)=x3+x2+(a-)x.(2)原方程可以整理为a=x3+x2-x,令g(x)=x3+x2-x,则g′(x)=2x2+x-1.由g′(x)=0,则x=-1或x=,且当x<-1或x>时g′(x)>0,当-1<x<时,g′(x)<0.≨在x∈[-1,1]时,g(x)在[-1,]上是减函数,在[,1]上是增函数,≨在[-1,1]上,g(x)min=g()=-.又g(-1)=>g(1)=,≨要使原方程在[-1,1]上有两个不相等的实数根,则须使-<a≤.即a的取值范围为(-,].关闭Word文档返回原板块。
【加练半小时】2020版高考数学文(通用)一轮练习：阶段滚动检测(四)
一、选择题1．(2018·珠海模拟)已知集合A ＝{x |x 2<4}，B ＝{0,1,2,4}，则A ∩B 等于( ) A ．{0,1} B ．{0,1,2} C ．{1,2}D ．{0,1,2,4}2．(2019·广东联考)在R 上函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，|2－x |，0≤x <1，其中a ∈R ，若f (－5)＝f (4.5)，则a 等于( ) A. 0.5 B. 1.5 C. 2.5 D. 3.53．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象经过A ⎝⎛⎭⎫－π6，－2，B ⎝⎛⎭⎫π4，2两点，则ω的( ) A ．最小值为125B ．最大值为125C ．最小值为3D ．最大值为34．两等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n 且S n T n ＝n ＋12n ，则a 8b 5等于( )A.45B.67C.89D ．2 5．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋2y ≤2，x ≥－2，则z ＝x －3y 的最小值为( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－86．已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10等于( ) A.172 B.192C ．10D ．12 7．在Rt △ABC 中斜边BC ＝a ，以A 为中点的线段PQ ＝2a ，则BP →·CQ →的最大值为( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．2 28．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，cos 2A 2＝12＋b2c ，则△ABC 的形状为( )A. 正三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形9．已知函数f (x )＝－x －x 3，α，β，γ∈R ，且α＋β>0，β＋γ>0，γ＋α>0，则f (α)＋f (β)＋f (γ)的值( )A. 恒为正数B. 恒等于零C. 恒为负数D. 可能大于零，也可能小于零 10．函数y ＝x 2e x 的图象大致为( )11．已知函数f (x ＋2)是偶函数，且当x >2时满足xf ′(x )>2f ′(x )＋f (x )，则( ) A ．2f (1)<f (4) B ．2f ⎝⎛⎭⎫32>f (3) C ．f (0)<4f ⎝⎛⎭⎫52D ．f (1)<f (3)12．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，f (x ＋2)＝f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，若直线y ＝x ＋a 与函数f (x )的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是( ) A ．0 B. 0或12C. －14或－12D. 0或－14二、填空题13．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n a n ＋1＝2n (n ∈N *)，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 018＝________. 14．已知a >0，b >0，且1a ＋1b ＝1，则3a ＋2b ＋ba的最小值为________．15．已知m ，n ∈R ，若关于实数x 的方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＋n ＋1＝0的两个实根x 1，x 2满足0<x 1<1，x 2>1，则nm的取值范围为________．16．对于函数f (x )给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是函数f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)都有“拐点”；任意一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，给定函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请根据上面探究结果：计算f ⎝⎛⎭⎫12 019＋f ⎝⎛⎭⎫22 019＋f ⎝⎛⎭⎫32 019＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0182 019＝________. 三、解答题17．设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3·a ＝2b ·sin A . (1)求B 的大小；(2)若b ＝6，求a ＋c 的取值范围．18．学校食堂定期从某粮店以每吨1 500元的价格买大米，每次购进大米需支付运输劳务费100元，已知食堂每天需要大米1吨，贮存大米的费用为每吨每天2元，假定食堂每次均在用完大米的当天购买．(1)该食堂每多少天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少？(2)粮店提出价格优惠条件：一次购买量不少于20吨时，大米价格可享受九五折优惠(即是原价的95%)，问食堂可否接受此优惠条件？请说明理由．19．(2019·长春质检)已知S n是等差数列{a n}的前n项和，a3＝7，S3＝27.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)设b n＝13－a n，求1b1b2＋1b2b3＋1b3b4＋…＋1b n b n＋1.20．设函数f(x)＝e x＋ax＋b在点(0，f(0))处的切线方程为x＋y＋1＝0.(1)求a，b的值，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当x≥0时，f(x)>x2－4.21．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn (其中k ∈N *)，且S n 的最大值为8.(1)确定常数k ，并求a n ；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的前n 项和为T n ，求证：T n <4.22．(2019·河北衡水中学调研)已知函数f (x )＝e x －2x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)若函数g (x )＝f (x )－a ，x ∈[－1,1]恰有2个零点，求实数a 的取值范围．答案精析1．A [集合A ＝{x |x 2<4}＝{x |－2<x <2}，B ＝{0,1,2,4}，∴A ∩B ＝{0,1}，故选A .]2．C [在R 上函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，可得到函数的周期为2，故f (－5)＝f (－1)，f (4.5)＝f (0.5)，故f (－1)＝a －1，f (0.5)＝1.5，所以a －1＝1.5，解得a ＝2.5.]3．A [由题意可得A ，B 为函数图象的顶点，故当A ，B 为函数图象的相邻的两个顶点时，周期最大，ω最小，此时12×2πω＝π4＋π6＝5π12，即ω＝125，故选A.]4．C [等差数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn ，依题意有S n ＝An (n ＋1)，T n ＝2An 2，所以a 8＝S 8－S 7＝72A －56A ＝16A ，b 5＝T 5－T 4＝50A －32A ＝18A ，所以a 8b 5＝89，故选C.]5．D [由图可知，z ＝x －3y ，y 的系数小于零，故截距越大，目标函数值越小．所以在A 点取最小值．A 点坐标为(－2,2)，所以z 的最小值为－8，故选D.]6．B [由题意可得8a 1＋8×72×1＝4⎝⎛⎭⎫4a 1＋4×32×1，解得a 1＝12，则a 10＝a 1＋9d ＝192.] 7．B [∵在Rt △ABC 中斜边BC ＝a ，∴BA ⊥CA ， ∵A 为线段PQ 的中点，且PQ ＝2a .∴BP →·CQ →＝－a 2＋BA →·AQ →－AQ →·CA →＝－a 2＋AQ →(BA →－CA →)＝－a 2＋AQ →·CB →＝－a 2＋a 2cos θ， 当cos θ＝1时，BP →·CQ →有最大值0，故选B.] 8．B [∵cos 2A2＝12＋b2c ，∴1＋cos A 2＝12＋b 2c，即cos A ＝bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝b c ，则c 2＝a 2＋b 2，故三角形为直角三角形，故选B.] 9．C [由题意可得，函数f (x )＝－x －x 3，所以函数的定义域为R ，并且有f (－x )＝x ＋x 3＝－f (x )， 所以函数f (x )是定义域内的奇函数． 因为－x 是减函数，－x 3也是减函数， 所以函数f (x )＝－x －x 3在R 上是减函数．因为实数α，β，γ满足α＋β＞0，β＋γ＞0，γ＋α＞0， 所以α＞－β，β＞－γ，γ＞－α， 所以f (α)＜f (－β)＝－f (β)，① f (β)＜f (－γ)＝－f (γ)，② f (γ)＜f (－α)＝－f (α)，③ ①＋②＋③并且整理可得： f (α)＋f (β)＋f (γ)＜0.故选C.]10．A [因为y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝x (x ＋2)e x ，所以当x <－2或x >0时，y ′>0，函数y ＝x 2e x 为增函数；当－2<x <0时，y ′<0，函数y ＝x 2e x 为减函数，排除B ，C ；又y ＝x 2e x ≥0，所以排除D.故选A.]11．A [f (x ＋2)是偶函数，则f (x )的对称轴为x ＝2， 构造函数g (x )＝f (x )x －2，则g (x )关于(2,0)对称，当x >2时，由xf ′(x )>2f ′(x )＋f (x )， 得g ′(x )＝(x －2)f ′(x )－f (x )(x －2)2>0， 则g (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(－∞，2)上也单调递增，所以g (3)<g (4)，f (3)3－2<f (4)4－2，2f (3)<f (4)，又f (1)＝f (3)，所以2f (1)<f (4)．]12．D [因为f (x ＋2)＝f (x )，所以周期为2，作图如下：由图知，直线y ＝x ＋a 与函数f (x )的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点时直线y ＝x ＋a 过点A (1,1)或与f (x )＝x 2相切，即1＝1＋a ，解得a ＝0或x 2＝x ＋a ，Δ＝1＋4a ＝0，a ＝－14.故选D.]13．3×21 009－3解析 ∵a n a n ＋1＝2n ，令n ＝1 ，求得a 2＝2，当n ≥2时a n a n －1＝2n －1，∴a n ＋1a n －1＝2，∴数列{a n }的奇数项成等比数列，偶数项也成等比数列．则S 2 018＝1－21 0091－2＋2(1－21 009)1－2＝3×21 009－3.14．11解析 ∵1a ＋1b ＝1，∴3a ＋2b ＋b a ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (3a ＋2b )＋ba ＝5＋3⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ， ∵a >0，b >0，∴b a >0，a b >0，∴b a ＋ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号． 3a ＋2b ＋ba ≥5＋6＝11.∴3a ＋2b ＋ba 的最小值为11.15.⎝⎛⎭⎫－2，－12 解析 设f (x )＝x 2＋(m ＋1)x ＋m ＋n ＋1，∵关于实数x 的方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＋n ＋1＝0的两个实根x 1，x 2满足0＜x 1＜1，x 2＞1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0，f (1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＋1>0，2m ＋n ＋3<0，作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分(不含边界)，设k ＝n m，则k 的几何意义为过原点的直线的斜率，由⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＋1＝0，2m ＋n ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝1，即A (－2,1)，此时OA 的斜率k ＝－12，直线2m ＋n ＋3＝0的斜率k ＝－2， 故－2＜k ＜－12.16．2 018解析 由f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，∴f ′(x )＝x 2－x ＋3，∴f ″(x )＝2x －1，由f ″(x )＝0，得x ＝12.∴f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫12，1， ∴f (1－x )＋f (x )＝2，故设f ⎝⎛⎭⎫12 019＋f ⎝⎛⎭⎫22 019＋f ⎝⎛⎭⎫32 019＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0182 019＝m ， 则f ⎝⎛⎭⎫2 0182 019＋f ⎝⎛⎭⎫2 0172 019＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12 019＝m ， 两式相加得2×2 018＝2m ，则m ＝2 018，故答案为2 018. 三、解答题17．解 (1)锐角△ABC 中，3a ＝2b ·sin A ， ∴由正弦定理得3sin A ＝2sin B ·sin A ， ∵sin A ≠0，∴sin B ＝32.又0<B <π2，∴B ＝π3.(2)由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝6sinπ3＝43，∵a ＝43sin A ，c ＝43sin C ＝43sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A . ∴a ＋c ＝43sin A ＋43sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝12sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. ∵⎩⎨⎧0<A <π2，0<2π3－A <π2，∴π6<A <π2， ∴π3<A ＋π6<2π3. ∴32<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤1. ∴63<12sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤12. ∴a ＋c 的取值范围为(63，12]．18．解 (1) 设该食堂每x 天购买一次大米，则每次购买x 吨，设平均每天所支付的费用为y 元，则y ＝1x [1 500x ＋100＋2(1＋2＋…＋x )]＝x ＋100x＋1 501≥1 521，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时取等号．故该食堂每10天购买一次大米，能使平均每天支付的费用最少． (2)y ＝1x [1 500x ×0.95＋100＋2(1＋2＋…＋x )]＝x ＋100x ＋1 426(x ≥20)．函数y 在[20，＋∞)上为增函数，所以y ≥20＋10020＋1 426＝1 451，而1 451<1 521，故食堂可接受粮店的优惠条件．19．(1)解 由a 1＋2d ＝7,3a 1＋3d ＝27，解得a 1＝11，d ＝－2，可得a n ＝13－2n .(2)由(1)得，b n ＝2n ，1b n b n ＋1＝14n (n ＋1)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 所求式等于1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1. 20．(1)解 f ′(x )＝e x ＋a ，由已知，f ′(0)＝－1，f (0)＝－1，故a ＝－2，b ＝－2. f ′(x )＝e x －2，当x ∈(－∞，ln 2)时，f ′(x )<0，当x ∈(ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在x ∈(－∞，ln 2)时单调递减，在x ∈(ln 2，＋∞)时单调递增．(2)证明 f (x )>x 2－4，即x 2＋2x －2e x <1， 设g (x )＝x 2＋2x －2e x ，∴g ′(x )＝4－x 2e x ，x ∈[0,2)时， g ′(x )>0，x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )<0，所以g (x )在[0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，g (x )max ＝g (2)＝6e 2<1， 故当x ≥0时，f (x )>x 2－4.21．(1)解 因为S n ＝－12n 2＋kn ＝－12(n －k )2＋k 22， 又因为k ∈N *，所以当n ＝k 时，(S n )max ＝S k ＝k 22＝8， 解得k ＝4，这时S n ＝－12n 2＋4n ； 所以a 1＝S 1＝－12×12＋4×1＝72， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－n ＋92， 又a 1＝S 1＝72也适合这个公式，所以a n ＝－n ＋92. (2)证明 设b n ＝9－2a n 2n ＝n 2n －1， 则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝1＋22＋322＋…＋n 2n －1，① 所以12T n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ，② ①－②得12T n ＝1＋12＋122＋123＋…＋12n －1－n 2n ＝2－22n －n 2n ＝2－n ＋22n ， 所以T n ＝4－n ＋22n －1.所以T n <4. 22．解 (1)因为f (x )＝e x －2x ，所以f ′(x )＝e x －2.所以f ′(0)＝－1，又f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －1＝－x ， 即x ＋y －1＝0.(2)由题意得，g (x )＝e x －2x －a ，所以g ′(x )＝e x －2.由g ′(x )＝e x －2＝0，解得x ＝ln 2，故当－1≤x <ln 2时，g ′(x )<0，g (x )在[－1，ln 2)上单调递减； 当ln 2<x ≤1时，g ′(x )>0，g (x )在(ln 2,1]上单调递增． 所以g (x )min ＝g (ln 2)＝2－2ln 2－a .又g (－1)＝e －1＋2－a ，g (1)＝e －2－a ，结合函数的图象(图略)可得，若函数恰有两个零点，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)＝e －1＋2－a ≥0，g (1)＝e －2－a ≥0，g (ln 2)＝2－2ln 2－a <0，解得2－2ln 2<a ≤e －2. 所以实数a 的取值范围为(2－2ln 2，e －2]．。
2021版高考数学一轮复习 滚动评估检测(四)(含解析)新人教B版-新人教B版高三全册数学试题
滚动评估检测(四)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.集合A={y=,0≤x≤4},B=,则A∩B=( )A.∪B.∪C.D.【解析】选D.因为A=[0,2],B=,所以A∩B=(1,2].2.已知i为虚数单位,复数z满足=2+i,则= ( )A.1B.C.D.5【解析】选A.由题可得1-i=(2+i)(1+z),整理得z=--i,==1.3.已知x∈R,则“x>2”是“x2-3x+2>0”成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由x2-3x+2>0得x<1或x>2,所以“x>2”是“x2-3x+2>0”成立的充分不必要条件.4.已知是等差数列,其前n项和为S n,若a3=6,S3=12,则公差d等于( ) A.1B. C.2D.3【解析】选C.因为a3=a1+2d=6,S3=3a1+3d=12,所以a1=2,d=2.5.在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足=2,则·(+)等于( )A.-B.-C.D.【解析】选A.如图,因为=2,所以=+,所以·(+)=-,因为AM=1且=2,所以||=,所以·(+)=-.6.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计,得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图,则下列结论中不正确的是( ) 注:90后指1990-1999年之间出生,80后指1980-1989年之间出生,80前指1979年及以前出生.A.互联网行业从业人员中90后占一半以上B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C.互联网行业中90后从事运营岗位的人数比从事产品岗位的人数多D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多【解析】选D.A.由互联网行业从业者年龄分布饼状图可知,90后占了56%,故A选项结论正确;B.互联网行业中,从事技术的90后占56%×39.6%>20%,仅90后就超过20%,故B选项结论正确;C.由90后从事互联网行业岗位分布条形图可知C选项结论正确;D.在互联网行业从业者中90后与80后的比例相差不大,故无法判断其技术岗位的人数是谁多,故D选项结论不一定正确.7.(2020·某某模拟)已知函数f(x)=,则y=f(x)的图象大致为( )【解析】选A.令g(x)=x-lnx-1,则x>0,因为g′(x)=1-=,由g′(x)>0,得x>1,即函数g(x)在(1,+∞)上单调递增,由g′(x)<0,得0<x<1,即函数g(x)在(0,1)上单调递减,所以当x=1时,函数g(x)有最小值,g(x)min=g(1)=0,于是对任意的x∈(0,1)∪(1,+∞),有g(x)>0,则f(x)>0,故排除B、D.8.(2019·全国卷Ⅱ)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-,则m的取值X围是世纪金榜导学号( )A. B.C. D.【解析】选B.如图,令f(x)=-,结合图象可得f(x-1)=-,则f(x-2)=-,当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1)=-,解得x=或,当f(x)=-时,x=或,即若f(x)≥-,对任意x∈(-∞,m]都成立,则m≤.二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)9.已知sinx=,则sin2x= ( )A.-B.-C.D.【解析】选BD.因为sinx=,所以cosx=±=±=±,所以sin2x=2sinxcosx=2××=±.10.(2020·某某新高考模拟)函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)与f(x+2)都为奇函数,则( )A.f(x)为奇函数B.f(x)为周期函数C.f(x+3)为奇函数D.f(x+4)为偶函数【解析】选ABC.由f(x+1)与f(x+2)都为奇函数知函数f(x)的图象关于点(-1,0),(-2,0)对称,所以f(x)+f(-2-x)=0,f(x)+f(-4-x)=0,所以f(-2-x)=f(-4-x),所以f(x)是以2为周期的函数.所以f(x),f(x+3)均为奇函数.11.(2020·某某新高考模拟)如图为某地区2006年～2018年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图.根据该折线图可知,关于该地区2006年～2018年的说法正确的是( )A.财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势B.财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同C.财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量D.城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大【解析】选AD.由图可以看出两条曲线均在上升,从而选项A正确;图中两曲线间隔越来越大,说明年增长速度不同,差额逐年增大,故选项B错误,选项D正确;又从图中可以看出财政预算内收入年平均增长量应该小于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量,所以选项C错误.12.(2020·某某新高考模拟)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点.则( )A.直线D1D与直线AF垂直B.直线A1G与平面AEF平行C.平面AEF截正方体所得的截面面积为D.点C与点G到平面AEF的距离相等【解析】选BC.对选项A:方法一:以D点为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),A1(1,0,1),E,F,G.从而=(0,0,1),=,从而·=≠0,所以D1D与直线AF不垂直,选项A错误;方法二:取DD1的中点N,连接AN,则AN为直线AF在平面ADD1A1内的射影,AN与DD1不垂直,从而AF与DD1也不垂直,选项A错误;取B1C1的中点为M,连接A1M、GM,则A1M∥AE,GM∥EF,A1M∩GM=M,AE∩EF=E,所以平面A1MG∥平面AEF,从而A1G∥平面AEF,选项B正确;对于选项C,连接AD1,D1F,易知四边形AEFD1为平面AEF截正方体所得的截面四边形(如图所示),且D1H=AH=,AD1=,所以=×=,而==,从而选项C正确;对于选项D:方法一:由于S△GEF=S梯形BEFG-S△EBG=×-××=,而S△ECF=××=,而V A-GEF=S△EFG·AB,V A-ECF=S△ECF·AB,所以V A-GEF=2V A-ECF,即V G-AEF=2V C-AEF,点G到平面AEF的距离为点C到平面AEF的距离的二倍.从而D错误. 方法二:假设点C与点G到平面AEF的距离相等,即平面AEF将CG平分,则平面AEF必过CG的中点,连接CG交EF于点O,易知O不是CG的中点,故假设不成立,从而选项D错误.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.的展开式中x2y3的系数为________.【解析】由二项式定理可知,展开式的通项为T r+1=(-2y)r,要求的展开式中含x2y3的项,则r=3,所求系数为(-2)3=-20.答案:-2014.(2018·全国卷Ⅰ)记S n为数列的前n项和.若S n=2a n+1,则S6=________. 世纪金榜导学号【解析】依题意,作差得a n+1=2a n,所以数列{a n}是公比为2的等比数列,又因为a1=S1=2a1+1,所以a1=-1,所以a n=-2n-1,所以S6==-63.答案:-6315.双曲线-=1的离心率为__________,渐近线方程为__________.【解析】双曲线-=1中,a=2,b=,c==,所以e==,渐近线方程为y=±x=±x.答案:y=±x16.圆O的半径为1,P为圆周上一点,现将如图放置的边长为1的正方形(实线所示,正方形的顶点A与点P重合)沿圆周逆时针滚动,点A第一次回到点P的位置,则点A走过的路径的长度为________. 世纪金榜导学号【解析】每次转动一个边长时,圆心角转过60°,正方形有4边,所以需要转动11次,回到起点.在这11次中,半径为1的6次,半径为的3次,半径为0的2次,点A走过的路径的长度=×2π×1×6+×2π××3=.答案:四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2020·某某新高考模拟)在①b1+b3=a2,②a4=b4,③S5=-25这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的k存在,求k的值,若k不存在,请说明理由.设等差数列{a n}的前n项和为S n,{b n}是等比数列,____________,b1=a5,b2=3,b5=-81,是否存在k,使得S k>S k+1且S k+1<S k+2?注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【解析】因为在等比数列{b n}中,b2=3,b5=-81,所以其公比q=-3, 从而b n=b2(-3)n-2=3×(-3)n-2,从而a5=b1=-1.若存在k,使得S k>S k+1,即S k>S k+a k+1,从而a k+1<0;同理,若使S k+1<S k+2,即S k+1<S k+1+a k+2,从而a k+2>0.方法一:若选①:由b1+b3=a2,得a2=-1-9=-10,所以a n=3n-16,当k=4时满足a5<0,且a6>0成立;若选②:由a4=b4=27,且a5=-1,所以数列{a n}为递减数列,故不存在a k+1<0,且a k+2>0;若选③:由S5=-25==5a3,解得a3=-5,从而a n=2n-11,所以当k=4时,能使a5<0,a6>0成立.方法二:若选①:由b1+b3=a2,得a2=-1-9=-10,所以公差d==3,a1=a2-d=-13,从而S n=-13n+×d=(3n2-29n);⇔解得<k<,又k∈N*,从而k=4满足题意.若选②与若选③(仿上可解决,略).18.(12分)(2020·黄冈模拟)在△ABC中,设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=.(1)求角B的大小.(2)求cos2-sin cos的取值X围.【解析】(1)由=得到=,即2sinAcosB=sin(B+C),即2sinAcosB=sinA.又因为A为三角形内角,所以sinA≠0,所以cosB=,从而B=.(2)cos2-sin cos=(cosC+1)-sinA=cosC-sin+=cosC-sinC+=cos(C+)+,因为0<C<,所以<C+<,所以-<cos(C+)<,所以<cos(C+)+<.所以cos2-sin cos的取值X围为.19.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,平面ABCD⊥平面PAD,E是PB的中点,F 是DC上一点,G是PC上一点,且PD=AD,AB=2DF=6.(1)求证:平面EFG⊥平面PAB.(2)若PA=4,PD=3,求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.【解析】(1)如图,取PA的中点M,连接MD,ME,则ME∥AB,ME=AB,又DF∥AB,DF=AB,所以ME∥DF,ME=DF,所以四边形MDFE是平行四边形,所以EF∥MD,因为PD=AD,所以MD⊥PA,因为平面ABCD⊥平面PAD,平面ABCD∩平面PAD=AD,AB⊥AD,所以AB⊥平面PAD,因为MD⊂平面PAD,所以MD⊥AB,因为PA∩AB=A,所以MD⊥平面PAB,所以EF⊥平面PAB,又EF⊂平面EFG,所以平面EFG⊥平面PAB.(2)过点P作PH⊥AD于点H,则PH⊥平面ABCD,以H为坐标原点,HA所在直线为x轴,过点H 且平行于AB的直线为y轴,PH所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz,在等腰三角形PAD中,PD=AD=3,PA=4,因为PH·AD=MD·PA,所以3PH=4×,解得PH=,则AH=,所以P,B,所以=,易知平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),所以cos<,n>==-,所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为.20.(12分)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,圆O:x2+y2=c2(|F1F2|=2c)与椭圆有且仅有两个交点,点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程.(2)过y轴正半轴上一点P的直线l与圆O相切,与椭圆C交于点A,B,若=,求直线l的方程.【解析】(1)依题意,得c=b,所以a==b,所以椭圆C为+=1,将点代入,解得b=1,则a=,所以椭圆的标准方程为+y2=1.(2)由题意知直线l的斜率存在,设l斜率为k,P(0,m)(m>1),则直线l的方程为y=kx+m,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l与圆O相切,则=1,即m2=1+k2,联立直线与椭圆方程,消元得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,Δ>0⇒k≠0,x1+x2=-,x1x2==,因为=,所以x2=2x1,即x1=-,=,所以=1,解得k2=,即k=±,m=,故所求直线方程为y=±x+.21.(12分)(2018·某某高考)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;②设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.【解析】(1)由已知,得甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.(2)①随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=k)=(k=0,1,2,3).所以,随机变量X的分布列为X 0 1 2 3P所以随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.②设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B∪C,且B与C互斥,由①知,P(B)=P(X=2)=,P(C)=P(X=1)=,故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=.所以,事件A发生的概率为.22.(12分)已知函数f=cos,g=e x·f′,其中e为自然对数的底数.世纪金榜导学号(1)求曲线y=g在点处的切线方程.(2)若对任意x∈不等式g≥x·f+m恒成立,某某数m的取值X围.(3)试探究当x∈时,方程g=x·f的解的个数,并说明理由.【解析】(1)依题意得f=si n x,g=e x·cosx.g=e0cos0=1,g′=e x cosx-e x si n x,g′(0)=1,所以曲线y=g在点(0,g(0))处的切线方程为y=x+1.(2)原题等价于对任意x∈,m≤[g-x·f]mi n.设h(x)=g-x·f,x∈.则h′=e x cosx-e x si n x-si n x-xcosx=cosx-si n x,因为x∈,所以cosx≥0,si n x≤0,所以h′≥0,故h(x)在上单调递增,因此当x=-时函数h(x)取得最小值, h=-;所以m≤-,即实数m的取值X围是. (3)设H(x)=g-x·f,x∈.当x∈时,H′(x)=e x(cosx-si n x)-si n x-xcosx<0,所以函数H(x)在上单调递减,故函数H(x)在上至多只有一个零点,又H=(-)>0,H=-<0,而且函数H(x)在上是连续不断的, 因此,函数H(x)在上有且只有一个零点.即方程g(x)=x·f(x)只有一个解.。
阶段滚动检测(四)
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阶段滚动检测（四）（第一～七章） （120分钟 160分）一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上) 1.(2012·扬州模拟)已知l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若从 “①l ⊥α;②l ∥β;③α⊥β”中选取两个作为条件，另一个作为结论，试写出一个你认为正确的命题____________.(请用代号表示) 2.(滚动单独考查)复数2ii-(i 为虚数单位)等于_________. 3.已知E 、F 、G 、H 是空间内四个点，条件甲：E 、F 、G 、H 四点不共面，条件乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的_________条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)4.(滚动单独考查)已知函数f(x)=22x 4x (x 0)4x x (x 0)⎧+≥⎪⎨-<⎪⎩.若f(2-a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围是_________.5.(滚动单独考查)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM=1，点P 在AM 上且满足AP 2PM = ，则PA·(PB PC + )= _________.6.如图，在透明塑料制成的长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1容器内装进一些水，将容器底面一边BC 固定于底面上，再将容器电热管倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法：①水的形状始终是棱柱形状；②水面形成的四边形EFGH 的埋刮板输送机面积不改变；③当E ∈AA 1时，AE+BF是定值.其中正确说法是_________.(写出正确说法的序号)7.(2012·合肥模拟)三棱锥A —BCD 的各个面都是正三角形，棱长为2，点P 在棱AB 上移动，点Q 在棱CD 上移动，则沿三棱锥外表面从P 到Q 的最短距离等于_________.8.(滚动单独考查)设等差数列{a n }的公差d ≠0,a 1=4d,若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k 的值为_________.9.对函数f(x)=xsinx ，现有下列命题： ①函数f(x)是偶函数；②函数f(x)的最小正周期是2π；③点(π,0)是函数f(x)的图象的一个对称中心；④函数f(x)在区间［0,2π］上单调递增，在区间［-2π,0］上单调递减. 其中是真命题的是_________.10.(滚动单独考查)若函数y=f(x)的值域是［12，3］，则函数F(x)=f(x)+()1f x 的最小值是_________.11.母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于43π，则该圆锥的体积为_________．12.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为棱DC 的中点，则D 1P 与BC 1所在直线所成角的余弦值等于_________.13.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_________.14.(滚动交汇考查)(2012·盐城模拟)现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，.类比到空间，有两个棱长均为a的正方则这两个正方形重叠部分的面积恒为2a4体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为_________.二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(14分)(2012·南通模拟)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D．(1)求证：AD⊥平面BCC1B1；(2)设E 是B 1C 1上的一点，当11B EEC 的值为多少时，A 1E ∥平面ADC 1？请给出证明． 16.(14分)(2012·无锡模拟)如图，四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为矩形，△PAD 为等腰直角三角形，∠APD=90°，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 、F 分别为PC 、BD 的中点.证明：(1)EF ∥平面PAD ； (2)平面PDC ⊥平面PAD.17.(14分)(滚动单独考查)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n,S n )在函数f(x)=3x 2-2x 的图象上， (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设n n n 13b a a +=，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使|T n -12|<1100成立的最小正整数n 的值.18.(16分)(2011·安徽高考)如图，ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上，OA=1，OD=2，△OAB ，△OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形.(1)证明直线BC ∥EF ； (2)求棱锥F-OBED 的体积.19. (16分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AD，点F是棱PD的中点，点E在棱CD上移动.(1)当点E为CD的中点时，试判断直线EF与平面PAC的关系，并说明理由；(2)求证：PE⊥AF.20.(16分)(2012·南京模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，菱形ABCD的对角线交于点O，E、F分别是PC、DC的中点，平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥AD.求证：(1)平面EFO∥平面PDA；(2)PD⊥平面ABCD；(3)平面PAC⊥平面PDB.答案解析1.【解析】∵l ∥β,∴过l 作平面γ，使γ∩β=m ，则l ∥m ，又l ⊥α, ∴m ⊥α，而m ⊂β，∴α⊥β，故①②⇒③. 答案：①②⇒③2.【解析】()()2i 2i 2i 2i 1i i --==-+=-1-2i. 答案：-1-2i3.【解析】点E 、F 、G 、H 四点不共面可以推出直线EF 和GH 不相交；但由直线EF 和GH 不相交不一定能推出E 、F 、G 、H 四点不共面，例如：EF 和GH 平行，这也是直线EF 和GH 不相交的一种情况，但E 、F 、G 、H 四点共面．故甲是乙成立的充分不必要条件． 答案：充分不必要4.【解析】f(x)=()()2222x 4x x 2404x x x 240⎧+=+-≥⎪⎨-=--+<⎪⎩, 由f(x)的解析式可知，f(x)在(-∞，+∞)上是单调递增函数， 所以再由f(2-a 2)>f(a)得2-a 2>a, 即a 2+a-2<0,解得-2<a<1. 答案：-2<a<15.【解题指南】根据数量积的定义确定向量的长度和夹角即可.【解析】PA ·(PB PC + )=PA ·2PM =2×2133⨯×cos180°=49-.答案：49-6.【解析】由于底面一边BC 固定于底面上，故倾斜过程中与BC 边垂直的两个面始终平行，且其他面均为平行四边形，满足棱柱的结构特征，故①正确.水面形成的四边形EFGH会发生改变，故②错误；E∈AA1时，AE+BF=AE+A1E=AA1，故③正确.答案：①③7.【解题指南】将三棱锥的侧面展开，转化为平面图形处理.【解析】如图所示，将三棱锥A—BCD沿侧棱AB剪开，将各个侧面展开成为一个平面，由于三棱锥A—BCD的各个面都是正三角形，所以展开的平面图中ABDC1是一个菱形，边长为2，当点P在棱AB上移动，点Q在棱CD上移动时，沿三棱锥外表面从P到Q的最短距离应该是菱形ABDC1的对边AB和DC12=8.【解析】由已知得a k=a1+(k-1)·d=4d+(k-1)d=(k+3)d.a2k=a1+(2k-1)d=4d+(2k-1)d=(2k+3)d.又∵a k是a1与a2k的等比中项，∴2a=a1·a2k，k∴［(k+3)d］2=4d·(2k+3)d，又d≠0，∴(k+3)2=4(2k+3)，即k2-2k-3=0,解得k=3或k=-1(舍).答案：39.【解析】由f(-x)=(-x)·sin(-x)=xsinx=f(x)知①正确；函数不满足f(x+2π)=f(x)，故②不正确；由于f(2π)=2π×sin 2π=2π,f(32π)=32π×sin 32π=-32π， 故f(2π)≠-f(32π)，从而点(π,0)不是函数f(x)的图象的一个对称中心，故③不正确. 答案：①④10.【解析】令t=f(x),则t ∈［12,3］,则1t t +≥，当且仅当t=1t即t=1时取“=”,所以F(x)的最小值为2. 答案：211.【解析】圆锥的侧面展开图中扇形的弧长，即底面圆的周长为43π·1＝43π，于是设底面圆的半径为r ，则有2πr ＝43π，所以r ＝23，于是圆锥的高为h＝，故圆锥的体积为V.答案：8112.【解析】过C 1作D 1P 的平行线交DC 的延长线于点F ，连结BF ，则∠BC 1F 或其补角等于异面直线D 1P 与BC 1所成的角．设正方体的棱长为1，由P 为棱DC 的中点，则易得BC 1C 1==， 在△BC 1F 中，cos ∠BC 1222+-=.13.【解析】由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，设O 、O 1分别为下、上底面中心，且球心O 2为O 1O 的中点，又AD ，AO ＝3，OO 2＝a 2，设球的半径为R ，则R 2＝22222117AO a a a 3412＝＋＝. ∴S 球＝4πR 2＝4π×2277a a 123π＝. 答案：27a 3π14.【解题指南】类比方法的关键在于善于发现不同对象之间的“相似”，“相似”是类比的基础.【解析】平面内(a 2)2类比到空间(a 2)3=3a 8.答案： 3a 815.【解析】(1)在正三棱柱中， ∵CC 1⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ， ∴ AD ⊥CC 1．又AD ⊥C 1D ，CC 1交C 1D 于C 1，且CC 1和C 1D 都在平面BCC 1B 1内， ∴ AD ⊥平面BCC 1B 1．(2)当11B EEC =1，即E 为B 1C 1的中点时，A 1E ∥平面ADC 1． 证明：由(1)得AD ⊥BC ．∴在正三角形ABC 中，D 是BC 的中点，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形BCC 1B 1是矩形，且D 、E 分别是BC 、B 1C 1的中点，所以B 1B ∥DE ，B 1B=DE ．又B 1B ∥AA 1，且B 1B=AA 1， ∴DE ∥AA 1，且DE=AA 1． 所以四边形ADEA 1为平行四边形， 所以EA 1∥AD ．而EA 1⊄平面ADC 1，AD ⊂平面ADC 1， 故A 1E ∥平面ADC 1． 16.【证明】(1)连结AC. ∵四边形ABCD 为矩形， AC 、BD 为对角线， ∴AC 、BD 互相平分. 又F 为BD 中点， ∴易知F 为AC 中点.在△ACP 中，∵F 、E 分别为AC 、PC 的中点， ∴EF ∥AP.又EF ⊄平面PAD ，AP ⊂平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD.(2)取AD 中点M ，连结PM.∵△APD 为等腰直角三角形，∠APD=90°,M 为AD 中点， ∴PM ⊥AD.又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，PM⊂平面PAD，∴PM⊥平面ABCD.又CD⊂平面ABCD，∴PM⊥CD.∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC=90°，即CD⊥AD.又PM⊥CD，AD∩PM=M,AD、PM⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD.又∵CD⊂平面PCD，∴平面PDC⊥平面PAD.【变式备选】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，且PA=AD=2，E，F分别为棱AD，PC的中点.(1)求异面直线EF和PB所成角的大小；(2)求证：平面PCE⊥平面PBC.【解析】(1)如图，取PB的中点G，连结FG，AG，∵E，F分别为AD，PC的中点，∴FG12BC，AE12BC，∴FG AE.∴四边形AEFG是平行四边形，∴AG ∥EF.∵PA=AD=AB,∴AG ⊥PB,即EF ⊥PB.∴EF 与PB 所成的角为90°.(2)由(1)知，AG ⊥PB.∵PA ⊥平面ABCD ，∴BC ⊥PA.∵BC ⊥AB ，又PA ∩AB=A ，∴BC ⊥平面PAB ，∴BC ⊥AG.∴AG ⊥平面PBC.∴EF ⊥平面PBC ，平面PCE ⊥平面PBC.17.【解析】(1)由题意知S n =3n 2-2n.当n ≥2时，a n =S n -S n-1=6n-5；当n=1时，a 1=S 1=1，满足上式.故a n =6n-5.(2)由(1)知b n =()()3111()6n 56n 126n 56n 1=--+-+， 所以T n =11111111(1)()1277136n 56n 126n 1-+-+⋯+-=--++［（）］（）， 由()n 111|T |226n 1100-=<+，解得n>496. 又n ∈N *，∴n 的最小值为9.【方法技巧】求数列通项的方法(1)公式法：当已知数列类型时，可利用公式求数列的通项；(2)已知S n 或已知S n 和a n 的关系时，可利用a n =1n n 1S n 1S S (n 2)-=⎧⎨-≥⎩（）求通项；(3)已知a n+1=pa n +q(p ≠1,q ≠0)时，可根据构造法，通过构造等比数列求通项；(4)已知a n+1=a n +f(n)时，可通过累加的方法求通项；(5)已知a n+1=a n ·f(n)时，可利用累乘的方法求通项.18.【解析】(1)设G 是线段DA 延长线与线段EB 延长线的交点，由于△OAB 与△ODE 都是正三角形，且OA=1，OD=2，所以OB 12DE ，OG=OD=2. 同理，设G ′是线段DA 延长线与线段FC 延长线的交点，有OC 12DF ，OG ′=OD=2. 又由于G 和G ′都在线段DA 的延长线上，所以G 与G ′重合.在△GED 和△GFD 中，由OB 12DE 和OC 12DF ， 可知B ，C 分别是GE 和GF 的中点，所以BC 是△GEF 的中位线，故BC ∥EF.(2)由OB=1，OE=2，∠EOB=60°，知S△EOB而△OED是边长为2的正三角形，故S△OED S四边形OBED=S△EOB+S△OED.过点F作FQ⊥AD，交AD于点Q，由平面ABED⊥平面ACFD知，FQ就是四棱锥F-OBED的高，且V F-OBED=13FQ·S四边形OBED=32.19.【解析】(1)当点E为CD的中点时，EF∥平面PAC. 理由如下：∵点E，F分别为CD，PD的中点，∴EF∥PC.又∵PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，∴EF∥平面PAC.(2)∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA.又四边形ABCD是矩形，∴CD⊥AD，∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD.∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD.∵PA=AD,点F是PD的中点,∴AF⊥PD.又CD∩PD=D,∴AF⊥平面PDC.∵PE⊂平面PDC，∴PE⊥AF.【方法技巧】高考中立体几何解答题的常见题型立体几何的解答题一般设置两问：(1)线面平行、垂直的证明.解题时主要利用相关的判定定理进行解题即可，但要注意表达的规范性，即要把相关定理的内容完全表示为符号语言.(2)求空间几何体的体积.解题时要根据几何体的特点，或直接利用公式，或转化为易求体积的几何体来解.20.【证明】(1)∵四边形ABCD是菱形，∴O是AC的中点.∵E、F分别是PC、DC的中点，∴EF∥PD.又EF⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD，同理：FO∥平面PAD，而EF∩FO=F，EF、FO⊂平面EFO，∴平面EFO∥平面PDA.(2)∵平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥AD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PD⊂平面PAD，∴PD⊥平面ABCD.(3)∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又PD∩DB=D,PD，DB⊂平面PBD，∴AC⊥平面PBD，∵AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PDB.。
(智慧测评)2015届高考数学大一轮总复习 滚动检测4(含2014年模拟题)理 新人教A版
滚动检测(四)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．(2014辽宁沈阳二检)已知非空集合A ，B ，全集U ＝A ∪B ，集合M ＝A ∩B ，集合N ＝(∁U B )∪(∁U A )，则( )A ．M ∪N ＝MB ．M ∩N ＝∅C ．M ＝ND ．M ⊆N解析：集合N ＝∁U (A ∩B )，所以M ∩N ＝∅.故选B. 答案：B2．(2014辽宁五校协作体一联)命题“∃x ∈R ，x 2＋ax －4a <0为假命题”是“－16≤a ≤0”的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：命题∀x ∈R ，x 2＋ax －4a ≥0为真命题⇔a 2＋16a ≤0，即－16≤a ≤0，所以命题“∃x ∈R ，x 2＋ax －4a ＜0为假命题”是“－16≤a ≤0”的充要条件．故选A.答案：A3．(2014福建厦门质检)函数f (x )＝x ＋sin x (x ∈R )( ) A ．是偶函数且为减函数 B ．是偶函数且为增函数 C ．是奇函数且为减函数D ．是奇函数且为增函数解析：满足f (－x )＝－f (x )，函数f (x )是奇函数；f ′(x )＝1＋cos x ≥0，函数f (x )是增函数．故选D.答案：D4．(2014山西临汾一中等四校三联)若某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为( )A ．10πB ．50πC ．25πD ．100π解析：由三视图知该几何体为长方体的一角且长方体的三棱长分别为3,4,5，其对角线长为32＋42＋52＝52，故其外接球的半径为522，其表面积为4π5222＝50π.故选B.答案：B5．(2014河南开封二检)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：由三视图知该几何体为棱长为2的正方体AC1中截去三棱柱A 1D 1EHGF ，且A 1H ＝1，如图所示，几何体的体积为V 正方体AC 1－V 三棱柱A 1D 1EHGF ＝23－12×1×2×1＝7.故选C.答案：C6．(2014山东淄博一模)设定义在R 上的奇函数y ＝f (x )满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈[0，12]时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f (－32)的值等于( )A ．－12B ．－13C ．－14D ．－15解析：由于函数f (x )是奇函数，所以f (x )＝f (1－x )⇒f (x )＝－f (x －1)⇒f (x ＋1)＝－f (x )⇒f (x ＋2)＝f (x )，f (3)＝f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，f (－32)＝f (12)＝－14.所以f (3)＋f (－32)＝－14.故选C.答案：C7．(2014山东烟台高三期末)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝y ＋2x －1的取值范围为( )A ．(－∞，－4]∪[23，＋∞)B ．(－∞，－2]∪[23，＋∞)C ．[－2，23]D ．[－4，23]解析：点(x ，y )表示的是以点O (0,0)，A (4,0)，B (0,2)为顶点的三角形区域及其边界，如图所示，目标函数z ＝y ＋2x －1是区域内的点P (x ，y )与点Q (1，－2)连线的斜率．当点P 与点A 重合时，k QA ＝－2－01－4＝23，当点P 与点O 重合时，k QO ＝－21＝－2，结合图形知z ＝y ＋2x －1的取值范围为(－∞，－2]∪23，＋∞.故选B. 答案：B8．(2013年高考新课标全国卷Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )解析：在空间直角坐标系中作出四面体OABC 的直观图如图所示，作顶点A ，C 在zOx 平面的投影A ′，C ′，可得四面体的正视图．故选A.答案：A9．(2014北京大兴一模)抛物线y ＝x 2(－2≤x ≤2)绕y 轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的体积是( )A ．1B ．8C ．8 2D ．16 2解析：作出轴截面，设正方体的棱长为a ， 则AB ＝a ，AD 为面的对角线， 所以AD ＝2a ， 所以x C ＝22a ，代入y ＝x 2得y C ＝a 22.所以CD ＝4－a 22＝a ，即a 2＋2a －8＝0， 解得a ＝2，所以正方体的体积为23＝8. 故选B.答案：B10.(2014浙江杭州二模)如图，平面α与平面β交于直线l ，A ，C 是平面α内不同的两点，B ，D 是平面β内不同的两点，且A 、B 、C 、D 不在直线l 上，M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点，下列判断正确的是( )A ．若AB 与CD 相交，且直线AC 平行于l 时，则直线BD 与l 可能平行也有可能相交 B ．若AB ，CD 是异面直线时，则直线MN 可能与l 平行C ．若存在异于AB ，CD 的直线同时与直线AC ，MN ，BD 都相交，则AB ，CD 不可能是异面直线D ．M ，N 两点可能重合，但此时直线AC 与l 不可能相交解析：选项A 中，直线AB ，CD 相交时确定一个平面，当AC 平行直线l 时，AC 平行平面β，可得AC 平行BD ，此时只能BD 平行直线l ，选项A 中的判断错误；若MN 平行直线l ，根据M ，N 为AB ，CD 的中点可得A ，C 到直线l 的距离相等，即AC 平行直线l ，同理BD 平行直线l ，此时A ，B ，C ，D 共面，与AB ，CD 是异面直线矛盾，选项B 中的判断不正确；设CA →＝a ，AB →＝b ，BD →＝c ，在AB ，CD 异面的情况下，a ，b ，c 不共面．设AC ，BD ，MN 的中点分别为P ，Q ，R ，则PR →＝12a ＋12b ＋MR →，MR →＝12MN →＝12(12b ＋c ＋12DC →) ＝12[12b ＋c ＋12(－c －b －a )]＝－14a ＋14c ，所以PR →＝14a ＋12b ＋14c ，PQ →＝12a ＋b ＋12c ，所以PQ →＝2PR →，所以P ，Q ，R 三点共线，即过P ，Q ，R 三点的直线与AC ，BD ，MN 相交，此时AB ，CD 可以为异面直线，故选项C 中的判断不正确；若点M ，N 重合，此时直线AB ，CD 确定一个平面，且可得AC 平行BD ，进而可得AC 平行平面β，进而AC 平行直线l ，故选项D 中的判断正确．答案：D二、填空题(每小题5分，共20分)11．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB →与CA →的夹角θ的大小是________．解析：由于AB →＝(－2，－1,3)，CA →＝(－1,3，－2)， 则cos θ＝AB →·CA→|AB →||CA →|＝－－＋－＋－14×14＝－12，则θ＝120°. 答案：120°12．已知A (4，－7,1)，B (6,2，z )，若|AB →|＝11，则z ＝________. 解析：由于|AB →|＝－2＋＋2＋z －2＝11，即(z －1)2＝36，解得z ＝7或－5.答案：7或－513．(2014山东德州一模)一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为16π＋853，则图中x 的值为________．解析：该几何体是一个圆柱与一个四棱锥的组合体，其中圆柱的体积为4π×4＝16π，故四棱锥的体积为853，四棱锥的底面面积为12×4×4＝8，故四棱锥的高为5，故x ＝22＋5＝3.答案：314．(2014湖南师大附中第五次月考)正四面体ABCD 中，AO ⊥平面BCD ，垂足为O ，设M 是线段AO 上一点，且∠BMC ＝90°，则AMMO的值为________．解析：如图，连接OB ，正四面体ABCD 中MB ＝MC ，∠BMC 为直角，∴Rt △BMC 为等腰直角三角形，又O 为△BCD 的中心，设正四面体的棱长为a ，则OB ＝33a ，MB ＝22a ，AO ＝63a ， 故OM ＝66a ＝12AO ＝AM ，则AMMO＝1. 答案：1三、解答题(共70分) 15．(本小题满分10分)(2014吉林市二模)在△ABC 中，AB ＝25，AC ＝3，sin C ＝2sin A . (1)求△ABC 的面积S ； (2)求cos(2A ＋π4)的值．解：(1)在△ABC 中，根据正弦定理：AB sin C ＝BCsin A ，所以BC ＝AB sin A sin C ＝12AB ＝5， 根据余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255，而A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝55， 所以S ＝12AB ×AC ×sin A ＝12×25×3×55＝3.(2)由(1)可知sin 2A ＝2sin A cos A ＝45，cos 2A ＝cos 2 A －sin 2A ＝35，所以cos(2A ＋π4)＝cos 2A cos π4－sin 2A sin π4＝－210.16. (本小题满分12分)如图所示，已知正方体AC 1中，E ，F ，G ，H 分别是CC 1，BC ，CD ，A 1C 1的中点．(1)证明：AB 1⊥EH ； (2)证明：A 1G ⊥平面EFD .证明：法一 (1)分别连结A 1B ，A 1C 则A 1B ⊥AB 1，EH ∥A 1C ， 又BC ⊥面AA 1B 1B ，∴BC ⊥AB 1， 又A 1B ∩BC ＝B ，∴AB 1⊥平面A 1BC ， ∴AB 1⊥A 1C ， ∴AB 1⊥EH .(2)易知BC 1⊥A 1C ，∵DC ⊥平面BB 1C 1C ， ∴DC ⊥BC 1，又∵E 、F 分别为CC 1、BC 的中点， ∴EF ∥BC 1，∴EF ⊥DC ，EF ⊥A 1C ，A 1C ∩DC ＝C ∴EF ⊥平面A 1DC ，又A 1G ⊂平面A 1DC ，∴EF ⊥A 1G ， 连结AG ，正方形ABCD 中有AG ⊥DF ， 又AA 1⊥平面ABCD ， ∴AA 1⊥DF ， ∴DF ⊥平面AA 1G ， ∴DF ⊥A 1G ，又EF ∩DF ＝F ， ∴A 1G ⊥平面DEF .法二 以A 点为原点建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，如图所示， 则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,1,0)，A 1(0,0,1)，B 1(1,0,1)，C 1(1,1,1)，由中点性质可得E (1,1，12)，F (1，12，0)，G (12，1,0)，H (12，12，1).(1)所以AB 1→＝(1,0,1)，EH →＝(－12，－12，12)，由AB 1→·EH →＝－12＋0＋12＝0，所以AB 1→⊥EH →，即AB 1⊥EH .(2)因为A 1G →＝(12，1，－1)，DF →＝(1，－12，0)，DE →＝(1,0，12)，所以A 1G →·DF →＝12－12＋0＝0，A 1G →·DE →＝12＋0－12＝0，所以A 1G →⊥DF →，且A 1G →⊥DE →，故A 1G ⊥平面EFD . 17．(本小题满分12分)(2014广东佛山一检)数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n ＋1－2，数列{b n }是首项为a 1，公差为d (d ≠0)的等差数列，且b 1，b 3，b 11成等比数列．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式； (2)设c n ＝b n a n，求数列{c n }的前n 项和T n . 解：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝2n，又a 1＝S 1＝21＋1－2＝2＝21，也满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n.b 1＝a 1＝2，设公差为d ，则由b 1，b 3，b 11成等比数列，得(2＋2d )2＝2×(2＋10d )， 解得d ＝0(舍去)或d ＝3，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝3n －1. (2)由(1)可得T n ＝b 1a 1＋b 2a 2＋b 3a 3＋…＋b na n＝221＋522＋823＋…＋3n －12n ， 2T n ＝2＋521＋822＋…＋3n －12n －1，两式相减得T n ＝2＋321＋322＋…＋32n －1－3n －12n ，＝5－3n ＋52n .18．(本小题满分12分)(2014四川树德中学3月阶段性考试)如图(1)所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6.D 、E 分别是AC 、AB 上的点，且DE ∥BC ，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1D ⊥CD ，如图(2)所示．(1)求证：平面A 1BC ⊥平面A 1DC ；(2)若CD ＝2，求BE 与平面A 1BC 所成角的余弦值．(1)证明：如题图(1)，在△ABC 中，∠C ＝90°，DE ∥BC ，∴AD ⊥DE . ∴A 1D ⊥DE .又DE ⊥DC ，A 1D ∩DC ＝D ， ∴DE ⊥平面A 1DC . 又DE ∥BC ， ∴BC ⊥平面A 1DC ， 又BC ⊂平面A 1BC ， 故平面A 1BC ⊥平面A 1DC .(2)解：A 1D ⊥DE ，A 1D ⊥DC ，DC ⊥DE ，以D 为原点，DE ，DC ，DA 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．因为CD ＝2，则E (2,0,0)，B (3,2,0)，C (0,2,0)，A 1(0,0,4)． BE →＝(－1，－2,0)，A 1C →＝(0,2，－4)，CB →＝(3,0,0)，设平面A 1BC 的法向量为m ＝(x ′，y ′，z ′)．则⎩⎪⎨⎪⎧2y ′－4z ′＝0，3x ′＝0，取法向量m ＝(0,2,1)，设直线BE 与平面A 1BC 所成角为θ.则sin θ＝|cos 〈m ，BE →〉|＝－45×5＝45， 故直线BE 与平面A 1BC 所成角的余弦值为35.19．(本小题满分12分) (2014山师大附中期末)四棱锥PABCD 底面是平行四边形，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ＝PB ＝AB ＝12AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别为AD ，PC 的中点．(1)求证：EF ∥平面PAB ； (2)求证：EF ⊥平面PBD ； (3)求二面角DPAB 的余弦值．证明：(1)取PB 的中点G ，分别连结FG 、AG ， 则GF 綊12BC ，∴GF 綊AE ，∴四边形AEFG 为平行四边形，∴EF ∥AG ，又AG ⊂平面PAB ，EF ⊄平面PAB ， ∴EF ∥平面PAB .(2)△ABD 中，AD ＝2AB ，∠BAD ＝60°， 由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ×AD ×cos 60°＝AD 2－AB 2， 所以BD ⊥AB ，∵平面PAB ⊥平面ABCD 且平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，∴BD ⊥平面PBA ，∵AG ⊂面PBA ∴BD ⊥AG ，又∵PA ＝PB ＝AB ，G 为PB 的中点， ∴AG ⊥PB ，又PB ∩BD ＝B ，∴AG ⊥平面PBD ，∵AG ∥EF ，∴EF ⊥平面PBD . (3)解：取AP 的中点H ，连结BH ， 则BH ⊥PA ，由(2)知BD ⊥平面PAB ，∴BD ⊥PA ， ∴PA ⊥DH ，∠BHD 为二面角DPAB 的平面角． 设PA ＝PB ＝AB ＝12AD ＝a .则BH ＝32a ，BD ＝3a . ∴DH ＝152a ， ∴cos ∠BHD ＝BHDH ＝55. ∴二面角DPAB 的余弦值为55. 20. (本小题满分12分)(2014北京西城一模)在如图所示的几何体中，平面CDEF 为正方形，平面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝2BC ，∠ABC ＝60°，AC ⊥FB .(1)求证：AC ⊥平面FBC ；(2)求BC 与平面EAC 所成角的正弦值；(3)线段ED 上是否存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ？证明你的结论．(1)证明：因为AB ＝2BC ，∠ABC ＝60°，在△ABC 中，由余弦定理可得AC ＝3BC ，所以AC ⊥BC .又因为AC ⊥FB ，FB ∩BC ＝B ，所以AC ⊥平面FBC .(2)解：因为AC ⊥平面FBC ，所以AC ⊥FC .因为CD ⊥FC ，AC ∩CD ＝C ，所以FC ⊥平面ABCD .所以CA ，CF ，CB 两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系Cxyz .在等腰梯形ABCD 中，可得CB ＝CD .设BC ＝1，所以C (0,0,0)，A (3，0,0)，B (0,1,0)，D (32，－12，0)，E (32，－12，1). 所以CE →＝(32，－12，1)，CA →＝(3，0,0)，CB →＝(0,1,0)． 设平面EAC 的法向量为n ＝(x ′，y ′，z ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ n ·CE →＝0，n ·CA →＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧ 32x ′－12y ′＋z ′＝0，3x ′＝0.取z ＝1，得n ＝(0,2,1)． 设BC 与平面EAC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈CB →，n 〉|＝|CB →·n ||CB →||n |＝255，所以BC 与平面EAC 所成角的正弦值为255. (3)线段ED 上不存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC . 证明如下：假设线段ED 上存在点Q ，设Q (32，－12，t )(0≤t ≤1)，所以CQ →＝(32，－12，t ).设平面QBC 的法向量为m ＝(a ，b ，c )，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ·CB →＝0，m ·CQ →＝0. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝0，32a －12b ＋tc ＝0.取c ＝1，得m ＝(－23t,0,1).要使平面EAC ⊥平面QBC ，只需m ·n ＝0， 即－23t ×0＋0×2＋1×1＝0，此方程无解．所以线段ED 上不存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC .。
阶段滚动检测(六)
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阶段滚动检测（六）（第一～九章） （120分钟 160分）一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上) 1.(滚动单独考查)设全集U 是实数集R ，M ＝{x|x 2＞4}，N ＝{x|1＜x ＜3}，则图中阴影部分表示的集合是___________.2.(滚动单独考查)若复数a 3i12i＋＋(a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为___________.3.设a 是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x 2＋ax ＋2＝0有两个不相等的实数根的概率为___________.4．(滚动单独考查)(2012·泰州模拟)已知函数f(x)＝x x 4,x 0x x 4,x 0+<⎧⎨-≥⎩（）（），则函数f(x)的零点个数为___________.5.(滚动单独考查)定义在R 上的偶函数f(x)在［0，＋∞)上单调递减，且f(12)＝0，则满足f(log 14x)＜0的x 的集合为___________.6.(滚动单独考查)给定性质：(ⅰ)最小正周期为π；(ⅱ)图象关于直线x ＝3π对称．则下列四个函数中，同时具有性质(ⅰ)(ⅱ)的是___________.①y=sin(x 26π＋) ②y ＝sin(2x ＋6π) ③y=sin|x|④y ＝sin(2x －6π)7.(滚动交汇考查)设0<a<2,0<b<1，则双曲线2222x y a b－＝1的离心率是___________.8.(滚动单独考查)圆心在电加热管抛物线x 2＝2y(x ＜0)上，并且与抛物线的准线及y 轴相切的圆的方程为___________.9.(滚动单独考查)平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，满足(AB BC －)·(AD CD－)＝0，则三角形ABC 是___________.10.(滚动单独考查)若x ，y 满足约束条件x y 1x y 12x y 2≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩＋，－－，－，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是___________.11.(滚动单独考查)(2012·连云港模拟)已知函数f(x)＝9x -m ·3x +m+1对x ∈(0，+∞)的图象恒在x 轴上方，则m 的高温烘箱取值范围是___________. 12.(滚动单独考查)已知曲线C ：y ＝lnx －4x 与直线x ＝1交于一点P ，那么曲线C 在点P 处的切线方程是___________.13.面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量x(千箱)与单位成本y(元)的资料进行线性回归分析，结果如下：7x 2=,y =71,62i i 1x =∑=79,6i i 1x yi =∑=1 481,b=271 48167127796()2-⨯⨯-⨯≈-1.818 2,a=71-(-1.818 2)×72≈77.36，则销量每增加1 000箱，单位成本下降___________元． 14.将全体正整数排成一个三角形数阵：根据以上排列规律，数阵中第n(n ≥3)行的从左至右的第3个数是___________. 二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(14分)(滚动交汇考查)已知函数2x-12,x ∈R ． (1)求函数f(x)的最小值和最小正周期；(2)已知△ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c=3,f(C)=0，若向量m =(1,sinA)与n=(2,sinB)共线，求a 、b 的值．16.(14分)(滚动单独考查)设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3=7，且a 1+3，3a 2，a 3+4构成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n =lna 3n+1,n=1,2,…，求数列{b n }的前n 项和T n ．17.(14分)(2012·苏州模拟)某校从高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，其成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示：(1)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)；(2)假设在［90，100］段的学生的成绩都不相同，且都在94分以上，现用简单随机抽样方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任取2个数，求这2个数恰好是两个学生的成绩的概率.18.(16分)(滚动单独考查)如图所示,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD，AB∥CD，CD=2AB=2AD.(1)求证：BC⊥BE；(2)在EC上找一点M,使得BM∥平面ADEF,请确定M点的位置,并给出证明.19.(16分)(滚动单独考查)已知椭圆C的两焦点为F1(-1,0)，F2(1,0)，并且经).过点M(1,32(1)求椭圆C的方程；(2)已知圆O:x2+y2=1，直线l:mx+ny=1，证明当点P(m,n)在椭圆C上运动时，直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长L 的取值范围． 20.(16分)(滚动单独考查)已知函数f(x)=mx 3+2nx 2-12x 的减区间是(-2，2). (1)试求m 、n 的值；(2)求过点A(1，-11)且与曲线y=f(x)相切的切线方程；(3)过点A(1，t)是否存在与曲线y=f(x)相切的3条切线，若存在，求实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由．答案解析1.【解析】阴影部分表示的集合为N ∩U M ð， 由题意M={x|x>2或x<-2}， ≨U M ð={x|-2≤x ≤2}, 又≧N={x|1<x<3}, ≨阴影部分表示的集合即 N ∩U M ð={x|1＜x ≤2}. 答案：{x|1＜x ≤2}2.【解析】≧a 3i (a 3i)(12i)6a (32a)i12i (12i)(12i)5＋＋－＋＋－＝＝＋＋－是纯虚数， ≨6＋a ＝0，3-2a ≠0,即a ＝－6. 答案：-63.【解析】由方程x 2＋ax ＋2＝0有两个不相等的实数根，得Δ＝a 2－8>0，故a＝3,4,5,6.根据古典概型的概率计算公式有P ＝4263＝. 答案：234.【解析】当x ＜0时，由x(x ＋4)＝0⇒x ＝－4； 当x ≥0时，由x(x －4)＝0⇒x ＝4或x ＝0. 答案：35.【解题指南】f(x)是偶函数，则有f(x)=f(|x|)，列不等式求解. 【解析】≧函数f(x)为偶函数，且在［0，＋≦)上单调递减，f(12)＝0， ≨log 14x ＞12或log 14x ＜－12，≨0＜x ＜12或x ＞2. 答案：(0，12)∪(2，＋≦)6.【解题指南】由题知周期易验证，再根据正弦函数与余弦函数在对称轴处取得最值，验证性质(ⅱ)即可.【解析】≧T ＝2πω＝π，≨ω＝2.②、④符合，对于②，2×5366ππ+=π,x=3π不是对称轴，对于④，2×3π－62ππ＝，所以x ＝3π为对称轴，所以④符合.答案：④7.【解析】由22c a>5，即222a b a ＋>5，≨b>2a ，在直角坐标系aOb 内作出符合题意的区域如图中阴影部分所示，则阴影部分的面积为1111224⨯⨯＝，图中矩形的面积为2， ≨由几何概型概率公式计算得所求的概率为18. 答案：188.【解析】准线方程为y ＝12－，设P(t ，12t 2)为圆心且t ＜0， ≨－t ＝12t 2＋12⇒t ＝－1. 故圆的方程为(x+1)2+(y-12)2=1.答案：(x ＋1)2＋(y －12)2＝19.【解析】由(AB BC - )·(AD CD - )=0得(AB BC - )·(AD DC +)=0，即(AB BC - )·AC =0，(AB BC - )·(AB BC + )=0，即22AB BC - =0， |AB|=|BC |，故为等腰三角形.答案：等腰三角形10.【解析】可行域为△ABC ，如图当a ＝0时，显然成立．当a ＞0时，直线ax ＋2y －z ＝0的斜率k ＝a 2－＞k AC ＝－1，即a ＜2.当a ＜0时，k ＝a 2－＜k AB ＝2，即a ＞－4.综合得－4＜a ＜2. 答案：－4＜a ＜211.【解题指南】令t ＝3x ，转化为关于t 的二次函数的图象恒在t 轴的上方处理.或分离参数m ，利用最值处理恒成立问题.【解析】方法一：令t=3x ,则问题转化为函数f(t)=t 2-mt+m+1对t ∈(1,+≦)的图象恒在t 轴的上方，即Δ=(-m)2-4(m+1)<0或0m 121m 1m 0∆≥⎧⎪⎪<⎨⎪-++≥⎪⎩， 解得方法二：令t=3x，问题转化为m<2t 1t 1+-,t ∈(1,+≦)，即m 比函数y=2t 1t 1+-,t ∈(1,+≦)的最小值还小，又y=2t 1t 1+-=t-1+2t 1-+2≥22=+所以答案：【方法技巧】不等式恒成立的三种解法(1)转化为求函数的最值.若函数f(x)在区间I 上有最大值和最小值.则不等式f(x)>a 在区间I 上恒成立⇔f(x)min >a.不等式f(x)≥a 在区间I 上恒成立⇔f(x)min ≥a.不等式f(x)<a 在区间I 上恒成立⇔f(x)max <a.不等式f(x)≤a 在区间I 上恒成立⇔f(x)max ≤a.(2)分离变量——在同一个等式或不等式中，将主元和辅元分离(常用的运算技巧).(3)数形结合——凡是能与六种基本函数联系起来的相关问题，都可考虑该法. 12.【解析】由已知得y ′＝1x－4，所以当x ＝1时有y ′＝－3， 即过点P 的切线的斜率k ＝－3， 又y ＝ln1－4＝－4，故切点P(1，－4)， 所以点P 处的切线方程为y ＋4＝－3(x －1)，即3x ＋y ＋1＝0. 答案：3x ＋y ＋1＝013.【解析】由分析可得， y ＝－1.818 2x ＋77.36，销量每增加1千箱，则单位成本下降1.818 2元． 答案：1.818 214.【解题指南】解答本题的关键是求出数阵中第n(n ≥3)行的从左至右的第3个数是原正整数构成数列的第几项.【解析】前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)＝n(n 1)2－个，即2n n2－个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第2n n 2－＋3个，即为2n n 62－＋.答案：2n n 62－＋15.【解析】2x-12=2sin2x-12cos2x-1=sin(2x-6π)-1.≨f(x)的最小值为-2，最小正周期为π. (2)≧f(C)=sin(2C-6π)-1=0,即sin(2C-6π)=1,≧0<C<π,-6π<2C-6π<116π,≨2C-6π=2π,≨C=3π.≧m 与n共线，≨sinB-2sinA=0.由正弦定理，a bsinA sinB=,得b=2a, ① ≧c=3，由余弦定理，得9=a 2+b 2-2abcos 3π, ②①②联立方程组，得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 16.【解析】(1)设数列{a n }的公比为q(q>1),由已知，得()()123132a a a 7a 3a 43a 2++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩, 即123123a a a 7a 6a a 7++=⎧⎨-+=-⎩,也即()()2121a 1q q 7a 16q q 7⎧++=⎪⎨-+=-⎪⎩， 解得1a 1q 2=⎧⎨=⎩或1a 41q 2=⎧⎪⎨=⎪⎩ (舍去),故数列{a n }的通项公式为a n =2n-1. (2)由(1)得a 3n+1=23n , ≨b n =lna 3n+1=ln23n =3nln2, 又b n+1-b n =3ln2,≨{b n }是以b 1=3ln2为首项，以3ln2为公差的等差数列 ≨T n =b 1+b 2+…+b n =()1n n b b 2+ =()()n 3ln23nln23n n 1ln222++=,即T n =()3n n 12+ln2.17.【解析】(1)依题意，60及以上的分数在第三、四、五、六组，其频率和为(0.020+0.030+0.025+0.005)×10=0.80所以，这次考试的及格率是80%.(2)从95，96，97，98，99，100中抽取2个数的基本结果有：(95，96)，(95，97)，(95，98)，(95，99)，(95，100)，(96，97)，(96，98)，(96，99)，(96，100)，(97，98)，(97，99)，(97，100)，(98，99)，(98，100)，(99，100)，共15个.如果这2个数恰好是两个学生的成绩，则这2个学生在［90，100］段，而［90，100］段的人数是60×(0.005×10)=3人，不妨设这3人的成绩是95，96，97. 则事件A：“2个数恰好是两个学生的成绩”包括的基本结果有：(95，96)，(95，97)，(96，97)，共有3个基本结果.所以所求的概率为P(A)=31=.15518.【解析】 (1)≧正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，DE⊥AD.≨DE⊥平面ABCD，≨DE⊥BC，≧AB=AD，≨=，取CD的中点N，连结BN则由题意知：四边形ABND为正方形≨===,≨BD=BC,≨BD2+BC2=CD2，则△BDC为等腰直角三角形.则BD⊥BC，则BC⊥平面BDE，则BC⊥BE.(2)取EC 中点M ，连结BM ，则有BM ∥平面ADEF. 证明如下：连结MN ， 由(1)知BN ∥AD ， 所以BN ∥平面ADEF ，又因为M 、N 分别为CE 、CD 的中点，所以MN ∥DE ，则MN ∥平面ADEF ，又MN ∩BN=N ， 则平面BMN ∥平面ADEF ，所以BM ∥平面ADEF.19.【解题指南】(1)根据椭圆的定义或待定系数法求椭圆的方程；(2)证明直线l 与圆O 恒相交时，求出圆心O 到直线l :mx+ny=1的距离d ，再由点P(m,n)在椭圆C 上运动，证明d<1.求弦长的取值范围时，先将弦长用m,n 表示，再根据点P(m,n)在椭圆C 上，将n 用m 表示，最后根据m 的范围求出弦长的范围.【解析】(1)方法一：设椭圆C 的标准方程为2222x y a b+=1(a>b>0)，由椭圆的定义知：=4,c=1,b 2=a 2-c 2=3.得故椭圆C 的方程为22x y 43+=1.方法二：设椭圆C 的标准方程为2222x y a b+=1(a>b>0),依题意，a 2-b 2=1 ①，将点M(1,32)代入得22223()12a b+=1 ②由①②解得a 2=4,b 2=3，故椭圆C 的方程为22x y 43+=1.(2)因为点P(m,n)在椭圆C 上运动，所以22m n 43+=1，则m 2+n 2>22m n 43+=1,从而圆心O 到直线l :mx+ny=1的距离<1=r.所以直线l 与圆O 相交.直线l 被圆O 所截得的弦长为L====≧0≤m 2≤4,≨3≤14m 2+3≤4,14≤21113m 34≤+,≨L 3≤≤20.【解题指南】(1)根据-2和2为方程f ′(x)=0的两根，求出m 、n 的值； (2)分点A 为切点和不为切点两种情况求解；(3)设点P(x 0,f(x 0))是曲线f(x)的切点，用x 0表示出曲线的切线，再由点A(1，t)在切线上寻求含有t 、x 0的方程，将x 0视为变量，t 视为参数，根据该方程有三个实根求t 的范围. 【解析】(1)由题意知：f ′(x)=3mx 2+4nx-12<0的解集为(-2,2). 所以,-2和2为方程3mx 2+4nx-12=0的根，由根与系数的关系知0=4n 3m -,-4=123m-,即m=1,n=0.(2)≧f(x)=x 3-12x,≨f ′(x)=3x 2-12,≧f(1)=13-12×1=-11,当A 为切点时，切线的斜率k=f ′(1)=3-12=-9, ≨切线为y+11=-9(x-1), 即9x+y+2=0;当A 不为切点时，设切点为P(x 0,f(x 0))，这时切线的斜率是k=f ′(x 0)=320x -12，切线方程为y-f(x 0)=f ′(x 0)(x-x 0)，即y=3(20x -4)x-230x ,因为过点A(1，-11)，所以有-11=3(20x -4)-230x ， ≨230x -320x +1=0，(x 0-1)2(2x 0+1)=0, ≨x 0=1或x 0=12-，而x 0=1为A 点的横坐标，即P(14728-，)，≨k=f ′(12-)=3×14-12=454-,切线方程为y+11=454-(x-1),即45x+4y-1=0,所以，过点A(1，-11)的切线为 9x+y+2=0或45x+4y-1=0. (3)存在满足条件的3条切线.设点P(x 0,f(x 0))是曲线f(x)=x 3-12x 的切点，则在P 点处的切线的方程为y-f(x 0)=f ′(x 0)(x-x 0),即y=3(20x -4)x-230x ,因为其过点A(1,t)，所以t=3(20x -4)-230x =-230x +320x -12，由于有三条切线，所以方程应有3个实根，设g(x)=2x3-3x2+t+12，只要使曲线有3个零点即可．设g′(x)=6x2-6x=0，≨x=0或x=1分别为g(x)的极值点，当x∈(-≦,0)和(1,+≦)时，g′(x)>0,则g(x)在(-≦,0)和(1,+≦)上单调递增，当x∈(0,1)时，g′(x)<0,则g(x)在(0，1)上单调递减，所以,x=0为极大值点，x=1为极小值点，所以要使曲线与x轴有3个交点，当且仅当()()g00g10>⎧⎪⎨<⎪⎩，即t120t110+>⎧⎨+<⎩,解得-12<t<-11.。
2019版高考数学一轮复习浙江专版精选提分练专题7 不等式阶段滚动检测(四)
一、选择题1．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 的子集共有( ) A ．2个 B ．4个 C ．5个 D ．8个2．设函数f (x )＝ln x －2x ＋6，则f (x )零点的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．03．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( ) A ．y ＝cos|2x | B ．y ＝|sin x | C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－2x 4．给出下列命题，正确命题的个数是( ) ①若a >b ，则2a >2b ； ②若a >b >0，则1a <1b；③若a >0，b >0，c >0，则b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc ≥3；④若a >0，b >0，则不等式a ＋2b ab ≥92a ＋b 恒成立．A ．1B ．2C ．3D ．45．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，43 B.⎝⎛⎭⎫－∞，13 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－53 6．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 4＝8，且S n ＋1＝p S n ＋1，则实数p 的值为( ) A ．1 B ．2 C.34 D ．47．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC →·EM →的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，2B.⎣⎡⎦⎤0，32C.⎣⎡⎦⎤12，32D ．[0,1]8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝2A ，cos A ＝34，b ＝5，则△ABC的面积为( ) A.1574B.1572C.574D.5729．(2017·台州诊断)已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1有两个极值点x 1，x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，则f (－1)的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－32，3 B.⎣⎡⎦⎤32，6 C ．[3,12]D.⎣⎡⎦⎤－32，12 10．若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π3(－2<x <10)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，则(OB →＋OC →)·OA →等于( ) A ．－32 B ．－16 C ．16 D ．32 二、填空题11．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |0≤x <5}，则A ∪B ＝________，(∁U A )∩B ＝________.12．(2017·台州调研)已知a ＝2x ，b ＝423，则log 2b ＝________，满足log a b ≤1的实数x 的取值范围是____________．13．已知α∈R,2sin α－cos α＝5，则sin α＝________，tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. 14．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n ，则a 1a 2a 3…a 15＝________；设b n ＝(－1)n a n ，数列{b n }前n 项的和为S n ，则S 2 016________.15．设n 是正整数，由数列1,2,3，…，n 分别求相邻两项的和，得到一个有n －1项的新数列：1＋2,2＋3,3＋4，…，(n －1)＋n ，即3,5,7，…，2n －1.对这个新数列继续上述操作，这样得到一系列数列，最后一个数列只有一项，则最后的这个项是____________．16．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤2，y ＋2≤k (x ＋1)表示的平面区域为三角形，则实数k 的取值范围是________________．17．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，DC ＝1，AD ＝2，∠DAB ＝60°，点E 在线段BD 上，点F 在线段AC 上，且BE →＝λBD →，CF →＝μCA →，AE →·DF →＝4，则λ＋μ的最小值为________．三、解答题18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos 2A ＋32＝2cos A .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．19．已知函数f (x )＝a ln x －x ＋a －1x .(1)若a ＝4，求f (x )的极值；(2)若f (x )在定义域内无极值，求实数a 的取值范围．20．已知f (x )＝(x －1)2，g (x )＝4(x －1)，数列{a n }满足：a 1＝2，a n ≠1，且(a n －a n ＋1)g (a n )＝f (a n )(n ∈N *)．(1)证明：数列{a n －1}是等比数列； (2)若数列{b n }满足b n ＝2n －14n －1(a n －1)，求数列{b n }的前n 项和T n .21．已知二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )．(1)若f (－1)＝f (2)，且不等式x ≤f (x )≤2|x －1|＋1对x ∈[0,2]恒成立，求函数f (x )的解析式； (2)若c <0，且函数f (x )在[－1,1]上有两个零点，求2b ＋c 的取值范围．22．(2018届嘉兴一中基础测试)已知数列{x n }满足x 1＝1，x n ＋1＝2x n ＋3，求证： (1)0<x n <9； (2)x n <x n ＋1；(3)x n ≥9－8·⎝⎛⎭⎫23n －1.答案精析1．A [B ＝{(2,1)}，则子集为∅，{(2,1)}，共2个，故选A.] 2．B [由题意可得f ′(x )＝1x －2＝1－2x x ，导数零点为x ＝12，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递减，f ⎝⎛⎭⎫1e 10＝－4－2e 10<0，f ⎝⎛⎭⎫12＝－ln 2＋5>0，f (e 2)＝8－2e 2<0， 由f ⎝⎛⎭⎫1e 10f ⎝⎛⎭⎫12<0，f ⎝⎛⎭⎫12f (e 2)<0， 所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫1e 10，12，⎝⎛⎭⎫12，e 2上各有一零点， 所以零点的个数为2，故选B.]3．D [y ＝cos|2x |是偶函数，y ＝|sin x |是偶函数， y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝cos 2x 是偶函数， y ＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－2x ＝－sin 2x 是奇函数，根据公式得T ＝π.] 4．D [①显然由指数函数单调性可知其正确． ②∵a >b >0，∴a ab >b ab ，∴1b >1a .③若a >0，b >0，c >0， 则b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c＝b a ＋c a －1＋a b ＋c b －1＋a c ＋b c －1 ＝⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c －3， ∵b a ＋a b ≥2，c a ＋a c ≥2，c b ＋bc ≥2， ∴⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c －3 ≥2＋2＋2－3＝3，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立，∴原不等式成立． ④要证a ＋2b ab ≥92a ＋b，即证(a ＋2b )(2a ＋b )≥9ab ，即证2a 2＋5ab ＋2b 2≥9ab ， 即证a 2＋b 2≥2ab ，显然成立．]5．C [当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m <0. 如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点A (－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－23.]6．B [因为数列{a n }是等比数列，由S n ＋1＝p S n ＋1，得S n ＋2＝p S n ＋1＋1，两式相减得a n ＋2a n ＋1＝p ，所以公比q ＝p ，由S n ＋1＝p S n ＋1，得a 1＋a 2＝pa 1＋1， 所以a 1＋pa 1＝pa 1＋1，即a 1＝1，由a 4＝8＝a 1p 3，得p 3＝8，所以p ＝2，故选B.]7．C [将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E (x,0)，0≤x ≤1.又M ⎝⎛⎭⎫1，12，C (1,1)，所以EM →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12， EC →＝(1－x,1)，所以EM →·EC →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12·(1－x,1)＝(1－x )2＋12.因为0≤x ≤1，所以12≤(1－x )2＋12≤32，即EM →·EC →的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，32.]8．A [cos A ＝34，cos C ＝cos 2A ＝2cos 2A －1＝18，sin C ＝378，tan C ＝37，如图，设AD ＝3x ，AB ＝4x ，CD ＝5－3x ， BD ＝7x .在Rt △DBC 中，tan C ＝BD CD ＝7x5－3x ＝37，解得BD ＝7x ＝372，S △ABC ＝12BD ·AC ＝1574.]9．C [由于f ′(x )＝3x 2＋4bx ＋c ，依题意知，方程3x 2＋4bx ＋c ＝0有两个根x 1，x 2， 且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，令g (x )＝3x 2＋4bx ＋c ， 结合二次函数图象可得只需⎩⎪⎨⎪⎧g (－2)＝12－8b ＋c ≥0，g (－1)＝3－4b ＋c ≤0，g (1)＝3＋4b ＋c ≤0，g (2)＝12＋8b ＋c ≥0，此即为关于点(b ，c )的线性约束条件，作出其对应的平面区域(图略)，f (－1)＝2b －c ，问题转化为在上述线性约束条件下确定目标函数f (－1)＝2b －c 的最值问题，由线性规划易3≤f (－1)≤12，故选C.]10．D [由f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6＋π3＝0，可得πx 6＋π3＝k π，k ∈Z ， ∴x ＝6k －2，k ∈Z .∵－2<x <10，∴k ＝1，x ＝4，即A (4,0)． ∵过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点， ∴B ，C 两点关于A 对称，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 即x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝0，则(OB →＋OC →)·OA →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)·(4,0)＝4(x 1＋x 2)＝32.故选D.]11．{x |x ≥0} {x |0≤x <2}解析 由题意可得A ∪B ＝{x |x ≥0}．(∁U A )∩B ＝{x |x <2}∩{x |0≤x <5}＝{x |0≤x <2}． 12.43(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞解析 b ＝423＝243，所以log 2b ＝log 2243＝43log 22＝43.log a b ≤1等价于log 2x 243＝43x ≤1，即3x －43x ≥0，解得x ≥43或x <0，故x 的取值范围为(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞. 13.2553解析 由同角三角函数的基本关系，得sin 2α＋(2sin α－5)2＝1，解得sin α＝255，cos α＝－55， ∴tan α＝－2，∴tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－tanπ41＋tan αtanπ4＝3. 14．3 －2 100解析 因为a 1＝2，a 2＝1＋a 11－a 1＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝－12，a 4＝1＋a 31－a 3＝13，a 5＝1＋a 41－a 4＝2，…，由此可推出数列{a n }的项是以4为周期出现的， 且a 1a 2a 3a 4＝1，所以a 1a 2a 3…a 15＝(a 1a 2a 3a 4)3·a 1a 2a 3＝a 1a 2a 3＝3. 因为b n ＝(－1)n a n ，所以b 1＝－2，b 2＝－3，b 3＝12，b 4＝13，b 5＝－2，…，所以数列{b n }的项也是以4为周期出现的， 所以S 2 016＝504(b 1＋b 2＋b 3＋b 4) ＝504⎝⎛⎭⎫－2－3＋12＋13＝－2 100. 15．2n －2(n ＋1)解析 设数列{a n }为题干一系列新数列中的第一项，则由归纳推理得a n ＝2a n －1＋2n －2(n ≥2，n ∈N *)，所以a n 2n －a n －12n －1＝14，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为14的等差数列，则a n 2n ＝12＋14(n －1)＝n ＋14，可得a n ＝2n －2(n ＋1)，即最后一个数列的项是a n ＝2n －2(n ＋1)． 16．(－∞，－2)∪⎝⎛⎦⎤0，23 解析 如图，只有直线y ＋2＝k (x ＋1)从直线m 到直线n 移动，或者从直线a 到直线b 移动时，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤2，y ＋2≤k (x ＋1)表示的平面区域才是三角形．故实数k 的取值范围是0<k ≤23或k <－2.17.11＋463解析 AB →·AD →＝4×2×12＝4，AE →·DF →＝(AB →＋BE →)·(DA →＋AF →) ＝(AB →＋λBD →)·[－AD →＋(1－μ)AC →]＝[AB →＋λ(AD →－AB →)]·[－AD →＋(1－μ)(AD →＋DC →)] ＝[(1－λ)AB →＋λAD →]·⎣⎡⎦⎤(1－μ)4AB →－μAD →＝(1－λ)(1－μ)4×42＋λ(1－μ)4×4－4(1－λ)μ－4λμ＝4，所以8λ＋3μ＝3，所以λ＋μ＝13(λ＋μ)⎝⎛⎭⎫8λ＋3μ＝13⎝⎛⎭⎫11＋8μλ＋3λμ ≥13⎝⎛⎭⎫11＋2 8μλ·3λμ＝11＋463， 当且仅当8μλ＝3λμ时等号成立．18．解 (1)根据二倍角公式得2cos 2A ＋12＝2cos A ，即4cos 2A －4cos A ＋1＝0，所以(2cos A －1)2＝0，所以cos A ＝12.因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)根据正弦定理 得b ＝23 sin B ，c ＝23sin C ， 所以l ＝1＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C )． 因为A ＝π3，所以B ＋C ＝2π3，所以l ＝1＋23⎣⎡⎦⎤sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6. 因为0<B <2π3，所以l ∈(2,3]．19．解 (1)当a ＝4时，f (x )＝4ln x －x ＋3x(x >0)，f ′(x )＝4x －1－3x 2＝－x 2＋4x －3x 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝3. 当0<x <1或x >3时，f ′(x )<0，当1<x <3时，f ′(x )>0，f (1)＝2，f (3)＝4ln 3－2， 所以f (x )的极小值为2，极大值为4ln 3－2. (2)f (x )＝a ln x －x ＋a －1x(x >0)，f ′(x )＝ax －1－a －1x 2＝－x 2＋ax －(a －1)x 2，f (x )在定义域内无极值，即f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在定义域上恒成立． 即方程f ′(x )＝0在(0，＋∞)上无变号零点． 设g (x )＝－x 2＋ax －(a －1)， 则Δ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，a2≤0，g (0)≤0，解得a ＝2，所以实数a 的取值范围为{2}．20．(1)证明 由(a n －a n ＋1)g (a n )＝f (a n )(n ∈N *)，得 4(a n －a n ＋1)(a n －1)＝(a n －1)2(n ∈N *)．由题意知a n ≠1，所以4(a n －a n ＋1)＝a n －1(n ∈N *)，即3(a n －1)＝4(a n ＋1－1)(n ∈N *)，所以a n ＋1－1a n －1＝34. 又a 1＝2，所以a 1－1＝1， 所以数列{a n －1}是以1为首项，34为公比的等比数列． (2)解 由(1)得a n －1＝⎝⎛⎭⎫34n －1，b n ＝2n －14n －1(a n －1)＝2n －13n －1. 则T n ＝130＋331＋532＋…＋2n －33n －2＋2n －13n －1，① 13T n ＝131＋332＋533＋…＋2n －33n －1＋2n －13n ，② ①－②得23T n ＝130＋231＋232＋…＋23n －1－2n －13n ＝1＋23×1－13n －11－13－2n －13n ＝2－13n －1－2n －13n ＝2－2(n ＋1)3n. 所以T n ＝3－n ＋13n －1. 21．解 (1)因为f (－1)＝f (2)，即1－b ＋c ＝4＋2b ＋c ，所以b ＝－1，因为当x ∈[0,2]时，都有x ≤f (x )≤2|x －1|＋1，所以f (1)＝1，即c ＝1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.(2)因为f (x )在[－1,1]上有两个零点，且c <0，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≥0，f (1)≥0，c <0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＋c ＋1≥0，b ＋c ＋1≥0，c <0，通过线性规划知识可得－2<2b ＋c <2， 故2b ＋c 的取值范围为(－2,2)．22．证明 (1)①当n ＝1时，因为x 1＝1，所以0<x 1<9成立． ②假设当n ＝k 时，0<x k <9成立， 则当n ＝k ＋1时，x k ＋1＝2x k ＋3. 因为x k ＋1＝2x k ＋3≥3>0，且x k ＋1－9＝2x k －6＝2(x k －3)<0，得x k ＋1<9， 所以当n ＝k ＋1时，0<x n <9亦成立． 综上，由①②可知，0<x n <9.(2)因为0<x n <9，所以x n ＋1－x n ＝－x n ＋2x n ＋3 ＝－(x n －3)(x n ＋1)>0，所以x n <x n ＋1.(3)因为0<x n <9，所以x n >x n 3. 从而x n ＋1＝2x n ＋3>23x n ＋3. 所以x n ＋1－9>23(x n －9)，即9－x n ＋1<23(9－x n )． 所以9－x n ≤⎝⎛⎭⎫23n －1(9－x 1)．故x n ≥9－8·⎝⎛⎭⎫23n －1.。
《创新设计》2021版高考数学(浙江版文理通用)一轮复习练习：阶段滚动检测(五) Word版含答案
(建议用时：90分钟) 一、选择题1.设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ∨b ＝⎩⎨⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若正数a ，b ，c ，d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则( ) A.a ∧b ≥2，c ∧d ≤2 B.a ∧b ≥2，c ∨d ≥2 C.a ∨b ≥2，c ∧d ≤2D.a ∨b ≥2，c ∨d ≥2解析 设a ＝5，b ＝1，则a ∧b ＝1，a ∨b ＝5.排解A ，B.设c ＝1，d ＝1.5，则c ∨d ＝1.5，排解D ，选C. 答案 C2.(2022·庆阳一模)已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则n 2的值为( ) A.1B.2C.3D.4解析 由a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，得2a －b ＝(3，n )，若2a －b 与b 垂直，则(2a －b )·b ＝0，则有－3＋n 2＝0，解得n 2＝3，故选C.答案 C3.(2021·南昌十所重点中学二模)在正项等比数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，且－a 3，a 2，a 4成等差数列，则S 7的值为( ) A.125B.126C.127D.128解析 设{a n }的公比为q ，则2a 2＝a 4－a 3，又a 1＝1， ∴2q ＝q 3－q 2，解得q ＝2或q ＝－1，∵a n ＞0，∴q ＞0，∴q ＝2，∴S 7＝1－271－2＝127，故选C.答案 C4.(2022·嘉兴一模)已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan 2α＝( ) A.－43B.43C.－43或0D.43或0解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧2sin 2α＝1＋cos 2α，sin 22α＋cos 22α＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＝0，cos 2α＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＝45，cos 2α＝35，∴tan 2α＝0或tan 2α＝43.答案 D5.(2022·山西四校联考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若公比q ＞1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝( ) A.31B.36C.42D.48解析 由等比数列的性质，得a 3a 5＝a 2a 6＝64， 于是由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 5＝20，a 3a 5＝64，且公比q ＞1，得a 3＝4，a 5＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝4，a 1q 4＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2（q ＝－2舍），所以S 5＝1×（1－25）1－2＝31，故选A.答案 A6.(2022·慈溪中学检测)在锐角△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，S △ABC ＝33，则BC ＝( ) A.5 B.13或37 C.37D.13解析 由S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×3×4×sin A ＝33，得sin A ＝32，由于△ABC 为锐角三角形，所以A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故A ＝π3，在△ABC 中，由余弦定理得，BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos A＝42＋32－2×4×3×cos π3＝13.所以BC ＝13，故选D.答案 D7.(2021·商丘二模)在递增的等比数列{a n }中，已知a 1＋a n ＝34，a 3·a n －2＝64，且前n 项和S n ＝42，则n ＝( ) A.3B.4C.5D.6解析 由于{a n }为等比数列，所以a 3·a n －2＝a 1·a n ＝64，又a 1＋a n ＝34，所以a 1，a n 是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，a n ＝2，又由于{a n }是递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝32.由S n ＝a 1－a n q 1－q ＝2－32q 1－q ＝42，解得q ＝4，由a n ＝a 1q n －1＝2×4n －1＝32，解得n ＝3，故选A. 答案 A8.若数列{a n }满足a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和的值最大时，n 的值是( ) A.6B.7C.8D.9解析 ∵a n ＋1－a n ＝－3，∴a n －a n －1＝－3， ∴{a n }是以19为首项，以－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前n 项和最大，故有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧22－3n ≥0，22－3（n ＋1）≤0，∴193≤n ≤223，∵n ∈N *，∴n ＝7，故选B. 答案 B 二、填空题9.(2022·枣庄四校联考)函数y ＝lg （4－x ）3－x 的定义域为________.解析 ⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＞0，3－x ≠0，∴x ＜4且x ≠3.答案 {x |x ＜4且x ≠3}10.已知公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 10＝S 4，则S 8a 9＝________.解析 由a 10＝S 4，得a 1＋9d ＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ，即a 1＝d ≠0.所以S 8＝8a 1＋8×72d ＝8a 1＋28d ＝36d ， 所以S 8a 9＝36d a 1＋8d ＝36d 9d ＝4.答案 411.设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若2S 1，3S 2，4S 3成等差数列，则等比数列{a n }的公比q ＝________.解析 由2S 1，3S 2，4S 3成等差数列，得6S 2＝2S 1＋4S 3， 即3S 2＝S 1＋2S 3，2(S 2－S 3)＋S 2－S 1＝0， 则－2a 3＋a 2＝0，所以公比q ＝a 3a 2＝12.答案 1212.(2022·陕西质检)已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n .若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和为________.解析 ∵a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ，∴(a n ＋1－3a n )(a n ＋1＋2a n )＝0，∵a n ＞0，∴a n ＋1＝3a n ，又a 1＝2，∴{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，S n ＝2（1－3n ）1－3＝3n －1.答案 3n －113.(2022·嵊州一中检测)数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，2S n －na n ＝n ，若S 20＝－360，则a 2＝________.解析 ∵2S n －na n ＝n ①，∴当n ≥2时，2S n －1－(n －1)a n －1＝n －1②， ∴①－②得，(2－n )a n ＋(n －1)a n －1＝1③， ∴(1－n )a n ＋1＋na n ＝1④，∴③－④得，2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，∴数列{a n }为等差数列，∵当n ＝1时，2S 1－a 1＝1，∴a 1＝1，∵S 20＝20＋20×192d ＝－360，∴d ＝－2. ∴a 2＝1－2＝－1. 答案 －114.(2022·安徽卷)如图，在等腰直角△ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1；过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；…，依此类推.设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________.解析 由BC ＝22得AB ＝a 1＝2⇒AA 1＝a 2＝2⇒A 1A 2＝a 3＝2×22＝1，由此可归纳出{a n }是以a 1＝2为首项，22为公比的等比数列， 因此a 7＝a 1×q 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.答案 14 三、解答题15.(2022·青岛统一检测)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a (ω＞0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间.解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a ＝4cos ωx ·⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin ωx ＋12cos ωx ＋a ＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＋1＋a ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋1＋a .当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＝1时，f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a ，又f (x )图象上最高点的纵坐标为2， ∴3＋a ＝2，∴a ＝－1.又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π， ∴f (x )的最小正周期T ＝π，∴2ω＝2πT ＝2，∴ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z .令k ＝0，得π6≤x ≤2π3，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.16.(2022·东北三校二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －2n (n ∈N *). (1)证明：{a n ＋2}是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)数列{b n }满足b n ＝log 2(a n ＋2)，T n 为数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和，若T n ＜a 对任意正整数n 都成立，求a 的取值范围.(1)证明 由于S n ＝2a n －2n (n ∈N *)， 所以S n －1＝2a n －1－2(n －1)(n ≥2)， 所以S n －S n －1＝a n ＝2a n －2a n －1－2(n ≥2)， 所以a n ＋2＝2(a n －1＋2)(n ≥2). 又当n ＝1时，S 1＝2a 1－2＝a 1， 解得a 1＝2，所以a 1＋2＝4，所以{a n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以a n ＋2＝4×2n －1(n ∈N *)， 所以a n ＝2n ＋1－2(n ∈N *).(2)解 由于b n ＝log 2(a n ＋2)＝log 22n ＋1＝n ＋1，所以1b n b n ＋1＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2， 所以T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＜12，由于T n ＜a 对任意正整数n 都成立，所以a ≥12.17.(2022·齐鲁名校联合测试)已知函数f (x )＝－x 22＋(a －1)x ＋(2－a )ln x ＋32(a ∈R ).(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)争辩函数f(x)的单调区间.解(1)∵f(x)＝－x22＋(a－1)x＋(2－a)ln x＋32(a∈R)，∴f(1)＝a，f′(x)＝－x＋a－1＋2－ax，f′(1)＝0，∴y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝a.(2)∵f′(x)＝－x＋a－1＋2－ax＝－x2＋（a－1）x＋2－ax(x＞0)，∴f′(x)＞0⇔－x2＋(a－1)x＋2－a＞0，f′(x)＜0⇔－x2＋(a－1)x＋2－a＜0.令g(x)＝－x2＋(a－1)x＋2－a＝0，解得x1＝1，x2＝a－2.①当a＞3时，x2＞x1，g(x)＞0的解集是1＜x＜a－2，g(x)＜0的解集是0＜x＜1或x＞a－2，∴f(x)的单调增区间是(1，a－2)，单调减区间是(0，1)，(a－2，＋∞).②当a＝3时，x2＝x1，对任意的x＞0，都有g(x)≤0，∴f(x)的单调减区间是(0，＋∞).③当2＜a＜3时，0＜x2＜x1，g(x)＞0的解集是a－2＜x＜1，g(x)＜0的解集是0＜x＜a－2或x＞1，∴f(x)的单调增区间是(a－2，1)，单调减区间是(0，a－2)，(1，＋∞).④当a≤2时，x2≤0，g(x)＞0的解集是0＜x＜1，g(x)＜0的解集是x＞1，∴f(x)的单调增区间是(0，1)，单调减区间是(1，＋∞).综上所述，当a＞3时，f(x)的单调增区间是(1，a－2)，单调减区间是(0，1)，(a－2，＋∞)；当a＝3时，f(x)的单调减区间是(0，＋∞)，没有单调增区间；当2＜a＜3时，f(x)的单调增区间是(a－2，1)，单调减区间是(0，a－2)，(1，＋∞)；当a≤2时，f(x)的单调增区间是(0，1)，单调减区间是(1，＋∞).18.(2021·金华质量猜测)已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n－2.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝log2a1＋log2a2＋…＋log2a n，求使(n－8)b n≥nk对任意n∈N*恒成立的实数k的取值范围.解(1)由S n＝2a n－2可得a1＝2，∵S n＝2a n－2，∴当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2a n－2a n－1，即a na n－1＝2.∴数列{a n}是以a1＝2为首项，公比为2的等比数列，∴a n＝2n(n∈N*).(2)b n＝log2a1＋log2a2＋…＋log2a n＝1＋2＋3＋…＋n＝n（n＋1）2.由(n－8)b n≥nk对任意n∈N*恒成立，即实数（n－8）（n＋1）2≥k对n∈N*恒成立；设c n＝12(n－8)(n＋1)，则当n＝3或4时，取得最小值为－10，∴k≤－10.。
2014版广西《复习方略》(数学文)阶段滚动检测(一)
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阶段滚动检测（一）第一～三章（120分钟 150分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|x2-4x-5>0},集合B={x|4-x2>0},则A∩B=( )(A){x|-2<x<1} (B){x|-2<x<-1}(C){x|-5<x<1} (D){x|-5<x<-1}2.“a=-1”是“函数f(x)=ax2+2x-1的图象与x轴只有一个交点”的( )(A)充分必要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)非充分必要条件3.已知正项数列{a n}中,a1=1,a2=2,2=+(n≥2),则a6等于( )(A)16 (B)8 (C)2(D)44.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时f(x)=4x-mx,且f(2)=2f(-1),则实数m的值等于( )(A)0 (B)6 (C)4 (D)25.(2013·北海模拟)设a=22.5,b=2.50,c=()2.5,则a,b,c的大小关系是( )(A)a>c>b (B)c>a>b(C)b>a>c (D)a>b>c6.(2013·玉林模拟)已知偶函数f(x)对∀x∈R,都有f(x-2)=-f(x),且当x∈[-1,0]时,f(x)=2x,则f(2013)=( )(A)1 (B)-1 (C)(D)-7.(2013·梧州模拟)设S n为等差数列{a n}的前n项和,若a3=3,S9-S6=27,则该数列的首项a1等于( )(A)-(B)-(C)(D)8.方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)49.已知正项等比数列{a n}中,3a1,a3,2a2成等差数列,则=( )(A)3或-1 (B)9或1 (C)1 (D)910.(2013·来宾模拟)函数f(x)=x2-2|x|的图象为( )11.已知函数f M(x)的定义域为实数集R,满足f M(x)=(M是R的非空真子集),在R上有两个非空真子集A,B,且A∩B=∅,则F(x)=的值域为( )(A)(0,](B){1}(C){,,1}(D)[,1]12.若正项数列{a n}满足a1=2,-3a n+1a n-4=0,则{a n}的通项a n=( )(A)a n=22n-1(B)a n=2n(C)a n=22n+1(D)a n=22n-3二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2013·桂林模拟)若不等式2x>x2+a对于一切x∈[-2,3]恒成立,则实数a的取值范围是 .14.若函数y=f(x)是函数y=log a x(a>0,且a≠1)的反函数,且f(1)=2,则f(x)= .15.(2013·南宁模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n,且a n+1=5S n-3,a1=1,则数列{a n}的通项公式为.16设f(x)=|2-x2|,若a<b<0,且f(a)=f(b),则ab的取值范围是.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知集合A={x∈R||x+2|≥3}.集合B={x|(x+3m)(x-2)<0}.(1)若(ðA)⊆B,求实数m的取值范围.R(2)若(ðA)∩B=(-1,n),求实数m,n的值.R18.(12分)(2013·贵港模拟)已知数列{a n}为等差数列,且a1+a3=8,a2+a4=12,(1)求数列{a n}的通项公式.(2)数列{a n}的前n项和为S n,若a1,a k,S k+2成等比数列,求正整数k的值.19.(12分)命题p:实数x满足x2-4ax+3a2<0(其中a>0),命题q:实数x满足(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围.(2)若⌝p是⌝q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.20.(12分)(2013·河池模拟)已知数列{a n}是一个公差大于0的等差数列,且满足a3a6=55,a2+a7=16.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)若数列{a n}和数列{b n}满足等式a n=+++…+(n为正整数),求数列{b n}的前n项和S n.21.(12分)某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36张,每批都购入x张(x是正整数),且每批均需付运费4元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入4张,则该月需用去运费和保管费共52元,现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费.(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x).(2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.22.(12分)(2013·柳州模拟)已知数列{a n}中,a1=2,其前n项和为S n,满足=+.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)设数列{b n}满足b n=,数列{b n}的前n项和为T n,求证:T n<34.答案解析1.【解析】选B.由已知得A={x|x2-4x-5>0}={x|x>5或x<-1},B={x|4-x2>0}={x|-2<x<2},所以A∩B={x|-2<x<-1}.2.【解析】选B.若函数f(x)=ax2+2x-1的图象与x轴只有一个交点,则a=0或解得a=0或a=-1.所以“a=-1”是“函数f(x)=ax2+2x-1的图象与x轴只有一个交点”的充分不必要条件.3.【解析】选D.由2=+知,数列{}是等差数列,且公差d=-=22-12=3,所以=+(6-1)d=1+15=16.又{a n}为正项数列,所以a6=4.4.【解析】选B.由于f(2)=42-2m=16-2m,f(-1)=-f(1)=-(4-m)=m-4,所以依题意得16-2m=2(m-4),解得m=6,故选B.5.【解析】选D.a>1,b=1,0<c<1,所以a>b>c.6.【解析】选C.由f(x-2)=-f(x)得f(x-4)=f(x),所以函数的周期是4.又因为f(x)是偶函数,所以f(2013)=f(4×503+1)=f(1)=f(-1)=2-1=12.7.【解析】选D.由得解得a1=.8.【解析】选B.≧a>0,≨a2+1>1.而y=|x2-2x|的图象如图,≨y=|x2-2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点.≨方程有两解.9.【思路点拨】由3a1,a3,2a2成等差数列求出等比数列{a n}的公比,再将化简消去a1.【解析】选D.设公比为q,依题意,有3a1+2a2=a3,即3a1+2a1q=a1q2,解得q=3或q=-1(舍去). = = =q2=9.10.【解析】选C.图象是偶函数,排除B,D.又当x=0时,y=-1,故选C.11.【解析】选B.若x∈A,则f A(x)=1,f B(x)=0,f A∪B(x)=1,F(x)=1;若x∈B,则f A(x)=0,f B(x)=1,f A∪B(x)=1,F(x)=1;若x∉A,x∉B,则f A(x)=0,f B(x)=0,f A∪B(x)=0,F(x)=1.故选B.12.【解析】选A.由-3a n+1a n-4=0得(a n+1-4a n)(a n+1+a n)=0,故有a n+1-4a n=0或a n+1+a n=0.因为数列为正项数列,所以a n+1+a n=0不符合题意,舍去,只取a n+1-4a n=0,即=4,所以数列{a n}为首项为a1=2,公比为q=4的等比数列,则通项a n=2×4n-1=22n-1.13.【解析】不等式2x>x2+a可化为a<-x2+2x,函数g(x)=-x2+2x在区间[-2,3]上的最小值为g(-2)=-8,故实数a的取值范围是(-≦,-8).答案：(-≦,-8)14.【思路点拨】先求出反函数,再根据f(1)=2求出a的值.【解析】由反函数的性质知f(x)=a x ,再由f(1)=2得2=a; ≨a=2,从而f(x)=2x . 答案：2x15.【解析】a n+1=5S n -3,当n ≥2时,a n =5S n-1-3,两式相减整理得=6(n ≥2).又a 2=5S 1-3=2, 故a n =答案：a n =16.【解析】保留函数y=2-x 2在x 轴上方的图象,将其在x 轴下方的图象翻折到x 轴上方去即可得到函数f(x)=|2-x 2|的图象.通过观察图象,可知f(x)在区间 (-≦,-]上是减函数,在区间[-,0]上是增函数,由a<b<0,且f(a)=f(b)可知a<-<b<0,所以f(a)=a 2-2,f(b)=2-b 2,从而a 2-2=2-b 2,即a 2+b 2=4,又2|ab|<a 2+ b 2=4,所以0<ab<2.答案：(0,2)17.【解析】由|x+2|≥3,得x+2≥3或x+2≤-3,即x ≥1或x ≤-5,所以集合A={x|x ≥1或x ≤-5},故R ðA=(-5,1).(1)由R ðA=(-5,1),(R ðA)⊆B 知必有B=(-3m,2),且-3m ≤-5,解得m ≥,故实数m 的取值范围为[,+≦). (2)因为(R ðA)∩B=(-1,n),所以-1是方程(x+3m)(x-2)=0的根,因此代入得3(1-3m)=0,所以m=.此时不等式(x+1)(x-2)<0的解为-1<x<2,所以(ðA)∩B=(-1,1),R即n=1.18.【解析】(1)设数列{a n}的公差为d,由题意知解得a1=2,d=2.所以a n=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n.(2)由(1)可得S n= = =n(1+n).因a1,a k,S k+2成等比数列,所以=a 1S k+2,从而(2k)2=2(k+2)(k+3),即k2-5k-6=0,解得k=6或k=-1(舍去),因此k=6.19.【解析】(1)由x2-4ax+3a2<0得(x-3a)(x-a)<0,又a>0, 所以a<x<3a.当a=1时,1<x<3,即p为真时实数x的取值范围是1<x<3. 由得解得2<x≤3,即q为真时实数x的取值范围是2<x≤3.若p∧q为真,则p真且q真,所以实数x的取值范围是(2,3).(2)由(1)知p:a<x<3a,则p:x≤a或x≥3a,q:2<x≤3,则q:x≤2或x>3,p 是q的充分不必要条件,则p⇒q,且q/p,≨解得1<a≤2,故实数a的取值范围是(1,2].【变式备选】已知函数f(x)=mx2-mx-1.(1)若对于x∈R,f(x)<0恒成立,求实数m的取值范围.(2)若对于x∈[1,3],f(x)<5-m恒成立,求实数m的取值范围. 【解析】(1)由题意可得m=0或⇒m=0或-4<m<0⇒-4<m≤0,故m的取值范围为(-4,0].(2)≧f(x)<-m+5⇒m(x2-x+1)<6,又x2-x+1>0恒成立,≨m<对于x∈[1,3]恒成立.记g(x)=,x∈[1,3].记h(x)=x2-x+1,则h(x)在[1,3]上为增函数,从而g(x)在[1,3]上为减函数,≨g(x)min=g(3)=,≨m<.所以m的取值范围为(-≦,).20.【解析】(1)设数列{a n}的公差为d(d>0).a2+a7=a3+a6=16,由a3a6=55,a3+a6=16,解得a3=5,a6=11(a3=11,a6=5舍去),故数列{a n}的通项为a n=2n-1.(2)当n=1时,a1=,即b1=2a1=2;当n≥2时,a n-a n-1=2,也就是=2,所以b n=2n+1,即b n=从而当n=1时,S n=2;当n≥2时,S n=2+23+24+…+2n+1=2n+2-6,因为S1=2满足上式,故S n=2n+2-6(n∈N*).21.【解析】(1)设题中比例系数为k,若每批购入x张,则共需分批,每批价值为20x元,由题意f(x)=×4+k·20x.由当x=4时,f(x)=52得k==,≨f(x)=+4x(0<x≤36,x∈N*).(2)由(1)知f(x)=+4x(0<x≤36,x∈N*),≨f(x)≥2=48,当且仅当=4x,即x=6时,等号成立.故只需每批购入6张书桌,可以使资金够用.22.【解析】(1)由题知-=,所以数列{}是首项为==,公差为的等差数列.故=+(n-1)= n.所以S n=2n2.当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n2-2(n-1)2=4n-2.当n=1时,a1=2也符合上式.则数列{a n}的通项公式圆学子梦想 铸金字品牌- 11 - a n =4n-2.(2)由(1)得:b n == ==(-),≨T n =b 1+b 2+b 3+…+b n-1+b n =(1-+-+-+…+-+-) =(1+--) =(--),≨T n <.关闭Word 文档返回原板块。
五年级数学下册阶段滚动提升测试卷(四)
五年级数学下册阶段滚动提升测试卷(四)一、填空題。
(37分)1.分数单位是的最大真分数是( )，最小假分数是( )。
2.要反映某果园六种果树有多少棵，选用( )统计图比较合适:要反映某一病人一天的体温变化情况，选用( )统计图比较合适。
3.一项工程必须在30天内完成，平均每天完成全部工程的( )，7天完成这项工程的( )，19天完成这项工程的( )。
4.把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做( ).5.有3包饼干，其中2袋质量相同，另一包不知是重还是轻，用天平称( )次，能保证找到这包饼干。
6.下面是某科技公司2018年各月利润情况折线统计图。
(1)( )月利润最少，是( )万元，( )月利润最多，是( )万元。
(2)( )月到( )月的利润持续上升，( )月到( )月的利润持续下降。
(3)11月和12月的利润相差( )万元。
(4)利润下降幅度最小的是( )到( )月。
(5)利润上升幅度最大的是( )到( )月。
(6)( )月到( )月的利润不低于40万元。
7.有6简羽毛球，其中5简质量相同，另一筒少了ー只羽毛球。
如果用天平称，那么至少称( )次，就一定能找出这筒羽毛球。
8.下面是航模小组制作的两架模型飞机在一次飞行中飞行时间和高度的记录。
(1)小米飞机飞行了( )秒，大米飞机飞行了( )秒。
(2)从图上看，起飞后第10秒小米飞机飞行的高度是( )米，大米飞机飞行的高度是( )米;起飞后第( )秒两架飞机处于同一高度;起飞后大约第( ) 秒两架飞机的高度相差最大。
9.某市农机一公司、二公司2018年工业产值增长情况统计图如下图所示。
看图完成下列各题:(1)40万元是( )公司第( )季度的产值。
(2)农机二公司2018年四个季度的总产值是( )万元。
(3)两个公司第( )季度的产值最多，共( )万元。
(4)( )公司工业产值增长较快。
二、判断题。
(10分)1.自然数可分为质数和合数两种。
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阶段滚动检测(四)第一～七章(120分钟 150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(滚动单独考查)已知全集U=R,集合A={x|-2≤x<3},B={x|x<-1或x≥4},那么集合A∩B等于( )A.{x|-1<x<3}B.{x|x≤-1或x>3}C.{x|-2≤x<-1}D.{x|-1≤x<3}2.(滚动交汇考查)α,β为平面,m为直线,如果α∥β,那么“m∥α”是“m⊂β”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.(滚动单独考查)曲线y=+2x在点(0,1)处的切线方程为( )A.y=x+1B.y=x-1C.y=3x+1D.y=-x+14.(2014·宜昌模拟)已知四棱锥P-ABCD的侧棱长与底面边长都相等,四边形ABCD 为正方形,点E是PB的中点,则异面直线AE与PD所成角的余弦值为( )A. B. C. D.5.已知某几何体由三个圆柱和大小相同的两个半球组成,它的三视图如图,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的表面积是( )A. B. 9π C. D. 11π6.(滚动交汇考查)(2014·襄阳模拟)如图所示,M,N是函数y=2sin(ωx+φ) (ω>0)图象与x轴的交点,点P在M,N之间的图象上运动,当△MPN面积最大时·=0,则ω=( )A. B. C. D.87.(2014·黄冈模拟)一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的体积是( )A.1B.2C.3D.48.(2014·孝感模拟)已知某几何体的三视图如图所示,则它的外接球表面积为( )A.16πB.4πC.8πD.2π9.(滚动单独考查)已知函数f(x)=x2+sinx,则f′(x)的大致图象是( )10.(2014·琼海模拟)已知圆锥的正视图是边长为2的等边三角形,则该圆锥体积为( )A.πB.πC.πD.π二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把准确答案填在题中横线上)11.(滚动单独考查)已知函数f(x)=x2-m是定义在区间[-3-m,m2-m]上的奇函数,则f(m)= .12.(2014·日照模拟)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点,则异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值为 .13.(滚动单独考查)已知|a|=1,|b|=,且a⊥(a+b),则向量a与向量b夹角的大小是 .14.(2014·泰安模拟)已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上,且AB=8,BC=2,则棱锥O-ABCD的体积为 .15.(2014·重庆模拟)在一个45°的二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成45°,则此直线与二面角的另一个面所成的角为________.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)如图,已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是直角梯形,AB⊥BC,AB∥CD,E,F分别是棱BC,B1C1上的动点,且EF∥CC1,CD=DD1=1,AB=2,BC=3.(1)证明：无论点E怎样运动,四边形EFD1D都为矩形.(2)当EC=1时,求几何体A-EFD1D的体积.17.(12分)(2014·昆明模拟)如图,四边形ABCD是正方形,PD∥MA,MA⊥AD,PM⊥平面CDM,MA=AD=PD=1.(1)求证：平面ABCD⊥平面AMPD.(2)求三棱锥A-CMP的高.18.(12分)(滚动单独考查)已知等差数列{a n}中,a2+a4=16,a5-a3=4.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)设b n=,求证b1+b2+…+b n≥.19.(12分)(2014·长春模拟)如图,正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直,∠ADE=90°,AF∥DE,DE=DA=2AF=2.(1)求证：AC∥平面BEF.(2)求平面BEF与平面ABCD所成角的正切值.20.(13分)(2014·济南模拟)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B⊥底面ABC,侧棱AA1与底面ABC成60°的角,AA1=2.底面ABC是边长为2的正三角形,其重心为G点,E是线段BC1上一点,且BE=BC1.(1)求证：GE∥侧面AA1B1B.(2)求平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的正切值.(3)在直线AG上是否存有点T,使得B1T⊥AG?若存有,指出点T的位置;若不存有,说明理由.21.(14分)(滚动单独考查)(2014·青岛模拟)已知函数f(x)=a(x2+1)+lnx.(1)讨论函数f(x)的单调性.(2)若对任意a∈(-4,-2)及x∈[1,3]时,恒有ma-f(x)>a2成立,求实数m的取值范围.答案解析1.C 因为A={x|-2≤x<3},B={x|x<-1或x≥4}.所以集合A∩B={x|-2≤x<-1}.2.B 若α∥β,当m∥α时,m⊂β或m∥β.当m⊂β时,若α∥β,则一定有m∥α,所以“m∥α”是“m⊂β”的必要不充分条件.【加固训练】设a,b是两条直线,α,β是两个平面,则a⊥b的一个充分条件是( )A.a⊥α,b∥β,α⊥βB.a⊥α,b⊥β,α∥βC.a⊂α,b⊥β,α∥βD.a⊂α,b∥β,α⊥βC 若b⊥β,α∥β,所以b⊥α,又a⊂α,所以b⊥a,即a⊥b,故选C.3.C y′=e x+2,k=y′|x=0=e0+2=3,则切线方程为y-1=3x,即y=3x+1.4.C 设棱长都为1,连接AC,BD交于点O,连接OE.因为所有棱长都相等,因为ABCD是正方形,所以O是BD的中点,且OE∥PD,故∠AEO(或其补角)为异面直线AE与PD所成的角.易知OE=PD=,AE=AB=,OA=AC==.在△OAE中,由余弦定理得cos∠AEO==.【加固训练】如图,E,F分别是三棱锥P-ABC的棱AP,BC的中点,PC=10,AB=6,EF=7,则异面直线AB与PC所成的角为 ( )A.90°B.60°C.45°D.30°B 取AC的中点M,连接EM,MF,因为E,F是中点,所以MF∥AB,MF=AB==3,ME∥PC,ME=PC==5,所以MF与ME所成的角即为AB与PC所成的角.在三角形MEF中,cos∠EMF===-,所以∠EMF=120°,所以直线AB与PC所成的角为60°.5.A 由三视图可知该几何体上左、右各是半球和两个圆柱,半球的直径为2,圆柱的高为1,底面直径为2,中间圆柱的高为3,底面直径为1,由面积公式得,面积S=4π+2π×2+π×3+π×2-π××2=π.6.A 点P在M,N之间的图象上运动,当△MPN面积最大时·=0,此时PM⊥PN,△PMN是等腰直角三角形,由题意可知PQ=2,所以MQ=QN=PQ=2,因为T=2MN=4PQ=8,故ω==.7.B 由题设及图知,此几何体为一个四棱锥,其底面为一个对角线长为2的正方形,故其底面积为4××1×1=2.由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高,其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形,因为此侧棱长为,对角线长为2,故棱锥的高为==3.此棱锥的体积为×2×3=2.8.B 由三视图可知该几何体是三棱锥,且三棱锥的高为1,底面为一个直角三角形,因为底面斜边上的中线长为1,则底面的外接圆半径为1,顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上,因为顶点到底面的距离,与底面外接圆的半径相等,则三棱锥的外接球半径R为1,则三棱锥的外接球表面积S=4πR2=4π,选B.9.B f′(x)=x+cosx,所以f′(x)=x+cosx非奇非偶,排除A,C.f′=+cos=,即过点.故选B.10.C 由已知,圆锥的底面直径为2,母线为2,则这个圆锥的高为=,所以其体积是π·12×=π.故选C.11.【解析】由已知必有m2-m=3+m,即m2-2m-3=0,所以m=3或m=-1.当m=3时,函数即f(x)=x-1,而x∈[-6,6],所以f(x)在x=0处无意义,故舍去;当m=-1时,函数即f(x)=x3,此时x∈[-2,2],所以f(m)=f(-1)=(-1)3=-1.答案：-112.【解析】连接B1M,因为C1D1∥B1A1,所以∠MA1B1为异面直线A1M与C1D1所成的角.因为A1B1⊥平面BCC1B1,所以∠A1B1M=90°.而A1B1=1,B1M==,故tan∠MA1B1==,即异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值为.答案：13.【解析】设向量a与向量b夹角为θ,由a⊥(a+b),得a·(a+b)=0,则a2+a·b=0,则1+|a|·|b|cosθ=0,得cosθ=-,则θ=π.答案：π14.【解析】球心在矩形内的射影在矩形对角线的交点上,因为对角线长为=2,所以棱锥的高为=,所以棱锥的体积为××8×2=16.答案：1615.【思路点拨】先根据已知条件作出准确图形,确定出所求的线面角是解题的关键,然后将所求的线面角转化为求三角形内的角.【解析】如图,二面角α-l-β为45°,AB⊂β,且与棱l成45°角,过A作AO⊥α于O,作AH⊥l于H.连接OH,OB,则∠AHO为二面角α-l-β的平面角,∠ABO为AB 与平面α所成角.不妨设AH=,在Rt△AOH中,易得AO=1.在Rt△ABH中,易得AB=2.故在Rt△ABO中,sin∠ABO==,所以∠ABO=30°,为所求线面角大小.答案： 30°【方法技巧】求线面角的步骤(1)作：根据直线与平面所成角的定义作出线面角.(2)证：通过推理证明所作出的角即为所求角.(3)求：在直角三角形中求出该角.(4)得出结论.16.【解析】(1)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,DD1∥CC1,因为EF∥CC1,所以EF∥DD1,又因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面ABCD∩平面EFD1D=ED,平面A1B1C1D1∩平面EFD1D=FD1,所以ED∥FD1,所以四边形EFD1D为平行四边形.因为侧棱DD1⊥底面ABCD,又DE⊂平面ABCD,所以DD1⊥DE,所以四边形EFD1D为矩形.(2)连接AE,因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱,所以侧棱DD1⊥底面ABCD,又AE⊂平面ABCD,所以DD1⊥AE.在Rt△ABE中,AB=2,BE=2,则AE=2.在Rt△CDE中,EC=1,CD=1,则DE=.在直角梯形ABCD中,AD==;所以AE2+DE2=AD2,即AE⊥ED.又因为ED∩DD1=D,所以AE⊥平面EFD1D.由(1)可知,四边形EFD1D为矩形,且DE=,DD1=1,所以=DE·DD1=,所以几何体A-EFD1D的体积为=·AE=××2=.17.【解析】(1)因为PM⊥平面CDM,且CD⊂平面CDM,所以PM⊥CD,又ABCD是正方形,所以CD⊥AD,而梯形AMPD中PM与AD相交,所以CD⊥平面AMPD,又CD⊂平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面AMPD.(2)设三棱锥A-CMP的高为h,已证CD⊥平面AMPD,又PM⊥平面CDM,则PM⊥CM,PM⊥DM, 由已知MA=AD=PD=1,得DM=,CM=,PM=,故S△AMP=AM·AD=,S△CMP=CM·PM=··=.因为V A-CMP=V C-AMP,则S△CMP·h=S△AMP·CD,所以h===,故三棱锥A-CMP的高为.18.【解析】(1)设{a n}的首项为a1,公差为d,因为a5-a3=4,所以d=2.所以a1+d+a1+3d=16,所以a1=4.所以数列{a n}的通项公式为a n=2n+2.(2)依题意有b n===-,所以b1+b2+…+b n=++…+=-. 令f(n)=-,则f(n)是关于n的增函数,所以f(n)≥f(1)=-=, 所以b 1+b 2+…+b n ≥.19.【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则F(2,0,1),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,0,2),A(2,0,0),设平面BEF 的法向量为n=(x,y,z),则FE 0,FB 0,⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 而=(-2,0,1),=(0,2,-1),即令x=1,则y=1,z=2,n =(1,1,2).因为=(-2,2,0),且n ·=0,所以n ⊥,而AC ⊄平面BEF,所以AC ∥平面BEF.(2)设平面ABCD 与平面BEF 所成二面角的平面角为α,由条件知α是锐角. 由(1)知平面BEF 的法向量为n =(1,1,2).又平面ABCD 与z 轴垂直, 所以平面ABCD 的一个法向量可取为n 1=(0,0,1), 所以cos α=|cos <n 1,n >| =11||n nn n==,所以tan α=,所以平面BEF 与平面ABCD 所成角的正切值为.【加固训练】(2014·黄冈模拟)如图,已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形,PD ⊥底面ABCD,E,F 分别为棱BC,AD 的中点.(1)若PD=1,求异面直线PB与DE所成角的余弦值.(2)若二面角P-BF-C 的余弦值为,求四棱锥P-ABCD的体积.【解析】(1)E,F分别为棱BC,AD的中点,ABCD是边长为2的正方形⇒DF∥BE且DF=BE⇒DFBE为平行四边形⇒DE∥BF⇒∠PBF或其补角为PB与DE所成的角. △PBF中,BF=,PF=,PB=3⇒cos∠PBF=⇒异面直线PB和DE所成角的余弦值为.(2)以D为原点,直线DA,DC,DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设PD=a,可得如下点的坐标：P(0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0),则有=(1,0,-a),=(1,2,0),因为PD⊥底面ABCD,所以平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1),设平面PFB的一个法向量为n=(x,y,z),则可得PF0, FB0,⎧=⎪⎨=⎪⎩nn即令x=1,得z=,y=-,所以n =.已知二面角P-BF-C 的余弦值为,所以得cos<m,n >=m nm n==,解得a=2.因为PD是四棱锥P-ABCD 的高,所以其体积为V P-ABCD=×2×4=.20.【解析】(1)因为侧面AA 1B 1B ⊥底面ABC,侧棱AA 1与底面ABC 成60°的角,所以∠A 1AB=60°,又AA 1=AB=2,取AB 的中点O,则A 1O ⊥底面ABC.以O 为原点建立空间直角坐标系,如图,则A(0,-1,0),B(0,1,0),C(,0,0),A 1(0,0,),B 1=(0,2,),C 1(,1,).因为G 为△ABC 的重心, 所以G . 因为=,所以E ,连接AB 1, 所以==.又GE ⊄侧面AA 1B 1B,AB 1⊂侧面AA 1B 1B,所以GE ∥侧面AA 1B 1B.(2)设平面B 1GE 的法向量为n =(a,b,c),则由1B E 0,GE 0,⎧=⎪⎨=⎪⎩n n得可取n =(,-1,).又底面ABC 的一个法向量为m =(0,0,1).设平面B 1GE 与底面ABC 所成锐二面角的大小为θ,则cosθ=m n=.m n因为θ为锐角,所以sinθ==,进而tanθ=.故平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的正切值为.(3)=,设=λ=,=+=,由B1T⊥AG,所以·=λ+λ-3=0,解得λ=,所以存有T在AG延长线上,|AT|=|AG|=.【一题多解】本题还能够采用如下方法：(1)延长B1E交BC于点F,因为△B1EC1∽△FEB,BE=EC1,所以BF=B1C1=BC,从而点F为BC的中点.因为G为△ABC的重心,所以A,G,F三点共线.且==,所以GE∥AB1,又GE⊄侧面AA1B1B,AB1⊂侧面AA1B1B,所以GE∥侧面AA1B1B.(2)在侧面AA1B1B内,过B1作B1H⊥AB,垂足为H,因为侧面AA1B1B⊥底面ABC,所以B1H⊥底面ABC.又侧棱AA1与底面ABC成60°的角,AA1=2,所以∠B1BH=60°,BH=1,B1H=.在底面ABC内,过H作HT⊥AF,垂足为T,连接B1T,由三垂线定理有B1T⊥AF,又平面B1GE与底面ABC的交线为AF,所以∠B1TH为所求二面角的平面角.所以AH=AB+BH=3,∠HAT=30°,所以HT=AHsin 30°=.在Rt△B1HT中,tan∠B1TH==,从而平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的正切值为.(3)(2)问中的T点即为所求,T在AG的延长线上,距离A点处.【方法技巧】求二面角的策略(1)法向量法,其步骤是：①建系;②分别求构成二面角的两个半平面的法向量;③求法向量夹角的余弦值;④根据题意确定二面角的余弦值或其大小.(2)平面角法,该法就是首先利用二面角的定义,找出二面角的平面角,然后用向量法或解三角形法求其余弦值或其大小.21.【解析】(1)f′(x)=2ax+=(x>0).①当a≥0时,恒有f′(x)>0,则f(x)在(0,+∞)上是增函数;②当a<0时,当0<x<时,f′(x)>0,则f(x)在上是增函数;当x>时,f′(x)<0,则f(x)在上是减函数.综上,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上是增函数;当a<0时,f(x)在上是增函数,上是减函数.(2)由题意知对任意a∈(-4,-2)及x∈[1,3]时,恒有ma-f(x)>a2成立,等价于ma-a2>f(x)max.因为a∈(-4,-2),所以<<<1,由(1)知：当a∈(-4,-2)时,f(x)在[1,3]上是减函数,所以f(x)max=f(1)=2a,所以ma-a2>2a,即m<a+2.因为a∈(-4,-2),所以-2<a+2<0,所以实数m的取值范围为m≤-2.关闭Word文档返回原板块。