二阶行列式

定义1 定义
设有四个数排成 2 行 2 列的数表
a11 a21
a11
则称
a12 a22
(III)
a12 a22
为数表(Ⅲ 二阶行列式。 为数表 Ⅲ) 的 二阶行列式。其值为
a21
叫做行列式的元素 元素。 a11a22 − a12a21 其中 aij (i , j = 1,2) 叫做行列式的元素。 称为行 元素 aij的第一个下标 i 称为行标，表明该元素位于第 i 行；第二个下标 j 称为列标，表明该元素位于第 j 列。 称为列
展开并化简下列行列式： 例1 展开并化简下列行列式：
(1)
5 1 8 2 sin θ − cos θ
(2)
1 5 8 2
cos θ (3) sin θ
a −1 −1 (4) 1 a2 + a + 1
用行列式解下列二元一次方程组. 例2 用行列式解下列二元一次方程组
5 x + 11 y = 8 4 x + 15 y = −6
当a11a22 − a12a21 ≠ 0时,
方程组（ 方程组（Ⅰ）有唯一解: 有唯一解:
(Ⅱ) Ⅱ
b1a22 − a12b2 , x1 = a11a22 − a12a21
x = b2a11 − a21b1 , 2 a a −a a
11 22 12 21
(Ⅱ) 式中的分子和分母都是方程组 Ⅰ) 中四个数分两 Ⅱ 式中的分子和分母都是方程组(Ⅰ 对相乘再相减而得。 对相乘再相减而得。
Dx =
b1
则（Ⅱ）式可表示为
Dx x1 = , D
x2 =
Dy D
, ( D ≠ 0)
当D = 0时，
⇒ (a11a22 − a12a21 ) x1 = (b1a22 − a12b2 ),
(a11a22 − a12a21 ) x2 = (b2a11 − a21b1 ),
Dx1 = Dx , ⇒ Dx2 = Dy
若Dx，Dy中至少有一个不为零时，此方程无解； 若Dx = Dy = 0时，此方程有无穷多解.
(1)若D ≠ 0是此二元一次方程组有唯一解的充要条件， D叫做方程组解的判别式.
(2)若 D = 0, D x， D y中 至 少 有 一 个 不 为 零 时 ， 此 方程无解；
(3)若D = Dx = D y = 0时，此方程有无穷多解.
二阶行列式
对于二元一次线性方程组
源自文库(Ι)
a11 x1 + a12 x2 = b1 a21 x1 + a22 x2 = b2
(1) (2)
⇒ (a11a22 − a12a21 ) x1 = (b1a22 − a12b2 ),
(a11a22 − a12a21 ) x2 = (b2a11 − a21b1 ),
二阶行列式的定义可以用对角线法则来记忆。 二阶行列式的定义可以用对角线法则来记忆。
把 如图1.1 把a11到a22的联线称为主对角线， a12到a21 的联线称为主对角线， 如图
的联线称为副对角线， 的联线称为副对角线，
a11 a21
a12 a22
= a11a22 − a12a21
图1.1 于是二阶行列式便是主对角线上两元素之积减去 副对角线上两元素之积。 副对角线上两元素之积。
mx + 4 y = m + 2 例3 解关于x , y的二元一次方程组 ， x + my = m 并对解的情况进行讨论.
(Ⅱ) Ⅱ
b1a22 − a12b2 x1 = a a − a a , 11 22 12 21
b2a11 − a21b1 , x2 = a11a22 − a12a21
b1 b2 a12 a22 , Dy = a11 a21
a11 a12 , D= b2 a21 a22
利用二阶行列式的概念， 利用二阶行列式的概念，可记