二阶行列式

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二阶行列式

a2 a3
a15
a16

18

2.解不等式
x
0
x 0, 1
x2 3.求函数的最值 y 2
x 1
y min 1,无最大值
探索研究：
一、1)计算行列式 9 的值； 2）你能否从1）中的结果得出一个一般的结论？并证明你的结论。

3
5 11 12 ， 10 22
4
7 28 ， 2 8
基本步骤：

1）把方程变为标准形式，即
a1x b1y c1 , a2x b2y c2 .
形式；
2）正确写出行列式
Dx x D 3）当 D 0 时，写出二元一次方程组的解为 y D y D
D、D x、D y ；
巩固练习：

1.展开并化简下列行列式：
D
Dx

5 11 4 15
8
5 15 4 11 31 0,
11
6 15
186 ,
Dy
5
8
4 6

62,
Dx 186 x 6, D 31
Dy y D
62 2. 31
所以，原方程组的解为
x 6 y 2
行列式应用于解二元一次方程组
德国数学家莱布尼兹是与牛顿齐名的微积分的创始人，同时他又是数学史上最伟大的符号学者之一，堪称符号大师，他曾说：“要发明，就要挑选恰当的符号，要做到这一点，就要用含义简明的少量符号来表达和比较忠实地描绘事物内在本质，从而最大限度地减少人的思维劳动”．他创造的数学符号有商 “ a”、比“a:b”、相似“∽”、 b ”、交“ ” 全等“≌”、并“ 等，最有名的要算积分和微分符号了．

行列式的几种计算方法

行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的重要概念，通常用于计算矩阵的逆、解线性方程组等问题。

本文将介绍行列式的几种计算方法，帮助读者更好地理解和应用这一概念。

二阶行列式就是二阶矩阵的行列式，计算公式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$$其中，$a_{11}$、$a_{12}$、$a_{21}$、$a_{22}$ 分别表示矩阵的四个元素。

计算二阶行列式时，可以直接套用上面的公式进行计算。

$$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} +a_{13}a_{21}a_{32} - a_{31}a_{22}a_{13} - a_{32}a_{23}a_{11} - a_{33}a_{21}a_{12} $$其中，$a_{11}$、$a_{12}$、$a_{13}$、$a_{21}$、$a_{22}$、$a_{23}$、$a_{31}$、$a_{32}$、$a_{33}$ 分别表示矩阵的九个元素。

计算三阶行列式时，可以采用如下方法：（1）按照第一行、第一列、第二列的顺序计算，得到三个二阶行列式；（2）按照上述公式计算三个二阶行列式对应的乘积和。

3. 拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是一种通用的行列式计算方法。

它的基本思想是，将行列式按照一行或一列进行展开，转化为若干个小的行列式之和。

具体步骤如下：（1）选择一行或一列作为基准行（列）；（2）对于基准行（列）中的每个元素，求它所在子矩阵的行列式，乘以对应的余子式（代数余子式）；（3）将所有乘积相加。

二阶行列式

二阶行列式什么是行列式？在线性代数中，行列式是一个数字，它和一个给定的方阵相关联。

行列式可以用于解决许多线性代数的问题，例如求解线性方程组、计算矩阵的逆等。

二阶行列式的定义对于一个2x2的矩阵A = A，其行列式记为|A|或det(A)，其计算方式为：|A| = Determinant即A的左上元素乘以右下元素减去右上元素乘以左下元素。

二阶行列式的示例现在我们来求解一个具体的二阶行列式。

对于矩阵A = MatrixA，其行列式为：|A| = 2 * 5 - 3 * 4 = 10 - 12 = -2所以矩阵A的行列式为-2。

二阶行列式的性质1.行列式的值与矩阵的转置无关，即|A| = |A^T|。

2.当矩阵A中某两行或某两列互换位置时，行列式的值取相反数，即如果矩阵A的第i行与第j行互换位置得到矩阵B，则有|B| = -|A|。

3.行列式的值与矩阵的每一行（或每一列）成比例，即如果矩阵A的第i行（或第j列）的所有元素都乘以一个常数k，得到矩阵B，则有|B| = k * |A|。

二阶行列式的应用二阶行列式在线性代数中有许多重要的应用，以下列举几个常见的应用：1.解线性方程组：对于一个由两个线性方程组成的方程组，可以使用二阶行列式来判断方程组是否有解，以及求解方程组的解。

2.计算矩阵的逆：对于一个可逆的2x2矩阵A，可以使用二阶行列式计算其逆矩阵A^-1。

3.计算平面向量的面积：对于一个由两个非零向量构成的平面上的三角形，可以使用二阶行列式计算该三角形的面积。

总结二阶行列式是线性代数中的一个重要概念，用于解决许多与矩阵相关的问题。

我们可以通过简单的公式来计算二阶行列式，同时也可以利用行列式的性质进行计算和求解。

二阶行列式在解线性方程组、计算矩阵逆、计算平面向量面积等方面有着广泛的应用。

掌握二阶行列式的概念和计算方法对于理解线性代数和解决相关问题非常重要。

行列式计算的方法

行列式计算的方法
计算行列式的方法取决于矩阵的大小。

下面我将介绍几种常见的行列式计算方法：
1. 二阶行列式计算：
对于一个2x2的矩阵，行列式的计算方法如下：
行列式的值= (a*d) - (b*c)
其中，矩阵为：
| a b |
| c d |
2. 三阶及以上的行列式计算（展开法）：
对于一个n阶(n>=3)的矩阵，行列式的计算可以通过展开法来进行，也叫做代数余子式展开法。

具体步骤如下：
a. 选择第一行或第一列作为展开的基准行或基准列；
b. 逐个选取基准行或基准列上的元素，相应的去掉所在行和所在列，得到一个(n-1)阶的矩阵；
c. 对每个选取的元素，计算其代数余子式（即去掉该元素所在行和所在列后，剩余矩阵的行列式值），并与该元素相乘；
d. 将所有计算得到的代数余子式相乘，并按照正负号规律求和，得到最终的行列式值。

3. 其他行列式计算方法：
当矩阵较大时，使用展开法计算行列式会非常繁琐。

此时可以考虑使用高斯消元法、LU分解、特征值等方法来化简计
算。

这些方法相对复杂，需要一定的线性代数知识和计算能力。

总之，行列式的计算方法根据矩阵的大小和具体要求选择不同的方法，以便高效地得到结果。

二阶行列式的概念

二阶行列式的概念二阶行列式是数学中的一个基本概念，用于描述两个元素之间的线性关系。

这个概念在代数学、线性代数以及相关的领域中都有广泛的应用。

定义：对于任意两个数a和b，以及两个有序对(i,j)，二阶行列式D(a,b,i,j)被定义为：D(a,b,i,j) = a_i * b_j - a_j * b_i其中，a_i和b_i分别表示向量a和b的第i个元素，下标i代表索引。

这个定义可以推广到任意大小的两个向量，只要它们的长度相同。

在这种情况下，二阶行列式可以被视为一个映射，它将两个向量映射到一个标量。

二阶行列式的性质：1. 交换律：D(a_i, b_j, a_j, b_i) = -D(a_j, b_i, a_i, b_j)。

2. 结合律：D(a_i+a_j, b_j, a_j, b_i) = D(a_i, b_j, a_j, b_i) + D(a_j, b_j, a_j, b_i)。

3. 行列式的值不为0当且仅当其对应的两个向量是线性相关的。

4. 行列式的值为0当且仅当其对应的两个向量是线性无关的。

二阶行列式在许多领域都有应用，包括但不限于：1. 线性方程组的解法：通过构造并使用二阶行列式，可以找到线性方程组的解。

2. 向量的内积和外积：二阶行列式可以用来计算向量的内积和外积，这两个运算在几何学和物理中都有广泛的应用。

3. 特征值的计算：在一些情况下，可以通过计算矩阵的行列式来找到其特征值。

二阶行列式在数学和相关领域中的应用非常广泛。

除了上述提到的线性方程组的解法、向量的内积和外积以及特征值的计算外，还有其他一些应用场景。

比如，在代数学中，二阶行列式可以用于研究代数的结构，以及解决一些代数问题。

在几何学中，二阶行列式可以用于描述平面或空间中的线性变换，以及研究图形和点的位置关系。

此外，二阶行列式还可以用于机器学习和数据科学中的一些问题，比如线性分类器的设计和优化，以及数据分析和可视化等。

在这些应用中，二阶行列式提供了一种有效的工具来处理和分析数据中的线性关系。

二阶行列式 (选修)

三、用二阶行列式解二元一次方程组 (一)设有二元一次二元一次方程组二元一次
( A) a1 x + b1 y = c1 , a2 x + b2 y = c2 . (1) (2)
用加减消元法
得
(a1b2 − a2b1 ) x = c1b2 − c2b1; (a1b2 − a2b1 ) y = a1c2 − a式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组（多元一次方程组）求解相分离的人，是法国数学家范德蒙(A-T.Vandermonde,1735-1796)。范德蒙自幼在父亲的知道下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士。就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。 1772 年，拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法。
1750 年，瑞士数学家克莱姆 (G.Cramer,17041752) 在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组（多元一次方程组）的克莱姆法则。总之，在很长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用，并没有人意识到它可以独立于线性方程组（多元一次方程组）之外，单独形成一门理论加以研究。
（三）例和练习：例1、判断以下几项中哪些是二阶行列式？是的，求出值。（1）
a1 a2
1 3 2 3 2 4 4 6
b1 b2
c1 c2
−1 3 −2 2 3 2 4 1 2 3
（2）
sin α cos α
cos α sin α
（3）
.
例2：将下列各式用行列式表示：——解唯一吗？
2 − 4ac （2） 2 − 4x + 2 （1） b x

二阶三阶行列式一般规律

二阶三阶行列式一般规律
行列式是线性代数中一个重要的概念，它具有广泛的应用。

本文将探讨二阶和三阶行列式的一般规律，帮助读者更好地理解和应用行列式。

首先，我们来看二阶行列式。

二阶行列式由两行两列组成，可以表示为：
其中，a、b、c、d分别是二阶行列式的元素。

二阶行列式的求法较为简单，可以通过交叉相乘再相减的方式得到结果。

具体而言，二阶行列式的计算公式为：
|a b|=ad-bc
这个公式是二阶行列式的一般规律，适用于任意的二阶行列式。

接下来，我们来探讨三阶行列式。

三阶行列式由三行三列组成，可以表示为：
同样，a、b、c、d、e、f、g、h、i分别是三阶行列式的元素。

三阶行列式的计算稍微复杂一些，可以通过按行展开或按列展开的方式进行计算。

具体而言，三阶行列式的计算公式为：
|a b c|=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh
这个公式是三阶行列式的一般规律，同样适用于任意的三阶行列式。

总的来说，二阶和三阶行列式都有其特定的计算规律。

在实际应用中，我们可以根据这些规律来求解更高阶的行列式，从而解决一些线性方程组和矩阵运算的问题。

通过本文的讲解，相信读者对于二阶和三阶行列式的一般规律有了更好的理解。

行列式在数学和工程领域中有着广泛的应用，希望读者能够进一步深入学习和应用行列式的相关知识，为自己的学业和研究工作增添一份力量。

二阶行列式(1)

21
12 D1 1
2 14,
1
3 D2 2
12 1
21,
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
21 3. 7
知识影响格局，格局决定命运！
知识影响格局，格局决定命运！路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！
b1a21 . a12a21
（3）
由方程组的四个系数确定.
（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2;
类似地，消去 x1，得（a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21,
当 a11a22 a12a21 0 时，方程组的解为
x1
b1a22 a11a22
a12 a22
a11a22 a12a21.
二阶行列式的计算对角线法则
主对角线 a11 副对角线 a12
a12 a11a22 a12a21.
a22
对于二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2源自b1 , b2 .若记
D a11 a12 ,
系数行列式
a21 a22
aa1211
例1 求解二元线性方程组
32x1x12
x2 x2
12, 1.
解
3 D
2
3 (4) 7 0,
21
12 D1 1
2 14,
1
3 D2 2
12 1
21,
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
21 3. 7
例1 求解二元线性方程组
32x1x12
x2 x2
12, 1.
解
3 D

二阶行列式

行列式
问题提纲
1、如何引出二阶行列式？、如何引出二阶行列式？ 2、二阶行列式是什么？、二阶行列式是什么？ 3、如何计算二阶行列式的值？、如何计算二阶行列式的值？ 4、二阶行列式在解决二元一次线性方程组中的作用？、二阶行列式在解决二元一次线性方程组中的作用？
一、引入：引入：
a1 x + b1 y = c1 其中 a1b2 − a2b1 ≠ 0 ）（给出一个二元一次方程组：）给出一个二元一次方程组： A）（ a2 x + b2 y = c2
Dx = m+2 m 4 m = (m + 2)m − 4m = m(m − 2)
Dy =
m m+2 1 m
= m 2 − (m + 2) = (m + 1)(m − 2)
(1)当m ≠ ±2时，D ≠ 0，原方程组有唯一解 m x= 先讨论系数行列式不为0的情况的情况，先讨论系数行列式不为的情况， m+2 { 再讨论系数行列式为0的情况再讨论系数行列式为的情况 m +1 y= m+2 (2)当m = −2时，D = 0，D x = 8 ≠ 0, 原方程组无解。
由此我们得到：由此我们得到：（1）由二阶行列式的计算法则，任何一个二阶行列式都可以表示成）由二阶行列式的计算法则，乘积差的形式，乘积差的形式，进而计算出它的值（2）由二阶行列式的计算法则，任何两个乘积差的形式都可以表示）由二阶行列式的计算法则，成一个二阶行列式。成一个二阶行列式。
三、习题讲练：习题讲练：
4 x − 3 y = 5 （1） 8 x + 6 y = 22
4 x + 6 y = 3 （2） 6 x + 9 y = 5

二阶三阶行列式计算方法

二阶三阶行列式计算方法在线性代数中，行列式是一个与矩阵相关的重要概念。

行列式具有许多重要的性质和应用，例如计算矩阵的逆、解线性方程组、计算几何体的体积等。

在本文中，我将介绍二阶和三阶行列式的计算方法。

1.二阶行列式的计算方法二阶行列式指的是一个由2x2矩阵组成的行列式。

一个二阶矩阵可以表示为：abcd二阶行列式的计算方法可以使用下面的公式：det(A) = ，a*d - b*c其中，a、b、c、d分别表示矩阵中的元素。

2.三阶行列式的计算方法三阶行列式指的是一个由3x3矩阵组成的行列式。

一个三阶矩阵可以表示为：abcdefghi三阶行列式的计算方法可以使用下面的公式：det(A) = a*(e*i - h*f) - b*(d*i - g*f) + c*(d*h - g*e)在这个公式中，每个元素与其所在行号和列号有关。

元素a与第一行第一列的乘积乘以一个二阶行列式，这个二阶行列式的元素是除去第一行第一列之后的所有元素。

元素b与第一行第二列的乘积乘以一个二阶行列式，这个二阶行列式的元素是除去第一行第二列之后的所有元素，以此类推。

最后，根据正负规律，将所有乘积相加得到最终的结果。

3.示例计算让我们通过一个具体的示例来计算一个二阶和一个三阶行列式。

a)计算二阶行列式：2345使用二阶行列式的公式，我们可以计算：det(A) = 2*5 - 3*4 = 10 - 12 = -2所以这个二阶行列式的结果是-2b)计算三阶行列式：123456789使用三阶行列式的公式，我们可以计算：det(A) = 1*(5*9 - 8*6) - 2*(4*9 - 7*6) + 3*(4*8 - 7*5)=1*(45-48)-2*(36-42)+3*(32-35)=-3+12-9=0所以这个三阶行列式的结果是0。

通过以上示例，我们可以理解二阶和三阶行列式的计算方法。

对于更高阶的行列式，可以使用类似的方法进行计算，但公式会变得更加复杂。

二阶行列式的计算公式

二阶行列式的计算公式好的，以下是为您生成的关于“二阶行列式的计算公式”的文章：在数学的奇妙世界里，二阶行列式就像是一个藏着小秘密的宝盒，而打开这个宝盒的钥匙就是它独特的计算公式。

咱们先来说说二阶行列式是啥。

想象一下，有两行两列的数字，整整齐齐地排列着，就像操场上排列整齐的方队。

比如说，有这样一组数字：\[\begin{vmatrix}a &b \\c & d\end{vmatrix}\] 这就是一个二阶行列式。

那它的计算公式是啥呢？其实很简单，就是“主对角线元素之积减去副对角线元素之积”。

用公式写出来就是：\[ad - bc\] 。

我给您讲个事儿，您就更明白啦。

有一次我在课堂上讲二阶行列式，有个同学一直皱着眉头，一脸困惑。

我就走到他旁边问：“咋啦，没听懂？”他怯生生地点点头。

我就重新给他讲，拿了个具体的例子，比如\[\begin{vmatrix}3 & 2 \\1 & 4\end{vmatrix}\] ，按照公式一算，就是 $3×4 - 2×1 = 12 - 2 = 10$ 。

我一边算一边给他解释每个步骤，看着他眼睛慢慢亮起来，最后恍然大悟的样子，我心里可高兴啦。

这二阶行列式的计算公式别看简单，用处可大着呢！在解线性方程组的时候，它能帮咱们快速判断方程组有没有解，解是唯一的还是无穷多的。

比如说，对于方程组 $ax + by = m$ ， $cx + dy = n$ ，咱们可以通过二阶行列式判断解的情况。

而且在几何里，二阶行列式也能派上用场。

比如计算两个向量的叉积的模长，就能用二阶行列式来帮忙。

再比如，咱们在研究图形的面积的时候，二阶行列式也能大展身手。

假如有两个点 $A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$ ，那以这两个点为顶点的三角形的面积，就可以用二阶行列式 $S = \frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\x_2 & y_2\end{vmatrix}$ 来计算。

二阶行列式

a b a a ba 1 l ba b1 bm
除 a , b 外，其它元素的逆序数不改变.
当 a b 时，
经对换后 a 的逆序数增加1 ,
当 a b 时，
b 的逆序数不变;
b 的逆序数减少1. 经对换后 a 的逆序数不变，
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 a1 al ab1 bm bc1 cn 现来对换 a 与b .
四、n阶行列式的定义
三阶行列式
a11 D a 21 a 31
说明
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a 33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
（1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
中，6项的行下标全为123，而列下标分别为
123，231，312 132，213，321 此三项均为正号此三项均为负号
为了给出n 阶行列式的定义，下面给出全排列及其逆序数的概念及性质。
三、全排列及其逆序数
定义由1，2，···，n 组成的有序数组称为一个n级全排列。记为 j1 j2 ··· jn.
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列
的三个元素的下标排列．
例如
a13a21a32
列标排列的逆序数为
偶排列
正号
312 1 1 2
a11a23a32
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13
列标排列的逆序数为
说明 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的; 2、 n 阶行列式是n! 项的代数和;

二阶行列式

例1．展开并化简下列行列式：
(1)
5 1 8 2 =5×2－8×1＝2
Байду номын сангаас
2
1 5 8 2
=1×2－5×8＝-38
由１、２可知，行列式中元素的位置是不能随意改变的
3
cos sin
2
sin cos
2
cos cos sin sin
二阶行列式的展开
主对角线
D
a1 a2
b1 a b a b 1 2 2 1 b2
副对角线
二阶行列式的展开满足：对角线法则
二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线 (又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫副对角线) 上两个元素的乘积，取负号．
解:将原方程组化为:
D
Dx
3 1 1
1
3 x y 5 x 2 y 1
2
2
3 2 1 1 7
5 2 1 1 11
5 1
Dy
3 5 1 1
3 1 1 5 2
DX 11 所以x= = , D 7
DY 2 y= =D 7
11 x 7 因此，原方程组的解为 2 y 7
巩固练习数学课本第91页，练习9.3 （1）
问题拓展
• 1.二阶行列式的值为零时，行列式中的元素有何特征？ • 2.举例说明，当二元一次方程组的系数行列式的值为零时，方程组的解会有怎样的可能？
D 答（1）当D=0时, x Dy 0 方程组(*)有无穷组解；
(1) b2 (2) b1 , 得 a1b2 a2b1 x c1b2 c2b1

二阶行列式与逆矩阵

u
x y
.
0
1
该方程组有解,由①×④-②×③,得
(ax+cy)(bu+dv)-(bx+dy)(au+cv)=1,
即 adxv+bcyu-aduy-bcxv=1,
∴ad(xv-uy)-bc(xv-uy)=1.
∴(ad-bc)(xv-uy)=1 成立.∴ad-bc≠0.
由①×b-②×a,得(bc-ad)y=b,
-
det

det
.
∴当 ad-bc≠0,即 ≠0 时,A 存在逆矩阵 A-1=

det
-
det
-
det

det
.
题型一
题型二
题型三
题型一
题型四
行列式的计算
【例 1】计算下列行列式:(1)
3
-1
2
5
;
(2) 7 -9 .
8 4
分析:根据行列式的定义,把对角线上的数相乘再相减即可.
1
-2
-2
-5
6
17
10
-5
4
5
.
题型一
题型二
题型三
题型四
错因分析:把矩阵 A 的逆矩阵求错了,应该是 A-1=
-1
-10
-4
-10
-3
-10
-2
-10
1
10
3
10
=
2
5
1
5
, 因而计算时不要用错公式.
4
-2
正解:设 A=
,
3
∵detA=
-2
3
-1
4
= 2 − 12 = −10≠0,

二阶行列式特征值计算方法

二阶行列式特征值计算方法
二阶行列式特征值计算方法是通过解特征方程来得到的。

假设A是一个2×2的矩阵，特征方程是det(A-λI)=0，其中det 表示行列式，λ是特征值，I是单位矩阵。

根据特征方程，我们可以得到：
det(A-λI) = (a-λ)(d-λ) - bc = ad - λ(a+d) + λ^2 - bc = 0
整理得到：λ^2 - λ(a+d) + (ad-bc) = 0
这是一个二次方程，可以通过求根公式或者配方法求解。

将方程的两根分别记为λ1和λ2，即特征值为λ1和λ2。

特别地，如果方程的解为实数，那么两个特征值也都是实数；如果方程的解为复数，那么两个特征值也都是共轭复数。

求得特征值后，就可以进一步求特征向量。

将特征值代入到原方程(A-λI)x=0中，求解齐次线性方程组，得到特征向量。

需要注意的是，特征方程可能会有重根，即两个特征值相等的情况。

这时，需要进行一些额外的处理。

二阶行列式与三阶行列式的关系

二阶行列式与三阶行列式的关系二阶行列式与三阶行列式是线性代数中的两个基本概念，它们之间存在着重要的联系和关系。

首先，我们知道一个二阶行列式可以表示为：
$$
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
$$
而一个三阶行列式可以表示为：
$$
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-
a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-
a_{22}a_{31})
$$
可以发现，三阶行列式中的每个元素是由二阶行列式推导而来的，即三阶行列式可以通过对二阶行列式的逐项展开得到，而每一项的系
数正负号是有规律的（著名的莱布尼茨公式）。

因此，我们可以说：二阶行列式是三阶行列式中的一部分，从二
阶行列式可以推出三阶行列式。

同时，由于三阶行列式具有更高的维度和更多的元素，它的推导
和计算更加繁琐和复杂，因此在实际应用中，我们常常可以通过对三
阶行列式的展开和简化，来得到更简单的二阶行列式。

综上所述，二阶行列式与三阶行列式是密切相关的概念，它们之
间的关系有助于我们更好地理解和应用行列式的相关知识。

二阶行列式

Dx 0,or Dy 0
•
系数行列式判别式。
D a1
b1
也为二元一次方程组解的
a2 b2
巩固练习数学课本第91页，练习9.3 （1）
• 课堂小结 • ①二阶行列式的展开法则； • ②用二阶行列式来解二元一次方程组.
精品课件！
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作业布置
数学练习部分第51页，习题9.3A 组，第1、2、3题．
• ③举例说明，当二元一次方程组的系数行列式的值为零时，方程组的解会有怎样的可能？
• 答：（1）当D≠0时，方程组(*) 的唯一解可以表示
成

x

DX D

y

Dy D
• （2）当D=0时, Dx Dy 0 方程组(*)有无穷组解；
• (3) 当D=0时,
方程组(*) 无解。
什么叫二阶行列式？
定义：
二阶行列式的展开满足：对角线法则
实线表示的对角线叫主对角线，虚线表示的对角线叫副对角线。二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线 (又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线) 上两个元素的乘积，取负号．
由于行列式D是由方程组（*）中未知数X、Y的系数组成的，通常被叫做方程组（*）的系数行列式；行列式 DX和DY分别是用方程组（*）的常数项C1C2替换行列式D中X的系数a1a2或Y的系数b1b2后得到的
例2用行列式解下列二元一次方程组：
1、54xx

11y 15 y

8 6
所以X = DX = 6, Y = DY = 2
例1．展开并化简下列行列式：

二阶行列式的几何意义

二阶行列式的几何意义二阶行列式的几何意义 1行列式是由一些数据排列成的方阵经过规定的计算方法而得到的一个数。

当然，如果行列式中含有未知数，那么行列式就是一个多项式。

它本质上代表一个数值，这点请与矩阵区别开来。

矩阵只是一个数表，行列式还要对这个数表按照规则进一步计算,最终得到一个实数、复数或者多项式。

一阶行列式（注意不是绝对值）二阶行列式三阶行列式N阶行列式行列式的几何意义是什么呢？概括说来有两个解释：一个解释是行列式就是行列式中的行或列向量所构成的超平行多面体的有向面积或有向体积；另一个解释是矩阵A的行列式detA就是线性变换A下的图形面积或体积的伸缩因子。

这两个几何解释一个是静态的体积概念，一个是动态的变换比例概念。

但具有相同的几何本质，因为矩阵A表示的（矩阵向量所构成的）几何图形相对于单位矩阵E的所表示的单位面积或体积（即正方形或正方体或超立方体的容积等于1）的几何图形而言，伸缩因子本身就是矩阵矩阵A表示的几何图形的面积或体积，也就是矩阵A的行列式。

二阶行列式的几何意义 2二阶行列式的几何意义是xoy平面上以行向量为邻边的平行四边形的有向面积。

二阶行列式的几何意义是行列式的向量所构成的平行四边形的面积。

另外，两个向量的叉积也是公式。

二阶行列式的另一个意义就是是两个行向量或列向量的叉积的数值，这个数值是z轴上（在二维平面上，z轴的正向想象为指向读者的方向）的叉积分量。

如果数值是正值，则与z坐标同向；负值就与z坐标反向。

如果我们不强调叉积是第三维的向量，也就是忽略单位向量，那么二阶行列式就与两个向量的叉积完全等价了。

二阶行列式性质的几何解释：两向量在同一条直线上，显然围成的四边形的面积为零，因此行列式为零这个性质由行列式的叉积特性得到，交换行列式的两行，就是改变了向量a和向量b的叉积顺序，根据，因此行列式换号。

把行列式的一行的k倍加到另一行，则行列式值不变，即矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式（根据行列式的定义可证）总结：（1）用一个数k乘以向量a,b中之一的a，则平行四边形的面积就相应地增大了k倍；（2）把向量a,b中的一个乘以数k之后加到另一个上，则平行四边形的面积不变；(3)单位向量(1，0)和(0，1)构成的平行四边形(即单位正方形)的面积为1。