2020-2021学年广东省揭阳市第一中学高一上学期期末考试数学试卷 答案和解析

【最新】广东省揭阳市第一中学高一上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =，则U A C B =（ ）．A ．{}1B ．{}2C ．{}2,3D ．{}4,52．函数f (x )＝11x-＋lg(1＋x )的定义域是（ ） A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)3．若01a a >≠且，那么函数(33)a ，=的图象关于（ ） A ．原点对称B ．直线y x =对称C ．x 轴对称D ．y 轴对称4．若直线210ax y a ++-=与直线2340x y +-=垂直，则a 的值为（ ） A ．3B ．-3C ．43D ．43-5．直线a 、b 和平面α，下面推论错误的是（ ）A ．若a ⊥α,b ⊂α，则a ⊥bB ．若a ⊥α,a ∥b ，则b ⊥αC ．若a ⊥b,b ⊥α，则a ∥α或a ⊂αD ．若a ∥α,b ⊂α，则a ∥b 6．正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中与AD 1垂直的平面是（ ）A ．平面DD 1C 1CB ．平面A 1DBC ．平面A 1B 1C 1D 1 D ．平面A 1DB 1 7．已知函数f(2x)=log 3(8x 2+7)，那么f(1)等于（ ） A ．2 B ．log 339 C ．1 D ．log 3158．如图，点P 、Q 分别是正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的面对角线AD 1、BD 的中点，则异面直线PQ 和BC 1所成的角为（ ）A ．30∘B ．45∘C ．60∘D ．90∘9．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为A ．4π3 B ．3C D ．π610．函数f(x)的图象如图，则满足f(2x )⋅f(lg(x 2−6x +120))≤0的x 的取值范围是（ ）A ．(−∞，2]B ．(−∞，1]C ．[0,+∞)D ．[1,+∞) 11．若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意1,x 2x R ∈有1212()()()1f x x f x f x +=++则下列说法一定正确的是A ．()f x 为奇函数B ．()f x 为偶函数C ．()1f x +为奇函数D ．()1f x +为偶函数12．设方程5-lg x x =的两个根分别为12x ,x ，则（ ） A ．12x x 0< B ．12x x 1= C ．12x x 1> D ．120x x 1<<二、填空题13．计算：log 3√27+lg25+lg4+7log 72−(827)−13=__________．14．一几何体的三视图如图，则它的体积为__________．15．已知直线l:kx −y +1−2k =0(k ∈R)过定点P ，则点P 的坐标为__________．16．已知函数f(x)={2x+1x 2,x <−12ln(x +1),x ≥−12和g(x)=x 2−4x −4，若存在实数a 使得f(a)+g(b)=0，则实数b 的取值范围为__________．三、解答题17．已知三角形三顶点(4,0)A ，(8,10)B ，(0,6)C ，求： （1）过A 点且平行于BC 的直线方程． （2）AC 边上的高所在的直线方程．18．已知函数f(x)=2x 2−4x +a ，g(x)=log a x(a >0且a ≠1). （1）若函数f(x)在[−1,2m]上不具有单调性，求实数m 的取值范围； （2）若f(1)=g(1). （ⅰ）求实数a 的值；（ⅱ）设t 1=12f(x)，t 2=g(x)，t 3=2x ，当x ∈(0,1)时，试比较t 1，t 2，t 3的大小．19．如图，已知四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，点F 为PC 的中点.（1）求证：PA ∥平面BDF ； （2）求证：PC ⊥BD .20．设函数()(1)(0x x f x a k a a -=-->,且 1)a ≠是定义域为R 的奇函数． （1）求k 的值；（2）若(1)0f <,试判断函数单调性,并求使不等式2()(4)0f x tx f x ++-<恒成立的t的取值范围;21．在三棱锥S −ABC 中，∠SAB =∠SAC =∠ACB =90∘,AC =1,BC =√3,SB =2√2. （1）证明：面SBC ⊥面SAC ． （2）求点A 到平面SCB 的距离．（3）求二面角A −SB −C 的平面角的正弦值．22．已知函数2()21(0)g x ax ax b a =-++>在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，设()()g x f x x=. （1）求a ，b 的值（2）若不等式()22log 2log 0f x k x -⋅≥在[]2,4x ∈上有解，求实数k 的取值范围；（3）若()2213021xx f k k -+⋅-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围.参考答案1．A 【分析】根据集合的交集与补集运算即可求解． 【详解】由{}1,2,3,4,5U =，{}2,3B =，所以{}1,4,5U C B =， 又{}1,2A =，所以{}1U A C B ⋂= 故选A 【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题． 2．C 【分析】根据函数解析式建立不等关系即可求出函数定义域. 【详解】 因为f (x )＝11x-＋lg(1＋x )， 所以需满足1010x x -≠⎧⎨+>⎩，解得1x >-且1x ≠，所以函数的定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)， 故选：C 【点睛】本题主要考查了函数的定义域，考查了对数函数的概念，属于容易题. 3．B 【详解】因为函数(33)a ，=互为反函数，则函数(33)a ，=的图象关于直线对称．故选B ． 4．B 【解析】试题分析：直线210ax y a ++-=的斜率为2a -，直线2340x y +-=的斜率为23-，因为两直线垂直所以2()()123a-⨯-=-，解得3a =-．故B 正确． 考点：两直线垂直． 5．D 【解析】A 项,由线面垂直的定义可得正确;B 项,直线a,b 可以通过平移重合,故正确;C 项,若a ⊥b,b ⊥α,则a 在平面α内或者a//α,故正确;因此选D.点睛：本题考查空间立体几何的线线垂直，线面垂直以及线线平行和线面平行的判定定理和性质定理，属于基础题目.做好此类题目,需要记熟定义定理以及公式,并能够熟练应用. 6．D 【解析】∵A 1D ⊥AD 1,A 1B 1⊥AD 1,∴AD 1⊥面A 1DB 1,故选D. 7．A 【解析】令x =12得:f(1)=log 39=2,故选A. 8．C 【解析】连接AC,CD 1,ΔACD 1中,PQ//CD 1,又BC 1//AD 1,所以直线PQ 和BC 1所成的角即AD 1与CD 1所成角，故选C. 9．A 【解析】 【分析】根据已知中，将棱长为2的正方体木块切削成一个体积最大的球，结合正方体和圆的结构特征，就是正方体的内切球，我们可以求出球的半径，代入球的体积公式即可求出答案． 【详解】由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是×π×13＝．故选A ．【点睛】本题考查的知识点是球的体积，其中根据正方体和圆的结构特征，求出球的半径，是解答本题的关键． 10．B 【解析】由f(x)图像可得f(x)≤0等价于x ≥2,f(x)≥0等价于x ≤2,因为f(2x )⋅f(lg(x 2−6x +120))≤0,x 2−6x +120=(x −3)2+111>100,所以lg(x 2−6x +120)>2,所以f(lg(x 2−6x +120))<0,故有f(2x )≥0,2x ≤2,∴x ≤1,选B.点睛:本题考查学生的是函数的性质和图像,属于基础题目.根据图象可得f(x)≤0等价于x ≥2,f(x)≥0等价于x ≤2,因此判断自变量的范围分别判断出大于2和小于0的部分,解出不等式即可得出x 的取值范围. 11．C 【详解】x 1=x 2=0，则()()()0001f f f =++，()01f ∴=-， 令x 1=x ，x 2=-x ，则()()()01f f x f x =+-+， 所以()()110f x f x ++-+=，即()()11f x f x ⎡⎤+=--+⎣⎦，()1f x +为奇函数，故选C. 12．D 【分析】根据y=lg x 的图像特点和数形结合的思想，大致确定出两根的范围，然后将两根做差即可. 【详解】 如图：方程5x lg x -=有两个根分别为12x ,x ，不妨令12x x <, 由图可知两根的范围是1201x x <<<，则115x lgx -=-①,225x lgx -=②,作差②-①得:1212x x lgx x 0-=<,即.120x x 1<<,故选D. 【点睛】本题考查了对数函数的图像和方程根的应用，解题中的关键是将方程的根转化为函数的交点，由交点的分布可大体确定出根的范围，然后才可以确保后续计算的有效性. 13．4 【解析】原式=log 3332+lg(25×4)+2−[(23)3]−13=32+2+2−32=4,故填4.14．32 【解析】该几何体由一个正四棱柱和一个底面直角三角形的直三棱柱拼接而成，V =1×1×1+12×1×1×1=32，故填32. 15．(2,1) 【解析】l:k(x −2)−(y −1)=0,与k 无关,则恒过(2,1),故填(2,1).点睛:本题考查学生的是直线的一般式方程,属于基础题目.直线恒过定点,即与参数无关,将直线变形成为以参数集中,提取公因式,令参数的系数为0,剩余部分为0,解出关于x,y 的二元一次方程组,即可得定点. 16．[−1,5] 【解析】当x <−12时,2x +1<0,(2x +1)+12x+1≤−2,∴14[(2x +1)+12x+1]−12≤−1, ∴2x+1x 2=2x+114(2x+1)2−12(2x+1)+14=114[(2x+1)+12x+1]−12∈[−1,0);当x ≥−12时,ln(x +1)≥ln 12,∴f(x)∈[−1,+∞),若存在a ∈R 使f(a)+g(b)=0,则g(b)=b 2−4b −4≤1,即b 2−4b −5≤0,解得−1≤b ≤5,故填[−1,5].点睛：本题考查学生的是函数的应用问题,属于中档题目.首先求出分段函数的值域,一段根据对数函数的单调性,另外一段利用对勾函数的性质以及基本不等式和反比例的值域求得,根据题意f(a)+g(b)=0,即方程有解问题,从而限制b 的范围,解出不等式即可. 17．（1）x 240y --=（2）23140x y -+= 【分析】(1)利用相互平行的直线斜率之间的关系即可得出；（2）利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出. 【详解】（1）设所求直线的方程为()4y k x =-，由题意得：1061802BC k k -===-，所以所求方程：()142y x =-，即x 240y --=. （2）设直线的方程为()108y k x -=-，由题意得：1121,06340AC ACk k k k ⋅=-=-=-=--，所以所求方程：()21083y x -=-即23140x y -+=. 18．（1）(12,+∞)（2）（ⅰ）2（ⅱ）t 2<t 1<t 3 【解析】试题分析：将二次函数f(x)=2x 2−4x +a 的解析式进行配方,根据其开口方向的对称轴得到该函数的单调区间, 函数f(x)在[−1,2m]上不具有单调性，说明二次函数的对称轴在区间[−1,2m]内，由此便可求出的取值范围；（2）（ⅰ）由f(1)=g(1)=log a 1=0建立方程可解实数a 的值；（ⅱ）分别根据二次函数、对数函数、指数函数的性质求出当x ∈(0,1)时，t 1，t 2，t 3各自的取值范围，进而比较它们的大小. 试题解析：解：（1）∵抛物线开口向上，对称轴为x =1，∴函数f(x)在(−∞,1]单调递减，在[1,+∞)单调递增， 2分 ∵函数f(x)在[−1,2m]上不单调 ∴2m >1，得m >12，∴实数m 的取值范围为(12,+∞)5分 （2）（ⅰ）∵f(1)=g(1)， ∴−2+a =0∴实数a 的值为2. 8分（ⅱ）∵t 1=12f(x)=x 2−2x +1=(x −1)2， 9分 t 2=g(x)=log 2x ， t 3=2x ，∴当x ∈(0,1)时，t 1∈(0,1)，t 2∈(−∞,0)，t 3∈(1,2)， 12分 ∴t 2<t 1<t 3. 13分考点：二次函数、指数函数、对数函数的性质. 19．（1）详见解析；（2）详见解析。