(完整word版)等差数列与等比数列知识点类比表

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等差数列与等比数列的综合【知识点的知识】1、等差数列的性质（1）若公差d>0,则为递增等差数列；若公差d<0,则为递减等差数列；若公差d=0,则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）加，则%+（〃？-〃）d；（4）若s,/,p,g€N*,且s+Z=p+q,则公+4=即+劭,其中的，/，的是数列中的项,特别地，当s+f=2p时，有as+at=2cip；（5）若数列｛斯｝,»〃｝均是等差数列，则数列佃劭+幼〃｝仍为等差数列，其中〃7,%均为常数.（6）斯,a n-ifa n-2f,•,，e m仍为等差数列,公差为-d.（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即20+1=斯+斯+2，2a t1=-川+斯+小，（〃2阳+1，n,〃氏N'）（8）0〃，©〃+%,Clm+2k，4加+3”，…仍为等差数列，公差为Rd（首项不一定选）.2、等比数列的性质.（1）通项公式的推广：a n=a m*q nn\（〃，mEN*）.（2）若｛〃“｝为等比数列，且4+/=机+〃，（左，/,〃?，〃€N*）,则四（3）若｛如｝，｛仇｝（项数相同）是等比数列,则｛入｝（杉0）,⑷，｛斯出｝,仍是等比数列.a1>0(a[<01或，1=｛斯｝是递增数列;q>l0<q<l减数列；夕=1。

0｝是常数列；qV0=｛a〃｝是摆动数列. ai>0 (<0或｛〃〃｝是递0<q<l [q>l（4）单调性:第1页共1页。

等差数列与等比数列例题和知识点梳理

等差数列及其前n 项和等比数列及其前n 项和等差数列及其前n 项和1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．(7)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差为12d .5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值．概念方法微思考1．“a ，A ，b 是等差数列”是“A ＝a ＋b2”的什么条件？提示充要条件．2．等差数列的前n 项和S n 是项数n 的二次函数吗？提示不一定．当公差d ＝0时，S n ＝na 1，不是关于n 的二次函数．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) 题组二教材改编2．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A ．31 B ．32 C ．33 D ．343．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________.题组三易错自纠4．一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取值范围是( ) A ．d >875B ．d <325C.875<d <325D.875<d ≤3255．(多选)设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论正确的是( ) A ．d <0 B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值6．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝____时，{a n }的前n 项和最大．7．一物体从1 960 m 的高空降落，如果第1秒降落4.90 m ，以后每秒比前一秒多降落9.80 m ，那么经过________秒落到地面．等差数列基本量的运算1．(2018·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5等于( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．122．(2019·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8n D ．S n ＝12n 2－2n3．(2019·江苏)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________．4．(2019·全国Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝________.等差数列的判定与证明例1 (2020·日照模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，a n ＋1＝1－14a n ，b n ＝22a n －1，其中n ∈N *.求证：数列{b n }是等差数列，并求出数列{a n }的通项公式．跟踪训练1 在数列{a n }中，a 1＝2，a n 是1与a n a n ＋1的等差中项．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列，并求{}a n 的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 2a n 的前n 项和S n .等差数列性质的应用命题点1 等差数列项的性质例2 (2019·江西师范大学附属中学模拟)已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，2＋a 5＝a 6＋a 3，则S 7等于( ) A ．2 B ．7 C ．14 D ．28命题点2 等差数列前n 项和的性质例3 (1)(2020·漳州质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 5＝7，S 10＝21，则S 15等于( )A ．35B ．42C ．49D ．63(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 018，S 2 0192 019－S 2 0132 013＝6，则S 2 020＝________.跟踪训练2 (1)已知等差数列{a n }、等差数列{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝n ＋2n ＋1，则a 6b 8的值是( )A.1316B.1314C.1116D.1115(2)(2019·莆田质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13>0，S 14<0，则S n 取最大值时n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．131．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 5＝3a 3，则a 3等于( ) A ．－2 B ．0 C ．3 D ．62．(2019·晋城模拟)记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 6＝16，S 5＝35，则{a n }的公差为( ) A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－33．在等差数列{a n }中，已知a 1 011＝1，则该数列前2 021项的和S 2 021等于( ) A ．2 020 B ．2 021 C ．4 040 D ．4 0424．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，给出下列结论：①a 10＝0；②S 10最小；③S 7＝S 12；④S 20＝0. 其中一定正确的结论是( )A ．①②B ．①③④C ．①③D ．①②④5．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( )A ．65B ．176C ．183D ．1846．(2019·宁夏银川一中月考)在等差数列{a n }中，若a 10a 9<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0成立的正整数n 的最大值是( ) A ．15 B ．16 C ．17 D ．147．(多选)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，下列选项正确的有( ) A ．a 10＝0 B ．S 10最小 C ．S 7＝S 12 D ．S 20＝08．(多选)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则( ) A ．a n ＝－12n－1B ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，1n －1－1n，n ≥2，n ∈N *C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 为等差数列D.1S 1＋1S 2＋…＋1S 100＝－5 0509．(2019·全国Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 3＝5，a 7＝13，则S 10＝________.10．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝3n －12n ＋3，则a 10b 10＝________.11．已知数列{a n }满足(a n ＋1－1)(a n －1)＝3(a n －a n ＋1)，a 1＝2，令b n ＝1a n －1.(1)证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．12．已知等差数列{a n }的公差d >0，设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2S 3＝36. (1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65.13．(2020·大连模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，b n ＝2n a且b 1＋b 3＝17，b 2＋b 4＝68，则S 10等于( )A ．90B ．100C ．110D ．12014．已知数列{a n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n n 均为等差数列(n ∈N *)，且a 1＝2，则a 20＝________.15．(2020·黑龙江省哈尔滨市第三中学模拟)已知x 2＋y 2＝4，在这两个实数x ，y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为( ) A ．210 B.1210 C.10 D.321016．记m ＝d 1a 1＋d 2a 2＋…＋d n a nn ，若{}d n 是等差数列，则称m 为数列{a n }的“d n 等差均值”；若{}d n 是等比数列，则称m 为数列{a n }的“d n 等比均值”．已知数列{a n }的“2n －1等差均值”为2，数列{b n }的“3n－1等比均值”为3.记c n ＝2a n＋k log 3b n ，数列{}c n 的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n 都有S n ≤S 6，求实数k 的取值范围．等比数列及其前n 项和1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇒a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1. (2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1).3．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k. (3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n bn (λ≠0)仍然是等比数列．(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .4．在等比数列{a n }中，若S n 为其前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列(n 为偶数且q ＝－1除外)．概念方法微思考1．将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列的公比有何关系？提示仍然是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数．2．任意两个实数都有等比中项吗？提示不是．只有同号的两个非零实数才有等比中项． 3．“b 2＝ac ”是“a ，b ，c ”成等比数列的什么条件？提示必要不充分条件．因为b 2＝ac 时不一定有a ，b ，c 成等比数列，比如a ＝0，b ＝0，c ＝1.但a ，b ，c 成等比数列一定有b 2＝ac .题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (2)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( ) (3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( ) 题组二教材改编2．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝______.3．公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11题组三易错自纠4．(多选)已知数列{a n }是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n B ．log 2a 2nC ．{a n ＋a n ＋1}D ．{a n ＋a n ＋1＋a n ＋2}5．若1，a 1，a 2，4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值为________．6．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________.7．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB ，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________秒，该病毒占据内存8 GB.(1 GB ＝210 MB)等比数列基本量的运算1．(2020·晋城模拟)设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则公比q 等于( )A ．5B ．4C ．3D ．22．(2019·全国Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3等于( )A ．16B ．8C ．4D ．23．(2019·全国Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，S 3＝34，则S 4＝________.4．(2018·全国Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m .等比数列的判定与证明例1 (2019·四川省名校联盟模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2S n ＝－a n ＋n (n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12为等比数列；(2)求数列{a n －1}的前n 项和T n .跟踪训练1 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．等比数列性质的应用例2 (1)(2019·黑龙江省大庆第一中学模拟)在各项不为零的等差数列{a n }中，2a 2 019－a 22 020＋2a 2 021＝0，数列{b n }是等比数列，且b 2 020＝a 2 020，则log 2(b 2 019·b 2 021)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8(2)(2020·长春质检)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 6＝30，S 9＝70，则S 3＝________.跟踪训练2 (1)(2019·安徽省江淮十校月考)已知等比数列{a n }的公比q ＝－12，该数列前9项的乘积为1，则a 1等于( ) A ．8 B ．16 C ．32 D ．64(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3S 6＝89，则a n ＋1a n －a n －1＝________(n ≥2，且n ∈N *)．对于数列通项公式的求解，除了我们已经学习的方法以外，根据所给递推公式的特点，还有以下几种构造方式．构造法1 形如a n ＋1＝ca n ＋d (c ≠0，其中a 1＝a )型 (1)若c ＝1，数列{a n }为等差数列； (2)若d ＝0，数列{a n }为等比数列；(3)若c ≠1且d ≠0，数列{a n }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．例1 在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则通项a n ＝________.构造法2 形如 a n ＋1＝pa n ＋q ·p n ＋1(p ≠0,1，q ≠0)型a n ＋1＝pa n ＋q ·p n ＋1(p ≠0,1，q ≠0)的求解方法是两端同时除以p n ＋1，即得a n ＋1pn ＋1－a n p n ＝q ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n p n 为等差数列．例2 (1)已知正项数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1，则a n 等于( ) A ．n ·2n －1 B ．(n ＋1)·2n C ．n ·2n ＋1 D ．(n －1)·2n(2)(2019·武汉市二中月考)已知正项数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3×5n ，则数列{a n }的通项a n 等于( ) A ．－3×2n －1 B ．3×2n －1 C ．5n ＋3×2n －1 D ．5n －3×2n －1构造法3 相邻项的差为特殊数列(形如a n ＋1＝pa n ＋qa n －1，其中a 1＝a ，a 2＝b 型) 可化为a n ＋1－x 1a n ＝x 2(a n －x 1a n －1)，其中x 1，x 2是方程x 2－px －q ＝0的两根．例3 数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝23a n ＋1＋13a n ，求数列{a n }的通项公式．构造法4 倒数为特殊数列(形如a n ＝pa n －1ra n －1＋s 型)例4 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式．1．(2020·韶关模拟)若等比数列{a n }的各项均为正数，a 2＝3,4a 23＝a 1a 7，则a 5等于( ) A.34 B.38 C ．12 D ．242．等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1＋r ，则r 的值为( ) A.13 B ．－13 C.19 D ．－193．(2019·天津市河西区月考)设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知递增的等比数列{a n }中，a 2＝6，a 1＋1，a 2＋2，a 3成等差数列，则该数列的前6项和S 6等于( )A ．93B ．189 C.18916 D ．3785．(2020·永州模拟)设等比数列{a n }的公比为q ，则下列结论正确的是( ) A ．数列{a n a n ＋1}是公比为q 的等比数列 B ．数列{a n ＋a n ＋1}是公比为q 的等比数列 C ．数列{a n －a n ＋1}是公比为q 的等比数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列6．若正项等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝22n (n ∈N *)，则a 6－a 5的值是( ) A. 2 B ．－162 C ．2 D ．1627．(多选)在等比数列{a n }中，a 5＝4，a 7＝16，则a 6可以为( ) A ．8 B ．12 C ．－8 D ．－128．(多选)在等比数列{a n }中，公比为q ，其前n 项积为T n ，并且满足a 1＞1，a 99·a 100－1＞0，a 99－1a 100－1＜0，下列选项中，结论正确的是( ) A ．0＜q ＜1 B ．a 99·a 101－1＜0C ．T 100的值是T n 中最大的D ．使T n ＞1成立的最大自然数n 等于1989．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2 020，a 2＋a 4＝－2a 3，则S 2 021＝________.10.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________．11．(2018·全国Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn .(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．12．(2019·淄博模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝34，S n ＝S n －1＋a n －1＋12(n ∈N *且n ≥2)，数列{b n }满足：b 1＝－374，且3b n －b n －1＝n ＋1(n ∈N *且n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n －a n }为等比数列．13．各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1 成等比数列，且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为________．14．已知在等比数列{a n }中，a n >0，a 22＋a 24＝900－2a 1a 5，a 5＝9a 3，则a 2 020的个位数字是____．15．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2，….设第n 次“扩展”后得到的数列为1，x 1，x 2，…，x t ，2，并记a n ＝log 2(1·x 1·x 2·…·x t ·2)，其中t ＝2n －1，n ∈N *，求数列{a n }的通项公式．16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为3，公差为2的等差数列，若b n ＝2n a ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求使得S n ＋T n ≥268成立的n 的最小值．。

等差数列与等比数列知识点类比表

2
an1 q(常数) an
an1 an1 an2 (n 2)
n
3.通项公式法： a n A q (A,q 为不为 0 的常数) 4.前 n 项和公式法：s n B q n B ( q 0, q 1 B0 )
设元技巧
三数等差： a d , a, a d 四数等差： a 3d , a d , a d , a 3d
一、等差数列与等比数列知识点类比表等差数列定义式通项公式中项前 n 项和等比数列
an1 an d ( d 为常数, n 2 )
an a1 (n 1)d 或 an am (n m)d
a, b, c 成等差数列的充要条件： 2b a c
Hale Waihona Puke an1 q(q 0, 且为常数,n ≥ 2) an
① an am qnm
重要性质
②等和性：若 m n p q（ m 、n 、 p 、q * ）， ②等积性：若mn p q （m、， q * ） n 、p 、则 am an ap aq 则 a a a a
m n p q
2 ③若 2n p q （ n 、p 、，则 2an ap aq ． ③若 2n p q q * ）（ n 、p 、，则 an q * ） ap aq
an a1qn1 （ a1 , q 0 ）或 an amqnm
a, b, c 成等比数列的充要条件： b2 ac
n a1 an ； 2 n n 1 d ② Sn na1 2 ① an am (n m)d
① Sn
na 1 (q 1) S n a 1 q n a a q 1 1 n (q 1) 1 q 1 q

等比数列与等差数列

等比数列与等差数列
等比数列是指数列中的每一项与它前一项的比值相等的数列。

比如：1，2，4，8，16，32，64, ... 就是一个以2为比例的等比数列。

等差数列是指数列中的每一项与它前一项的差值相等的数列。

比如：1，3，5，7，9，11，13, ... 就是一个以2为公差的等差数列。

等比数列和等差数列都是常见的数列，它们都有一定的规律，可以使用数学公式来表示。

等比数列可以使用通项公式an = a1 * r^(n-1)来表示，其中a1为首项，r为公比，n为项数。

等差数列可以使用通项公式an = a1 + (n-1)d来表示，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

这两种数列在数学中有很多应用，比如在金融领域中用于计算复利或利率，还可以用于计算物理中的运动问题，以及在计算机算法中的循环计算等。

三、数列的分类word精品文档19页

第七章数列有人说：“一张纸厚0.1毫米，若将它对折30次，其高度就会超过珠穆郎玛峰。

从理论上讲这是真的吗？当我们学完本章后，就可以得出明确的答案。

同学们一定听说过德国伟大的数学家高斯9岁时的一件事吧。

他的老师为了惩罚几个淘气的学生出了一道数学题：计算从1到100的自然数之和。

老师认为，他们算这道题需很长时间，可是他刚坐下，马上就有一个学生举手说：“老师，我做完了。

”他就是高斯。

他用的方法正是我们这章将要学习的数列的知识。

§7.1 数列的概念— 数列的定义一组按正整数顺序排列的一列数a 1,a 2,a 3…….叫数列。

记作{a n }。

例如：（1）大于3且小于11的自然数排成一列： 4，5，6，7，8，9，10；（2）正整数的倒数排成一列： 1，21,31 ,41……..;（3）-1和0相间的一列数：-1，0，-1，0，-1，0，……..（4）无穷多个1排列成一列数是：1，1，1，1，1,……数列{a n }里的每一个数叫数列的一个项,按它所在位值分别把a 1叫第一项，又叫首项。

a 2叫第二项。

依此类推，a n 叫做第n 项。

又叫做数列的通项。

二数列的通项公式如果{a n }的通项a n 与项数n 之间的函数关系可以用解析式表示，这个解析式叫做数列的通项公式例1根据通项公式，求出下面数列{a n }的前5项（1）{a n }=1+n n（2）（-1）n. n 解：（1）在通项公式中依次取n=1、2、3、4、5得到数列的前5项为21，32，43，54，65（2）在通项公式中依次取n=1、2、3、4、5得到数列的前5项为-1，2，-3，4，-5.例2写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下面各列数（1）1，3，5，7（2）2122-，3132-，4142-，5152-（3），321⋅，431⋅-，541⋅解（1）数列的前4项1，3，5，7都是序号的2倍数减1，所以通项公式为a n =2 n-1（2）数列的前4项2122-，3132-，4142-，5152-的分母等于序号加1，分子都等于分母的平方减去1，所以通项公式为a n =[（n+1）²-1]/（n+1）= n （n+2）/（n+1）（3）数列的前4项211⋅-，321⋅，431⋅-，541⋅的绝对值都等于序号与序号加上1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式为a n =)1()1(+-n n n.三数列的分类1．按项数分类：项数有限的数列叫有穷数列项；项数无限的数列叫无穷数列如：1，3，5，7，9为有穷数列1，3，5，7，9……为无穷数列2．按相邻两项数值的大小分类有：递增数列，递减数列，摆动数列及常数列。

高中数学等比数列知识点总结归纳

高中数学等比数列知识点总结归纳高中数学中等比数列是必考之一，等比数列是高中数学的一个重要知识点也是一个难点，很多人在学完等差数列之后再学等比数列就更容易相互混淆了。

下面是小编为大家整理的关于高中数学等比数列知识点总结，希望对您有所帮助!等比数列公式性质知识点1.等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an+1/an=q(n∈N_，q 为非零常数).(2)等比中项：如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即：G 是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2=ab.2.等比数列的有关公式(1)通项公式：an=a1qn-1.3.等比数列{an}的常用性质(1)在等比数列{an}中，若m+n=p+q=2r(m，n，p，q，r∈N_)，则am·an=ap·aq=a.特别地，a1an=a2an-1=a3an-2=….(2)在公比为q的等比数列{an}中，数列am，am+k，am+2k，am+3k，…仍是等比数列，公比为qk;数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍是等比数列(此时q≠-1);an=amqn-m.4.等比数列的特征(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的'，公比q 也是非零常数.(2)由an+1=qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.5.等比数列的前n项和Sn(1)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用.(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q=1与q≠1分类讨论，防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题失误.等比数列知识点1.等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。

有关系：注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以G2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。

(完整版)等差等比数列知识点总结

1.等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数d 叫做等差数列的公差，即d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；.2.等差中项：（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a3.等差数列的通项公式：一般地，如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，可以得到等差数列的通项公式为：()d n a a n 11-+=推广： d m n a a m n )(-+=．从而mn a a d mn --=； 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 5．等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．（3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（1）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.(2) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列（3）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和 1.当项数为偶数n 2时，()121135212n n n n a a S a a a a na --+=+++⋅⋅⋅+==奇 ()22246212n n n n a a S a a a a na ++=+++⋅⋅⋅+==偶 ()11=n n n n S S na na n a a nd ++-=-=-偶奇 11n n n n S na a S na a ++==奇偶2、当项数为奇数12+n 时，则21(21)(1)1n S S S n a S n a S n S S a S na S n +⎧=+=+=+⎧+⎪⎪⇒⇒=⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩n+1n+1奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶（其中a n+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）． 1、等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A = 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式：（1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==-- 11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数）5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列（3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列 6、等比数列的证明方法：依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质：（1）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ⋅=⋅。

(完整word版)等差数列-简单难度-讲义

等差数列知识讲解一、等差数列概念概念:如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示．即等差数列有递推公式：*1()n n a a d n N +-=∈．二、等差数列的通项公式及推导1.等差数列的通项公式为：*1(1)n a a n d n N =+-∈，． 2。

等差数列的公式的推导：累加法3。

等差数列通项公式的推导：2132121n n n n a a d a a da a d a a d----=-=-=-=，将这1n -个式子的等号两边分别相加得：1(1)n a a n d -=-，即1(1)n a a n d =+-．由等差数列的通项公式易知：()n m a a n m d -=-．三、等差中项定义：如果三个数x A y ，，组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，即2x yA += 四、等差数列的常用性质1.在等差数列中，若p q m n +=+，则p q m n a a a a +=+，该性质推广到三项，即m ，n ,t ,p ，q ，*s N ∈，m n s p q t ++=+++p q s m n t a a a a a a ⇒+=++．推广到一般形式，只要两边项数一样，且下标和相等即可．2。

若{}{},n n a b 均为等差数列,且公差分别为12,d d ，则数列{}{}{},,n n n n pa a q a b +±也为等差数列，且公差分别为1112,,pd d d d ±．3。

如果等差数列{}n a 的公差为d ，则{}0n d a >⇔是递增数列;{}0n d a <⇔是递减数列；{}=0n d a ⇔ 是常数列．4.在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即2,,n n m n m a a a ++，．．．．,为等差数列，公差为md ．五、等差数列的前n 项和及推导过程1.等差数列前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+． 2.等差数列前n 项和公式的推导:倒序相加1111()(2)[(1)]n S a a d a d a n d =+++++++-，把项的顺序反过来，可将n S 写成：()(2)[(1)]n n n n n S a a d a d a n d =+-+-++--,将这两式相加得：11112()()()()n n n n n S a a a a a a n a a =++++++=+,从而得到等差数列的前n 项和公式1()2n n n a a S +=，又1(1)n a a n d =+-，得11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+．六、等差数列前n 项和的性质1.在等差数列的前n 项和也构成一个等差数列,即n S ，232,n n n n S S S S --，．．．为等列，公差为2n d ． 2。

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高一数学期末复习专题解三角形3. 正、余玄定理的解题类型: (1) 两类正弦定理解三角形的问题： ① 已知两角和任意一边，求其他的两边及一角 ② 已知两角和其中一边的对角，求其他边角 (2) 两类余弦定理解三角形的问题： ①已知三边求三角.②已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角4. 判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.5. 解题中利用 ABC 中：ABC，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如:sin(A B) si nC,cos(A B) cosC, tan (A B) tanC,.A B C AB .CAB C sincos —,cos sin ,ta ncot .2 2 2 2 2 26、三角公式： (1) 倍角公式： (2) 两角和、差公式：1正弦定理：a b c2Rsin AsinB sin Ca:b:c sin A:sin B:sin C .cos A2a b 2c 2bc cos A2.余弦定理： b22a c 2 2ac cos B 或 cos B2cb 2a 2ba cos Ccos Cb 22c 2a2bc2 22ac b2ac222ba c2ab数列基础知识点和方法归纳1.等差数列的定义与性质(1)定义：a n 1 and （ d 为常数），通项公式： a n ai n 1 d(2)等差中项： x , A y 成等差数列 2A x y (3) 前n 项和： S na 1 a n nnnn n 1d 122(4)性质： a n 是等差数列① 任意两项间的关系式； a n = a m + （n — m ）d （m 、n € N ） ② 若 m n p q ，贝U a m a . a p a q ;③ S n , S 2n S n , S 3n S 2n ……仍为等差数列，公差为n 'd ; ④ 若三个成等差数列，可设为a d , a, a d⑤ 若a n , b n 是等差数列，且前n 项和分别为S n , T n ，则空乩b m T 2m 1⑥a n 为等差数列 S n an 2 bn （ a,b 为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）S n 的最值可求二次函数S n an 2 bn 的最值；或者求出a .中的正、负分界项,a o即：当a ,, d 0，解不等式组时o 可得§达到最大值时的n值.a o当a ,0, d 0,由“ 可得S n 达到最小值时的n 值.a n 1 0⑦项数为偶数2n 的等差数列a n 有n(a n a n 1)6, a . 1为中间两项)⑧ 项数为奇数2n 1的等差数列a n 有:S偶S奇nd ,a n 1S2n 1 (2n 1)a n(a n为中间项),a n ,32.等比数列的定义与性质(1) 定义：也a nq （ q 为常数，q 0),(2) (3) (4) 通项公式: 等比中项: 前n 项和: 性质： a n a nX 、S nG 、y 成等比数列na(q 1) a 11 q n 1 q(q 1)是等比数列 ①任意两项间的关系: —m - na m = a n . q②若 m n p q ，贝U a . a p- a qG 2 xy ,或 G 、、xy（要注意！）(m 、n € N ).③S n , S 2nS n , S sn S ?n ……仍为等比数列，公比为ql注意：由S n 求a n 时应注意什么?n 1 时，a 1 S i ； n 2 时，a nS n S n 13.求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法如：数列a n , 1 12a 1 尹2 夬n 2n 5, 求 an解：n 1时, n 2时，為 2 1 / 1尹214 2n①-②得：寺a n2，…a n 14(n 1) 2n1( n 2)5& 1a n 1, 3注意到a n 1 Sn 1 S n ，代入得S n［练习］数列a n 满足S n a 1 n 2 时，a nS n S n 14，求 a n又S 4 , • S n 是等比数列，S n 4(2)叠乘法如：数列a n 中, 3,3a nn求a n n 1解: a2a1 a3a2 a n 1又a1 3, —a n(3)等差型递推公式由a n a n 1 f(n).a o，求a n，用迭加法a2 a i a3 a2 f(2)f⑶两边相加得an a i f (2) f (3) f (n)--a n a0f(2)f(3)……［练习］数列a n中，a11 (4)等比型递推公式a n ca n 1d( c、d为常数，可转化为等比数列 ,设a n x令(c 1)x d , x d5・■ i c 1d d n 1…a n a1cc 1 c 1(5)倒数法如：a11,an 12a n求a n 2由已知得：1a n 21a n 12a n2••• 1为等差数列，11 ,a n a1 a n a n…a n a n a n 1 f (n)f(n)a n 3n1a n 2，求a n a n(3n1),a n丄a n公差为1,a n是首项为a ia n—,c为公比的等比数列c 11a n(附：公式法、利用a n S(nS n S n1)1 (n2)、累加法、累乘法•构造等差或等比3换元法)4.求数列前n 项和的常用方法(1) 公式法 (2)裂项相消法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项da 1a n 1(3)错位相减法由 S n qS n ，求 S n , 其中q 为b n 的公比.(4)分组求和法所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

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数列高考知识点大扫描数列基本概念数列是一种特殊函数，对于数列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质，依据这些性质将数列分类：依定义域分为：有穷数列、无穷数列；依值域分为：有界数列和无界数列；依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。

数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）；数列通项：()n a f n =2、等差数列1、定义当n N ∈,且2n ≥ 时，总有 1,()n n a a d d +-=常，d 叫公差。

2、通项公式 1(1)n a a n d =+-1）、从函数角度看 1()n a dn a d =+-是n 的一次函数，其图象是以点 1(1,)a 为端点, 斜率为d 斜线上一些孤立点。

2）、从变形角度看 (1)()n n a a n d =+--, 即可从两个不同方向认识同一数列，公差为相反数。

又11(1),(1)n m a a n d a a m d =+-=+-,相减得 ()n m a a n m d -=-，即()n m a a n m d =+-. 若 n>m ，则以 m a 为第一项，n a 是第n-m+1项，公差为d ；若n<m ，则 m a 以为第一项时，n a 是第m-n+1项，公差为-d.3）、从发展的角度看若{}n a 是等差数列，则12(2)p q a a a p q d +=++- ，12(2)m n a a a m n d +=++-, 因此有如下命题：在等差数列中，若2m n p q r +=+= , 则2m n p q r a a a a a +=+=.3、前n 项和公式由 1211,n n n n n S a a a S a a a -=+++=+++L L ，相加得 12n n a a S n +=，还可表示为1(1),(0)2n n n S na d d -=+≠，是n 的二次函数。

【专题训练】数列(等差、等比) 知识点总结及题型归纳

基本量法求数列的通项公式11.复习等差数列(1)定义: 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常．数．，那么这个数列就叫等差数列, 1(2)n n a a d n --=≥d a a n n =1--d a a n n =2-1--（由定义，累加法推得通项公式）…… d a a =12-(2)通项公式1(1)n a a n d =+-(3)性质: 在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；(4)前项和公式d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=等比数列(1)定义 : 如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，1n a +：(0)n a q q =≠ (2)通项公式11-⋅=n n q a a(3)性质:在等比数列{}n a 中，q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+，则若),,,(*∈N q p n m 其中(4)前项和公式)1(11)1()1(111≠⎪⎩⎪⎨⎧--=--==q q qa a qq a q na S n nn例1（2015年全国卷I ） n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知20,243n n n n a a a S >+=+，（1）求{}n a 的通项公式：变式1：（湖北省武汉部分重点中学2020届高三起点考试）已知数列{a n }是等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 3＝3，S 3＝9 （1）求数列{a n }的通项公式；变式2：已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，其前n 项和为n S ，若2822a a +=，且4712,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；例2已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2n n S a n =-.（1）证明数列{1n a +}是等比数列,并求数列{}n a 的通项公式；变式1：（湖北省黄冈中学2019届高三数学模拟试题1）已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝14，a 3＋a 5＝564.(1)求数列{a n }的通项公式；变式3：已知数列{}n a ，{}n b ，其中1,511-==b a ，且满足)3(2111---=n n n b a a ，)3(2111----=n n n b a b ，2*,≥∈n N n .（1）求证：数列{}n n b a -为等比数列，并求数列{a n }、{b n }的通项公式；例3 .已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式；变式（浙江省名校联盟2020届高三第一次联考试题）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且13542a a a ++=，39a +是1a ，5a 的等差中项．数列{}n b的通项公式nn b =Νn *∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；数列（等差、等比）知识点清单一、数列的概念1.数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。

(完整版)等差数列及等比数列的性质总结

等差数列与等比数列总结一、等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用小写字母d 表示；等差中项，如果2ba A +=，那么A 叫做a 与b 的等差中项；如果三个数成等差数列，那么等差中项等于另两项的算术平均数；等差数列}{a n 的通项公式：）N n （d ）1-n （a a 1n *∈+=；等差数列}{a n 的递推公式：）2n （d a a 1n n ≥+=-；等差数列}{a n 的前n 项和公式：n S =2n）a a （n 1⨯+=d 2）1-n （n na 1⨯+= 中12na n ）2d-a （n ）2d （=⨯+⨯；【等差数列的性质】 1、d ）1-n （a a m n +=【说明】n 11m a d ）1-n （a d ）m -n （d ）1-m （a d ）m -n （a =+=++=+ 2、若m 、n 、p 、q *∈N ，且m+n=p+q ，则有q p n m a a a a +=+【说明】q p 11n m a a ）2-q p （a 2d ）2-n m （a 2a a +=++=++=+3、md 成等差数列，公差为、a 、a 、a m 2k m k k ⋯⋯++ 【说明】md a -a a -a m k m 2k k m k =⋯⋯==+++4、k ）1-n （nk k 2k 3k k 2k S -S S -S ，S -S ，S ⋯⋯成等差数列，公差为d n 2【说明】d n ）a a a （-）a a a （S -）S -S （2n 21n 22n 1n n n n 2=+⋯⋯+++⋯⋯++=++，）a a a （-）a a a （）S -S （-）S -S （n 22n 1n n 32n 21n 2n 2n n 2n 3+⋯⋯+++⋯⋯++=++++⋯⋯=，d n 25、数列}{a n 成等差数列Bn An S ，a a a 2，q pn a 2n 1n 1-n n n +=+=+=⇔+【说明】）d -a （dn d ）1-n （a a 1m n +=+=，n S =d 2）1-n （n na 1⨯+= n ）2d -a （n ）2d （12⨯+⨯ 6、若数列}{a n 是等差数列，则}{c n a为等比数列，c>0【说明】d a-a a ac c cc 1-n n 1-n n ==7、偶奇n 偶奇n S S S 表示偶数项的和，则S 表示奇数项的和，S 项和，n 是前S += 当n 为偶数时，d 2nS -S 奇偶⨯=当n 为奇数时，n a S 中n ⨯=，中偶奇a S -S =，1-n 1n S S 偶奇+=【说明】当n 为偶数时，d 2n）a -a （）a -a （）a -a （S -S 123-n 2-n 1-n n 奇偶⨯=+⋯⋯++= 当n 为奇数时，中11-n n 231偶奇a d 21-n a ）a -a （）a -a （a S -S =+=+⋯⋯++=，，1-n 1n 21-n ）a a （2121n ）a a （21S S 1-n 2n 1偶奇+=⨯++⨯+=n a S S -S S S 中n 偶奇偶奇==+8、设1-2n 1-n 2n n n n n n T Sb a 项和，则n 的前}{b 、}{a 分别表示等差数列T 和S = 【说明】nn 中中1-2n 1-n 2b ab ）1-n 2（a ）1-n 2（T S == 【例】等差数列1515n n n n n n b a，求1-n 31n 5T S ，若T 和S 项和分别为n 的前}{b 、}{a += 9、1-d ，0a ），则q p （p a ，q a q p q p ==≠==+q --p a ），则q p （p S ，q S q p q p =≠==+ 0a ），则q p （S S q p q p =≠=+【说明】0q -q qd a a ，1-d q -p d ）q -p （a -a p q p q p ==+==⇒==+ 2-a a p -q 2）q -p ）（a a （）a a （S S p 1q p 1q p 1q q p =+⇒=+=+⋯⋯+=-+++q --p 2）q p ）（a a （2）q p ）（a a （S p 1q q p 1q p =++=++=+++二、等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比常用小写字母q 表示；等比中项，如果ab G 2=，那么G 叫做a 与b 的等差中项；如果三个数成等比数列，那么等差中项的平方等于另两项的积；等比数列}{a n 的通项公式：）N n （q a a 1-n 1n *∈=；等比数列}{a n 的递推公式：）2n （q a a 1n n ≥=-；等比数列}{a n 的前n 项和公式：n S =⎪⎩⎪⎨⎧≠==1q ，q -1q a -a q -1）q -1（a 1q ，na n 1n 11 【等比数列的性质】 1、m -n m n q a a ⋅=【说明】n 1-n 1m -n 1-m 1m -n m a q a q q a q a =⋅=⋅⋅=⋅ 2、若m 、n 、k 、l *∈N ，且l k n m a a a a ，l k n m ⋅=⋅⋅=⋅【说明】l k 2-l k 212-n m 21n m a a q a q a a a ⋅===⋅++ 3、m m 2k m k k q ，成等比数列，公比为、a 、a 、a ⋯⋯++ 【说明】m mk m 2k k m k q a aa a ==+++ 4、k ）1-n （nk k 23k k k 2k S -S S -S 、S -S 、S ⋯⋯成等比数列，公比为nq【说明】n n21n22n 1n n n n 2q a a a a a a S S -S =+⋯⋯+++⋯⋯++=++ 5、数列}{a n 成等比数列）1-q （A S ，q p a ，a a a nn n n 1n 1-n 2n =⋅=⋅=⇔+【说明】）1-q （1-q a q -1）q -1（a S ，q q a qa a n 1n1n n 11-n 1n ==⋅=⋅= 6、若数列}{a n 是等比数列，则0a 为等差数列，}a {log n n c > 【说明】q log a a log a log -a log c 1-n nc1-n c n c == 7、偶奇n 偶奇n S S S 表示偶数项的和，则S 表示奇数项的和，S 项和，n 是前S +=；若n 为偶数时，q a a 奇偶=；当n 为奇数时，q S a -S 偶1奇=；【说明】当n 为偶数时，q a a a a a a a a 1-n 41n42奇偶=+⋯⋯+++⋯⋯++=；当n 为奇数时，q a a a a a a S a -S 1-n 42n 53偶1奇=+⋯⋯+++⋯⋯++=； 8、设偶奇n 偶奇n T T T 表示偶数项的积，则T 表示奇数项的积，T 项积，n 是前T ⋅=当n 为偶数时，n中奇中偶奇2n奇偶a T ，a T T 为奇数时，n ；当q T T ===；【说明】当n 为偶数时，2n1-n 42n42奇偶q a a a a a a T T =⋅⋯⋯⋅⋅⋅⋯⋯⋅⋅=；当n 为奇数时，中1-n 42n421偶奇a a a a a a a a T T =⋅⋯⋯⋅⋅⋅⋯⋯⋅⋅=； n中1-n 2n 1n 21奇a a a a a a a a T =⋯⋯⋅⋅=⋅⋯⋯⋅⋅=。

知识点归纳总结等差数列

知识点归纳总结1．等差数列2. 等比数列【例题精讲】【1】在等差数列}{n a 中，已知1684=+a a ，则该列前11项和=11S （）A.58B.88C.143D.176答案：B【2】已知}{n a 为等差数列，若π=++951a a a ，则)cos(82a a +的值为（）A.21-B.23-C.21 D.23 答案：B【3】已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且3184=S S ,则=168S S （） A.81B.31 C.91 D.103 答案：C【4】已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且2211=S ,则2113a a +等于（）A.2B.4C.8D.16答案：C【5】已知等差数列}{n a 中，8,242==a a ，若13-=n a n b ，则2013b 等于（）A.2011B.2012C.2013D.2014答案：D【6】已知}{n a 为等差数列，99,105642531=++=++a a a a a a ，以n S 表示}{n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（）A.21B.20C.19D.18答案：B【7】已知}{n a 为等差数列，若167-<a a ，且它们的前n 项和n S 有最大值，则使0>n S 的n 的最大值为答案：11【8】设n S 是公差为)0(≠d d 的无穷等差数列}{n a 的前n 项和，则下列命题错误的是（）A.若0<d ，则数列}{n S 有最大项B.若数列}{n S 有最大项，则0<dC.若数列}{n S 是递增数列，则对任意*N n ∈，均有0>n S D.若对任意*N n ∈，均有0>n S ，则有数列}{n S 是递增数列答案：C【10】公比为q 的等比数列}{n a 的各项为正数，且7log ,1610122==a a a q ，则公比=q 答案：2【11】设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若20103,201032011201220122013+=+=S a S a ，则公比=q （）A.4B.41或C.2D.21或答案：A【12】在等比数列}{n a 中，已知24,21,64a a 成等比数列且6453=⋅a a ，则}{n a 的前8项和为 . 答案：85255或【13】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =，则96SS =（）A.2B.37 C.38D.3答案：B【14】已知{}n a 是首项为1的等比数列，n S 是{}n a 的前项和，且369S S =，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为（）A.1631 B.51631或 C.5815或 D.815 答案：A【15】公比不为1的等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且321,,3a a a --成等差数列，若11=a ，则=4S （） A.20- B.0C.7D.40答案：A【16】各项都是正数的等比数列}{n a ，若132,21,a a a 成等差数列，则5443a a a a ++的值是（） A.215+ B.215-C.251- D.215+或215- 答案：B【17】已知正项等比数列}{n a 满足12011201220134,2a a a a a a n m =⋅+=且，则)11(6nm +的最小值为 . 答案：4递推数列：数列}{n a 的任一项n a 与它前一项1-n a （或它的前几项）间关系用一个公式表示.专题：数列通项公式及求和一. 常规数列的通项与求和方法：定义法（利用等差数列、等比数列的通项与求和公式来求）1. 等差数列：<1>通项公式：*1(1)(),,n m a a n d a n m d n m N =+-=+-∈<2>求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+ 2. 等比数列：<1>通项公式：11,0n n mn m a a q a q q --=⋅=⋅≠<2>求和公式：11(1)(1)(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩3. 一些常见的数列求和公式222221(1)(21)1236nk n n n k n =++=++++=∑2333331(1)1232nk n n kn =+⎡⎤=++++=⎢⎥⎣⎦∑【例1】已知等差数列{}n a 满足466,10a a ==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 各项均为正数，其前n 项和n T ，若3232,7,n a b T T =+=求.【例2】已知{}n a 是等比数列，12,a =且134,1,a a a +成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .二．非常规数列的通项公式常用通项公式的求法有四种：求法1：累加法适用于1()n n a a f n +=+型.特点：递推公式关于相邻两项的关系且系数、幂数都相同.【例3】已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式.【例4】已知数列{}n a 满足*11221,2,,2n n n a a a a a n N +++===∈ （1）令1n n n b a a +=-，证明：{}n b 是等比数列；（2）求{}n a 通项公式.求法2：累乘法适用于1()n n a a f n +=⋅型特点：递推公式是关于相邻两项商的关系，且商()f n 是可求数列.【例6】已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a .求法3：公式法现象：题目中出现n a 与n S 的关系式. 解决：利用1n n n a S S -=-求解.【例7】已知数列{}n a 满足：*1()n n S a n N =-∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.求n a .【同类演练】例15第一问求法4：构造法类型1：构造等比数列凡是出现关于后项和前项的一次递推形式的现象都可以构造等比. 现象1：1,(,)n n a pa q p q +=+为常数【例8】已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式.【同类演练】例18第一问现象2：1(,nn n a pa q p q +=+为常数)【例9】已知数列{}n a 中，111511,()632n n n a a a ++==+，求n a .【同类演练】例17第一问现象3：1(),n n a pa f n p +=+为常数【例10】已知数列{}n a 满足21123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式.现象4：21,(,)n n n a pa qa p q ++=+为常数【例11】已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈求n a .类型2：构造等差数列题目中出现后项与前项分式递推形式可以构造等差. 解决办法：取倒数【例12】已知在数列{}n a 中*111,()21nn n a a a n N a +==∈+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若13521211,(1)(1)(1)(1)n n n nP b b b b b a -=+=++++，求证：n P >三．非常规数列的求和常用的求和方法一般有四种：方法1：裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间项可以相互抵消，从而求得其和. 常见的拆项公式有：（1）111)1(1+-=+n n n n ；（2）1111()()n n k k n n k =-++（3）)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n（4（5）!)!1(!n n n n -+=⋅ （6）11log log log n n n na a a a ++=- 、【例13】（2011新课标）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和【例14】等差数列{}n a 中211a =，32624a a a =+-，其前n 项和为n S .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足111n n b S +=-，其前n 项和为n T ，求证：*3()4n T n N <∈.【例15】已知数列{}n a 的前n 项和*1,1,(1)()n n n S a S na n n n N ==--∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前前n 项和为n T .方法2：错位相减法适用于由一个等差数列和一个等比数列构成对应项之积构成的数列求和.即{}{}1122,,.n n n n n a b a b a b a b S +++等差等比求的和解题步骤：（1）1122n n n S a b a b a b =+++，将式子两边同时乘以{}n b 的公比q ，得到n qS .（2）用n n qS S -（3）利用等比数列求和公式求解.【例16】（2011辽宁理）已知等差数列{}n a 满足2680,10a a a =+=-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列1{}2nn a -的前n 项和.【例17】已知数列{}n a 满足*1112,2()2n n n a a a n N +==-∈（1）求证：数列{}2nn a 是等差数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .【例18】已知数列{}n a 的前n 项和2*4()n S n n n N =+∈，数列{}n b 满足111,21n n b b b +==+.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设(3)(1)4n n n a b c -+=，求数列{}n c 的前n 项和n T ..方法3：分组求和法适用于可以将数列适当拆开，分为几个等差，等比或常见的数列，先分别求和，然后在合并，形如：{},{}{}n n n n a b a b +其中为等差数列，为等比数列【例19】已知数列等差数列{}n a 满足：5269,14a a a =+=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ..方法4：倒序相加法如果一个数列{}n a ，与首末位置等“距离”的两项和相等，那么这个数列可以采用倒序来求和.一般使用于组合数列与等差数列求和.【例20】已知a xy =lg ，n n n n n y y x y x x S lg lg lg lg 221++++=-- （0>x 、0>y ）求n S已知递增等比数列}{n a ，公比为q ，满足28432=++a a a ，且23+a 是42,a a 的等差中项.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若n n n n n b b b b S a a b ++++== 32121,log ，求使5021>⋅++n n n S 成立的正整数n 的最小值.已知数列{}n a 为等差数列，n a 为正整数，其前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且13a =，11b =，数列{}n a b 是公比为64的等比数列，2264b S =（1）求n a ，n b ；（2）求证：1211134+++<n S S S在数列}{n a 中，n n n n a n a a 21)11(,111+++==+ （1）设na b n n =，求数列}{n b 的通项公式；（2）求数列}{n a 的前n 项和nS已知数列}{n a 的前n 项和 ,3,2,1,4232=+⋅-=n a S n n n ．(1) 求数列}{n a 的通项公式；(2) 设n T 为数列}4{-n S 的前n 项和，求⋅n T。

(完整word)1-2-1-1等差数列的认识与公式运用.学生版.

(完整word)1-2-1-1等差数列的认识与公式运用.学生版.本讲知识点属于计算板块的部分,难度较三年级学到的该内容稍大，最突出一点就是把公式用字母表示。

要求学生熟记等差数列三个公式，并在公式中找出对应的各个量进行计算.一、等差数列的定义⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法定义:从第二项起，每一项都比前一项大（或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．譬如：2、5、8、11、14、17、20、从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列100、95、90、85、80、从第二项起,每一项比前一项小5 ,递减数列⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。

项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；公差:等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示；和 :一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示．二、等差数列的相关公式(1)三个重要的公式① 通项公式：递增数列:末项=首项+(项数1-）⨯公差，11n a a n d =+-⨯（）递减数列:末项=首项-（项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（）回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白末项其实就是首项加上（末项与首项的）间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（）② 项数公式:项数=（末项-首项）÷公差+1由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（）（若1n a a >）;11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >）．找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的．知识点拨教学目标等差数列的认识与公式运用(完整word)1-2-1-1等差数列的认识与公式运用.学生版.譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ，分析：配组：(4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15)、、（46、47、48),注意等差是3 ,那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位,所以46应在最后一组第1位,4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组．当然还可以有其他的配组方法．③ 求和公式：和=（首项+末项）⨯项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1） 1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯= (思路2)这道题目，还可以这样理解：23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即,和(1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说,各项和等于中间项乘以项数．譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯；② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有33项,中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．模块一、等差数列基本概念及公式的简单应用等差数列的基本认识【例 1】下面的数列中，哪些是等差数列?若是，请指明公差，若不是，则说明理由。

等差数列知识点总结及练习(精华word版)

等差数列的性质总结1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈，首项:1a ，公差:d ，末项:n a推广： d m n a a m n )(-+=．从而mn a a d mn --=；3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+ 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项5．等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．（3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．7.提醒：等差数列的通项公式n a 及前n 项和n S 公式中，涉及到5个元素：n n S a n d a 及、、、1，其中d a 、1称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2. 8. 等差数列的性质：（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

等差数列与等比数列类比总结(对比学习,全面知识点)精编材料,适合收藏pdf版

（5）{an}
,{bn}
都是等比数列，则{kan}
，{|
an
|}
，{an2}
，{ 1 an
}
，{anbn
}，{
an bn
}
也是等比数列．
5．判断一个数列是等差数列的方法
5．判断一个数列是等比数列的方法
（1）定义法： an1 an d （常数）．（2）等差中项法： 2an+1=an +an+2 或 2an =an-1+an+1 ．★ （3）通项公式法： an =kn b（公差为 k）．（4）前 n 项和公式法： Sn An2 Bn （不含常数项的二次函数）．★
2
若三个数 a，G，b 成等比数列，则 G 叫作 a 与 b 的等比中项．
此时 G2 ab ， G ab ．
3．等差数列的通项公式
3．等比数列的通项公式
等差数列{an} 的首项为 a1 ，公差为 d，则 an a1 (n 1) d ． 4．等差数列的性质
等比数列{an} 的首项为 a1 ，公比为 q，则 an a1qn1 ．
Sn
d 2
n2
(a1
d 2
)n
简写为
Sn
An2
Bn
(nN* )
，可以把
(n, Sn )
看作是二次函数图像上孤立的点，因此可以用二次函数的性质来研究和的性质，比如
对称和求最值．
Sn 最值条件通项法
二次函数法
最大值
a1 0 , d 0
an 0 且 an1 0
在 n 处 Sn 取最大值
Sn
S1=a1>0
[数列]
等差数列与等比数列对比知识点总结

(完整版)等差数列与等比数列知识总结

等差数列与等比数列
等差数列
等比数列
定义
( 为常数, )
或：
或：
通项公式
（）
中项
若a,A,b成等差数列，则
若a,G,b成等比数列，则
即
前项和
重要性质
②
证明方法
证明一个数列为等差数列的方法：
定义法
证明一个数列为等比数列的方法：
定义法
设元巧
三数等差：
三数等比：
已知数列前n项和，求的方法：
（1）当时，由求得；
6、等差数列{ }中，已知d=3,且求前100项和.
7、已知等比数列{ }的前3项和是，前6项和是，求它的前10项和.
（2）当时，由求得，并验证是否满足 .
等差数列与等比数列知识梳理
复习训练题
1、求等差数列-1,2,5，…的通项公式，并写出第50项.
2、求等比数列10,1，，…的通项公式，并写出第12项.
3、在等差数列{ }中， =4， =20，求 .
4、在等比数列{ }中，，求 .
5、在数列{ }的前n项和为求数列的通项公式 .

第3节等比数列知识点

第三节等比数列1.等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母(0)q q ≠表示.{}n a ,1(2)n n a q n a -=≥ 2.等比中项如果,,a G b 成等比数列，那么G 叫a b 与的等比中项.G 是a b 与的等比中项2,G ab G ⇒== /⇐ 0,0,73.通项公式11n n m n m a a q a q --==推导方法：累乘法(适用于1()n na f n a +=，求n a ) 121121n n n n n a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅ 4.前n 项和公式11(1),11,1n n a q q S q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩推到方法：错位相减法(倍差法).适用于一个等差数列和一个等比数列对应项乘积构成的数列求和.5.函数的观点(1) 11n n a a q -= (2)11A ,(,11n n n a a S q q A A q q q=-+=---为常数且0,0,1)A q ≠≠6.等比数列的性质(1)若{}n a 是等比数列，*(,,,)m n p q m n p q N +=+∈，则m n p q a a a a ⋅=+.特别地，2(1)n n k n k a a a k n -+=⋅≤≤.(2)若{}n a ,{}n b 均为等比数列,公比分别为,q p ，则{}(0)n ca c ≠,2{}n a ,1{}na, 0)n a >,{||}n a ,{}n n a b ⋅,{}n na b 仍为等比数列，公比分别为cq ，2q ，1q，||q ，pq ，p q. (3)若{}n a 是等比数列,则等距离的取若干项2,,,n n k n k a a a ++ 也为等比数列，公比为kq .特别地，135,,a a a ；246,,a a a 为等比数列.(4)若{}n a 为等比数列,则122334,,a a a a a a +++ 为等比数列，公比为q .(5)若{}n a 为等比数列，则232,,k k k k k S S S -- 为等比数列，公比为k q .(6)非零常数列既是等差数列又是等比数列.(7)若{}n a 为等差数列，则{}(0)n a c c ≠为等比数列，公比为d c ；若{}n b 为等比数列，则{lg }(0)n n b b >为等差数列，公差为lg q .7.等比数列的单调性 (1) 当10,1.a q >⎧⎨>⎩或10,0 1.a q <⎧⎨<<⎩时，{}n a 是递增数列； (2) 当10,0 1.a q >⎧⎨<<⎩或10,1.a q <⎧⎨>⎩时，{}n a 是递减数列. 8.等比数列的判定(1)定义法(大题)：*1,()n na q n N a +=∈； (2)通项公式法：1*(,0,)n n a cq c q n N -=≠∈；(3)等比中项法：2*12(0,)n n n n a a a a n N ++=⋅≠∈；(4)前n 项和法：A ,(,n n S q A A q =-为常数且0,0,1)A q ≠≠.9.错位相减法求和（倍差法）题型：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项乘机构成的数列求和. n S 是{}n a 的前n 项和，n n n a b c =，{}n b 等差，{}n c 等比.求n S . 步骤：1.写出 n S = ①；2.写出 n qS = ② （q 为等比数列的公比）；注意：1) ②式右侧不要化简；2) ①式和②式右侧“错位对齐”.3.作差 ①-②得，(1)n q S -= ；4.化简求n S . 注意：若q 为字母时，需要讨论1q =和0,1q ≠的情况.。

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等比数列与等差数列

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等差数列与等比数列类比总结(对比学习,全面知识点)精编材料,适合收藏pdf版

(完整版)等差数列与等比数列知识总结

第3节 等比数列知识点

第3节等比数列知识点