二项式定理中展开式系数的六种类型
二项式定理通项公式
例3：计算0.99710 的近似值。精确到0.001
解：0.99710 1 0.00310
c100 110 c110 19 0.003 c120 18 0.003 2
根据精确度的要求，从第三项起的各项都可以省去，所以
0.997 10 110 0.003 45 1 0.000009
a b0 1
a b1 1 1
a b2 1 2 1 a b3 1 3 3 1 a b4 1 4 6 4 1 a b5 1 5 10 10 5 1 a b6 1 6 15 20 15 6 1
表中每行两端都是1，而且除1以外的每 一个数都等于它肩上两数的和.
通项公式的应用:Tk+1=Cnkan-kbk
3
(2) 求展开式中含x2 的项。
(3) 求展开式中系数最大的项和系数
最小的项。
例 的系5. 数已与知第( 三x －项x的22 )系n (数n∈的N比)的为展10开:1。式(中1)第求五展项开
3
式各项系数的和；(2) 求展开式中含 x 2的项。 (3) 求展开式中系数最大的项和系数最小的项。
分析：要灵活、正确的应用二项展开 式的 通项公式。 (1) 先根据通项公式得到第五项与第 三项 的系数，再由已知条件求出n的 值。由“赋值法”求各项系数的和。
通项公式:TK+1=Cnkan-kbk
2.二项展开式的特点 (1) 项数： 展开式有共n+1项 (2) 系数 ： 都是组合数，
依次为Cn0，Cn1，Cn2，Cn3，…Cnn (3) 指数的特点 ：
1) a的指数 由n 0 (降幂) 2) b的指数由0 n (升幂) 3) a和b的指数和为n
3.二项式定理的几个变式：
二项式定理 练习题 求展开式系数的常见类型
二项式定理1．在()103x -的展开式中，6x 的系数为 .2.10()x -的展开式中64x y 项的系数是 .3．92)21(xx -展开式中9x 的系数是 . 4.8)1(xx -展开式中5x 的系数为 。
5.843)1()2(xx x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 6.在65)1()1(x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是 .7.在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为 .8.()()811x x -+的展开式中5x 的系数是 . 9.72)2)(1(-+x x 的展开式中3x 项的系数是 。
10.54)1()1(-+x x 的展开式中，4x 的系数为 .11.在62)1(x x -+的展开式中5x 的系数为 .12.5)212(++xx 的展开式中整理后的常数项为 .13.求(x 2＋3x －4)4的展开式中x 的系数．14.(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为 .15.若 32()nx x -+的展开式中只有第6项的系数最大，则n= ，展开式中的常数项是 .16.已知(124x +)n 的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项式系数最大的项的系数．17.在(a ＋b )n 的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为64，则二项式系数的最大值为________．18.若2004200422102004...)21(x a x a x a a x ++++=-)(R x ∈，则展开式的系数和为________．19.已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则a 1＋a 2＋…＋a 7的值是________．20.已知(1－2x ＋3x 2)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 13x 13＋a 14x 14.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 14； (2)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13.。
二项式定理的常见题型及解法特全版
Cxy
3 7
4
4
，和第 5 项
C
二、通项公式的应用
1 ．确定二项式中的有关元素
例 4．已知 (
a x 9 9 ) 的展开式中 x 3 的系数为 ，常数 a 的值为 x 2 4
r 3 r 9
解： Tr 1 令
r 9 a x C ( ) 9r ( ) r C9r (1) r 2 2 a 9r x 2 x 2
9 令 18 3x 9, 则 r 3 ，从而可以得到 x 的系数为：
C
3 9
1 21 21 ( ) 3 ， 填 2 2 2
（备用题） ： （05 年山东卷）已知 (3x
1
3
x
2
) n , n N 的展开式中各项系数和为 128，则展
开式中
1 的系数是( x3
1 的展开式中没有 常数项， 且 2≤n≤8， n N* ， ．． 3 x
n
分析：本小题主要考查二项式定理中求特定项问题。依题 ( x
1 n ) 对 n N * , 2 剟n 3 x
8 中，
只有 n 5 时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与 x 、 x 2 乘积为常数的项。故填 5。 （备用题） （05 年湖北卷） (
C
1
5
11
(1) 5 462
（2） 一般的系数最大或最小问题 例 12．求 ( x
2 x
4
) 8 展开式中系数最大的项；
解：记第 r 项系数为 Tr ，设第 k 项系数最大，则有
Tk Tk 1 Tk Tk 1
又 Tr
C
r 1 8
.2 r 1 ，那么有
(完整版)二项式展开式系数的性质
(
2)n cos n
4
Cn1 Cn3 Cn5 Cn7 L
(
2)n sin n
4
证明：
2
cos
4
i sin
4
n
(
2)n cos n i(
4
2)n sin n
4
①又Βιβλιοθήκη 2cos4
i
sin
4
n
2
2 i 2
2 2
n
(1
i)n
1 Cn1i Cn2 Cn3i Cn4 Cn5i Cn6 Cn7i L
(Cn0 Cn1x Cn2 x2 L Cnn xn )(Cn0xn Cn1xn1 L Cnn1x Cnn )
令a 1,b 1,则0 Cn0 C1n Cn2 Cn3 (1)n Cnn
Cn0 Cn2 Cn2r C1n Cn3 Cn2r1 2n1
性质4：
4. (x y)n 展开式共有 n 1 项。二项式系数：小 大 小
当当nn为为偶奇数数时时，，中中间间项两为项第系数n2 最1大项，，它二们项是式第系n数C1 n项n2 最和大； 2
证明：Q kCnk nCnk11 ,
n
n
n
左边
kCnk
nCnk11 n
C k 1 n1
k 1
k 1
k 1
n 1
n
Ck n 1
n 2n1 右边
k 0
(2)
Cn0
1 2
Cn1
1 3
Cn2
L
1 n 1
Cnn
1 (2n1 1) n 1
证明：Q (k 1)Cnk11 (n 1)Cnk ,
的展开式中，按
1 2
超详细的.二项式展开式性质
1 9 3 变式：求（ x 2 ) 展开式中含 x 的项 x
通项公式： Tr+1= Cnr an-rbr (r=0, 1, 2, …, n)
9 r r x 9r 3 r r 1 9r r Tr 1 C ( ) ( ) C9 ( ) 3 x 2 3 3 x 1 由9-r- r 0得r 6. 2 6 1 96 6 T7 C9 ( ) 3 2268 3
1 1
1
1 1 3
2
3
1
1
试一试：你能根据杨 辉三角形写出(a+b)5 的展开式吗？
4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
杨辉三角形
(a+b) 5= a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
(1 x ) C C x C x C x ;
n 0 n 1 n r n r n n n 0 1 r n (1 1)n Cn Cn Cn Cn ; 0 1 r n (1 x )n Cn Cn x (1)r C n x r (1)n C n x n ;
n 2 n
C
相等，且同时取得最大值。 n （3）各二项式系数的和 C0 C1 C2 Cn 2n n n n 且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和2n-1
C
n 1 2 n
、
C
n 1 2 n
特值思想、不可忽视
二项式定理对任意的数a、b都成
立，当然对特殊的a、b也成立！
2.已知（ x
Байду номын сангаас
二项式定理应用的六种题型
二项式定理的应用二项式定理)()(110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a nn n k k n k n n n n n n ⑴这个公式叫做二项式定理.⑵展开式：等号右边的多项式叫做nb a )(+的二项展开式，展开式中一共有1+n 项.⑶二项式系数：各项的系数}),,2,1,0{(n k C kn ∈叫做二项式系数.展开式的通项n b a )(+展开式的第1+k 项叫做二项展开式的通项，记作k k n k n k b a C T -+=1.题型1求某项系数例1.二项式8312(xx-中展开式的常数项是)(答案：常数项为7)1()21(68627=-⋅=C T .例2.在62)1(xx +的展开式中，3x 的系数是)(答案：20.例3.若二项式7)1(xx -的展开式中的第四项等于7,则x 的值是)(答案：51-=x .题型2多个多项式例4.72)1()1()1(x x x ++++++ 的展开式中，3x 的系数是)(答案：3x 的系数为7048373433==+++C C C C .例5.设432231404321))()()((A x A x A x A x A a x a x a x a x ++++=++++则=2A ；=3A ；答案：4343243212)()(a a a a a a a a a A +++++=，4324314213212a a a a a a a a a a a a A +++=.例6.9)2(z y x -+的展开式中324z y x 的系数为)(.答案：324z y x 的系数为5040-.例7.求当52)23(++x x 的展开式中x 的一次项的系数为)(.分析：解法①：5252]3)2[()23(x x x x ++=++，r rrr x x C T )3()2(5251-++=，当且仅当1=r 时，1+r T 的展开式中才有x 的一次项，此时x x C T T r 3)2(421521+==+，所以x 的一次项为x C C 3244415⋅，它的系数为2403244415=⋅C C .解法②：)22)(()2()1()23(555415505554155055552C x C x C C x C x C x x x x ++++++=++=++ 故展开式中含有x 的项为x x C xC C 2402244555545=+，故展开式中x 的系数为240.例8.求式子3)21(-+xx 的常数项为)(答案：631()21(xx x x -=-+，设第1+r 项为常数项，则rr r r rr r r xC xxC T 266661)1(1()1(--+-=-=，得3026=⇒=-r r ，所以20)1(36313-=-=+C T .例9.52)1)(1(x x x -++的展开式中，4x 的系数是)(分析：已知表达式展开式中每一项由两部分相乘而成，要想凑得4x ，不妨从其中一个式子切入进行分类讨论（以)1(2x x ++为例）1：)1(2x x ++出1，则5)1(x -出4x ，该项为：44455)(11xx C =-⋅⋅⋅2：)1(2x x ++出x ，则5)1(x -出3x ，该项为：4323510)(1xx C x -=-⋅⋅⋅3：)1(2x x ++出2x ，则5)1(x -出2x ，该项为：42325210)(1x x C x =-⋅⋅⋅综上所述：合并同类项后4x 的系数是5.例10.102)1(+-x x 的展开式中3x 的系数是)(分析：本题不利于直接展开所有项，所以考虑将其转化为10个因式如何分配所出项的问题：若要凑成3x 有以下几种可能：⑴：1个2x ，1个)(x -，8个1，所得项为：3888192110901)(xC x C x C -=⋅-⋅⑵：3个)(x -，7个1，所得项为：377733101201)(x C x C -=⋅-，所以3x 的系数是210-.例11.求43)1()21(x x -+的展开式中2x 的系数是)(分析：因为3)21(x +的展开式的通项是3,2,1,0,2)2(33=⋅⋅=⋅m x C x C mmmmm，4)1(x -的展开式的通项是4,3,2,1,0,)1()(44=⋅-⋅=-⋅n x C x C n n nn n ，令2=+n m ，则有0=m 且2=n ，1=m 且1=n ，2=m 且0=n ，因此43)1()21(x x -+的展开式中2x 的系数等于6)1(2)1(2)1(20422311411322403-=-⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅C C C C C C .例12.求10463)11()1(xx ++展开式中的常数项是)(答案：4246例13.已知nxx x x 1)(1(32+++的展开式中没有常数项，*∈N n 且82≤≤n ，则=n 分析：n xx 1(3+的展开式的通项为rn r n r r n r n x C x x C 43---⋅=⋅⋅，通项分别与前面三项相乘可得24144,,+-+--⋅⋅⋅r n r n r n r n rn rn x C x C xC ，因为展开式中不含常数项，82≤≤n 所以r n 4≠且14-≠r n 且24-≠r n ，即8,4≠n 且7,3≠n 且6,2≠n ，所以5=n 题型3系数特征例14.在204)3(y x +的展开式中，系数为有理数的项有项.答案：6项例15.求二项式93)(x x -的展开式中的有理项.分析：62793192191)1()()(x r rrrrr xC x x C T --+-=-=，令)90(,627≤≤∈-r Z r得3=r 或9=r 当3=r 时，44393484)1(,4627x x C T r -=-==-，当9=r 时，3399910)1(,3627x x C T r -=-==-.例16.nx )21(+的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项，系数最大的项.分析：二项展开式的通项rrrn r x C T 21=+，由第6项与第7项的系数相等得，8226655=⇒=n C C n n ，所以展开式中二项式系数最大得项为44448511202x x C T ==，设第1+r 项系数最大，则⎩⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅++--118811882222r r r r r r r r C C C C ，解之得65≤≤r 即5=r 或6，所以系数最大得项为55558617922x x C T ==或66668717922x x C T ==.例17.在nb a 2)(+的展开式中，求二项式系数最大的项.分析：二项式的幂指数是偶数n 2，则中间一项的二项式系数最大，即1122++=n nT T ，也就是第1+n 项.例18.在nxx)12(3-的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是.分析：只有第5项的二项式最大，则512=+n，即8=n ，所以展开式中的常数项为第7项等于721(268=C .题型4求系数和常用赋值举例：⑴设nn n r r n r n n n nn nb C b a C b aC a C b a +++++=+-- 11)(，①令1==b a ，可得：nnn n n nC C C C ++++= 212②令1,1-==b a ，可得：nn n n n n n C C C C C )1(0321-+-+-= ，即13120-+++=+++n n n n n n n n C C C C C C （假设n 为偶数），再结合①可得：1131202--=+++=+++n n n n n n n n n C C C C C C ⑵设nn n xa x a x a a x x f ++++=+= 2210)12()(①令1=x ，则有：)1()112(210f a a a a nn =+⨯=++++ ，即展开式系数和②令0=x ，则有：)0()102(0f a n=+⨯=，即常数项③令1-=x ，设n 为偶数，则有：)1()1)1(2(3210-=+-⨯=++-+-f a a a a a nn ，所以)1(((13120-=+++-+++-f a a a a a a n n ）），即偶次项系数和与奇次项系数和的差，由①③即可求出）n a a a +++ 20(和）131(-+++n a a a 的值例19.已知0199101052)123(a x a x a x a x x ++++=+- ，求29753121086420)()(a a a a a a a a a a a ++++-+++++的值.分析：令1=x ，得510102=+++a a a ，令1-=x ，得59753110864206)()(=++++-+++++a a a a a a a a a a a ，所以555297531210864201262)()(=⨯=++++-+++++a a a a a a a a a a a 求展开式系数和，充分利用赋值法.赋值时，一般地，对于多项式nn nx a x a x a a px x g ++++=+= 2210)1()(有以下结论：⑴)(x g 的二项式系数和为n2；⑵)(x g 的奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和12-=n ；⑶)(x g 的各项系数和为)1(g ；⑷)(x g 的奇数项的系数和为)]1()1([21-+g g ；⑸)(x g 的偶数项的系数和为)]1()1([21--g g .例20.已知1111221092)1()1()1()2)(1(-++-+-+=-+x a x a x a a x x ，则1121a a a +++ 的值为.分析：本题虽然等式左侧复杂，但仍然可通过对x 赋予特殊值得到系数的关系式，观察所求式子特点可令2=x ，得到011210=++++a a a a ，只需要再求出0a 即可.令1=x 可得20-=a ，所以21121=+++a a a .例21.设443322104)22(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为.分析：所求))(()()(43210432102312420a a a a a a a a a a a a a a a +-+-++++=+-++，在恒等式中令1=x 可得443210)22(+=++++a a a a a ，令1-=x 可得44321022(-=+-+-a a a a a ，所以16)22(22()()(442312420=-+=+-++a a a a a 例22.若55443322105)32(x a x a x a x a x a a x +++++=-，则||||||||||||543210a a a a a a +++++等于.分析：虽然5)32(x -的展开式系数有正有负，但5)32(x -与5)32(x +对应系数的绝对值相同，且5)32(x +展开式的系数均为正数.所以只需计算5)32(x +的展开式系数和即可.1=x 可得系数和为55，所以55432105||||||||||||=+++++a a a a a a .例23.若)(2206220N n C C n n ∈=++，且n n n x a x a a x +++=- 10)2(，则n n a a a a )1(210-+-+- 等于.分析：由2206220++=n n C C 可得262+=+n n 或202)62(=+++n n ，解得4=n ，所求表达式只需令1-=x ，可得81)]1(2[)1(4210=--=-+-+-n na a a a .例24.已知nn nx a x a a x x x +++=++++++ 102)1()1()1(，若n a a a n -=+++-29121 ，则n 的值为.分析：在恒等式中令1=x 可得系数和12)12(222221210--=+++=++++-n nn a a a a ，与条件联系可考虑先求出0a ，n a ，令0=x ，可得n a =0，展开式中n a 为最高次项系数，所以1=n a ，所以12211210---=+++++-n a a a a n n ,所以n n n -=---+291221，即3221=+n ，解得4=n .例25.55443322105)32(x a x a x a x a x a a x +++++=-，则5432105432a a a a a a +++++的值是.分析：设55443322105)32()(x a x a x a x a x a a x x f +++++=-=所以45342321454322)32(5)(x a x a x a x a a x x f ++++=⋅-='，令1=x 可得54321543210a a a a a ++++=而在55443322105)32(x a x a x a x a x a a x +++++=-中，令0=x ，可得243350-=-=a ，所以2335432543210-=+++++a a a a a a .例26.已知10102210)(x a x a x a a x g ++++= ，9910)(x b x b b x h +++= ，若)()()1()21)(1(1019x h x g x x x +-=-+，则=9a .分析：由条件中恒等式的特点可得对应项的系数相等，在)()1(10x g x -中，与9a 相关的最高次项为19x ，故以此为突破口求9a ，等式左边19x 的系数为18181919)2()2(-+-C ，而右边19x 的系数为9910109)1(-⋅+C a a ，所以181819199910109)2()2()1(-+-=-⋅+C C a a ，只需再求出10a 即可，同样选取含10a 的最高次项，即20x ，左边20x 的系数为19)2(-，右边20x 的系数为10a ，所以1910)2(-=a ，从而解得18923⨯-=a .题型5逆用例27.=++⋅+⋅+-12321666n nn n n n C C C C .答案：)17(61-n例28.=++++-n n n n n n C C C C 1321393 .答案：314-n 题型6应用例29.证明：)(98322*+∈--N n n n 能被64整除分析：21111101211111011111211111011122888981)1(888898888898)18(989983-++++-+++++++-++++++++++=--++++++=--+++++=--+=--=--n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C n n C C C n C C C C C n n n 由于各项均能被64整除所以)(98322*+∈--N n n n 能被64整除.例30.已知*∈N n ，求证：1522221-++++n 能被31整除.分析：132122121222155152-=-=--=++++-n n n n 113131311)131(111-+⨯++⨯+=-+=--n n n n n n C C )3131(311211---++⨯+⨯=n n n n n C C 显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除.。
二项式定理中展开式系数的六种类型
二项式定理中展开式系数的六类题型求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。
一 、)()(*∈+N n b a n 型例1．10()x -的展开式中64x y 项的系数是（ ）（A ）840 （B ）－840 （C ）210 （D ）－210解析：在通项公式1r T +=1010()r r r C x -中令r =4，即得10()x 的展开式中64x y 项的系数为4410(C =840,故选A 。
例2．8)1(x x -展开式中5x 的系数为 。
解析：通项公式r rr r r rr x C x x C T 2388881)1()1(--+-=-= ，由题意得5238=-r ，则2=r ，故所求5x 的系数为28)1(282=-C 。
评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r 的值。
二 、),()()(*∈+±+N m n d c b a m n 型例3．843)1()2(xx x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 解析；342()x x-的通项公式为341241442()()(2)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-,令0412=-r ，则3=r ,这时得342()x x-的展开式中的常数项为3342C -=－32, 81()x x+的通项公式为8821881()k k k k k k T C x C x x --+==,令028=-k ，则4=k ,这时得81()x x +的展开式中的常数项为48C =70，故843)1()2(x x x x ++-的展开式中常数项等于387032=+-。
例4．在65)1()1(x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是（ ）(A)5- (B) 5 (C) 10- (D) 10解析：5)1(x -中3x 的系数35C -=10-, 6)1(x --中3x 的系数为336(1)C -⋅-=20,故65)1()1(x x ---的展开式中3x 的系数为10,故选D 。
二项式定理(2)
9r
r
9
展开式中的有理项
r r 9
27 r 6
27 r 3 r 令 Z 即4 Z (r 0,19) 6 6
r 3或r 9
27 r 3 3 4 4 r 3 4 T4 (1) C9 x 84 x 6 27 r 9 9 3 3 r 9 3 T10 (1) C9 x x 6 3 4 原式的有理项为:T4 84 x T10 x
二项式定理(2)
复习回顾
1、二项式定理：
1 (a b) n Cn0 a n Cn a n1b Cn2 a n2b 2 Cnr a nr b r Cnnb n
注：展开式共有n+1项
2、通项：
Tr 1 C a b
r nr r n
注：区分二项式系数和项的系数
的通项是
16 r 2 s 2
C C (1) 2
s 5 r 6 s
5 s
x
由题意知：
16 r 2 s 2
6
r 2s 4 (r 06, s 05)
解得
r 0 s 2
2 3
1 5
r 2 s 1
2 6 4
r 4 s 0
所以 x 6 . 的系数为:
2
5
15 6 1 8 1 (2) T21 C ( x ) 15 x 2 x , 2x 4x 4 15 故第3项的系数为 . 4
例1
在
2 1 x 2x
9
的展开式中，求：
(1)第6项 (2)第3项的系数(3)含x9的项(4)常数项
0 4 C5 C6 (1)0 25 640 C C (1) 2 C C (1)2
二项式定理知识点总结
二项式定理一、二项式定理：ab n CaCabCabCb0n1n1knkknnnnnn （nN）等号右边的多项式叫做nab的二项展开式，其中各项的系数kC(k0,1,2,3n)叫做二项式系数。
n对二项式定理的理解：（1）二项展开式有n1项（2）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1到0；字母b按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n（3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a,b，等式都成立，通过对a,b取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。
在定理中假设a1，bx，则nCxCxCxCx1x（nN）nnnn0n1knknn（4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式nab展开，得到一个多项式；n 另一方面，也可将展开式合并成二项式ab二、二项展开式的通项：knkk T k1Cabn二项展开式的通项knkkT k1Cab(k0,1,2,3n)是二项展开式的第k1项，它体现了n二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用对通项knkkT k1Cab(k0,1,2,3n)的理解：n（1）字母b的次数和组合数的上标相同（2）a与b的次数之和为n（3）在通项公式中共含有a,b,n,k,Tk这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素1例1．132933等于（）n1nC n CCCnnnA．n4B。
n4n34C。
13D.n431例2．（1）求7(12x)的展开式的第四项的系数；（2）求19(x)x的展开式中3x的系数及二项式系数三、二项展开式系数的性质：①对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即 0n1n12n2knk C n C,CC,C C,CCnnnnnnn,②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。
二项式定理中展开式系数的六种常见类型--学生版
二项式定理中展开式系数的六种常见类型一 、)()(*∈+N n b a n 型例1．10()x 的展开式中64x y 项的系数是（ ）（A ）840 （B ）－840 （C ）210 （D ）－210例2．8)1(x x -展开式中5x 的系数为 。
评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r 的值。
二 、),()()(*∈+±+N m n d c b a m n 型例3．843)1()2(xx x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 例4．在65)1()1(x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是（ ）(A)5- (B) 5 (C) 10- (D) 10三 、),()()(*∈++N m n d c b a m n 型 例5．72)2)(1(-+x x 的展开式中3x 项的系数是 。
例6．()()811x x -+的展开式中5x 的系数是（ ）（A ）14- （B ）14 （C ）28- （D ） 28四 、)()(*∈++N n c b a n 型例7．5)212(++xx 的展开式中整理后的常数项为 .五 、1()()()(,,1)m m n a b a b a b m n N m n +*++++++∈≤< 型例8．在62)1()1()1(x x x ++++++ 的展开式中，2x 项的系数是 。
例9．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( )(A) 74 (B) 121 (C) －74 (D) －121六 、求展开式中若干项系数的和或差 例10．若2004200422102004...)21(x a x a x a a x ++++=-)(R x ∈， 则_______)()()()(20040302010=++++++++a a a a a a a a 。
(用数字作答)例11．423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2312420)()(a a a a a +-++的值为（ ）(A) 1 (B) －1 (C) 0 (D) 2。
二项式定理
－ － －
＋ n· 2n－1＝(n＋2)· 2n－1， 故 3n>(n＋2)· 2n－1.
2 n 例 4：已知( x－ 2) (n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三 x 项的系数的比是 10∶1. (1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含x 的项； (3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．
2 3 1 ( x 2) 【 3】 展开式中的常数项是_______. 2 x
20
1 1 3 3 C x C 2 C1 ( 2) C3 (2) x
1 3 2 1 2
20.
( x 2 12 2)3 ( x 1 )6 x x
Tr +1 = (1) C x
r n－ r r n－ r r a＝2x，b＝3y，Tr＋1＝Cn2 · 3 x y ，其中 r Cn
2n－r3r 就是 Tr＋1 项的系数．
求展开式中的特定项或特 定项的系数
1 x＋ n 例 1 在二项式 4 的展开式中，前三项的系数成等 2 x 差数列，求展开式中的有理项和二项式系数最大的项．
4 所以x的系数为 C4 5 3 2 240.
【点评】三项式不能用二项式定理,必须转化 为二项式．
例1. 求(x2十3x十2)5的展开式中x的系数． 解法二：因为 (x2 十 3x 十 2)5 ＝ (x2 十 3x 十 2)(x2 十 3x十2)(x2十3x十2)(x2十3x十2)(x2十3x十2), 所以 (x2 十 3x 十 2)5 展开式的各项是由五个 因式中各选一项相乘后得到的. 则它的一次项只能从五个因式中的一个取 一次项3x,另四个因式中取常数项2相乘得到.
二项式定理及其系数的性质
03
这些性质在解决某些数学问题 时非常有用，如求和、求积等 。
03 系数性质分析
组合数性质回顾
组合数定义
$C_n^k = frac{n!}{k!(n-k)!}$，表示从 $n$个不同元素中选取$k$个元素的组合数。
VS
组合数性质
$C_n^k = C_n^{n-k}$（互补性）， $C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$（帕斯卡三角形）， $C_n^0 + C_n^1 + ldots + C_n^n = 2^n$（二项式定理特例）。
根据二项式定理的通项公式，可以直接计算出展开式中 任意一项的系数。具体方法为：确定该项在展开式中的 位置（即序号$k$），然后代入通项公式计算即可。
若需要求多项式的某一项系数，可以先将多项式按照 二项式定理展开，然后找到对应位置的项并计算其系 数。
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常见问题一
根据二项式定理的通项公式，若某项 的系数为0，则该项不存在于展开式 中。因此，可以通过判断通项公式中 组合数或二项式系数的值是否为0来 确定某项是否存在。
VS
当$n<k$时，组合数$C_n^k=0$， 因此对应的二项式系数也为0。此时， 展开式中不存在该项。
常见问题二：如何求展开式中特定项系数？
在二项式定理的通项公式$T_{k+1}=C_n^k cdot a^{n-k} cdot b^k$中，混淆$n$、$k$、$a$、$b$的含义和取值范围。其 中，$n$表示二项式的次数，$k$表示项的序号（从0开始计数），$a$和$b$分别表示二项式中的两个实数。
错误地认为通项公式中的组合数$C_n^k$与二项式系数完全相同，实际上二者在数值上相等，但意义不同。组合数表示从 $n$个不同元素中取出$k$个元素的组合数，而二项式系数表示$(a+b)^n$展开后各项的系数。
二项式定理的常见题型及解法
二项式定理的常见题型及解法二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，解法灵活且比较难掌握。
二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。
二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。
本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用。
一、求二项展开式1.“（“+〃）"”型的展开式例1.求（3« + J）4的展开式：解：原式=（亨）4 = 3 y/x X-=3Gt），+ 0： 3靖 +（3x）2 + d 由）+。
：］A= -4（8 lx4 + 84x3 + 54x2 +12x +1） =81x2 +84x+—+ -4 + 54厂x 厂2."（“一匕）"”型的展开式例2.求（36一，=）4的展开式：分析：解决此题，只需要把（34一3）4改写成［36+（—一的形式然后按照二项展开式yjx y］X 的格式展开即可。
本题主要考察了学生的“问题转化”能力。
3.二项式展开式的“逆用”例3.计算1—3C：+9C：—27C：+~・+（-1）"3"C；：解：原式=<7>d（一到+C：（-3）2+C：（—3）3+....+ C»3）” =（1-3）” =（-2）”二、通项公式的应用1.确定二项式中的有关元素a反 Q? 9例4.已知（一一1一）’的展开式中工3的系数为一，常数4的值为______________x V 2 4解：= C；（色尸（J） = G；（-l）r-2^ •，产「x V 23 Q令三•一9 = 3,即〃=8依题意，得C；（一1）8・27.。
内=“解得。
=一12.确定二项展开式的常数项例5.（五一二，）1°展开式中的常数项是]5-5 5解：7；+1 =c;Q ^）i0-r （--y=（-\yc;0-x 令5—7r= 5 即r= 6. 所以常数项是（-l ）6c* =2103 .求单一二项式指定器的系数例6.（』一一-）9展开式中X 9的系数是 _____________ 2%解:心=仁“产（-/ =仁”2（一'7=仁（-；）“心令18 - 3x = 9,则广=3,从而可以得到的系数为：。
二项式展开式系数的性质
π π nπ nπ n n 证明： 2 cos + i sin = ( 2) cos + i ( 2) sin 4 4 4 4
n
①
π π 2 2 n +i 又 2 cos + i sin = 2 = (1 + i ) 4 4 2 2
n
n
1 2 3 4 5 6 7 = 1 + Cn i Cn Cn i + Cn + Cn i Cn Cn i +L
= (1 C + C C + L) + i (C C + C C + L) ②
2 n 4 n 6 n 1 n 3 n 5 n 7 n
①、②两式实部与虚部分别对应相等，即得结论成立。
4
6 10
6
8 10
8
10 10
10
105 5 ∴第 5 项系数最大，即 x3 。 8
2. (1) 求 (1 + 2 x)7 展开式中系数最大的项。 (2) 求 (1 2 x) 展开式中系数最大的项。
7
C7k 2k ≥ C7k 1 2k 1 13 16 ≤k≤ k =5 解： k k (1) k +1 k +1 3 3 C7 2 ≥ C7 2
1 10! 1 10! k !(10 k )! 2k ≥ (k + 1)!(9 k )! 2k +1 1 10! 1 10! k ≥ k 1 k !(10 k )! 2 (k 1)!(11 k )! 2
k +1 1 10 k ≥ 2 8 11 ≤k≤ k =3 3 3 11 k ≥ 2 k
二项式展开式系数 的性质
使用二项式定理展开式子
使用二项式定理展开式子二项式定理是代数中的一个重要定理，它可以用来展开二项式的幂，从而得到一系列项的和。
在本篇文章中，我们将讨论如何使用二项式定理展开一个给定的式子。
假设我们要展开的式子是(a + b)^n，其中a和b是实数，n是一个非负整数。
根据二项式定理，展开式子的形式如下：(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + C(n,2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n,n) * a^0 * b^n其中C(n,k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
通过计算组合数，我们可以得到展开式子中的每一项。
接下来，我们将通过几个具体的例子来演示如何使用二项式定理展开式子。
例子一：展开式子 (x + y)^3。
根据二项式定理，展开式子的形式为：(x + y)^3 = C(3,0) * x^3 * y^0 + C(3,1) * x^2 * y^1 + C(3,2) * x^1 *y^2 + C(3,3) * x^0 * y^3。
计算组合数：C(3,0) = 1C(3,1) = 3C(3,2) = 3C(3,3) = 1代入计算结果，展开式子为：(x + y)^3 = 1 * x^3 * y^0 + 3 * x^2 * y^1 + 3 * x^1 * y^2 + 1 * x^0 * y^3。
简化得到最终结果：(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3。
例子二：展开式子 (2a - b)^4。
根据二项式定理，展开式子的形式为：(2a - b)^4 = C(4,0) * (2a)^4 * (-b)^0 + C(4,1) * (2a)^3 * (-b)^1 + C(4,2) * (2a)^2 * (-b)^2 + C(4,3) * (2a)^1 * (-b)^3 + C(4,4) * (2a)^0 * (-b)^4。
高考数学复习-二项式定理中展开式系数的六种常见类型
高考数学二项式定理中展开式系数的六种常见类型一 、)()(*∈+N n b a n 型例1．10()x -的展开式中64x y 项的系数是（ ）（A ）840 （B ）－840 （C ）210 （D ）－210解析：在通项公式1r T +=1010()r r r C x -中令r =4，即得10()x 的展开式中64x y 项的系数为4410(C =840,故选A 。
例2．8)1(x x -展开式中5x 的系数为 。
解析：通项公式r rr r r rr x C x x C T 2388881)1()1(--+-=-= ，由题意得5238=-r ，则2=r ，故所求5x 的系数为28)1(282=-C 。
评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r 的值。
二 、),()()(*∈+±+N m n d c b a m n 型例3．843)1()2(xx x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 解析；342()x x-的通项公式为341241442()()(2)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-,令0412=-r ，则3=r ,这时得342()x x-的展开式中的常数项为3342C -=－32, 81()x x+的通项公式为8821881()k k k k k k T C x C x x --+==,令028=-k ，则4=k ,这时得81()x x +的展开式中的常数项为48C =70，故843)1()2(x x x x ++-的展开式中常数项等于387032=+-。
例4．在65)1()1(x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是（ ）(A)5- (B) 5 (C) 10- (D) 10解析：5)1(x -中3x 的系数35C -=10-, 6)1(x --中3x 的系数为336(1)C -⋅-=20,故65)1()1(x x ---的展开式中3x 的系数为10,故选D 。
二项式定理--展开式
两理两数四原则 十大题型递推法
1.阶乘： n!1 23 n
A 2.排列数： m n! n • (n 1) • (n 2) (n m 1) n (n m)!
C C 3.组合数：
m n
nm Anm
n
m!
注1.一般的，乘积式用于计算，阶乘式用于证明
注2. 常用的排列数： An0 1 An1 n Ann n！
则不同的染色方法有多少种？
法1：通项公式：
hn (k 1)n (1)n (k 1)
法2：化环型域为条型域：
h1 k
A1 An
A2
An1
A3
A4
h2 k(k 1) , h3 k(k 1)(k 2)
tn hn hn1 (n 4)
注：思路显然，但操作量过大
2.环型域： ①无心环型域: 如图，用k种不同的颜色,涂圆中n块区域
注⑤：设n元某计数问题共有an种方法 若求an的通项公式有难度，可考虑求其递推公式
1.分类加法计数原理：
完成一件事有n类方式, 在第一类方式中有m1种不同 的方法,在第二类方式中有m2种不同的方法……,在第n类 方式中有mn种不同的方法.
那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn种不同的方法
2.分步乘法计数原理： 完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同
(a+b)4= a4 + 4a4b+6a2b2 +4ab3 + b4
14641
(a+b)5= a5 +5a4b + 10a3b2 +10a2b3 + 5ab4 + b5 1 5 10 10 5 1
十三世纪的阿拉伯人就已经发现了： 从第二行起，每行除两端的1以外的 每一个数都等于它肩上的两个数的和
二项展开式系数与二项式系数
即1, 4, 6, 4,1；
(a b)5 展开式的二项式系数依次为 C50 , C51, C52 , C53, C54 , C55 ，
即 1, 5,10,10, 5,1 ；
1 11 121 13 3 1 146 4 1 1 5 10 10 5 1
排列方式一
1
1
11
1
121
2
133 1
3
1464 1
M r1
C (1)r r
2
8
2 (r 1)!(7 r)!
8!
2(r 1)
解 8 r 1 ，得 r 0,1, 2(r 1)
解 8 r 1，得 r 2， 2(r 1)
解 8 r 1，得 r 3, 4, ,8. 2(r 1)
所以有 M1 M 2 M3 M 4 M5 M 6 M 7 M8 。
同（什么时候？）．
问题研究
１．请把数字 1 及 (a b)1, (a b)2, (a b)3, (a b)4, (a b)5, 展开 式的二项式系数按一定方式排列，选择合适的观察角度，看看 这些二项式系数分布有哪些特点，并作简要解释。
(a b)n 展开式的二项式系数依次为 Cn0 , Cn1 , Cn2 , , Cnr , , Cnn ， (a b)1 展开式的二项式系数依次为 C10 , C11 ，
1 11 121 13 3 1 146 4 1 1 5 10 10 5 1
二项式系数
二项式系数第二节二项式定理1、二项式定理：(1)(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn。
(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr (r＝0,1,2,…,n)为展开式第r+1项。
(3)展开式的特点：共有n＋1项；第r＋1项的二项式系数为C；2、二项式系数的性质:(1)C＝C。
(2)若n为偶数,中间一项＋1的二项式系数最大；若n奇数,中间两项、＋1的二项式系数相等并且最大．(3)C＋C＋C＋…＋C＝2n。
(4)C＋C＋C。
＝C＋C＋C＋。
＝2n－1、3、二项式中的最值问题求(a＋b)n展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1设第r＋1项系数最大，则4、二项式定理的主要应用(1)赋值求值；(2)证明一些整除问题或求余数；(3)证明有关等式与不等式；(4)进行近似计算。
例1、(1)求的值。
(2)求展开式中含项的系数为？(3)求展开式中所有有理项。
练习1:(1＋3)(＋)6展开式中的常数项为_____．例2、已知(+)n(n∈N)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1、(1)求展开式中各项系数和及二项式系数和；(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．例3、已知(3－1)7＝a07＋a16＋…＋a6＋a7。
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a7的值；(2)求，a0，＋，a1，＋，a2，＋…＋，a7，的值；(3)求a1＋a3＋a5＋a7的值．解析(1)令＝1，得a0＋a1…＋a7＝(31－1)7＝27＝128。
(2)易知a1，a3，a5，a7为负值，，a0，＋，a1，＋，a2，＋…＋，a7，＝a0－a1＋a2－…－a7＝－(－a0＋a1－a2＋…＋a7)－[3(－1)－1]7＝47。
(3)令f()＝(3－1)7，则f(1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a7，f(－1)＝－a0＋a1－a2＋…＋a7。
∴2(a1＋a3＋a5＋a7)＝f(1)＋f(－1)＝27－47。
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二项式定理六类题型
求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。
一 、)()(*∈+N n b a n 型
例1．10()x -的展开式中64x y 项的系数是（ ）
（A ）840 （B ）－840 （C ）210 （D ）－210
解析：在通项公式1r T +=1010()r r r C x -中令r =4，即得10()x 的展
开式中64x y 项的系数为4410(C =840,故选A 。
例2．8)1
(x x -展开式中5x 的系数为 。
解析：通项公式r r
r r r r
r x C x x C T 2388881)1()1
(--+-=-= ，由题意得52
38=-r ，则2=r ，故所求5x 的系数为28)1(282=-C 。
评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r 的值。
二 、),()()(*
∈+±+N m n d c b a m n 型
例3．843)1()2(x
x x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 解析；342()x x
-的通项公式为341241442()()(2)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-,令0412=-r ，则3=r ,这时得342()x x
-的展开式中的常数项为3342C -=－32, 81()x x
+的通项公式为8821881()k k k k k k T C x C x x --+==,令028=-k ，则4=k ,这时得81()x x +的展开式中的常数项为48C =70，故843)1()2(x x x x ++-的展开式中常数项等于387032=+-。
例4．在65)1()1(x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是（ ）
(A)5- (B) 5 (C) 10- (D) 10
解析：5)1(x -中3x 的系数35C -=10-, 6)1(x --中3x 的系数为336(1)C -⋅-=20,故65)1()1(x x ---的展开式中3x 的系数为10,故选D 。
评注：求型如),()()(*∈+±+N m n d c b a m n 的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式加减法求得所求项的系数。
三 、
),()()(*∈++N m n d c b a m n 型 例5．72)2)(1(-+x x 的展开式中3x 项的系数是 。
解析：7)2(-x 的展开式中x 、3x 的系数分别为617
)2(-C 和437)2(-C ，故72)2)(1(-+x x 的展开式中3x 项的系数为617
)2(-C +437)2(-C =1008。
例6．()()811x x -+的展开式中5x 的系数是（ ）
（A ）14- （B ）14 （C ）28-
（D ） 28
略解：8)1(+x 的展开式中4x 、5x 的系数分别为48C 和58C ,故()()811x x -+ 展开式中5x 的系数为458814C C -=,故选B 。
评注：求型如),()()(*∈++N m n d c b a m n 的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式乘法求得所求项的系数。
四 、)()(*∈++N n c b a n 型
例7．5)212(++x
x 的展开式中整理后的常数项为 . 解法一：5)212(++x x =5
2)12(⎥⎦⎤⎢⎣⎡++x x ，通项公式521512()2k k k k x T C x -+=+, 51()2k x x
-+的通项公式为5(5)152r r k r k r r k T C x x ------+-=52552r r k k r k C x --+--=,令025=--k r ，则52=+r k ，可得2,1==r k 或1,3==r k 或0,5==r k 。
当2,1==r k 时，得展开式中项为11
2225422C C -=；
当1,3==r k 时,
，得展开式中项为311522C C -=
当0,5==r k
时，得展开式中项为55C =。
综上，5)212(++x
x
的展开式中整理后的常数项为22+=。
解法二：5)212(++x x =52)2222(x x x ++=[]552)2()2(x x +=510)
2()2(x x +，对于二项式10)2(+x 中，r r r r x C T )2(10101-+=，要得到常数项需510=-r ，即5=r 。
所以，常数项为22632
)2(55510=⋅C 。
解法三：5)212(++x x 是5
个三项式1(2x x
+相乘。
常数项的产生有三种情况：在5
个相乘的三项式1(2x x +中，从其中一个取2
x ，从另外4个三项式中选一个取1x
，从剩余的3个三项式中取常数项相乘，可
得113354312C C C ⋅⋅⋅⋅=从其中两个取2x ，从另外3个三项式中选两个取1x
，从剩余的1
个三项式中取常数项相乘，可得222531()2C C ⋅⋅=5个相
乘的三项式1(2x x
+
中取常数项相乘，可得555C ⋅
=。
综上，5)212(++x
x 的展开式中整理后的常数项
为22
+=。
评注：解法一、解法二的共同特点是：利用转化思想，把三项式转化为二项式来解决。
解法三是利用二项式定理的推导方法来解决问题，本质上是利用加法原理和乘法原理，这种方法可以直接求展开式中的某特定项。
五 、1()()()(,,1)m m n a b a b a b m n N m n +*++++++∈≤<L 型
例8．在62)1()1()1(x x x ++++++Λ的展开式中，2x 项的系数是 。
（用数字作答）
解析：由题意得2x 项的系数为352625242322
=++++C C C C C 。
例9．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( )
(A) 74 (B) 121 (C) －74 (D) －121 解析：(1－x )
5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8=5459
(1)[1(1)](1)(1)1(1)x x x x x x
------=-- 5)1(x -中4x 的系数为455C =，9)1(x --中4x 的系数为－49126C =-,－126+5= －121,故选D 。
评注：例8的解法是先求出各展开式中2x 项的系数，然后再相加；例9则从整体出发，把原式看作首相为(1－x )5，公比为(1－x )的等比数列的前4项和，用等比数列求和公式减少项数，简化了运算。
例8和例9的解答方法是求1()()()(,,1)m m n a b a b a b m n N m n +*++++++∈≤<L 的展开式中某特定项系数的两种常规方法。
六 、求展开式中若干项系数的和或差
例10．若2004200422102004...)21(x a x a x a a x ++++=-)(R x ∈，
则_______)()()()(20040302010=++++++++a a a a a a a a Λ。
(用数字作答)
解析：在2004200422102004...)21(x a x a x a a x ++++=-中，令0=x ，则10=a ， 令1=x ，则1)1(200420043210=-=+++++a a a a a Λ
故)()()()(20040302010a a a a a a a a ++++++++Λ
=20030a +200420043210=+++++a a a a a Λ。
例11．423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2312420)()(a a a a a +-++的值为（ ）
(A) 1 (B) －1 (C) 0 (D) 2
解析：在423401234(2x a a x a x a x a x =++++中，
令1=x ，可得=++++43210a a a a a 4)32(+，
令1-=x ，可得=+-+-43210a a a a a 4)32(-
所以，2312420)()(a a a a a +-++=))((3142031420a a a a a a a a a a --++++++
=))((4321043210a a a a a a a a a a +-+-++++=4)32(+4)32(-=1,故选A 。
评注：求展开式中若干项系数的和或差常采用“赋值法”。
赋值法是给代数式(或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的，它普遍适用于恒等式，是一种重要的解题方法。
实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想，在高考题中屡见不鲜，特别是在二项式定理中的应用尤为明显，巧赋特值可减少运算量。