自考高等数学第六章多元函数微积分试题
《多元函数微分学》练习题参考答案
解：在 L 上任取一点 P ( x, y ),
f (x , y ) = 0
考虑 d = ( x − x0 ) + ( y − y0 ) 在条件 f ( x, y ) = 0 下的极值问题 作 F = ( x − x 0 ) + ( y − y 0 ) + λ f ( x , y ) ，则
' ⎧ ⎪ F x = 2(x − x 0 ) + λ f 'x ( x , y ) = 0 ， ⎨ ' ⎪ ⎩F y = 2( y − y 0 ) + λ f 'y (x , y ) = 0 2 2 2 2 2
P87-练习 4 设 z = f ( xy,
x y ) + g ( ) ，其中 f 有二阶连续偏导数， g 有二阶导数，求 y x
∂2z ． （2000） ∂x∂y
解: 根据复合函数求偏导公式
∂z 1 y = f1′ ⋅ y + f 2′ ⋅ + g ′ ⋅ (− 2 ) , ∂x y x
24
∂2 z ∂ ⎛ ∂z ⎞ ∂ ⎛ 1 y ⎞ = ⎜ ⎟ = ⎜ f1′ ⋅ y + f 2′ ⋅ + g ′ ⋅ ( − 2 ) ⎟ ∂x∂y ∂y ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ y x ⎠ x 1 1 x y 1 = f1′ + y[ f11′′ x + f12′′ ⋅ (− 2 )] − 2 f 2′ + [ f 21′′ x + f 22′′ ⋅ (− 2 )] − g ′′ ⋅ 3 − g ′ ⋅ 2 y y y y x x 1 x y 1 = f1′ + xyf11′′ − 2 f 2′ − 3 f 22′′ − 3 g ′′ − 2 g ′ y y x x
《高等数学一》第六章多元函数微分学历年试题模拟试题课后习题大汇总(含答案解析)
第六章多元函数微分学［单选题］1、设积分域在D由直线x+y二0所围成，则| dxdy 如图:［单选题］2、A 9B、4C 3【从题库收藏夹删除】【正确答案】A 【您的答案】您未答题 【答案解析】［单选题］3、 设H 二才，则y=()A V皿2-1)B 、xQnx-1)D【从题库收藏夹删除】【正确答案】C 【您的答案】您未答题 【答案解析】首先设出-,J'二一；，然后求出最后结果中把二】用’’次方代换一下就可以得到结果.［单选题］4、Ft F'y,尸空二dx F f y［% I设Z =则去九£ |（）km ，（心+& J D ）L 『（也几）AK^*°A'X«■【从题库收藏夹删除】【正确答案】D 【您的答案】您未答题【答案解析】本题直接根据偏导数定义得到［单选题］5、 设z=ln （x+弄），示=（）A1B 、X+旷"C1-2妒盂+沙DX + 帘一"【从题库收藏夹删除】 【正确答案】A 【您的答案】您未答题 【答案解析】B 、 lim U m/侃+山+ 3) — / (险用)Ay了0+山』0）—/（兀几）Arlim /(x+Ax.y)-/^)4y|"S 1 I对x求导，将y看做常数，小门•八［单选题］6、设U 了：,；_丁；：£=()【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】<■■-?■■■■■：川［单选题］7、设f(x r x+y) = ^ + x2t则£0,卩)+ £(尽刃二()A丨；B、…C :D ',【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】f(x,兀+y)=砂+ F二疏》+兀)/fcy) = ^yX '(^y)=y二兀£(2)+另(“)=曲［单选题］81,ln(x+y)20》x+》21.综上满足:盘+”1［单选题］ 9、函数 的定义域为（）.少（兀+卩）；：：x F+丿()•B 、D【从题库收藏夹删除】【正确答案 【您的答案OOA您未答题【答案解析1 1-+-lim —3 -- :—7 = 1 im ——— - 0 心卩齐_砂+尹 gw 兀 y尸2 』 / 尸於一 —]+_一7 x［单选题］ 10、()•0宀 2护X + (”In X-2芒)妙（y*" - 2侣）矽+ （H In 兀-—2」壬）必【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】鸣刁严-F 工=j/lnx-£dz - 3/" -”必 + （疋 In z-［单选题］ 11、dz1-^'【从题库收藏夹删除】【正确答案】B 【您的答案】您未答题 【答案解析】方程B 、 C与必+ （#阮—函数'■ - 一 I'"的确定的隐函数，贝U 一（）•2z口B、” y左右两边求导，dx dx__ -2zdx/-I12、 设Z = X +丿，则在（0,0）处（）.取得极大值无极值无法判定是否取得极值 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】B 【您的答案】您未答题 【答案解析】小务S 釜二心齐2’【从题库收藏夹删除】【正确答案一+ X) — —八)——2&2 — 2/ — 2砂，+ 2”(/+丹B 、 取得极小值B 2-AC<Q t A>0，故取得极小值［单选题］ 13、，则【您的答案您未答题【答案解析7矽B、［单选题］14、dz __ 设z=xA2/y,x=v-2u,y=u+2v ，则J ()2(u - 2v)(u- 3v)A、「(K-2V)(K-3V)B、(加+巧2~)(卄刘C(2#+制(u -2vJ(u+邵)(2u+v)3【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】炭边3兀龛创2A D z z . * 2x(y-7^)—二------ H ---- - -- 1+( ----- 7)- J — ---- 母 -- dv dx dy y y2y2_ 2(v~ 2u)(v+ - V - 2u)) _ 2(y - 2u)(v + 3u)(2V+LT)3［单选题］(2v+u)15、设函数z=ln(x2+y2)，则=()如)B、—：x-yD J - /【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】& 2x & 2y 5c & 2y 2x 2x + 2y 2(x+y) -- • = —: - - = ---- - ;—1 + = ---------------- = ----- =3K F+y3®5?+『’曲勿x2 + y3x2 + y3启+『x3 + y3［单选题］16、设函数，则汕忙丿=().1A、」IzTB、.'■1C、1D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】参见教材P178〜179。
(完整版)多元函数微积分复习试题
多元函数微积分复习题一、单项选择题1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B )(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D )(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ).(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( C ).A. 若0lim x xy y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处zx∂∂和z y ∂∂都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处zx∂∂和z y ∂∂存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ∂∂和22z y ∂∂都存在, 则. 22z x ∂∂=22zy ∂∂.5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( C ).A. 可微(指全微分存在)⇔可导(指偏导数存在)⇒连续;B. 可微⇒可导⇒连续;C. 可微⇒可导, 或可微⇒连续, 但可导不一定连续;D. 可导⇒连续, 但可导不一定可微.6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 25．已知三点M （1，2，1），A （2，1，1），B （2，1，2） ，则→→•AB MA = （ C ） (A) -1； (B) 1； (C) 0 ； (D) 2；6．已知三点M （0，1，1），A （2，2，1），B （2，1，3） ，则||→→+AB MA =（ B ）(A);2-(B) (C)2; (D)-2;7．设D 为园域222x y ax +≤ (0)a >, 化积分(,)DF x y d σ⎰⎰为二次积分的正确方法是_____D____.A. 20(,)aa adx f x y dy -⎰⎰B. 202(,)adx f x y dy ⎰C. 2cos 0(cos ,sin )a a ad f d θθρθρθρρ-⎰⎰D. 2cos 202(cos ,sin )a d f d πθπθρθρθρρ-⎰⎰8．设3ln 1(,)x Idx f x y dy =⎰⎰, 改变积分次序, 则______.I= BA. ln30(,)y e dy f x y dx ⎰⎰B. ln330(,)y edy f x y dx ⎰⎰C. ln33(,)dy f x y dx ⎰⎰ D. 3ln 1(,)x dy f x y dx ⎰⎰9． 二次积分cos 20(cos ,sin )d f d πθθρθρθρρ⎰⎰可以写成___________. DA. 1(,)dy f x y dx ⎰⎰B. 100(,)dy f x y dx ⎰C. 11(,)dx f x y dy ⎰⎰ D. 10(,)dx f x y dy ⎰10． 设Ω是由曲面222x y z +=及2z =所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分(,,)I f x y z dx dy dz Ω=⎰⎰⎰表示为三次积分，________.I = CA ． 22120(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθ⎰⎰⎰B. 22220(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθρ⎰⎰⎰C ． 22222(cos ,sin ,)d d f z dz πρθρρθρθρ⎰⎰⎰D ． 222(cos ,sin ,)d d f z dz πθρρθρθρ⎰⎰⎰11．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d y c a x L ≤≤=,:，则()=⎰Ldx y x P , （ C ）（A ） a （B ） c（C ） 0 （D ） d12．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d x c a y L ≤≤=,:，则()=⎰Ldy y x P , （ C ）（A ） a （B ） c （C ） 0 （D ） d13．设有级数∑∞=1n n u ,则0lim =∞→n n u 是级数收敛的 （ D ）(A) 充分条件； (B) 充分必要条件； (C) 既不充分也不必要条件； (D) 必要条件;14．幂级数∑∞=1n n nx 的收径半径R = （ D ）(A) 3 (B) 0 (C) 2 (D) 115．幂级数∑∞=11n n x n的收敛半径=R （ A ）(A) 1 (B) 0 (C) 2 (D) 316．若幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径为R ，则∑∞=+02n n n x a 的收敛半径为 （ A ）(A) R (B) 2R(C) R (D) 无法求得17. 若lim 0n n u →∞=, 则级数1n n u ∞=∑( ) DA. 收敛且和为B. 收敛但和不一定为C. 发散D. 可能收敛也可能发散18. 若1n n u ∞=∑为正项级数, 则( B )A. 若lim 0n n u →∞=, 则1n n u ∞=∑收敛 B. 若1n n u ∞=∑收敛, 则21n n u ∞=∑收敛C. 若21n n u ∞=∑, 则1n n u ∞=∑也收敛 D. 若1n n u ∞=∑发散, 则lim 0n n u →∞≠19. 设幂级数1n n n C x ∞=∑在点3x =处收敛, 则该级数在点1x =-处( A )A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 敛散性不定 20. 级数1sin (0)!n nx x n ∞=≠∑, 则该级数( B )A. 是发散级数B. 是绝对收敛级数C. 是条件收敛级数D. 可能收敛也可能发散二、填空题1．设22(,)sin (1)ln()f x y x y x y =+-+，则 =')1,0(x f ___1___.2．设()()()22ln 1cos ,y x y x y x f +-+=，则)1,0('x f =____0______.3．二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是()()⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρsin ,cos ,4．三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dz d d z f dxdydz z y x f ϕρρϕρϕρ,sin ,cos ,,5．柱面坐标下的体积元素 z d d d dv θρρ=6．设积分区域222:D x y a +≤, 且9Ddxdy π=⎰⎰, 则a = 3 。
自考高等数学(一)第六章 多元函数微积分
第六章多元函数微积分6.1 空间解析几何基础知识一、空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系。
即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向。
空间直角坐标系共有八个卦限空间的点有序数组（x,y,z）特殊点的表示：坐标轴上的点P,Q,R；坐标面上的点A，B，C；0（0，0，0）空间两点间距离公式：特殊地：若两点分别为M（x,y,z），0（0，0，0）。
二、空间中常见图形的方程1、球面已知球心M0（x0,y0,z0），半径为R，则对于球面上任意点M（x，y，z），有，称为球面方程。
特别地，以原点为球心，半径为R的球面方程是。
2、平面到两点等距离的点的轨迹就是这两点组成线段的垂直平分面。
例1、已知A（1，2，3），B（2，-1，4），求线段AB的垂直平分面的方程。
【答疑编号11060101】解：设M（x,y,z）是所求平面上任一点，根据题意有|MA|=|MB|，化简得所求方程2x-6y+2z-7=0。
x，y，z的一次方程表示的图形是一个平面。
3、柱面定义平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
柱面举例4、二次曲面三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面。
（1）椭球面椭球面与三个坐标面的交线：（2）x2+y2=2pz的图形是一个旋转抛物面。
6.2 多元函数的基本概念一、准备知识1、邻域设P0（x0,y0）是xoy平面上的一个点，δ是某一正数，与点P0（x0,y0）距离小于δ的点P（x,y）的全体，称为点p0的δ邻域，记为U（P0, δ）,。
2、区域平面上的点集称为开集，如果对任意一点，都有的一个邻域。
设D是开集。
如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来且该折线上的点都属于D，则称开集D是连通的。
连通的开集称为区域或开区域。
开区域连同它的边界一起称为闭区域。
3、n维空间设n为取定的一个自然数，我们称n元数组的全体为n维空间，而每个n元数组称为n维空间中的一个点，数x i称为该点的第i个坐标说明：n维空间的记号为R n；n维空间中两点间距离公式：设两点为特殊地当n=1，2，3时，便为数轴、平面、空间两点间的距离。
多元函数微积分学
3
0
,
解得
yx
1,1,1
9 16
，
zx
1,1,1
1 ,从而T 16
1,
9 16
,
1 16
。从而
所求曲线在点(1,1,1)的切线方程为 x 1 y 1 z 1, 16 9 1
法平面方程为16(x 1) 9( y 1) (z 1) 0,
即 16x 9 y z 24 0.
1． 设 f (x, y, z) xy2z3,其中x, y, z 满足方程 g(x, y, z) x2 y2 z2 3xyz 0.
续；（2）两个偏导数连续；（3）可微；（4）两个偏导数
存在，则（ ）
（A）2 3 1； （C）3 4 1；
（B）3 2 1； （D）3 1 4。
5．设 f x 是区域 D :1 x2 y2 4上的连续函数，则
f x2 y2 dxdy等于（ ）。
D
（A）2π 2 1
x
f
阐点 述击 观此 点处
题 历 。 添 加 正 文 ， 文 字
选 届 是 您 思 想 的 提
讲 试 炼 ， 请 尽 量 言 简 意 赅 的
分 学
多 元 函 数 微 积
试卷一（２００５年４月）
选择题：(每小题4分，共20分)
1.
设有直线 L1
:
x
1 1
y5 2
z 8 与直线 1
L2
:
x 2
y y
6 ，则 z3
联立(2),(3),(4)求得切点为(2,1,1),代入(1),得所求切平面方程为
4x 2y 3z 3.
2. 在曲面 2x2 3y2 2z2 2xz 6上求与平面 z 0 的距离最大的 点的坐标.
微积分自考试题及答案
微积分自考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2在x=0处的导数是（）。
A. 0B. 2C. 1D. 2x答案：C2. 定积分∫(0,1) x dx的值是（）。
A. 0B. 1/2C. 1D. 2答案：B3. 函数y=e^x的不定积分是（）。
A. e^xB. e^x + CC. e^(-x) + CD. ln(x) + C答案：B4. 函数f(x)=x^3-3x+2在x=1处的极值是（）。
A. 最大值B. 最小值C. 拐点D. 无极值答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数y=x^3-6x^2+11x-6的一阶导数是______。
答案：3x^2-12x+112. 函数y=ln(x)的二阶导数是______。
答案：1/x^23. 定积分∫(1,e) e^x dx的值是______。
答案：e^e-e4. 函数y=x^2-4x+c的顶点坐标是______。
答案：(2, c-4)三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调区间。
答案：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)>0，解得x>3或x<1，令f'(x)<0，解得1<x<3。
因此，函数在(-∞,1)和(3,+∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减。
2. 求定积分∫(0,2) (2x+1) dx。
答案：首先求原函数F(x)=x^2+x，然后计算F(2)-F(0)=4+2-0=6。
3. 求函数y=e^x的原函数。
答案：原函数为y=e^x+C。
4. 求函数f(x)=x^3-3x+2的极值。
答案：首先求导数f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=±1。
当x<-1或x>1时，f'(x)>0，函数单调递增；当-1<x<1时，f'(x)<0，函数单调递减。
多元函数的微分法及其应用试题(1)讲解
C 、 df (x0 , y0 ) 0
D、
f x
( x0 ,
y0 )
f y
( x0 ,
y0 )
f 8. 若 Z=f(x,y)有连续的二阶偏导数，且 (x, y) K (常数) ，则 xy
f y(x, y) （ ）
k2
A、
2
B、Ky
9. 下列结论不正确的是（
C、 ）
ky (x)
A、函数 z 4x2 9 y2 在点(0 0)处有极小值
， z y
18、设 u xye yz ，其中 x sin t, y t3, z t ，则 du dt
四、证明题
第1页共9页
1.
若11 zx
f
1 y
1 x
,
证明：
x2
z x
y2
z y
z2 .
方程为
9. 设 z u ln v cost ，其中 u et , v cos t ，则 dz dt
10. 若 z ex cos y ，则 z x
, z y
11. 若 z arctan(x2 y2 ) ，则 z x
12. 若 z
1 x2
y2
，则
z x
2
2
z y
13. 若 z y sin x 则 2 z 在点 ( , 2) 处的值为 y xy
（ ）10. 若二元函数 zf(x y)的全微分 dz xdx ydy ，则 (0, 0) 不是 zf(x y)的连续点.
（ ）11. 二元函数的驻点一定是极值点.
（ ）12. 设 z x4 y4 ，则 dz (0,0) 0
4. 曲面 x2 2y2 3z2 21, z 0 上某点的切平面平行于已知平面 x 4y 6z 0
《高等数学》多元函数微分学部分 练习题答案
八、多元函数的微积分： （一）求下列函数的偏导数：（1）33xy y x z -=解:233zx y y x ∂=-∂， 323z x xy y ∂=-∂．（2）)ln(xy z =解：()12ln()z xy =，()1211ln()()2z xy y x xy -∂==∂ ()1211ln()()2z xy x y xy -∂==∂.（3）2arcsin()cos ()z xy xy =+,2arcsin()cos ()z xy xy =+；2cos()[sin()]sin(2)z y xy xy x y xy x ∂=+-=-∂,2cos()[sin()]sin(2)z x xy xy x x xy y ∂=+-=-∂.（4）yxy z )1(+=解：关于x 是幂函数故：121(1)(1)y y zy xy y y xy x--∂=+=+∂， 关于y 是幂指函数，将其写成指数函数ln(1)y xy z e+=，故：ln(1)1[ln(1)](1)(ln(1))11y xy y z xy e xy y x xy xy y xy xy+∂=++=+++∂++ 解II: 两边取对数得ln ln(1)z y xy =+，因此11z y y z x xy ∂=∂+ , 1l n (1)1z xxy y z y xy ∂=++∂+, 即21(1)y zy xy x-∂=+∂， 1(1)ln(1)(1)y y z xy xy xy xy y -∂=++++∂. （二）求下列函数的全微分：（1） xz x yy=+ , 因为1z y x y ∂=+∂,2z x x y y ∂=-∂.所以21()d ()d z z xdz dx dy y x x y x y y y ∂∂=+=++-∂∂ . （2）2x yz e -=,因为2x y ze x -∂=∂,22x y z e y -∂=-∂.所以2(d 2d )x y z zdz dx dy e x y x y-∂∂=+=-∂∂. （3）z =因为()()()()13322222222232221[]()22z xyy x y y x y x xy x y x x xy---∂∂-=+=-+⋅=-+=∂∂+，()23222z x yxy∂==∂+所以()()233222222)z zxyx dz dx dy dx dy xdy ydx x yxyxy∂∂-=+=+=-∂∂++（4）yzu x = 因为11()yz yz u yz x yzx x --∂==∂,ln ln yz yz u x x z zx x y ∂=⋅=∂,ln ln yz yz u x x y yx x z ∂=⋅=∂ 所以u u udu dx dy dz x y z∂∂∂=++∂∂∂=1ln ln )yz yz yz yzx dx yx xdy yx xdz -++ (ln ln )yz yzx dx y xdy y xdz x=++（三）求下列函数的偏导数和微分： （1）设2ln ,,32,x z u v u v x y y ===-，求,z z x y∂∂∂∂. 解：212ln 3z f u f v u u v x u x v x y v ∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂()()22223ln 3232x x x y y x y y =-+-， z f u f v y u y v y ∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂222ln ()(2)x u u v y v =⋅-+⋅-()()223222ln 3232x x x y y x y y=---- （2）设32 ,sin ,t y t x e z y x ===-，求dz ；3222sin 22cos (2)(3)(cos 6)x y x y t t dz z dx z dye t e t e t t dt x dt y dt---∂∂=+=+-=-∂∂ dz 3sin 22(cos 6)d t t e t t t -=-.（四）设下列方程所确定的函数为()y f x =,求dxdy.(1)ln 0xy y -=解: 设(,)ln .F x y xy y =- 则,x F y = 1y F x y=-, x yF dydx F =-1yx y=--21y xy =--21y xy =-.(2) 0sin 2=-+xy e y x解I ： 设2(,)sin .xF x y y e xy =+-则2,xx F e xy =- cos 2y F y xy =-,2d d cos 2xx y F y y e x F y xy-=-=-.解II ：22cos d d d 2d 0(cos 2)d ()d x xy y e x y x xy y y xy y y e x +--=⇒-=-2d d cos 2xy y e x y xy-⇒=-.(3) ln ln 0xy x y ++= 解: 设(,)ln ln .F x y xy x y =++ 则1,x F y x=+1y F x y =+,x y F dy dx F =-11y x x y+=-+(1)(1)y xy x xy +=-+y x =-.（五）对下列隐函数, 求x z ∂∂,y z ∂∂,xy∂∂及dz .(1)20x y z ++-解:设(,,)2F x y z x y z =++-则1x F =21y z F F =-=,x z F z x F ∂=-====∂y zF z y F ∂=-====∂y xF x y F ∂=-====∂.dz =+解II ：（隐函数法）两边关于x求导：10z x ∂+=∂，得xyxyz xyzyz x z --=∂∂两边关于y求导：20z y ∂+=∂得xyxyz xyzxz y z --=∂∂2两边关于y求导：20x y ∂+=∂得x y ∂=∂.dz =+解III:令(),,2F x y z x y z =++-则1x F =，2y F =1z F =故1x z F zx F ∂=-==∂-，1y z F z y F ∂=-==∂1y x F xy F ∂=-===∂.dz =+(2) 0ze xyz -=解: 设(,,).zF x y z e xyz =-则,x F yz =- ,z y z F xz F e xy =-=-,,x z z F z yz x F e xy ∂=-=∂- ,y z z F z xz y F e xy ∂=-=∂-.Fx x yF yy x∂∂∂=-=-∂∂∂ .z z yz xz dz dx dy e xy e xy=+--(3)yz z x ln = (3) 设),(y x z z =是由方程y zz x ln =所确定的隐函数，求x z ∂∂和yz ∂∂. 解I ： 用隐函数求导公式(),,ln ln x F x y z z y z=-+，,1z x F =∂∂∴,1y y F =∂∂z z x z F 12--=∂∂ ,112z x z z z x z x z +=---=∂∂∴)(1122z x y z zz x yy z +=---=∂∂,11Fx z y yF yy xz∂∂∂=-=-=-∂∂∂. 2.()z z dz dx dy x z y x z =+++解II ： 将z 看作y x ,的函数，两边对x 求导，得：xz z z x zxz ∂∂=∂∂-12 即zx zx z +=∂∂，同理两边对y 求导得)(2z x y z y z +=∂∂ 将x 看作,y z 的函数，两边对y 求导，得：1xyz y∂∂=-即.x z y y∂=-∂ 2.()z z dz dx dy x z y x z =+++解III ： 将方程两边求全微分，得：y dyz dz z xdz zdx -=-2，解出dz 得：()dy z x y z dx x z z dz +++=2 zx zx z +=∂∂∴，)(2z x y z y z +=∂∂, 将方程两边求全微分，得：y dy z dz z xdz zdx -=-2，解出dx 得：z x z dx dy dz y z +=-+ .x z y y∂∴=-∂ （六）1、设333,z xyz a -= 求2zx y∂∂∂.解I : 设33(,,)3,.F x y z z xyz a =--则3,x F yz =- 23,33y z F xz F z xy =-=-,2,x z F z yz x F z xy ∂=-=∂- 2.y z F z xzy F z xy∂=-=∂- 2222()()(2)()()z zz yz xy yz z x z z y yx y y x z xy ∂∂+---∂∂∂∂∂==∂∂∂∂- 22222()()(2)()xz xzz y z xy yz z x z xy z xyz xy +-----=-22223[()]()[(2()]()z z xy yxz z xy yz zxz x z xy z xy -+----=- 322253222323()()2()()z z xy yz xz x y z xyz x y z z xy z xy --+--==--.解II ：利用隐函数求导 方程两边同时对x 求导23330,z z zyz xy x x ∂∂--=∂∂20,z zz yz xy x x∂∂--=∂∂ 2,z yz x z xy ∂=∂-同理2,z xzy z xy∂=∂-对方程20,z zzyz xy x x∂∂--=∂∂两边同时再对y 求导 22220,z z z z z z z z z y x xy y x x y y x x y∂∂∂∂∂∂+----=∂∂∂∂∂∂∂∂ 22()2z z z z z z xy z x y zx y x y x y ∂∂∂∂∂-=++-∂∂∂∂∂∂22222yz xz yz xzz x y z z xy z xy z xy z xy =++-----33222z 2()z xy xyz z xy z xy +=---522322z 2()z x y xyz z xy --=-, 所以2522323z 2.()z z x y xyz x y z xy ∂--=∂∂-解III ：333,z xyz a -=方程两边同时微分,23d 3(d d d )0z z yz x xz y xy z ---=,2()d d d z xy z yz x xz y -=+, 22d d d .yz xzz x y z xy z xy =+--所以 22,z yz z xz x z xy y z xy∂∂==∂-∂-. 222222222()()(2)()()(2)()()z z xz xz z y z xy yz z x z y z xy yz z x z y y z xy z xyx y z xy z xy ∂∂+---+---∂∂∂--==∂∂--22223[()]()[(2()]()z z xy yxz z xy yz zxz x z xy z xy -+----=- 322253222323()()2()()z z xy yz xz x y z xyz x y zz xy z xy --+--==--.2、设0ze xyz -=, 求22zx ∂∂.解: 设(,,).z F x y z e xyz =-则,x F yz =- ,zy z F xz F e xy =-=-,,x z z F z yz x F e xy ∂=-=∂- .y z z F z xzy F e xy∂=-=∂- 2222()()()()()()z z z z z z z z ze xy z e y e ze xy zyz z x x x y y x x x e xy e xy ∂∂∂-----+∂∂∂∂∂∂===∂∂∂-- 2()()z z z z yze ze xy zye xyy e xy --+-=-3()()()z z z z e ze xy yz zy e xy y e xy --+-=-22322()z z z yze yz e xy z y e xy --=-2223322.()z z z y ze y z e xy z e xy --=-十二、计算下列二重积分：1.22()Dx y d σ+⎰⎰其中D 是矩形区域：1,1x y ≤≤; 解: 积分区域可表示为D : -1≤x ≤1, -1≤y ≤1. 于是11222211()()Dx y d dx x y dy σ--+=+⎰⎰⎰⎰1231111[]3x y y dx --=+⎰ 1212(2)3x dx -=+⎰31122[]33x x -=+=8.3= 2.22()Dxy x d σ+-⎰⎰其中D 由直线22y y x y x ===、与所围成;解: 积分区域可表示为1,:202,y x y D y ⎧≤≤⎪⎨⎪≤≤⎩原式()222102yy dy x y x dx =+-⎰⎰132201211()32yyx y x x dx =+-⎰232019313().2486y y dy =-=⎰ 3.2Dxy d σ⎰⎰其中D 2y x y x ==由抛物线和直线所围成; 解: 积分区域可表示为201,:,x D x y x ≤≤⎧⎨≤≤⎩21220xx Dxy d dx xy dy σ=⎰⎰⎰⎰21301[]3x x xy dx =⎰ 14701()3x x dx =-⎰1111[].35840=-= 1题图 2题图 3题图11。
高等数学(下)多元函数微积分试题
x2 y2 0 x2 y2 0
,则在点（0，0）处（
）
（B）连续但偏导数不存在； （D）不连续且偏导数不存在。
2
多元函数微积分
6、设平面区域 D： ( x 2) ( y 1) 1，若 I 1
2 2
( x y)
D
2
d ， I 2 ( x y)3 d 则有（
D
） （A）
I1 I 2 ； （B） I1 I 2 ；
7、设 z x ，结论正确的是（
y2
（C） I 1 I 2 ； ）
（D）不能比较。
2z 2z 2z 2z 2z 2z 2z 2z （A） （B） （C） （D） 0； 0； 0； 0。 xy yx xy yx xy yx xy yx
( xy cos x cos y)dxdy (
D
)
(D) 0 。
cos x sin ydxdy
D1
；
(B) 2
xydxdy
D1
； (C) 4
xydxdy ；
D1
19、下列命题正确的是（
）
(A) 若 z f ( x, y) 在 ( x0 , y 0 ) 处可微，则 f x ( x, y), f y ( x, y) 在该点处连续； (B) 若 z f ( x, y) 在 ( x0 , y 0 ) 处可微，则 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ) 存在； (C) 若 z f ( x, y) 在 ( x0 , y 0 ) 处 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ) 都存在，则 f ( x, y) 在 ( x0 , y 0 ) 处连续； （D） 若 z f ( x, y) 在 ( x0 , y 0 ) 处的二阶偏导数都存在， 则 f x ( x, y), f y ( x, y) 在 ( x0 , y 0 ) 处连续。 20、下列论述正确的是（ ）
自考00020高等数学(一)练习题 06
第六章多元函数微积分测试题一、单项选择题1、设积分域在D由直线所围成，则=（）．A、B、C、D、2、（）．A、9B、4C、3D、13、设，则=（）．A、B、C、D、4、设则（）．A、B、C、D、5、设，=（）．A、B、C、D、6、设，则= （）．A、B、C、D、7、A、B、C、D、8、函数的定义域为（）．A、B、C、D、9、（）．A、0B、﹣1C、1D、∞10、设，则（）．A、B、C、D、11、函数的确定的隐函数，则=（）．A、B、C、D、12、设，则在(0,0)处（）．A、取得极大值B、取得极小值C、无极值D、无法判定是否取得极值13、设，则=（）．A、B、C、D、14、设，则（）．A、B、C、D、15、二重积分（）．A、6B、3C、2D、1二、综合题1、设函数z=z（x，y）是由方程所确定的隐函数，求2、计算二重积分3、求函数在点（2,1）当=0.1，时的全增量和全微分.4、某工厂生产两种产品的联合成本函数为，需求函数.其中分别是两种产品的价格和需求量，两种产品各生产多少时利润最大？答案部分一、单项选择题1、【正确答案】B【答案解析】【答疑编号10343151】2、【正确答案】A【答案解析】【答疑编号10343152】3、【正确答案】C【答案解析】首先设出，然后求出最后结果中把用次方代换一下就可以得到结果．【答疑编号10343153】4、【正确答案】D【答案解析】本题直接根据偏导数定义得到.【答疑编号10343154】5、【正确答案】A【答案解析】对x求导，将y看做常数，．6、【正确答案】A【答案解析】【答疑编号10343156】7、【正确答案】B【答案解析】【答疑编号10343157】8、【正确答案】C【答案解析】，，综上满足：.【答疑编号10343158】9、【正确答案】A【答案解析】【答疑编号10343159】10、【正确答案】A【答案解析】11、【正确答案】B【答案解析】方程左右两边求导，，.【答疑编号10343161】12、【正确答案】B【答案解析】故，故取得极小值【答疑编号10343162】13、【正确答案】 D【答案解析】【答疑编号10343163】14、【正确答案】 C【答案解析】【答疑编号10343164】15、【正确答案】 C【答案解析】【答疑编号10343165】二、综合题1、【正确答案】【答案解析】【答疑编号10343166】2、【正确答案】【答案解析】【答疑编号10343167】3、【正确答案】，当=0.1，时，点（2,1）变为（2.1,1.8），，所以z的全增量为又有：,所以.【答案解析】【答疑编号10343168】4、【正确答案】令解得，由题意，最大利润一定存在，又函数在定义域内只有惟一驻点.因此，当，即生产2个单位Ａ种产品3个单位Ｂ种产品时获利最大. 【答案解析】【答疑编号10343169】。
自考高等数学真题——多元函数积分学
自考高等数学真题——多元函数积分学1．设二元函数z =cos(2y -x ),则yx z ∂∂∂2=_________. 2．计算二重积分⎰⎰=D y x I d d 2,其中D 是由直线y =2-x 与抛物线y =x 2所围成的平面区域.3.设二元函数z =sin xy ,则全微分d z=_________.4.求曲线y =3-x 2与直线y =2x 所围区域的面积A .5.设函数222z y x u ++=,证明u z u y u x u 2222222=∂∂+∂∂+∂∂6. 设z z x y =（，）是由方程z y z x e -+=所确定的隐函数，则偏导数 y xδδ=_______7．设函数f (u )可导,)(xy f z =,证明: 0=∂∂+∂∂y z y x z x8. 设函数z=2211x y+，则偏导数y x δδ=（ ） A ．22222(1)x y x y + B. 22222(1)x y x y + C. 22222(1)xy x y + D. 22222(1)xy x y + 9.设二元函数z xy =, 则d z =________________________.10.计算二重积分2(1)d d D I x y x y =+⎰⎰,其中D 是由圆x 2+y 2=1与x 轴、y 轴所围成的第一象限的区域.11.设函数z=sin(xy 2)，则全微分d z =_________.12.设z =z (x ，y )是由方程xz +y 2+e z =e 所确定的隐函数，求偏导数(0,0)z x ∂∂13.计算二重积分I=D d x d y ，其中D 是由曲线y =x 3，x =l 及x 轴所围成的区域，如图所示.14.设D 是由曲线y =e x ，y =e -x 及直线x =l 所围成的平面区域，如图所示.(1)求D 的面积A .(2)求D 绕x 轴一周的旋转体体积V x .15.设22{(,)|4}D x y x y =+≤，则二重积分d d Dx y =⎰⎰______.16.设函数(,)ln()2y f x y x =+，则偏导数(0,1)y f =＇______.17.计算二重积分=(32)d d DI x y x y +⎰⎰，其中D 是由直线x+y=1及两个坐标轴围成的区域，如图所示.18.设曲线1y x =与直线y=4x,x=2及x 轴围成的区域为D ， 如图所示.（1）求D 的面积A.（2）求D 绕x 轴一周的旋转体体积V x .19.设函数z=xy+f(u)，u=y 2-x 2，其中f 是可微函数. 证明：22z z yx x y x y ∂∂+=+∂∂。
高数测试题六(多元函数微分)答案[1]
![高数测试题六(多元函数微分)答案[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/2d43f0422e3f5727a5e96281.png)
高数测试题六（多元函数微分部分）答案一选择题（每小题4分，共20分） 1、0x y →→（ B ）A 3B 6C 不存在D ∞2、函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的两个偏导数都存在的函数在该点可微的（ A ）A 必要非充分条件B 充分非必要条件C 充要条件D 无关条件3、曲线2244x y z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在点（2，4，5）处的切线与x 轴正向所成的倾角是（ C ） A2π B 3π C 4π D 6π 4、曲面3ze z xy -+=在点（2，1，0）处的切平面方程为（ C ） A 240x y +-= B 240x y z +--= C 240x y +-= 250x y +-= 5、已知函数(,)()()()x yx yu x y x y x y t dt ϕϕψ+-=++-+⎰，其中函数ϕ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有（ B ）A 2222u u x y ∂∂=-∂∂ B 2222u u x y ∂∂=∂∂ C 222u u x y y ∂∂=∂∂∂ D 222u u x y x∂∂=∂∂∂ 二、填空题（每小题4分，共20分）1、函数2ln()z y x =- 22{(,)0,1}x y y x y x ->+≤2、设(,)(f x y x y =+-(,1)x f x = 1 3、 由方程222cos cos cos 1x y z ++=所确定的函数(,)z z x y =的全微分dz = sin(2)sin(2)sin(2)x dx y dyz +-4、 设(,)f x y 在(,)a b 处的偏导数存在，则0(,)(,)limx f a x b f a x b x→+--=2(,)x f a b5、 设函数222(,,)161218x y z u x y z =+++，单位向量1,1,1}n =，则(1,2,3)un∂∂= 3三、解答题1、（8分）设函数22,cos ,sin z u v uv u x y v x y =-==，求,z zx y∂∂∂∂ 解：222223333(2)cos (2)sin 3cos sin (cos sin )(2)(sin )(2)cos 2cos sin (cos sin )(sin cos )z z u z v uv v y u uv y x u x v xx y y y y z z u z v uv v x y u uv x y y u y v yx y y y y x y y ∂∂∂∂∂=+=-+-∂∂∂∂∂=-∂∂∂∂∂=+=--+-∂∂∂∂∂=-+++2、（8分）设函数 yz x =，sin ,cos x t y t ==，求dz dt解：11cos 2cos ln (sin )(sin )(t ln(sin ))y y t dz z dx z dyyx t x x t dt x dt y dt t co t t -+∂∂=+=+-∂∂=-3、（8分）设()f x ''连续，1()()z f xy yf x y x =++，求2zx y∂∂∂解：221()()()11()(()())()()()(()())z yf xy f xy yf x y x x x z f xy f xy xyf xy f x y yf x y x y x xf x y y f xy f x y ∂''=-+++∂∂'''''''=-++++++∂∂'''''=++++4、（8分）设函数(,)z z x y =由方程zxy e z =-所确定，求2zx y∂∂∂解：令 (,,)z F x y z e z xy =--，则2223111(1)(1)(1)x z z y z z z zz z z z F z y x F e F z x y F e z e ye ze xye yx ye e ∂=-=∂-∂=-=∂-∂--∂--∂==∂∂--5、（8分）设函数(,)z z x y =由方程(,)0z zF x y y x++=确定，其中F 具有一阶连续偏导数，求dz解一：利用隐函数的求导公式 令 (,,)(,)z zG x y z F x y y x=++ 则 1221221212,1111yx zzzzF F F FG G z z y x x G y G F F F F y xy x''-+''-∂∂=-=-=-=-∂∂''''++12212212121111zz F F F F y x dz dx dy F F F F y xy x''-''-=-+''''++解二：利用全微分的形式不变性，对方程的两边同时取微分1212222()()00z zF d x F d y y xydz zdy xdz zdxF dx F F dy F y x ''+++=--''''+++=解出dz 即可。
多元函数练习题及答案
1、 讨论函数()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=0,0,00,0,1sin ,2222y x y x y x y x y x f 在()0,0点处的连续性，偏导数存在性，可微性.2.求函数22yx xy z +=当2=x ，1=y ，01.0=∆x ，03.0=∆y 时的全增量和全微分.3. 设yx y z 1tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛=，求x z ∂∂及yz ∂∂.4. 设⎰-=xyt dt e y x f 02),(，求222222yfx y y x f x f y x ∂∂+∂∂∂-∂∂。
5.()y x u f z ,,=，其中yxe u =,求函数的22x z ∂∂，y x z ∂∂∂2，22yz∂∂（其中f 具有二阶连续偏导数）6. 设,y x z xf yg x x y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中,f g 均为二阶可微函数，求2z x y ∂∂∂。
7、已知()(),,,z f x y x y z ϕ==，其中,f ϕ均为可微函数，求dz dx。
8. 设3333z z x y +=+，求dz 和22zx∂∂。
9. 求曲线mx y 22=，x m z -=2在点()000,,z y x 处的切线和法线方程.10. 求244)(),(y x y x y x f +-+=的极值。
11.求平面1222=++z c w y b v x a u 的三截距之积在条件1222222=++cw b v a u 之下的最小值.12.在椭圆4422=+y x 上求一点，使其到直线0632=-+y x 的距离最短。
1．解：1）因为()2222221sin0y x yx y x +≤++≤又0lim 2200=+→→y x y x 由夹逼准则知：()01sinlim 222200=++→→y x y x y x ,又因 ()00,0=f ,所以 ()y x f ,在()0,0处连续2）根据定义()y x f ,在()0,0处的偏导数为：()()()()()01sinlim 0,00,0lim 0,02200'=∆∆⋅∆=∆-∆+=→∆→∆xx x xf x f f x x x同理可得()00,0'=y f3）()()()()[]()()22221sin0,00,0y x y x f y x f z∆+∆⋅∆+∆=-∆+∆+=∆()()()()[]()()2222''1sin0,00,0y x y x y f x f y x ∆+∆⋅∆+∆+∆+∆=而()()[]()()()()01sinlim222222=∆+∆∆+∆⋅∆+∆→∆→∆y x y x y x y x所以()y x f ,在()0,0处可微分2.02.0=∆z ，03.0=dy3. 解：两边取对数有：⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y y z tan ln 1ln 两边对x 求偏导有：x y xy x y x z z 22sec tan1111⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂故xyx y xx z y2112s e ct a n 1-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂ 同理：xy x y xy x y x y y y z y y2112sec tan 1tan ln tan 1-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂ 4. 解：22y x ye x f -=∂∂，223222y x e xy x f --=∂∂，22222222y x y x e y x e yx f ---=∂∂∂ 22y x xe y f -=∂∂，223222y x ye x yf --=∂∂，222222yf x y y x f x f y x ∂∂+∂∂∂-∂∂=222y x e -- 5. 解：22y x ye x f -=∂∂，223222y x e xy x f --=∂∂，22222222y x y x e y x e yx f ---=∂∂∂ 22y x xe y f -=∂∂，223222y x ye x yf --=∂∂， 222222y f x y y x f x f y x ∂∂+∂∂∂-∂∂=222y x e -- 6. 解：121221z y y f xf y g g f f yg g x x y x ⎛⎫∂⎛⎫''''''=+-++=-++ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭21122222111z y x x f f f g yg g x y x x x x y y ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫⎛⎫'''''''''=--++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1122222y x x f g g g x y y'''''''=-+-- 7. 解：利用全微分的不变形计算，方程两边微分可得,x y y z dz f dx f dy dx dy dz ϕϕ=+=+消去dy 可得y y y x z y dz f dx f dx f dz ϕϕϕ-=-故y y xy z yf f dz dx f ϕϕϕ+=+ 8 解：对方程3333z z x y +=+两边求微分，得 dy dx x dz dz z 333322+=+，于是 dy z dx z x dz 111222+++=， 由dy y zdx x z dz ∂∂+∂∂=，得 122+=∂∂z x x z ， 22zx ∂∂=2222)1(2)1(2+∂∂⋅-+z x zzx z x =224232(1)2(1)x z x z z +-+9.切线方程：00021z z z y y y x x --=-=- 法线方程：()()()02100000=---+-z z z y y y mx x10. 解：由⎪⎩⎪⎨⎧=+-==+-=0)(240)(2433y x y f y x x f yx ， 得驻点)1,1(，)1,1(--，)0,0(。
河北专接本数学(多元函数微分学)模拟试卷6(题后含答案及解析)
河北专接本数学（多元函数微分学）模拟试卷6(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 5. 综合题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．二元函数z=x2+y2—3xy的极值点为( )．A．(0，0)和(一1，0)B．(0，0)和(1，1)C．(0．0)D．(1，1)正确答案：D 涉及知识点：多元函数微分学2．函数f(x，y)=4(x—y)一x2一y2( )．A．有极大值8B．有极小值8C．无极值D．有无极值不确定正确答案：A 涉及知识点：多元函数微分学3．函数z=x2+y2满足2x+by=2的条件极值为( )．A．1B．0C．D．正确答案：D 涉及知识点：多元函数微分学4．设z=f(ax+by)，f可微，则( )．A．B．C．D．正确答案：B 涉及知识点：多元函数微分学5．已知函数f(xy，x+y)=x2+y2+xy，则分别为( )．A．一1，2yB．2y，一1C．2x+2y，2y+xD．2y，2x正确答案：A 涉及知识点：多元函数微分学6．抛物面z=4—x2—2y2在点M(1，1，1)处的切平面与平面x—y+2z+1=0( )．A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．重合正确答案：B 涉及知识点：多元函数微分学7．设二元函数2=f(x2一y2，2x+3y)，则=( )．A．2yf’1+3f’2B．—2yf’1+3f’2C．2xf’1+2f’2D．2xf’1一2f’2正确答案：B 涉及知识点：多元函数微分学填空题8．曲面sinz—z+zy=1在点M(2，一1，0)的法线方程是__________．正确答案：涉及知识点：多元函数微分学9．曲面z=x2+y2在点(1，1，2)处的切平面方程为__________；法线方程为__________．正确答案：z=2x+2y一2；涉及知识点：多元函数微分学10．已知(x0，y0)是f(x，y)的驻点，若f”xx(x0，y0)=3，f”yy(x0，y0)=12，f”xy(x0，y0)=a，则当__________时，(x0，y0)一定是极小值点．正确答案：一6＜a＜6；5 涉及知识点：多元函数微分学11．若函数f(x，y)=2x2+ax+xy2+2y在点(1，—1)处取得极值，则常数a=__________．正确答案：一5 涉及知识点：多元函数微分学12．函数z=x+2y在附加条件x2+y2=5下的极大值为__________，极小值为__________．正确答案：5；一5 涉及知识点：多元函数微分学13．设f(u)可微，且f’(0)=，则z=f(4x2—y2)在点(1，2)处的全微分dz｜(1，2)=__________．正确答案：4dx一2dy 涉及知识点：多元函数微分学综合题14．设z3—3xyz=a3，求．正确答案：涉及知识点：多元函数微分学15．设z=f(exsiny，x2+y2)，其中f具有二阶连续偏导数，求．正确答案：=f’1excosy+f”11e2xsinycosy+2ex(ysiny+xcosy)f”12+4xyf”22 涉及知识点：多元函数微分学16．设可微函数z=f(x，u)，u=φ(x，t)，t=sinx，求．正确答案：涉及知识点：多元函数微分学17．设f(x，y，z)=exyz2，其中z=z(x，y)由方程x+y+z一xyz=0所确定，求f’x(0，1，一1)．正确答案：5 涉及知识点：多元函数微分学18．设由方程F()=0确立隐函数z=f(x，y)，其中F具有连续的一阶偏导数，求。
(整理)第六章多元函数微积分复习概要
第六章多元函数微积分复习要点一、基本概念及相关定理1.多元函数的极限定义：函数(,)z f x y =在区域D 内有定义，当点P(x ,y )D ∈沿任意路径无限趋于点000(,)P x y (0P P ≠)时, (,)f x y 无限趋于一个确定的常数A,则称常数A 是函数(,)z f xy =当P(x ,y )趋于000(,)P x y 时的极限.记作0l i m (,)x x y y f x y A →→=,或00(,)(,)lim(,)x y x y f x y A →=,或(,)f x y A →,00(,)(,)x y x y →,或lim (,)f x y A ρ→=,或(,)f x y A →,0ρ→.其中，ρ= 2.二元函数连续的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 内有定义，如果对任意0(,)()P x y U P ∈，都有0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=（或0l i m ()()P P f P f P →=），则称函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处连续.3.偏导数的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 内有定义.（1）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导数定义为00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆，记作00x x y y zx ==∂∂，或00x x y y f x==∂∂，或00(,)x z x y '，或00(,)x f x y '，即x x y y zx==∂∂=00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆.（2）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对y 的偏导数定义为00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆，记作00x x y y zy ==∂∂，或00x x y y f y==∂∂，或00(,)y z x y '，或00(,)y f x y '，即x x y y zy==∂∂=00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆.而称z x∂∂，或f x ∂∂，或(,)x z x y '，或(,)x f x y '及[z y ∂∂，或f y∂∂，或(,)y z x y '，或(,)y f x y ']为（关于x 或关于y ）偏导函数.高阶偏导数：22(,)xx z zf x y x x x∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)xx z x y ''， 2(,)xy z zf x y y x x y∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)xy z x y ''， 2(,)yx z zf x y x y y x⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)yx z x y ''， 22(,)yyz zf x y y y y⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)yy z x y ''. 同理可得，三阶、四阶、…，以及n 阶偏导数.4.全微分定义：设函数(,)z f x y =在点(,)P x y 的某一邻域()U P 内有定义，若函数在点(,)x y 的全增量(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-可表示为()z A x B y ρ∆=∆+∆+，其中A 、B 不依赖于x ∆、y ∆，仅于x、y有关，ρ=，则称函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，称A x B y ∆+∆为函数(,)z f x y =在点(,)x y 的全微分，记为dz ，即dz A x B y =∆+∆.可微的必要条件：若函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，则（1）函数(,)z f x y =在点(,)x y 的偏导数z x ∂∂、zy∂∂必存在；（2）全微分为z z dz x y z x y z dx dy x y∂∂+∂∂∂=∆+∆=∂∂∂. 推广：函数(,,)u f x y z =在点(,,)x y z 的全微分为u u udu dx dy dzx y z ∂∂∂=++∂∂∂.可微的充分条件：若函数(,)z f x y =的偏导数z x∂∂、z y∂∂在点(,)x y 处连续⇒(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分.5.复合函数微分法（5种情况，由简单到复杂排列）： （1）含有多个中间变量的一元函数(,,)z f u v w =，()u u x =，()v v x =，()w w x =，则dz z du z dv z dwdx u dx v dx w dx∂∂∂=++∂∂∂， 称此导数dzdx为全导数；（2）只有一个中间变量的二元复合函数 情形1：()z f u =，(,)u u x y =，则z dz u x du x∂∂=∂∂ ，z dz u y du y∂∂=∂∂. 情形2：(,,)z f x y u =，(,)u u x y =，则z f z u x x u x∂∂∂∂=+∂∂∂∂ ，z f z u y y u y∂∂∂∂=+∂∂∂∂. zx wv u xx zuyxzy yuxx其中，f x∂∂与z x∂∂是不同的，z x∂∂是把复合函数[,,(,)]z f x y u x y =中的y 看作不变量而对x 的偏导数；f x∂∂是把函数(,,)f x y u 中的y 及u 看作不变量而对x 的偏导数。
高等数学作业题集2013版第六章多元函数微分学答案
二偏导数
1．求下列函数的偏导数
yx2 y2
)（3）z exysin(x y)（1）z（2）z ln(x 2xxy
x 2y2
（4）x（5）u xysin
z
yz
(6)f(x,t)解: (1) z
x at
x at
(u)du为连续函数
z1y 2 xyx
x 2yx 2kx1 2k
lim
(x,y) (0,0)x yx 0x kx1 ky kx
lim
所以k取不同值,上面的极限就有不同的结果,故原极限不存在.
x2ykx4k
lim (2)当(x,y)沿y kx趋于(0,0)时, lim 2(x,y) (0,0)x4 y2x 0x4 k2x41 k2
2
y kx
33
x y
解(1)
uy
xyyzzx( lnz) xx
y
z
x
uz
xyyzzx( lnx) yyzy
x
lnx ) (
z
ux
xyyzzx( lny) zz
z lnz) d( du xy[
z
xyx
ln
y)dz]
(2)
z y
dz
z z
dx dy
x y
2
(3)
z zxy
xexysin(x y) exycos(x y) yexysin(x y) ecosx ( y) x y
（3）
x2 y2x2 y***-*****
（4）由不等式0 4而( )lim(2 2) 0 *****x x y2xy2yx2yxy
x2 y2
0由加逼准则有lim4
多元函数微积分练习题
练习题一 多元函数微分学部分练习题1 求函数yx yx z -++=11的定义域.2已知xy y x xy y x f 5),(22-+=-，求),(y x f . 3计算下列极限 （1）22)0,1(),()ln(limy x e x y y x ++→ （2） 4422),(),(lim y x y x y x ++∞∞→（3）243lim)0,0(),(-+→xy xy y x （4）xy x xy 1)1,0(),()1(lim +→（5）2222)1,2(),(2lim y x y x xy y x ++→ （6）2222)0,0(),()(2sin lim yx y x y x ++→ 4 证明极限y x yx y x +-→)0,0(),(lim不存在.5 指出函数22),(y x yx y x f -+=的间断点.6计算下列函数的偏导数 （1）)ln(2y x z =（2）x xy z )1(-=（3）),(2y x f x z = （4）)(xy xz ϕ=（5）y xy y x z 2344+-+= （6）)ln(22y x z +=（7）)3cos(22y x e z yx += （8）y xy z )1(+=（9）2221zy x u ++=（10）⎰=220sin y x dt t z7 计算下列函数的二阶偏导数（1）243y xy x z -+= （2）)ln(xy y z =（3）y e z xysin = （4）),(2y x f x z = （5）2(,)z f xy x =8求下列函数的全微分（1）xyxe z = （2）221y x z +=（3）xy z arcsin = （4）),(y x yf xy z += 9 设⎰=xydt t y x f 12sin ),(，求df .10 （1）22uv v u z -=，其中y x u cos =，x y v sin =,求x z ∂∂，yz ∂∂ （2）)arctan(),,(z y x z y x f u ++==，其中)cos(xy z =,求x z ∂∂，yz ∂∂ （3）vu ez -=， t u sin =，2t v =,dz dt（4）),(22y x yx f z -=,求x z ∂∂，yz ∂∂ （5）设),()2(xy x g y x f z +-=，求x z ∂∂，yz ∂∂； 11 （1）设0)ln(22=+-+y x xy x ，求dxdy . （2）设xyz e z =，求yz x z ∂∂∂∂,. （3）已知⎩⎨⎧=++=++1022z y x z y x ，求dz dx ，dz dy. 12 求曲线⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=211t z t t y t t x 在点1=t 的切线及法平面方程.13求曲线⎩⎨⎧=++=++06222z y x z y x 在点)1,2,1(0-M 处的切线与法平面方程.14求曲面3=+-xy z e z在点)0,1,2(M 处的切平面和法线方程. 15求函数22)1(-+=y x z 的极值.16求函数32z xy u =在条件a z y x =++)0,,,(>a z y x 下的极值.17求函数32z xy u =在曲面03222=-++xyz z y x 上点)1,1,1(P 处，沿曲面在该点朝上的法线方向的方向导数.18 设222(,,)3f x y z x y z xy x y z =+++-++，求(1,2,3)gradf .二 多元函数积分学部分练习题1、改变下列二次积分的积分次序 （1）⎰⎰112),(xdy y x f dx （2）⎰⎰--yy dx y x f dy 21110),(（3）⎰⎰⎰⎰+2242220),(),(y y y dx y x f dy dx y x f dy2、计算下列二重积分 （1）⎰⎰D xyd σ，其中区域D 是曲线xy 1=，2=x 及x y =所围成的区域. （2）⎰⎰+Dd y x σ)(，其中区域D 是曲线x y 42=及x y =所围成的区域. （3）⎰⎰+Dd y x σ)(，其中区域D ：1≤+y x .（4）⎰⎰+D d y x σ)cos(，其中区域D 是曲线x y =，0=y 及2π=x 所围成的区域.（5）⎰⎰--Dy xd e σ22，其中积分区域D 为中心在原点，半径为a 的圆周所围成的闭区域.（6）⎰⎰+Dd y x σ22，其中积分区域为D ：122≥+y x ，x y x 222≤+，0≥y .3、设函数),(y x f 连续，且⎰⎰+=Ddxdy y x f xy y x f ),(),(，其中D 是由0=y ，2xy =和1=x 所围成的区域.4、设函数)(u f 具有连续导数，且0)0(=f ，3)0(='f ，求3220222)(limtd y x f t y x t πσ⎰⎰≤+→+.5 计算下列三重积分 （1）⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x )sin(,其中Ω是由三个坐标面与平面2π=++z y x 所围成的立体；（2）计算⎰⎰⎰Ωzdxdydz ,其中Ω是由曲面222y x z --= 以及22y x z +=所围成的空间形体.（3）计算积分⎰⎰⎰Ωxyzdxdydz ，其中Ω是球面4222≤++z y x在第一卦限的部分.6 试计算立体Ω由曲面228y x z --=及22y x z +=所围成的体积. 7计算⎰⎰⎰Ωdxdydz e z，其中Ω是球面1222≤++z y x . 8 计算下列曲线积分 （1）LxydS ⎰，其中L 为圆222a y x =+在第一象限内的部分；（2）222()x y z dS Γ++⎰，其中Γ是球面9222=++z y x 与平面0=++z y x 的交线.（3）⎰+-+Ldy y x dx y )2()1(3，其中L 是曲线23x y =上从点)0,0(O 到点)1,1(A 的一段弧； （4）计算⎰+Lxdy ydx ，其中L 为圆周θcos r x =，θsin r y =上由0=θ到πθ2=的一段弧.（5）在过点)0,0(O 和)0,(πA 的曲线族)0(sin >=a x a y 中求一条直线L ，使沿该曲线到点O 到点A 的积分⎰+++Ldy y x dx y )2()1(3的值最小.（6）计算⎰⎰∑dS z 1，其中∑为球面4222=++z y x 被平面1=z 截出的上半部分. （7）计算⎰⎰∑++dS z y x )(222，其中∑为锥面222y x z +=介于平面0=z 与1=z 之间的部分. （8）计算⎰⎰∑+dxdy y x e z 22，其中∑是锥面22y x z +=夹在平面1=z 和2=z 之间部分的外侧.（9）计算⎰⎰∑++=dxdy z dzdx y dydz x I 333，其中∑为以点)0,0,1(A ，)0,1,0(B ，)1,0,0(C 为顶点的三角形的上侧.9求曲线Γ：a x =，at y =，221at z =（10≤≤t ，0>a ）的质量，设其线密度为az 2=ρ. 10 （1） 设L 为取正向的圆周922=+y x ，计算曲线积分⎰-+-Ldyx x dx y xy )4()22(2的值.（2）利用Stokes 公式计算曲线积分⎰++=Lxdz zdy ydx I ，其中L 是球面2222a z y x =++与平面0=++z y x 的交线，由z 轴的正向看去，圆周沿逆时针方向.（3）计算对坐标的曲线积分⎰++L dy x dx x xy 2)(2，其中L 为222R y x =+的第一象限由),0(R 到)0,(R 的一段弧.（4）已知1)(=πϕ，试确定)(x ϕ，使曲线积分⎰+-BAdy x dx xyx x )()]([sin ϕϕ 与路径无关，并求当A ，B 分别为)0,1(，),(ππ时线积分的值（5）计算⎰⎰∑++=yzdxdy xydzdx xzdydz I ，其中∑是圆柱面222R y x =+与平面0=x ，0=y ，0=z 及h z =)0(>h 所围成的在第一卦限中的立体的表面外侧.11（1）设k z j y i x r++=，计算r rot .（2）设()A xyz xi yj zk =++，计算divA。
多元函数微积分+无穷级数习题附带答案
1． 设则=（ ）2(,)f x y x y xy y +-=+(,)f x y A ．B ．()2x x y -2xy y +C ．D ．()2x x y +2x xy-2． = （ ）221cos lim 1x x y oe y x y →→++A ． 0 B ．1 C ． D ． 1e 2e 3．设在点处有偏导数存在，则=（ ）(,)f x y 00(,)x y 0000(2,)(,)limh o f x h y f x h y h →+--A ．0B ．'00(,)x f x yC ．D ．'002(,)x f x y '003(,)x f x y 4．偏导数存在是可微的（ ）(,)z f x y =(,)z f x y =A ．充分条件 B ．必要条件C ．充分必要条件D ．无关条件5．函数在点（1，1）的全微=（ ）xy z e =dz A ． B ．2()e dx dy +()xy e dx dy +C ． D ．()e dx dy +dx dy+6．已知且，则= （ ）22(,)()x y x y y x ϕ=++(,1)z x x =z x ∂∂A ．2 B ．12xy x +-22x y+C ．D ．21x x -+-212xy x++7． 的定义域是 )z r R =<<8．设在点（1，1，）取得极值，则 22(,)2f x y x ax xy by =+++a =b =9．方程确定则2221x y z ++=(,)z z x y === 2z x y ∂∂∂2z y x∂∂∂10．设2sin(23)23x y z x y z+-=+-则= 2222z z x y+11．方程确定，则= 0z e xyz -=(,)z z xy =z x ∂∂12．交换积分次序后，()110,I dx f x y dy =⎰I =13．计算，其中D 由22Dx dxdy y ⎰⎰所围闭区域1,2,xy x y x ===14．计算，D 由2Dy d σ⎰⎰所围闭区域21,0,0,1y x x y y =-===15．交换积分次序()()12330010,,y y I dy f x y dx dyf x y dx -=+⎰⎰⎰⎰16．计算10I dx =⎰17．计算10I dx=⎰18．计算2222000y R y x y x I dy e dx dy dx ----=+⎰19．求在条件下的极值22z x y =+2x y +=20．函数z=z(x,y),由方程F(xy,z)=x 所确定，其中F(0,0)有连续一阶偏导数，求2222z z x y+21．设 其中可微，22()x z x y ϕ=-ϕ证明211z z z x x y y x∂∂+=∂∂22．设，证明ln()x y z e e =+222222()z z z x y x y∂∂∂⋅=∂∂∂∂23．计算22201ln ln ln e e x x e y x x I dy dx dy dx e e=+⎰⎰⎰⎰24．由圆及直线所围成第一象限的薄板，其密度，求该薄板的质量221x y +=0,0x y ==25．设为连续函数且(),f x y ，其中D ：()(),,Df x y xy f u v d σ=+⎰⎰所围闭区域，证明：20,,1y y x x ===()1,8D f x y dxdy =⎰⎰1、解： (,)()f x y x y x y y+-=+ []1()()()2x y x y x y =++--(,)()2x f x y x y ∴=-2、解：在点（1，0）连续22cos (,)1x e y f x y x y =++ '221cos cos 0lim 11102x x y oe y e e x y →→∴==++++3、解：原式=0000(2,)(,)lim 22h of x h y f x y h→+-⋅0000(,)(,)lim h o f x h y f x y h→--+-='''0000002(,)(,)3(,)x x x f x y f x y f x y +=4、解：若可微，则存在，(,)z f x y =,z z x y∂∂∂∂反之成立，故偏导数存在是可微必要条件5、解：在（1，1） ()xy dz e ydx xdy =+'()dz e dx dy =+6、解：（1）2(,1)1()z x x x x ϕ=++= 2()1x x x ϕ∴=--（2）222(,)1z x y x y y x x =++--（3）212z xy x x∂=+-∂7、解： 22222200R x y x y r ⎧--≥⎪⎨+->⎪⎩ 定义域∴{}2222(,)R D x y r x y =<+<8、解：'2'4,2x y f x a y f xy b=++=+ 又，即 (1,1)0f ='(1,1)0y f =，410a ++=20b +=5,2a b ∴=-=-9、解：令222'1,2,x F x y z F x =++-=''2,2y z F y F z==（2），z x x z ∂=-∂z y y z ∂=-∂（3）22231(0z z xy z x x y z y z y x∂∂-∂=+==∂∂∂∂∂10、解：方程两边全微分：2cos(23)(23)23x y z dx dy dz dx dy dz+-+-=+-∴,,(23)[2cos(23)1]0dx dy dz x y z +-+--= 23dx dy dz +=2123z x =2223z y =故22122z z x y +=11、解：令'',,z z x z F e xyz F yz F e xy=-=-=-''2x z F z yz x F e xy∂=-=∂-12、解：（1）画出积分区域D（2）交换二次积分次序：原式＝I=2100(,)y dy f x y dx⎰⎰13、解：（1）画出积分区域D（2）选择积分次序：为了不分片先对y 分积分，后对x 积分原式＝221121()xdx x d y-⎰⎰=2211()1x x dx y x -⎰14、解：（1）画出积分区域D（2）为了不分片先对分积分，后对y 积分x 原式＝2111222000(1)y dy y dx y y dy +=+⎰⎰⎰＝11530011118535315y y +=+=⎰⎰15、解：（1）画出12D D D+=1:01,02D y x y≤≤≤≤2:13,03D y x y≤≤≤≤-（2）交换积分次序I ＝()2302x x dx f x y dy-⋅⋅⎰⎰16、解：（1）画出积分域D（2）交换积分次序I ＝21120sin sin yy o y y y dy dx x dy y y y =⋅⎰⎰⎰ ＝110sin cos o dy dy y +=⎰⎰111cos cos sin 000y y y y -+-1sin1=-17、解：（1）画出积分区域D（2）改用极坐标定限，计算2cos 3204cos sin r r I d rdr rπθπθθθ=⎰⎰22cos 204sin cos 2r d πθπθθθ=⋅⎰324sin cos 2d ππθθθ=⋅⎰3242cos cos d ππθθ=-⎰42411cos 28ππθ=-=18、解：（1）画出12D D D+=（2）改用极坐标定限，计算2204R r I d e rdr ππθ-=⋅⎰⎰201242rR e ππ-⎛⎫⎛⎫=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22111428R Re e ππ--=⋅-=-19、解：（1）化为无条件极值一元函数的极值22()z x z x =+-（2）， '22(2)0x z x x =--=440,1x x -==极小值''40xx z =>221(21)2z =+-=注：22'(2),20,x F x y x y F x λλ=+++-=+=代入约束条件'20y F y x y λ=+=→=得驻点。
多元函数微分法及其应用(习题和详细解答)
多元函数微分法及其应用（习题）(A)1．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，x y z∂∂∂2 ，则在D 上，xy zy x z ∂∂∂=∂∂∂22。
(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。
(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。
2．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx z u +=3．求下列各极限(1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xyy x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→4．设()xy x z ln =，求y x z ∂∂∂23及23y x z∂∂∂。
5．求下列函数的偏导数 (1)xyarctgz =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。
6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数dt dz 。
7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu。
8．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？ 9．求方程1222222=++cz b y a x 所确定的函数z 的偏导数。
10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。
11．设()y x f z ,=是由方程y z z x ln =确定的隐函数，求x z ∂∂，yz∂∂。
12．设x y e e xy =+，求dxdy。
13．设()y x f z ,=是由方程03=+-xy z e z确定的隐函数，求x z ∂∂，y z ∂∂，yx z∂∂∂2。
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第六章 多元函数微积分
一、单项选择题
二、填空题
1.设z=22y x +，则)2,1(dz =___________.
2.设z =x
y cos ，则全微分d z =___________. 3.设z=x e xy ,则y
x z ∂∂∂2=______________________. 4．设z =(2x +y )2y ，则
x z ∂∂=________. 5.设z=y x 322e -,则y
x z ∂∂∂2=_______________. 6．设函数v u w w
v u w v u f ++-=)(),,(，则=-+),,(xy y x y x f ． 7.设函数z =22y x +,则偏导数
=∂∂x
z _________.
三、计算题
1．设z=arctan x y ，求y x z 2∂∂∂. 2．设隐函数z （x,y ）由方程x+2y+z=2xyz 所确定，求
x z ∂∂. 3．计算二重积分I=⎰⎰+D 22dxdy )y x (x ，
其中D 是由直线x=0, y=0及x+y=3所围成的闭区域. 4.设z =z (x ,y )是由方程e xyz +z -sin(xy )=1所确定的隐函数，求
x z ∂∂,y z ∂∂. 5.计算二重积分I =
⎰⎰D y x xy x d d )cos(2，其中D 是由直线x =1,y =x 及x 轴所围成的平面区域. 6.计算二重积分⎰⎰D
y x y x d d 2，其中D 是由直线y =x ,x =1以及x 轴所围的区域.
7．计算二重积分⎰⎰=D y x x I d d ，其中区域D 由曲线x y =
，直线x =2以及x 轴围成.
8.方程xyz -ln(xyz )=1确定了隐函数z =z (x,y ),求y
z x z ∂∂∂∂,.
9.计算二重积分I =
⎰⎰D y y x y d d e 2
，其中D 是由y =x ,x =1,x =2及x 轴所围成的闭区域.
10．设函数z =z (x ,y )是由方程z +e z =xy 所确定的隐函数，求全微分d z ．
11．计算二重积分⎰⎰=D
y x xy I d d ，其中D 是由直线y =x ,y =5x ,x =1所围成的平面区域．
12.设函数z=x y cot arc ,求二阶偏导数22x z ∂∂,y
x z ∂∂∂2. 13.计算二重积分⎰⎰+=-D x y x x I d d 1e 2
)1(,其中D 是由曲线y =x 2-1及直线y =0,x =2所围成的区域.
五、应用题
六、证明题
1.设z =y +F (u ),u =x 2-y 2,其中F 是可微函数.证明：y x y
z x x z =∂∂+∂∂. 2．方程sin(x -y +z )=x -y +z 确定了二元隐函数z =z (x ,y )，证明：
0=∂∂+∂∂y z x z .。