倒格子空间
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倒格子空间
K h CA，K h CB K h 晶面ABC。
3.倒格矢 K h 和面间距的关系 晶面ABC为晶面族中最靠近原点的晶面。
d h1h2h3 a1 K h h1 K h h1 K h 2 Kh
O
a1 h1 b1 h2 b2 h2 b3
a
期，方向为晶面族法向方向，把P平移，得出一 个新点阵。则这个新的格子称为原来晶格的倒格 子。而把原来的晶格称为正格子。
2.倒格子基矢和正格子基矢之间的关系 正格子基矢：a1、a2、a3； 倒格子基矢：b1、b2、b3 ;
晶面族：a1a2、a2 a3、a3 a1的面间距分别为d 3、d1、d 2 ;
后，能自身重合，则称u为n度(或n次)旋转对称轴。
(2)对称轴表示方式
①熊夫利(Schoenflies notation)符号表示 C1、C2、C3、C4、C6。 ②国际符号(International notation)表示 1、 2 、 3、 4 、 6。
4.对称轴度 数符号表示
度数 n
2
3
4
2 a 2 a3 a1 2 a2 a3 1 a2 b3 ，b2 ，b1 。 (5)倒格子的物理意义 ①倒格子中的一个点代表了晶格中的一族晶面。 ②正格子单位为米，表示位置空间；倒格子单位 为米-1，表示状态空间。
h1、h2、h3 整数。
2.倒格子基矢和正格子基矢的关系 倒格子基矢和正格子基矢具有正交性。即 i j 2 ai b j 2 ij i j 0 2 a3 a1 2 a1 b2 a1 a1 a3 a1 0 2 2 a2 a3 2 a1 b1 a1 a1 a2 a3 2 3.倒格矢和正格矢的关系 K h Rl l1a1 l2 a2 l3 a3 h1b1 h2 b2 h3 b3
17 倒格子
2 π a a 2 3 a b a 1 1 1 Ω
0 i j
2π
2 π a a 3 1 a b a 1 2 1 0 Ω
2.
R π (为整数) l K h 2
K h b h b h b h 1 2 3 1 2 3
其中 Rl和 Kh分别为正格点位矢和倒格点位矢。
R l a l a l a l 1 2 3 1 2 3
h b h b h b ) 1 2 3 l a l a l a ) ( Rl Kh ( 1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 π ( l h l h l h ) 1 1 2 2 3 3
2π
3.
3 2 π Ω*
2π d h1h2h3
。
h b h b h b (1)证明 K h 1 2 3 与晶面族(h1h2h3)正交： 1 2 3
设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，
a1 a 2 a 3 ABC在基矢 a1 , a 2 , a 3上的 截距分别为 , , 。 h1 h2 h3
a
i a 2 a 2
j a 2 a 2
a a a k a i 2 2 j 2 a a a 2 a 2 2 2 2 a2 a2
a a a Байду номын сангаас 2 k 2 2 a a a 2 2 2
2 2 π 2 πa 2 π b a a 2 3 j k j k 1 3 Ω a 2 a 2
是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的2 倍。
晶体结构
正格子
倒格子 1.
1. R n a n a n a n 1 2 3 1 2 3
倒格子空间
A1
BA nAB AB ABcos BAcos AB(1 2cos )
cos n 1
2
n是整数。
cos n 1，且1 cos 1， n只能取值：3，2，1，0， 1。
2 n : 3 2 1 0 - 1;
cos : 1 0.5 0 - 0.5 - 1
:0
2
323
2 2 2 2 2 即
a1
a2
可得：1
d3
a1 a2
因b3由 为bb323和daa311 aa222的，可方b得2向： 一2致b3，a3所2d以a31可，以2b写1 a成12矢 量aa22形式a3：。
(5)倒格子的物理意义
①倒格子中的一个点代表了晶格中的一族晶面。
②正格子单位为米，表示位置空间；倒格子单位
为米-1，表示状态空间。
期矢量)。晶体也只能有1，2，3，4，
A2
6度螺旋轴。
如图所示，为4度螺旋轴。晶体 A1
2
绕轴转90°后，再沿该轴平移a/4，能 A
自身重合。
1
2.滑移反映面
M
经过该面的镜象
操作以后,再沿平行于 A2
A2
该面的某个方向平移
T/n的距离(T是该方向 A1
A1
上的周期矢量，n为2
或4)，晶体中的原子 A
1 643 2
2 n 1，2，3，4，6。分别称为1，2，3，4，6次(度)转轴。
n
注意：1200 必满足2400 ； 900必满足2700。
但是， 2400不满足1200 ； 2700不满足900
3.n度旋转对称轴(rotation about an axis) (1)定义——晶体绕某一固定轴u旋转角度2π/n以 后，能自身重合，则称u为n度(或n次)旋转对称轴。 n只能取1，2，3，4，6。
固体物理03-倒格子空间
4
dr
nj
(r )r 2
sin Gr Gr
实验发现固体中的原子形状因子与自由原子的差别不大
其它实验手段
1. 电子衍射 （动量空间）
与X射线相比，电子波长更短，所以更加精确；更容易被物体吸收适 合于研究微薄膜、小晶体。
2. 中子散射 （动量空间）
可以测量晶体磁结构
3. 扫描隧道显微镜（实空间，表面）
S v1v2v3 f {1 exp i v2 v3 exp i v1 v3 exp i v1 v2 }
S 4 f 所有指数均为奇数，或均为偶数 S 0 其它情况
面心立方 的x-ray 散射图像
原子形状因子 f j dV n j (ρ)eiGρ
对自由原子：
f j 2 dr r 2 d cos n j exp(iGr cos )
j
ρ r rj
定义原子的形状因子 f j dV n j (ρ)eiGρ
结构因子
化简后可以得到晶体的结构因子
SG
f eiGr j j
j
对于第 j 个原子
G rj v1b1 v2b2 v2b2 x ja1 y ja2 z ja3 2 v1x j v2 y j v3z j
散射幅度
SG
dV n(r)eiGr
cell
结构因子
结构因子
假设晶胞中有 s 个原子，可以把原胞中的电荷密度分配到每一 个原子上（分配方法不唯一），即:
s
n(r) n j (r rj )
j 1
SG
cell dV n j (r r j )eiGr
j
eiGrj cell dV n j (ρ)eiGρ
晶体点阵的Fourier变换，晶体点阵则是倒易点阵的Fourier逆 变换。正格子的量纲是长度 L, 称作坐标空间，倒格子的量钢是 长度的倒数 L-1，称作波矢空间（或称动量空间）。
1.5 倒格空间
2 2 (i j k ) 同理 b2 (i j k ) b3 a a 可见由 b1 , b2 , b3 为基矢构成的格子为体心立方格子
h
ai b j 2 ij
面间距 d 2 / K h
2 d h1b1 h2b2 h3b3
09 / 09
[例] 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方； 面心立方晶格的倒格子是体心立方 由倒格子定义
a2 a3 b1 2 a1 a 2 a 3
a3 a1 b2 2 a1 a 2 a3
a1 a 2 b3 2 a1 a 2 a3
体心立方格子原胞基矢
a a a a1 (i j k ), a2 (i j k ), a3 (i j k ) 2 2 2
Rl K h 2
01/ 09
根据原胞基矢定义三个新的矢量 —— 倒格子基矢量
a2 a3 b1 2 a1 a2 a3
a3 a1 a1 a2 b2 2 b3 2 a1 a2 a3 a1 a2 a3
倒格子基矢的性质
2 (i j ) ai b j 2 ij 0 (i j )
i, j 1, 2, 3
—— 倒格子空间是正格子的倒易空间
—— 倒格子与正格子间的关系 1) 正格子原胞体积反比于倒格子原胞体积
* b1 (b2 b3 )
倒格子基矢
a 2 a3 2 a a b1 2 (i j k ) (i j k ) a1 a2 a3 2 2
固体物理03-倒格子空间
实空间点阵
简立方
a1 a i, a2 a j, a3 a k
倒空间点阵
简立方
2
2
2
b1 a i, b2 a j, b3 a k
2 a 2
a
2 a
四方晶格
简单点阵的倒易点阵也是简单点阵。 正格子的基矢越长，倒格子的基矢越短，反之亦然。
六角点阵
正格子空间六方结构，在倒格子空间亦为六方结构。 不过其基矢尺寸关系发生变化，基矢方向也转了30度。
k 2 2k G G 2 k 2
2k G G 2 (G 和 –G 都是倒格矢)
G
衍射方程(也是布里渊区的边界方程)
k
k ·(G/2)=(G/2)2
Ewald 图解法
1. 选择原点以入射 k 矢长度 为半径作圆，保证另一端 点在倒格矢上。
2. 连接从原点到与圆相交的 所有倒格矢的波矢k’都能 发生衍射。
4
dr
nj
(r )r 2
sin Gr Gr
实验发现固体中的原子形状因子与自由原子的差别不大
其它实验手段
1. 电子衍射 （动量空间）
与X射线相比，电子波长更短，所以更加精确；更容易被物体吸收适 合于研究微薄膜、小晶体。
2. 中子散射 （动量空间）
可以测量晶体磁结构
3. 扫描隧道显微镜（实空间，表面）
4. 原子力显微镜（实空间，表面）
中国散裂中子源
扫描隧道显微镜（STM）
Si (100) 表面
原子力显微镜（AFM）
Si (111) 表面
作业 2
1. 证明正格子与倒格子互易 2. 证明面心立方格子的倒格子是体心立方，体心立方的倒格子是
面心立方！
3. 证明只有 k G' 时，衍射幅度F才不为0。
1-2倒格子空间
1
4.正格子和倒格子互为正倒格子
证明FCC和ＢＣＣ互为倒易点阵
• 证明过程： • BCC点阵为：
a a ( i j k ) 2 a b (i j k ) 2 a c (i j k ) 2
• 其倒易点阵为
a2 2 2b c 4 (i j k ) (i j k ) 2 ( j k ) a* V a a3 2 a2 2 2c a 2 4 b* (i j k ) (i j k ) (i k ) 3 V a a 2 a2 2 2a b 4 (i j k ) (i j k ) 2 (i j ) c* V a a3 2
a
C
3
a3
h3
Kh
a2 h2 a1 h1
B
a2
A
a1
正格子基矢：a1、a2、a3；原胞体积： 倒格子基矢：b1、b2、b3 ; 原胞体积： 倒格子的倒格子的基矢：b1 、b2 、b3 ;
2 2 2 2 b ＝ b2 b3 a3 a1 a1 a2 3 8 1 a3 a1 a1 a2 a3 a1 a1 a2 a3 a1 a2 a1 a3 a1 a1 a2 a1 1 b1＝ a1 a1
注意：1200 必满足2400 ； 900必满足2700。 但是， 2400不满足1200 ； 2700不满足900
3.n度旋转对称轴(rotation about an axis)
(1) 定义 —— 晶体绕某一固定轴 u 旋转角度 2π/n 以 n只能取1，2，3，4，6。
4.正格子和倒格子互为正倒格子
证明FCC和ＢＣＣ互为倒易点阵
• 证明过程： • BCC点阵为：
a a ( i j k ) 2 a b (i j k ) 2 a c (i j k ) 2
• 其倒易点阵为
a2 2 2b c 4 (i j k ) (i j k ) 2 ( j k ) a* V a a3 2 a2 2 2c a 2 4 b* (i j k ) (i j k ) (i k ) 3 V a a 2 a2 2 2a b 4 (i j k ) (i j k ) 2 (i j ) c* V a a3 2
a
C
3
a3
h3
Kh
a2 h2 a1 h1
B
a2
A
a1
正格子基矢：a1、a2、a3；原胞体积： 倒格子基矢：b1、b2、b3 ; 原胞体积： 倒格子的倒格子的基矢：b1 、b2 、b3 ;
2 2 2 2 b ＝ b2 b3 a3 a1 a1 a2 3 8 1 a3 a1 a1 a2 a3 a1 a1 a2 a3 a1 a2 a1 a3 a1 a1 a2 a1 1 b1＝ a1 a1
注意：1200 必满足2400 ； 900必满足2700。 但是， 2400不满足1200 ； 2700不满足900
3.n度旋转对称轴(rotation about an axis)
(1) 定义 —— 晶体绕某一固定轴 u 旋转角度 2π/n 以 n只能取1，2，3，4，6。
晶体的周期性结构(2)(倒格矢)
波恩-卡曼边界条件
• 电荷密度、势能等物理量满足迭加原理，如
V (r )
V
l
原子
r R l
• 理想的无限大晶体具有平移周期性，这样的物 理量满足
F (r R l ) F (r )
• 实际的晶体都是有限大小的， 并不满足严格的 平移对称性
F (r R l ) F (r )
2
N 3是 原 胞 的 总 数 ，
k 是 满 足 波 恩 -卡 曼 周 期 性 边 界 条 件 的 波 矢 量
k
l1 N1
b1
+
l2 N
2
b2+
l3 N
3
b3
• 对于布里渊区中许可波矢 k 的求和可化为对
k 的连续积分
kBZ
(.....)
V ( 2 )
3
( . . . . )d
3
k
正、倒对应关系
• 互为正格子、倒格子
b 1 2 b 2 2 b 3 2 a2 a3 a 1 (a 2 a 3 ) a 3 a1 a 1 (a 2 a 3 ) a1 a 2 a 1 (a 2 a 3 )
a 1 2 a 2 2 a 3 2 b2 b3 b 1 (b 2 b 3 ) b 3 b1 b 1 (b 2 b 3 ) b1 b 2 b 1 (b 2 b 3 )
j
bi a
2
ij
• 那确实可以满足上述关系，确实可以满足Kh所 有的段点为格点（即有可用基矢和整数表示的 平移周期性）
• bi就是倒格子基矢
• 如果确定了正格子基矢，倒格子基矢就不是任 意的。利用矢量关系
倒格子——精选推荐
a
r h1 (k
+
irb)r3+=2aπ2aπh2(ir(
+
r j );
rj + k)
+
2π
a
r h3 (i
+
j)
=
2π
a
[(h1
+ h3 )ir + (h2
+ h3 ) rj
+ (h1
+
r h2 )k
有： h1 + h3 = 1 h2 + h3 = 0 h1 + h2 = 0
h1 = 1− h3 ⇒ h2 = −h3
r ai ,
ar2
=
r aj ,
ar3
=
r ak
r b1
=
2π
a
r i,
r b2
=
2π
a
r j,
r b3
=
2π
a
r k;
⇒ (h1, h2 , h3 ) = (h, k, l)
r Gh
=
r h1b1
+
r h2b2
+
r h3b3
=
2π
a
r (h1i
+
r h2 j
+
r h3k )
=
2π
a
r (hi
+
r kj
r Gh
r ⋅ Rl
=
2π
(h1l1
+
h2l2
+
h3l3 )
=
2πn
(n = 1, 2......整数)
3、正、倒格子的原胞体积互为正倒。
r h1 (k
+
irb)r3+=2aπ2aπh2(ir(
+
r j );
rj + k)
+
2π
a
r h3 (i
+
j)
=
2π
a
[(h1
+ h3 )ir + (h2
+ h3 ) rj
+ (h1
+
r h2 )k
有： h1 + h3 = 1 h2 + h3 = 0 h1 + h2 = 0
h1 = 1− h3 ⇒ h2 = −h3
r ai ,
ar2
=
r aj ,
ar3
=
r ak
r b1
=
2π
a
r i,
r b2
=
2π
a
r j,
r b3
=
2π
a
r k;
⇒ (h1, h2 , h3 ) = (h, k, l)
r Gh
=
r h1b1
+
r h2b2
+
r h3b3
=
2π
a
r (h1i
+
r h2 j
+
r h3k )
=
2π
a
r (hi
+
r kj
r Gh
r ⋅ Rl
=
2π
(h1l1
+
h2l2
+
h3l3 )
=
2πn
(n = 1, 2......整数)
3、正、倒格子的原胞体积互为正倒。
1-2倒格子空间
Kh ⊥ CA Kh ⊥ CB ⇒ Kh ⊥ 晶面 ABC。 ，
3.倒格矢 Kh和面间距的关系 倒格矢 晶面ABC为晶面族中最靠近原点的晶面。 为晶面族中最靠近原点的晶面。 晶面 为晶面族中最靠近原点的晶面
dh1h2h3 = = a1 Kh = ⋅ h Kh 1 h Kh 1 2π Kh
O
a1 ⋅ h b1 + h2 b2 + h2 b3 1
第一章晶体结构
倒格子空间
• • • •
引入倒格子的目的 引入倒格子的方法 倒格子的性质 倒格子与正格子之间的关系
§1.5 倒格子 一、倒格子和晶格之间的关系
1.倒格子 倒格子
晶面族： ABC；面间距： ; d 晶面族： ；面间距：
P
C
N
B
ABC法向 ON;O 法向： 晶面族 法向： OP = ρ，使得 ⋅ d＝π ρ 2 A 对于每一族晶面，都有一点P， 对于每一族晶面，都有一点 ，以OP=ρ为周 为周
eiKh⋅Rl = 1 ⇒ Kh ⋅ Rl = 2πµ
Rl = l1a1 + l2a2 + l3a3 → 正格矢 格矢量 ( ) 晶格上所有的格点，可以由其平移完全确定。 晶格上所有的格点，可以由其平移完全确定。 Kh = h b1 + h2b2 + h3b3 → 倒格矢 1 倒格子空间中的倒格点可以由其平移完全确定。 倒格子空间中的倒格点可以由其平移完全确定。
3.n度旋转对称轴 度旋转对称轴(rotation about an axis) 度旋转对称轴 (1)定义 定义——晶体绕某一固定轴 旋转角度 晶体绕某一固定轴u旋转角度 定义 晶体绕某一固定轴 旋转角度2π/n以 以 后，能自身重合，则称u为n度(或n次)旋转对称轴。 能自身重合，则称 为 度 或 次 旋转对称轴。 旋转对称轴 n只能取 ，2，3，4，6。 只能取1， ， ， ， 。 只能取 晶体不能有5度或 度以上的转轴 晶体不能有 度或6度以上的转轴。 度或 度以上的转轴。 (2)对称轴表示方式 对称轴表示方式 ①熊夫利(Schoenflies notation)符号表示 熊夫利 符号表示 C1、C2、C3、C4、C6。 ②国际符号(International notation)表示 国际符号 表示 1、 2、 3、 4、 6。 、 、 、 、 。
倒格子与布里渊区
波动的允许频率范围。
布里渊区的形状和大小取决于晶 体的对称性和周期性，它反映了
晶体中电子行为的特征。
布里渊区对于理解固体材料的电 子结构和光学性质具有重要意义， 例如光的吸收、反射和折射等。
倒格子与布里渊区在固体物理中的应用
通过倒格子空间和布里渊区的理论分 析，可以预测和解释固体材料的各种 物理性质，如导电性、光学性质、磁 学性质等。
倒格子与布里渊区的理论分析还为实 验物理学家提供了理解和设计新型固 体材料的有力工具。
这些理论工具在材料科学、电子工程 和光子学等领域有着广泛的应用，对 于新材料的发现和性能优化具有指导 意义。
倒格子与布里渊区的未来发
05
展
倒格子与布里渊区理论的进一步研究
深入研究倒格子与布里渊区的数学模型和物理机制，提高理论预测的精度 和可靠性。
布里渊区是晶体中波矢的定向平移对称性所对应的倒空间中 的区域。
详细描述
布里渊区是晶体中波矢的定向平移对称性所对应的倒空间中 的区域，它反映了晶体中波矢的周期性和对称性。在倒空间 中，布里渊区是一个封闭的区域，其形状和大小取决于晶体 的对称性和周期性。
布里渊区的性质
总结词
布里渊区的性质包括对称性、边界形状和大小、与倒格子的关系等。
倒格子与布里渊区的物理意义
01 倒格子描述了晶体中电子波函数的周期性，而布 里渊区则描述了电子在波矢空间中的行为。
02 倒格子和布里渊区在物理中具有重要意义，它们 是理解晶体中电子行为的关键。
02 倒格子和布里渊区的物理意义在于它们提供了描 述晶体中电子行为的几何框架。
倒格子与布里渊区在物理中的应用
正格子与倒格子的关系
正格子与倒格子之间存在特定的关系，即正格子的波矢 k和倒格子的波矢K之间满足K=2π/a−k，其中a是正格 子的晶格常数。
布里渊区的形状和大小取决于晶 体的对称性和周期性，它反映了
晶体中电子行为的特征。
布里渊区对于理解固体材料的电 子结构和光学性质具有重要意义， 例如光的吸收、反射和折射等。
倒格子与布里渊区在固体物理中的应用
通过倒格子空间和布里渊区的理论分 析，可以预测和解释固体材料的各种 物理性质，如导电性、光学性质、磁 学性质等。
倒格子与布里渊区的理论分析还为实 验物理学家提供了理解和设计新型固 体材料的有力工具。
这些理论工具在材料科学、电子工程 和光子学等领域有着广泛的应用，对 于新材料的发现和性能优化具有指导 意义。
倒格子与布里渊区的未来发
05
展
倒格子与布里渊区理论的进一步研究
深入研究倒格子与布里渊区的数学模型和物理机制，提高理论预测的精度 和可靠性。
布里渊区是晶体中波矢的定向平移对称性所对应的倒空间中 的区域。
详细描述
布里渊区是晶体中波矢的定向平移对称性所对应的倒空间中 的区域，它反映了晶体中波矢的周期性和对称性。在倒空间 中，布里渊区是一个封闭的区域，其形状和大小取决于晶体 的对称性和周期性。
布里渊区的性质
总结词
布里渊区的性质包括对称性、边界形状和大小、与倒格子的关系等。
倒格子与布里渊区的物理意义
01 倒格子描述了晶体中电子波函数的周期性，而布 里渊区则描述了电子在波矢空间中的行为。
02 倒格子和布里渊区在物理中具有重要意义，它们 是理解晶体中电子行为的关键。
02 倒格子和布里渊区的物理意义在于它们提供了描 述晶体中电子行为的几何框架。
倒格子与布里渊区在物理中的应用
正格子与倒格子的关系
正格子与倒格子之间存在特定的关系，即正格子的波矢 k和倒格子的波矢K之间满足K=2π/a−k，其中a是正格 子的晶格常数。
倒格子空间
h
( ) å ( ) Γ
rv +
v R
=
Γ
v Gh
ur r
e ( iGh? r
Rur )
h
Gh R 2π
Gh 一定是倒格矢。
晶列及晶面
1.晶列及晶列指数 通过晶格中任意两个格点连一条直线称为晶列，晶列的取 向称为晶向，描写晶向的一组数称为晶向指数(或晶列指数)。
l1l2l3 若遇负数，则在该数上方加一横线 l1l2l3 。
b2 2π j a
a
G h h1 b1 h2 b2
2π 倒格是边长为 a 的正方形格子。
例2：证明体心立方的倒格是面心立方。
解： 体心立方的原胞基矢：
a
a1 i j k 2
2π b1 a2 a3
Ω
a 2 a i j k 2
a 3 a i j k 2
二维格子
b2 0 b1
定义：倒易空间中的WS原胞称为第一布里渊区。 ▼在倒格子空间中,做某一倒格点到它最近邻和次近邻倒格点
连线的垂直平分面，由这些垂直平分面所围成的多面体的体积 等于倒格子原胞的体积。
●该多面体所围成的区域称为第一布里渊区，第一布里渊区
a1,a2 ,a3 b1,b2 ,b3
2π ( i j )
ai b j 2π ij
0 i j
G h h1 b1 h2 b2 h3 b3
例1：下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。
aa
a1 ai a2 a j
a2 a j
aa
a1 ai
1、倒矢量 b1，b2，b3
倒格基矢定义为：
倒格子定义
倒格子（reciprocal lattice）
定义：对布拉伐格子（ Bravais lattice）中所有的格矢 R ，有一系列 动量空间矢量 G ，满足
G R 2m
e
iGR
1
m为整数
G 的集合，构成该布拉伐格子的倒格子，这些点称为倒 的全部端点 格点， G 称为倒格矢，因此布拉伐格子也称为正格子（direct lattice） 等价关系：知道 G，就知道 R ；反过来也一样。它们满足Fourier变 换关系，因此，倒空间也称Fourier空间。
V r V r R
V r 在各原胞的相应点上均相同（晶体是个等势体）。这种具有 晶格周期性的函数，可以展开为傅立叶级数：
V r V G eiGr
G
凡是具有晶格平移对称性的函数，都可以以 e
iGr
为基函数作傅里叶级数展开
式中求和取遍矢量G 的一切可能值，当 r 变为 r R 时，要求：
2 ai b j 2ij 0 i j i j
i, j 1, 2,3
如果确定了正格子基矢，倒格子基矢就不是任意的，满足上 述正交关系。
从布洛赫波波矢出发定义倒格矢:
1. 在周期势场中运动的单电子波函数 (k, r)可展开为波 矢为k+G的平面波的线性迭加，式中G是倒格矢. 2. 对同一能带，当用波矢量k标志电子状态时，相差一个 倒格矢的两个状态是等价的，据此可引入简约布里渊区 的概念。
倒格子的定义
—为什么引入倒格子？ 从X射线晶体学定义倒格子:
1. 倒格矢与晶面间具有相互对应的关系。晶格的一簇晶 面转化为倒格子空间中的一点。 2. 倒格矢与布拉格反射面间具有一一对应关系（入射 X 射线将在与倒格矢垂直的晶面 (h1h2h3) 上产生布拉格反 射），利用倒格子概念可简化对 X 射线图案的分析。衍
-倒格子
为正格子原胞体积
正格子空间 （或正点阵）
倒格子空间 （或倒易点阵）
2、倒格子与正格子的关系
2.1 数学描述
空间
基矢
正格子空间 倒格子空间
a1, a2 , a3
b1
2
a2
a3
v
b2
2
a3 a1 v
b3
2
a1 a2
v
位置矢量 R l1a1 l2a2 l3a3
b2 h3 b3 a3
h3 a3
h3
G
CA
(h1
b1
h2
b2
G CA (h1b1 h2 b2
h3
b3
)
(
a1 h1
h3
b3
)
(
a2 h2
a3 h3 a3 h3
) )
b1 b2
a1 b3 a3 a2 b3 a3
研究晶格正格子空间结构1倒格子定义2倒格子与正格子的关系22倒格子与正格子基矢间关系23位矢之间关系24二者原胞体积的关系25正格子中h1h2h3晶面族与倒格矢gh的关系2晶面族h1h2h3的面间距d为3倒格子与傅立叶变换小结每个晶格都有两个点阵或两套格子同它联系着即正格子和倒格子或晶体点阵和倒易点阵二者互易例如体心立方与面心立方互为倒格子这两个点阵都是由三个基矢所定义的空间无穷多个周期性排列的点阵所构成且两种格子空间中长度的量纲互为倒数
的空间无穷多个周期性排列的点阵所构成，且
两种格子空间中长度的量纲互为倒数；
-倒格子
表明：若两矢量点积为2π的整数倍，则其中一个矢量
为正格子位矢，另一个必为倒格子位矢。
2.4二者原胞体积的关系
倒格子原胞的体积v*与正格子原胞体积v的关系为:
v*
b1 (b2 b3 )
(2 )3
v
2 3
a1 (a2 a3 )
证明提示：将 b1,b2,b3 表达式代入后，利用矢量运算即可证明。
Ω a1 a2 a3 1 a3 2
b1
2π Ω
a2 a3
同理得：
2π
a3
a2 2
j k 2π a
jk
2
倒格矢：
b2
2π a
ik
b3
2π a
i
j
b1
2π a
jk
b2
2π a
ik
2π
b1 2π a2 a3 2π i
Ω
a
2π
2π
b2 a3 a1 j
Ω
a
b3 2π a1 a2 2π k
Ω
a
b1 2π i a 2π
b2 j a
b3 2π k a
b1 2π i a
b2 2π j a
b3 2π k a
K h1h2h3 h1 b1 h2 b2 h3 b3
G n1b1 n2 b2 n3b3
简称“倒格矢” (Reciprocal
lattice vector)
2.2 倒格子与正格子基矢间关系
ai和bj 之间存在如下关系：
2 (i j)
ai
bj
为正格子位矢，另一个必为倒格子位矢。
2.4二者原胞体积的关系
倒格子原胞的体积v*与正格子原胞体积v的关系为:
v*
b1 (b2 b3 )
(2 )3
v
2 3
a1 (a2 a3 )
证明提示：将 b1,b2,b3 表达式代入后，利用矢量运算即可证明。
Ω a1 a2 a3 1 a3 2
b1
2π Ω
a2 a3
同理得：
2π
a3
a2 2
j k 2π a
jk
2
倒格矢：
b2
2π a
ik
b3
2π a
i
j
b1
2π a
jk
b2
2π a
ik
2π
b1 2π a2 a3 2π i
Ω
a
2π
2π
b2 a3 a1 j
Ω
a
b3 2π a1 a2 2π k
Ω
a
b1 2π i a 2π
b2 j a
b3 2π k a
b1 2π i a
b2 2π j a
b3 2π k a
K h1h2h3 h1 b1 h2 b2 h3 b3
G n1b1 n2 b2 n3b3
简称“倒格矢” (Reciprocal
lattice vector)
2.2 倒格子与正格子基矢间关系
ai和bj 之间存在如下关系：
2 (i j)
ai
bj
1.3倒格子,固体物理
2π ( i j )
0 (i j )
a 2 b1 0 a1 b1 2
a 2 a2 j
a 1 a1 i
b2
2π a2
2π b1 i a1
a1 b 2 0 a 2 b 2 2π
2π b2 j a2
正格子
b1 2π
a1
倒格子
K h h1 b1 h2 b 2 3b1 2b 2 2π 2 π 倒格子是边长分别为 , 的长方形格子。 a1 a2
倒格矢：
2π b1 jk a 2π b2 ik a
FCC基矢：
a a1 i j 2 a a2 jk 2 a a3 ki 2
2π b2 ik a b3
2π i j a
2π b3 i j a
倒格子基矢定义为：
2π b1 a2 a3 Ω 2π b2 a 3 a1 Ω 2π b3 a1 a 2 Ω
其中 a 1 , a 2 , a 3 是正格子基矢，
Ω a1 a 2 a 3
是正格子原胞的体积
与 K n h b1 h b 2 h b 3 ( h1 所联系的各点 , h , h 为整数 ) 2 3 1 2 3 的列阵即为倒格子。
第三节 倒格子
本节主要内容: 一、倒格子定义
二、倒格子与正格子的关系
三、倒格子与傅里叶变换
前面讨论原子(基元)在坐标(实,位置)空间中的排列-----正格子,正空间 从坐标的倒易空间，即波矢K空间看晶体结构-----倒空间
固体物理之之倒格子
倒格子题目：试论倒格子、倒格子空间的基本概念、与正格子的关系以及在固体物理研究中的意义和作用。
1.倒格子的基本概念：假定晶格点阵基矢1a 、2a 、3a（1、2、3表示 a 的下标）定义一个空间点阵，我们称之为正点阵或正格子，若定义： v a a b )(2321 ⨯=π v a a b )(2232 ⨯=π v a a b )(2213 ⨯=π其中)(321a a a v ⨯⋅= 为正点阵原胞的体积，新的点阵的基矢1b 、2b 、3b 是不共面的，因而由 1b 、2b 、3b 也可以构成一个新的点阵，我们称之为倒格子 ，而1b 、2b 、3b 称为倒格子基矢。
2.倒格子与正格子之间的关系：①基矢间关系：3,2,1,)(0)(2=⎩⎨⎧≠==*j i j i j i b a j i π ②位矢之间关系：正格子位矢：332211a l a l a l R l ++=倒格子位矢：332211b n b n b n G n ++=二者关系：m R G l n π2=⋅ （m 为整数）表明：若两矢量点积为π2的整数倍，则其中一个矢量为正格子位矢， 另一个必为倒格子位矢。
③原胞体积的关系：倒格子原胞的体积v *与正格子原胞体积v 的关系 为:)()2()2()(32133321*a a a vb b b v ⨯⋅==⨯⋅=ππ ④倒格矢332211b h b h b h G ++=与正格子中密勒指数为)(321h h h 的晶面族正交。
即332211b h b h b h G ++=沿晶面族)(321h h h 的法线方向。
3.固体物理研究中的意义和作用：①：倒格子中的一个基矢对应于正格子中的一族晶面，也就是说，晶格中的一族晶面可以转化为倒格子中的一个点，这在处理晶格的问题上有很大的意义。
例如，晶体的衍射是由于某种波和晶格互相作用，与一族晶面发生干涉的结果，并在照片上得出一点，所以，利用倒格子来描述晶格衍射的问题是极为直观和简便的。
固体物理(第4课)倒易空间
b2，-b2．
-b1＋b2
－b1-b2
b1＋b2 b1-b2
离原点再远的倒格点有４个：
２b1，-２b1，２b2，-２b2．
２b２
－２b1
２b1 －２b２
二维正方晶格的布里渊区
二维长方晶格的布里渊区
二维六方晶格的十个布里渊区
(3) 三维晶格a. 简来自方晶格 倒易空间示意图aaa321
ai aj ak
图5 闪锌矿结构的本征GaN材料的能带结构图，导带最小和价带最大。
作
业
1 试证简单立方晶格的倒易点阵仍为简单立方晶格，体 心立方和面心立方互为倒易点阵。分别计算其第一 布里渊区的体积（假设其晶胞晶格常数为a）。
2 有一二维晶格，其原胞基矢分别为
a1
2
i
，a2
4j
（a1、a2的长度均以
A为单位），
布里渊区示意图2-2
：坐标原点0,0,0 ： 100 H： 2 1,0,0
a
： 110 N： 2 1 , 1 ,0
a 2 2
： 111 P： 2 1 , 1 , 1
a 2 2 2
简约布里渊区：正十二面体
V
2
2
a
3
V倒易原胞
返回
布里渊区示意图3-1
倒易
面心立方的倒 易点阵是体心 立方
结论： 若两矢量点积为2的整数倍， 且其中一个矢量
为正点阵位矢， 则另一个矢量必为倒易点阵的位矢。
为什么在倒易关系中存在2π 因子，这是因为如此定 义的互为倒易的两个矢量G与T之间满足下面简洁的
恒等式：
eiGT 1
(3) 两个点阵原胞体积之间的关系：
V* b1 (b2 b3 )
-b1＋b2
－b1-b2
b1＋b2 b1-b2
离原点再远的倒格点有４个：
２b1，-２b1，２b2，-２b2．
２b２
－２b1
２b1 －２b２
二维正方晶格的布里渊区
二维长方晶格的布里渊区
二维六方晶格的十个布里渊区
(3) 三维晶格a. 简来自方晶格 倒易空间示意图aaa321
ai aj ak
图5 闪锌矿结构的本征GaN材料的能带结构图，导带最小和价带最大。
作
业
1 试证简单立方晶格的倒易点阵仍为简单立方晶格，体 心立方和面心立方互为倒易点阵。分别计算其第一 布里渊区的体积（假设其晶胞晶格常数为a）。
2 有一二维晶格，其原胞基矢分别为
a1
2
i
，a2
4j
（a1、a2的长度均以
A为单位），
布里渊区示意图2-2
：坐标原点0,0,0 ： 100 H： 2 1,0,0
a
： 110 N： 2 1 , 1 ,0
a 2 2
： 111 P： 2 1 , 1 , 1
a 2 2 2
简约布里渊区：正十二面体
V
2
2
a
3
V倒易原胞
返回
布里渊区示意图3-1
倒易
面心立方的倒 易点阵是体心 立方
结论： 若两矢量点积为2的整数倍， 且其中一个矢量
为正点阵位矢， 则另一个矢量必为倒易点阵的位矢。
为什么在倒易关系中存在2π 因子，这是因为如此定 义的互为倒易的两个矢量G与T之间满足下面简洁的
恒等式：
eiGT 1
(3) 两个点阵原胞体积之间的关系：
V* b1 (b2 b3 )
倒格子空间与布里渊区
)
a2 h2
h3b3
和ah33正 格2子 2中 晶 0面族
(h1h2h3)正交
接着我们再证明倒格矢长度为 Gh
2π d h1h2h3
由于倒格矢 Gh h1b1 h2b2 h3b3 与晶面族(h1h2h3)
正交. 因而，晶面族(h1h2h3)的法线方向为Gh
一个倒格子基矢是和正格子原胞中一组晶
面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向， 它的大小则为该晶面族面间距倒数的2倍。
晶体结构
正格子
1. Rn n1a1 n2a2 n3a3
2.与晶体中原子 位置相对应； 3.是真实空间中点 的周期性排列；
4.线度量纲为[长 度]
倒格子
1. Gh h1b1 h2b2 h3b3
的波矢,一定也可以描述布拉维格子.这就是倒格 子的由来.
cos(g Rn) 1 g Rn 2 m; where m is int eger
由于波矢的单位是坐标空间中长度单位的倒 数，所以，在固体物理学中，通常把坐标空间 称为正空间，而把波矢空间称为倒易空间或倒 空间。
从而对应上述矢量g描述的布拉维格子称为倒 格子(reciprocal lattice)，而把Rn所描述的布拉 维格子称为正格子(direct lattice)。
C
由图可知：
h1 h3
CB OB OC a2 a3 h2 h3
O
a3
Gh
B a2
A
a1
Gh CA
(h1b1 h2b2
h3b3
)
a1 h1
a3 h3
2
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C O
Gh
a2 a3 CB OB OC h2 h3
B
a2
a1 a 3 0 G h CA ( h1 b1 h2 b 2 h3 b 3 ) h1 h3 a2 a3 0 G h CB ( h1 b1 h2 b 2 h3 b 3 ) h h 2 3
2π a 2 2π jk jk 3 a 2 a 2
倒格矢：
2π b1 jk a 2π b2 ik a
2π b2 ik a
2π b3 i j a
2π b3 i j a
体心立方的倒格是边长为4/a的面心立方 。
例3：证明简立方晶面(h1h2h3)的面间距为 a d h1h2h3 2 h2 h2 h1 2 3 证明：
1、倒矢量
b1， b 2， b3
量纲：[长度]－1
倒格基矢定义为：
2π b1 a2 a3 Ω 2π b2 a 3 a1 Ω 2π b3 a1 a 2 Ω
其中 a 1 , a 2 , a 3 是正格基矢，
Ω a1 a 2 a 3
是固体物理学原胞体积
3
a 3 a1 a 2 a1 a 3 a1 a1 a 2 Ω a 1
3
Ω*
2π a 2 a 3 Ω a1 Ω
3 2 π
Ω
4）倒格矢 G h h h 与晶面之间的关系： 1 2 3 （i）G h h h 垂直于晶面系(h1h2h3) ，即
d h1h2h3
2π G h1h2h3
a
2 h2 h2 h1 2 3
法二：设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，
a1 a 2 a 3 a , a , a , , ， 1 2 3 ABC在基矢 上的截距分别为 h1 h2 h3
由平面方程 X n d 得：
a1 n d h 1 a2 n d h 2 a3 h n d 3
(1)基矢 a 1 , a 2 , a 3 被平行的晶面等间距的分割成h1、h2、h3 等份； (2)以 为各轴的长度单位所求得的晶面在坐标轴 a1 , a2 , a3
上的截距倒数的互质比； (3)晶面的法线与基矢夹角的方向余弦的比值。
倒格
2π a2 a3 Ω 2π b2 a 3 a1 Ω 2π b3 a1 a 2 Ω b1
b3
2π 2π a a k Ω a
1 2
2π b1 i a 2π b2 j a 2π b3 k a
G h1h2h3 h1 b1 h2 b 2 h3 b 3
2π h1 i h2 j h3 k a
G h1h2 h3
2π 2 2 h12 h2 h3 a
2.与晶体中原子位置
正格
u r r r r 1. G h = h b1 + h b 2 + h b3 1 2 3
2.与晶体中一族晶面相
倒格
相对应；
3.是真实空间中点的周 期性排列； 4.线度量纲为[长度]
对应；
3.是与真实空间相联系的 傅里叶空间中点的周期性 排列； 4.线度量纲为[长度]-1
已知晶体结构如何求其倒格呢？ 晶体 结构 正格 基矢 倒格 基矢
§1.4
倒格子
晶体结构=晶格+基元
一个晶体结构有两个格子，一个是正格，另一个为倒格。 正格 正格基矢 a1 , a 2 , a 3 正格（点位）矢： 倒格 倒格基矢 b1 , b 2 , b3 倒格（点位）矢：
R n 1 a1 2 a 2 3 a 3
G h h1b1 h2b 2 h3b3
3 2 π Ω*
2π ( i j )
0
i j
u r u r 2. Rl ?G h
2π μ
u r r r r 4. G h = h1 b1 + h2 b2 + h3 b3 ^ (h1h2h3)
Ω
u r G h1h2 h3 =
2π d h1h2 h3
晶体结构
u r r r r 1. R n = l1 a1 + l2 a 2 + l3 a3
2π d1
b3
a3
b2
a1
a2
b1 2 π
a2 a3 Ω
2π b2 d2
b1
2π b3 d3
一个倒格基矢是和正格原胞中一组晶面相对应的，它的方
向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的 2倍。
2、倒格子：以 b1， b 2， b3 为基矢构成的平行六面体。
倒格子每个格点位置： h1,h2,h3－整数。 3、倒矢量的基本性质： 1) a i b j 2π ij 2π
与 G n h1b1 h2b 2 h3b3 (h1, h2, h3为整数) 所联系的各点 的阵列即为倒格子。
倒格基矢的方向和长度如何呢？（原胞基矢方向不垂直）
2π a2 a3 Ω 2π b2 a 3 a1 Ω 2π b3 a1 a 2 Ω b1
h
v v Γ (r + R) =
G h R 2π
G h 一定是倒格矢。
å
h
晶列及晶面
1.晶列及晶列指数 通过晶格中任意两个格点连一条直线称为晶列，晶列的取 向称为晶向，描写晶向的一组数称为晶向指数(或晶列指数)。
l l l 若遇负数，则在该数上方加一横线 l1l2 l3 。
1 2 3
d h1h2 h3＝OA n＝
a1 Gh a1 ( h1 b1 h2 b 2 h3 b 3 ) 2h1 2 ＝ h1 G h h1 G h h1 G h Gh
2π
从o点到各面的距离：
Gh
(h1h2h3) 晶面系的晶面方程：
Gh Gh
X d h1h2 h3
Gh h1b1 h2b 2 h3b3
(i j＝ 1 ， 2， 3)
2π a 2 a 3
2π
2π a 3 a 1 a1 b2 a1 Ω
0
2）
Rl G h 2π (为整数)
G h h1 b1 h2 b 2 h3 b3
解： 体心立方的原胞基矢： 2π a b a2 a3 a1 i j k 1 Ω 2 a 2π a 2 i j k b 2 a 3 a1 2 Ω a a 3 i j k 2π 2 b3 a1 a 2 Ω a a i j k a a a 2 j i 2 a2 a3 a a 2 2 2 a a a 2 2
a 2 a 2
1 3 Ω a1 a 2 a 3 a 2
2
2
2
a 2 k a 2
a 2 a 2
a 2 a 2
a2 a2 j k 2 2
a2 a2 a2 a3 j k 2 2
2π b1 a2 a3 Ω
同理得：
1 3 Ω a1 a 2 a 3 a 2
(为整数)
3 2 π 3） Ω*
Ω* b1 b 2 b 3
Ω
(其中和*分别为正、倒格原胞体积)
A B C A C B A B C
3 1 1
a a a a
2
2π a 2 a 3 a 3 a1 a1 a 2 Ω
a i b j 2π ij
2π ( i j )
0 (i j )
a 2 b1 0 a 2 b 2 2π
2π i a 2π b2 j a b1
2π a 2π a
G h h1 b1 h2 b 2
2π 倒格是边长为 的正方形格子。 a
例2：证明体心立方的倒格是面心立方。
2.晶面及晶面指数 在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面， 称为晶面，描写晶面方位的一组数称为晶面指数。
h h h 若遇负数，则在该数上方加一横线h h h 。
1 2 3
1 2 3
以布拉菲原胞基矢 a , b,c 为坐标轴来表示的晶面指数称为
密勒指数，用(hkl)表示。
晶面指数(h1h2h3 )表示的意义是：
法一： 由 G h
2π d h1h2 h3
得： d h1h2 h3
2π
G h1h2h3
2π b1 i a 2π b2 j a 2π b3 k a
简立方：a1 a i , a 2 a j , a 3 a k ,
2π 2π b1 a2 a3 i Ω a 2π 2π b2 a 3 a1 j Ω a
a1 cosa1 , n h1d a 2 cosa 2 , n h2 d a 3 cosa 3 , n h3 d
( , ,0, , )
4、倒格与傅里叶变换
在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同。
r Rl r
v Γ (r ) =
R l 是正格矢。
上式两边分别按傅里叶级数展开：
å
u r r u r iG h × r Γ (G h ) e