解三角形练习题及答案

第一章解三角形

一、选择题

1．己知三角形三边之比为5∶ 7∶8，则最大角与最小角的和为() ．A． 90° B ． 120°C．135° D ． 150°2．在△ ABC 中，下列等式正确的是() ．

A． a∶ b＝∠ A∶∠ B C． a∶ b＝sin B∶ sin A B．a∶ b＝ sin A∶ sin B D． asin A＝ bsin B

3．若三角形的三个内角之比为1∶ 2∶ 3，则它们所对的边长之比为() ．

A． 1∶ 2∶3B．1∶ 3 ∶ 2

C． 1∶ 4∶9D． 1∶ 2 ∶ 3

4．在△ ABC 中， a＝ 5 ， b＝15 ，∠ A＝ 30°，则 c 等于 () ．

A． 25 B ． 5C．2 5 或 5 D ． 10 或 5 5．已知△ ABC 中，∠ A＝ 60°， a＝ 6， b ＝ 4，那么满足条件的△ABC 的形状大小() ．

A．有一种情形B．有两种情形

C．不可求出D．有三种以上情形

6．在△ ABC 中，若 a2＋ b2－ c2＜ 0，则△ ABC 是() ．

A．锐角三角形 B ．直角三角形C．钝角三角形 D ．形状不能确定7．在△ ABC 中，若 b＝ 3 ， c＝ 3，∠ B＝ 30°，则 a＝() ．

A． 3 B ． 2 3C． 3 或 23 D ． 2

8．在△ ABC 中， a，b， c 分别为∠ A，∠ B，∠ C 的对边．如果a，b， c 成等差数列，

∠ B＝ 30°，△ ABC 的面积为3

，那么 b＝ () ．2

13

B ． 1＋ 323

D ． 2＋ 3

A．

2C．

2

9．某人朝正东方向走了x km 后，向左转150°，然后朝此方向走了 3 km ，结果他离出发点恰好 3 km，那么 x 的值是 () ．

A ． 3

B ． 2 3

C ． 3 或 2 3

D ． 3

10．有一电视塔，在其东南方 A 处看塔顶时仰角为

45°，在其西南方 B 处看塔顶时仰角

为 60°，若 AB ＝ 120 米，则电视塔的高度为 (

) ．

A ． 60 3 米

B ． 60 米

C ．60 3 米或 60 米

D ． 30 米

二、填空题

11．在△ ABC 中，∠ A ＝ 45°，∠ B ＝ 60°， a ＝10， b ＝ ．

12．在△ ABC 中，∠ A ＝105°，∠ B ＝ 45°， c ＝ 2 ，则 b ＝ ．

13．在△ ABC 中，∠ A ＝60°， a ＝ 3，则 a b c ＝

．

sin B

sin A sin C

14．在△ ABC 中，若 a 2＋ b 2＜ c 2

，且 sin C ＝

3

，则∠ C ＝

．

2

15．平行四边形 ABCD 中，AB ＝ 4 6 ，AC ＝ 4 3 ，∠ BAC ＝ 45°，那么 AD ＝ ．

16．在△ ABC 中，若 sin A ∶sin B ∶ sin C ＝ 2∶3∶ 4，则最大角的余弦值＝ ．

三、解答题

17． 已知在△ ABC 中，∠ A ＝ 45°， a ＝ 2， c ＝ 6 ，解此三角形．

18．在△ ABC 中，已知b＝ 3 ， c＝1，∠ B＝ 60°，求 a 和∠ A，∠ C．

19．根据所给条件，判断△ABC 的形状．

( 1) acos A＝ bcos B；

( 2)a＝b＝c．

cos A cos B cos C

20．△ ABC 中，己知∠ A＞∠ B＞∠ C，且∠ A＝ 2∠ C， b＝ 4，a＋ c＝ 8，求 a， c 的长．

第一章

解三角形

参考答案

一、选择题

1． B

解析：设三边分别为

5k ，7k ， 8k( k ＞0) ，中间角为

，

由 cos ＝ 25k 2

＋64k 2

－49k

2

＝ 1

，得 ＝ 60°，

2 5k 8k

2

∴最大角和最小角之和为 180°－60°＝ 120°．

2． B 3． B 4． C 5． C 6． C 7． C 8． B

a ＋ c ＝2b

a ＋ c ＝2b

1

ac sin 30 ＝

3

解析：依题可得：

ac ＝6

2 2

b 2＝( a ＋c)2 －2a

c － 3ac

2

2

2

b ＝ a ＋

c －2ac cos30

代入后消去 a ，c ，得 b 2＝ 4＋ 2 3 ，∴ b ＝ 3 ＋ 1，故选 B ．

9． C 10．A

二、填空题

11． 5 6 ． 12． 2．

13． 2 3 ．

解析：设

a ＝

b ＝

c ＝ k ，则

a ＋

b ＋

c ＝ k ＝ a ＝ 3 ＝ sin A

sin B

sin A ＋sin B ＋sin C sin A sin 60

sin C

2 3 ．

14．

2

．

3

15． 4 3 ．

16．－ 1

．

4

三、解答题

17．解析：解三角形就是利用正弦定理与余弦定理求出三角形所有的边长与角的大小．

解法 1：由正弦定理得

sin C ＝

6 sin 45°＝ 6 · 2 ＝ 3 ．

2

2 2 2 ∵ csin A ＝ 6 ×

2 ＝

3 ， a ＝ 2， c ＝ 6

， 3 ＜ 2＜ 6 ，

2

∴本题有二解，即∠ C ＝ 60°或∠ C ＝ 120°，

∠ B ＝ 180°－60°－ 45°＝75°或∠ B ＝ 180°－ 120°－45°＝ 15°．

故 b ＝

a

3 ＋ 1 或 b ＝ 3 －1，

sin B ，所以 b ＝

sin A

∴ b ＝ 3 +1 ，∠ C ＝ 60°，∠ B ＝ 75°或 b ＝ 3 － 1，∠ C ＝ 120°，∠ B ＝15°．

解法 2：由余弦定理得

b 2＋ ( 6 ) 2－ 2 6 bcos 45°＝ 4，

∴ b 2－ 2 3 b ＋ 2＝0，解得 b ＝

3 ±1．

又 ( 6 ) 2＝ b 2＋ 22－ 2× 2bcos C ，得 cos C ＝± 1 ，∠ C ＝60°或∠ C ＝ 120°，

2

所以∠ B ＝ 75°或∠ B ＝ 15°．

∴ b ＝ 3 ＋ 1，∠ C ＝60°，∠ B ＝ 75°或 b ＝ 3 － 1，∠ C ＝ 120°，∠ B ＝15°．

18．解析：已知两边及其中一边的对角，可利用正弦定理求解．

解：∵

b ＝

c ，

sin B sin C

∴ sin C ＝

c sin B

＝

1

sin 60 ＝ 1

．

b

3 2

∵ b ＞c ，∠ B ＝60°，∴∠ C ＜∠ B ，∠ C ＝ 30°，∴∠ A ＝ 90°．

由勾股定理 a ＝ b 2＋c 2 ＝ 2，

即 a ＝2，∠ A ＝ 90°，∠ C ＝30°．