粘性流体运动微分方程
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流体力学-N-S方程
dvx v x v x v x v x 1 p 2 vx vx vy vz x dt t x y z dvy v y v y v y v y 1 p 2 Y vy vx vy vz y dt t x y z 1 p 2 dvz v z v z v z v z Z vz vx vy vz z dt t x y z X
实际流体的运动微分 方程
——纳维-斯托克斯方程式 （N-S方程式）
以应力表示的黏性流体运动微分方程式
• 一、作用在流体微元上的应力 在粘性不起作用的平衡流体 中，或者在没有粘性的理想运动 流体中，作用在流体微元表面上 的表面力只有与表面相垂直的压 应力，而且压应力又具有一点上 各向同性的性质。
图一
v x x v y
（6）
由式（6）可以看出，由于各个方向的直线应变速 度不见得相等，因而这种由于粘性阻碍作用所产生的 法向应力也是各向不等的，p'xxp'yyp'zz统称为一点上的 各项异性压强。 • 于是在实际流体运动时，一点上的法向应力除了由 于分子运动统计平均的各向同性压强p之外，还需加上 由于粘性影响而与直线变形有关的各向异性压强，最 后可以得到法向应力与直线应变速度之间的关系为
（9）
此式说明一点上的各向同性压强也就是不可 压缩实际流体中不同方向压强的算术平均值。这 给具体计算实际流体中的压强带来很大的方便， 我们无需进一步研究各向异性压强，只要找出各 向同性压强与其他流动参数之间的关系，则据此 算出的各向同性压强事实上也就是不可压缩实际 运动流体一点上的流体动压强。
p的含义
但是在运动着的实际流体中取出边长dx、dy、 dz的六面体微元，如右图1多示，由于粘性影响，当 微元有剪切变形时，作用在微元体ABCDEFGH上的表 面力就不仅有压应力p，而且也有切应力τ 。当微元 有直线变形时，一点上的压应力也不再具有各项同 性的性质了。
实际流体的运动微分 方程
——纳维-斯托克斯方程式 （N-S方程式）
以应力表示的黏性流体运动微分方程式
• 一、作用在流体微元上的应力 在粘性不起作用的平衡流体 中，或者在没有粘性的理想运动 流体中，作用在流体微元表面上 的表面力只有与表面相垂直的压 应力，而且压应力又具有一点上 各向同性的性质。
图一
v x x v y
（6）
由式（6）可以看出，由于各个方向的直线应变速 度不见得相等，因而这种由于粘性阻碍作用所产生的 法向应力也是各向不等的，p'xxp'yyp'zz统称为一点上的 各项异性压强。 • 于是在实际流体运动时，一点上的法向应力除了由 于分子运动统计平均的各向同性压强p之外，还需加上 由于粘性影响而与直线变形有关的各向异性压强，最 后可以得到法向应力与直线应变速度之间的关系为
（9）
此式说明一点上的各向同性压强也就是不可 压缩实际流体中不同方向压强的算术平均值。这 给具体计算实际流体中的压强带来很大的方便， 我们无需进一步研究各向异性压强，只要找出各 向同性压强与其他流动参数之间的关系，则据此 算出的各向同性压强事实上也就是不可压缩实际 运动流体一点上的流体动压强。
p的含义
但是在运动着的实际流体中取出边长dx、dy、 dz的六面体微元，如右图1多示，由于粘性影响，当 微元有剪切变形时，作用在微元体ABCDEFGH上的表 面力就不仅有压应力p，而且也有切应力τ 。当微元 有直线变形时，一点上的压应力也不再具有各项同 性的性质了。
工程流体力学(粘性流体动力学基础公式推导)
2h
u
x
vw0
U 0
不可压连方
u v w 0, u 0, u u( y)
x y z
x
运动方程
u t
u
u x
v
u y
w
u z
1
p x
2u ( x 2
2u y 2
2u z2 )
26
运动方程
u t
u
u x
v
u y
w
u z
1
p x
2u ( x 2
2u y2
2u z 2
)
简化为
2u y 2
1
p x
13
px
py
pz
3 p
2 ( vx
x
vy y
vz z
)
（８--９）
问题：上式括号内表示什么？
对于不可压缩流体，故有：
p
1 3
(
px
py
pz
)
(8-10)
即对于粘性不可压缩流体，三个互相垂直的法
向应力的算术平均值恰好等于理想流体的压力。
14
将切向应力和法向应力关系式代入（8--5）式得
vx t
vx
Dt
x
y
z
DVz Z 1 ( zx zy pzz )
Dt
x
y
z
（8-5）
单位质量流体的惯性力
单位质量流体的应力
单位质量流体的质量力
这就是应力形式的粘性流体运动微分方程 8
讨论
1.式（８-５）中未知函数:三个速度分量和六个 应力分量；加上连续性方程，只有四个方程，
2.若要求解，需补充方程。
将（ｄ）式代入（ａ）式，经移项后可得
5-粘性流体力学基础
fm
1
p v2u
v ( u) 3
式（7—5d）是在 Const 条件下对一切牛顿流体都普遍
适用的运动微分方程式，亦称之为纳维—斯托克斯方程。
14
方程的物理意义：
左边 du 为流体质点加速度（单位质量流体的惯性力）； dt
右边
f
为作用在流体微团上单位质量的质量力；
m
－ 1 p为作用在流体微团上单位质量流体的压强合力；
0.3
将已知数据代入前式得 Q 0.016 cm2 s ，与按同心环形缝隙
流动计算结果相同。
29
§7-5 绕流圆球的小雷诺数流动
在工程实际中，我们经常要研究固体微粒和液体细滴在流体
中的缓慢运动，这里，圆球是经常遇到的几何形状。如炉膛空气
流中的煤粉颗粒，油滴，烟道烟气中的灰尘，水蒸气中的水滴以
及水中沉降的泥砂等，都可以近似看作小圆球。对这些小圆球的
2 z
u y x
ux y
yz
zy
2 x
uz y
u y z
（7—3）
zx
xz
2 y
ux
z
uz x
式（7—3）称为广义牛顿内摩擦定律。
8
在粘性流体中，与角变形速度产生切应力一样，线变形 速度产生附加切应力。根据牛顿内摩擦定律
xx
2
ux x
yy
2
u y y
zz
2
uz z
（7—4）
式（7—3）、（7—4）为本构方程。
2 r2
ur
2 r2
u
2 r2
u
cos
2
r 2 cos
u
ur t
ur
ur r
粘性流体力学讲解
z
-px
、v、px、p y、pz、f
牛顿第二定律：
x -py
z
M
z
y
py
p y y
y
ma F
x
y
px
p x x
x
-pz
Dv Dt
x
y
z
f
x
y
z
p x
y
z
(p x
p x x
x)
y
z
p y
x
z
(p
y
p y y
y)
x
z
Dv Dt
fy
1
p y
2v
Dw Dt
fz
1
p z
2w
Discussion:
Dv f 1 p 2 v v
Dt
3
1. 物理意义：单位质量流体惯性力、质量力、压力合力和 粘性力平衡。粘性力包括剪应力与附加法向应力。
0
du
dy
yh
dp h dx
y
h
o -h
umax x
dp 0 dx
压力梯度使速度剖面为抛物型——层流运动的特征。
7.3.2往复振荡平板引起的层流流动
平板运动引起粘性效应的扩散。 流场速度分布：
y o u=Ucos t
u U eky cosky t ——粘性扰动波。 y 2
dp 0 dx
速度分布： （Couette流动）
第3章：粘性流体运动
p x dp dx L
1 h h 2 p v x vx dy h 0 12 L
Wh 3 p 流量 Q 12 L
(a)情形的流量是(b)情形和(c)情形的流量之和
圆管内的一维稳态流动分析。
不可压缩流体在水平 圆管内作一 维稳态层流流动。试写出该条件下的连 续性方程和运动微分方程。并证明管道 截面上任一点的总势能和轴向压力梯度 为常数。
re10510re1010re102580455lgre紊流边界层内沿平板壁面发向截面上的速度比层流边界层的速度增加得快在其它条件相同的情况下平板壁面上的切向应力沿着壁面的减小在紊流边界层中要比层流边界层减小得在同一下紊流边界层得摩擦阻力系数比层流边界层的大得多实际情况下边界层是层流和紊流同时存在的混合边界层re37re0462re036re0289re036re84re752re686re343re686re372re074边界层的基本特性速度分布规边界层厚度位移厚度动量损失厚切向应力总摩擦力摩擦阻力系以如图所示的圆柱绕流为例在势流流动中流体质点从d到e是加速的为顺压强梯度
Dv y
2 y 2 y 2 y 1 p fy 2 2 2 Dt y x y z
2 z 2 z 2 z Dvz 1 p fz 2 2 2 Dt z x y z
一 速度势函数
V 0 ，由矢量分析知，任一标 对于无旋流场，处处满足：
量函数梯度的旋度恒为零，所以速度 数 的梯度，即: V
连续方程和N－S方程是粘性流体流动应遵循的质量守恒和 动量守恒的数学表达式。
N-S方程应用概述
封闭条件：理论上方程是封闭的，但若要考虑到物性参数 的变化，应将物性变化的关系作为补充方程。
不可压缩粘性流体的运动微分方程名师优质资料
根据边界层的特征，在边界层内惯性项和粘性项具有 同样的数量级，由方程组（8-37）可知，必须使 1 Re l 和 2
同数量级，所以 l ~ 1 Re l ，即 反比于 雷诺数越大，边界层相对厚度越小。
Re l
。这表明，
这样，将式（8-37）中的某些项略去，再变换成有量纲 量，便得到了层流边界层的微分方程（称为普朗特边界层方 程）： v x v x 2vx 1 p
（8-36）
v
y
o
x
l
vx
x
图8-11
推导层流边界层的微分方程用图
可以利用边界层每一处的厚度都很小的特征，来比较方程 组（8-36）中各项的数量级，权衡主次，忽略次要项，这 样便可大大简化该方程组。
即 l或 足不等式 边界层的厚度 与平板的长度 l 相比较是很小的， ，而 l 1 y的数值限制在边界层内，并满
p xx
dy
xz
zx
fz
xy
xy
fy
xy
A
y
yx
dx x
zx zx dz z
fx
o z
第一个下标表示应力所在平面的法线方向 第二个下标表示应力本身的方向。
y
yx
yx y
dy
xy
dy
M
xy
xy x
dx
dx
yx
现在根据边界层的特征，利用不可压缩粘性流体 的运动微分方程来研究边界层内流体的运动规律。为 简单起见，只讨论流体沿平板作定常的平面流动,x轴与 壁面相重合，如图8-11所示。假定边界层内的流动全 是层流，忽略质量力，则不可压缩粘性流体平面定常 流动的微分方程和连续方程为
《流体力学》第六章_粘性流体绕物体的流动
第四节 平面层流边界层的微分方程
❖ 在这一节里，将利用边界层流动的特点如流体的粘度大小、 速度与温度梯度大和边界层的厚度与物体的特征长度相比为 一小量等对N-S方程进行简化从而导出层流边界层微分方程。 在简化过程中，假定流动为二维不可压定常流，不考虑质量 力，则流动的控制方程N-S方程为：
vx
vx x
◆空间流动三维问题，N—S方程及其求解 ◆扰流阻力及其计算 ◆附面层的问题
第一节 不可压缩粘性流体的运动微分方程
以流体微元为分析对象，流体的运动方程可写为 如下的矢量形式：
DV F P
Dt
(8-1)
这里 ：
DV V V V
Dt t
(8-2)
是流体微团的加速度，微分符号：
D Dt
t
V
p 2
vr r
p
3
2 r0
cos
( ) r, rr0
(1 vr r
v0 r
v ) v
r
r
3
sin
2 r0
（8-25）
对上述两式积分，可分别得到作用在球面上的压强和切应力 的合力。将这两个合力在流动方向的分量相加，可得到流体 作用在圆球上的阻力为：
FD 6 r0 3 d
2vy z 2
)
p z
(2vz
x 2
2vz y 2
2vz z 2
)
（8－18）
一、蠕动流动的微分方程
●如果流动是不可压缩流体，则连续性方程为：
vx v y vz 0 x y z
（8－19）
将式（8－18）依次求
2 x
p
2
、
2 y
p
2
、 2
第五章 实际(粘性)流体动力学基础
hw----能量损失
能量损失包括：沿程损失和局部损失。
物理意义：总流各过流断面上单位重力流体所具有的平均势
能和平均动能之和，机总机械能平均值沿程减少，部分机械 能转化为热能而损失；同时，各项机械能之间可以相互转化。
2、几何意义 z——位置水头 hw----水头损失
p
——压强水头
v 2
2g
——流速水头
p
p
(5.12)
上式表示总流重力流量（γQ）所具有的势能。
u2 （2）第二类积分 Q dQ A u3dA ，表示总流重力流量 2g 2g
所具有的动能。 总流在同一过流断面上的流速分布一般是不均匀的，即
3 3 u dA v A A
引入修正系数α，即令
3 3 u dA u dA A A 3 v A Qv 2
下降，平均测压管水头线可以上升，
可以下降。
总水头线的坡度叫做水力坡度， 表示单位重力流体在单位长度的 流程上所损失的平均水头。以H 表示总流的平均总水头，则水力
坡度为
dH dhw J ds ds
(5.21)
5.3.3
恒定总流伯努利方程的应用
总流伯努利方程适用条件：
（1）不可压缩流体；
（2）恒定流； （3）作用于流体上的质量力不可压缩流体； （4）所取过流断面1-1，2-2都在渐变流区域，但两断面之
式中，
(5.5)
g
( 2 ux dx 2 u y dy 2 uz dz ) 为单位质量流体粘性
，代入（5.5）式 力所作的微功，记为 dhw
u2 0 d ( gz ) dhw 2g p
对上式沿流线（或元流）由点1到点2积分，得
第八章粘性流体动力学基础-武汉理工大学---网络学堂
第八章 粘性流体动力学基础一、内容小结本章为粘性流体动力学的理论基础部分，主要建立了粘性流体运动的基本微分方程式即 N-S 方程，所采用的方法同欧拉运动微分方程的推导类似，即仍然从牛顿第二定理出发采用微分体积法进行推导。
最后给出了两个特殊情况下N-S 方程的求解。
1．作用于粘性流体上的力：粘性流体的表面力：对于理想流体：表面力垂直作用面，沿内法线方向：P np =−J K Kp=p(x,y,z,t) 是标量，对于粘性流体：表面力即不垂直作用面，且与n K 有关，()n P p n =⋅J K JJ K K是张量。
一点的应力表示xx xy xz ij yxyy yz zxzyzz p p p p ττττττ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦应力： 第一个下标，表示应力作用面的法线；ij p 第二个下标，表示应力所投影的坐标轴。
应力的方向：法应力xxyy p p p zz ：拉为正，压为负。
切应力,,,,,xy yx yz zy zx xz ττττττ：作用面的外法线与坐标轴指向一致时为正。
其中切应力,,xy yx yz zy zx xz ττττττ===(13)xx yy zz p p p p =−++称粘性流体的压力， 与作用面的方位无关。
粘性流体的质量力：与理想流体类似如重力，惯性力等 2．粘性流体应力形式的运动微分方程1()yx x xx zx dV pX dt p x y z ττ∂∂∂=+++∂∂∂1()yxy yy dV p Y dt x y zzyττρ∂∂∂=+++∂∂∂1()yz xz z z p dV Z dt x y zτz τρ∂∂∂=+++∂∂∂矢量形式为：1(yx z p p p dV F dt x y zρ∂∂∂=+++∂∂∂J K J K J K J KJ K方程中未知量为：,,,,,,,,,x y z xx yy zz xy yz zx V V V p p p ρτττ共十个，粘性流体运动微分方程在直角坐标系下有三个方程，加上连续性方程，共四个方程，而未知数十个，因而方程不封闭，求解须补充方程。
粘性流体动力学基础Y
2ux z2
ddxutfx1 p xν 2yu2x2zu2x
根据牛顿第二定理： m a F （1） max Fx
ma x F x ma y F y ma z F z
ddxutfx1 p xν 2yu2x2zu2x
（2） may Fy
ddyutfy1 p yν 2xu2y2zu2y
（3） maz Fz
根据牛顿第二定理： max Fx
x轴方向受到的表面压力：
p dxdydz x
x轴方向受到的表面切应力的合力力：
2ux y2
2ux z2
dxdydz
x轴方向受到的质量力： fxdxdydz
dxdyddduxztpxdxdydfxzdxdydz2yu2x 2zu2xdxdyd
dduxtfx
1px2yu2x
dx dy dz
ν fxd x fyd y fzd z1d p d u 2 2 2 u xd x 2 u yd y 2 u zd z 2 u x u y u z
x y z
dx dy dz
ν fxd x fyd y fzd z1d p d u 2 2 2 u xd x 2 u yd y 2 u zd z 2 u x u y u z
粘性流体动力学基础Y
（优选）粘性流体动力学基础 Y
一、 粘性流体的运动微分方程
——纳维—斯托克斯方程（N—S方程）
理想流体： ，0 表面力无粘性切应力，只有法向压应力。 粘性流体： ，0 表面力有粘性切应力和法向压应力。
取六面体的流体微团为控制体， 其边长分别为：dx、dy、dz C点（六面体的中心点）:
坐标：x、y、z
平均密度：ρ
动压强：p
速度：ux、uy、uz
第3章流体力学连续性方程微分形式
第三章 流体动力学基础
第三节 流体动力学基本方程式
一、连续性微分方程 二、理想流体运动微分方程
三、粘性流体的运动微分方程
第四节 欧拉运动微分方程的积分
一、在势流条件下的积分
二、沿流线的积分
第三节 流体动力学基本方程式
一、连续性微分方程
在流场内取一微元六面体（如图），边长为dx,dy,dz，中心点O流速为 （ ux,uy,uz ） D' z C' ux dx ux dx A' dz u B' u ux x 2 z x x 2 o’ M uy ux N 以x轴方向为例： C D u 1 x dx dy u u dx 左表面流速 M A x x 2 B o u x x 1 右表面流速 u u dx N x 2 x y ∴ 单位时间内x方向流出流进的质量流量差： ( u ) ( u ) x x 1 1 M M [ u dx ] dydz [ u dx ] dydz x 右 左 x 2 x 2 x
u u u u pdu x x x x x 1 X u u u x dt t x x y y z z
•
理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）
du ux ux ux p ux x 1 X ux uy uz z x dt t x y du uy uy uy uy p y 1 Y ux uy uz y dt t x y z du uz uz uz uz p 1 z Z ux uy uz z dt t x y z
质量力 x向受力
'zy xy xz
dz
p'zzx
第三节 流体动力学基本方程式
一、连续性微分方程 二、理想流体运动微分方程
三、粘性流体的运动微分方程
第四节 欧拉运动微分方程的积分
一、在势流条件下的积分
二、沿流线的积分
第三节 流体动力学基本方程式
一、连续性微分方程
在流场内取一微元六面体（如图），边长为dx,dy,dz，中心点O流速为 （ ux,uy,uz ） D' z C' ux dx ux dx A' dz u B' u ux x 2 z x x 2 o’ M uy ux N 以x轴方向为例： C D u 1 x dx dy u u dx 左表面流速 M A x x 2 B o u x x 1 右表面流速 u u dx N x 2 x y ∴ 单位时间内x方向流出流进的质量流量差： ( u ) ( u ) x x 1 1 M M [ u dx ] dydz [ u dx ] dydz x 右 左 x 2 x 2 x
u u u u pdu x x x x x 1 X u u u x dt t x x y y z z
•
理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）
du ux ux ux p ux x 1 X ux uy uz z x dt t x y du uy uy uy uy p y 1 Y ux uy uz y dt t x y z du uz uz uz uz p 1 z Z ux uy uz z dt t x y z
质量力 x向受力
'zy xy xz
dz
p'zzx
5.1 粘性流体运动微分方程式
xy x
dx
yy
yy y
dy
惯性力： dv y dxdydz dt
x
zy
y D
o
二.以应力形式表示的运动微分方程： 列平行六面体流体微元y方向的力平衡方程：
dvy xy yy zy f y dxdydz dxdydz 0 dxdydz y z dt x 同理可得x方向和z方向的运动微分方程： 1 xx yx zx dvx fx x y z dt
不可压缩粘性流体的N-S方程
2.法向应力与应变速度的关系：
vx xx p 2 x v y yy p 2 y vz zz p 2 z
粘性流体法向应力与应变速度关系的本构方程
四.纳维-斯托克斯方程(N-S方程)： 1 xx yx zx dvx fx x y z dt x方向的微分方程式：
z
A
zy
y D
o
二.以应力形式表示的运动微分方程： 平行六面体流体微元y方向受力情况： 表面力：
xy yy zy dxdydz y z x
B C
zy
zy z
dz
xy
yy
A
质量力：
f y dxdydz
z
xy
C
边长:dx,dy,dz
中心:M点
B M A z dy dz dx y D
o
x
在流场中取微小平行六面体流体微元ABCD，分析其受力情况： 顶点:A(x,y,z)
C
边长:dx,dy,dz
中心:M点
第六章 粘性流体动力学基础(Y)
x轴方向受到的表面压力： 轴方向受到的表面压力： 轴方向受到的表面压力
∂p dx ∂p dx ∂p p − ⋅ dydz − p + ⋅ dydz = − dxdydz ∂x 2 ∂x 2 ∂x
流体微团所受到的质量力为： 流体微团所受到的质量力为：
→
f = fx i + f y j+ fz k
（1）通过对欧拉运动微分方程进行积分 通过对欧拉运动微分方程进行积分 ——推导恒定元流的伯努利方程 推导恒定元流的伯努利方程 推导 ①定常流动； 定常流动； ②沿流线积分； 沿流线积分； ③质量力只有重力； 质量力只有重力； ④不可压流体。 不可压流体。
粘性流体的运动微分方程： 粘性流体的运动微分方程：
粘性流体的运动方程 粘性流体的能量方程 流体运动的两种流态及其能量损失 流体运动的两种流态及其能量损失
主要内容
均匀流的沿程水头损失 圆管中的层流运动 明渠中的层流运动 紊流基本理论 圆管紊流运动中沿程阻力系数的确定 局部阻力系数的确定
粘性流体：实际流体都具有粘性。既有粘性切应力 又有法向压应力。 粘性切应力， 粘性流体：实际流体都具有粘性。既有粘性切应力，又有法向压应力。 µ≠0 理想流体：理想流体可忽略粘性 粘性。 无粘性切应力，只有法向压应力。 理想流体：理想流体可忽略粘性。即无粘性切应力，只有法向压应力。 µ =0
∂uy ∂uy ∂ux ∂ux ∂ux ∂uz ∂uz 右边 = ux + uy + uz + uy − uy + uz −uz ∂x ∂y ∂z ∂x ∂x ∂x ∂x
2 2 2 ∂ux ∂uy ∂ ux ∂ uy ∂ uz ∂u ∂u + uz x − z = + + + uy − ∂y ∂x ∂x 2 ∂x 2 ∂x 2 ∂z ∂x
粘性流体流动的微分方程-PPT
ux
dx
d
、u y
dy
d
、uz
dz
d
ux、uy、uz 为流体流速在三个坐标轴得分量。
此时,上述方程即可表明流体密度为位置、
时间及流体速度u得函数。此种随流体运动
得导数称为“随体导数”或“真实导数”,
或称拉格朗日(Lagrangian)导数,记为
D
D
ux
x
uy
y
uz
z
(3－7)
随体导数中得物理量可以为标量如(压力、
(3－16)
－方位角
u、u、ur 为球坐标系方向上得速度分量。
第二节 运动方程
通过微分质量衡算,导出了连续性方程。同 样,微分动量衡算可以导出流体得运动方程。 两者结合便可解决许多流体运动问题。这 两方程就是三传得基础方程。
1 运动方程得推导
流体运动所遵循得牛顿第二定律可表述为: 流体得动量随时间得变化率等于作用在该 流体上得诸外力得向量和。
(1)稳态流动得连续性方程
由于就是稳态流动,密度不随时间而变,即
0
,方程(3－1)可简化为:
(ux) (uy ) (uz ) 0
x
y
z
(3－14)
上式适用于可压缩和不可压缩流体。
(2)不可压缩流体得连续性方程 由于此时ρ为常数,故(3－1)式可简化为:
ux uy uz 0 x y z
体质点得运动,由一点移动到另一点时该量
所发生得变化,称为“对流导数”。
上式表明:当流体质点在dθ时间内,由空间 得一点(x,y,z)移动到另一点(x＋dx,y＋ dy,z＋dz)时,流体密度对时间得变化率。
连续性方程用随体导数形式表达为:
ux uy uz 1 D 0 x y z D
粘性流体微元流束伯努利方程
z1
p1
g
1v12
2g
z2
p2
g
2v22
2g
hw
1
1
z1 H , z2 0, 1 2 1
（1）当阀门关闭时
H p1 5m
g
2
qV
2
（2）当阀门打开时，不计水头损失
H p2 v22
g 2g
v2 7.67m/s
Q v2 A2 0.060 m3/s
g
2gh
Ⅰ管 —— 测压管，开口方向与流速垂直。 Ⅱ管 —— 总压管，开口方向迎着流速。
13.68m
HP2
z2
p2
g
H p v22
g 2g
5 147150 9800
4.952 18.76m 2 9.8
H P3
z3
p3
g
H p v32
g 2g
5 147150 9800
7.132 17.42m 2 9.8
HP4
3、总流伯努利方程的物理意义和几何意义
z ——总流过流断面上某点 （所取计算点）单位重量 流体的位能，位置水头；
p ——总流过流断面上某点 ρg （所取计算点）单位重量
流体的压能，测压管高度 或压强水头； v2 ——总流过流断面上单位重 2g 量流体具有的平均动能，平 均速度水头；
hw ——总流两断面间单位重量流体平均的机械能损失；
p u2 W
2ux
dux dt
Y
1
p y
2uy
duy dt
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N-S方程表示作用在单位质量流体上的质量力、表面力 （压力和粘性力）和惯性力相平衡 N-S方程和连续性微分方程——4个方程 未知量ux，uy，uz和 p ——四个 理论上可以求解速度场、压强场，即粘性流体的运动 分析，最终都归结为对N-S方程的研究
8
u x pxx p p 'xx p 2 x u y p yy p p ' yy p 2 y u z pzz p p 'zz p 2 z
4
2、法向应力和线变形速度的关系
u x p xx pt p ' xx pt 2 pt——理想流体压强 x u y 理想流体中，同一点各方向的法 p yy pt p ' yy pt 2 向应力相等 p = p = p =p xx yy zz t y u z p zz pt p ' zz pt 2 z
自1755年欧拉提出理想流体运动微分方程以来，法国工 程师纳维Navier1827、英国数学家斯托克斯Stokes1845等 经近百年的研究，最终完成上述形式的粘性流体运动微分 方程，称为纳维一斯托克斯方程（N-S方程）
7
ux ux u x u x 1 p 2 X ux ux uy uz x t x y z u y u y u y u y 1 p 2 Y u y ux uy uz y t x y z uz uz uz uz 1 p 2 Z uz ux uy uz z t x y z
补充了3个方程， 多一个未知数 pt
粘性流体中，任意点的动压强 p 是过该点三 个相互正交平面上法向应力的平均值。
1 2 ux u y uz p (p xx p yy pzz ) p t 3 3 x y z
对于不可压缩粘性流体
p xx p yy p zz
1
二、以应力表示的粘 性流体运动微分方程
以x方向为例 （牛顿第二运动定律） 脚标1—作用面的外法线方向 脚标2—示应力的方向
z
'zy
xy xz
dz
pxx
dy
yx pyy yz p'xx 'xz p'yy 'yz 'xy 'yx pzz zx zy
p=pt
div u=0
5
切应力与角变形速度的关系，在简单剪切流动中 符合牛顿内摩擦定律 du
dy
将牛顿内摩擦定律推广到一般空间流动，得出
u z u y yz zy z y 广义牛顿内 u x u z 摩擦定律 zx xz x z u y u x xy yx y x
dxБайду номын сангаас
2
化简后得 x方向
1 pxx 1 yx zx dux X x y z dt
p yy 1 zy xy duy 1 y方向 Y y z x dt 1 pzz 1 xz yz duz z方向 Z z x y dt
p'zz
’zx
y Xdxdydz x p xx [ p xx dydz ( p xx x dx)dydz ] yx [ yx dxdz ( yx y dy )dxdz] zx du x [ zx dxdy ( zx z dz )dxdy] dxdydz dt
§4.6 粘性流体运动微分方程
一、粘性流体的动压强
1 理想流体 理想流体因无粘滞性，运动时不出现切应力，只 有法向应力，即动压强用类似分析流体静压强特 性的方法，便可证明任一点动压强的大小与作用 面的方位无关，是空间坐标和时间变量的函数
2 粘性流体
p p ( x, y , z , t )
粘性流体的应力状态和理想流体不同，由于粘性作用，运 动时出现切应力，使任一点法向应力的大小，与作用面的 方位有关
补充了
6个方程
6
四、不可压缩粘性流体运动微分方程
ux ux u x u x 1 p 2 X ux ux uy uz x t x y z u y u y u y u y 1 p 2 Y u y ux uy uz y t x y z uz uz uz uz 1 p 2 Z uz ux uy uz z t x y z 二阶非线性非齐次偏微分方程组
9个应力，3个速度分量，共12个未知数 无法求解
3
3个方程加上连续性方程，共4个方程
三、应力与变形速度的关系
粘性流体的应力与变形速度有关，其中法向应力与线变 形速度有关，切应力则与角变形速度有关 流动中某点的动压强是过该点三个相互正交平面上法向 应力的平均值，同某一平面上的法向应力有一定差值，称 为附加法向应力，它是流体微团在法线方向上发生线变形 （伸长或缩短）引起的
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u x pxx p p 'xx p 2 x u y p yy p p ' yy p 2 y u z pzz p p 'zz p 2 z
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2、法向应力和线变形速度的关系
u x p xx pt p ' xx pt 2 pt——理想流体压强 x u y 理想流体中，同一点各方向的法 p yy pt p ' yy pt 2 向应力相等 p = p = p =p xx yy zz t y u z p zz pt p ' zz pt 2 z
自1755年欧拉提出理想流体运动微分方程以来，法国工 程师纳维Navier1827、英国数学家斯托克斯Stokes1845等 经近百年的研究，最终完成上述形式的粘性流体运动微分 方程，称为纳维一斯托克斯方程（N-S方程）
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ux ux u x u x 1 p 2 X ux ux uy uz x t x y z u y u y u y u y 1 p 2 Y u y ux uy uz y t x y z uz uz uz uz 1 p 2 Z uz ux uy uz z t x y z
补充了3个方程， 多一个未知数 pt
粘性流体中，任意点的动压强 p 是过该点三 个相互正交平面上法向应力的平均值。
1 2 ux u y uz p (p xx p yy pzz ) p t 3 3 x y z
对于不可压缩粘性流体
p xx p yy p zz
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二、以应力表示的粘 性流体运动微分方程
以x方向为例 （牛顿第二运动定律） 脚标1—作用面的外法线方向 脚标2—示应力的方向
z
'zy
xy xz
dz
pxx
dy
yx pyy yz p'xx 'xz p'yy 'yz 'xy 'yx pzz zx zy
p=pt
div u=0
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切应力与角变形速度的关系，在简单剪切流动中 符合牛顿内摩擦定律 du
dy
将牛顿内摩擦定律推广到一般空间流动，得出
u z u y yz zy z y 广义牛顿内 u x u z 摩擦定律 zx xz x z u y u x xy yx y x
dxБайду номын сангаас
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化简后得 x方向
1 pxx 1 yx zx dux X x y z dt
p yy 1 zy xy duy 1 y方向 Y y z x dt 1 pzz 1 xz yz duz z方向 Z z x y dt
p'zz
’zx
y Xdxdydz x p xx [ p xx dydz ( p xx x dx)dydz ] yx [ yx dxdz ( yx y dy )dxdz] zx du x [ zx dxdy ( zx z dz )dxdy] dxdydz dt
§4.6 粘性流体运动微分方程
一、粘性流体的动压强
1 理想流体 理想流体因无粘滞性，运动时不出现切应力，只 有法向应力，即动压强用类似分析流体静压强特 性的方法，便可证明任一点动压强的大小与作用 面的方位无关，是空间坐标和时间变量的函数
2 粘性流体
p p ( x, y , z , t )
粘性流体的应力状态和理想流体不同，由于粘性作用，运 动时出现切应力，使任一点法向应力的大小，与作用面的 方位有关
补充了
6个方程
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四、不可压缩粘性流体运动微分方程
ux ux u x u x 1 p 2 X ux ux uy uz x t x y z u y u y u y u y 1 p 2 Y u y ux uy uz y t x y z uz uz uz uz 1 p 2 Z uz ux uy uz z t x y z 二阶非线性非齐次偏微分方程组
9个应力，3个速度分量，共12个未知数 无法求解
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3个方程加上连续性方程，共4个方程
三、应力与变形速度的关系
粘性流体的应力与变形速度有关，其中法向应力与线变 形速度有关，切应力则与角变形速度有关 流动中某点的动压强是过该点三个相互正交平面上法向 应力的平均值，同某一平面上的法向应力有一定差值，称 为附加法向应力，它是流体微团在法线方向上发生线变形 （伸长或缩短）引起的