§4.07 连续时间LTI系统的稳定性

（3）三阶系统 D(s) s3 as2 bs c 必须满足条件
a 0, b 0, c 0 且 ab c 系统才是稳定的
信号与系统
二．系统稳定性的判断
例：设系统方框图如图所示，求
（1）系统函数H(s) （2）系统稳定，参数K满足的条件
解： 由公式可以很容易求得系统函数为
K
H
(s)
C(s) R(s)
信号与系统
一．系统稳定性的定义
充分性：设激励 x(t) 有界，即 x(t) M ，容易验证响应也有界，即
y(t) x(t )h()d x(t ) h()d
M h(t) dt
必要性：构造一有界激励，可以验证，若冲激响应绝对可积的条
件不满足，则响应无界。
信号与系统
一．系统稳定性的定义
信号与系统
—
T (s)的分母即系统的特征方 程为 D(s) an s n an1sn 1 ... a1s a0 0
要使D(s) 0的根全部位于左半 s平面上的充要条件是： ①多项式的全部系数 ai 符号相同； ②无缺项； ③罗斯 — 霍维茨阵列中第一列数 的符号相同。若第一 列数符号不全相同，则 符号改变的次数就是 D(s) 0所 具有的正实部根的个数 。
信号与系统
二．系统稳定性的判断
三阶以下系统稳定的判定 假设系统函数分母多项式的最高项系数为1
H (s)
N (s) D(s)
, D(s)
sn a n1 sn 1
as 1
a 0
（1）一阶系统 D(s) s a0 ，显然只要参数满足 a0 0 即为稳定。a0 0 为临界稳定。
（2）二阶系统 D(s) s2 as b 只要参数满足 a 0, b 0 即为稳定。a 0 或 b 0 属于为临界稳定。
U2 (s) 1 s
同时有
1
U 2 (s)
K
1
s 1
U
3(s)
s
由上述两方程容易求得
H (s)
U2 (s) U1(s)
s2
K (3 K )s 1
信号与系统
二．系统稳定性的判断
（2） H (s) U2 (s)
K
U1(s) s2 (3 K )s 1
显然，系统稳定条件为 K 3
（3）临界稳定时，K 3，这时 H (s) 3 s2 1
例： 求电路系统的： （1）系统函数 H (s) U2 (s)
U1(s)
（2）为使电路系统稳定，求 K 值范围
（3）欲使电路临界稳定，求 K 值以及此时电路的冲激响应h ( t )
信号与系统
二．系统稳定性的判断
解：（1）对节点U3列写节点方程
U1(s)
U3 (s) 1
U3 (s) 1 1s
U3 (s)
信号与系统
信号与系统
一．系统稳定性的定义
系统稳定 定义为任何有界的输入将引起有界的输出，简称BIBO稳定 （Bounded Input Bounded Output）
连续时间LTI系统为因果系统的充要条件为
h(t) 0, t 0
连续时间、因果LTI系统稳定的充要条件是冲激响应绝
对可积，即
h(t)dt
信号与系统
构筑Houth---Hurwitz阵列的步骤为
第一步 把 D(s)的所有系数按如下顺序排成两行
an an 2 a an 1 n 3
an 4 an 5
an 6 依次类推，排列a0为止 an 7
第二步 排列R—H 阵列规则如下：
An
An 1
An 2 A• n 3
• •
A2 A1 A0
B2 0 0
Cn C n1 C n2 C n 3
Dn
D n1
0 0 0
An
2
1 An1
An An1
Bn Bn1
Bn
2
1 An1
An An1
Cn Cn1
Cn
2
1 An1
An An1
Dn Dn1
An
3
1 An2
An1 An2
Bn1 Bn2
Bn
3
1 An2
An1 An2
Cn1 Cn2
(4.108 )
所以系统的冲激响应为
h(t) L1H (s) 3sin(t)u(t)
信号与系统
信号与系统
二、Routh — Hurwitz (罗斯— 霍维维)判据
1877年Routh 提出一种判别代数方程 根的方法， 不必解方程就可知道它 包含有多少个具有正实 部的根和零实部根，1895年Hurwitz 导出类似方法 。
1
s(s
1)(s K
5)
K
s(s 1)(s 5) K
s(s 1)(s 5)
信号与系统
二．系统稳定性的判断
H (s) C(s)
K
R(s) s3 6s2 5s K
由系统函数可知，系统属于 3 阶，所以系统稳定要满足的条件为
K 0 并且 6 5 K
即
0 K 30
信号与系统
二．系统稳定性的判断
信号与系统
例1： 试判别特征方程 2s3 s2 s 6 0 的系统是否稳定
解：罗斯－霍维茨排列
A3 2 1
A2 1
6
A1
0
A0
0
2
1
1
6
11 0
6
0
有符号变化, 系统不稳定
信号与系统
例2： S 3 5S 2 4S k 0 K何值时系统稳定
1
4
5
20 k k
50
k
0
20 k k 5 k
20 k 5
系统稳定条件为 205 k 0 k 0
故 0 k 20
信号与系统
例3、s4 s3 2s2 2s 3 0
1
23
1
20
(0) 3 0
2 3 0
3
0
0, 2 3 0
故系统不稳定
— —正无穷小量
Bn Bn 1 Bn 2 B n 3
B2 0 0
Cn C n1 C ຫໍສະໝຸດ Baidu2 C n 3
Dn D n 1
0 0 0
An an , An1 an1, Bn an2 , Bn1 an3 , Cn an4 ,
信号与系统
An
A n 1 A n2
A• n 3
• •
A2
A1
A0
Bn B n1 B n2 B n3
由系统函数的极点分布可以判断连续时间、
因果LTI系统系统稳定性
（1）当 H(s) 的所有极点全部位于平面的左半平面，不包含虚轴，
则系统是稳定的。
（2）当H(s)在平面虚轴上有一阶极点，其余所有极点全部位于
平面的左半平面，则系统是临界稳定的。
（3）当H(s)含有右半平面的极点或虚轴上有二阶或二阶以上
的极点时，系统是不稳定的。