二项式定理中展开式系数的六种类型

二项式定理六类题型

求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。

一 、)()(*∈+N n b a n 型

例1．10()x -的展开式中64x y 项的系数是（ ）

（A ）840 （B ）－840 （C ）210 （D ）－210

解析：在通项公式1r T +=1010()r r r C x -中令r =4，即得10()x 的展

开式中64x y 项的系数为4410(C =840,故选A 。

例2．8)1

(x x -展开式中5x 的系数为 。

解析：通项公式r r

r r r r

r x C x x C T 2388881)1()1

(--+-=-= ，由题意得52

38=-r ，则2=r ，故所求5x 的系数为28)1(282=-C 。

评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r 的值。

二 、),()()(*

∈+±+N m n d c b a m n 型

例3．843)1()2(x

x x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 解析；342()x x

-的通项公式为341241442()()(2)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-,令0412=-r ，则3=r ,这时得342()x x

-的展开式中的常数项为3342C -=－32, 81()x x

+的通项公式为8821881()k k k k k k T C x C x x --+==,令028=-k ，则4=k ,这时得81()x x +的展开式中的常数项为48C =70，故843)1()2(x x x x ++-的展开式中常数项等于387032=+-。

例4．在65)1()1(x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是（ ）

(A)5- (B) 5 (C) 10- (D) 10

解析：5)1(x -中3x 的系数35C -=10-, 6)1(x --中3x 的系数为336(1)C -⋅-=20,故65)1()1(x x ---的展开式中3x 的系数为10,故选D 。

评注：求型如),()()(*∈+±+N m n d c b a m n 的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式加减法求得所求项的系数。

三 、

),()()(*∈++N m n d c b a m n 型 例5．72)2)(1(-+x x 的展开式中3x 项的系数是 。

解析：7)2(-x 的展开式中x 、3x 的系数分别为617

)2(-C 和437)2(-C ，故72)2)(1(-+x x 的展开式中3x 项的系数为617

)2(-C +437)2(-C =1008。 例6．()()811x x -+的展开式中5x 的系数是（ ）

（A ）14- （B ）14 （C ）28-

（D ） 28

略解：8)1(+x 的展开式中4x 、5x 的系数分别为48C 和58C ,故()()811x x -+ 展开式中5x 的系数为458814C C -=,故选B 。

评注：求型如),()()(*∈++N m n d c b a m n 的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式乘法求得所求项的系数。

四 、)()(*∈++N n c b a n 型

例7．5)212(++x

x 的展开式中整理后的常数项为 . 解法一：5)212(++x x =5

2)12(⎥⎦⎤⎢⎣⎡++x x ，通项公式521512()2k k k k x T C x -+=+, 51()2k x x

-+的通项公式为5(5)152r r k r k r r k T C x x ------+-=52552r r k k r k C x --+--=,令025=--k r ，则52=+r k ，可得2,1==r k 或1,3==r k 或0,5==r k 。

当2,1==r k 时，得展开式中项为11

2225422C C -=；

当1,3==r k 时,

，得展开式中项为311522C C -=

当0,5==r k

时，得展开式中项为55C =。 综上，5)212(++x

x

的展开式中整理后的常数项为22+=。 解法二：5)212(++x x =52)2222(x x x ++=[]552)2()2(x x +=510)

2()2(x x +，对于二项式10)2(+x 中，r r r r x C T )2(10101-+=，要得到常数项需510=-r ，即5=r 。所以，常数项为22632

)2(55510=⋅C 。 解法三：5)212(++x x 是5

个三项式1(2x x

+相乘。常数项的产生有三种情况：在5

个相乘的三项式1(2x x +中，从其中一个取2

x ，从另外4个三项式中选一个取1x

，从剩余的3个三项式中取常数项相乘，可

得113354312C C C ⋅⋅⋅⋅=从其中两个取2x ，从另外3个三项式中选两个取1x

，从剩余的1

个三项式中取常数项相乘，可得222531()2C C ⋅⋅=5个相

乘的三项式1(2x x

+

中取常数项相乘，可得555C ⋅

=。 综上，5)212(++x

x 的展开式中整理后的常数项

为22

+=。 评注：解法一、解法二的共同特点是：利用转化思想，把三项式转化为二项式来解决。解法三是利用二项式定理的推导方法来解决问题，本质上是利用加法原理和乘法原理，这种方法可以直接求展开式中的某特定项。

五 、1()()()(,,1)m m n a b a b a b m n N m n +*++++++∈≤

例8．在62)1()1()1(x x x ++++++Λ的展开式中，2x 项的系数是 。（用数字作答）

解析：由题意得2x 项的系数为352625242322

=++++C C C C C 。