离散数学期末试卷(A)
离散数学期末复习题(6套)
《离散数学》期末考试题(A)一、填空题(每小题3分，共15分)1.设}}{},,{{c b a A =，}}{},,{},{{c c b a B =，则)(=⋃B A ，)(=⋂B A ，)()(=A P .2.集合},,{c b a A =，其上可定义( )个封闭的1元运算，( )个封闭的2元运算，( )个封闭的3元运算.3.命题公式1)(↑∧q p 的对偶式为( ).4.所有6的因数组成的集合为( ).5.不同构的5阶根树有( )棵.二、单选题(每小题3分，共15分)1.设A , B 是集合，若A B A =-，则(A)B = ∅ (B) A = ∅ (C)=⋂B A ∅ (D)A B A =⋂2.谓词公式)())()((x R y yQ x P x ∧∃→∀中量词x ∀的辖域为(A))())()((x R y yQ x P x ∧∃→∀ (B))()(y yQ x P ∃→(C))())()((x R y yQ x P ∧∃→ (D))()(y yQ x P ∃→和)(x R3.任意6阶群的子群的阶一定不为(A)4 (B)6 (C)2 (D)34.设n 是正整数，则有限布尔代数的元素个数为(A)2n (B)4n (C)n 2 (D)2n5.对于下列序列，可构成简单无向图的度数序列为(A)3, 3, 4, 4, 5 (B)0, 1, 3, 3, 3 (C)1, 1, 2, 2, 3 (D)1, 1, 2, 2, 2三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.1. 设N N N :⨯→f ，)1,()(+=x x x f ，则f 是满射. () 2. 5男5女圆桌交替就座的方式有2880种. () 3. 设),(≤L 是格，对于L z y x ∈,,，若z x y x ⋅=⋅且z x y x +=+，则z y =. () 4. 任何树都至少2片树叶. ()5. 无向图G 有生成树的充要条件是G 为连通图. ( )四、(10分)设C B A ,,和D 是集合，证明)()()()(D B C A D C B A ⨯-⨯⊆-⨯-，并举例说明上式中不能将⊆改为 = .五、(15分)设N 是自然数集合，定义N 上的关系R 如下：y x R y x +⇔∈),(是偶数，1.证明R 是N 上的等价关系.2.求出N 关于等价关系R 的所有等价类.3.试求出一个N 到N 的函数f ，使得)}()(,N ,|),{(y f x f y x y x R =∈=.六、(10分)在实数集合R 中证明下列推理的有效性:因为R 中存在自然数，而所有自然数是整数，所以R 中存在整数.七、(10分)设R 是实数集合，令}0,R ,|),{(≠∈=a b a b a G ，定义G 上的运算如下: 对于任意G d c b a ∈),(),,(，),(),(),(b ad ac d c b a +=⋅，证明),(⋅G 是非Abel 群.八、(10分)若简单平面图G 的节点数7=n 且边数15=m ，则G 是连通图，试证明之.《离散数学》期末考试题(B)一、填空题(每小题3分，共15分)1.设,,},,{{b a b a A =∅}，则-A ∅ = ( )，-A {∅} = ( )，)(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ).2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数.3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ⌝∧∃∧→∀中量词x ∀的辖域为( ), 量词y ∃的辖域为( ).4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元.5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当n 为( )时，n K 是欧拉图.二、单选题(每小题3分，共15分)1.设R 是集合A 上的偏序关系，1-R 是R 的逆关系，则1-⋃R R 是A 上的(A)偏序关系 (B)等价关系 (C)相容关系 (D)以上结论都不成立2.由2个命题变元p 和q 组成的不等值的命题公式的个数有(A)2 (B)4 (C)8 (D)163.设p 是素数且n 是正整数，则任意有限域的元素个数为(A)n p + (B)pn (C)n p (D)pn4.设R 是实数集合，≤是其上的小于等于关系，则(R, ≤)是(A)有界格 (B)分配格 (C)有补格 (D)布尔格5.3阶完全无向图3K 的不同构的生成子图有(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.1.若一个元素a 既存在左逆元l a ，又存在右逆元r a ，则r l a a =. ( )2.命题联结词→不满足结合律. ( )3.在Z 8 = {0，1，2，3，4，5，6，7}中，2关于“⋅8”的逆元为4. ( )4.整环不一定是域. ( )5.任何),(m n 平面图的面数2+-=n m r . ( )四、(10分)设B A f →:且C B g →:，若g f 是单射，证明f 是单射，并举例说明g 不一定是单射.五、(15分)设},,,{d c b a A =,A 上的关系)},(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{(c d b d a d c c b c a c c a b a a a R =,1.画出R 的关系图R G .2.判断R 所具有的性质.3.求出R 的关系矩阵R M .六、(10分)利用真值表求命题公式))(())((p q r r q p A →→↔→→=的主析取范式和主合取范式.七、(10分) 边数30<m 的简单平面图G ，必存在节点v 使得4)deg(≤v .八、(10分) 有六个数字，其中三个1，两个2，一个3，求能组成四位数的个数.《离散数学》期末考试题(C)一、填空题(每小题3分，共15分)1. 若n B m A ==||,||，则=⨯||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个.2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3,1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射.3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号).(1)q q p p →→∧)(；(2))(q p p ∨→；(3))(q p p ∧→；(4)q q p p →∨∧⌝)(；(5)q q p →→)(.4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ).5. 设G 是(7, 15)简单平面图，则G 一定是( )图，且其每个面恰由( )条边围成，G 的面数为( ).二、单选题(每小题3分，共15分)1. 设A , B , C 是集合，则下述论断正确的是( ).(A)若A ⊆ B ， B ∈ C ，则A ∈ C . (B)若A ⊆ B ， B ∈ C ，则A ⊆ C .(C)若A ∈ B ， B ⊆ C ，则A ∈ C . (D)若A ∈ B ， B ⊆ C ，则A ⊆ C .2. 设R ⊆ A ⨯ A ，S ⊆ A ⨯ A ，则下述结论正确的是( ).(A)若R 和S 是自反的，则R ⋂ S 是自反的.(B)若R 和S 是对称的，则S R 是对称的.(C)若R 和S 是反对称的，则S R 是反对称的.(D)若R 和S 是传递的，则R ⋃ S 是传递的.3.在谓词逻辑中，下列各式中不正确的是( ).(A))()())()((x xB x xA x B x A x ∀∨∀=∨∀(B))()())()((x xB x xA x B x A x ∀∧∀=∧∀(C))()())()((x xB x xA x B x A x ∃∨∃=∨∃(D)),(),(y x xA y y x yA x ∀∃=∃∀4. 域与整环的关系为( ).(A)整环是域 (B)域是整环 (C)整环不是域 (D) 域不是整环5.设G 是(n , m )图，且G 中每个节点的度数不是k 就是k + 1，则G 中度数为k 的节点个数为( ). (A)2n . (B)n (n + 1). (C)nk . (D)m k n 2)1(-+. 三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.1.设f : Z → Z ，x x x f 2||)(-=，则f 是单射. ( )2.设ϕ是群G 1到群G 2的同态映射，若G 1是Abel 群，则G 2是Abel 群. ( )3.设),(≤L 是格，对于L z y x ∈,,，若z x y x ⋅=⋅且z x y x +=+，则z y =. ( )4.元素个数相同的有限布尔代数都是同构的. ( )5.设G 是n (n ≥ 11)阶简单图，则G 或G 是非平面图. ( )四、(15分)设A 和B 是集合，使下列各式(1)A B A =⋂； (2)A B B A -=-；(3)A A B B A =-⋃-)()(成立的充要条件是什么，并给出理由.五、(10分) 设S 是实数集合R 上的关系，其定义如下∈=y x y x S ,|),{(R 且是3y x -是整数}， 证明: S 是R 上的等价关系. 六、(10分) 求谓词公式)))()(()(()(x xD y yC y B x xA ∀→∃⌝→→∃的前束范式.七、(10分) 若n 个人，每个人恰有3个朋友，则n 必为偶数，试证明之.八、(10分) 利用生成函数求解递归关系⎩⎨⎧=-+=-2)1(211a n a a n n .《离散数学》期末考试题(D)一、填空题(每小题3分，共15分)1. 设|A | = 5, |B | = 2, 则可定义A 到B 的函数( )个，其中有( )单射，( )个满射.2. 令G (x ): x 是金子，F (x ): x 是闪光的，则命题“金子都是闪光的，但闪光的未必是金子”符号化为( ).3. 设X 是非空集合，则X 的幂集P (X )关于集合的⋃运算的单位元是( )，零元是( )，P (X )关于集合的⋂运算的单位元是( ).4. 不同构的5阶无向树有( )棵.5. 对于n 阶完全无向图K n , 当n 为( )时是Euler 图，当n ≥ ( )时是Hamilton 图，当n ( )时是平面图.二、单选题(每小题3分，共15分)1. 幂集P (P (P (∅))) 为( )(A){{∅}, {∅, {∅}}}. (B){∅, {∅, {∅}}, {∅}}.(C){ ∅, {∅, {∅}}, {{∅}}, {∅}} (D){ ∅, {∅, {∅}}}.2. 设R 是集合A 上的偏序关系，则1-⋃R R 是( ).(A)偏序关系 (B)等价关系 (C)相容关系 (D)以上答案都不对3. 下列( )组命题公式是不等值的.(A))(B A →⌝与B A ⌝∧. (B) )(B A ↔⌝与)()(B A B A ∧⌝∨⌝∧.(C))(C B A ∨→与C B A →⌝∧)(. (D))(C B A ∨→与)(C B A ∨∧⌝.4.下列代数结构(G , *)中，( )是群.(A)G = {0, 1, 3, 5}, “*”是模7加法. (B) G = Q , “*”是数的乘法.(C)G = Z , “*”是数的减法. (D) G = {1, 3, 4, 5, 9}, “*”是模11乘法.5.4阶完全无向图4K 中含3条边的不同构的生成子图有(A)3 (B)4 (C)5 (D)2三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.1.函数的复合运算“ ”满足结合律. ( )2. {→⌝,}是最小功能完备联结词集合. ( )3. 实数集R 关于数的乘法运算“⋅”阿贝尔群. ( )4. 任意有限域的元素个数为2n . ( )5. 设G 是n (n 为奇数)简单图，则G 与G 中度数为奇数的节点个数相同. ( )四、(10分)设A 和B 是集合，使B B A =-成立的充要条件是什么，并给出理由.五、(10分) 设R 和S 是集合A 上的对称关系，证明S R 对称的充要条件是R S S R =.六、(15分)分别利用(1)等值演算法和(2)真值表求命题公式))(())((r q p p q r A ∨→→→∨⌝=的主析取范式和主合取范式.七、(10分) 设G 是(n , m )无向图，若n m ≥，证明G 中必存在圈.八、(10分) 在初始条件f (1) = c 下，求解递归关系bn n f n f +⎪⎭⎫ ⎝⎛=22)(，其中b ，c 为常数且kn 2=，k 为正整数.《离散数学》期末考试题(E)一、填空题(每小题3分，共15分)1.设A = {2, {3}, 4, a }, B = {1, 3, 4, {a }}, 则{3}( )A ，{a }( )B ，{{a }}( )B .2. 设A = {1, 2, 3, 4, 5}上的关系R = {(1, 2), (3, 4), (2, 2)}, S = {(4, 2), (2, 5), (3, 1), (1, 3)}, 则=S R { }, =R S { }, =R R { }.3. gcd(36, 48) = ( )，lcm(36, 48) = ( ).4.任意有限布尔代数)1,0,,,,(⋅+B 均与集合代数( )同构，其元素个数为( ).5. 不同构的5阶无向树有( )棵，不同构的5阶根树有( )棵.二、单选题(每小题3分，共15分)1. 在有理数集合Q 上定义运算“*”如下：对于任意x , y ∈ Q ，y x * = x + y – xy ，则Q 关于*的单位元是( ).(A)x . (B)y . (C)1. (D)0.2. 设A = {1, 2, 3}, 下图分别给出了A 上的两个关系R 和S ，则S R 是( )关系.(A)自反. (B)对称. (C)传递. (D)等价.3.令T (x ): x 是火车，B (x ): x 是汽车，F (x , y ): x 比y 快，则“某些汽车比所有的火车慢”符号化为( ).(A)()()),()()(y x H x T x y B y →∀∧∃.(B)()()),()()(y x H x T x y B y ∧∀→∃.(C)()()),()()(y x H x T y B y x ∧→∃∀.(D)()()),()()(y x H x T x y B y →∀→∃.4. 整数集合Z 关于数的加法“+”和数的乘法“⋅”构成的代数结构(Z, +, ⋅)是( ). 1 1 22 3 3G S G R(A)域(B)域和整环(C)整环(D) 有零因子环G≅，则称G为自补图. 5阶不同构的自补图5.设G是简单图，G是G的补图，若G个数为( ).(A)0. (B)1. (C)2. (D)3.三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.1. { ∅, {∅}} ∉P(P({∅})). ( )2. 非空1元及2元联结词集合的个数为29-1. ( )3. 群可分为Abel群和非Abel群. ( )4. 元素个数相同的有限域都是同构的. ( )5. 设G是简单图，则G或G是连通图. ( )四、(15分)设C,:, 若gf 是单射，证明f是单射，并举例说明g→:f→gBBA不一定是单射.五、(10分)设A = {a, b, c, d}上的关系R = {(a, b), (b, d), (c, c), (a, c)}, 画出R的关系图，并求出R的自反闭包r(R)、对称闭包s(R)和传递闭包t(R).六、(10分)用CP规则证明下列推理.⌝∨→∨(.⇒),(⌝),→pqssrqrqp→七、(10分)求谓词公式))xyByAxA∀→∨∀∧⌝∃的前束范式.zC((x()))(z(()八、(10分)任意6个人中，一定有3个人彼此认识或有3个人彼此不认识.《离散数学》期末考试题(F)一、填空题(每小题3分，共15分)1. 设A = {1, 2, 3, {1, 2}, {3}}, B = {2, {2,3}, {1}} , 则A–B = { }, B–A = { }, A⊕B = { }.2. 实数集合R关于加法运算“+”的单位元为( ), 关于乘法运算“⋅”的单位元为( ), 关于乘法运算“⋅”的零元为( ).3. 令Z(x): x是整数，O(x): x是奇数，则“不是所有整数都是奇数”符号化为( ).4. 有限域的元素个数为( ), 其中( )且( ).5. 设G 是(7, 15)简单平面图，则G 一定 ( )连通图，其每个面恰由( )条边围成，G 的面数为( ).二、单选题(每小题3分，共15分)1. 函数的复合运算“ ”满足( )(A)交换律. (B)结合律. (C)幂等律. (D)消去律.2. 设集合A 中有4个元素，则A 上的等价关系共有( )个.(A)13 (B)14 (C)15 (D)163.下列代数结构(G , *)中，( )是群.(A)G = {0, 1, 3, 5}, “*”是模7加法. (B) G = Q , “*”是数的乘法.(C)G = Z , “*”是数的减法. (D) G = {1, 3, 4, 5, 9}, “*”是模11乘法.4. 下列偏序集，( )是格.5. 不同构的(5, 3)简单无向图有( )个.(A)4 (B)5 (C)3 (D)2三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.1. 设A ，B ，C 是集合，若C A B A ⊕=⊕, 则B = C . ( )2. 逻辑联结词“→”满足结合律. ( )3. 设 (L , ≤)是偏序集，若L 的任意非空子集均存在上确界和下确界，则(L , ≤)是格.( )4. 在同构意义下，有限布尔代数只有,,,),((⋂⋃X P ∅, X ). ( )5. 设G 是简单图，则G 与G 中度数为奇数的节点个数相同. ( )四、(15分) 设C B g B A f →→:,:, 若g f 是满射，证明g 是满射，并举例说明f 不一定是满射.五、(10分) 在整数集合Z 上定义关系R 如下：对于任意∈y x , Z ，y y x x R y x +=+⇔∈22),(.判断R 是否具有自反性、反自反性、对称性、反对称性及传递性.六、(10分)利用真值表求命题公式)())(q p q p A ⌝→↔→⌝=的主析取范式和主合取范式.七、(10分)证明：在至少两个人的人群中，必有两个人有相同个数的朋友.八、(10分)将6阶完全无向图K 6的边随意地涂上红色或蓝色，证明：无论如何涂法，总存在红色的K 3或蓝色的K 3.(ps ：答案见离散数学期末复习题（6套）答案文档)。
离散数学考试试题（A卷及答案）
离散数学考试试题（A卷及答案）离散数学考试试题（A卷及答案）⼀、（10分）判断下列公式的类型（永真式、永假式、可满⾜式）？1)((P→Q)∧Q)?((Q∨R)∧Q) 2)?((Q→P)∨?P)∧(P∨R)3)((?P∨Q)→R)→((P∧Q)∨R)解：1)永真式；2）永假式；3)可满⾜式。
⼆、（8分）个体域为{1，2}，求?x?y（x+y=4）的真值。
解：?x?y（x+y=4）??x（（x+1=4）∨（x+2=4））（（1+1=4）∨（1+2=4））∧（（2+1=4）∨（2+1=4））（0∨0）∧（0∨1）1∧1?0三、（8分）已知集合A和B且|A|=n，|B|=m，求A到B的⼆元关系数是多少？A到B的函数数是多少？解：因为|P(A×B)|=2|A×B|=2|A||B|=2mn，所以A到B的⼆元关系有2mn个。
因为|BA|=|B||A|=mn，所以A到B的函数mn个。
四、（10分）已知A={1,2,3,4,5}和R={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>}，求r(R)、s(R)和t(R)。
解：r(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>}s(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<3,2>,<4,3>,<4,5>}t(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<1,1>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<1,4>}五、(10分) 75个⼉童到公园游乐场，他们在那⾥可以骑旋转⽊马，坐滑⾏铁道，乘宇宙飞船，已知其中20⼈这三种东西都乘过，其中55⼈⾄少乘坐过其中的两种。
14-15 离散数学期末试卷A
命题（组）老师签名：____________________ 年 月 日分院主管教学院长或首席主讲教授签名：_______________ 年 月 日2014–2015学年2学期《 离散数学乙 》课程期末考试试卷（A ）开课分院： ，考试形式：闭 卷，允许带__________入场 考试日期： ___年__ _月___ 日，考试所需时间： 120 分钟考生姓名 学号 考生所在分院： 专业班级： .一、 判断题（10分，每题1分）1 空集是任何集合的子集。
( )2 空关系是自反的。
( ) 3 任何函数都存在其逆函数。
( ) 4 有限偏序集都存在最小元。
( ) 5 在任何图中必定有偶数个度数为奇数的结点。
( ) 6 包含n 条边的根树中一定n-1个节点。
( ) 7 若，，则是自反的。
（为上的恒等关系）( ) 8和是同阶的。
( ) 9一个加权图的最小生成树是唯一的。
( ) 10 根树中非根结点的入度为1。
( )二、 单项选择题（每题2分，共计20分，请将答案填入下表）1. 命题公式)(P Q P ∨⇒是（ ）。
A 、 矛盾式；B 、不定式；C 、重言式；D 、等价式。
2. 等价关系一定不是（ ）。
A. 对称的B. 自反的C. 传递的D. 非自反的。
3. 下列语句是真命题的是（ ）A ． 雪是黑色的，当且仅当5<0 B. 自然数中存在最大素数 C ． 今天天气真好啊 D. 只有5<0, 雪才是白色的4. 设都是从集合A 到B 的关系，若，则下列各式成立的是（ ）。
A ．B.C.D.5. 设：他怕困难；：他获得成功。
命题“只要他怕困难，他就不会获得成功”可符号化为（ ）。
A ．B.C.D.6. 在自然数集N 上，下列运算满足交换律的是（ ）。
A ．B.C.D.7. 下图中是哈密顿图的为（ ）。
8. 下列二元关系中是函数的有（ ）。
A 、}是自然数集合,10|),{(1N y x N y N x y x R <+∧∈∧∈=；B 、},|),{(22是实数集合R x y R y R x y x R =∧∈∧∈=；C 、},|),{(23是实数集合R y x R y R x y x R =∧∈∧∈= 9.35lg 92)(2+++=n n n n n f 是（ ）的。
离散数学期末考试试卷a答案及评分细则
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……电子科技大学英才学院2022 -2022学年第 1学期期 末 考试 A 卷离散数学 课程考试题 A 卷 〔 120分钟〕 考试形式：闭卷 考试日期 2022 年 月 日课程成绩构成：平时 分， 期中 分， 实验 分， 期末 100 分I.Multiple Choice (15%, 1.5 points each)〔A 〕 1. (p ∧q)→(p ∨q) is logically equivalent toa) T b) p ∨q c) F d) p ∧q〔A 〕 2. If P(A) is the power set of A, and A = ∅, what is |P(P(P(A)))|?a) 4 b) 24 c) 28 d) 216〔C 〕 3. Which of these statements is NOT a proposition?a) Today is Monday. ` b) 1+1=2.c) Am I right? d) Go and play with me.〔C 〕 4. Which of these propositions is not logically equivalent to the other three?a) (p → q) ∧ (r → q) b) (p ∨ r) → qc) (p ∧r) → q d) The contrapositive of ¬q → (¬p ^ ¬r)〔B 〕 5. Suppose | A | = 3 and | B | = 8. The number of 1-1 functions f : A → B isa) 24 b) P (8,3). c) 38 d) 83〔B 〕 6. Let R be a relation on the positive integers where xRy if x is a factor of y . Whichof the following lists of properties best describes the relation R ? a) symmetric, transitiveb) antisymmetric, transitive, reflexive c) antisymmetric, symmetric, reflexive d) symmetric, transitive, reflexive〔C 〕 7. Which of the following are partitions of },,,,,,,{h g f e d c b a U =?a)},,,,,{},,,{},{h g f e d c c b a a . b) },,,,,{},,{},{h g f e d c c b a c) }{},,{},,{},,,{h f e c b g d a . d) },,,,{},,{},,{h g f e d c b b a〔C 〕 8. The function f(x)=x 2log(x 3+78) is big-O of which of the following functions?a) x 2 b) x(logx)3 c) x 2logx d) xlogx〔A 〕 9.If 1010110111101101R ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦M , then R is: a) reflexive b) symmetric c) antisymmetric d) transitive.〔B 〕 10. Which of the followings is a function from Z to R ?………密………封………线………以………内………答………题………无………效……a) )1()(-±=n n f . ` b) 1)(2+=x x f . c) x x f =)( d) 21)(2-=n n fII. True or False (10%, 1 point each) 〔T 〕 1. If 1 < 0, then 5 = 6. 〔F 〕 2. (p ∧ q) ∨ r ≡ p ∧ (q ∨ r)〔F 〕 3. If A , B , and C are sets, then (A -C )-(B -C )=A -B . 〔T 〕 4. Suppose A = {a ,b ,c }, then {{a }} ⊆ P (A ).〔F 〕 5.()h x =is defined as a function with domain R and codomain R.〔T 〕 6. Suppose g : A → B and f : B → C , where f g is 1-1 and f is 1-1. g must be 1-1? 〔T 〕 7. If p and q are primes (> 2), then p + q is composite .〔F 〕 8.If the relation R is defined on the set Z where aRb means that ab > 0, then R is an equivalence relation on Z .〔T 〕 9. (A - B ) ⋃ (A - C ) = A - (B ⋂ C ).〔T 〕 10. The set{∅,{a },{∅},{a ,∅}} is the power set of some set III. Fill in the Blanks (20%, 2 points each)1. Let p and q be the propositions “I am a criminal 〞 and “I rob banks 〞. Express in simpleEnglish the proposition “if p then q 〞: If I am a criminal them I rob banks. 2. P (x ,y ) means “x + 2y = xy 〞, where x and y are integers. The truth value of ∃x ∀yP (x ,y )is False .3. T he negation of the statement “No tests are easy.〞 is some tests are easy.4. If 11{|}i A x x R x i i =∈∧-≤≤ then 1i i A +∞=is ∅.5. Suppose A = {x , y }. Then ()P A is {∅, {x}, {y},{x,y}}.6. Suppose g : A →A and f :A →A where A ={1,2,3,4},g = {(1, 4), (2,1), (3,1), (4,2)} andf ={(1,3),(2,2),(3,4),(4,2)}.Then fg ={(1,2),(2,3),(3,3),(4,2)}.7. The sum of 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... + 210 is 211 - 2 .8. The expression of gcd(45, 12) as a linear combination of 12 and 45 is 12 ⋅ 4 + 45 ⋅ (1). 9.There are 5! permutations of the seven letters A,B ,C ,D ,E ,F have A immediately to the left of E .10. The two's complement of -13 is 1 0011 . IV. Answer the Questions (32%, 4points each)：1. Determine whether the following argument is valid:………密………封………线………以………内………答………题………无………效……p→rq→rq∨⌝r________∴⌝pAns: Not valid: p true, q true, r true2.Suppose you wish to prove a theor em of the form “if p then q〞.(a) If you give a direct proof, what do you assume and what do you prove?(b) If you give an indirect proof, what do you assume and what do you prove?(c) If you give a proof by contradiction, what do you assume and what do you prove? Ans: (a) Assume p, prove q.(b) Assume ⌝q, prove ⌝p.(c) Assume p∧⌝q, show that this leads to a contradiction.3.Prove that A B A B⋂=⋃by giving a proof using logical equivalence.Ans:()()()() A B x x A Bx x A Bx x A Bx x A x Bx x A x Bx x A x Bx x A x Bx x A B A B ⋂={|∈⋂}={|∉⋂}={|⌝∈⋂}={|⌝∈∧∈}={|⌝∈∨⌝∈}={|∉∨∉}={|∈∨∈}={|∈⋃}=⋃4.Suppose f:R→R where f(x) =⎣x/2⎦.(a) If S={x| 1 ≤x≤ 6}, find f(S).(b) If T={3,4,5}, find f-1(T). Ans: (a) {0,1,2,3}(b) [6,12).e the definition of big-oh to prove that5264473n nn+--is O(n3).………密………封………线………以………内………答………题………无………效……Ans: 5555322226446410573763n n n n n n n n n n +-+≤==--, if n ≥ 2. 6. Solve the linear congruence 5x ≡ 3 (mod 11).Ans: 5 + 11k .7. Use the Principle of Mathematical Induction to prove that 1311392732n n+-++++...+= for alln ≥ 0.Ans: P (0):13112-= , which is true since 1 = 1. P (k ) → P (k + 1):111211313123311333222k k k k k k ++++++--+⋅-++...+=+==.8．Encrypt the message NEED HELP by translating the letters into numbers, applying the encryption function f(p ) = (3p + 7) mod 26, and then translating the numbers back into letters.Ans: Encrypted form: UTTQ CTOA.V. (6%) Without using the truth table, show that the following are tautologiesa) [⌝p ∧(p ∨q)]→q b) [p ∧(p →q)]→qAns:a) ⌝p ∧(p ∨q)≡(⌝p ∧p)∨(⌝p ∧ q)≡flase[⌝p ∧(p ∨q)]→q ≡ false →q ≡⌝false ∨q ≡true ∨q ≡true (3points)b)[p ∧(p →q)]→q ≡(⌝[p ∧(⌝p ∨q)])∨q ≡(⌝p ∨(p ∧⌝q))∨q ≡((⌝p ∨p)∧(⌝p ∨⌝q))∨q ≡⌝p ∨⌝q ∨q ≡true (3points)VI. (6%) Devise an algorithm which will find the minimum of n integers. What is the worst case time………密………封………线………以………内………答………题………无………效……complexity of this algorithm?a) procedure min(a1, a2, …, an: integers)(4points)v := a1 {largest element so far}for i := 2 to n {go thru rest of elems}if ai < v then v := ai {found smaller?}{at this poi nt v’s value is the same as the smallest integer in the list}return vb) the worst case time complexity of this algorithm is O(n). (2points)VII.(5%) Give the definition of a transitive relation, and Prove or disprove that the union of two transitive relations is transitive.Ans: A relation R on a set A is called transitive if only if (a,b)∈R and (b,c)∈R ,then (a,c) ∈R ,for a,b,c ∈A. (2points)The union of two transitive relations may be not transitive. A counter-example:A={1,2,3}, R1= {<1,1>, <2,3>}, R2={<1,2><3,3> }R1∪R2={<1.1>, <2,3><1,2><3,3>}, which is not transitive. (3points)VIII.(6%) Give an argument using rules of inference to show that the conclusion follows from the hypotheses. List all the steps in your argument.Hypotheses: All computer scientists like Star Trek. Sarah does not like Star Trek. Therefore, Sarah is not a computer scientist.Solution:Hypotheses: ∀x(ComputerScientist(x) →Likes(x, StarTrek))¬Likes(Sarah, StarTrek)Conclusion: ¬ComputerScientist(Sarah)Step 1: ∀x(ComputerScientist(x) →Likes(x, StarTrek)) (Hypothesis)Step 2: ComputerScientist(Sarah) →Likes(Sarah, StarTrek) (Univ. Inst. Step 1)Step 3: ¬Likes(Sarah, StarTrek) (Hypothesis)Step 4: ¬ComputerScientist(Sarah) (Modus Toll. St. 2+3)The argument is sound.Grading rubric: -3 points for making wrong assumptions.-2 points for not being able to complete the proof.-1 to -3 points for illegal usage of inference rules.。
桂林电子科技大学《离散数学》2019-2020学年期末考试试卷A
桂林电子科技大学试卷A学年第 学期 课号课程名称 离散数学（闭卷） 适用班级分钟 班级 学号 姓名考试时间 120一．单项选择题：（每小题2分，共12分）1．以下4个命题公式中，哪个是永真式？ （ ）A．p→(p→q)； B．(p→q)∨┓q→┓p；C．(p→q)∧┓q→┓p； D．┓(p↔┓p∨q)。
2．设P(x)表示“x在桂林上学”，Q(x)表示“x是桂林人”，则“在桂林上学的人未必是桂林人”可以表示为： （ ）A． x┓(P(x)→Q(x))； B．┓ x(P(x)→Q(x))；C． x(P(x)→┓Q(x))； D．┓ x(P(x)→┓Q(x))。
3．某个集合的元素个数为10，这个集合有多少个不同的子集？（ ）。
A．10； B．20； C．102； D．210。
4．设R为实数集，映射σ：R→R定义为σ(x)=2x－1，则σ是：（ ）A．单射而非满射； B．满射而非单射；C．双射； D．既不是单射，也不是满射。
5． 设R是实数集，C是复数集合，试问下列各个代数系统哪一个是交换群？（ ）A．<M（n×n；R），·>，其中M（n×n；R）是所有元素为实数的n×n 矩阵集，·是矩阵的普通乘法；B．<A，*>，其中A＝｛1，2，3，4，6，12｝，a*b为a与b的最大公约数，a，b∈A；C．<M（m×n；R），+>，其中M（m×n；R）是所有元素为实数的m×n矩阵集，+是矩阵的加法；D．<Z，+>，其中Z＝｛z|z∈C且z的实部为非负数｝，+是复数的加法。
6．给定有向图见下图，则其邻接矩阵是： （ ）V V 34A ．B ．C ．D ． 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0二．填空题：（每个空2分，共16分）1．在谓词公式 x (∃w (P (x,w )∧P (x,y ))→(Q (x,y,z )∨Q (x,z,y )))中，约束变元为 ___________，自由变元为 __________。
《离散数学》试卷A及答案
《离散数学》试卷(A)适用专业： 考试日期：试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一、单项选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)1、下述哪一个不是命题？（ ） A 、离散数学是计算机系的一门必修课 B 、不存在最大偶数。
C 、若我有空，我就看书。
D 、请勿随地叶痰！2、设A={a,b,c}，B={1,2,3}，以下哪一个关系是从A 到B 的双射函数？（ ） A 、f={<a,2>,<b,2>,<c,1>} B 、f={<a,3>,<b,1>,<c,2>} C 、f={<a,1>,<b,2>,<c,3>,<a,3>} D 、f={<a,1>,<b,2>,<a,3>}3.设<G, 。
>是群，且|G|>1,则下列命题不成立的是（ ）A.G 中有幺元B. G 中有零元C.G 中任一元素有逆元D. G 中除幺元外无其它幂等元 4、设A={}c b a ,,,则下列是集合A 的划分的是（ ） A.{}{}{}c c b ,, B. {}{}{}c a b a ,,, C.{}{}c b a ,, D.{}{}{}c b a ,, 5.设集合A={a,{b}}，下面四个命题为真的是A.a 包含于AB.φ∈AC.{b}包含于AD.φ包含于A 6、下列是命题公式p ∧(q ∨⌝r)的成真指派的是（ ） A.110,111,100 B.110,101,011 C 所有指派 D.无 7、与一阶公式P(x)→VxQ(x)等值的公式是A.P(y)→VyQ(y)B.P(y)→VxQ(y)C.P(x)→VyQ(y)D.P(z)→VyQ(y)8、设A 和B 都是命题，则A →B 的真值为假当且仅当（ ） A 、A 为0 ，B 为1 B 、A 为0 ，B 为0 C 、A 为1 ，B 为1 D 、A 为1 ，B 为0二、填空题（本大题共7小题，每空3分，共21分）１．.设A={a,b,c}，F 是A 上的二元关系，F={<a,c>,<b,a>,<c,b>}，则其自反闭包为r(F)= 。
离散数学期末试题及答案A
学年第二学期期末考试《离散数学》试卷（ A ）使用班级：命题教师：主任签字：一、单项选择题(本大题共15小题，每小题1分，共15分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。
1.一个连通的无向图G，如果它的所有结点的度数都是偶数，那么它具有一条( )A.汉密尔顿回路B.欧拉回路C.汉密尔顿通路D.初级回路2.设G是连通简单平面图，G中有11个顶点5个面，则G中的边是( )A.10B.12C.16D.143.在布尔代数L中，表达式(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)的等价式是( )A.b∧(a∨c)B.(a∧b)∨(a’∧b)C.(a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c)D.(b∨c)∧(a∨c)4.设i是虚数，·是复数乘法运算，则G=<{1,-1,i,-i},·>是群，下列是G的子群是( )A.<{1},·>B.〈{-1},·〉C.〈{i},·〉D.〈{-i},·〉5.设Z为整数集，A为集合，A的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算，∩为集合的交运算，下列系统中是代数系统的有( )A.〈Z，+，/〉B.〈Z，/〉C.〈Z，-，/〉D.〈P(A)，∩〉6.下列各代数系统中不含有零元素的是( )A.〈Q，*〉Q是全体有理数集，*是数的乘法运算B.〈Mn(R),*〉,Mn(R)是全体n阶实矩阵集合，*是矩阵乘法运算C.〈Z，ο〉，Z是整数集，ο定义为xοxy=xy,∀x,y∈ZD.〈Z，+〉，Z是整数集，+是数的加法运算7.设A={1,2,3}，A上二元关系R的关系图如下：R具有的性质是A.自反性B.对称性C.传递性D.反自反性8.设A={a,b,c}，A上二元关系R={〈a,a〉，〈b,b〉,〈a,c〉}，则关系R的对称闭包S(R)是( )A.R∪I AB.RC.R∪{〈c,a〉}D.R∩I A9.设X={a,b,c},Ix是X上恒等关系，要使Ix∪{〈a,b〉，〈b,c〉，〈c,a〉，〈b,a〉}∪R为X上的等价关系，R应取( )A.｛〈c,a〉，〈a,c〉｝B.{〈c,b〉，〈b,a〉}C.{〈c,a〉，〈b,a〉}D.{〈a,c〉，〈c,b〉}10.下列式子正确的是( )A. ∅∈∅B.∅⊆∅C.{∅}⊆∅D.{∅}∈∅11.设解释R如下：论域D为实数集，a=0,f(x,y)=x-y,A(x,y):x<y.下列公式在R下为真的是( )A.( ∀x)( ∀y)( ∀z)(A(x,y))→A(f(x,z),f(y,z))B.( ∀x)A(f(a,x),a)C.(∀x)(∀y)（A(f(x,y),x))D.(∀x)(∀y)(A(x,y)→A(f(x,a),a))12.设B是不含变元x的公式，谓词公式(∀x)(A(x)→B)等价于( )A.(∃x)A(x)→BB.(∀x)A(x)→BC.A(x)→BD.(∀x)A(x)→(∀x)B13.谓词公式(∀x)(P(x,y))→(∃z)Q(x,z)∧(∀y)R(x,y)中变元x( )A.是自由变元但不是约束变元B.既不是自由变元又不是约束变元C.既是自由变元又是约束变元D.是约束变元但不是自由变元14.若P：他聪明；Q：他用功；则“他虽聪明，但不用功”，可符号化为( )A.P∨QB.P∧┐QC.P→┐QD.P∨┐Q15.以下命题公式中，为永假式的是( )A.p→(p∨q∨r)B.(p→┐p)→┐pC.┐(q→q)∧pD.┐(q∨┐p)→(p∧┐p)二、填空题(每空1分，共20分)16.在一棵根树中，仅有一个结点的入度为______，称为树根，其余结点的入度均为______。
离散数学试题及答案
离散数学考试试题（A卷及答案）一、（10分）某项工作需要派A、B、C和D 4个人中的2个人去完成，按下面3个条件，有几种派法？如何派？(1)若A去，则C和D中要去1个人；(2)B和C不能都去；(3)若C去，则D留下。
解设A：A去工作；B：B去工作；C：C去工作；D：D去工作。
则根据题意应有：A→C⊕D，⌝(B ∧C)，C→⌝D必须同时成立。
因此(A→C⊕D)∧⌝(B∧C)∧(C→⌝D)⇔(⌝A∨(C∧⌝ D)∨(⌝C∧D))∧(⌝B∨⌝C)∧(⌝C∨⌝D)⇔(⌝A∨(C∧⌝ D)∨(⌝C∧D))∧((⌝B∧⌝C)∨(⌝B∧⌝D)∨⌝C∨(⌝C∧⌝D))⇔(⌝A∧⌝B∧⌝C)∨(⌝A∧⌝B∧⌝D)∨(⌝A∧⌝C)∨(⌝A∧⌝C∧⌝D)∨(C∧⌝ D∧⌝B∧⌝C)∨(C∧⌝ D∧⌝B∧⌝D)∨(C∧⌝ D∧⌝C)∨(C∧⌝ D∧⌝C∧⌝D)∨(⌝C∧D∧⌝B∧⌝C)∨(⌝C∧D∧⌝B∧⌝D)∨(⌝C∧D∧⌝C)∨(⌝C∧D∧⌝C∧⌝D)⇔F∨F∨(⌝A∧⌝C)∨F∨F∨(C∧⌝ D∧⌝B)∨F∨F∨(⌝C∧D∧⌝B)∨F∨(⌝C∧D)∨F⇔(⌝A∧⌝C)∨(⌝B∧C∧⌝ D)∨(⌝C∧D∧⌝B)∨(⌝C∧D)⇔(⌝A∧⌝C)∨(⌝B∧C∧⌝ D)∨(⌝C∧D)⇔T故有三种派法：B∧D，A∧C，A∧D。
二、（15分）在谓词逻辑中构造下面推理的证明：某学术会议的每个成员都是专家并且是工人，有些成员是青年人，所以，有些成员是青年专家。
解：论域：所有人的集合。
S(x)：x是专家；W(x)：x是工人；Y(x)：x是青年人；则推理化形式为：∀x(S(x)∧W(x))，∃x Y(x)∃x(S(x)∧Y(x))下面给出证明：(1)∃x Y(x) P(2)Y(c) T(1)，ES(3)∀x(S(x)∧W(x)) P(4)S( c)∧W( c) T(3)，US(5)S( c) T(4)，I(6)S( c)∧Y(c) T(2)(5)，I(7)∃x S((x)∧Y(x)) T(6) ，EG三、（10分）设A、B和C是三个集合，则A⊂B⇒⌝(B⊂A)。
吉林大学离散数学II试题A及答案
20XX 级《离散数学II 》期末考试试题（A 卷）满分80分，考试时间：2个小时一、[20分] 判断题（正确的在括号内打√号，错误的打⨯号）1、设（G ，•）是有限半群，而且有壹，如果关于运算•满足消去律，则（G ，•）是群。
（ ）2、任意置换σ恰有一法写成轮换的乘积。
（ ）3、设H 是G 的子群，则H 中的壹与G 的壹一致。
（ ）4、设环R 是一个含壹环，则R 的子环R ’也一定是含壹环。
（ ）5、设（R ,+, •）是一个环，则 • 运算一定满足交换律。
（ ）6、按照剩余类的加法与乘法，环R 对于其理想N 的所有剩余类的集合R/N 是一个剩余环，则从R 到R/N 有一个同态映射存在。
（ ）7、设F 是 q 元有限域，则 F 的q-1个非零元素在乘法下一定作成一个循环群。
（ ） 8、下列部分序集都是格。
( )A B C D9、格的同态映射是保序的，反之，保序映射也是同态映射。
（ ） 10、下列4个格所对应的哈斯图不都是分配格。
( )A B C D二、[20分] （20分）（G,*）为群，其中运算*定义如表所示。
1. 写出子群(a)；2. 设H=(a)，证明(a)*c=c*(a)；3. 找出所有2个元素的子群；4. 求出G 的元数除以(f)的元数的商；5. 求(f)的所有右陪集。
三、[10分] 设(R,+,⨯) 为一代数系统，其中R 为实数集合，+为实数加法，任取a,b ∈R ，a ⨯b=|a |b ，试判断(R,+,⨯)是否为环。
如果是，请证明你的结论；如果不是请说明理由。
四[10分] 下面给出的多项式是R 0上的质式吗？请给出证明。
（1）x 3-5x+5； （2）x 5+7x 2-3。
五、[14分] (1) 计算Φ24(x);(2) 构造元数为9的有限域(不要求写出加法与乘法运算表)。
六、[6分]设(G ,*)为循环群，生成元素为a 。
设 （A,*）和(B,*)均为(G ,*)的子群，而a i 和a j 分别为（A,*）和(B,*)的生成元。
离散数学期末考试试题(有几套带答案)
离散数学试题(A 卷及答案）一、证明题（10分）1)(⌝P ∧(⌝Q ∧R))∨(Q ∧R)∨(P ∧R)⇔R证明: 左端⇔(⌝P ∧⌝Q ∧R)∨((Q ∨P)∧R)⇔((⌝P ∧⌝Q)∧R))∨((Q ∨P)∧R)⇔(⌝(P ∨Q)∧R)∨((Q ∨P)∧R)⇔(⌝(P ∨Q)∨(Q ∨P))∧R ⇔(⌝(P ∨Q)∨(P ∨Q))∧R ⇔T ∧R(置换)⇔R2)∃x(A(x)→B(x))⇔ ∀xA(x)→∃xB(x)证明 ：∃x(A(x)→B(x))⇔∃x(⌝A(x)∨B(x))⇔∃x ⌝A(x)∨∃xB(x)⇔⌝∀xA(x)∨∃xB(x)⇔∀xA(x)→∃xB(x) 二、求命题公式(P ∨(Q ∧R))→(P ∧Q ∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）证明：(P ∨(Q ∧R))→(P ∧Q ∧R)⇔⌝(P ∨(Q ∧R))∨(P ∧Q ∧R))⇔（⌝P ∧(⌝Q ∨⌝R)）∨(P ∧Q ∧R) ⇔(⌝P ∧⌝Q)∨(⌝P ∧⌝R))∨(P ∧Q ∧R)⇔(⌝P ∧⌝Q ∧R)∨(⌝P ∧⌝Q ∧⌝R)∨(⌝P ∧Q ∧⌝R))∨(⌝P ∧⌝Q ∧⌝R))∨(P ∧Q ∧R) ⇔m0∨m1∨m2∨m7 ⇔M3∨M4∨M5∨M6三、推理证明题（10分）1） C ∨D, (C ∨D)→ ⌝E, ⌝E →(A ∧⌝B), (A ∧⌝B)→(R ∨S)⇒R ∨S证明：(1) (C ∨D)→⌝E(2) ⌝E →(A ∧⌝B)(3) (C ∨D)→(A ∧⌝B) (4) (A ∧⌝B)→(R ∨S) (5) (C ∨D)→(R ∨S)(6) C ∨D(7) R ∨S2) ∀x(P(x)→Q(y)∧R(x))，∃xP(x)⇒Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))证明（1）∃xP(x) (2)P(a)(3)∀x(P(x)→Q(y)∧R(x)) (4)P(a)→Q(y)∧R(a) (5)Q(y)∧R(a) (6)Q(y) (7)R(a) (8)P(a) (9)P(a)∧R(a) (10)∃x(P(x)∧R(x)) (11)Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))四、设m 是一个取定的正整数，证明：在任取m ＋1个整数中，至少有两个整数，它们的差是m 的整数倍证明 设1a ，2a ，…，1+m a 为任取的m ＋1个整数，用m 去除它们所得余数只能是0，1，…，m －1，由抽屉原理可知，1a ，2a ，…，1+m a 这m ＋1个整数中至少存在两个数s a 和t a ，它们被m 除所得余数相同，因此s a 和t a 的差是m 的整数倍。
《离散数学》期末考试卷05-06(2)
安徽大学2005-2006学年第二学期《离散数学》期末考试试卷（A 卷）一、选择题（每小题2分，共20分）1．在自然数集N 上，下列运算中可结合的是（ ）A ．b a b a -=*B ．},max{*b a b a =C ．b a b a 2*+=D ．b a b a -=*2．二元运算*有两个左零元，则*一定（ ）A ．满足结合律B ．满足交换律C ．不满足结合律D ．不满足交换律3．设><,*A 是二元代数系统，元素A a ∈有左逆元1-l a 和右逆元1-r a ，若运算*满足（）律，则11--=r l a a 。
A ．结合B ．交换C ．等幂D ．分配4．下列代数><,*S 中，（ ）是群。
A ．}5,3,,1,0{=S ，*是模7加法B ．Q S =（有理数集），*是普通乘法C ．Z S =（整数集合），*是一般减法D ．}9,5,4,3,1{=S ，*是模11乘法5．群>+<1212,N 总共有（ ）子群。
A ．4B ．6C ．8D ．126．下面（ ）集合关于指定的运算构成环。
A ．},|}2{3Z b a b a ∈+，关于数的加法和乘法B ．n {阶实数矩阵}，关于矩阵的加法和乘法C ．},|}2{Z b a b a ∈+，关于数的加法和乘法D ．⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z b a a b b a ,，关于矩阵的加法和乘法7．N 是自然数集，≤是小于等于关系，则≤><,N 是（ ）A ．有界格B ．有补格C ．分配格D ．有补分配格8．在布尔格>⊕<1,0,',,*,B 中有3个原子1a ,2a ,3a ，则='1a （ ）A ．32*a aB ．32a a ⊕C ．'3'2*a aD ．'3'2a a ⊕ 9．含有5个结点、3条边的不同构的简单图有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个10．一个无向图有4个结点，其中3个度数为2,3,3，则第4个结点度数不可能是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4二、填空题（每空2分，共20分）1．设>⨯<,G 为非零实数乘法群，G G f →:是同态映射，xx f 1)(=，则=)(G f ________，=)(f Ker ________。
离散数学试卷(A)
离散数学试卷(A)一、单项选择题(每小题2分。
共20分)在每小题的四个备选答案中只有一个正确的答案。
请将正确答案的序号写在题干的括号内。
1.设集合A={2,{a},3,4}，B = {{a},3,4,1}，E 为全集，则下列命题正确的是( ).A.{2}∈AB.{a}⊆AC.∅⊆{{a}}⊆B ⊆ED.{{a},1,3,4}⊂ B.2.除非613≥ ，否则79≤。
令r: 613≥，s ：79≤，可符号化为（ ）.A.s r →B. r s →⌝C. s r →⌝D. r s →3.使命题公式()p q q ∧→为假的赋值是（ ）A.10B.01C.00D.114. ()r q p ↔→的合取范式是（ ）A.()()()r q p r q r p ⌝∨∨⌝∧∨⌝∧∨；B. ()()()r q p r q q p ⌝∨∨⌝∧∨⌝∧∨C. ()()()r q p r q q p ⌝∨∨⌝∧∨∧∨；D. ()()()r q p r q r p ⌝∨∨⌝∧∨∧∨；5．判断下列各式中，不是合式公式的是 ( )A.S R Q ∧→B.()()S R P →↔C.()()()P Q Q P →→→⌝D.()K RS →6. 下列语句中是命题的只有（ ）A ．1+1=10B ．x+y=10C ．sinx+siny<0D ．x mod 3=2 7．设A={1，2，3，4，5}，下面集合等于A 的是( )A ．{1，2，3，4} B.{}252≤x x x 是整数，且C ．{}5≤x x x 是正整数，且D ．{}5≤x x x 是正有理数，且8．设f 和g 都是x 上的双射函数，则()1-g f ( ) A.11--g f B. ()1-f gC. 11--f gD. 1-g f9.下面等值式不正确的是：( C )A.A A A ⇔∨ ;B. ()B A B A ⌝∨⌝⇔∧⌝ ;C. ()B B A A ⇔∧∨;D. B A B A ∨⌝⇔→;10.R 代表实数集合，针对给定的函数集合f ，下面函数f: R R →属于双射的是：（ ）A. ()x x f 2=B. ()x x f sin =C. ()23x x x f -=D. ()x x f x +=2二、判断题（每题2分，共10分)11. A 是合式公式，但()B A ∨不一定就是合式公式( )12. q p →为真当且仅当p 与q 同时为真或同时为假（ ）13.设i i m M 与是命题变项1p ，2p ，。
国家开放大学电大本科《离散数学》2024-2025期末试题及答案(试卷号：1009)
国家开放大学电大本科《离散数学》2024-2025期末试题及答案(试卷号：1009)一、单项选择题(每小题3分，本题共16分)若集合A = {1,2,3,4},则下列表述不正确的是( ).A.{2,3)€AB.AU{1,2,3,4}C. <1,2,3,4)QAD. 16A2.若无向图G的结点度数之和为20,则G的边数为( ).A.10B. 20C. 30D. 53.无向图G是棵树，结点数为10,则G的边数为( ).A. 5B. 10C.9D. 114.设A(x)：x是人,B(x)：x是学生，则命题“有的人是学生”可符号化为( )•A.Vx)(A(x)-*B(x»B.(3x)(A(x)AB(x))C.(Vx)(A(x)AB(x»D.-«(3x)(A(x)A -B(x»5.下面的推理正确的是( ).A.(l)(Vx)F(x)->G(x) 前提引入(2)F(>-)-*G(y) US(1).B.(1)( 3 x)F(x)-*G(x) 前提引入(2)F(y)-*G(y) US(1),C.(l)(3x)(F(x)->G(x»前提引入(2)F(y)-*G(x) ES(1).D.(l)(3x)(F(x)-*G(x)) 前提引入(2)F(y)-*G(y) ESQ).二、填空题(每小题3分，本题共15分)6.设A = {1,2),H = {1,2,3},则A到B上不同的函数个数为________________ .7.有&个结点的无向完全图的边数为 ____________ .8.若无向图G中存在欧拉路但不存在欧拉回路，则G的奇数度数的结点有________ 个.9.设G是有10个结点的无向连通图，结点的度数之和为30,则从G中删去条边后使之变成树.10.设个体域£> = {1,2,3,4},则谓词公式(*)人(了)消去量词后的等值式为三、逻辑公式翻译(每小题6分，本息共12分)11.将语句“昨天下甬“翻译成命题公式.12.将语句“小王今天上午或者去看电彩或者去打球”翻译成命JS公式.四、判断说明题(判断各题正误，并说明理由.每小题7分，本黑共14分)13.存在集合A与B,使得A6B与AUB同时成立.14.完全图K<是平面图.五、计算题(每小题12分，本题共36分)15.设偏序集VA,R>的哈斯图如下,B为A的子集，其中B = 试(1)写出R的关系表达式；(2)画出关系R的关系图；(3)求出B的最大元、极大元、上界.16.设图G — <V,E>,V={vj f v it v t,Vi»v s)»(v2, v3)»(v3»vs)}»试(1)画出G的图形表示；(2)写出其邻接矩阵；(3)求出每个结点的度数；(4)画出图G的补图的图形，17.求P TQ代R)的合取范式与主合取范式.六、证明题(本题共8分)18.设A.B是任意集合，试证明：若AXA=BXB,^ A = B.M答杖松标准(仅辩者)一、单项选择题(每小题3分，本题共15分)1. A2. A3. C4.B5. D二、填空题(每小题3分，本题共］5分)6.97.”3 — 1)/2(或庆)8.210. A(l) VA(2) V A(3) V A(4)三、 逻辑公式翻译（每小题6分，本题共】2分）H,设P ：昨天下雨. 则命题公式为:P ，12. 设P ：小王今天上午去看电影 Q ：小王今天上午去打球 则命题公式为：r （PiQ ）. 或者（rPAQ ）V 〈PA rQ ）四、 判断说明题（每小题7分，本题共14分）13. 正确.例：设 A = {a} t H — {a,{a}） 则有且ACI3.说明：举出符合条件的例均给分. 14. 正确.完全图K 〈是平面图， 如K,可以如下图示嵌入平面.（7分）五、计算题（每小题12分，本题共36分）15. （l ）R = {Va ，a>,Vb,Q>,Vc,c>,Vd,d>・Va0>・Va ・c>，V&，d>，VQ,d >}. （4 分）（2）关系图(8分)（3）集合B 无最大元，极大元为6与c.无上界. 16, 解: （1）关系图（2分） （6分）（2分）（6分）（3分） （517. P TQAR) 5PV(QAR) 0(rPVQ 〉A(rPVR)合取范式<=>(-PVQ)V(K A rR)A(rPVR) 0("VQ)V(& A rR)A(" VR)V(QA -Q)D(rPVQVR)A(rPVQVA("VR VQ) A(-、PVR V -Q) c=>(-PVQV7?)A(-'PVQV-R)A(-PV-QVR) 主合取范式 六、证明题（本意共8分）18. 证明：V2（2）邻接矩阵bioir 101001001 1 00 0（6分）(3) deg(vi)=,3deg(v t )—2 <ieg(v 3)~2 deg顷)=1 deg(v s )=2 (4) 补图（9分）（】2分）（2分） （5分）（7分〉设x€A,则Vx,x>€AXA,（1 分）因AXA = BXB,故V X,X>€BXB,则有xGB, （3 分）因此AGB. （5分）设xQB,则Vx,x>€BXB,（6 分）因AXA-BXB,故Vx,x>eAXA,则有因此BWA. （7 分）故得A=B. （8分）。
离散数学期末考试题及答案
离散数学期末考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B=（）。
A. {1,2,3}B. {2,3}C. {2,4}D. {1,4}答案：B2. 命题“若x>0，则x>1”的逆否命题是（）。
A. 若x≤0，则x≤1B. 若x≤1，则x≤0C. 若x>1，则x>0D. 若x≤1，则x≤0答案：B3. 函数f: A→B的定义域是集合A，值域是集合B，则（）。
A. A⊆BB. A⊂BC. A⊇BD. A⊃B答案：A4. 集合{1,2,3}与集合{3,2,1}是否相等？（）。
A. 是B. 否C. 无法确定D. 以上都不对答案：A5. 命题p:“x>0”，则￢p为（）。
A. x≤0B. x<0C. x=0D. x<0或x=0答案：A6. 命题“若x>0，则x>1”的逆命题是（）。
A. 若x>0，则x>1B. 若x≤1，则x≤0C. 若x>1，则x>0D. 若x≤0，则x≤1答案：C7. 函数f: A→B的定义域是集合A，值域是集合B，则（）。
A. A⊆BB. A⊂BC. A⊇BD. A⊃B答案：A8. 集合{1,2,3}与集合{3,2,1}是否相等？（）。
A. 是B. 否C. 无法确定D. 以上都不对答案：A9. 命题p:“x>0”，则￢p为（）。
A. x≤0B. x<0C. x=0D. x<0或x=0答案：A10. 命题“若x>0，则x>1”的逆命题是（）。
A. 若x>0，则x>1B. 若x≤1，则x≤0C. 若x>1，则x>0D. 若x≤0，则x≤1答案：C二、填空题（每题2分，共20分）1. 集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∪B=______。
答案：{1,2,3,4}2. 命题“若x>0，则x>1”的逆否命题是：若x≤1，则x≤0。
离散数学试卷及参考答案
济南大学继续教育学院离散数学试卷（A）学年：学期:年级：专业：学习形式：层次：（本试题满分100分，时间90分钟）一、选择（每题2分，共18分）1.设简单图G所有结点的度之和为12，则G一定有 ( ) 条边。
A． 3B． 4C． 5D． 62.设G是一棵树，则G 的生成树有 ( B ) 棵A． 0B． 1C． 2D．不能确定3. 若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是( )。
A. (1,2,2,3,4,5)B. (1,2,3,4,5,5)C. (1,1,1,2,3)D. (2,3,3,4,5,6).4. 命题∀xG(x)取真值1的充分必要条件是( )。
A.对任意x，G(x)都取真值1.B.有一个x0，使G(x0)取真值1.C.有某些x，使G(x0)取真值1.D.以上答案都不对.5.设集合A={2,{a},3,4}，B = {{a},3,4,1}，E为全集，则下列命题正确的是( )。
A. {2}∈AB. {a}⊆AC. ∅⊆{{a}}⊆B⊆ED. {{a},1,3,4}⊂B.6. 下列关于集合的表示中正确的为( )。
A.{a}∈{a,b,c}B. {a}⊆{a,b,c}C. ∅∈{a,b,c}D. {a,b}∈{a,b,c}7.下列式子正确的是 ( )。
A． p →q = q →pB． p →q = ⌝q ∨ pC． p →q，q →s ⇒ p →sD． p ↔q = (p → q) ∨ (q→ p)8.下列语句中，( )是命题。
A.请把门关上B.地球外的星球上也有人C. x + 5 > 6D. 下午有会吗？9．设G、H是一阶逻辑公式，P是一个谓词，G＝∃xP(x), H＝∀xP(x),则一阶逻辑公式G→H是( )。
A. 恒真的第 1 页共 13 页。
离散数学`试卷A
一、基础知识（40分）1．判断下列句子是否是命题，若是命题将其符号化。
（4分）①.李平虽然聪明，但不用功。
②.除非你陪伴我或代我雇辆车子，否则我不去。
2．在一阶逻辑中将下列命题符号化。
（4分）①.任何自然数不是奇数就是偶数，偶数均能被2整除，奇数均不能被2整除。
②.任意实数的平方都不小于0。
3．求下列集合的幂集。
（4分）①.A={φ，{φ}}②.B={{φ,a},{a}}4．设f,g,h∈R R，且有f(x)＝x＋3，g(x)＝2x＋1，h(x)＝x/2。
求g◦g，h◦f，g◦h，f◦h，f◦h◦g.（6分）5．设集合A={0,1,2,3,4}，定义A上的二元关系R为：R＝{<x,y>⎪x,y∈A∧(x=y∨x+y∈A)}，请写出二元关系R的集合表达式，并判断R具有的性质。
（6分）6．已知图G中有10条边，4个3度顶点，其余顶点的度数均小于等于2，则G中至少有多少个顶点？（4分）7．在下面各图中，哪些是欧拉图，哪些是哈密尔顿图？（4分）8． 设代数系统<A,*>，其中A={a,b,c}，A 上的二元运算*定义如下表：请分析*运算的封闭性、交换性、等幂性。
A 中关于*是否有幺元和零元？如有幺元，每个元素是否有逆元？如有，求出逆元。
（8分）二、理解运用（30分）9． 证明逻辑等价式A ↔B ⇔ (A ∧B)∨(┐A ∧┐B)成立。
（6分）10. 求下列命题公式的主析取范式和所有成假赋值。
)())((r q p r q p ∧∧→∧∨（6分）11. 求谓词公式的前束范式。
（6分）12. 令A={1,2,3,4,5,6}, 画出偏序集＜A ，整除＞的哈斯图，并求(1)集合A 的最大元、最小元、极大元和极小元；(2)集合B ＝{2，3，6}的上界、下界、最小上界、最大下界。
（6分）13. 求带权图1的最小生成树及权（6分）图1三、综合能力（30分）14.用推理理论证明下面结论是否有效？如果今天是星期三，那么我有一次离散数学或数字逻辑测验。
离散数学期末考试试题及答案
离散数学期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 设A={1,2,3,4,5}，B={2,3,5,7,11}，则A∩B等于（）A. {1,2,3,4,5}B. {2,3,5}C. {1,4}D. {2,3,5,7,11}2. 下面哪一个图是连通图？（）A. 无向图B. 有向图C. 平面图D. 连通图3. 若一个图G有n个顶点，e条边，则以下哪个条件是图G 为连通图的必要条件？（）A. n ≥ eB. n ≤ eC. n = eD. n + e = 24. 在一个简单图中，若每个顶点的度数都等于n-1，则该图是（）A. 无向图B. 有向图C. 完全图D. 平面图5. 以下哪一个命题是正确的？（）A. 每个图都有欧拉回路B. 每个连通图都有哈密顿回路C. 每个图都有哈密顿路径D. 每个连通图都有欧拉路径二、填空题（每题5分，共25分）6. 设A={a,b,c}，B={1,2,3}，则A×B的结果是______。
7. 一个连通图的生成树包含______条边。
8. 在一个n阶完全图中，任意两个不同顶点之间的距离是______。
9. 一个图G的顶点集为V，边集为E，则图G的邻接矩阵表示为______。
10. 在一个简单图中，若每个顶点的度数都等于n-1，则该图的边数是______。
三、判断题（每题5分，共25分）11. 一个图的子图包含原图的所有顶点和边。
（）12. 一个连通图的所有顶点都连通。
（）13. 在一个简单图中，每个顶点的度数都小于等于n-1。
（）14. 每个图都有哈密顿路径。
（）15. 一个图G的生成树是原图G的子图。
（）四、解答题（共50分）16. （10分）设A={1,2,3,4,5}，B={2,3,5,7,11}，求A∪B 和A-B。
17. （10分）证明：一个连通图的每个顶点的度数都大于等于2。
18. （10分）给定一个图G，顶点集V={a,b,c,d,e}，边集E={ab,bc,cd,de,ac,ad}，求图G的所有连通分支。
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离散数学期末试卷(A)XXXX大学XX学院2007 ～2008学年第一学期《离散数学》期末试卷年级专业题号得分适用年级专业：2006级软件工程专业试卷说明：闭卷考试，考试时间120分钟一、单项选择题1．下列语句中只有不是命题。
C A．今年元旦会下雪。
B．1+1=10。
C．嫦娥一号太棒了！D．嫦娥奔月的神话已成为现实。
2．p?q 的主合取范式是。
B A．(p?q)?(p??q)B．(p??q)?(?p?q) C．(p?q)?(?p??q)D．(p?q)?(?p?q) 3．与p? q等值的命题公式是。
D A．?p?q B．p??q C．p??q D．?p?q 4．在一阶逻辑中使用的量词只有个。
B A．1B．2 C．3D．4 5．??xA(x)?。
C A．??xA(x) B．?x?A(x) C．?x?A(x)D．?xA(x) 6．若|A|=4，则|P(A)|=。
C A．4B．8C．16 D．64 7．设A、B、C为任意集合，集合的对称差运算不具有的性质是。
D A．A?B = B?A B．(A?B)?C = B?(A?C) 班级学号一二三姓名____________ 四总分C．A?A = ?D．A?A = A 8．二元关系是。
B A．两个集合的笛卡儿积B．序偶的集合C．映射的集合D．以上都不是9．下面关于函数的叙述中正确的是。
D A．函数一定是满射B．函数一定是单射C．函数不是满射就单射D．函数是特殊的关系10．半群中的二元运算一定满足=。
B A．交换律B．结合律C．分配律D．幂等律11．环中有个二元运算。
B A．一B．二C．三D．四12．群与独异点的区别是。
C A．满足交换律B．满足结合律C．每个元素都有逆元D．满足分配律13．九阶轮图的点色数是。
B A．2B．3 C．4D．9 14．设N、Q、Z、R分别表示非负整数集、有理数集、整数集和实数集，＋表示数的加法，则下面的代数系统中，不是群。
A A．B．C．D．15．简单通路是没有的通路。
A A．重复边B．重复顶点C．平行边D．环16．设个体域为N，下列公式为真的是。
B A．?y ?x (xy = 1)B．?y ?x (xy = x) C．?x ?y (x+y=0)D．?x ?y (x > y) 17．非平凡树一定是。
B A．正则图B．二部图C．欧拉图D．哈密顿图18．环中的? 运算只要求满足。
B A．交换律B．结合律C．分配律D．幂等律19．集合A上的等价关系与一一对应。
B A．集合A的子集B．集合A的划分C．集合A到A的双射D．集合A与A的单射20．全序关系一定不是。
A A．等价关系B．偏序关系C．线序关系D．整除关系二、填空题11．设S(x)：x是计算机学院的学生。
L(x)：x学离散数学。
则“计算机学院的学生都要学离散数学。
”可符号化为：__ ?x(S(x)?L(x)) __________________________________ ___。
12．设A={a,b,c}，A上的等价关系R={,} ?IA ，则商集A/R=____ {{a , b} , {c}} 13．设B={?}，则幂集P(B) = ___________ {?,{?}} 。
14．?xA(x) ??yB(x,y)的前束范式是____．?u?v (A(u) ?B(x,v))或?x?y(A(x) ?B(u,y)) 15．设集合A={0，1}，则A上可定义的二元运算有____16_______个。
16．设A={1，2，3，4}，A上关系R={,,}?IA ，则t(R)=__ {,,,} ?IA 17．设函数f：N?N，f =x -1，函数h：N?N，h(x)=x2+1，则复合函数f?h (x) = _______(x -1)2+118．完全二部图Kr,s的最大度?(Kr,s) = ______S____，最小度?(Kr,s)= _____ r ___。
19．设一棵树有4个2度顶点，3个3度顶点，其余顶点都是1度顶点，则该树有_______5___片树叶。
20．命题公式?(p?(p?q))的成假赋值是__00，01，10，11 三、运算题21．求命题公式?(p??q) ? (q ? r)的主析取范式，并指出其类型。
解：?(p??q) ? (q ? r) ? (?p ? q ) ? (q ? r) ? (?p ? r) ? q ? (?p ?(? q ? q ) ? r) ? ((? p ? p ) ? q ?(? r ? r ) ) ? (?p ?? q ? r) ? (?p ? q ? r) ?(?p ? q ? ?r) ?(?p ? q ? r) ?(p ? q ? ?r) ? (p ? q ? r) ? (?p ?? q ? r) ? (?p ? q ? ?r) ?(?p ? q ? r) ? (p ? q ? ?r) ? (p ? q ? r) 该公式是可满足式22．设A={a,b,c,d,e,f}，A上的偏序关系：R={,,,,,,,,} ? IA 画出该偏序关系的哈斯图，并求A的极大元、极小元、最大元和最小元。
解：极大元为d、e、f；极小元为a；无最大元；最小元为 a 23．设个体域D={a,b,c}，消去一阶公式?x中的量词，并在下述解释下求其真值：F(a)= F(b)=1 , F(c)= 0，G(a)=1，G(b)=G(c)=0。
解：?x?? xF(x) ??yG(y) ?? ??? 1 ?1?1 24．画一棵叶带权为1、2、3、3、5、6、7的最优二元树T，并计算树权W(T)。
解：W(T) = 71 25．设Z为整数集合，V=，*是二元运算，定义为：x*y=x+y-xy 说明V是含幺半群而不是群。
解：*运算在Z上封闭：*运算可结合，对任意a、b、c?Z a*(b*c) = a*(b+c-bc) = a+ b+c-bc -a(b+c-bc) = a+b+c-ab-ac-bc+abc (a*b)*c = (a+b-ab)*c = a+b-ab+c- (a+b-ab) c = a+b+c-ab-ac-bc+abc 所以a*(b*c) =(a*b)*c *运算的幺元是0 任意x?Z，x*1=1*x=1，所以1是零元，它没有逆元。
上述可知，故是含幺半群而不是群。
四、证明题26．在一阶逻辑中构造下面推理的证明：前提：?x(F(x) ??G(x)) ，?x (G(x) ? R(x))，?x?R(x) 结论：?x?F(x) 证:①?x?R(x)前提引入②?R(c)①EI ③?x (G(x) ? R(x))前提引入④G(c) ? R(c)③UI⑤G(c)②④析取三段论⑥?x(F(x) ??G(x))前提引入⑦F(c) ??G(c)⑥UI ⑧?F(c)⑤⑦拒取式⑨?x?F(x)⑧EG 27．证明，若非空集合A上的关系R和S是反对称的，则R?S也是反对称的。
证: 任取，x≠y ?R?S??R??S??R??S??R?S。
故R?S是对称的。
28．若无向图G中恰有两个奇度顶点，证明这两个奇度顶点必连通。
证: 用反证法。
假设G中两个奇度顶点u和v不连通，则u和v分别处于G的两不同连通分支G1和G2中，因而G1和G2作为独立的图时，均只有一个奇度顶点，这是不可能的，故这两个奇度顶点必连通。
2007 ～2008学年第一学期《离散数学》期末试卷答案适用年级专业：2006级软件工程专业试卷说明：闭卷考试，考试时间120分钟一、单项选择题1C 2B 3D 4B 5C 6C 7D 8B 9D 10B 11B 12C 13B 14A 15A 16B 17B 18B 19B 20A 二、填空题11．?x(S(x)?L(x))12．{{a , b} , {c}} 13．{?,{?}}14．?u?v (A(u) ?B(x,v))或?x?y(A(x) ?B(u,y)) 15．16 16．{,,,} ?IA 17．(x -1)2+118．s , r 19．520．00，01，10，11 三、运算题21．解：?(p??q) ? (q ? r) ? (?p ? q ) ? (q ? r) ? (?p ? r) ? q ? (?p ?(? q ? q ) ? r) ? ((? p ? p ) ? q ?(? r ? r ) ) ? (?p ?? q ? r) ? (?p ? q ? r) ?(?p ? q ? ?r) ?(?p ? q ? r) ?(p ? q ? ?r) ? (p ? q ? r) ? (?p ?? q ? r) ? (?p ? q ? ?r) ?(?p ? q ? r) ? (p ? q ? ?r) ? (p ? q ? r) 该公式是可满足式22．解：极大元为d、e、f；极小元为a；无最大元；最小元为a 23．解：?x?? xF(x) ??yG(y) ?? ??? 1 ?1?1 24．解：W(T) = 71 25．解：*运算在Z上封闭：*运算可结合，对任意a、b、c?Z a*(b*c) = a*(b+c-bc) = a+ b+c-bc -a(b+c-bc) = a+b+c-ab-ac-bc+abc (a*b)*c = (a+b-ab)*c = a+b-ab+c- (a+b-ab) c = a+b+c-ab-ac-bc+abc 所以a*(b*c) =(a*b)*c *运算的幺元是0 任意x?Z，x*1=1*x=1，所以1是零元，它没有逆元。
上述可知，故是含幺半群而不是群。
四、证明题26证: ①?x?R(x)前提引入②?R(c)①EI③?x (G(x) ? R(x))前提引入④G(c) ? R(c)③UI ⑤G(c)②④析取三段论⑥?x(F(x) ??G(x))前提引入⑦F(c) ??G(c)⑥UI ⑧?F(c)⑤⑦拒取式⑨?x?F(x)⑧EG 27证: 任取，x≠y ?R?S??R??S??R??S??R?S。
故R?S是对称的。
28 证: 用反证法。
假设G中两个奇度顶点u和v不连通，则u和v分别处于G的两不同连通分支G1和G2中，因而G1和G2作为独立的图时，均只有一个奇度顶点，这是不可能的，故这两个奇度顶点必连通。