高中数学：第1章《集合与函数概念》知识点归纳

第一章《集合与函数概念》

主要知识点归纳

一、集合

对于以下几个问题，你弄清楚了吗？

1、集合中的元素有什么特征？（确定性、互异性、无序性）

2、符号“∈”与“⊆”有什么区别？分别怎么用？

4、集合的表示方法主要有哪几类？你能用描述法正确表示集合了吗？

5、集合之间的关系主要有几种？他们分别怎么表示？各个关系怎么理解？

6、下面几个集合中的重要性质，你知道了吗？

（1）.,,B A B A A B A B A A ⋃⊆⋂⊆⋂⋃⊆.

（2）B B A B A =⋃⇔⊆;A B A B A =⋂⇔⊆.

7、空集特殊性你知道了吗？（空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.）

8、如何用图像法（韦恩图、数轴法）正确表示集合之间的包含关系？

9、一个有限集有多少个子集？有多少个真子集？

10、对于集合,,A B A B C A 的含义，你能正确理解吗？

(交集：{}|,A B x x A x B ⋂=∈∈且；并集：{}|,A B x x A x B ⋃=∈∈或； 补集：若{},|,U B U C B x x U x B ⊆=∈∉则且；)

11、对有关含参数问题，你能正确运用分类讨论解题了吗？你能正确进行分类吗？书写格式清楚吗？

（二）主要方法：

1．解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么；

2．弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简；

3．抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验；

4．正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化．

5．求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用，正确运用数形结合解题。6．含参数的问题，要有讨论的意识，集合子集分类讨论时要防止在空集上出问题；

7．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键．

8．在集合运算过程中应力求做到“三化”：

（1）意义化：即首先分清集合的类型，是表示数集、点集，还是某类图形？是表示函数的定义域、值域，还是表示方程或不等式的解集？

（2）具体化：具体求出相关集合中函数的定义域、值域或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式．

（3）直观化：借助数轴、直角坐标平面、韦恩图等将有关集合直观地表示出来，从而借助数形结合思想解决问题．

二、函数的概念

对于以下几个问题，你弄清楚了吗？

1、如何从集合与对应的角度来定义函数的概念？函数的三要素分别是什么？如何判断两个函数相同？

2、求函数的定义域是指什么？

3、求函数的值域是指什么？主要有哪些常用的求法？

（观察法、分离常数法、配方法（二次型函数）、反表示法、换元法、图像法、单调性法）

4、什么叫做映射？映射与函数有什么关系？你会判断一个对应具有映射关系？

5、你会求两个集合之间可以建立多少个映射吗？（如课本第10页 习题A 组第10题）

6、函数表示法具体有哪些？

7、什么叫分段函数？它的表达式有什么特征？如何求它的定义域和值域？如何求它的单调区间？如何判断它的奇偶性？（图像法）

8、哪些集合可以用区间表示？（一些连续自然数的集合）

9、增（减）函数的图像有什么特征？他们的定义如何？如何利用单调性的可逆性解题？

10、什么叫函数的单调区间？常用方法有哪些？

11、函数单调性的等价含义

设[]b a x x ,,21∈，

()()()x f x x x f x f ⇔>--02121在是增函数； ()()()x f x x x f x f ⇔<--02

121在是减函数。

12、()Af x 与()f x 以及()(0)f x ≥

13、什么是函数的最大（小）值？如何利用单调性求函数的最值？

14、不等式恒成立问题常用的处理办法是什么？它可以转化为怎样的等价问题？

把不等式恒成立问题转化为最值问题解决，即

(),y f x x D M =∈已知函数，是实数

（1）如果()f x M ≥恒成立，那么m i n ()f x M ≥ （2）如果()f x M ≤恒成立，那么m a x ()f x M ≤

15、什么叫做函数的奇偶性？它们的图像有什么特征？它们的定义域有什么特殊要求？如何利用奇偶性的可逆性解题？定义法判断函数奇偶性的步骤，你知道了吗？

16．若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．

17、函数的奇偶性与单调性有什么联系？

18、函数()f x 关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔-=+

（二）主要方法：

1．对映射有两个关键点：一是有象，二是象惟一，缺一不可；

2．对函数三要素及其之间的关系给以深刻理解，这是处理函数问题的关键；

3．理解函数和映射的关系，函数式和方程式的关系．

4．定义域是函数的基础，考虑函数问题必须先求函数的定义域。

5．图像法可以有效处理许多函数问题，必须掌握函数图像的作图方法：描点法和图像变换法。

6．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域。

函数的单调区间是定义域的子集，且必须用区间来表示；

7．牢记单调函数的图象特征，有助于求函数的单调区，判断函数的奇偶性。

8．判断函数的单调性和奇偶性的方法有：（1）用定义；（2）图象法；（3）性质法；

增+增=增 增—减=增 减+减=减

奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇．

9．判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，其次要考虑()x f 与()x f -的关系。

10．判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，

()1()

f x f x =±-． 11．判断函数的的方法有：（1）用定义；（2）图象法；（3）性质法；