系统辨识答案复习过程
系统辨识复习提纲(答案版)
系统辨识复习提纲1．什么是系统？什么是系统辨识？系统泛指由一群有关联的个体组成，根据预先编排好的规则工作，能完成个别元 件不能单独完成的工作的群体。
即一群有相互关联的个体组成的集合称为系统。
系统辩识就是：利用对未知系统的试验数据或在线运行数据（输入/输出数据）以及原理和原则建立系统的（数学）模型的科学。
2．什么是宽平稳随机过程，其遍历定理内容是什么？答：在数学中，平稳随机过程或者严平稳随机过程，又称狭义平稳过程，是在固定时间和位置的概率分布与所有时间和位置的概率分布相同的随机过程：即随机过程的统计特性不随时间的推移而变化。
这样，数学期望和方差这些参数也不随时间和位置变化。
如果平稳随机过程()t x de 各集和平均值等于相对应的时间平均值x =μx ，()()τ+t x t x =Rx ()τ,式中x 伪随机过程()t x 的时间平均值；x μ为与以为 概率密度有关的数字特征量集合均值；Rx ()τ为自相关函数。
则称()t x 是各态遍历的平稳随机过程。
3．简述噪声模型及其分类。
P130噪声模型：)()()(111---=z C z D z H分类：1) 自回归模型，简称AR 模型，其模型结构为 )()()(1k v k e z C =- 2) 平均滑动模型，简称MA 模型，其模型结构为)()()(1k v z D k e -=3)自回归平均滑动模型，简称ARMA 模型，其模型结构为))()()()(11k v z D k e z C --=4．白噪声与有色噪声的区别是什么？答：辨识所用的数据通常含有噪声。
如果这种噪声相关性较弱或者强度很小，则可近似将其视为白噪声。
白噪声过程是一种最简单的随机过程。
严格地说，它是一种均值为零、谱密度为非零常数的平稳随机过程，或者说它是由一系列不相关的随机变量组成的一种理想化随机过程。
白噪声过程没有“记忆性”，也就是说t 时刻的数值与t 时刻以前的过去值无关，也不影响t 时刻以后的将来值。
系统辨识复习资料
1请叙述系统辨识的基本原理（方框图），步骤以及基本方法定义：系统辨识就是从对系统进行观察和测量所获得的信息重提取系统数学模型的一种理论和方法。
辨识定义：辨识有三个要素——数据、模型类和准则。
辨识就是按照一个准则在一组模型类中选择一个与数据拟合得最好的模型辨识的三大要素：输入输出数据、模型类、等价准则基本原理：步骤：对一种给定的辨识方法，从实验设计到获得最终模型，一般要经历如下一些步骤：根据辨识的目的，利用先验知识，初步确定模型结构；采集数据；然后进行模型参数和结构辨识；最后经过验证获得最终模型。
基本方法：根据数学模型的形式：非参数辨识——经典辨识，脉冲响应、阶跃响应、频率响应、相关分析、谱分析法。
参数辨识——现代辨识方法（最小二乘法等）2随机语言的描述白噪声是最简单的随机过程，均值为零，谱密度为非零常数的平稳随机过程。
白噪声过程（一系列不相关的随机变量组成的理想化随机过程）相关函数： 谱密度： 白噪声序列，白噪声序列是白噪声过程的离散形式。
如果序列 满足： 相关函数： 则称为白噪声序列。
谱密度：M 序列是最长线性移位寄存器序列，是伪随机二位式序列的一种形式。
M 序列的循环周期 M 序列的可加性：所有M 序列都具有移位可加性辨识输入信号要求具有白噪声的统计特性 M 序列具有近似的白噪声性质，即 M 序列“净扰动”小，幅度、周期、易控制，实现简单。
3两种噪声模型的形式是什么 第一种含噪声的被辨识系统数学模型0011()()()()n ni i i i y k ay k i b u k i v k ===-+-+∑∑，式中,噪声序列v(k)通常假定为均值为零独立同分布的平稳随机序列,且与输入的序列u(k)彼此统计独立. 上式写成：0()()()T y k k v k ψθ=+。
其中，()()()()()()()=1212T k y k y k y k n u k u k u k n ψ------⎡⎤⎣⎦，，，，，，，)()(2τδστ=W R +∞<<∞-=ωσω2)(W S )}({kW ,2,1,0,)(2±±==l l R l W δσ2)()(σωω==∑∞-∞=-l l j W W e l R S ⎩⎨⎧≠=≈+=⎰0,00,Const )()(1)(0ττττT M dt t M t M T R bit )12(-=P P N第二种含噪声的被辨识系统数学模型：它与第一种的区别仅在于噪声的状况不同，第二种被辨识系统如下图所示：ξ(k)为噪声序列，假设为零均值独立同分布的平稳随即序列，且 ()()()y k x k k ξ=+ 由由以上两式可推导出0011()()()()n ni i i i y k a y k i b u k i v k ===-+-+∑∑，式中01()()()n i i v k k a k i ξξ==--∑4阐述最小二乘辨识方法的原理、数学模型以及推导数学模型：推导过程：含噪声的数学模型为：0011()()()()n ni i i i y k ay k i b u k i v k ===-+-+∑∑ 式中,噪声序列v(k)通常假定为均值为零独立同分布的平稳随机序列,且与输入的序列u(k)彼此统计独立. 上式写成：0()()()T y k k v k ψθ=+ 0θ是被辨识系统的真实参数向量(2n 维,n 为系统的阶数)。
系统辨识习题解答（最新）
系统辨识习题解答1-14、若一个过程的输入、输出关系可以用MA 模型描述，请将该过程的输入输出模型写成最小二乘格式。
提示：①提示：① MA MA 模型z k D z u k ()()()=-1②定义tt q )](,),1(),([)(,],,,[10n k u k u k u k d d d n --== h 解：因为MA 模型z k D z u k ()()()=-1，其中n n z d z d d z D ---+++= 1101)(，从而)()1()()(10n k u d k u d k u d k z n -++-+= 所以当定义t t q )](,),1(),([)(,],,,[10n k u k u k u k d d d n --== h ，则有最小二乘格式：)()()()()(0k e k h k e k h d k z ni i i +=+=å=q t，其中e(k)e(k)是误差项。
是误差项。
2-3、设)}({k e 是一个平稳的有色噪声序列，为了考虑这种噪声对辨识的影响，需要用一种模型来描述它。
请解释如何用白噪声和表示定理把)(k e 表示成AR 模型、MA 模型和ARMA 模型。
解：根据表示定理，在一定条件下，有色噪声e(k)可以看成是由白噪声v(k)驱动的线性环节的输出，该线性环节称为成形滤波器，其脉冲传递函数可写成)()()(111---=z C z D z H 即)()()()(11k v z D k e z C --=其中cc n n zc z c z C ---+++= 1111)(dd nn zd z d z D ---+++= 1111)(根据其结构，噪声模型可区分为以下三类：根据其结构，噪声模型可区分为以下三类：自回归模型（自回归模型（AR AR 模型）： )()()(1k v k e z C =- 平均滑动模型（平均滑动模型（MA MA 模型）： )()()(1k v z D k e -= 自回归平均滑去模型（自回归平均滑去模型（ARMA ARMA 模型）： )()()()(11k v z D k e z C --=3－4、根据离散Wiener-Hopf 方程，证明å-=D -D +=10221P N j P P P Mz j g N t a k g N t a N k R )(ˆ)(ˆ)()(解：由于M 序列是循环周期为t N P D ，12-=PP N ，t D 为M 序列移位脉冲周期，自相关函数近似于d 函数，a 为M 序列的幅度。
系统辨识考试题最终
系统辨识考试题最终2009-2010 学年第二学期研究生课程考核（读书报告、研究报告）考核科目：系统辨识理论及应用学生所在院：电信学院学生所在学科：信号与信息系统姓名：学号：1. 简述系统辨识的基本概念、定义和主要步骤（15分）答：系统辨识的概念：根据系统的输入输出时间函数来确定描述系统行为的数学模型。
对系统分析大的主要问题是根据输入时间函数和系统的特性来确定输出信号。
对系统进行控制的主要问题是根据系统的特性设计控制输入，使输出满足预先规定的要求。
而系统辨识所研究的问题恰好是这些问题的逆问题。
系统辨识的定义：根据系统的输入输出时间函数来确定描述系统行为的数学模型，是现代控制理论中的一个分支。
对系统进行分析的主要问题是根据输入时间函数和系统的特性来确定输出信号。
对系统进行控制的主要问题是根据系统的特性设计控制输入，使输出满足预先规定的要求。
系统辨识的主要步骤：系统辩识包括结构辩识和参数估计两个主要内容。
辩识的一般步骤如下：(1)明确目的和获取先验知识首先要尽可能多的获取关于辨识对象的先验知识和明确辩识的目的。
明确目的和掌握尽可能多的先验知识往往是辨识结果好坏的重要先决条件。
(2)实验设计实验设计主要包括以下六个方面内容：a.选择观测点；b.输入信号的形状和幅度（可持续激励条件）；c.采样间隔T0 ；d.开环和闭环辩识（闭环可辩识条件）；e.在线和离线辩识；f.测量数据的存储和预处理。
(3)模型结构的确定(4)参数估计（Parameter Estimation）(5)模型验证模型精度是否可以接受？否则需要重复实验，重复辩识。
系统辩识的内容和步骤见后示意框图。
辩识目的与先知识验实验设计模型结构的确定输入/输出数据获取参数估计模型验证最终模型2. 简述相关辨识的基本原理和基于二进制伪随机序列的相关辩识方法。
（15分）答：相关辨识的基本原理如下图所示。
g(t)延时τ1/Tπ×x(t)w(τ)x(t-τ)y(t) ×(t-τ)kg(t)x(t) —输入（白噪声）； y(t) —测量输出；w(τ) ω（t ）—随机干扰（不可测）基于二进制伪随机序列的相关辩识方法：x(t)用二位式周期性伪随机信号，积分时间大大缩短()()xy 0R () 1/T x t y(t )dt g()Tτττ=+?? ()s T T >二位式信号使得乘法运算简化。
系统辨识理论及应用(课后题答案第三章3.2、3.3)国防工业出版社
1、系统辨识——连续系统传递函数——脉冲传递函数function h=Continuous_system_transferFcn(N,G,dt)% N——系统阶数% G——采样数据（个数大于等于2N+1）% G为一维行向量% dt——采样间隔if nargin<3errordlg('not enough input varibles','error hint');elseg_NN=zeros(N,N);for i=1:Ng_NN(i,:)=G(i+1:i+1+N-1);endg_N=-G(1:N)';a=inv(g_NN)*g_N;%% x的求解syms xfor i=1:NX(i)=x^i;endf=X*a+1;x=double(solve(f));%%极点的求解p=log(x)/dt;c_NN=zeros(N,N);for i=1:Nc_NN(i,:)=x.^(i-1);endc_N=G(1:N)';%%增益求解k=inv(c_NN)*c_N;pkz=zeros(1,N);p=p';k=k';Continuous_TransferFcn=0;for i=1:NContinuous_TransferFcn=Continuous_TransferFcn+zpk(z(i),p(i),k(i)); endContinuous_TransferFcnendend例题 3.1(P32)>>G=[0 0.1924 0.2122 0.1762];>> N=2;>> dt=1;>> Continuous_system_transferFcn(N,G,dt) p =-0.4934-0.7085k =1.6280-1.6280Continuous_TransferFcn =0.35024 s---------------------(s+0.4934) (s+0.7085)Continuous-time zero/pole/gain model.习题3.2(P34)>> G=[0 0.196 0.443 0.624 0.748 0.831]; >> N=3;>> dt=0.2;>> Continuous_system_transferFcn(N,G,dt) p =-0.0633-1.7846-11.1860k =1.1249-1.33990.2150Continuous_TransferFcn =-0.08507 s (s-253.1)-------------------------------(s+0.06329) (s+1.785) (s+11.19) Continuous-time zero/pole/gain model.2 系统辨识——离散系统传递函数——脉冲传递函数function h=Discrete_system_transferFcn(N,G,dt)% N——系统阶数% G——采样数据（个数大于等于2N+1）% G为一维行向量% dt——采样间隔if nargin<3errordlg('not enough input varibles','error hint');elseg_NN=zeros(N,N);for i=1:Ng_NN(i,:)=G(i+1:i+1+N-1);endg_N=-G(N+2:2*N+1)';a1=inv(g_NN)*g_N;a=zeros(N,1);for j=1:Na(j,1)=a1(N+1-j,1);endB=zeros(N+1,N+1);B=diag(linspace(1,1,N+1));for i=1:N+1for j=1:N+1if (i==j)&(i<N+1)&(j<N+1)B(i+1:N+1,j)=a(1:N+1-i,1);endendendg__N=G(1:N+1)';b=B*g__N;abnum=b';den=[1 a'];Discrete_TransferFcn=tf(num,den,dt);Discrete_TransferFcnendend例题 3.2(P33)>> G=[0 7.157039 9.491077 8.563839 5.930506 2.845972 0.144611]; >> N=3;>> dt=0.05;>> Discrete_system_transferFcn(N,G,dt)a =-2.23001.7606-0.4950b =7.1570-6.4691-0.0009Discrete_TransferFcn =7.157 z^2 - 6.469 z - 0.0008933--------------------------------z^3 - 2.23 z^2 + 1.761 z - 0.495Sample time: 0.05 secondsDiscrete-time transfer function.习题3.3(P34)>> G=[10 6.989 4.711 3.136 2.137 1.559 1.252 1.096 0.938 0.860]; >> N=3;>> dt=0.1;>> Discrete_system_transferFcn(N,G,dt)a =-2.19191.7166-0.4794b =10.0000-14.92956.55810.0139Discrete_TransferFcn =10 z^3 - 14.93 z^2 + 6.558 z + 0.01389--------------------------------------z^3 - 2.192 z^2 + 1.717 z - 0.4794Sample time: 0.1 secondsDiscrete-time transfer function.。
系统辨识与仿真复习2021
如何判定最小二乘系统参数辨识过程中模型阶次n 是否合适？
给出自己的判定方法，例如从残差的分布
思考题
• 如果基于普通的最小二乘参数辨识的结果不理想，请问导致的原因 可能有哪些？有什么相应的解决方案？
• 1，数据饱和 • 2，有色噪声
请展开描述如何开展一个实际控制对象的建 模以及参数辨识的过程，可以举例说明
然估计就是使 p(zL | )|ˆML max 的参数估计，(显然这
个对函数数形本 式身为就是ln一p(z个L |概 )率TˆM)L， 0即然有后对p参(z数L |
)
T
0 或它的
ˆML
求导，求导的
目的是取大，并通过极大化这个函数获得模型的参数辨识。
而最小二乘法也是求导，但是为了使准则函数取小。
• 所谓数据饱和现象，就是随着时间的推移，采集的数据越来越多，新数据 提供的信息被旧数据所淹没。如果辨识算法对新旧数据给予相同的信任度， 那么随着从新数据中获得的信息量相对下降，算法会慢慢失去修正的能力。 这时，参数估计值可能还偏离真值较远，就无法更新了。对于一个时变过 程来说，它又将导致参数估计值不能跟踪时变参数的变化，也就是说，增 益矩阵也随着数据的长度的增加而逐渐趋于零，从而使得最小二乘算法失 去修正能力。另外，随着递推法在有限字长的计算机上实现时，每步都存 在着一个舍入误差，因此数据饱和后可致新的采样值不仅无法进行参数估 计，反而可能是所计算的正定矩阵P(k)不再是正定的，甚至失去对称性。 为了克服数据饱和现象，可以采用降低老数据信度的办法来修正算法
z(k ) z k h k ˆ k 1
它用来描述k时刻的输出预报误差。 残差是用来描述k时刻的输出偏差，定义为：
(k) z k h k ˆk
极大似然参数估计与最小二乘估计主要区别是什么？
08243 系统辩识基础
系统辨识基础复习资料（课程代码：08243）知识点汇总：1.所谓系统，按通常的意义去理解，就是按某种相互依赖关系联系在一起的客体的集合。
2.所谓系统辨识，利用对未知系统的试验数据或在线运行数据（输入/输出数据）以及原理和原则建立系统的（数学）模型的科学。
3.系统辨识的步骤：（1）先验知识和建模目的的依据；（2）实验设计；（3）结构辨识；（4）参数估计；（5）模型适用性检验。
4.系统的数学模型，描述系统输入与输出之间数量关系的数学表达式称为系统的数学模型。
5. 目前最流行的控制系统辅助工具是Matlab。
6.机理分析和系统辨识相结合建模方法也称为“灰箱问题”。
7.机理建模这种建模方法也称为“白箱问题”。
8.频谱覆盖宽、能量均匀分布是白噪声信号的特点。
9.最小二乘法辨识方法不属于系统辨识的经典方法。
10.关于多阶最小二乘法，描述错误的是计算简单，计算量小，只用五步基本的最小二乘法可获得较好的结果。
11.渐消记忆法是指对旧数据加上遗忘因子，按指数加权来使得旧数据的作用衰减。
12.脉冲响应数学模型属于非参数型。
13.检验模型的标准是模型的实际效果，检验应从不同的侧面检验其可靠性。
14.与周期测试信号相比，阶跃响应法不能够比较准确地反映对象的动态特性。
15.闭环系统前向通道的阶次不是可辨识的。
16.使辨识系统可被辨识的最低要求是辨识时间内系统的动态必须被输入信号持续激励。
17.观测数据内容不属于系统辨识的基本内容。
18.输入数据不属于系统辨识过程中的3大要素。
19.棕箱不属于按提供的实验信息分类的建模方法。
20.数学建模不属于现代控制论的三大支柱。
21.不属于传递函数辨识的时域方法的是时间图索法。
22.关于递推算法收敛性的结论错误的是递推辅助变量法收敛于非真值。
23.设A为n×n矩阵，B为n×m矩阵，C为m×n矩阵，并且A，A+BC和I+CA-1B都是非奇异矩阵，则下列等式横成立的是[A+BC] -1=A-1-A-1B[I+CA-1B]-1CA-1。
系统辨识实验答案相关分析法
实验一辩识离散线性系统脉冲响应特性的相关分析法实验步骤及问题1.首先采用批量算法，步骤如下：（1）首先产生M序列。
通过Matlab软件编程产生M序列，程序如下。
x1=1;x2=1;x3=1;x4=1;m=15;for i=1:my4=x4;y3=x3;y2=x2;y1=x1;x4=y3;x3=y2;x2=y1;x1=xor(y3,y4);if y4==0u(i)=-1;elseu(i)=y4;endendm=u%grapheri1=i;k=1:1:i1;subplot(3,1,1)plot(k,u,k,u,'rx')xlabel('k')ylabel('m序列')title('移位寄存器产生的m序列')产生的M序列如下图所示：（2）系统输出y (k) + a 1y (k-1) + a 2y (k-2) = b 1u (k-1-d) + b 2u (k-2-d)式中参数值为a1=-0.9,a2=0.5,b1=1.1,b2=0.5,d=0时产生的图形如下:（3）采用建议的系统参数a 和b ，观察冲激响应曲线的真值，并估计系统的整定时间Ts ；改变系统参数a 和b ，查看其对结果的影响。
利用批量算法求脉冲响应。
脉冲响应估计值为：1.1928 2.2057 2.6252 1.9906 1.2154 0.9030 0.6983 0.6772 0.8593 1.2405 1.4121 1.5508 1.5512 1.4251 1.3490 图形如下图所示：当改变a, b 参数值时，使5.0,1,5.0,12121===-=b b a a 。
此时的脉冲响应估计值为：1.2900 2.2734 2.7686 2.3477 1.6035 1.1689 0.8643 0.7402 0.8232 1.2314 1.4990 1.7188 1.7344 1.6143 1.5176 脉冲响应图形如下图所示：当改变参数值后，从图形中可以看出脉冲响应的图形形状没有大的改变，但是脉冲响应估计值发生变化。
系统辨识总复习
通过辨识企业运营过程中的关键因素和变量关系，可以建立企业经营决策模型，实现企业资源的优化配 置和经济效益的最大化。
06
系统辨识的挑战和未来发展
系统辨识面临的挑战
复杂系统建模
对于具有高度非线性、时变 性和不确定性的复杂系统， 如何建立准确的数学模型是 一个重要挑战。
数据质量和数量
系统辨识的未来发展趋势
基于深度学习的系统辨识
利用深度学习强大的特征提取和表达 能力，提高系统辨识的准确性和效率。
数据驱动与模型驱动相结合
结合数据驱动和模型驱动的优势，发 展混合辨识方法，提高辨识精度和实 用性。
多源信息融合
利用多源信息进行系统辨识，提高辨 识结果的鲁棒性和可靠性。
实时在线辨识
针对动态变化的系统，发展实时在线 辨识技术，实现系统的实时状态监测 和性能评估。
缺点
对于非线性系统辨识效果较差，且对噪声和异常 值敏感。
梯度校正法
原理
应用
优点
缺点
梯度校正法是一种迭代 优化算法，它通过计算 目标函数的梯度并按照 一定的步长进行更新来 寻找最优解。
在系统辨识中，梯度校 正法常用于非线性系统 的参数估计。通过定义 合适的目标函数，如误 差平方和或似然函数， 并使用梯度校正法进行 迭代优化，可以得到系 统的参数估计值。
设计实验
根据被辨识对象的特性和辨识目的，设计合适的实验，包括输入信号 的选择、采样时间的选择、数据长度的确定等。
系统辨识的步骤
采集数据
按照实验设计进行数据采集，获取被辨识对象的输入输出数据。
数据预处理
对采集到的数据进行预处理，如去除噪声、异常值处理等，以提高数 据质量。
选择模型结构和参数估计方法
江南大学《系统辨识》试卷部分答案
江南大学《系统辨识》实体部分参考答案一、【每小题2分，其中10小题，共计20分】假设a ，b ，c ，d ，i θ是未知参数，υ 是噪声，写出下列系统的辨识模型(1) 12()t y t t e θθ=++解答：12()()()[1,][,]t T T Te y t t t t ϕθϕθθθ⎧-+=⎪=⎨⎪=⎩(2) 12()2cos()t y t t e t θθ=+++解答：122cos()()()()[1,][,]t T T T e t y t t t t ϕθϕθθθ⎧--+=⎪=⎨⎪=⎩(3) 21231()()y t t t t θθυθ=+++解答： 2123()()()()[1,,]1[,,]T T Ty t t t t t t ϕθυϕθθθθ⎧⎪=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩(4) 123()()t y t t e t θθθυ=++++解答：132()()()()[1,][,]t T T T y t e t t t t ϕθυϕθθθθ⎧-=+⎪=⎨⎪=+⎩(5) ()()()()()()()()1212......n n y t ax t bx t cx t dx t x t x t t υ=+++++ 解答：()()()()()()()1212()()()[,,...,,...][,,...,,]T T n n T y t t v t t x t x t x t x t x t x t a b c d ϕθϕθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩二、【每个2分，共计20分】假设i θ是未知参数，υ是噪声，写出下列系统辨识模型(1) 123()1t y t t e θθθ=+++解答： 1231()()()[1,,][,,]T T t T y t t t t e ϕθϕθθθθ⎧-+=⎪=⎨⎪=⎩(2) 212()()()...()()m m y t u t u t u t t θθθυ=++++解答：212()()()()[(),(),...,()][,,...,]T T m T m y t t t t u t u t u t ϕθυϕθθθθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩(3) 1234()()(1)(2)(1)(2)()y t t y t y t u t u t t θθθθυ+-+-=-+-+ 解答：()12341234()()(1)(2)(1)(2)()()()()[(1),(2),1,(2)][,,,]T T T y t t y t y t u t u t t t t t y t y t u t u t θθθθυϕθυϕθθθθθ⎧=----+-+-+=+⎪=------⎨⎪=⎩(4) 123()sin(/)(1)(1)cos()()y t t y t u t t t θπθθυ+-=-++解答：()123123()()s i n (/)(1)(1)c o s ()()()()()[s i n (/)(1),1,c o s ()][,,]T T T y t t t y t u t t t t t t t y t u t t θπθθυϕθυϕπθθθθ⎧=--+-++=+⎪=---⎨⎪=⎩ (5) 2()()()2s i n (/)y t a u t b u t c d t π=+++ 解答： 2()()()[(),(),2,sin(/)][,,,]T T T y t t t u t u t t a b c d ϕθϕπθ⎧=⎪=⎨⎪=⎩三、【10分】设三阶MA 模型为)3()2()1()()(321-+-+-+=t v d t v d t v d t v t y .其中，{})(t y 是已知观测序列，{})(t v 是零均值方差为2σ的随机白噪声序列，其便是模型为 )()()(t v t t y T +=θϕ● 写出信息向量)(t ϕ和参数向量θ的表达式● 写出θ的递推增广最小二乘(RELS)辨识算法.解答：)()()(t v t t y T +=θϕ)]3(),2(),1([)(---=t v t v t v t T θ其中，T d d d ],,[321=θ算法如下：的RELS R -θ)(ˆ)1()(ˆ1)(ˆ)1()(ˆ)()()]1(ˆ)(ˆ)()[()1(ˆ)(ˆt t p t t t p t t p t L t t t y t L t t T ϕϕϕϕθϕθθ-+-==--+-= )1()](ˆ)(1[)(--=t p t t L t p T ϕI p p 0)0(= T T T T d d d t t t t t v t v t v t v t ]ˆˆˆ[)(ˆ)(ˆ)(ˆ)()()]3(ˆ),2(ˆ),1(ˆ[)(ˆ321=-=---=θθϕϕϕ四、证明题【每小题2分，其中5题，计10分】设n T R t t t t t p t p ∈≥+-=--)(,0)(),()()1()(211ϕϕϕϕ格式阶单位矩阵，证明以下为n I I p n n ,)0(=（1）)()(t t p ϕ )()1()(1)()1(t t p t t t p T ϕϕϕ-+-= （2）1)()()(≤t t p t T ϕϕ(3) )()()(1)()()()1(t t p t t t p t t p T ϕϕϕϕ-=-(4) )()1()()()()()(2t t p t p t t t p t T T ϕϕϕϕ-≤(5) 1()()(1)()T t t p t p t t ϕϕ∞=-∞∑(6) )()()(21t t p t t T ϕϕ∑∞=∞解答：(1)11()(1)()()T p t p t t t ϕϕ--=-+ ①对①式用矩阵求逆引理，则1()(1)(1)()[()(1)()]()(1)T T p t p t p t t I t p t t t p t ϕϕϕϕ-=---+-- 对上式两边乘)(t ϕ，可得)()1()(1)()1()()()1()()1()()(t t p t t t p t t t p t t p t t p T T ϕϕϕϕϕϕϕ-+----= )()1()(1)()1(t t p t t t p T ϕϕϕ-+-= （2）∵ )()1()(1)()1()()(t t p t t t p t t p T ϕϕϕϕ-+-=② 对②式左乘)(t Tϕ，可得)()1()(1)()1()()()()(t t p t t t p t t t p t T T T ϕϕϕϕϕϕ-+-= ∵0)1(≥-t p ∴1)()()(≤t t p t T ϕϕ （3）对①右乘p(t),可得)()()()()1(1t p t t t p t p IT ϕϕ+-=- ③ 面对③左乘)1(-t p ,右乘)(t ϕ，则有)()()()()1()()()()1(t t p t t t p t t p t t p T ϕϕϕϕϕ-+=- ④ 移向合并，可得)()()(1)()()()1(t t p t t t p t t p T ϕϕϕϕ-=-④对②式左乘(t)p(t) T ϕ，得)()1()(1)()1()()()()()(t t p t t t p t p t t t p t T T TT ϕϕϕϕϕϕ-+-= ∵0)1(≥-t p ∴0)()1()(≥-t t p t T ϕϕ∴)()1()()()()()(t t p t p t t t p t T T T ϕϕϕϕ-≤(1)()(1)()()()T p t p t p t t t p t ϕϕ-=+-∴11(1)()()()()(0)()T t i p t t t p t p t p p ϕϕ∞∞==-=∆=-∞∑∑ ⑤ ∵)()()1()(11t t t p t p T ϕϕ+-=--11(0)()()T t p t t ϕϕ∞-==+∑ ∴)0()(11--≥p t p∴when ∞→t ，则)()0(∞≥p p对⑤式两队取迹，得)]()1()()([)]()()()1([11t t p t p t tr t p t t t p tr i T i Tϕϕϕϕ-=-∑∑∞=∞= [(0)()]tr p p =-∞∞⑥∵)()1()()()()()(t t p t p t t t p t T T T ϕϕϕϕ-≤∴∞-≤∑∑∞=∞= )]()1()()()()()(11t t p t p t t t p t t T T t T ϕϕϕϕ。
系统辨识复习提纲答案版
系统辨识复习提纲1． 什么是系统？什么是系统辨识？答：系统泛指由一群有关联的个体组成，根据预先编排好的规则工作，能完成个别元 件不能单独完成的工作的群体。
即一群有相互关联的个体组成的集合称为系统。
系统辩识就是：利用对未知系统的试验数据或在线运行数据（输入/输出数据）以及原理和原则建立系统的（数学）模型的科学。
2． 什么是宽平稳随机过程，其遍历定理内容是什么？答：在数学中，平稳随机过程或者严平稳随机过程，又称狭义平稳过程，是在固定时间和位置的概率分布与所有时间和位置的概率分布相同的随机过程：即随机过程的统计特性不随时间的推移而变化。
这样，数学期望和方差这些参数也不随时间和位置变化。
如果平稳随机过程()t x de 各集和平均值等于相对应的时间平均值 x =μx ，()()+t x t x =Rx ()τ,式中x 伪随机过程()t x 的时间平均值；x μ为与以为 概率密度有关的数字特征量集合均值；Rx ()τ为自相关函数。
则称()t x 是各态遍历的平稳随机过程。
3． 简述噪声模型及其分类。
P130噪声模型：)()()(111---=z C z D z H 分类：1) 自回归模型，简称AR 模型，其模型结构为 )()()(1k v k e z C =- 2) 平均滑动模型，简称MA 模型，其模型结构为)()()(1k v z D k e -=3)自回归平均滑动模型，简称ARMA 模型，其模型结构为))()()()(11k v z D k e z C --=4． 白噪声与有色噪声的区别是什么？答：辨识所用的数据通常含有噪声。
如果这种噪声相关性较弱或者强度很小，则可近似将其视为白噪声。
白噪声过程是一种最简单的随机过程。
严格地说，它是一种均值为零、谱密度为非零常数的平稳随机过程，或者说它是由一系列不相关的随机变量组成的一种理想化随机过程。
白噪声过程没有“记忆性”，也就是说t 时刻的数值与t 时刻以前的过去值无关，也不影响t 时刻以后的将来值。
系统辨识复习题
一、概念题1. 请给系统辨识下个定义。
2. 如何获得适合辨识的观测数据？3. 系统辨识有哪些应用？4. 为何要将辨识数据标准化？如何标准化？5. 白噪声的定义是什么?6. 什么是M 序列?7. 线性系统的结构由哪些参量来描述? 8. 什么是预报误差模型? 二、计算与问答题9. 请用双线性变换将连续传递函数)2(1)(++=s s s s W 转换为离散传递函数(T=0.5s)。
10. 一被识系统的观测数据含有有色噪声E(k)。
拟选的参考模型为A(q -1)y(k)=B(q -1)u(k)+E(k)请问：1)用LS 能否得到A(q -1)和B(q -1)的无偏估计？为什么？2)如果将)()(ˆ)(ˆ)(ˆ11k u q Aq Bk y LSLS --=作为辅助变量，能否得到A(q -1)和B(q -1)的无偏估计？写出此时的计算公式。
11. 试述相关最小二乘二步法的适用条件和计算过程。
12. 已选择被识系统的参考模型为)()(1)()()()(111k w q C k u q A q B k y ---+=，其中w(k)为白色噪声。
为了进行递推辨识，请将模型改写为伪线性回归形式，并给出其中所有估计量的表达式。
13. 试述一种多步最小二乘法的适用条件和计算过程。
14. 已选择被识系统的参考模型为)()()()()()(111k w q D k u q A q B k y ---+=，其中w(k)为白色噪声。
为了进行递推辨识，请将模型改写为伪线性回归形式，并给出其中所有估计量的表达式。
15. 如果一个系统的部分参数已知（例如，A(q-1)y(k)=B(q-1)u(k)+w(k)中，A(q-1)已知，B(q-1)未知），你怎么去辨识其他未知参数？写出你的计算公式。
16. Matlab 中Rand 函数产生的随机数是不是白噪声?说出你的理由。
17. 逐步回归法辨识模型结构的原理是什么？18. 结构判断准则FPE 和AIC 的共同特点是什么？ 三、选择题1）要辨识一个实际系统，正确的获得辨识数据的过程是：A 在实验室做模拟仿真B 在被辨识系统处于正常工况时采集数据C 通过施加激励信号，使被辨识系统处于非正常工况时采集数据D 在实验室做数字仿真2）过滤观测数据中的噪声，正确的方法是：A 对系统输出数据做低通滤波B 对系统输入数据做低通滤波C 对系统输入、输出数据做不同的滤波D 对系统输入、输出数据做相同的滤波3) 最小二乘法的适用模型是：A 带白色噪声的线性回归模型；B 带白色噪声的连续传递函数模型；C 带白色噪声的离散传递函数模型；D 带白色噪声的伪线性回归模型；4)辨识结果是否好的标准是：A 模型阶次是小的；B 参数估计误差是小的；C 输出估计误差是小的；D 模型是稳定的；5)对于模型A(q -1)y(k)=B(q -1)u(k)+E(q -1)w(k)，A(q -1)、B(q -1)、E(q -1)均是多项式。
系统辨识答案
1：修改课本p61的程序，并画出相应的图形；u =-1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 1z =Columns 1 through 110 0 -1.5000 -3.7500 -4.0750 -3.9875 -2.6288 0.3481 1.8623 3.0498 2.7711Columns 12 through 162.5217 1.3429 -1.2509 -2.3164 -1.0989HL =0 0 -1.0000 -1.00001.5000 0 -1.0000 -1.00003.7500 1.5000 1.0000 -1.00004.0750 3.7500 -1.0000 1.0000 3.9875 4.0750 1.0000 -1.0000 2.6288 3.9875 1.0000 1.0000 -0.3481 2.6288 -1.0000 1.0000 -1.8623 -0.3481 1.0000 -1.0000 -3.0498 -1.8623 -1.0000 1.0000 -2.7711 -3.0498 1.0000 -1.0000 -2.5217 -2.7711 -1.0000 1.0000 -1.3429 -2.5217 -1.0000 -1.00001.2509 -1.3429 1.0000 -1.00002.3164 1.2509 1.0000 1.0000 ZL =-1.5000-3.7500-4.0750-3.9875-2.62880.34811.86233.04982.77112.52171.3429-1.2509-2.3164-1.0989c =-1.50000.70001.00000.5000a1 =-1.5000a2 =0.7000b1 =1b2 =0.50002：修改课本p63的程序，并画出相应的图形（V的取值范围为54-200）；V = [54.3000, 61.8000, 72.4000, 88.7000, 118.6000, 194.0000]τP = [61.2000, 49.5000, 37.6000, 28.4000, 19.2000, 10.1000]τZL = [4.1141, 3.9020, 3.6270, 3.3464, 2.9549, 2.3125]τHL =-3.9945 1.0000-4.1239 1.0000-4.2822 1.0000-4.4853 1.0000-4.7758 1.0000-5.2679 1.0000c4 =1.40429.6786alpha = 1.4042beita = 1.5972e+0043：表1中是在不同温度下测量同一热敏电阻的阻值，根据测70时的电阻量值确定该电阻的数学模型，并求出当温度在C︒值。
系统辨识作业及答案解析
一. 问答题1. 介绍系统辨识的步骤。
答：(1)先验知识和建模目的的依据：(2)实验设计：(3)结构辨识：(4)参数估计；(5) 模型适用性检验。
2. 考虑单输入单输岀随机系统，状态空间模型yW = [1小•伙)+咻)转换成ARMA 模型。
答：ARMA 模型的特点是u(k)=O.1 0x(k + 1) =x 伙).2 0. y 伙)=[1 \]x(k) + v(k)3. 设有一个五级移位寄存器，反馈取自第2级和第3级输出的模2加法和匚试说明:(1)其输出序列是什么？ (2)是否是M 序列？ (3)它与反馈取自第4级与第3级输出模2加法和所得的序列有何不同？ (4) 其逆M 序列是什么？答：(1)设设输入序列1 1111(1) 11111(9)01110 (17)00111(25)10011(2) 01111 (10)00111 (18)10011(26)01001(3) 00111 (11)10011 (19)01001(27)10100(4) 10011 (12)01001(20)10100(28)11010(5) 01001 (13)10100(21)11010(29)00111(6) 10100 (14)11010(22)11101(30)01110(7) 11010 (15)11101 (23)01110(31)00111(8) 11101 (16)01110(24)00111(32)10011其输出序列为：1 1 1 1 1 0 0 1 0 1(2) 不是M 序列⑶第4级与第3级模2相加结果(1) 11111(9)11001 (17)01111(25)01100皿+沪20 。
心)+ "伙)(2)01111 (10)01100(18)00111(26)10110(3)00111 (11)10110 (19)00011(27)01011(4)00011 (12)01011(20)10001(28)10101(5)10001 (13)10101(21)01000(29)11010(6)01000 (14)11010(22)00100(30)11101(7)00100 (15)11101 (23)10010(31)11110(8)10010 (16)11110(24)11001(32)01111不同点：第2级和第3级模二相加产生的序列，是从第4时刻开始，每隔7个时刻重复一次:第4级与第3级模2相加产生的,序列，是从第2时刻开始每隔15个时刻重复一次。
系统辨识复习题
系统辨识复习题系统辨识复习题系统辨识是一门研究如何从实验数据中提取系统动态特性的学科。
它在工程领域中有着广泛的应用，例如控制系统设计、信号处理、模型预测控制等。
在这篇文章中，我们将回顾一些系统辨识的基本概念和方法，并通过一些复习题来帮助读者巩固对这门学科的理解。
1. 什么是系统辨识？系统辨识是通过实验数据推断和确定系统的动态特性，包括系统的传递函数、状态空间模型等。
它是一种基于观测数据的反问题求解方法，通过对输入输出数据的分析，建立数学模型以描述系统的行为。
2. 为什么需要系统辨识？系统辨识在工程领域中具有重要的意义。
通过对系统进行辨识，我们可以了解系统的特性，从而设计出更好的控制策略。
此外，系统辨识还可以用于故障诊断、信号处理等方面的应用。
3. 系统辨识的基本步骤是什么？系统辨识的基本步骤包括：数据采集、模型结构选择、参数估计和模型验证。
首先，需要采集到系统的输入输出数据。
然后，根据数据的特点选择合适的模型结构，例如ARX模型、ARMA模型等。
接下来，通过最小二乘法等方法估计模型的参数。
最后，通过模型验证来评估模型的准确性和预测性能。
4. 什么是参数辨识？参数辨识是系统辨识中的一个重要环节，它是指通过实验数据估计系统模型的参数。
参数辨识的目标是找到一组参数，使得模型的输出与实际系统的输出之间的误差最小。
5. 常用的参数辨识方法有哪些？常用的参数辨识方法包括最小二乘法、极大似然估计、频域法等。
最小二乘法是一种常用的线性参数辨识方法，它通过最小化实际输出与模型输出之间的误差平方和来估计模型的参数。
极大似然估计是一种常用的非线性参数辨识方法，它通过最大化观测数据出现的概率来估计模型的参数。
频域法则是通过对输入输出数据进行频谱分析来估计模型的参数。
6. 如何评估辨识模型的准确性？评估辨识模型的准确性可以使用拟合优度指标，例如决定系数R^2、均方根误差RMSE等。
决定系数R^2反映了模型对数据的拟合程度，取值范围在0到1之间，值越接近1表示模型拟合效果越好。
系统辨识复习整理
系统辨识复习整理1.系统辨识的概念系统辨识是利⽤系统运⾏或实验过程中获取的系统输⼊-输出数据求得系统数学模型（传递函数）的⽅法和技术。
2.过程的概念通常泛指具有时间或空间上的跨度的对象。
具体的如：⼯程系统、⽣物系统或社会经济系统都可以称为过程3.模型的概念指过程运动规律的本质描述。
4.模型按照描述形式分类（1）直觉模型指过程的特性以⾮解析的形式直接存储在⼈脑中靠⼈的直觉控制过程地进⾏。
（2）物理模型实际过程的⼀种物理模拟。
（3）图表模型以图形式或表格的形式来表现过程的特性，也成为⾮参数模型。
（4）数学模型⽤数学结构的形式来反映实际过程的⾏为特点。
5.根据模型的特性，数学模型可以分为线性和⾮线性模型系统线性与关于参数空间线性本质线性与本质⾮线性动态和静态模型确定性和随机性模型宏观（积分⽅程）和微观（微分⽅程）模型等6.建⽴过程数学模型的两种主要⽅法（1）机理分析法通过分析过程的运动规律、应⽤⼀些已知的规律、定理和与原理建⽴过程的数学模型，这种⽅法也称为理论建模（2）测试法——辨识⽅法利⽤输⼊输出数据所提供的信息来建⽴过程的数学模型⽩箱——理论建模⿊箱——辨识建模灰箱——理论建模与辨识建模结合7.辨识的定义辨识有三个要素- 数据、模型类和准则，辨识就是按照⼀个准则在⼀组模型类中选择⼀个与数据拟合得最好的模型8.系统辨识的步骤（1）根据辨识⽬的，利⽤先验知识，初步确⽴模型结构（2）采集数据（3）进⾏模型参数和结构辨识（4）验证获得最终模型9. 随机过程⽆穷多个随机函数的总体称为随机过程。
两层含义：随机过程ξ(t)在任⼀时刻都是随机变量；随机过程ξ(t)是⼤量样本函数的集合。
10. 各种随机过程计算公式⼆维分布函数：⼆维概率密度函数：2212122121212(,;,)(,;,)F x x t t f x x t t x x ?=⼀维和n 维类推数学期望：反映了随机过程取值的集中位置)()()}({1t a x P x t E Ki i i ==∑=ξ（离散）)()()}({t a dx x xf t E ==∞∞-ξ（连续）⽅差：反映了随机过程的集中程度[]{}22[()]()()D t Et a t σξξ==-2[()()]()t a t f x dx ξ∞-∞=-?⾃协⽅差：⽤来衡量任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性 )]}()()][()({[),(221121t a t t a t E t t B --=ξξ11222121212[()][()](,;,)x a t x a t f x x t t dx dx ∞∞-∞-∞=--??⾃相关函数：∞∞-∞∞-==2121212212121),;,()]()([),(dx dx t t x x f x x t t E t t R ξξ⼆者关系：121212(,)(,)[()][()]B t t R t t E t E t ξξ=-?互协⽅差函数：)]}()()][()({[),(221121t a t t a t E t t B ηξξηηξ--=F 2(x 1,x 2; t 1,t 2)=P ｛ξ(t 1)≤x 1, ξ(t 2)≤x 2｝互相关函数：)]()([),(2121t t E t t R ηξξη=特别的：()0R ξητ=表⽰两个随机过程是不相关（正交的随机过程）11. 平稳随机过程对于任意的正整数n 和任意实数t 1，t 2，...，t n ，τ，随机过程ξ(t)的n 维概率密度函数满⾜12121212(,,,;,,,)(,,,;,,,)n n n n n n f x x x t t t f x x x t t t τττ=+++则称ξ(t)为平稳随机过程（严平稳随机过程或狭义平稳随机过程）若随机过程ξ(t)的数学期望和⽅差与时间⽆关，⾃相关函数仅是τ的函数，则称它为宽平稳随机过程或⼴义平稳随机过程。
合工大系统辨识作业及答案
系统辨识作业一、 简答题1 系统辨识的实验设计应包含那些内容？答：系统辨识实验设计应包含选择实验信号、采样时间、辨识时间、输入输出数据长度等。
2 判断下列是否为一个正确周期的M 序列，并说明原因。
111100010011011 111100********* 答：不是M 序列，因为M 序列的周期为15，由M 序列的性质知序列中“1”的状态应为8个 而第一个中有9个 所以不是M 序列3证明加权最小二乘估计的无偏性。
证明：加权最小二乘估计的解为：()1ˆTT WLSW WY θ-=ΦΦΦ 其中Φ为输入矩阵 W 为加权矩阵 Y 为输出矩阵。
()()11ˆ()T T WLS T TE W W e E W We θθθ--⎡⎤⎡⎤=ΦΦΦΦ+⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+ΦΦΦ⎢⎥⎣⎦由于Φ与e 统计独立，则()10T T E W We -⎡⎤ΦΦΦ=⎢⎥⎣⎦即ˆWLS E θθ⎡⎤=⎣⎦所以ˆWLSθ是无偏估计量，命题得证。
4比较最小二乘法、广义最小二乘法和辅助变量法的优缺点。
答：基本最小二乘对低噪声有效，参数估计值可很快收敛到真值，所需计算量相对较少，但对实际噪声估计有偏。
广义最小二乘法：计算量大，可能不收敛，可能是有偏估计。
但如果对噪声模型用随机逼近法，而对过程模型采取最小二乘法则获得较好形式的广义最小二乘法。
辅助变量法可以一次性完成计算，但是计算量也大，对初值选择很敏感。
5答：对于n 阶系统与n+1阶系统参数估计之间有如下的关系：对于n+1阶系统 ()()()11()()A z y k B z u k e k --=+设其待估参数为()011111...(1)(2)T T Tn n n n n b a b a b a b θθθ++⎡⎤⎡⎤+==⎣⎦⎣⎦ 则(1)()[()]T n A Y n θθθ=-Φ-Φ由题目知n=2时系统参数为准确值，则n=3时按照上式去计算，估算出的系数必远远偏离系统模型参数值。
系统辨识总复习共88页文档
w (k )
测量噪声
z(k )
输出量实测值
输入信号必须能够充分激励系统中的所有模态！
第二章 系统辨识常用输入信号
• 输入信号还要满足：
1. 输入的功率或幅度不宜过大，以免系统进入非线性区； 不能太小，否则信息量下降，影响辨识精度。
2. 输入的信号在工程上要容易实现，成本低！
3. 输入信号对系统的“净扰动”要小，应使正向扰动和负向扰 动
d(t) u(t) 被控对象 y(t)
f (x,u, )
系统的辨识问题： 已知 u 和 y, 求解 f 系统的分析问题： 给定u 和 f , 求解 y 系统的控制问题： 给定y 和 f , 求解 u
第一章 绪 论
1.2 辨识的定义、内容和步骤
● 辨识的定义
“辨识有三个要素——数据，模型类和准则。辨识就是按照一个 准则在一组模型类中选择一个与数据拟合得最好的模型”
第一章 绪 论
● 数学模型的分类
线性模型 动态模型 确定性模型 宏观模型
非线性模型 静态模型 随机性模型 微观模型
● 建立数学模型的基本方法
(1) 理论分析法：机理分析法或理论建模法 （白箱问题）
(2) 测试法：
u(t)
被控 y(t) 对象
（黑箱问题）
第一章 绪 论
*狭义的系统辨识问题指的就是采用测试法来建立系统的数学模型。
优点：估计模型参数的精度高。 缺点：需要储存大量数据，运算量大，计算时间长。
第一章 绪 论
● 在线辨识
获得一小部分数据后, 就应用最小二乘法等辨识方法对 这部分数据进行计算，求出模型参数的不太准确的估计值， 在获得新的数据后，用递推算法对以前的估计值进行修正， 得到新的估计值。
系统辨识基础复习
第一章 绪论（一）系统辨识的基本概念
1、系统的定义 所谓“系统”，按通常的意义去理解，就是按某种 相互依赖关系联系在一起的客体的集合。 2、模型的定义 3、什么是系统的数学模型？简述建立系统数学模型 的两类基本方法。 描述系统输入与输出之间数量关系的数学表达式称 为系统的数学模型。 教材p2 4、系统辨识的定义、三要素及实用定义？p2 5、请介绍系统辨识的步骤。p10
一、最小二乘递推算法 1、说明什么是最小二乘一次完成算法和递推 算法，试比较优缺点？p72 二、最小二乘实时算法 什么叫递推最小二乘法的“数据饱和”现象？ 采用什么算法可以解决这种现象？说明这些 算法的基本思想。P74-77
第四章 最小二乘法（三）有色噪声情 形下的最小二乘法
1、广义最小二乘法 2、增广最小二乘法 3、辅助变量法 4、多级最小二乘法
第七章 阶次的辨识 1、损失函数检验法及算例 2、F检验法 3、脉冲响应函数定阶法
第七章 阶次的辨识
• 用损失函数检验法对某系统进行阶次的辨识，根 据所观测到的系统的输入输出数据，计算出系统 模型的阶次与相应的残差平方和关系如表1，则 系统模型的阶次为 阶。
表 模型阶数 残差平方和 系统残差平方和与模型阶次关系表 1 2 3 4 5 228.336 122.552 21.668 21.551 21.541
第四章 最小二乘法（三）有色噪声情 形下的最小二乘法
1、若模型噪声为有色噪声，则可采用的辨识方法 为 、 、 和 。 2、广义最小二乘法针对噪声模型为的系统模型，这一点上与 相同。 3、在辅助变量法中，辅助变量的选取需满足的两个条件 是 ，且 。 4、增广最小二乘法是 的一种简单推广，只是扩 充了参数向量和数据向量的维数，它适用于噪声模型为 的系统模型。 5、系统辨识的三要素指 、 和 。 6、解决递推最小二乘法“数据饱和”现象可采 用 、 和 。
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系统辨识答案1：修改课本p61的程序，并画出相应的图形；u =-1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 1z =Columns 1 through 110 0 -1.5000 -3.7500 -4.0750 -3.9875 -2.6288 0.3481 1.86233.0498 2.7711Columns 12 through 162.5217 1.3429 -1.2509 -2.3164 -1.0989HL =0 0 -1.0000 -1.00001.5000 0 -1.0000 -1.00003.7500 1.5000 1.0000 -1.00004.0750 3.7500 -1.0000 1.0000 3.9875 4.0750 1.0000 -1.0000 2.6288 3.9875 1.0000 1.0000 -0.3481 2.6288 -1.0000 1.0000 -1.8623 -0.3481 1.0000 -1.0000 -3.0498 -1.8623 -1.0000 1.0000 -2.7711 -3.0498 1.0000 -1.0000 -2.5217 -2.7711 -1.0000 1.0000 -1.3429 -2.5217 -1.0000 -1.00001.2509 -1.3429 1.0000 -1.00002.3164 1.2509 1.0000 1.0000 ZL =-1.5000-3.7500-4.0750-3.9875-2.62880.34811.86233.04982.77112.52171.3429-1.2509-2.3164-1.0989c =-1.50000.70001.00000.5000a1 =-1.5000a2 =0.7000b1 =1b2 =0.50002：修改课本p63的程序，并画出相应的图形（V的取值范围为54-200）；V = [54.3000, 61.8000, 72.4000, 88.7000, 118.6000, 194.0000]τP = [61.2000, 49.5000, 37.6000, 28.4000, 19.2000, 10.1000]τZL = [4.1141, 3.9020, 3.6270, 3.3464, 2.9549, 2.3125]τHL =-3.9945 1.0000-4.1239 1.0000-4.2822 1.0000-4.4853 1.0000-4.7758 1.0000-5.2679 1.0000c4 =1.40429.6786alpha = 1.4042beita = 1.5972e+0043：表1中是在不同温度下测量同一热敏电阻的阻值，根据测70时的电量值确定该电阻的数学模型，并求出当温度在C︒阻值。
表1 热敏电阻的测量值要求用递推最小二乘求解： （a ）设观测模型为利用头两个数据给出⎪⎩⎪⎨⎧===-0L T L L T L L z H P θH H P P 000)0()0(ˆ)()()0(10 （b ）写出最小二乘的递推公式； （c ）利用Matlab 计算T k a k b k )](),([)(ˆ=θ并画出相应的图形。
解：首先写成[][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+==a b t a b h h a bt k k z k k 1)()(12θτhθL L H z =T L L z z ],...,[1=z ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1 (112)1L L t t t H ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=a b θ的形式。
利用头两个数据给出最小二乘的初值：,126120.50⎥⎦⎤⎢⎣⎡=L H ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=7907650L z 这样可以算得⎪⎩⎪⎨⎧===-0L T L L T L L z H P θH H P P 000)0()0(ˆ)()()0(10 i i v bt a y ++=求得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡==671.8182 4.5455 )0()0(ˆ36.2397 1.5372- 1.5372- 0.0661)()0(000L T L L z H P θP P 注意对于手工计算，可以直接用2阶矩阵求逆公式⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-a c b d bc ad d c b a 11有了初值，可以写出递推公式：T 1032]1010 980 942 910 873 850 826 [=L z⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 1.0000 95.7000 1.0000 88.0000 1.000080.0000 1.0000 73.0000 1.0000 61.0000 1.0000 51.0000 1.0000 40.0000 1.000032.7000 L H ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1)(k t k h 这样可以根据公式进行计算。
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡Λ+---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡Λ+--=--+-=-)(1)()1()()()()1()()(1)()1()()()1()()]1(ˆ)()()[()1(ˆ)(ˆ1k k k k k k k k k k k k k k k k k k z k k k h P h K K P P h P h h P K h K ττττθθθ 算得：P(1) =0.0134 -0.3536 -0.3536 9.6685 P(2) =0.0047 -0.1397 -0.1397 4.4118P(3) =0.0017 -0.0594 -0.0594 2.2224 P(4) =0.0008 -0.0327 -0.0327 1.4264 P(5) =0.0005 -0.0198 -0.0198 1.0025 P(6) =0.0003 -0.0143 -0.0143 0.8103 P(7) =0.0002 -0.0110 -0.0110 0.6863 P(8) =0.0002 -0.0088 -0.0088 0.5986Tk ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=702.7620 702.9683 705.3110 708.4127 702.9463 698.6728 675.2295 661.3131 3.4344 3.4292 3.3668 3.2778 3.4443 3.5878 4.4470 5.0134 )(ˆθ进而可以画出相应的图形编程：H_L0=[20.5 1;26 1];z_L0=[765;790];P_L0=inv(H_L0'*H_L0);Theta_0=P_L0*H_L0'*z_L0;vv=[32.7 40 51 61 73 80 88 95.7];HL=[vv;ones(1,8)]';z_L=[826 850 873 910 942 980 1010 1032];L=8;N=2;P=zeros(N,N,L);KK=zeros(N,L);P_k=P_L0;Theta=zeros(N,L)alpha_k=0;h=zeros(1,N); h=HL(k,:)';alpha_k=h'*P_k*h+1; KK(:,k)=P_k*h/alpha_k;Theta(:,k)=Theta_0+KK(:,k)*(z_L(k)-h'*Theta_0);P(:,:,k)=P_k-KK(:,k)*KK(:,k)'*alpha_k;第三章 补充习题4：叙述并推导递推最小二乘递推公示（pp64-66）。
在2n 阶“持续激励”输入信号的作用下，加权最小二乘法的解为L L L L L z H H H ΛΛθττ1WLS )(ˆ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑∑=-=L i L i i z i i i i i 111)()()()()()(h h h ΛΛτ记k 时刻的参数估计值为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑∑=-=k i k i i z i i i i i k 111)()()()()()()(ˆh h h ΛΛτθ令∑==ki i h i h i k R 1)()()()(τΛ，并利用R h ()∃()()()()k k i i z i i k --==-∑1111θΛ，则有⎪⎩⎪⎨⎧+-=--+-=-)()()()1()()]1(ˆ)()()[()()()1(ˆ)(ˆT1k k k k k k k k z k k k k k h h R R h h R ΛΛθθθτ 又设R R ()()k kk =1，可导出如下的加权最小二乘估计递推算法，记作WRLS(Weighted Recursive Least Squares algorithm)，⎪⎩⎪⎨⎧--+-=--+-=-)]1()()()([1)1()()]1(ˆ)()()[()()(1)1(ˆ)(ˆ1k k k k k k k k k k z k k k k k k R h h R R h h R ττθθθΛΛ 置[]11111)()()()1()()()()(1)(---=-Λ+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡Λ==∑k k k k i i i k k k k i ττh h P h h R P ，并利用矩阵反演公式111111)()(------+-=+A C C A C B C A A CBC A τττ ，令增益矩阵为：)()()()(k k k k Λ=h P K那么算法将演变成下面所示的另一种递推算法形式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=--+-=-)1()]()([)()(1)()1()()()1()()]1(ˆ)()()[()1(ˆ)(ˆ1k k k k k k k k k k k k k k z k k k P h K P h P h h P K h K τττθθθI Λ 第四章1：叙述课本定理4.1并推导之（pp92-94）；确定性问题的梯度校正参数辨识方法的参数估计递推公式为：)](ˆ)()()[()()(ˆ)1(ˆk k k y k k k k θR θθτh h -+=+ 并且权矩阵)(k R 选取如下形式：)](,),(),([)()(21k k k diag k c k N ΛΛΛ=ΛR如果权矩阵满足以下条件：1. ),2,1(,)(0N i k Λ=Λ≤Λ≤Λ<2. N 个)(k i Λ中存在一个)(k m Λ，使得)()1()()()1()(k k k k k k i i i m m m ΛΛΛΛΛΛ+-≥+-或者)()1()()1(k k k k i i m m ΛΛΛΛ+≤+ 3. ∑=<<Ni iik h k k c 12)()(2)(0Λ4. )(ˆ)(~0k k θθθ-=与)(k h 不正交 则不管参数估计值的初始值如何选择，参数估计值总是全局一致渐近收敛的，即有：)(ˆlim θθ=∞→k k 定理的证明：① 建立关于参数估计偏差)(~k θ的离散时间运动方程。