简单几何体表面积体积

简单几何体的表面积与体积

1．柱、锥、台和球的侧面积和体积

面积 体积

圆柱 S 侧＝2πrh V ＝Sh ＝πr 2h 圆锥

S 侧＝πrl

V ＝13

Sh ＝13

πr 2h ＝13

π

r 2l 2－r 2

圆台 S 侧＝π(r 1＋r 2)l

V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h

＝13

π(r 21＋r 2

2＋r 1r 2)h 直棱柱 S 侧＝Ch V ＝Sh 正棱锥 S 侧＝12

Ch ′ V ＝13

Sh

正棱台 S 侧＝12

(C ＋C ′)h ′

V ＝13

(S 上＋S 下＋S 上S 下)h

球

S 球面＝4πR 2

V ＝43

πR 3

2.几何体的表面积

(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．

(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和． [难点正本 疑点清源] 1．几何体的侧面积和全面积

几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和．对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行．要特别留意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题．如直棱柱(圆柱)侧面展开图是一矩形，则可用矩形面积公式求解．再如圆锥侧面展开图为扇形，此扇形的特点是半径为圆锥的母线长，圆弧长等于底面的周长，利用这一点可以求出展开图扇形的圆心角的大小． 2．等积法

等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高，这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．

1．圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是________．

2．设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)．则该几何体的体积为________m 3

.

3．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．

4．一个球与一个正方体的各个面均相切，正方体的边长为a ，则球的表面积为________．

5.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，

且PB 1＝1

4A 1B 1，则多面体P —BB 1C 1C 的体积为________．

题型一 简单几何体的表面积

例1 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

( )

A ．48

B ．32＋817

思维启迪：先通过三视图确定空间几何体的结构特征，然后再求表面积．

探究提高(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．

(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面

圆的面积之和．

一个几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积是________cm2.

题型二简单几何体的体积

例2如图所示，已知E、F分别是棱长为a的正方体

ABCD—A1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1—B1EDF

的体积．

思维启迪：思路一：先求出四棱锥C1—B1EDF的高及其底面积，

再利用棱锥的体积公式求出其体积；

思路二：先将四棱锥C1—B1EDF化为两个三棱锥B1—C1EF与

D—C1EF，再求四棱锥C1—B1EDF的体积．

解 方法一 连接A 1C 1，B 1D 1交于点O 1，连接B 1D ，EF ，过O 1作O 1H ⊥B 1D 于H .∵EF ∥A 1C 1，且A 1C 1

平面B 1EDF ，∴

A 1C 1∥平面

B 1EDF .

∴C 1到平面B 1EDF 的距离就是A 1C 1到平面B 1EDF 的距离． ∵平面B 1D 1D ⊥平面B 1EDF ， 平面B 1D 1D ∩平面B 1EDF ＝B 1D ，

∴O 1H ⊥平面B 1EDF ，即O 1H 为棱锥的高． ∵△B 1O 1H ∽△B 1DD 1， ∴O 1H ＝

B 1O 1·DD 1B 1D ＝6

6

a . ∴VC 1—B 1EDF ＝1

3

S 四边形B 1EDF ·O 1H

＝13·1

2·EF ·B 1D ·O 1H ＝13·12·2a ·3a ·66a ＝16a 3. 方法二 连接EF ，B 1D .

设B 1到平面C 1EF 的距离为h 1，D 到平面C 1EF 的距离为h 2，则h 1＋h 2＝B 1D 1＝2a . 由题意得，VC 1—B 1EDF ＝VB 1—C 1EF ＋VD —C 1EF ＝13·S △C 1EF ·(h 1＋h 2)＝16

a 3. 探究提高 在求解一些不规则的几何体的体积以及两个几何体的体积之比时，常常需要用到分割法．在求一个几何体被分成两部分的体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积．

已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，

且SC ＝2，则此棱锥的体积为( ) A.26 B.36 C.23 D.

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