用2.3.2等差数列前n项和的性质推导讲课教案

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等差数列的前n项和(第二课时)说课稿

说课稿课题:2.3.2等差数列的前n项和（第二课时）（人教A版·必修5）各位评委、老师大家好！今天我说课的课题是：数学必修5的第二章第三节“等差数列的前n项和”的第二课时.下面我将从几点进行说明.一、说教材（一）教材内容的地位与作用本节课的教学内容是等差数列的前n项和公式及其简单应用．它与前面学过的等差数列的定义、通项公式有着密切的联系；同时，又为后面学习数列求和等内容做好准备．（二）教学目标1.知识与技能：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题，会利用等差数列通项公式和前n项和公式研究s n的最值.初步体验函数思想在解决数列问题中的应用.2.过程与方法：通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力.3.情感、态度与价值观：①提高学生代数的思维能力，使学生获得一定的成就感；②通过生动具体的现实问题、数学问题，激发学生探究的兴趣与欲望，树立求真的勇气与自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感.（三）教学重点与难点教学重点：等差数列前n项和公式的掌握与应用.教学难点：灵活应用求和公式解决问题.二、说学法让学生自己发现探究，有助于引起学生内部的学习动机.有助于学生深刻地理解和掌握知识，有助于思维能力的培养和训练，有助于知识的迁移.三、说教法本课时主要采用引导发现法：其基本流程为：“回顾复习——新知探究——解答——引入新问题——解答——小结”.四、说教辅利用多媒体展示需要解决的问题，既增加学习容量，也使各教学环节的衔接更加紧凑自然.五、说过程本课时的教学过程主要由“复习回顾”、“新知探究”、“引入新问题”以及“课堂小结”四个教学环节来体现和达到教学目标.下面我将对各个教学环节的教学内容、处理方法及其设计意图进行说明.I.复习回顾首先，回顾上一节所学的内容：（1）等差数列的前n 项和公式1：()12n nn a a s += （2）等差数列的前n 项和公式2：()112n n n d s na -+= 处理方法：提问，让学生回答.设计意图：帮助学生巩固已学知识，并为下面探究等差数列前n 项和作准备. Ⅱ.新知探究1.等差数列的等价条件例1：已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 212+=，求（1）).2(1≥--n S S n n（2）求这个数列的通项公式.（3）这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是什么？处理方法：课本例题，题型比较简单，由3个问题构成，层层递进，化简题目难度，主要是靠引导学生，让学生计算，黑板板书.设计意图：本例题实际上给出了数列前n 项和公式判别是否是等差数列的依据，要让学生们知道等差数列前n 项是一个常数项为0的关于n 的二次型函数. 深化探究如果一个数列{}n a 的前 n 项和为2n S pn qn r =++.其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠ ，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解：由2nS pn qn r =++ 得11S a p q r ==++ ⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a ).2()1(≥=n n 又2n S pn qn r =++ 2n ≥ 时 221()[(1)(1)]2()n n n a S S pn qn r p n q n r pn p q -=-=++--+-+=-+⎩⎨⎧+-++=∴)(2q p pn r q p a n ).2()1(≥=n n 1[2()][2(1)()]2n n d a a pn pq p n p q p -=-=-+---+= ∴此类数列从第二项开始为等差数列. 归纳要使数列{}n a 为等差数列，则,)(12r q p q p p ++=+-⨯即.0=r处理方法：通过例1，学生已经有了初步的判断，如何用s n 求解a n ，所以这一环节可以让学生上黑板板书.设计意图：本探究实际上是对例1的深化，目的是为了让学生进一步认识到，如果一个数列的前n 项公式是一个常数项为0的关于n 的二次型函数，则这个数列一定是等差数列，从而使学生从结构上认识数列.2.等差数列的最值问题例2：已知等差数列 9,7,5,3，…的前n 项和s n ,求使得s n 最大的序号n 的值.分析：等差数列的前n 项和公式可以写成211(1)()222n n n d d d S na n a n -=+=+- ，所以可以看成函数2122d d x a x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，()*x N ∈，当x n =时的函数值.另一方面，容易知道n s 关于n 的图像是一条抛物线上的一些点，因此，我们可以利用二次函数来求n 的值.解：由题意知，等差数列9,7,5,3，… 的公差为-2 所以当 n 取5时n s 取最大值.设计意图：通过学习等差数列前n 项和的函数性质来用于实际题型中的应用，加深对函数结构的认识。

高中数学：2.3等差数列的前n项和教案

等差数列的前n 项和一、课型：新授课二、课时：2课时三、教学目标知识与能力：（1）掌握等差数列前n 项和公式,理解公式的推导方法；（2）能较熟练应用等差数列前n 项和公式求和。

过程与方法：经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。

情感态度价值观：通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。

四、教学重点：等差数列前n 项和公式及简单应用。

五、教学难点：获得等差数列前n 项和公式推导的思路。

六、教学方法：问题引导法七、教具：PPT 、教案八、教学过程 1．目标解读：（1）掌握等差数列的前n 项和公式，并能进行简单计算；（2）经历并理解等差数列前n 项和公式的发现和推导过程。

2．复习回顾：（1）等差数列的通项公式：（2）等差数列的性质：n m l k N n m l k +=+∈+,,,,时，有：3．问题导学：上节课我们已经学习了有关等差数列的一些基本性质,那么这节课我们就来探讨一下等差数列的前n 项和公式.问题一: 古算书<<张邱建算经>>中卷有一道题:今有与人钱,初一人与一钱；次一人与二钱;次一人与三钱；以次为之,转多一钱,共有百人。

问:共与几钱?教师：题目中我们可以得到哪些信息?要解决的问题是什么?学生：第一人得一钱, 第二人得二钱, 第三人得三钱,以后每个人都比前一个人多得一钱,共有100人,问共给了多少钱?教师：很好,问题已经呈现出来了,你能用数学语言表示吗?学生:用n a 表示第n 个人所得的钱数,由题意得: 1a =1, 2a =2, 3a =3,……, 100a =100.只要求出1+2+3+……+100即可.教师：高斯在他10岁的时候就神速的算出了结果,他的算法很高明,请问他是如何算的? 学生: 1+2+3+…+100=（1+100）+（2+99）+……+（50+51）=101⨯50=5050.教师: 上述问题我们可以看成是等差数列1,2,3,……,100,……的前100项和，即100321100a a a a S ++++=ΛΛ，根据等差数列的特点，首尾配对求和的确是一种巧妙的方法.问题二：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。

《等差数列前n项和的公式》教案

《等差数列前n项和的公式》教案一、教学目标1、知识与技能目标学生能够理解并掌握等差数列前 n 项和的公式。

能够熟练运用公式解决与等差数列前 n 项和相关的问题。

2、过程与方法目标通过推导等差数列前 n 项和公式的过程，培养学生的逻辑推理能力和数学思维能力。

让学生经历从特殊到一般，再从一般到特殊的研究过程，体会数学中的转化思想。

3、情感态度与价值观目标激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。

让学生在解决问题的过程中，体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。

二、教学重难点1、教学重点等差数列前 n 项和公式的推导和理解。

公式的熟练运用。

2、教学难点等差数列前 n 项和公式的推导过程中数学思想的渗透。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课回顾等差数列的定义和通项公式。

提出问题：如何求等差数列的前 n 项和？2、公式推导以等差数列：1，2，3，4，5，，n 为例，引导学生思考求和的方法。

方法一：依次相加。

方法二：倒序相加。

设等差数列\（a_n\）的首项为\（a_1\），公差为\（d\），前\（n\）项和为\（S_n\）。

＼（S_n ＝ a_1 ＋ a_2 ＋ a_3 ＋＋ a_{n-1} ＋ a_n\）①＼（S_n ＝ a_n ＋ a_{n-1} ＋ a_{n-2} ＋＋ a_2 ＋ a_1\）②①＋②得：＼＼begin{align}2S_n&＝（a_1 ＋ a_n) ＋（a_2 ＋ a_{n-1}）＋＋（a_{n-1} ＋ a_2) ＋（a_n ＋ a_1)＼＼2S_n&＝n(a_1 ＋ a_n)＼＼S_n&＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2}＼end{align}＼又因为\（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\），所以\（S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋a_1 ＋（n 1)d)｝｛2} ＝ na_1 ＋＼frac{n(n 1)d}｛2}＼）3、公式理解分析公式中各项的含义。

2.3.2等差数列的前n项和的性质课件

故 d 的取值范围为 d≤－2 2或 d≥2 2.
2
例 4：已知一个等差数列{an}的通项公式 an＝25－5n，求数
列{ |an|} 的前 n 项和 Sn.
错因剖析：解本题易出现的错误就是：(1)由an≥0 得，n≤5
理解为n＝5，得出结论：Sn＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝50(n≤5)， 20－5nn－5 Sn＝；(2)把“前 n 项和”认为“从n≥6 起”的和． 2 事实上，本题要对n 进行分类讨论．正解：由an≥0 得n≤5，
4－1.已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，Sn＝12n－n2. (1)求|a1|＋|a2|＋|a3|； (2)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|； (3)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.
解：∵Sn＝12n－n2，
∴当n＝1 时，a1＝S1＝12－1＝11，当n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 ＝(12n－n2)－12(n－1)＋(n－1)2＝13－2n，当n＝1 时，13－2×1＝11＝a1，∴an＝13－2n. 13 ，由an＝13－2n≥0，得 n≤ 2 ∴当1≤n≤6 时，an>0；当n≥7 时，an<0. (1)|a1|＋|a2|＋|a3|＝a1＋a2＋a3 ＝S3＝12×3－32＝27；
－15 解：(1)由题意知 S6＝ S ＝－3，a6＝S6－S5＝－8， 5
5a1＋10d＝5 ∴ a1＋5d＝－8
.解得 a1＝7，
∴S6＝－3，a1＝7.
(2)∵S5S6＋15＝0，
∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2 a1＋9da1＋10d2＋1＝0. 故(4a1＋9d)2＝d2－8. ∴d2≥8.
解法五：∵{an}为等差数列， ∴设Sn＝a·n2＋m＝4m2a＋2mb＝100，

2[1].3.2_等差数列的前n项和(二).ppt

变式:等差数列的前n项的和为Sn，且S10=310，S20=1220，则S30的值等于．
题型二、等差数列的前n项的性质
补充例题：已知等差数列前12项和354，其中偶数项的和与奇数项之比是32:27，求公差d
总结
1. 等差数列的前n项和公式： n(a1 an ) n(n 1) na1 d An2 Bn,( A, B为常数) Sn 2 2 2. 若数列{an}为等差数列：
2.3.2 等差数列的前n项和
习题课
一、复习 1. 若已知数列{an}前n项和为Sn，则该数列的通项公式 S1， n=1 为 a n= Sn-Sn-1，n≥2
2. 等差数列的前n项和公式： n(a1 an ) n(n 1) 2 na1 d An Bn,( A, B为常数) Sn 2 2 注：1.推导等差数列前n项和的方法“倒序相加法” 2.方程组思想的应用，“知三求一” ，“知三求二” 3.等差数列{a }的前2n-1项和公式：
a1 a9 9 a5 2 b1 b9 b5 9 2
S 9 7 9 2 65 93 12 T9
3. 设等差数列{an}的公差-2，如果a1+a4+a7+….+a97=50, a3+a6+a9+….+a99=
练习4 已知一个共有n项的等差数列前4项之和为26,末四项之和为110,且所有项的和为 187，求n. n=11 提示：a1+a2+a3+a4=26 an+an-1+an-2+an-3=110
四、总结
求等差数列{an}的前n项和Sn的最值的方法：
（1）利用Sn=An2+Bn进行配方，求二次函数的最值， B 此时n应取最接近的正整数值； 2A （2）利用等差数列的增减性及an的符号变化，

等差数列前n项和教案（共5篇）

等差数列前n项和教案（共5篇）第一篇：等差数列前n项和教案等差数列前n项和(第一课时）教案【课题】等差数列前n项和第一课时【教学内容】等差数列前n项和的公式推导和练习【教学目的】（1）探索等差数列的前项和公式的推导方法；（2）掌握等差数列的前项和公式；（3）能运用公式解决一些简单问题【教学方法】启发引导法，结合所学知识，引导学生在解决实际问题的过程中发现新知识，从而理解并掌握.【重点】等差数列前项和公式及其应用。

【难点】等差数列前项和公式的推导思路的获得【教具】实物投影仪，多媒体软件，电脑【教学过程】1.复习回顾 a1 + a2 + a3 +......+ an=sna1 + an=a2 + an-1 =a3 + an-2 2.情景自学问题一：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1 支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放 100支，这个V 形架上共放着多少支铅笔？思考：(1)问题转化求什么能用最短时间算出来吗？(2)阅读课本后回答，高斯是如何快速求和的？他抓住了问题的什么特征？(3)如果换成1+2+3+…+200=？我们能否快速求和？，(4)根据高斯的启示，如何计算18+21+24+27+…+624=？3..合作互学（小组讨论，总结方法）问题二：Sn = 1 + 2 + 3 + … + n = ?倒序相加法探究：能把以上问题的解法推广到求一般等差数列的前n 项和吗？问题三：已知等差数列{an }中，首项a1，公差为d，第n项为an , 如何求前n项和Sn ？等差数列前项和公式： n(a1 + an)=2Sn问题四：比较以上两个公式的结构特征，类比于问题一，你能给出它们的几何解释吗？n(a1 + a n)=2Sn公式记忆——类比梯形面积公式记忆n（a1 + a n)=2S 问题五：两个求和公式有何异同点？能够解决什么问题？展示激学应用公式例1.等差数列－10，－6，－2，2的前多少项的和为-16 例2.已知一个等差数列的前10项和是310,前20项的和是1220,由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗?【思考问题】如果一个数列{an }的前n项和Sn = pn2 + qn + r，(其中p,q,r为常数，且p ≠ 0)，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，说明理由，若不是，说明Sn必须满足的条件。

2.3等差数列前n项和(第一课时)教案

2.3 等差数列的前n项和（第一课时）
等差数列的前n项和的公式及其推导方法
【教学难点】
等差数列的前n项和的公式的推导
【教学方法】
讲授法、启发法、分组教学法
【教学手段】多媒体
情境一世界七大奇迹之一的泰姬陵坐落于古印
度阿格，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶嵌而成，共有100层.你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
情境二某仓库堆放一堆钢管，最上面一层有4根钢管，下面每层都比上一层多一根，最下面一层有九根.怎样计算这堆钢管的总数？解此题，借此回
列的定义
开动脑筋，思考
速
结果来。

在高斯10岁的时候，一天上数学课，老师问了这
问题二当情境一和情境二中的层数是奇数时，怎样计算？(思考)
【教学后记】
等差数列前n项和公式这一节的内容，重点在于公式的推导方法，倒序相加求和法，该方法在数列这一部分有着广泛的运用，因此老师的教学重点应该放在公式的推导过程的讲解上面，要让推导过程变得自然,学生易于接受.
其次课程设计的时候应更周到，后面涉及到要用的新学的性质应该提前复习，这样学生在用到的时候才有一个比较自然的过程.
在备课过程中要认真，避免出现习惯性错误，这样学生对老师的印象就不好了.。

2.3等差数列的前n项和教案(1)

2.3《等差数列的前n项和》教案三维目标1、知识与技能（1）掌握等差数列前n项和公式,理解公式的推导方法；（2）能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。

2、过程与方法经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。

3、情感、态度、价值观通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。

教学重点与难点1、教学重点：等差数列前n n项和公式的推导和应用2、教学难点：获得等差数列前n项和公式推导的思路。

3、重难点解决的方法策略：本课在设计上采用了从特殊到一般、从具体到抽象的教学策略。

利用分类讨论、类比归纳的思想，层层深入。

通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导、师生互动、讲练结合，突出重点、突破难点。

教学过程教学过程：1复习回顾，夯实基础（1）等差数列定义（2）等差数列通项公式（3）等差数列的几个重要性质2创设情境、引入新课如何快速数出如图所示的钢管的个数？3提出问题，探究新知（1）高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说: “现在给大家出道题目: 1+2+…100=?”过了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+…+100=5050．”你能求出这个式子的值吗？对于这个算法，著名的数学家高斯10岁时曾很快就想出来了.高斯的算法是：首项与末项的和：1+100=101，第2项与倒数第2项的和：2+99=101，第3项与倒数第3项的和：3+98=101，……第50项与倒数第50项的和：50+51=101，于是所求的和是101×501002=5050上面的问题可以看成是求等差数列1，2，3，…，n, …的前100项的和.在上面解决问题的过程中,我们发现所求的和可用首项、末项及项数n来表示，且任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和，从中你有何启发？我们如何去求一般等差数列的前n项和？设计意图：通过情景引入活动、任务，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用得过程，其作用就在于提升学生的经验，使之连续地向形式的、抽象的数学知识的转变.构筑在学生已有生活经验与生命体验基础之上的数学课程大大激发了学生“做数学”的热情，数学课变得更生动、更活泼，更能引发学生的兴趣。

高中数学第二章数列 2.3 等差数列前n项和(第1课时)教案高二数学教案

2.3 等差数列的前n项和一、教学目标：知识技能目标：1.掌握等差数列前n项和公式； 2.掌握等差数列前n项和公式的推导过程;3.会简单运用等差数列前n项和公式.过程与方法： 1．通过对等差数列前n项和公式的推导,体会倒序相加求和的思想方法；2. 通过公式的运用体会方程的思想。

情感态度：结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学习兴趣,并通过对等差数列求和历史的了解,渗透数学史和数学文化.二、教学重点难点：教学重点：等差数列前n项和公式的推导和应用.教学难点：在等差数列前n项和公式的推导过程中体会倒序相加的思想方法.三、教学策略及设计本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。

四. 教法、学法本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导.学生的学法突出探究、发现与交流.五.教学过程教学过程设计为六个教学环节：（如下图）指导思想：就是从特殊到一般，由具体到抽象，类比归纳总结出指导等差数列前n项和公式的倒序相加法，然后引导学生认识和熟记公式并活应用，同时在应用过程中体会方程的思想方法。

识，引入新知归纳抽象形成概念比较分析，深化认识二、问题牵引，探究发现问题1：（播放媒体资料情景引入）印度泰姬陵世界七大奇迹之一。

传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见图），奢靡之程度，可见一斑。

你知道这个图案一共花了多少颗宝石吗？即: S100=1+2+3+······+100=？著名数学家高斯小时候就会算，闻名于世，那么小高斯是如何快速地得出了答案的呢？请同学们思考高斯方法的特点，适合类型和方法本质。

《等差数列前n项和》教案

《等差数列前n项和》教案一、教学目标1. 让学生理解等差数列前n项和的定义及公式。

2. 培养学生运用等差数列前n项和公式解决实际问题的能力。

3. 引导学生通过探究等差数列前n项和的性质，提高其数学思维能力。

二、教学内容1. 等差数列前n项和的定义。

2. 等差数列前n项和的公式。

3. 等差数列前n项和的性质。

三、教学重点与难点1. 重点：等差数列前n项和的定义、公式及性质。

2. 难点：等差数列前n项和的公式的推导及应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究等差数列前n项和的定义及公式。

2. 利用案例分析法，让学生通过解决实际问题，掌握等差数列前n项和的性质。

3. 采用小组讨论法，培养学生的合作意识及数学交流能力。

五、教学过程1. 导入：回顾等差数列的基本概念，引导学生思考等差数列前n项和的定义。

2. 新课：讲解等差数列前n项和的定义，推导出等差数列前n项和的公式。

3. 案例分析：运用等差数列前n项和公式解决实际问题，引导学生发现等差数列前n项和的性质。

4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固等差数列前n项和的公式及性质。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调等差数列前n项和的重要性质。

6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂问答：通过提问等方式了解学生对等差数列前n项和定义及公式的理解程度。

2. 练习题：分析学生完成练习题的情况，评估学生对等差数列前n项和的掌握情况。

3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解学生对等差数列前n项和性质的理解。

七、教学拓展1. 等差数列前n项和的公式在实际问题中的应用，如计算工资、奖金等。

2. 引导学生探究等差数列前n项和的公式的推导过程，提高学生的数学思维能力。

八、教学反思1. 反思教学方法的有效性，根据学生的反馈调整教学策略。

2. 分析学生的学习情况，针对性地进行辅导，提高学生的学习效果。

九、课后作业1. 巩固等差数列前n项和的公式及性质。

332等差数列的前n项和(二)的教案.doc

教学目标（一）教学知识点等差数列的前n项和公式：S” =川①=旳” 21 2（二）能力训练要求1.进一步熟练掌握等茅数列的通项公式和前n项和公式。

2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关的问题。

（三）德育渗透目标提高学牛的应用意识。

教学重点熟练掌握等差数列的求和公式。

教学难点灵活应用求和公式解决问题。

教学方法讲练结合法结合具体例了讲解分析问题、解决问题的方法，从而捉高学生分析问题、解决问题的能力。

教学过程I复习回顾通项公式:a n = + （n一l）d = a m + （n一m）dDO- n 项和公式：S” ="⑷ +"〃）= g + "d dn 21 2II讲授新课利用这些公式，可以求解哪些问题呢？例1.求集合M =pnlm = 7n,n G N：\且加vlOO｝屮元素的个数，并求这些元素的和。

分析：符合M中的元素为in,且满足m=7n,m<100,7G素个数如何求？（提问式）（总结分析）满足条件的n的取值个数即为集合M的元素个数，这些元素中最小的是7,最大的是98,且是公差为7的等差数列。

即坷=7,色=98, d = 7,那么n的值…［生甲］彳弋d”=w+S — l）d公式可得98 = 7 + （川一1） x 7 /. n = 14.即集合M中的元素共有14个。

［生乙］还可以由加V 100,得7/? <100,即z? < —= 14-o7 7又T n G N\:. n = 14.［师］那么这些数的和…?［生］代入等差数列询n项和公式可求。

解: &2 = 12吗+ 依题设有｛答：集合M 中共有14个元素,它们的和等于735。

例2.已知一•个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220,由此可以确定求其前n 项和的公式吗?分析：已知S]°, S20的值求Sn 的表达式，由S“=〃d]+ ~ d 可知，如果基本量a],d 确定了，就 2可以写岀h 的表达式。

5.示范教案(2.3.2 等差数列的前n项和(二))

2.3.2 等差数列的前n 项和(二从容说课“等差数列的前n 项和”第二节课的主要内容是让学生进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式，进一步去了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；学会利用等差数列通项公式与前n 项和的公式研究S n 的最值，学会其常用的数学方法和体现出的数学思想.从而提高学生分析问题、解决问题的能力.通过本节课的教学使学生对等差数列的前n 项和公式的认识更为深刻通过本节例题的教学，使学生能活用求和公式解题，并进一步感受到数列与函数、数列与不等式等方面的联系，促进学生对本节内容认知结构的形成，通过探究一些特殊数学求和问题的思路和方法，体会数学思想方法的运用在本节教学中，应让学生融入问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、操作、探索、交流、反思，来认识和理解等差数列的求和内容，学会学习并能积极地发展自己的能力教学重点熟练掌握等差数列的求和公式教学难点灵活应用求和公式解决问题教具准备多媒体课件、投影仪、投影胶片等三维目标一、知识与技能1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；3.会利用等差数列通项公式与前n 项和的公式研究S n 的最值二、过程与方法1.经历公式应用的过程，形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；2.学会其常用的数学方法和体现出的数学思想，促进学生的思维水平的发展三、情感态度与价值观通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题教学过程导入新课师首先回忆一下上一节课所学主要内容生我们上一节课学习了等差数列的前n 项和的两个公式： (1)2)(1n n a a n S +=；(2)2)1(1d n n na S n -+=师对，我们上一节课学习了等差数列的前n 项和的公式，了解等差数列的一些性质.学会了求和问题的一些方法，本节课我们继续围绕等差数列的前n 项和的公式的内容来进一步学习与探究推进新课［合作探究］师本节课的第一个内容是来研究一下等差数列的前n 项和的公式的函数表示，请同学们将求和公式写成关于n 的函数形式生我将等差数列{a n }的前n 项和的公式2)1(1d n n na S n -+=整理、变形得到：)2(212d a n d S n -+=n师很好!我们能否说(*)式是关于n 的二次函数呢生1 能，(*)式就是关于n 的二次函数生2 不能，(*)式不一定是关于n 的二次函数师为什么生2 若等差数列的公差为0，即d =0时，(*)式实际是关于n 的一次函数!只有当d ≠0时，(*)式才是关于n 的二次函数师说得很好!等差数列{a n }的前n 项和的公式可以是关于n 的一次函数或二次函数.我来问一下：这函数有什么特征生它一定不含常数项，即常数项为生它的二次项系数是公差的一半师对的，等差数列{a n }的前n 项和为不含常数项的一次函数或二次函数.问：若一数列的前n 项和为n 的一次函数或二次函数，则这数列一定是等差数列吗生不一定，还要求不含常数项才能确保是等差数列师说的在理.同学们能画出(*)式表示的函数图象或描述一下它的图象特征吗生当d =0时，(*)式是关于n 的一次函数，所以它的图象是位于一条直线上的离散的点列，当d ≠0时，(*)式是n 的二次函数，它的图象是在二次函数x d a x d y )2(212-+=的图象上的一群孤立的点.这些点的坐标为(n ,S n )(n =1，2，3，师说得很精辟［例题剖析］【例】 (课本第51页例分析:等差数列{a n }的前n 项和公式可以写成n d a n d S n )2(212-+=，所以S n 可以看成函数x d a x d y )2(212-+= (x ∈N *)当x=n 时的函数值.另一方面，容易知道S n 关于n 的图象是一条抛物线上的点.因此我们可以利用二次函数来求n 的值.(解答见课本第52页师我们能否换一个角度再来思考一下这个问题呢？请同学们说出这个数列的首项和公差. 生它的首项为5，公差为75-师对，它的首项为正数，公差小于零，因而这个数列是个单调递减数列，当这数列的项出现负数时，则它的前n 项的和一定会开始减小，在这样的情况下，同学们是否会产生新的解题思路呢？生老师，我有一种解法：先求出它的通项，求得结果是a n =a 1+(n -1)d =74075+-n 我令74075+=n a n ≤0，得到了n ≥8，这样我就可以知道a 8=0，而a 9＜0.从而便可以发现S 7=S 8，从第9项和S n 开始减小，由于a 8=0对数列的和不产生影响，所以就可以说这个等差数列的前7项或8项的和最大师说得非常好!这说明我们可以通过研究它的通项取值的正负情况来研究数列的和的变化情况［方法引导］师受刚才这位同学的新解法的启发，我们大家一起来归纳一下这种解法的规律： ①当等差数列{a n }的首项大于零，公差小于零时，它的前n 项的和有怎样的最值?可通过什么来求达到最值时的n 的值生S n 有最大值，可通过⎩⎨⎧≤≥+001n n a a 求得n 的值师 ②当等差数列{a n }的首项不大于零，公差大于零时，它的前n 项的和有怎样的最值?可通过什么来求达到最值时的n 的值生 S n 有最小值，可以通过⎩⎨⎧≥≤+001n n a a 求得n 的值［教师精讲］好!有了这种方法再结合前面的函数性质的方法，我们求等差数列的前n 项的和的最值问题就有法可依了.主要有两种：(1)利用a n 取值的正负情况来研究数列的和的变化情况；(2)利用S n ：由n d a n d S n )2(212-+=利用二次函数求得S n 取最值时n 的值课堂练习请同学们做下面的一道练习：已知：a n =1 024+lg21-n (lg2=0.3 01 0)n ∈*.问多少项之和为最大？前多少项之和的绝对值最小？(让一位学生上黑板去板演解：1°⎩⎨⎧-=≥-+=+02lg 102402lg )1(10241＜n a n a n n 2lg 10242lg 1024≤⇒n ＜+1⇒3 401＜n ＜3 403.所以n2°S n =1 024n +2)1(-n n (-lg2)，当S n =0或S n 趋近于0时其和绝对值最小，令S n =0，即1 024+2)1(-n n (-lg2)=0,得n =2lg 2048因为n ∈N *，所以有n(教师可根据学生的解答情况和解题过程中出现的问题进行点评［合作探究］师我们大家再一起来看这样一个问题：全体正奇数排成下表：37 913 15 1721 23 25 27……此表的构成规律是：第n 行恰有n 个连续奇数;从第二行起，每一行第一个数与上一行最后一个数是相邻奇数，问2 005是第几行的第几个数师此题是数表问题，近年来这类问题如一颗“明珠”频频出现在数学竞赛和高考中，成为出题专家们的“新宠”，值得我们探索.请同学们根据此表的构成规律，将自己的发现告诉我. 生1 我发现这数表n 行共有1+2+3+…+n 个数，即n 行共有2)1(+n n 个奇数师很好!要想知道2 005是第几行的第几个数，必须先研究第n 行的构成规律生2 根据生1的发现，就可得到第n 行的最后一个数是2×2)1(+n n -1=n 2+n - 生3 我得到第n 行的第一个数是(n 2+n -1)-2(n -1)=n 2-n师现在我们对第n 行已经非常了解了，那么这问题也就好解决了，谁来求求看生4 我设n 2-n +1≤2 005≤n 2+n -1，解这不等式组便可求出n =45，n 2-n +1=1 981.再设2 005是第45行中的第m 个数，则由2 005=1981+(m-1)×2，解得m=13.因此，2 005是此表中的第45行中的第13个数师很好!由这解法可以看出，只要我们研究出了第n 行的构成规律，则可由此展开我们的思路.从整体上把握等差数列的性质，是迅速解答本题的关键课堂小结本节课我们学习并探究了等差数列的前n 项和的哪些内容生1我们学会了利用等差数列通项公式与前n 项和的公式研究S n 的最值的方法：①利用a n ：当a n ＞0，d ＜0，前n 项和有最大值.可由a n ≥0，且a n +1≤0，求得n 的值；当a n ≤0，d ＞0，前n 项和有最小值.可由a n ≤0，且a n +1≥0，求得n 的值②利用S n ：由S n =2d n 2+(a 1-2d )n 利用二次函数求得S n 取最值时n 的值生 2 我们还对等差数列中的数表问题的常规解法作了探究，学习了从整体上把握等差数列的性质来解决问题的数学思想方法师本节课我们在熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式的基础上，进一步去了解了等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题.学会了一些常用的数学方法和数学思想，从而使我们从等差数列的前n 项和公式的结构特征上来更深刻地认识等差数列布置作业课本第52页习题2.3 A 组第5、6题预习提纲： ①什么是等比数列？ ②等比数列的通项公式如何求？等差数列的前n 项和(二)S n 与函数的联系例4求S n 最值的方法学生练习数表问题。

说课—《等差数列前n项和的公式》

说课—《等差数列前n项和的公式》等差数列的前n项和公式教案篇一2.3等差数列的前n项和公式（教案）一．教学目标：1、知识与技能目标了解等差数列前n项和公式，理解等差数列前n项和公式的几何意义，并且能够灵活运用其求和。

2.过程与方法目标学生经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法。

3、情感态度与价值观目标学生获得发现的成就感，优化思维品质，提高代数的推导能力。

二．教学重难点：1、重点：等差数列前n项和公式的推导，掌握及灵活运用。

2.难点：诱导学生用“倒序相加法”求等差数列前n项和。

三．教法与学法分析：1、教法分析：采用“诱导启发，自主探究式”学法为主，讲练结合为辅的教学方法。

2、学法分析：采用“自主探究式学习法”和“主动学习法”。

四．课时安排：1个课时五．教学过程（一）导入我们已经学过等差数列的定义an+1-an=d（n属于正整数），等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，等差数列的等差中项2an=an-1+an+1，还有：若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.我们应该怎样求a1+a2+…+an,其中{an}为等差数列，记Sn=a1+a2+…+an我们知道200多年前高斯的老师给他们出了一道题目，让他们计算1+2+就算出来了…+100=？当时10岁的高斯很快。

高斯是怎样做出来的呢？他使用了什么简单高明的方法？1+2+…+100=(1+100)+（2+99）+…+(50+51)=50*101,所以1+2+…+100=5050，这就是著名的高斯算法，到后来，人们就从高斯算法中得到启发，求出了等差数列1+2+…+n的前n项和的算法（二）探究新知，发现规律从高斯算法中，人们怎样求出首项为1，公差为1的等差数列1+2+3+…+n的和？首先1+2+…+n(1)n+(n-1)+…+1（2）2Sn=（n+1)+(n+1)+…+(n+1)(n个（n+1））所以1+2+…+n=n*(n+1)/2 我们把上面的方法称为“倒序相加法”，也就是说高斯当时用的就是“倒序相加法”算出了1+2+…+100的和然而这个方法可以推广到等差数列的前n项和定义：一般地，我们把a1+a2+…+an叫做等差数列的前n项和，用Sn表示即Sn=a1+a2+…+an从高斯算法中得到的启示，对于一般的等差数列，其中a1是首项，d是公差，我们可以用两种方法来表示Sn=a1+a2+…+an=a1+(a1+d)+…++[ a1+(n-1)d](3)Sn=an+ an-1+…+a1=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d](4)两式相加得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)，有n个(a1+an）所以Sn=n(a1+an)/2(5)将an=a1+(n-1)d带入Sn=n(a1+an)/2中即可得到Sn=na1+n(n-1)d/2(6)(5)与(6)区别：第一个公式反映了等差数列的首项与末项之和跟第n项与倒数第n项之和是相等的；第二个公式反映了等差数列的首项与公差d之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数作比较。

《等差数列前n项和》教案说明

《等差数列前n项和》教案说明一、教学目标1. 让学生理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式。

2. 引导学生运用数列的性质，推导出等差数列前n项和的公式。

3. 培养学生运用等差数列前n项和公式解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 等差数列的概念：定义、通项公式。

2. 等差数列前n项和的推导过程。

3. 等差数列前n项和公式的应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：等差数列的概念、通项公式；等差数列前n项和的推导过程及应用。

2. 教学难点：等差数列前n项和的推导过程。

四、教学方法与手段1. 采用问题驱动法，引导学生探究等差数列前n项和的公式。

2. 利用多媒体课件，展示等差数列的图形，帮助学生直观理解。

3. 运用例题讲解，让学生在实践中掌握等差数列前n项和的运用。

五、教学过程1. 导入新课：通过回顾数列的基本概念，引入等差数列的概念和通项公式。

2. 探究等差数列前n项和：引导学生运用数列的性质，分组讨论并推导出等差数列前n项和的公式。

3. 讲解等差数列前n项和公式：对推导过程进行讲解，让学生理解公式的来源。

4. 应用练习：运用例题讲解，让学生在实际问题中运用等差数列前n项和公式。

教案剩余章节将在您的要求下继续编写。

六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习状态。

2. 练习完成情况评价：检查学生课后练习的完成质量，评估学生对知识的掌握程度。

3. 小组讨论评价：对学生在小组讨论中的表现进行评价，了解学生的合作能力和思维拓展情况。

七、课后作业1. 巩固等差数列的概念和通项公式。

2. 练习等差数列前n项和的计算。

3. 探索等差数列前n项和公式的应用，解决实际问题。

八、课后反思2. 分析学生的学习情况，针对性地调整教学策略。

3. 搜集学生反馈意见，优化教学内容和过程。

九、教学拓展1. 引导学生研究等差数列的性质，探讨等差数列的极限。

2. 介绍等差数列在实际生活中的应用，如统计学、经济学等。

《2.3 等差数列的前n项和》教学案 1

《2.3 等差数列的前n项和》教学案 1教学目标掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.教学重点等差数列的前n项和公式的理解、推导及应用.教学难点灵活应用等差数列前n项和公式解决一些简单的有关问题.教具准备多媒体课件、投影仪、投影胶片等教学过程导入新课教问题出示投影胶片1：印度泰姬陵(T a j M a h a l)是世界七大建筑奇迹之一，所在地阿格拉市，泰姬陵是印度古代建筑史上的经典之作，这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格，是印度伊斯兰教文化的象征.陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝.传说当时陵寝中有一个等边三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层(如下图)，奢华之程度，可见一斑.你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗？(这问题赋予了课堂人文历史的气息，缩短了数学与现实之间的距离，引领学生步入探讨高斯算法的阶段)只要计算出1+2+3+…+100的结果就是这些宝石的总数.问题对，问题转化为求这100个数的和.怎样求这100个数的和呢？这里还有一段故事.教问题出示投影胶片2：高斯是伟大的数学家、天文学家，高斯十岁时，有一次老问题出了一道题目，老问题说：“现在给大家出道题目：1+2+…100=？”过了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+…+100=5 050.”教问题问：“你是如何算出答案的？”高斯回答说：因为1+100=101；2+99=101；…；50+51=101，所以101×50=5 050.问题这个故事告诉我们什么信息？高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？问题对，高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5 050了.问题问：数列1，2，3，…，100是什么数列？而求这一百个数的和1+2+3+…+100相当于什么？推进新课［合作探究］问题我们再回到前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案中，在图中我们取下第1层到第21层，得到右图，则图中第1层到第21层一共有多少颗宝石呢？问题高斯的这种“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和，适用于偶数个项，我们是否有简单的方法来解决这个问题呢？问题妙得很！这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和，真是太好了！我将他的几何法写成式子就是：1+2+3+ (21)21+20+19+ (1)对齐相加(其中下第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序)这实质上就是我们数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法”.现在我将求和问题一般化：(1)求1到n的正整数之和，即求1+2+3+…+(n-1)+n.(注：这问题在前面思路的引导下可由学生轻松解决)(2)如何求等差数列{a n}的前n项的和S n？［方法引导］问题如果已知等差数列的首项a1，项数为n，第n项为a n，则求这数列的前n项和用公式(Ⅰ)来进行，若已知首项a1，项数为n，公差d，则求这数列的前n项和用公式(Ⅱ)来进行.引导学生总结：这些公式中出现了几个量？问题如果我们用方程思想去看这两个求和公式，你会有何种想法？问题当公差d≠0时，等差数列{a n}的前n项和S n可表示为n的不含常数项的二次函数，且这二次函数的二次项系数的2倍就是公差.［知识应用］【例1】(直接代公式)计算：(1)1+2+3+…+n；(2)1+3+5+…+(2n-1)；(3)2+4+6+…+2n；(4)1-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n.(让学生迅速熟悉公式，即用基本量观点认识公式)请同学们先完成(1)～(3)，并请一位同学回答.生(1)1+2+3+…+n=2)1(+nn；(2)1+3+5+…+(2n-1)=2)11(-+nn=n2；(3)2+4+6+…+2n=2)22(+nn=n(n+1).问题第(4)小题数列共有几项？是否为等差数列？能否直接运用S n公式求解？若不能，那应如何解答？(小组讨论后，让学生发言解答)问题很好！在解题时我们应仔细观察，寻找规律，往往会寻找到好的方法.注意在运用求和公式时，要看清等差数列的项数，否则会引起错解.【例2】已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1 220，由此可以确定求其前n 项和的公式吗？问题首项与公差现在都未知，那么应如何来确定？问题通过上面例题3我们发现了在以上两个公式中，有5个变量.已知三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二).运用方程思想来解决问题.［合作探究］问题请同学们阅读课本例3，阅读后我们来互相进行交流.(给出一定的时间让学生对本题加以理解)问题本题是给出了一个数列的前n 项和的式子，来判断它是否是等差数列.解题的出发点是什么？问题对的，通项与前n 项的和公式有何种关系？问题回答的真好！由S n 的定义可知，当n =1时，S 1=a 1；当n ≥2时，a n =S n -S n -1，即a n =S 1 (n =1)，S n -S n -1(n ≥2).这种已知数列的S n 来确定数列通项的方法对任意数列都是可行的.本题用这方法求出的通项a n =2n -21，我们从中知它是等差数列，这时当n =1也是满足的，但是不是所有已知S n 求a n 的问题都能使n =1时，a n =S n -S n -1满足呢？问题如果一个数列的前n 项和公式是常数项为0，且是关于n 的二次型函数，则这个数列一定是等差数列，从而使我们能从数列的前n 项和公式的结构特征上来认识等差数列.实质上等差数列的两个求和公式中皆无常数项.课堂练习等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？(学生板演)解：设题中的等差数列为{a n }，前n 项和为S n ，则a 1=-10，d =(-6)-(-10)=4，S n =54，由公式可得-10n +2)1(-n n ×4=54. 解之，得n 1=9，n 2=-3(舍去).所以等差数列-10， -6，-2，2…前9项的和是54.(教问题对学生的解答给出评价)课堂小结问题同学们，本节课我们学习了哪些数学内容？①等差数列的前n 项和公式1：2)(1n n a a n S +=，②等差数列的前n项和公式2：2)1( 1d nnnaSn -+=.问题通过等差数列的前n项和公式内容的学习，我们从中体会到哪些数学的思想方法？①通过等差数列的前n项和公式的推导我们了解了数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法”.②“知三求二”的方程思想，即已知其中的三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量.问题本节课我们通过探究还得到了等差数列的性质中的什么内容？如果一个数列的前n项和公式中的常数项为0，且是关于n的二次型函数，则这个数列一定是等差数列，否则这个数列就不是等差数列，从而使我们能从数列的前n项和公式的结构特征上来认识等差数列.。