.余弦定理导学案

1.1.2余弦定理

【旧知回顾】

复习1：在一个三角形中，各和它所对角的的相等，即==．

复习2：在△ABC 中，已知10c =，045A =，0

30C =，解此三角形．

思考：应用正弦定理求解三角形的类型有哪些？它们的一般步骤分别是什么？

【新知探究】

一、余弦定理的内容： ⑴语言叙述：

三角形中任何一边的平方等于减去的积的. ⑵公式表达：

2

a =；2

b =；2

c =.

⑶推论：

cos A =；cos B =；cos C =.

二、余弦定理的证明：

探究：在△ABC 中，已知AB c =，BC a =，及角B ，求b .

二、余弦定理的理解

在△ABC 中，若2

2

2

a b c <+，则∠A 为角，反之成立； 在△ABC 中，若222a b c =+，则∠A 为角，反之成立；

在△ABC 中，若2

2

2

a b c >+，则∠A 为角，反之成立.

余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特

例． 三、余弦定理的应用

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；

②已知三角形的三条边就可以求出其它角． ③已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理）． 【典例剖析】

例1.在△ABC 中，已知3b =

，c =，0

30B =，求角A 、角C 和边a .

（用两种方法求解）

变式1.△ABC 中，0

120A =，5AB =，7BC =，则

s i n s i n B

C

=____________. 思考1：已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时，利用正弦定理和余弦定理求解的区别是什么？

例2.已知△ABC 的三边长为3a =，4b =，c =，求△ABC 的最大内角．

变式2.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC （?????）?

b

c a

A ．一定是锐角三角形??

B ．一定是直角三角形?

C ．一定是钝角三角形??

D ．可能是锐角三角形，也可能

是钝角三角形

思考2：判断三角形形状的方法有哪些？ 例3.在△ABC 中，已知()()3a b c a b c ab +++-=，且

2cos sin sin A B C ⋅=，确定△ABC 的形状．

变式3.在△ABC 中，若2A C B +=，2ac b =，判断△ABC 的形状．

思考3：应用正、余弦定理在判定三角形形状时，它的一般方法是什么？

例4.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，且cos cos 2B b

C a c

=-

+. ⑴求B 的大小；

⑵若b =4a c +=，求a 的值．

变式4.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c

，tan C =. ⑴求cos C ；

⑵若5

2

CB CA ⋅=

，且9a b +=，求c . 余弦定理标准化作业

1．在△ABC 中，a 2

＋b 2

，则这个三角形一定是( )

A ．锐角三角形

B ．钝角三角形

C ．等腰三角形

D ．等边三角形 2．△ABC 中，＝a ，＝b ，a ·b <0，△ABC 的面积为，|a |＝3，|b |＝5，则BC 边的长为( )

A ．4

B ．6

C ．7

D ．9

3．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x ，则x 的取值范围( ) A ．(1，)B ．(，)C ．(1,2)

D ．(2，2)

4．已知三角形的边长分别为4,5，，则它的最大内角的度数为( ) A ．150°B．120°C．135°

D ．90°

5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2

＋c 2

－b 2

＝ac ，则角B 的值为( )

A.B.C.或

D.或

6．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝，则·＝( ) A ．－B ．－C.

D.

7．△ABC 的三边分别为a ，b ，c 且满足b 2

＝ac,2b ＝a ＋c ，则此三角形是( )

A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等边三角形

8．△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，如果2b ＝a ＋c ，∠B ＝30°，△ABC 的面积为，那么b 等于( )

A.B．1＋C. D．2＋

9．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且S△ABC＝，那么∠C＝________.

10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2＋c2＝a2＋bc，且·＝4，则△ABC的面积等于________．

11．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.

(1)若△ABC的面积等于，求a，b；

(2)若sin B＝2sin A，求△ABC的面积．

12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且a cos B＝3，b sin A＝4.

(1)求边长a；

(2)若△ABC的面积S＝10，求△ABC的周长l.

13．在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2－c2＝2b，且sin A cos C＝3cos A sin C，求b.

14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos＝，·＝3.

(1)求△ABC的面积；

(2)若c＝1，求a的值．