等比数列的前n项和(第二课时)

等比数列的前n 项和(第二课时)

【学习目标】

1．掌握等比数列与S n 有关的一些性质，能熟练运用这些性质解题．

2．掌握可以转化为等差或等比数列的数列求和问题．

3．会用等比数列的相关知识解决简单的实际应用问题．

【学习障碍】

1．由于对等比数列中各元素间的关系理解不够深刻，对等比数列的性质不够熟练，解

题时找不到解决问题的“巧”办法．

2．由于审视问题的高度不够，不会运用整体解决问题的策略．

3．有些数列本身不是等差或等比数列，但可以转化为等差或等比数列．学生常常苦于

找不到转化途径．

4．由于阅读理解能力较差，不能运用等比数列知识将实际问题转化为数学问题．

【学习策略】

Ⅰ．学习导引

1．求数列的前n 项和S n ，一般有以下几种方法：

(1)直接转化为等差数列或等比数列求和问题；

(2)用等差数列或等比数列求和的倒序相加或错位相减求S n ；

(3)拆项求和；

(4)对通项进行分解或组合，将原数列化成若干个容易求和的数列．

2．数列应用题中常用的几个概念：

(1)增长率：增加或提高的比值．

(2)成本与利润：成本是指生产一种产品所需的全部费用，利润是指商品生产的盈利．

(3)利率与存、贷款问题：利率是指利息和本金的比率；复利是指把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计利息；单利是指只按照本金计算利息．存款一般只计算单利，

贷款在通常情况下不计算复利．

3．等比数列的前n 项和公式的常见应用问题．

(1)生产部门中有增长率的总产量问题．例如，第1年产量为a ，年增长率为r ，则每年的产量成等比数列，公比为1＋r ．其中第n 年产量为a (1＋r )n －

1，且过n 年后总产量为a ＋a (1＋r )＋a (1＋r )2…＋a (1＋r )n －1＝)1(1]

)1(1[r r a n +-+-．

(2)银行部门中利息按复利计算问题．例如，一年中每月初到银行存a 元，利息为r ，每月利息按复利算，则每月的a 元过n 个月后便成为a (1＋r )n 元，因此第二年年初可取款a (1

＋r )12＋a (1＋r )11＋a (1＋r )10＋…＋a (1＋r )＝)1(1]

)1(1)[1(12r r r a +-+-+(元)．

Ⅱ．知识拓宽

n 个连续整数的积或其倒数组成的数列，如， ①,431,321,211⋅⋅⋅…，)1(1+n n ，…； ②

5431,4321,3211⋅⋅⋅⋅⋅⋅，…，)2)(1(1++n n n ，…； ③1·2，2·3，3·4，…，n (n ＋1)，…；

④1·2·3，2·3·4，3·4·5，…，n (n ＋1)(n ＋2)，…；

这些数列的特点是由n 个连续整数的积或其倒数所组成，因而要求它们前n 项和，可

以有相同的思路． 对于数列①，每一项都可以拆成二项之差：4131431,3121321,211211-=⋅-=⋅-=⋅， …，111)1(1+-

=+n n n n ． 利用裂项消项法，可得：431321211⋅+⋅+⋅＋…＋)1(1+n n ＝1－111+=+n n n ．

对于数列②，每一项可拆成二项之差：

5431),431321(214321),321211(213211⋅⋅⋅-⋅=⋅⋅⋅-⋅=⋅⋅ ＝),541431(21⋅-⋅…，].)2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n

利用裂项消项法，可得：

+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅543143213211…＋)2)(1(1++n n n ＝)2)(1(4)3(])

2)(1(121[21+++=++-n n n n n n 对于数列③，每一项可拆成二项之差：

1·2＝31

(1·2·3－0·1·2)

2·3＝31

(2·3·4－1·2·3)

n (n ＋1)＝ 31

［n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n (n ＋1)］．

利用裂项消项法，可得：

1·2＋2·3＋3·4＋…＋n (n ＋1)＝ 31

n (n ＋1)(n ＋2)．

对于数列④，因为

n (n ＋1)(n ＋2)＝41

［n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)－(n －1)n (n ＋1)(n ＋2)］，

拆项后，利用迭加法，可得：

1·2·3＋2·3·4＋3·4·5＋…＋n (n ＋1)(n ＋2)＝41

n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)．

利用上面的求和方法，可以对a n 为任意多个连续整数的和(或其倒数)的数列求前n 项

的和，实际上，我们有求和公式：

对于数列{a n }：a n ＝n (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋k )，其前n 项和为

S k ＝21

+k n (n ＋1)…(n ＋k )(n ＋k ＋1)(k 为正整数)．

对于数列{a n }：a n ＝)()2)(1(1

k n n n n +⋅⋅⋅++，其前n 项和为

S k ＝]

)()2)(1(13211[1k n n n k k +⋅⋅⋅++-⋅⋅⋅⋅⋅(k 为正整数)

利用这些公式，可以解决一系列通项为n 的多项式(或其倒数)的数列的求和问题．比如

可求出：12＋22＋32＋…＋n 2＝61

n (n ＋1)(2n ＋1)．

Ⅲ．障碍分析

1．怎样认识和理解等比数列元素之间的关系?

我们可以通过等比数列的性质来认识和理解等比数列元素之间的关系．

［例1］在等比数列{a n }中：若S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n ．

解：∵S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列，其中S n ＝48，S 2n ＝60，设x ＝S 3n －S 2n ，则

(60－48)2＝48x ，解得x ＝3．

∴S 3n －60＝3，S 3n ＝63．

点评：本题运用了等比数列性质：若{a n }是公比为q 的等比数列，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等比数列，且该数列的公比为qk ．应该注意的是，当q ＜0时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…中的项的正负号是正负交替出现的；当q ＞0时，则决不会出现正负号交替的情

况，可是均为正的，也可能均为负的．

2．怎样解答数列求和问题？

数列求和问题是热点问题．对于可以转化的数列，要本着先转化后求和的思路进行．

［例2］求和：