排列组合概率(教师版)

排列组合，二项式定理

排列组合

高考：要求不是很高，排列，组合，二项式，概率，期望，方差。 知识点：

1. 组合数性质

C C m n m n n -=，11C C C m m m n n n -++=，0C 2n

r n

n r ==∑，11C C r r n n r n --=，1

121C C C C C r r r r r r r r n n +++++++

+=．

2. 二项式展开的通项公式

1C r n r r

r n T a

b -+=（0,1,2,,r n =）．

3. 几何概型

【例1】 6个人站成一排：

⑴其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？ ⑵其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？ ⑶其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？ ⑷其中甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法？

【例2】有6本不同的书

⑴甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？ ⑵分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？

⑶分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？ ⑷分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少不同的分配方法？

⑸分给甲1本、乙1本、丙4本，有多少种不同的分配方法？

⑹分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？ ⑺摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？

【解析】 ⑴在6本书中，先取2本给甲，再从剩下的4本书中取2本给乙，最后2本给

丙，

共有222642C C C 90⋅⋅=（种）．这是均匀编号分组问题

⑵6本书平均分成3堆，用⑴中方法重复了33

Α倍，故共有2

264

3

3

C C 15⋅=Α（种）．这是

均匀分组问题．

⑶从6本书中，先取1本做1堆，再在剩下的5本中取2本做一堆，最后3本做一

堆，共有123

653C C C 60⋅⋅=（种）

．这是非均匀分组问题 ⑷在（3）的分堆中，甲、乙、丙3人任取一堆，故共有12336533C C C 360

⋅⋅⋅=Α（种）． 这是非均匀编号分组问题．

⑸甲先取1本，乙在剩下的取1本，余下4本给丙，故共有11

65C C 30=（种）

．这 是部分均匀编号分组问题．

⑹平均分堆要除以堆数的全排列数，不平均分堆则不除，故共有11

65

22

C C 15⋅=Α（种）．

这是部分均匀分组问题．

⑺本题即为6本书放在6个位置上，共有66720=Α（种）

．

【例3】已将7个小球任意放入4个不同的盒子中，每个盒子都不空，

⑴若7个小球完全相同，共有多少种不同的放法？ ⑵若7个小球互不相同，共有多少种不同的放法？

【解析】 ⑴法一：∵

7111411231222=+++=+++=+++， ∴分三类，共有分法121

444C A C 20++=；

法二（隔板法）：将7个小球排成一排，插入3块隔板， 故共有分法36C 20=种；

法三（加号法）：将7写成7个1相加，共有6个加号，从中任意选定两个加号，则这7个1被分成三组，每组的和都大于0，对应一种放球的方法，故共有分法

36C 20=种；

⑵∵

7111411231222=+++=+++=+++，

当小球分成71114=+++时，有44

7

4C A 种排法； 当小球分成71123=+++时，有234

7

54C C A 种排法； 当小球分成71222=+++时，有2221

7

534C C C C 种排法； ∴共有分法442342221

7

47547534C A C C A C C C C 8400++=种． 也可通过平均分组考虑此问：

共有分法41142314222473247524

7534323

323

C C C A C C C A C C C A 8400A A A ++=种．

【例4】把一同排6张座位编号为123456，，，，，的电影票全部分给4个人，每人至

少分一张，至多分两张，且这两张票具有连续的编号，那么有多少种不同的分法( )

A ．168

B ．96

C ．72

D ．144 【答案】D

【例5】如图所示A 、B 、C 、D 、E 为5个区域，现备有5种颜色为5个区域涂色，涂

色要求：每相邻两个区域不同色，每个区域只涂一色，共有多少种不同的涂色方法？

【解析】 分析：显然A 处于中央，与其他区域都相接，因此它的地位比较特殊，应优先

考虑．本题可分解为三类涂法：用5颜色涂；用4种颜色涂；用3种颜色涂．显然用2种颜色涂不可能． 解析：本题有三类涂法．

第一类：用5种颜色涂，显然有55120=A 种涂法．

第二类：用4种颜色涂，显然有2类涂法：B 与D 涂同一色，其余三区各涂一色；C 与E 涂同一色，其余三区各涂一色，故涂法种数是

4135432240⋅⋅⋅=C C C （45C 是指先选出4种颜色）

． 第三类：用3种颜色涂，那么B 与D 、C 与E 、A 三部分区域各涂一色，故有

335360⋅=C A 种涂法（35C 是指先选出3种颜色）

． 综上，涂法总数是：12024060420++=种．

【例6】集合,为的子集,若集合中元素满足以下条件:①任意数字都不相等;②任意两个数之和不为9 (1)中两位数有多少？三位数有多少？ (2)中是否有五位数？六位数？

(3)若将集合的元素按从小到大的顺序排列,第个数为多少？

【解】将0,1,2,…,9这10个数字按照和为9进行配对,考虑(0,9),(1,8),(2,7),(3,6), (4,5),中元素的每个数位只能从上面五对数中每对至多取一个数构成.

(1)两位数有个; 三位数有个;

(2)存在五位数,只需从上述五个数对中每对取一个数即可构成符合条件的五位数;不存在六位数,由抽屉原理易知,若存在,则至少要从一个数对中取出两个数,则该两个数字之和为9,与中任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于矛盾,因此不存在六位数;

(3)四位数共有个,因此第1081个元素是四位数,且是第577个四位数,我们考虑千位,千位为1,2,3的四位数有个,因此第1081

个元素是4012.

【例7】在66⨯的棋盘中停放着3个红色車和3个黑色車，每一行、每一列都只有一个車，共有多少种停放方法？

E

D

C B

A {|10,}A x x x N *=≥∈

B A B B B B 1081B 2221

5242272C A C ⨯⨯-⨯=333222534222432C A C A ⨯⨯-⨯⨯=B 444333

5443221728C A C A ⨯⨯-⨯⨯=3334332576C A ⨯⨯⨯=