2019年河北衡水中学全国高三统一联合考试理科数学试卷(含答案解析)
河北省衡水中学2019届高三数学下学期一调试题理含解析.doc
河北省衡水中学2019届高三数学下学期一调试题 理（含解析）一､选择题：本题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合2{|20}A x x x =--≤，{|128,}xB x x Z =≤≤∈，则A B =（ ）A. [1,3]-B. {0,1}C. [0,2]D. {0,1,2}【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得A ，解指数不等式求得B ，再根据两个集合的交集的定义求得A B .【详解】因为集合{}{}2|20|12A x x x x x =--≤=-≤≤，{}{}{}|128,|03,0,1,2,3x B x x Z x x x Z =≤≤∈=≤≤∈=，所以{}0,1,2A B =，故选D.【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.2. 已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则a bi +=（ ）B. 2D. 5【答案】C 【解析】 【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于,a b 的方程组，解得,a b 的值，进而可得答案. 【详解】因为(1)(1)1(1)i bi b b i a +-=++-=，结合,a b ∈R ，所以有110b a b +=⎧⎨-=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以2a bi i +=+==故选C.【点睛】该题考查的是有关复数的模的问题，涉及到的知识点有复数相等的条件，属于简单题目.3. 给出下列四个结论：①命题“0x N ∃∈，0202xx >”的否定是“x N ∀∈，22x x ≤”；②命题“若220a b +=，则0a =且0b =”的否定是“若220a b +=，则0ab ≠”； ③命题“若0ab =，则0a =或0b =”的否命题是“若0ab ≠，则0a ≠或0b ≠”； ④若“p q ∧是假命题，p q ∨是真命题”，则命题,p q 一真一假. 其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 【解析】 【分析】①写出命题“0x N ∃∈，0202xx >”的否定，可判断①的正误；②写出命题“若220a b +=，则0a =且0b =”的否定，可判断②的正误；写出命题“若0ab =，则0a =或0b =”的否命题，可判断③的正误；④结合复合命题的真值表，可判断④的正误，从而求得结果.【详解】①命题“0x N ∃∈，0202xx >”的否定是：“x N ∀∈，22x x ≤”，所以①正确；②命题“若220a b +=，则0a =且0b =”的否定是“若220a b +≠，则0a ≠或0b ≠”，所以②不正确；③命题“若0ab =，则0a =或0b =”的否命题是“若0ab ≠，则0a ≠且0b ≠”，所以③不正确；④“p q ∧是假命题，p q ∨是真命题”，则命题p ，q 一真一假，所以④正确； 故正确命题的个数为2， 故选B.【点睛】该题考查的是有关判断正确命题的个数的问题，涉及到的知识点有命题的否定，否命题，复合命题真值表，属于简单题目. 4. 函数21()ln(2)x f x x e-=+-的图象可能是（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】分析四个图像，从而判断函数的性质，利用排除法求解．【详解】由于函数()f x 的定义域为R ，且在R 上为连续函数，可排除A 答案； 由于1(0)ln 2f e -=-，1ln 2ln2e >=，112e -< ，所以1(0)ln 20f e -=->，可排除C答案；当x →+∞时，()f x →-∞，故排除D 答案； 故答案选B.【点睛】本题考查了函数的性质的判断与数形结合的思想方向的应用，属于中档题 5. 下列三图中的多边形均为正多边形，M ，N 是所在边的中点，双曲线均以图中的1F ，2F 为焦点，设图示①②③中的双曲线的离心率分别为1e ，2e ，3e 、则1e ，2e ，3e 的大小关系为（ ）A 123e e e >> B. 123e e e << C. 231e e e =< D.132e e e =>【答案】D 【解析】 【分析】根据题设条件，分别建立恰当的平面直角坐标系，求出图示①②③中的双曲线的离心率1e ，2e ，3e ，然后再判断1e ，2e ，3e 的大小关系．【详解】①设等边三角形的边长为2，以底边为x 轴，以底边的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的焦点为(1,0)±，且过点1(23，1(2，3到两个焦点(1,0)-，(1,0)93344+=13144+， ∴31a -=，1c =，∴13131e =-． 2，分别以两条对角线为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的焦点坐标为(1,0)-和(1,0)，且过点11(,)22．点11(,)22到两个焦点(1,0)-，(1,0)的距离分别是911044+=和11244+=， ∴102a -=，1c =，∴2102102e +==-． ③设正六边形的边长为2，以11F F 所在直线为x 轴，以11F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的焦点为(2,0)-和(2,0)，且过点3)，点3)到两个焦点(2,0)-和(2,0)的距离分别为232， 31a ∴=，2c =，∴33131e ==-，所以132e e e =>． 故选：D ．【点睛】本题主要考查双曲线的离心率求解，掌握双曲线的定义、性质以及恰当地建立坐标系是正确解题的关键，属于常考题.6. 如图所示的程序框图输出的结果是（ ）A. 2018B. 1010-C. 1009D. 1009-【答案】C 【解析】 【分析】模拟执行题目中的程序框图,得出该程序运行后输出的S 值. 【详解】解:执行如图所示的程序框图知, 该程序运行后是计算并输出1234(1)i S i =-+-+++-⋅,当2018i =时,最后一次循环,此时输出2018(21)10092S =-⨯=, 故选:C【点睛】本题考查由程序框图得到输出结果,属于基础题.7. 已知某几何体的三视图如图所示，图中小方格的边长为1，则该几何体的表面积为（ ）A. 65B.1053342+C.703342+ D. 60【答案】D 【解析】由已知的三视图还原几何体为三棱柱截去三棱锥得到的，根据图中数据，计算表面积. 【详解】由三视图可知，该几何体为如下图所示的多面体ABC DEF -,它是由直三棱柱ABC DGF -截去三棱锥E DGF -所剩的几何体，其中AB AC ⊥， 所以其表面积为2211113435(52)4(52)53432222S =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+60=，故选D.【点睛】该题考查的是有关几何体的表面积的问题，涉及到的知识点有根据三视图还原几何体，锥体的表面积，属于简单题目.8. 五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币，若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着，那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（ ） A.516B.1132C.1532D.12【答案】B 【解析】 【分析】根据题意没有相邻的两个人站起来包括两种情况：5人都不站起来，或由2人中间隔一人站起来，由概率公式可得答案.【详解】根据题意没有相邻的两个人站起来包括两种情况：5人都不站起来，或由2人中间隔一人站起来，故没有相邻的两个人站起来的概率为55525511112232C C ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，【点睛】本题考查概率的计算，考查分类讨论的思想，考查分析能力和计算能力，属于基础题．9. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2222017a b c +=，则tan tan tan tan C CA B+=（ ） A.12016B.12017C.11008D.22017【答案】C 【解析】 在ABC∆中，tan tan cos cos tan tan cos sin cos sin C C sinC A sinC BA B C A C B⋅⋅+=+⋅⋅()()2cos sin cos sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin sinC A B B A sinC sin A B sin CC A BC A B C A B+⋅+===⋅⋅⋅⋅⋅⋅，由正弦定理得sin sin a b c A B sin C θ==，22cos sin sin cos sin C c C A B ab C∴=⋅⋅⋅，由余弦定理得2222cos c a b ab C=+-⋅，2222cos ,ab C a b c ∴⋅=+-2222017a b c +=，22cos 2016ab C c∴⋅=，2222221cos 2cos 20161008c c c ab C ab C c ∴===⋅⋅，tan tan 1tan tan 1008C C A B ∴+=，故选C. 10. 抛物线28y x =的焦点为F ，设()11,A x y ，()22,B x y 是抛物线上的两个动点，124x x AB ++=，则AFB ∠的最大值为（ ） A.3π B.34π C.56π D.23π 【答案】D 【解析】由抛物线定义得122,2,AF x BF x =+=+所以由124x x ++=得AF BF +=,因此22222113||||||442cos 22AF BF AF BF AF BF AB AFB AF BF AF BF +-⋅+-∠==⋅⋅13214222AF BF AF BFAF BF ⨯⋅-⋅≥=-⋅所以2π03AFB <∠≤，选D. 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若00(,)P x y 为抛物线22(0)y px p =>上一点，由定义易得0||2pPF x =+；若过焦点的弦AB AB 的端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则弦长为1212,AB x x p x x =+++可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．11. 已知当,,22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，cos cos tan ||tan ||αβαβ-<-，则以下判断正确的是（ ）A. αβ<B. αβ>C. 22αβ> D. 22αβ<【答案】C 【解析】 【分析】先构造函数()cos tan ||f x x x =-，得出函数的奇偶性和单调性求出f ()f ()αβ<，从而得出选项即可.【详解】记()cos tan ||f x x x =-， ()f x 为偶函数且在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 由cos cos tan ||tan ||αβαβ-<-，得到()()f f αβ<， 即(||)(||)f f αβ<， ∴||||αβ>， 即22αβ>. 故选：C.【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性和单调性比较大小的问题.属于较易题. 12. 若存在一个实数t ，使得()F t t =成立，则称t 为函数()F x 的一个不动点.设函数()1(x g x e x a =+--(a R ∈，e 为自然对数的底数)，定义在R 上的连续函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()g x 的一个不动点，则实数a 的取值范围为（ ）A. ,2⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭ B. ,2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭ C. 2⎛⎤⎥ ⎝⎦D.⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】构造函数()()212F x f x x =-，结合条件证明()F x 是奇函数，求函数的导数，研究函数的单调性，求出不等式1()(1)2f x f x x +-+的解，进而得到()g x 不动点的范围，结合函数单调性转化求解即可.【详解】∵()()2f x f x x -+=∴令()()212F x f x x =-， ∴221()22)1(f f x x x x =---+， ∴()()F x F x =--，即()F x 为奇函数，∵()()F x f x x '='-，且当0x ≤时，()f x x '<， ∴()0F x '<对0x ≤恒成立， ∵()F x 为奇函数，且定义域为R ， ∴()F x 在R 上单调递减， ∵1()(1)2f x f x x +≥-+， ∴22111()(1)222f x x f x x x -≥---+， 即()()1F x F x ≥-，∴1x x ≤-，即012x ≤， ∵0x 为函数()g x 的一个不动点，∴()00g x x =，即()x h x e a =--在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦有解.∵()0x h x e '=-≤，∴()h x 在R 上单调递减.∴min 1()02h x h a ⎛⎫==-≤ ⎪⎝⎭可，∴a ≥故选：B.【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路，（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解. 二､填空题：本题共4小题. 13. 抛物线2y x 的准线方程为_______.【答案】14y =- 【解析】【详解】由抛物线的标准方程为x 2=y ，得抛物线是焦点在y 轴正半轴的抛物线，2p =1，∴其准线方程是y=2p -，14y =-．故答案为14y =-． 14. 三棱锥A BCD -中，3AB CD ==，2==AC BD ，5AD BC ==，则该几何体外接球的表面积为_______________. 【答案】6π 【解析】三棱锥A BCD -内接于长宽高为1,2,3 的长方体，所以该几何体外接球的直径为1236++= ，表面积为246r ππ=15. 已知O 在ABC ∆内，且::4:3:2AOB BOC AOC S S S ∆∆∆=，AO AB AC λμ=+，则λμ+=____．【答案】23【解析】 【分析】首先根据题意，画出相应的图形，利用题中所给的条件，列出相应的等量关系式，根据平面向量基本定理，得到对应的结果. 【详解】如图，设BO 与AC 相交于D ，则由:4:3AOB BOC S S ∆∆=，可得:4:3AD DC =， 设CO 与AB 相交于E ，则由:3:2COB AOC S S ∆∆=，可得:3:2AE EB =， 因B,O,D 三点共线，故存在实数m ，使4(1)(1)7AO mAB m AD mAB m AC =+-=+-， 因C,O,E 三点共线，故存在实数n ，使得2(1)=(1)5AO nAC n AE n AB nAC =+--+，所以24(1),(1)57m n m n =--=，解得24,99m n ==，AO AB AC λμ=+，所以24,99λμ==，23λμ+=，故答案是：23.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有平面向量基本定理，向量共线的条件，属于较难题目.16. 设实数0λ>，若对任意的2(,)x e ∈+∞，关于x 的不等式ln 0x e x λλ-≥恒成立，则λ的最小值为______． 【答案】22e 【解析】 【分析】首先将不等式ln 0x e x λλ-≥恒成立，转化为min (ln )0xe x λλ-≥，利用导数研究函数的单调性，从而求得其最值，得到结果.【详解】实数0λ>，若对任意的2(,)x e ∈+∞， 不等式ln 0x e x λλ-≥恒成立， 即为min (ln )0xex λλ-≥，设2()ln ,xf x e x x e λλ=->，所以21'()xf x e xλλ=-， 令'()0f x =，可得：21xe xλλ=，由指数函数xy e =与反比例函数1y x=在第一象限有且只有一个交点，可得： x y e λ=与21y xλ=的图象在第一象限有且只有一个交点，设交点为(,)m n ，当x m >时，'()0f x >，()f x 单调递增；当0x m <<时，'()0f x <，()f x 单调递减. 令21memλλ=，可得： 当1eλ=时，m e =满足方程； 即()f x 在(,)e +∞单调递增，因为2x e >，所以()f x 在2(,)e +∞上单调递增，所以当2x e =时，由ln 0x e x λλ-≥可得：22e eλλ≥，22ee λλ≥， 22e λ=等号成立， 所以22eλ≥， 即λ的最小值为22e ， 故答案是：22e . 【点睛】该题考查的是有关利用恒成立问题求参数的最值的问题，涉及到的知识点有利用导数研究不等式恒成立问题，属于较难题目.三､解答题.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 110n n n n S S S S --=，11a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n a 的前100项中，是否存在两项m a ，t a （*,m t N ∈，且m t <），使得21a ，1ma ，1ta 三项成等比数列？若存在，求出所有的m ，t 的取值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）*21()n a n n =-∈N （2）见解析；【解析】 【分析】（1n a ；（2）根据条件化简,m t 关系式，再利用范围限制m 取法，即得正整数解.【详解】（10=，1=()11n n =+-=，所以2n S n =.当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-. 又12111a ⨯-==，所以()*21n a n n N=-∈.（2）若21a ，1m a ，1ta 三项成等比数列，则22111t m a a a ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，即211132121t m ⎛⎫⨯= ⎪--⎝⎭， 即()()221321m t -=-.因为100t ≤，所以()221597m -≤，所以2124m -≤，所以12m ≤. 又21m -为3的奇数倍，所以2,5,8,11m =，验证得514m t =⎧⎨=⎩，838m t =⎧⎨=⎩，1174m t =⎧⎨=⎩.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的概念，通项公式的求解，数列项与和的关系，关于是否存在类问题的解法，属于简单题目.18. 某企业为了解年广告费x （单位：万元）对年销售额y （单位：万元）的影响，对近4年的年广告费i x 和年销售额(1,2,...,4)i y i =的数据作了初步整理，得到下面的表格：（1）用年广告费x 作解释变量，年销售额y 作预报变量，在所给坐标系中作出这些数据的散点图，并判断y bx a =+与11c xy c e =哪一个更适合作为年销售额y 关于年广告费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）.（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程.（3）已知商品的年利润z 与x ，y 的关系为 1.8z y x =-.根据（2）的结果，计算年广告费x 约为何值时（小数点后保留两位），年利润的预报值最大.附：对于一组数据11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)n n x y ，其回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-.【答案】（1）见解析；（2）9.49.1y x =+（3）6.65万元 【解析】 【分析】（1）根据题中所给的数据画出散点图，可以发现点落在一条直线的周围，从而判断出ˆˆˆybx a =+更适合作为年销售额y 关于年广告费x 的回归方程类型； （2）根据数据，利用公式求得回归直线的方程； （3）根据题意，将相应量代换，求得结果. 【详解】（1）散点图如图所示，故ˆˆˆybx a =+更适合作为年销售额y 关于年广告费x 的回归方程类型. （2）2345742x +++==，26394954424y +++==，则()41421(ˆ)()iii ii x x y y bx x ==--=-∑∑ 479.45==，742ˆˆ9.49.12ay bx =-=-⨯=， 所以回归方程为9.4.1ˆ9yx =+. （3）由（2）可知年利润z 的预报值为1.89.491ˆ.zx x =+， 9.49.1x t +=，则29.19.4t x -=，可得219.11ˆ.89.49.4zt t =-++， 故当1.88.46129.4t =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭， 即28.469.1 6.659.4x -=≈（万元）时，年利润的预报值最大.【点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有回归类型的选取，散点图的绘制，回归直线的求解等，属于中档题目.19. 如图①，在五边形ABCDE 中，ED EA =，//AB CD ，2CD AB =，150EDC ∠=︒，将EAD ∆沿AD 折起到PAD ∆的位置，得到如图②所示的四棱锥P ABCD -，M 为线段PC 的中点，且BM ⊥平面PCD .（1）求证：//BM 平面PAD .（2）若直线PC 与AB 所成角的正切值为12，求直线BM 与平面PDB 所成角的正弦值. 【答案】（1）见证明；（227【解析】 【分析】（1）取PD 的中点N ，连接AN ，MN ，又M 为PC 的中点，得到四边形ABMN 为平行四边形，从而应用线面平行的判定定理证得结果.（2）AB CD ∥，可得PCD ∠为直线PC 与AB 所成的角，可得1tan 2PD PCD CD ∠==，2CD PD =，设1PD =，则2CD =，1PA AD AB ===，取AD 的中点O ，连接PO ，过O作AB 的平行线，可建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz ，设(,,)n x y z =为平面PBD 的法向量，则0n DB n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，利用cos ,n BM n BM n BM ⋅<>=，即可得出.【详解】（1）证明：取PD 的中点N ，连接AN ，MN . 又M 为PC 的中点，所以//MN CD ，12MN CD =. 又//AB CD ，12AB CD =，所以//MN AB ，MN AB =. 则四边形ABMN 为平行四边形，所以//AN BM . 因为BM ⊄平面PAD ，AN ⊂平面PAD ， 所以//BM 平面PAD .（2）解：因为BM ⊥平面PCD ，//AN BM ， 所以AN ⊥平面PCD ，所以AN PD ⊥，AN CD ⊥.由ED EA =，即PD PA =及N 为PD 的中点，可得PAD ∆为等边三角形，所以60PDA ∠=︒.又150EDC ∠=︒，所以90CDA ∠=︒，即CD AD ⊥.因为AD ⊂平面PAD ，AN ⊂平面PAD ，AD AN A ⋂=，所以CD ⊥平面PAD . 又CD ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD . 因为//AB CD ，所以PCD ∠即为直线PC 与AB 所成的角，所以1tan 2PD PCD CD ∠==，所以2CD PD =. 设1PD =，则2CD =，1PA AD AB ===.取AD 的中点O ，连接PO ，过O 作//OF AB 交BC 于点F ，则PO ，OF ，OA 两两垂直. 以O 为坐标原点，OA ，OF ，OP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.则1,0,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,1,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,2,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3P ⎛ ⎝⎭，所以134M ⎛- ⎝⎭. 所以()1,1,0DB =，13,1,22PB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，33,0,44BM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面PDB 的法向量为(),,n x y z =，则01302n DB x y n PB x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 令3x =，则(3,3,3n =--因为27cos ,3212n BM n BM n BM⋅===⨯所以直线BM 与平面PDB 所成角的正弦值为27.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，应用向量法求线面角的正弦值的问题，属于中档题目.20. 如图①，在ABC ∆中，2AB =，AB 的中点为O ，点D 在AB 的延长线上，且21BD =-.固定边AB ，在平面内移动顶点C ，使得圆M 分别与边BC ，AC 的延长线相切，并始终与AB 的延长线相切于点D ，记顶点C 的轨迹为曲线Γ.以AB 所在直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图②所示.（1）求曲线Γ的方程；（2）过点(2,0)P -的直线l 与曲线Γ交于不同的两点S ，R ，直线SB ，RB 分别交曲线Γ于点E ，F ，设SB BE λ=，RB BF μ=，求λμ+的取值范围.【答案】（1）221(0)2x y y +=≠（2）(6,10)【解析】 【分析】（1）依题意得出222AD BD AB +=>=，利用椭圆的定义，即可判定C 点的轨迹，得到椭圆的方程；（2）设()11,S x y ，()22,R x y ，()33,E x y ，得到,SB BE ，由SB BE λ=，求得13y y λ=-，当直线SB 与x 轴不垂直时，设直线SB 的方程为()1111y y x x =--，代入椭圆Γ方程，利用根与系数的关系，化简得132x λ=-，232x μ=-，设直线l 的方程为()2y k x =+，代入椭圆方程并整理得2102k <<，利用根与系数的关系，化简得λμ+，即可求解. 【详解】（1）由题意得2AB =，21BD =，设动圆M 与边AC 的延长线相切于点1T ，与边BC 相切于点2T ， 则1AD AT =，2BD BT =，12CT CT =，所以1212AD BD AT BT AC CT BT +=+=++ 22AC CT BT AC BC =++=+22AB BD AB =+=>=，所以点C 的轨迹是以A ，B为焦点，长轴长为的椭圆，且挖去长轴的两个顶点，则曲线Γ的方程为()22102x y y +=≠.（2）设()11,S x y ，()22,R x y ，()33,E x y ，由题意得()1,0B ， 则()111,SB x y =--，()331,BE x y =-. 由SB BE λ=，得13y y λ-=，即13y y λ=-. 当直线SB 与x 轴不垂直时，直线SB 的方程为()1111y y x x =--，即()1111x y y x y -+=， 代入椭圆Γ的方程并整理得()()22112132210x y y x y y -+--=，则有2113132y y y x -⋅=-，即11332y x y -=-，故132x λ=-. 当直线SB 与x 轴垂直时，点S 的横坐标为1，1λ=，显然132x λ=-成立. 同理可得232x μ=-.设直线l 的方程为()2y k x =+，代入椭圆Γ的方程并整理得()2222218820k x k x k +++-=.由题意得()()()2222k 0=8k 421820k k ≠⎧⎪⎨-+->⎪⎩，解得2102k <<.又2122821k x x k +=-+，所以()1212323262x x x x λμ+=-+-=-+ 2228862142121k k k ⎛⎫=-⨯-=- ⎪++⎝⎭. 由2102k <<，得286141021k <-<+， 故λμ+的取值范围为()6,10.【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有利用椭圆的定义求点的轨迹方程，直线与椭圆的位置关系，向量共线的条件等，属于较难题目. 21. 已知函数2()ln 2a f x x x x =-有两个不同的极值点1212,()x x x x <. （1）求实数a 的取值范围； （2）设2()()2x g x f x =-，讨论函数()g x 的零点个数. 【答案】(Ⅰ) ()0,1 (Ⅱ) 当230a e <<时，()g x 有2个零点；当23a e=时，()g x 有1个零点；当231a e <<时，()g x 没有零点． 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意，求得()f x '，令()'0f x =，得ln 1x a x +=，设()ln 1x h x x+=，转化为直线y ＝a 与函数()y h x =的图象有两个不同的交点，利用导数求得函数()h x 的单调性与最值，进而求解a 的取值范围； (Ⅱ)由(Ⅰ)可知，1211x x e<<<，且1212ln 1ln 1x x a x x ++==，求得函数()f x 的单调性和极值，分类讨论，即可确定函数的极值点的个数.【详解】(Ⅰ)由题意，求得()ln 1f x x ax '=+-，因为()f x 有两个不同的极值点，则()'f x 有两个不同的零点．令()'0f x =，则ln 10x ax +-=，即ln 1x a x+=. 设()ln 1x h x x+=，则直线y ＝a 与函数()y h x =的图象有两个不同的交点．因为()()221ln 1ln x xh x x x -+==-'，由()'0h x >，得ln x ＜0，即01x <<，所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，从而()()max 11h x h ==. 因为当102x <<时，()0h x <；当1x e>时，()0h x >；当x →+∞时，()0h x →， 所以a 的取值范围是()0,1．(Ⅱ)因为1x ，2x 为()f x 的两个极值点，则1x ，2x 为直线y a =与曲线()y h x =的两个交点的横坐标．由(Ⅰ)可知，1211x x e<<<，且1212ln 1ln 1x x a x x ++==， 因为当10x x <<或2x x >时，ln 1x a x +>，即()'0f x <；当12x x x <<时，ln 1x a x+<，即()'0f x >，则()f x 在()10,x ，()2,x +∞上单调递减，在()12,x x 上单调递增， 所以()f x 的极小值点为1x ，极大值点为2x .当01x <时，因为ln 0x ，01a <<，21x >，则()22ln 022x a g x x x x =--<， 所以()g x 在区间(]01，内无零点． 因为()()()2222222222222ln 1ln 2ln ln 22222x x x x x x a g x x x x x x +-=--=--=，()2a h x =，则①当2ln 2x >，即22x e >时，()20g x >.又01a <<，则21ae >，所以22222222ln 102222a a a a a ax x a a g e e e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅-=⋅--< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.此时()g x 在()21,x 和()2,x +∞内各有1个零点，且()223a h ee <=.②当2ln 2x =，即22x e =时，()20g x =，此时()g x 在()1,+∞内有1个零点，且()223a h e e ==. ③当20ln 2x <<，即221x e <<时，()20g x <，此时()g x 在()1,+∞内无零点，且()223a h e e>=. 综上分析，当230a e <<时，()g x 有2个零点；当23a e =时，()g x 有1个零点；当231a e <<时，()g x 没有零点．【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及函数的极值点个数的确定问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用. 22. [选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）.以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线1C ，2C 的公共点为A ，B .（1）求直线AB 的斜率；（2）若C ，D 分别为曲线1C ，2C 上的动点，当CD 取最大值时，求四边形ACBD 的面积.【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）25+． 【解析】 【分析】（Ⅰ）消去参数α得曲线C 1的普通方程，将曲线C 2化为直角坐标方程，两式作差得直线AB 的方程，则直线AB 的斜率可求；（Ⅱ）由C 1方程可知曲线是以C 1（0，1）为圆心，半径为1的圆，由C 2方程可知曲线是以C 2（2，0）为圆心，半径为2的圆，又|CD |≤|CC 1|+|C 1C 2|+|DC 2|，可知当|CD|取最大值时，圆心C 1，C 2在直线AB 上，进一步求出直线CD （即直线C 1C 2）的方程，再求出O 到直线CD 的距离，则四边形ACBD 的面积可求．【详解】（Ⅰ）消去参数α得曲线C 1的普通方程C 1：x 2+y 2﹣2y=0．…（1） 将曲线C 2：ρ=4cosθ化为直角坐标方程得x 2+y 2﹣4x=0． (2)由（1）﹣（2）化简得y=2x ，即为直线AB 的方程，故直线AB 的斜率为2； （Ⅱ）由C 1：x 2+y 2﹣2y=0知曲线C 1是以C 1（0，1）为圆心，半径为1的圆， 由C 2：x 2+y 2﹣4x=0知曲线C 2：是以C 2（2，0）为圆心，半径为2的圆． ∵|CD |≤|CC 1|+|C 1C 2|+|DC 2|，∴当|CD|取最大值时，圆心C 1，C 2在直线CD 上， ∴直线CD （即直线C 1C 2）的方程为：2x+y=2． ∵O 到直线CD的距离为d ==又此时|CD|=|C 1C 2∴四边形ACBD的面积1CD AB 22S =⋅⋅=+． 【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程以及参数方程化成普通方程，考查了直线与圆的位置关系，是中档题． 23. 设()121f x x x =-++的最小值为m .（1）求m 的值；（2）设22,a b R a b m ∈+=、，求221411a b +++的最小值. 【答案】（1）2m =；（2）94. 【解析】 【分析】（1）利用零点取绝对值，即可求解最小值； （2）构造基本不等号式，利用乘以“1”法求解即可.【详解】（1）由()31,11213,1131,1x x f x x x x x x x ---⎧⎪=-++=+-<<⎨⎪+⎩根据图象可知()f x 最小值为2m =. （2）由222a b +=， 可得22114a b +++=，∴2211144a b +++=那么：()22222222221414111115911111144414441a b b a a b a b b a ⎛⎫++++⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭(当且仅当()22411a b +=+时取等号) 即221411a b +++的最小值为94.【点睛】本题主要考查函数最值的求解，根据基本不等式的性质以及零点分段法是解决本题的关键，考查了分类讨论思想和计算能力，属于中档题.。
河北省衡水中学2019届高三下学期一调考试理科数学试题(解析版)
河北省衡水中学2019届高三下学期一调考试数学（理科）一、选择题：本题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求得A，解指数不等式求得B，再根据两个集合的交集的定义求得.【详解】因为集合，，所以，故选D.【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.2.已知，是虚数单位，若，则（）A. B. 2 C. D. 5【答案】C【解析】【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于的方程组，解得的值，进而可得答案.【详解】因为，结合，所以有，解得，所以，故选C.【点睛】该题考查的是有关复数的模的问题，涉及到的知识点有复数相等的条件，属于简单题目.3.给出下列四个结论：①命题“，”的否定是“，”；②命题“若，则且”的否定是“若，则”；③命题“若，则或”的否命题是“若，则或”；④若“是假命题，是真命题”，则命题，一真一假.其中正确结论的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】①写出命题“，”的否定，可判断①的正误；②写出命题“若，则且”的否定，可判断②的正误；写出命题“若，则或”的否命题，可判断③的正误；④结合复合命题的真值表，可判断④的正误，从而求得结果.【详解】①命题“，”的否定是：“，”，所以①正确；②命题“若，则且”的否定是“若，则或”，所以②不正确；③命题“若，则或”的否命题是“若，则且”，所以③不正确；④“是假命题，是真命题”，则命题，一真一假，所以④正确；故正确命题的个数为2，故选B.【点睛】该题考查的是有关判断正确命题的个数的问题，涉及到的知识点有命题的否定，否命题，复合命题真值表，属于简单题目.4.函数的图像大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】观察函数解析式，通过函数的定义域，特殊点以及当时，函数值的变化趋势，从而将不满足条件的选项排除，从而得到正确的结果.【详解】因为函数的定义域为R，故排除B，因为，所以排除C，当时，因为指数函数比对数函数增长速度要快，所以当时，有，所以排除D，故选A.【点睛】该题是一道判断函数图象的题目，总体方法是对函数解析式进行分析，注意从函数的定义域、图象所过的特殊点以及对应区间上函数图象的变化趋势，来选出正确的结果，注意对不正确的选项进行排除.5.已知图①②③中的多边形均为正多边形，，分别是所在边的中点，双曲线均以图中，为焦点.设图①②③中双曲线的离心率分别为，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分别根据正三角形、正方形、正六边形的性质，将用表示，然后利用双曲线的定义，求得，的等量关系，分别求出图示①②③中的双曲线的离心率，然后再判断的大小关系.【详解】图①中，；图③中，设正六边形的一个在双曲线右支上的顶点为，则，则；图②中，，，故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．6.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A. 2018B. -1010C. 1009D. -1009【答案】C【解析】【分析】根据程序框图，它的作用是求的值，根据结合律进行求解，可得结果. 【详解】该程序框图的作用是求的值，而，故选C.【点睛】该题主要考查程序框图，用结合律进行求和，属于简单题目.7.已知某几何体的三视图如图所示，图中小方格的边长为1，则该几何体的表面积为（）A. 65B.C.D. 60【答案】D【解析】【分析】由已知的三视图还原几何体为三棱柱截去三棱锥得到的，根据图中数据，计算表面积.【详解】由三视图可知，该几何体为如下图所示的多面体,它是由直三棱柱截去三棱锥所剩的几何体，其中，所以其表面积为，故选D.【点睛】该题考查的是有关几何体的表面积的问题，涉及到的知识点有根据三视图还原几何体，椎体的表面积，属于简单题目.8.五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着.那么没有相邻的两个人站起来的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】五个人的编号为由题意，所有事件共有种，没有相邻的两个人站起来的基本事件有，再加上没有人站起来的可能有种，共种情况，所以没有相邻的两个人站起来的概率为故答案选9.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在中，，由正弦定理得，，由余弦定理得，，，，，故选C.10.已知抛物线的焦点为，，是抛物线上的两个动点，若，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出的最大值.【详解】因为，，所以，在中，由余弦定理得：，又，所以，所以，所以的最大值为，故选B.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，基本不等式，在解题的过程中，对题的条件进行正确转化是解题的关键，属于中档题目.11.已知当时，，则以下判断正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】记，为偶函数且在上单调递减，由，得到即∴，即故选:C12.若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点.设函数（，为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足，且当时，.若存在，且为函数的一个不动点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵f（﹣x）+f（x）=x2∴令F（x）=f（x）﹣，∴f（x）﹣=﹣f（﹣x）+x2∴F（x）=﹣F（﹣x），即F（x）为奇函数，∵F′（x）=f′（x）﹣x，且当x0时，f′（x）＜x，∴F′（x）＜0对x＜0恒成立，∵F（x）为奇函数，∴F（x）在R上单调递减，∵f（x）+≥f（1﹣x）+x，∴f（x）+﹣≥f（1﹣x）+x﹣，即F（x）≥F（1﹣x），∴x≤1﹣x，x0≤，∵为函数的一个不动点∴g（x0）=x0，即h（x）= =0在（﹣∞，]有解．∵h′（x）=e x-，∴h（x）在R上单调递减．∴h （x）min=h（）=﹣a即可，∴a≥．故选：B点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题：本题共4小题.13.抛物线的准线方程为________．【答案】【解析】由抛物线的标准方程为x2=y，得抛物线是焦点在y轴正半轴的抛物线，2P=1，∴其准线方程是y=，。
河北省衡水中学2019届高三下学期大联考卷Ⅱ理科数学试卷及答案
18.(12 分 )
如图,四边形 ABCD 为 菱 形,PD ⊥ 平 面 ABCD ,M ,N 分 别 是
PC,PA 的中点,AB=2,PD =a,∠DAB=60°.
(1)求证:MN ⊥平面 PBD .
(2)若 直 线 BM
与 平 面 PAD 所 成 角 的 余 弦 值 为
13,求 4
a
的值. 19.(12 分 )
(1)试 估 计 该 高 中 参 加 2018 年 高 考 的 1000 名 考 生 的 平 均 分 数 与 全 市 平 均 分 数 的 高 低 情 况 ; (2)请 估 计 全 市 分 数 不 低 于 550 分 的 考 生 人 数 ;
(3)若
该高
中
不低
于 650
分的
考生
中
女生
所占
比
例为
2 5
,现
C.-4
D.-5
5.设函数f(x)=ex -e-x +3,则 曲 线y=f(x)在 x=0 处 的 切 线 与 坐 标 轴 围 成 的 三 角 形 的 面
积为
A.9
3 B.2
9 C.2
9 D.4
理科数学试题 第1页(共4页)
6.已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 M 是 抛 物 线C 上 一 点,直 线 MF 与 抛 物 线 的 准线l 交于点 N ,且FN→=-2FM→,若|MF|=6,则p=
计
划
从
不
低
于
650
分
的
考
生
中
随
机挑选3人为高二年级的学生作学习经验报告,试求女生被选到的人数 X 的分布列及数
学期望.
附 :425×0.0018+475×0.0034+525×0.008+575×0.0064+625×0.0002+675×0.0002=
河北省衡水中学2019届高三下学期全国统一联合考试(3月)数学(理)试题
全国高三统一联合考试理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}3,4,5A =，{}1,3,6B =，则集合{}2,7,8是( ) A.A B UB.A B IC.()U C A B ID.()U C A B U2.已知复数z 的实部不为0，且1z =，设1z z ω=+，则ω在复平面上对应的点在( )A.实轴上B.虚轴上C.第三象限D.第四象限3.将()2nx -的展开式按x 的升幂排列，若倒数第三项的系数是40-，则n 的值是( ) A.4B.5C.6D.74.如图所示是三棱柱与球的组合体的三视图，则三棱柱的体积与球的体积之比是( )33B.6πC.9π435.设1F ，2F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，以1F 为圆心、12F F 为半径的圆与双曲线左支的其中一个交点为A ，若12120AF F =∠°，则该双曲线的离心率是( ) 233131+6.若函数()()()2sin 20f x a x θθπ=+<<，a 是不为零的常数)在R 上的值域为[]2,2-，且在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调减函数，则a 和θ的值是( )A.1a =，3πθ=B.1a =-，3πθ=C .1a =，6πθ=D.1a =-，6πθ=7.已知函数()32f x x ax bx c =+++(a ，b ，c 均为常数)的图象关于点()1,0-对称，则b c -的值是( ) A.4-B.4C.2-D.28.已知“x a x b ≥⇒>”，且“x a x c <⇒≤”，则“x c ≤”是“x b ≤”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.“三个臭皮匠，楔个诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大，假设李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =；同时，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1.现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究项目M ，设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，若21P P ≥，则n 的最小值是( ) A.3B.4C.5D.610.已知向量()cos ,sin AB αα=u u u r ，()cos ,sin BC ββ=u u u r ，()cos ,sin CA γγ=u u u r，其中02αβγπ<<<<，则AB BC ⋅u u u r u u u r的值是( )A.12B.12-C.32-D.3 11.设函数()f x 定义如下表： x1 2 3 4 5 ()f x14253执行如图所示的程序框图，则输出的x 的值是( )A.4B.5C.2D.312.已知异面直线a ，b 所成的角为90°，直线AB 与a ，b 均垂直，且垂足分别为A ，B ，若动点P 在直线a 上运动，动点Q 在直线b 上运动，4PA QB +=，则线段PQ 的中点M 的轨迹所围成的平面区域的面积是( ) A.2B.4C.8D.12二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.抛物线24y x =-的焦点到它的准线的距离是____________.14.若实数x ，y 满足100x y x y +≥-⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则2z x y =+取得最大值时对应的最优解是____________.15.已知在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，5cos A =，10cos B =，2c =，则a =____________.16.已知函数()xxf x e =，关于x 的方程()()220f x f x c -+=⎡⎤⎣⎦有以下四个结论： ①当0c =时，方程有3个实根；②当221c c e -=时，方程有3个实根；③当2211e c e -<<时，方程有2个实根；④当221e c e -<时，方程有4个实根. 以上结论中正确的有____________(填序号).三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知正项等比数列{}n a 满足()*14n n n a a n N +=∈. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设2211log log n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC AB AA ===，过1AA 的平面分别交BC ，11B C 于点D ，1D .(1)求证：四边形11ADD A 为平行四边形；(2)若1AA ⊥平面ABC ，D 为BC 中点，E 为1DD 中点，求二面角1A C E C --的余弦值. 19.最近，在“我是演说家”第四季这档节目中，英国华威大学留学生游斯彬的“数学之美”的演讲视频在微信朋友圈不断被转发，点赞的人数更是不断增加，对一周(7天)内演讲视频被转发的天数x 与点赞的人数y 进行了统计，数据见下表：根据所给数据(),x y ，画出了散点图以后，发现演讲视频被转发的天数x 与点赞的人数y 的关系可以近似地表示为x y a b =⋅(,a b 均为正常数). (题中所有数据的最后计算结果都精确到0.01) (1) 建立y 关于x 的回归方程；(2) 试预测，至少经过多少天，点赞的人数超过12000？附：①对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线$y x aβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为µβ=µy x β-. ②参考数据：20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆E 上一点A 在x 轴上的射影恰好为1F ，且直线2AF 的斜率为(1)求椭圆E 的离心率；(2)当2a =时，过点()0,2Q -的射线与椭圆E 交于不同的两点M ，N ，若点P 在射线QM 上，且满足2QM QN QP ⋅=u u u u r u u u r u u u r ，求点P 的横坐标0x 的取值范围.21.已知函数()ln f x x =.(1)设()()()()'F x f k x k f k =-+(其中0k >)，求证：()()f x F x ≤.(2)若曲线()y f x =与抛物线()22y ax a x =+-有两个公共点，求实数a 的取值范围.22.已知圆C 的极坐标方程为2sin 104πρθ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，直角坐标系xOy 的坐标原点O 与极点重合，x 轴的正半轴与极轴重合. (1)求圆C 的标准方程和它的一个参数方程； (2)设(),P x y 是圆C 上的任意一点，求xy 的最大值. 23.已知函数()1f x x x =+-. (1)解不等式()3f x ≥；(2)若()()2f x f y +≤，求x y +的取值范围.。
河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级下学期一调考试数学理科及参考答案
2019-2020学年度高三年级下学期一调考试数学（理科）试卷命题人：审核人：第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知全集U R ，集合22Ay y xx R ，，集合lg 1Bx yx ，则阴影部分所示集合为（）A ．12，B ．12，C ．(12]， D ．[12)，2. 复数3a izai(其中a R ，为虚数单位)，若复数z 的共轭复数的虚部为12，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若2πa ，ab a ，aaca，则,,a b c 的大小关系为A ．c b a B．b c a C．b a cD ．a b c4．函数x exf xcos )112(图象的大致形状是A ．B ．C ．D ．5．吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（）A ．15B ．815C ．35D．3206．已知△ABC 外接圆的圆心为O ，若AB=3，AC=5，则AO BC u u u r u u u r的值是（）A ．2B ．4C ．8D ．167．给出下列五个命题：①若为真命题，则为真命题；②命题“，有”的否定为“，有”；③“平面向量与的夹角为钝角”的充分不必要条件是“”；④在锐角三角形中，必有；⑤为等差数列，若，则其中正确命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．38．已知定义在(0,)上的函数()f x ，恒为正数的()f x 符合()()2()f x f x f x ，则(1)(2)f f 的取值范围为（）A ．(,2)e e B ．211(,)2e eC ．(3,e e )D ．211(,)e e9．已知点(0,2)A ，抛物线C ：24yx 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则:FM MN（）A ．2:5B ．1:2C ．1:5D ．1:310.定义12n np p p L为n 个正数1p 、2p 、…、n p 的“均倒数”，若已知正整数列n a 的前n 项的“均倒数”为121n ，又14n na b ，则12231011111b b b b b b （）A ．1011B ．112C ．111D ．111211．对于任意的实数[1,e]x，总存在三个不同的实数[1,5]y，使得21ln 0yy xe ax x 成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．24251(,]eeeB ．4253[,)e eC ．425(0,]eD ．24253[,)eee12．如图，在正方体1111ABCD A B C D ﹣中，1A H 平面11AB D ，垂足为H ，给出下面结论：①直线1A H 与该正方体各棱所成角相等；②直线1A H 与该正方体各面所成角相等；③过直线1A H 的平面截该正方体所得截面为平行四边形；④垂直于直线1A H 的平面截该正方体，所得截面可能为五边形，其中正确结论的序号为（）A ．①③B ．②④C ．①②④D ．①②③第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.有一个底面圆的半径为1，高为2的圆柱，点分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点的距离都大于1的概率为___．14．在数列{a n }中，若函数f （x ）＝sin 2x +22cos 2x 的最大值是a 1，且a n ＝（a n+1﹣a n ﹣2）n ﹣2n 2，则a n ＝_____．15．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为实一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是2222221[()]42ac bSa c ，共中a 、b 、c 是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边。
精品解析：【全国百强校】河北省衡水中学2019届高三下学期一调考试理科数学试题(解析版)
河北省衡水中学2019届高三下学期一调考试数学（理科）一、选择题：本题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求得A，解指数不等式求得B，再根据两个集合的交集的定义求得.【详解】因为集合，，所以，故选D.【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.2.已知，是虚数单位，若，则（）A. B. 2 C. D. 5【答案】C【解析】【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于的方程组，解得的值，进而可得答案.【详解】因为，结合，所以有，解得，所以，故选C.【点睛】该题考查的是有关复数的模的问题，涉及到的知识点有复数相等的条件，属于简单题目.3.给出下列四个结论：①命题“，”的否定是“，”；②命题“若，则且”的否定是“若，则”；③命题“若，则或”的否命题是“若，则或”；④若“是假命题，是真命题”，则命题，一真一假.其中正确结论的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】①写出命题“，”的否定，可判断①的正误；②写出命题“若，则且”的否定，可判断②的正误；写出命题“若，则或”的否命题，可判断③的正误；④结合复合命题的真值表，可判断④的正误，从而求得结果.【详解】①命题“，”的否定是：“，”，所以①正确；②命题“若，则且”的否定是“若，则或”，所以②不正确；③命题“若，则或”的否命题是“若，则且”，所以③不正确；④“是假命题，是真命题”，则命题，一真一假，所以④正确；故正确命题的个数为2，故选B.【点睛】该题考查的是有关判断正确命题的个数的问题，涉及到的知识点有命题的否定，否命题，复合命题真值表，属于简单题目.4.函数的图像大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】观察函数解析式，通过函数的定义域，特殊点以及当时，函数值的变化趋势，将不满足条件的选项排除，从而得到正确的结果.【详解】因为函数的定义域为R，故排除B，因为，所以排除C，当时，因为指数函数比对数函数增长速度要快，所以当时，有，所以排除D，故选A.【点睛】该题是一道判断函数图象的题目，总体方法是对函数解析式进行分析，注意从函数的定义域、图象所过的特殊点以及对应区间上函数图象的变化趋势，来选出正确的结果，注意对不正确的选项进行排除.5.已知图①②③中的多边形均为正多边形，，分别是所在边的中点，双曲线均以图中，为焦点.设图①②③中双曲线的离心率分别为，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分别根据正三角形、正方形、正六边形的性质，将用表示，然后利用双曲线的定义，求得，的等量关系，分别求出图示①②③中的双曲线的离心率，然后再判断的大小关系.【详解】图①中，；图③中，设正六边形的一个在双曲线右支上的顶点为，则，则；图②中，，，故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．6.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A. 2018B. -1010C. 1009D. -1009【答案】C【解析】【分析】根据程序框图，它的作用是求的值，根据结合律进行求解，可得结果. 【详解】该程序框图的作用是求的值，而，故选C.【点睛】该题主要考查程序框图，用结合律进行求和，属于简单题目.7.已知某几何体的三视图如图所示，图中小方格的边长为1，则该几何体的表面积为（）A. 65B.C.D. 60【答案】D【解析】【分析】由已知的三视图还原几何体为三棱柱截去三棱锥得到的，根据图中数据，计算表面积.【详解】由三视图可知，该几何体为如下图所示的多面体,它是由直三棱柱截去三棱锥所剩的几何体，其中，所以其表面积为，故选D.【点睛】该题考查的是有关几何体的表面积的问题，涉及到的知识点有根据三视图还原几何体，锥体的表面积，属于简单题目.8.五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着.那么没有相邻的两个人站起来的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】五个人的编号为由题意，所有事件共有种，没有相邻的两个人站起来的基本事件有，再加上没有人站起来的可能有种，共种情况，所以没有相邻的两个人站起来的概率为故答案选9.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在中，，由正弦定理得，，由余弦定理得，，，，，故选C.10.已知抛物线的焦点为，，是抛物线上的两个动点，若，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出的最大值.【详解】因为，，所以，在中，由余弦定理得：，又，所以，所以，所以的最大值为，故选B.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，基本不等式，在解题的过程中，对题的条件进行正确转化是解题的关键，属于中档题目.11.已知当时，，则以下判断正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】记，为偶函数且在上单调递减，由，得到即∴，即故选:C12.若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点.设函数（，为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足，且当时，.若存在，且为函数的一个不动点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵f（﹣x）+f（x）=x2∴令F（x）=f（x）﹣，∴f（x）﹣=﹣f（﹣x）+x2∴F（x）=﹣F（﹣x），即F（x）为奇函数，∵F′（x）=f′（x）﹣x，且当x0时，f′（x）＜x，∴F′（x）＜0对x＜0恒成立，∵F（x）为奇函数，∴F（x）在R上单调递减，∵f（x）+≥f（1﹣x）+x，∴f（x）+﹣≥f（1﹣x）+x﹣，即F（x）≥F（1﹣x），∴x≤1﹣x，x0≤，∵为函数的一个不动点∴g（x0）=x0，即h（x）= =0在（﹣∞，]有解．∵h′（x）=e x-，∴h（x）在R上单调递减．∴h（x）min=h（）=﹣a即可，∴a≥．故选：B点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题：本题共4小题.13.抛物线的准线方程为________．【答案】【解析】由抛物线的标准方程为x2=y，得抛物线是焦点在y轴正半轴的抛物线，2P=1，∴其准线方程是y=，。
河北省衡水中学2019届高三下学期大联考卷Ⅱ数学(理)试题答案
D;当x>0
时
,f(x)=2x
x3 +2-x
>
sin2θ,所 以
P S = 正 方 形EFGH S正 方 形ABCD
=1-sin2θ.故 选
C.
0,排
除
B;由
f
(4)=
24
43 +2-4
26 > 2×24
=2,f (8)=
83 28 +2-8
29 <28
=2,得 f(4)>f(8),排 除
C.故
选
A.
12 6+12=
2 3
,所
以
p=4.故
选
C.
7.D
【解
析】
由题意得A→O=
1 3
(A→B+A→C)=
1 3
(-2B→A +
连接 MC,显然 NC⊥MC.令 正 方 体 的 棱 长 为 2,PM = x,x∈[0,2],则 MC= x2+1,又CN=1,所以tanθ=
x2+1,所以tanθ∈[1,5].故选 B.
当n≥2
时
,an
2019 年 全 国 高 三 统 一 联 合 考 试
·理科数学·
参考答案及解析
2019 年 全 国 高 三 统 一 联 合 考 试 · 理 科 数 学
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河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级下学期一调考试数学理科及参考答案
2019-2020学年度高三年级下学期一调考试数学（理科）试卷命题人： 审核人：第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、 选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知全集U R =，集合{}22A y y x x R ==+∈，，集合(){}lg 1B x y x ==-，则阴影部分所示集合为（ ） A ．[]12， B ．()12，C ．(12]，D ．[12)，2. 复数3a i z a i +=+-(其中a R ∈，为虚数单位)，若复数z 的共轭复数的虚部为12-，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若2πa -=，a b a =，aa c a =，则,,abc 的大小关系为 A ．c b a >> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．a b c >>4．函数()x e x f xcos )112(-+=图象的大致形状是 A ． B ．C ． D ．5．吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ）A ．15B ．815C ．35D ．3206．已知△ABC 外接圆的圆心为O ，若AB=3，AC=5，则AO BC u u u r u u u r⋅的值是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．167．给出下列五个命题： ①若为真命题，则为真命题； ②命题“，有”的否定为“，有”；③“平面向量与的夹角为钝角”的充分不必要条件是“”；④在锐角三角形中，必有； ⑤为等差数列，若，则其中正确命题的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x ，恒为正数的()f x 符合()()2()f x f x f x '<<，则(1)(2)f f 的取值范围为（ ） A ．(,2)e eB ．211(,)2e eC ．(3,e e )D ．211(,)e e9．已知点(0,2)A ，抛物线C ：24y x =的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则:FM MN =（ ） A ．2:5B ．1:2C ．1:5D ．1:310.定义12nnp p p +++L 为n 个正数1p 、2p 、…、n p 的“均倒数”，若已知正整数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则12231011111b b b b b b ++⋅⋅⋅+=（ ） A ．1011B ．112C ．111D ．111211．对于任意的实数[1,e]x ∈，总存在三个不同的实数[1,5]y ∈-，使得21ln 0yy xe ax x ---=成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．24251(,]e e e- B ．4253[,)e eC ．425(0,]e D ．24253[,)e e e- 12．如图，在正方体1111ABCD A B C D ﹣中，1A H ⊥平面11AB D ，垂足为H ，给出下面结论： ①直线1A H 与该正方体各棱所成角相等； ②直线1A H 与该正方体各面所成角相等；③过直线1A H 的平面截该正方体所得截面为平行四边形； ④垂直于直线1A H 的平面截该正方体，所得截面可能为五边形， 其中正确结论的序号为（ ）A ．①③B ．②④C ．①②④D ．①②③第Ⅱ卷（共90分）二 、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分） 13.有一个底面圆的半径为1，高为2的圆柱，点分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点的距离都大于1的概率为___．14．在数列{a n }中，若函数f （x ）＝sin 2x 2cos 2x 的最大值是a 1，且a n ＝（a n +1﹣a n ﹣2）n ﹣2n 2，则a n ＝_____．15．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为实一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是2222221[()]42a cb S ac +-=-，共中a 、b 、c 是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边。
衡水中学2019届高三数学下学期一调考试试题 理(含解析)
河北省衡水中学2019届高三下学期一调考试数学(理科）一、选择题：本题共12小题。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1。
已知集合，，则（）A。
B. C. D。
【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求得A，解指数不等式求得B，再根据两个集合的交集的定义求得。
【详解】因为集合，，所以，故选D.【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.2.已知，是虚数单位，若，则( ）A。
B. 2 C. D。
5【答案】C【解析】【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于的方程组，解得的值，进而可得答案。
【详解】因为,结合，所以有，解得,所以，故选C.【点睛】该题考查的是有关复数的模的问题，涉及到的知识点有复数相等的条件，属于简单题目。
3。
给出下列四个结论：①命题“,”的否定是“,”;②命题“若,则且"的否定是“若,则”;③命题“若,则或”的否命题是“若，则或”；④若“是假命题，是真命题”，则命题，一真一假.其中正确结论的个数为( ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】①写出命题“，”的否定，可判断①的正误；②写出命题“若，则且”的否定，可判断②的正误;写出命题“若，则或”的否命题，可判断③的正误；④结合复合命题的真值表，可判断④的正误,从而求得结果。
【详解】①命题“，”的否定是:“，"，所以①正确；②命题“若,则且"的否定是“若，则或"，所以②不正确;③命题“若，则或”的否命题是“若，则且”，所以③不正确;④“是假命题，是真命题”，则命题，一真一假，所以④正确；故正确命题的个数为2，故选B.【点睛】该题考查的是有关判断正确命题的个数的问题，涉及到的知识点有命题的否定，否命题,复合命题真值表，属于简单题目. 4.函数的图像大致是( ）A。
B。
C. D。
【答案】A【解析】【分析】观察函数解析式，通过函数的定义域，特殊点以及当时，函数值的变化趋势，将不满足条件的选项排除，从而得到正确的结果.【详解】因为函数的定义域为R，故排除B，因为，所以排除C,当时，因为指数函数比对数函数增长速度要快，所以当时,有,所以排除D，故选A.【点睛】该题是一道判断函数图象的题目，总体方法是对函数解析式进行分析，注意从函数的定义域、图象所过的特殊点以及对应区间上函数图象的变化趋势，来选出正确的结果，注意对不正确的选项进行排除。
河北省衡水中学2019届高三下学期大联考(理数)
河北省衡水中学2019届高三下学期大联考数 学（理科）本试卷共4页，23题(含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，甩2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸莉答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合}1|{≥=x x M ，})2(|{212x x y x N -==，则集合=N M I A ．φB ．),2(+∞C ．),2[+∞D ．]2,1[2．已知i 为虚数单位，且复数z 满足：i 32)i 1(-=-z ，则z 的虚部为A ．21-B ．2i -C ．21D ．253．已知抛物线)0(22>=p py x C ：的焦点F 在直线4=+y x l ：上，则点F 到C 的准线的距离为A ．2B ．4C ．8D ．164．下图是我国2018年1月至12月石油进口量统计图（其中同比是今年第n 个月与去年第n 个月之比），则下列说法错误的是A ．2018年下半年我国原油进口总量高于2018年上半年B ．2018年12个月中我国原油月最高进口量比月最低进口量高 1152万吨C ．2018年我国原油进口总量高于2017年我国原油进口总量D ．2018年1月－5月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量有增有减5．已知)2,1(A ，)3,2(B ，),1(m C -，若||||BC BA BC BA -=+，则=ACA ．6B ．52C ．16D ．206．已知函数2)1(2)(3-+'-=a f x x x f ，若)(x f 为奇函数，则曲线)(x f y =在点))(,(a f a 处的切线方程为 A ．02=-y x B ．0=y C ．01610=--y x D ．02=+-y x 7．函数)(x f 的图象可看作是将函数x y cos 2=的图象向右平移6π个单位长度后，荐把图象上所有点的横坐标变为原来的21倍（纵坐标不变）而得到的，则函数)(x f 的解析式为 A ．)62cos(2)(π+=x x fB ．)32cos(2)(π+=x x fC ．)621cos(2)(π-=x x fD ．)32sin(2)(π+=x x f 8．设函数2tan )(x x f =，若)2o 1(3g f a =，)2lo (5g f b =，)2(2.0f c =，则A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b c <<αD ．c a b <<9．十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开．会议期间，工作人员将其中的5个代表团人员（含A 、B 两市代表团）安排至a ，b ，c 三家宾馆住宿，规定同一个代表团的人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A 、B 两市代表团必须安排在a 宾馆入住，则不同的安排方法种数为 A ．6 B ．12 C ．16 D ．18 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为A ．π3B ．23πC ．π6D ．π1211．已知坐标平面xOy 中，点F 1，F 2分别为双曲线)0(1222>=-a y ax C ：的左、右焦点，点M 在双曲线C 的左支上，MF 2与双曲线C 的一条渐近线交于点D ，且D 为MF 2的中点，点I 为△OMF 2的外心，若O 、I 、D 三点共线，则双曲线C 的离心率为 A ．2B ．3C ．5D ．512．当x 为实数时，trunc(x )表示不超过x 的最大整数，如trunc(3，1)=3．已知函数)(trunc )(x x f = （其中R x ∈），函数)(x g 满足)6()(x g x g -=，)1()1(x g x g -=+，且]3,0[∈x 时|2|)(2x x x g -=，则方程)()(x g x f =的实根的个数为A ．4B ．5C ．6D ．7第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
河北省衡水中学2019年全国高三统一联合考试(理科)数学试题及答案
2019年全国高三统一联合考试理科数学一、选择题1．若集合A ＝{x|x ＜3}，{}2B =，则A∩B ＝A ．{x|x ＜3}B ．{x|0≤x ＜3}C ．{x|0＜x ＜3}D ．{x|x≤4} 2．已知i 为虚数单位，若a 为实数，且a ≠0, 则1i ia a -=+A ．a ＋iB ．a －iC ．iD ．－i3．如图，网格纸上每个小正方形的边长为10cm ，粗实线画出的是某蛋糕店制作的一款生日蛋糕的三视图，则该蛋糕的体积为A ．3π×103cm 3B ．7π×103cm 3C ．9π×103cm 3D ．10π×103cm 3 4．已知ππ()22α∈-，，且cos2α＝2sin2α－1，则tanα＝A ．12- B ．12C ．－2D ．25．在25()y x x-的展开式中，xy 3的系数为 A ．20 B ．10 C ．－10 D ．－20 6．函数21()x xe f x xe +=的图象大致为A ．B ．C ．D ．7．摆线最早出现于公元1501年出版的C·包威尔的一本书中，摆线是这样定义的：一个圆沿一条直线缓慢地滚动，则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线．圆滚动一周，动圆上定点描画出摆线的第一拱；再向前滚动一周，动圆上定点描画出第二拱；继续滚动，可得第三拱、第四拱、……设圆的半径为r ，圆滚动的圈数为c ，摆线的长度为l ，执行如图所示程序框图，若输入的r ＝2，c ＝2，则输出摆线的长度为A ．12πB ．16πC ．32D ．968．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，b ＝2，c C ＝60°，则sinA 的值为A B ．7C D ．149．某车站在某一时刻有9位旅客出站，假设每位旅客选择共享单车继续出行的概率都为12，且各位旅客之间互不影响．设在这一时刻9位旅客中恰好有k人骑行共享单车的概率为P（X－k），则A．P（X＝4）＝P（X＝5）B．P（X＝4）＞P（X＝5）C．P（X＝5）＜P（X＝6）D．P（X＝5）＝P（X＝6）10．在边长为8的等边△ABC中，D，E分别为AC，AB的中点．现将△ADE 沿DE折起到△A′DE的位置，使得A B'=A′B与底面BCDE所成的正弦值为ABCD．11．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A为抛物线C上异于顶点O的一点，点B的坐标为（a，b）（其中a，b满足b2－4a＜0）．当|AB|＋|AF|最小时，△ABF恰好正三角形，则a＝A．1 B．43C．53D．212．已知函数ln(2)2()02ln(2)2x xf x xx x->⎧⎪==⎨⎪-<⎩，，，若f（x）≤|x－a|对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是A．[1，3] B．[2，4] C．[1，2] D．[－1，1]二、填空题13．已知向量(21)a =-，，()32b =，，若()a b a λ+⊥，则实数λ＝_________． 14．函数f （x ）＝x 2－ln|x|的图象在点（－1，f （－1））处的切线方程为__________．15．将函数2π()2cos π13f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移1个单位长度，最后得到的图象对应的函数设为g （x ），则g （x ）在区间[－1，1]上的所有零点的和为_______________． 16．已知双曲线C ：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 与C 交于A ，B （其中点A 在x 轴上方）两点，且满足22AF F B λ=．若C 的离心率为32，直线l 的倾斜角为120°，则实数λ的值是____________．三、解答题 （一）必考题17．已知等比数列{a n }是递减数列，a 1a 4＝3，a 2＋a 3＝4． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝2n －2a n ＋1＋n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．18．如图，在多面体ABCDFE中，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，四边形ABEF是直角＝梯形，∠FAB＝90°，AF∥BE，AF＝AB＝2BE＝2．（1）证明：CE∥平面ADF．（2）若平面ABCD⊥平面ABEF，H为DF的中点，求平面ACH与平面ABEF所成锐二面角的余弦值．19．为了解高三学生的“理科综合”成绩是否与性别有关，某校课外学习兴趣小组在本地区高三年级理科班中随机抽取男、女学生各100名，然后对200名学生在一次联合模拟考试中的“理科综合”成绩进行统计．规定：分数不小于240分为“优秀”，小于240分为“非优秀”．（1）根据题意，填写下面的2×2列联表，并根据；列联表判断是否有90％以上的把握认为“理科综合”成绩是否优秀与性别有关．（2）用分层抽样的方法从成绩优秀的学生中随机抽取12名学生，然后再从这12名学生中抽取3名参加某高校举办的自主招生考生，设抽到的3名学生中女生的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：22221x ya b+=（a＞b＞0）的离心率为3，直线l和椭圆C交于A，B两点，当直线l过椭圆C的焦点，且与x轴垂直时，23AB=．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l过点（1，0）且倾斜角为钝角，P为弦AB的中点，当∠OPB 最大时，求直线l的方程．21．已知函数f（x）＝x2e ax－1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当1e3a>时，求证：f（x）＞lnx．22．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），点P的坐标为（－2，0）．（1）当12cos 13α=时，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|PA|·|PB|的值；（2）若点Q 在曲线C 上运动，点M 在线段PQ 上运动，且2PM MQ =，求动点M 的轨迹方程．23．[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f （x ）＝|x －1|＋|2x|．（1）在给出的平面直角坐标系中作出函数f （x ）的图象，并解不等式f （x ）≥2；（2）若不等式f （x ）＋|x －1|≥5－k 对任意的x ∈R 恒成立，求证：65k k+≥．2019年全国高三统一联合考试·理科数学一、选择题1．B 2．D 3．C 4．B 5．C 6．A 7．C 8．D 9．A 10．B 11．C 12．A 二、填空题13．5414．x ＋y ＝0 15．2316．17三、解答题17．解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，则2312113,4,a q a q a q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 解得11,33a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩或19,1.3a q =⎧⎪⎨=⎪⎩又因为数列{a n }是递减数列，所以11,33a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩不合题意，故19,1.3a q =⎧⎪⎨=⎪⎩故数列{a n }的通项公式为a n ＝33－n ．（2）由（1）得222223()3n n n n b n n ---=⨯+=+， 故232[1()](1)99223()22223213n n n n n n n T -++=+=-⨯+-．18．（1）证明：（方法一）因为四边形ABCD 是菱形，所以AD ∥BC ．又因为AF ∥BE ，AF∩AD ＝A ，BC∩BE ＝B ，所以平面ADF ∥平面BCE ． 因为CE ⊂平面BCE ，所以CE ∥平面ADF ． （方法二）取AF 的中点M ，连接DM ，EM ，如图．由题意知AM ＝BE 且AM ∥BE ，所以四边形ABEM 为平行四边形，即ME ＝AB 且ME ∥AB ．又因为四边形ABCD 是菱形，所以四边形DCEM 为平行四边形，即有DM ∥CE ．又DM ⊂平面ADF ，CE ⊄平面ADF ，所以CE ∥平面ADF ．（2）解：取CD 的中点N ，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，可得AN ⊥CD ． 因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD∩平面ABEF ＝AB ，AF ⊂平面ABEF ，AF ⊥AB ，所以AF ⊥平面ABCD ． 以A为坐标原点，以AN uuu r ，AB uu ur ，AF uu u r 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A —xyz 如图所示．故A（0，0，0），C1，0），D－1，0），F（0，0，2），1,1)2H-，1,1)2AH=-uuu r，,0)AC=u u u r．设平面ACH的一个法向量为(,,)n x y z=r，则有0,0,n AHn AC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uuu rr uuu r即10,220.x y zy-+=⎪⎨+=令x＝1可得(1,n=r．易知平面ABEF的一个法向量为(1,0,0)m=u r．设平面ACH与平面ABEF所成的锐二面角为θ，则||cos||||m nm nθ⋅==u r ru r r，．19．解：（1）填写列联表如下：因为22200(35756525) 2.381 2.70610010060140K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯， 所以没有90％以上的把握认为“理科综合”成绩是否优秀与性别有关．（2）利用分层抽样的方法，抽到男生的人数为1235760⨯=，抽到女生的人数为1225560⨯= 若从12人中任意抽取3人，则女生被抽到的人数X ＝0，1，2，3，3075312C C 7(0)C 44P X ===，2175312C C 21(1)C 44P X ===，1275312C C 7(2)C 22P X ===，0375312C C 1(3)C 22P X ===． 故抽到女生的人数X 的分布列为()0123444422224E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．解：（1）由题意知c a =，2221(1)9c b a -=，又a 2＝b 2＋c 2，解得b 2＝1，a 2＝9，故椭圆C 的方程为2219x y +=． （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线l ：y ＝k （x －1）（k ＜0）． 联立方程221,9(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得（9k 2＋1）x 2－18k 2x ＋9k 2－9＝0，故21221891k x x k +=+． 设P （x 0，y 0），则212029291x x k x k +==+，200229(1)(1)9191k k y k x k k k =-=-=-++，所以直线OP 的斜率0019OP y k x k==-． 设直线l ，OP 的倾斜角分别为α，β，则∠OPB ＝α－β，tan tan 91tan tan()()1tan tan 89OPB k kαβαβαβ-∠=-==++． 因为k ＜0，所以112()()993k k k k -+=-+=-≥，即1293k k +-≤，所以3t an 4O P B ∠-≤．当且仅当13k =-时，等号成立． 所以当∠OPB 最大时，直线l 的斜率13k =-，此时直线l 的方程为x ＋3y －1＝0．21．（1）解：函数f （x ）的定义域为R ，f′（x ）＝2xe ax ＋x 2·ae ax ＝x （ax ＋2）e ax ．当a ＝0时，f （x ）＝x 2－1，则f （x ）在区间（0，＋∞）内为增函数，在区间（－∞，0）内为减函数；当a ＞0时，2()()e ax f x ax x a '=+，令f′（x ）＞0得2x a <-或x ＞0，令f′（x ）＜0得20x a -<<，所以f （x ）在区间（－∞，2a -）内为增函数，在区间（2a -，0）内为减函数，在区间（0，＋∞）内为增函数；当a ＜0时，2()()e ax f x a x x a '=+，令f′（x ）＞0得20x a <<-，令f′（x ）＜0得2x a >-或x ＜0，所以f （x ）在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，2a -）内为增函数，在区间（2a -，＋∞）内为减函数．（2）证明：由f （x ）＞lnx ，得x 2e ax ＞lnx ＋1，即3e ln 1ax x x x+>． 设3ln 1()x g x x +=则3261(ln 1)3()x x x x g x x⋅-+⋅'=23443ln 23(ln ln e )x x x x -+-=-=-当230e x -<<时，g′（x ）＞0；当23e x ->时，g′（x ）＜0．所以g （x ）在区间（0，23e -）内是增函数，在区间（23e -，＋∞）内是减函数， 所以23e x -=是g （x ）的极大值点，也是g （x ）的最大值点， 即22323max 233ln e 11()(e )e 3(e )g x g ---+===． 设e ()(0)ax h x x x =>，则21()e ()ax a x a h x x -'=． 当10x a <<时，h′（x ）＜0；当1x a>时，h′（x ）＞0． 所以h （x ）在区间（0，1a ）内是减函数，在区间（1a，＋∞）内是增函数， 所以1x a=是h （x ）的极小值点，也是h （x ）的最小值点， 即min 1()()e h x h a a== 综上，21()e e ()3g x a h x <≤≤，故f （x ）＞lnx 成立． 22．解：（1）曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝1． 当12cos 13α=时，直线l 的参数方程为122,13513x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 的普通方程，得2483013t t -+=． 由于248276()12013169∆=--=>，故可设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1·t 2＝3，所以|PA|·|PB|＝3．（2）设Q （cosθ，sinθ），M （x ，y ），则由2PM MQ =uuu r uuu r ，得（x ＋2，y ）＝2（cosθ－x ，sinθ－y ），即322cos ,32sin .x y θθ+=⎧⎨=⎩消去θ，得2224()39x y ++=，此即为点M 的轨迹方程．23．（1）解：13,0,()|1||2|1,01,31,1,x x f x x x x x x x -<⎧⎪=-+=+⎨⎪->⎩≤≤其图像如下图所示．令f （x ）＝2，得13x =-或x ＝1， 由f （x ）的图像可知，不等式f （x ）≥2的解集为{x|13x -≤，或x≥1}． （2）证明：因为f （x ）＋|x －1|＝|2x －2|＋|2x|≥|2x －2－2x|＝2． 所以k≥3． 因为2656(2)(3)5k k k k k k k k-+--+-==， 又由k≥3，得k －2＞0，k －3≥0，所以(2)(3)0k k k--≥， 即65k k +≥．。
河北省衡水中学2019届高三下学期一调考试理科数学试卷附答案解析
河北省衡水中学2019届高三下学期一调考试数学（理科）一、选择题：本题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求得A，解指数不等式求得B，再根据两个集合的交集的定义求得.【详解】因为集合，，所以，故选D.【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.2.已知，是虚数单位，若，则（）A. B. 2 C. D. 5【答案】C【解析】【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于的方程组，解得的值，进而可得答案.【详解】因为，结合，所以有，解得，所以，故选C.【点睛】该题考查的是有关复数的模的问题，涉及到的知识点有复数相等的条件，属于简单题目.3.给出下列四个结论：①命题“，”的否定是“，”；②命题“若，则且”的否定是“若，则”；③命题“若，则或”的否命题是“若，则或”；④若“是假命题，是真命题”，则命题，一真一假.其中正确结论的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】①写出命题“，”的否定，可判断①的正误；②写出命题“若，则且”的否定，可判断②的正误；写出命题“若，则或”的否命题，可判断③的正误；④结合复合命题的真值表，可判断④的正误，从而求得结果.【详解】①命题“，”的否定是：“，”，所以①正确；②命题“若，则且”的否定是“若，则或”，所以②不正确；③命题“若，则或”的否命题是“若，则且”，所以③不正确；④“是假命题，是真命题”，则命题，一真一假，所以④正确；故正确命题的个数为2，故选B.【点睛】该题考查的是有关判断正确命题的个数的问题，涉及到的知识点有命题的否定，否命题，复合命题真值表，属于简单题目.4.函数的图像大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】观察函数解析式，通过函数的定义域，特殊点以及当时，函数值的变化趋势，将不满足条件的选项排除，从而得到正确的结果.【详解】因为函数的定义域为R，故排除B，因为，所以排除C，当时，因为指数函数比对数函数增长速度要快，所以当时，有，所以排除D，故选A.【点睛】该题是一道判断函数图象的题目，总体方法是对函数解析式进行分析，注意从函数的定义域、图象所过的特殊点以及对应区间上函数图象的变化趋势，来选出正确的结果，注意对不正确的选项进行排除.5.已知图①②③中的多边形均为正多边形，，分别是所在边的中点，双曲线均以图中，为焦点.设图①②③中双曲线的离心率分别为，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分别根据正三角形、正方形、正六边形的性质，将用表示，然后利用双曲线的定义，求得，的等量关系，分别求出图示①②③中的双曲线的离心率，然后再判断的大小关系.【详解】图①中，；图③中，设正六边形的一个在双曲线右支上的顶点为，则，则；图②中，，，故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．6.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A. 2018B. -1010C. 1009D. -1009【答案】C【解析】【分析】根据程序框图，它的作用是求的值，根据结合律进行求解，可得结果. 【详解】该程序框图的作用是求的值，而，故选C.【点睛】该题主要考查程序框图，用结合律进行求和，属于简单题目.7.已知某几何体的三视图如图所示，图中小方格的边长为1，则该几何体的表面积为（）A. 65B.C.D. 60【答案】D【解析】【分析】由已知的三视图还原几何体为三棱柱截去三棱锥得到的，根据图中数据，计算表面积.【详解】由三视图可知，该几何体为如下图所示的多面体,它是由直三棱柱截去三棱锥所剩的几何体，其中，所以其表面积为，故选D.【点睛】该题考查的是有关几何体的表面积的问题，涉及到的知识点有根据三视图还原几何体，锥体的表面积，属于简单题目.8.五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着.那么没有相邻的两个人站起来的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】五个人的编号为由题意，所有事件共有种，没有相邻的两个人站起来的基本事件有，再加上没有人站起来的可能有种，共种情况，所以没有相邻的两个人站起来的概率为故答案选9.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在中，，由正弦定理得，，由余弦定理得，，，，，故选C.10.已知抛物线的焦点为，，是抛物线上的两个动点，若，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出的最大值.【详解】因为，，所以，在中，由余弦定理得：，又，所以，所以，所以的最大值为，故选B.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，基本不等式，在解题的过程中，对题的条件进行正确转化是解题的关键，属于中档题目.11.已知当时，，则以下判断正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】记，为偶函数且在上单调递减，由，得到即∴，即故选:C12.若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点.设函数（，为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足，且当时，.若存在，且为函数的一个不动点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵f（﹣x）+f（x）=x2∴令F（x）=f（x）﹣，∴f（x）﹣=﹣f（﹣x）+x2∴F（x）=﹣F（﹣x），即F（x）为奇函数，∵F′（x）=f′（x）﹣x，且当x0时，f′（x）＜x，∴F′（x）＜0对x＜0恒成立，∵F（x）为奇函数，∴F（x）在R上单调递减，∵f（x）+≥f（1﹣x）+x，∴f（x）+﹣≥f（1﹣x）+x﹣，即F（x）≥F（1﹣x），∴x≤1﹣x，x0≤，∵为函数的一个不动点∴g（x0）=x0，即h（x）= =0在（﹣∞，]有解．∵h′（x）=e x-，∴h（x）在R上单调递减．∴h （x）min=h（）=﹣a即可，∴a≥．故选：B点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题：本题共4小题.13.抛物线的准线方程为________．【答案】【解析】由抛物线的标准方程为x2=y，得抛物线是焦点在y轴正半轴的抛物线，2P=1，∴其准线方程是y=，。
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2019年河北衡水中学2月全国高三统一联合考试
理科数学
（考试时间：120分钟
试卷满分：150分）注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．
回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．若集合A ＝{x ｜x ＜3}，B ＝{x x ≤2}，则A ∩B ＝A ．{x ｜x ＜3}B ．{x ｜0≤x ＜3}
C ．{x ｜0＜x ＜3}
D ．{x ｜x ≤4}2．已知i 为虚数单位，若a 为实数，且a ≠0，则ai a i
1－＋＝A ．a ＋i B ．a －i
C ．i
D ．－i
3．如图，网格纸上每个小正方形的边长为10cm ，粗实线
画出的是某蛋糕店制作的一款生日蛋糕的三视图，则
该蛋糕的体积为
A ．3π×103cm 3
B ．7π×103cm 3
C ．9π×103cm 3
D ．10π×103cm 3
4．已知α∈（－
2π，2π），且cos2α＝2sin2α－1，则tan α＝A ．－1
2B ．12
C ．－2
D ．2
5．在（x 2－
y x ）5的展开式中，xy 3的系数为A ．20B ．10C ．－10D ．－20
6．函数f （x ）＝21x x e xe
＋的图像大致为
7．摆线最早出现于公元1501年出版的C ·鲍威尔的一本书中摆线是这样定义的：一个圆沿
一条直线缓慢地滚动，则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线．圆滚动一周，动圆上定点描画出摆线的第一拱；再向前滚动一周，动圆上定点描画出第
二拱；继续滚动，可得第三拱、第四拱、……设圆的半径为r ，
圆滚动的圈数为c ，摆线的长度为l ，执行如图所示程序框图，若
输入的r ＝2，c ＝2，则输出摆线的长度为
A ．12π
B ．16π
C ．32
D ．96
8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，b ＝2，c 7，
C ＝60°，则sinA 的值为
A ．7
7
B ．217
C ．37
14D ．32114
9．某车站在某一时刻有9位旅客出站，假设每位旅客选择共
享单车继续出行的概率都为
12，且各位旅客之间互不影响．设在这一时刻9位旅客中恰好有k 人骑行共享单车的
概率为P （X ＝k ），则
A ．P （X ＝4）＝P （X ＝5）
B ．P （X ＝4）＞P （X ＝5）
C ．P （X ＝5）＜P （X ＝6）
D ．P （X ＝5）＝P （X ＝6）
10．在边长为8的等边△ABC 中，D ，E 分别为AC ，AB 的中点．现将△ADE 沿DE 折起到
A DE '∆的位置，使得A
B '＝
BCDE 所成角的正弦值为
A
．10B
．10C
．10D
．7
11．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，A 为抛物线C 上异于顶点O 的一点，点B 的坐标为
（a ，b ）（其中a ，b 满足b 2－4a ＜0）．当｜AB ｜＋｜AF ｜最小时，△ABF 恰为正三角形，则a ＝
A ．1
B ．4
3C ．5
3D ．2
12．已知函数f （x ）＝ln(2)202ln(2)2x x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩
－，＞，，＝，
－，＜，若f （x ）≤｜x －a ｜对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是
A ．[1，3]
B ．[2，4]
C ．[1，2]
D ．[－1，1]
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量a ＝（－2，1），b ＝（3，2），若（a ＋λb ）⊥a ，则实数λ＝___________．
14．函数f （x ）＝x 2－ln ｜x ｜的图像在点（－1，f （－1））处的切线方程为___________．
15．将函数f （x ）＝2cos 2πx ＋3
π－1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得函数的图像向右平移1个单位长度，最后得到的图像对应的函数设为g （x ），则g （x ）在区间[－1，1]上的所有零点的和为____________．
16．已知双曲线C ：22221x y a b
（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 与C 交于A ，B （其中点A 在x 轴上方）两点，且满足2AF uuu r ＝λ2F B uuu r ．若C 的离心率为32
，直线l 的倾斜角为120°，则实数λ的值是___________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题。
每个试题考生都必须作答．第22。
23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
已知等比数列{n a }是递减数列，a 1a 4＝3，a 2＋a 3＝4．
（1）求数列{n a }的通项公式；
（2）设n b ＝22n －1n a ＋＋n ，求数列{n b }的前n 项和n T ．
18．（12分）
如图，在多面体ABCDFE 中，四边形ABCD 是菱
形，∠ABC ＝60°，四边形ABEF 是直角梯形，
∠FAB ＝90°，AF ∥BE ，AF ＝AB ＝2BE ＝2．
（1）证明：CE ∥平面ADF ．
（2）若平面ABCD ⊥平面ABEF ，H 为DF 的中点，
求平面ACH 与平面ABEF 所成锐二面角的余
弦值．
19．（12分）
为了解高三学生的“理科综合”成绩是否与性别有关，某校课外学习兴趣小组在本地区高三年级理科班中随机抽取男、女学生各100名，然后对这200名学生在一次联合模拟考试中的“理科综合”成绩进行统计．规定：分数不小于240分为“优秀”，小于240分为“非优秀”．
（1）根据题意，填写下面的2×2列联表，并根据列联表判断是否有90％以上的把握认为“理科综合”成绩是否优秀与性别有关．
（2）用分层抽样的方法从成绩优秀的学生中随机抽取12名学生，然后再从这12名学生
中抽取3名参加某高校举办的自主招生考试，设抽到的3名学生中女生的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．
20．（12分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22
22x y a b
＋＝1（a ＞b ＞0）的离心率为223
，直线l 和椭圆C 交于A ，B 两点，当直线l 过椭圆C 的焦点，且与x 轴垂直时，｜AB ｜＝23
．（1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线l 过点（1，0）且倾斜角为钝角，P 为弦AB 的中点，当∠OPB 最大时，求
直线l 的方程．
21．（12分）
已知函数f （x ）＝2ax x e －1．
（1）讨论函数f （x ）的单调性；
（2）当a ＞13
e 时，求证：
f （x ）＞lnx ．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分。
作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑．
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα⎧⎨⎩
＝－＋，＝，（t 为参数），曲线C 的参数方程为cos sin x y θθ⎧⎨
⎩＝，＝（θ为参数），点P 的坐标为（－2，0）．（1）当cos α＝1213时，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求｜PA ｜·｜PB ｜的值；（2）若点Q 在曲线C 上运动，点M 在线段PQ 上运动，且PM uuu r
＝2MQ uuu r ，求动点M 的
轨迹方程．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数f （x ）＝｜x －1｜＋｜2x ｜．
（1）在给出的平面直角坐标系中作出函数f（x）的图像，并解不等式f（x）≥2；
（2）若不等式f（x）＋｜x－1｜≤k－1对任意的x∈R恒成立，求证：k＋6
k≥5．。