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x2 y2 4. （自编）对于双曲线 2 2 1(a 0, b 0) a b
相应于焦点F
（c，0）（c>0）的准线L与x 轴相交于点A，过点A的直线 与双曲线相交于P、Q两点.设 AP AQ( 1)，过点P且平行 于准线L的直线与双曲线相交于另一点M，则.FM FQ
2 2 ，相应于焦点F（c，0）（c>0）的准
来自百度文库
线L与x轴相交于点A， OF 2 FA，过点A的直线与椭圆相 交于P、Q两点. （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若 OP OQ 0 ，求直线PQ的方程；
（3）设 AP AQ( 1) ，过点P且平行于准线L的直线与椭
FM 圆相交于另一点M，证明： . FQ
本题涉及到平面向量的数量积、共线向量，椭圆的标准
方程及性质，直线方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理， 解方程组等知识.由于向量具有代数与几何的双重身份，使
它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项知识的媒
介.利用向量引进条件，体现了新课程、新教材的要求，新 内容与传统内容的联系，这是高考新课程卷的创新和发展趋 势.平面向量的知识与解析几何的知识得到了很好的整合， 是一个典型的交汇热点试题.圆锥曲线是平面几何的核心内
∵ OP OQ 11
x1 x2 y1 y2 11 即：
2 k 1 由①②③得
③
从而
k 1 {k 2 k 2且k 3}
所以直线PQ的方程是 x y 1 0或x y 1 0
（3）证明
AP ( x1 1, y1 ), AQ ( x2 1, y . 2) x1 1 ( x 2 1) y y 2 1 2 2 由已知得方程组 x1 y1 1 12 4 x 2 y 2 2 2 1 12 4
2 5. （自编）对于抛物线 y 2Px( P 0) 相应于焦点
P F( ，0)的准线L与x轴相交于点A，过点A的直线与抛物 2
线相交于P、Q两点.设 AP AQ( 1) ，过点P且平行于准线 L的直线与抛物线相交于另一点M，则.FM FQ
二.问题的背景: （2004年全国高考天津试卷理22）椭圆的中心是原点O， 它的短轴长为
y k ( x 1)
(3 k 2 ) x 2 2k 2 x k 2 12 0 ，
由方程组
x2 y2 1 ，得 4 12 y k ( x 1)
依题意 得. 设
2 3 k 0 , 2 2 2 2 (2k ) 4(3 k )(k 12) 0
2 2.（自编）已知抛物线y 2Px( P 0)
的焦点为F，准线L
与x轴相交于点A，且FA 2
,过点A的直线与抛物线相交
于P、Q两点.
（1）求抛物线的方程； （2）证明: OP OQ 为定值； （3）若 PQ 4 5 ，求直线PQ的方程； （4）设 AP AQ( 1) ，过点P且平行于准线L的直线与 FM 抛物线相交于另一点M，证明： . FQ
容，也是学习高等数学的基础,当然是高考命题的热点之一.
综观近年来的高考试题，以平面向量为载体，以圆锥曲
线交叉汇合为主干构筑成的知识网络型圆锥曲线问题，在 高考中出现的频率相当高，占据着令人瞩目的地位，在解 答题中多次以“压轴题”的形式出现，集中体现了对考生 综合能力和灵活应变的能力的考查.
背景源于2005上期一次高三月考制卷,在查找资料时看到
高中课程资源创新大赛
由一道高考数学试题引发的思考
---浏阳三中 卢明根----
一.问题: 1.（自编）双曲线的中心是原点O，它的虚轴长为 4 3 ，相应
OF 于焦点F（c，0）（c>0）的准线L与x轴相交于点A， 4 FA , 3
过点A的直线与双曲线相交于P、Q两点.
（1）求双曲线的方程及离心率； （2）若 OP OQ 11，求直线PQ的方程； （3）设 AP AQ( 1) ，过点P且平行于准线L的直线与双 曲线相交于另一点M，证明： . FQ FM
5 3 注意 1, 解得x 2 .因 F (4,0), M ( x1 , y1 ) 2
解：（1）.由题意，可设双曲线的方程为
x2 y2 1(a 0) 2 12 a
由已知得
c 2 a 2 12 4 a,2 解得. c (c ) 3 c
a 2 c 4
所以双曲线的方程为
x2 y2 1，离心率e=2. 4 12
（2）.由（1）可得A（1，0） 设直线PQ的方程为
的,总觉得此题很不错,但又不想出原题,所以引出一中5个问 题,最后把问题1作为了当次月考的试题.
三.数学关键词:
圆锥曲线 , 从特殊到一般 , 知识的迁移 , 解方程组 , 平面向 量的数量积，共线向量，向量的坐标运算，直线方程，弦 长公式，韦达定理，探求与创新，新课程理念. 四.问题的评价:
1.问题1的解答和评价:
x2 y2 3. （自编）对一般椭圆 2 2 1(a b 0) a b
相应于焦点F
（c，0）（c>0）的准线L与x轴相交于点A,过点A的直线与
椭圆相交于P、Q两点.设 AP AQ( 1)
，过点P且平行
FM 于准线L的直线与椭圆相交于另一点M. 证明： . FQ
2 k 2且k 3
P( x1 , y1 ),Q( x2 , y2 ) ，则
2k 2 k 2 12 x1 x 2 2 ，x1 x 2 2 k 3 k 3
①
y2 由直线PQ的方程得 y1 k ( x1 1) ，
k ( x2 1)
2 y y k ( x1 1)( x 2 1) k 2 x1 x 2 ( x1 x 2 ) 1 ② 于是 1 2
相应于焦点F
（c，0）（c>0）的准线L与x 轴相交于点A，过点A的直线 与双曲线相交于P、Q两点.设 AP AQ( 1)，过点P且平行 于准线L的直线与双曲线相交于另一点M，则.FM FQ
2 2 ，相应于焦点F（c，0）（c>0）的准
来自百度文库
线L与x轴相交于点A， OF 2 FA，过点A的直线与椭圆相 交于P、Q两点. （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若 OP OQ 0 ，求直线PQ的方程；
（3）设 AP AQ( 1) ，过点P且平行于准线L的直线与椭
FM 圆相交于另一点M，证明： . FQ
本题涉及到平面向量的数量积、共线向量，椭圆的标准
方程及性质，直线方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理， 解方程组等知识.由于向量具有代数与几何的双重身份，使
它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项知识的媒
介.利用向量引进条件，体现了新课程、新教材的要求，新 内容与传统内容的联系，这是高考新课程卷的创新和发展趋 势.平面向量的知识与解析几何的知识得到了很好的整合， 是一个典型的交汇热点试题.圆锥曲线是平面几何的核心内
∵ OP OQ 11
x1 x2 y1 y2 11 即：
2 k 1 由①②③得
③
从而
k 1 {k 2 k 2且k 3}
所以直线PQ的方程是 x y 1 0或x y 1 0
（3）证明
AP ( x1 1, y1 ), AQ ( x2 1, y . 2) x1 1 ( x 2 1) y y 2 1 2 2 由已知得方程组 x1 y1 1 12 4 x 2 y 2 2 2 1 12 4
2 5. （自编）对于抛物线 y 2Px( P 0) 相应于焦点
P F( ，0)的准线L与x轴相交于点A，过点A的直线与抛物 2
线相交于P、Q两点.设 AP AQ( 1) ，过点P且平行于准线 L的直线与抛物线相交于另一点M，则.FM FQ
二.问题的背景: （2004年全国高考天津试卷理22）椭圆的中心是原点O， 它的短轴长为
y k ( x 1)
(3 k 2 ) x 2 2k 2 x k 2 12 0 ，
由方程组
x2 y2 1 ，得 4 12 y k ( x 1)
依题意 得. 设
2 3 k 0 , 2 2 2 2 (2k ) 4(3 k )(k 12) 0
2 2.（自编）已知抛物线y 2Px( P 0)
的焦点为F，准线L
与x轴相交于点A，且FA 2
,过点A的直线与抛物线相交
于P、Q两点.
（1）求抛物线的方程； （2）证明: OP OQ 为定值； （3）若 PQ 4 5 ，求直线PQ的方程； （4）设 AP AQ( 1) ，过点P且平行于准线L的直线与 FM 抛物线相交于另一点M，证明： . FQ
容，也是学习高等数学的基础,当然是高考命题的热点之一.
综观近年来的高考试题，以平面向量为载体，以圆锥曲
线交叉汇合为主干构筑成的知识网络型圆锥曲线问题，在 高考中出现的频率相当高，占据着令人瞩目的地位，在解 答题中多次以“压轴题”的形式出现，集中体现了对考生 综合能力和灵活应变的能力的考查.
背景源于2005上期一次高三月考制卷,在查找资料时看到
高中课程资源创新大赛
由一道高考数学试题引发的思考
---浏阳三中 卢明根----
一.问题: 1.（自编）双曲线的中心是原点O，它的虚轴长为 4 3 ，相应
OF 于焦点F（c，0）（c>0）的准线L与x轴相交于点A， 4 FA , 3
过点A的直线与双曲线相交于P、Q两点.
（1）求双曲线的方程及离心率； （2）若 OP OQ 11，求直线PQ的方程； （3）设 AP AQ( 1) ，过点P且平行于准线L的直线与双 曲线相交于另一点M，证明： . FQ FM
5 3 注意 1, 解得x 2 .因 F (4,0), M ( x1 , y1 ) 2
解：（1）.由题意，可设双曲线的方程为
x2 y2 1(a 0) 2 12 a
由已知得
c 2 a 2 12 4 a,2 解得. c (c ) 3 c
a 2 c 4
所以双曲线的方程为
x2 y2 1，离心率e=2. 4 12
（2）.由（1）可得A（1，0） 设直线PQ的方程为
的,总觉得此题很不错,但又不想出原题,所以引出一中5个问 题,最后把问题1作为了当次月考的试题.
三.数学关键词:
圆锥曲线 , 从特殊到一般 , 知识的迁移 , 解方程组 , 平面向 量的数量积，共线向量，向量的坐标运算，直线方程，弦 长公式，韦达定理，探求与创新，新课程理念. 四.问题的评价:
1.问题1的解答和评价:
x2 y2 3. （自编）对一般椭圆 2 2 1(a b 0) a b
相应于焦点F
（c，0）（c>0）的准线L与x轴相交于点A,过点A的直线与
椭圆相交于P、Q两点.设 AP AQ( 1)
，过点P且平行
FM 于准线L的直线与椭圆相交于另一点M. 证明： . FQ
2 k 2且k 3
P( x1 , y1 ),Q( x2 , y2 ) ，则
2k 2 k 2 12 x1 x 2 2 ，x1 x 2 2 k 3 k 3
①
y2 由直线PQ的方程得 y1 k ( x1 1) ，
k ( x2 1)
2 y y k ( x1 1)( x 2 1) k 2 x1 x 2 ( x1 x 2 ) 1 ② 于是 1 2