倒格子空间

C O
Gh
a2 a3 CB OB OC h2 h3
B
a2
a1 a 3 0 G h CA ( h1 b1 h2 b 2 h3 b 3 ) h1 h3 a2 a3 0 G h CB ( h1 b1 h2 b 2 h3 b 3 ) h h 2 3
2π a 2 2π jk jk 3 a 2 a 2
倒格矢：
2π b1 jk a 2π b2 ik a







2π b2 ik a


2π b3 i j a
2π b3 i j a


体心立方的倒格是边长为4/a的面心立方 。
例3：证明简立方晶面(h1h2h3)的面间距为 a d h1h2h3 2 h2 h2 h1 2 3 证明：
1、倒矢量
b1， b 2， b3
量纲：[长度]－1
倒格基矢定义为：
2π b1 a2 a3 Ω 2π b2 a 3 a1 Ω 2π b3 a1 a 2 Ω


其中 a 1 , a 2 , a 3 是正格基矢，
Ω a1 a 2 a 3


是固体物理学原胞体积
3

a 3 a1 a 2 a1 a 3 a1 a1 a 2 Ω a 1


3


Ω*
2π a 2 a 3 Ω a1 Ω


3 2 π
Ω
4）倒格矢 G h h h 与晶面之间的关系： 1 2 3 （i）G h h h 垂直于晶面系(h1h2h3) ，即
d h1h2h3
2π G h1h2h3

a
2 h2 h2 h1 2 3
法二：设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，
a1 a 2 a 3 a , a , a , , ， 1 2 3 ABC在基矢 上的截距分别为 h1 h2 h3
由平面方程 X n d 得：
a1 n d h 1 a2 n d h 2 a3 h n d 3
(1)基矢 a 1 , a 2 , a 3 被平行的晶面等间距的分割成h1、h2、h3 等份； (2)以 为各轴的长度单位所求得的晶面在坐标轴 a1 , a2 , a3
上的截距倒数的互质比； (3)晶面的法线与基矢夹角的方向余弦的比值。
倒格
2π a2 a3 Ω 2π b2 a 3 a1 Ω 2π b3 a1 a 2 Ω b1
b3
2π 2π a a k Ω a
1 2


2π b1 i a 2π b2 j a 2π b3 k a
G h1h2h3 h1 b1 h2 b 2 h3 b 3
2π h1 i h2 j h3 k a


G h1h2 h3
2π 2 2 h12 h2 h3 a
2.与晶体中原子位置
正格
u r r r r 1. G h = h b1 + h b 2 + h b3 1 2 3
2.与晶体中一族晶面相
倒格
相对应；
3.是真实空间中点的周 期性排列； 4.线度量纲为[长度]
对应；
3.是与真实空间相联系的 傅里叶空间中点的周期性 排列； 4.线度量纲为[长度]-1
已知晶体结构如何求其倒格呢？ 晶体 结构 正格 基矢 倒格 基矢
§1.4
倒格子
晶体结构=晶格+基元
一个晶体结构有两个格子，一个是正格，另一个为倒格。 正格 正格基矢 a1 , a 2 , a 3 正格（点位）矢： 倒格 倒格基矢 b1 , b 2 , b3 倒格（点位）矢：
R n 1 a1 2 a 2 3 a 3
G h h1b1 h2b 2 h3b3
3 2 π Ω*
2π ( i j )
0
i j
u r u r 2. Rl ?G h
2π μ
u r r r r 4. G h = h1 b1 + h2 b2 + h3 b3 ^ (h1h2h3)
Ω
u r G h1h2 h3 =
2π d h1h2 h3
晶体结构
u r r r r 1. R n = l1 a1 + l2 a 2 + l3 a3
2π d1
b3
a3
b2
a1
a2
b1 2 π
a2 a3 Ω
2π b2 d2
b1
2π b3 d3
一个倒格基矢是和正格原胞中一组晶面相对应的，它的方
向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的 2倍。
2、倒格子：以 b1， b 2， b3 为基矢构成的平行六面体。
倒格子每个格点位置： h1,h2,h3－整数。 3、倒矢量的基本性质： 1) a i b j 2π ij 2π
与 G n h1b1 h2b 2 h3b3 (h1, h2, h3为整数) 所联系的各点 的阵列即为倒格子。
倒格基矢的方向和长度如何呢？（原胞基矢方向不垂直）
2π a2 a3 Ω 2π b2 a 3 a1 Ω 2π b3 a1 a 2 Ω b1


h
v v Γ (r + R) =
G h R 2π
G h 一定是倒格矢。
å
h
晶列及晶面
1.晶列及晶列指数 通过晶格中任意两个格点连一条直线称为晶列，晶列的取 向称为晶向，描写晶向的一组数称为晶向指数(或晶列指数)。
l l l 若遇负数，则在该数上方加一横线 l1l2 l3 。
1 2 3
d h1h2 h3＝OA n＝
a1 Gh a1 ( h1 b1 h2 b 2 h3 b 3 ) 2h1 2 ＝ h1 G h h1 G h h1 G h Gh
2π
从o点到各面的距离：
Gh
(h1h2h3) 晶面系的晶面方程：
Gh Gh
X d h1h2 h3
Gh h1b1 h2b 2 h3b3
(i j＝ 1 ， 2， 3)
2π a 2 a 3

2π
2π a 3 a 1 a1 b2 a1 Ω


0
2）
Rl G h 2π (为整数)
G h h1 b1 h2 b 2 h3 b3
解： 体心立方的原胞基矢： 2π a b a2 a3 a1 i j k 1 Ω 2 a 2π a 2 i j k b 2 a 3 a1 2 Ω a a 3 i j k 2π 2 b3 a1 a 2 Ω a a i j k a a a 2 j i 2 a2 a3 a a 2 2 2 a a a 2 2


a 2 a 2
1 3 Ω a1 a 2 a 3 a 2


2
2
2
a 2 k a 2
a 2 a 2
a 2 a 2
a2 a2 j k 2 2
a2 a2 a2 a3 j k 2 2
2π b1 a2 a3 Ω
同理得：
1 3 Ω a1 a 2 a 3 a 2
(为整数)
3 2 π 3） Ω*
Ω* b1 b 2 b 3

Ω
(其中和*分别为正、倒格原胞体积)

A B C A C B A B C
3 1 1

a a a a
2


2π a 2 a 3 a 3 a1 a1 a 2 Ω
a i b j 2π ij
2π ( i j )
0 (i j )
a 2 b1 0 a 2 b 2 2π
2π i a 2π b2 j a b1
2π a 2π a
G h h1 b1 h2 b 2
2π 倒格是边长为 的正方形格子。 a
例2：证明体心立方的倒格是面心立方。
2.晶面及晶面指数 在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面， 称为晶面，描写晶面方位的一组数称为晶面指数。
h h h 若遇负数，则在该数上方加一横线h h h 。
1 2 3
1 2 3
以布拉菲原胞基矢 a , b,c 为坐标轴来表示的晶面指数称为
密勒指数，用(hkl)表示。
晶面指数(h1h2h3 )表示的意义是：
法一： 由 G h
2π d h1h2 h3
得： d h1h2 h3
2π
G h1h2h3
2π b1 i a 2π b2 j a 2π b3 k a
简立方：a1 a i , a 2 a j , a 3 a k ,
2π 2π b1 a2 a3 i Ω a 2π 2π b2 a 3 a1 j Ω a
a1 cosa1 , n h1d a 2 cosa 2 , n h2 d a 3 cosa 3 , n h3 d
( , ,0, , )
4、倒格与傅里叶变换
在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同。
r Rl r
v Γ (r ) =


R l 是正格矢。
上式两边分别按傅里叶级数展开：
å
u r r u r iG h × r Γ (G h ) e
u r r u r v iG h? (r R) Γ (Gh ) e
1 2 3
G h 为(h1h2h3)晶面的
法线方向。 （ii） (h1h2h3)晶面系的晶面方程。 （iii）各面与原点的垂直距离：
2π n Gh

2π n h1 b1 h2 b 2 h3 b 3
2

2π n (h1b1 )2 (h2b2 )2 (h3b3 )2
2 h1 b1 h2 b 2 h3 b 3


Ω a1 a 2 a 3 其中 a 1 , a 2 , a 3 是正格基矢，


是固体物理学原胞体积。 u r r r r 与 G h = h1 b1 + h2 b2 + h3 b3 ( h1 ,h 2 ,h3为整数 )
所联系的各点的列阵即为倒格。
1. a i b j 2π ij 3.
其中 R l 和G h分别为正格点位矢和倒格点位矢。
R l l1 a1 l2 a 2 l3 a 3
Rl G h
(l1 a1 l2 a 2 l3 a 3 ) (h1 b1 h2 b 2 h3 b3 )
2π(l1h1 l2 h2 l3h3 )
2π
A
a1
所以 G h h1 b1 h2 b 2 h3 b3 与晶面族(h1h2h3)正交。
(2) 证明 G h h1 b1 h2 b 2 h3 b3 的长度等于
2π d h1h2 h3
。
O点到最近晶面的距离为 d h h h OA n OB n OC n 1 2 3
例1：下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。
a2 a j
a
a
a 1 ai a2 a j
a
a
a 1 ai
a i b j 2π ij
2π ( i j )
0 (i j )
a 1 ai a2 a j
a 1 b1 2 π a1 b2 0
正格
倒格
2π b1 a2 a3 Ω 2π b2 a3 a1 Ω 2π b3 a1 a2 Ω


a1 , a 2 , a 3
b1 , b 2 , b 3
2π ( i j )
a i b j 2π ij
0
i j
G h h1 b1 h2 b 2 h3 b 3
（iV）相邻晶面间的距离：
Gh
d h1h2h2
（1） 设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面， 证明：
由图可知： CA OA OC a 1 a 3 h1 h3
a1 a2 a3 , , 。 ABC在基矢 a1 , a 2 , a 3上的 截距分别为 h1 h2 h3 a3