江苏省赣榆县清华园双语学校2014届高三培优班考前测验 数学试题2含解析(

赣榆县清华园学校高三培优班考前测验试题2
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．命题“若一个数是负数，则它的平方数正数”的逆命题是 ．
2．设全集U ＝{1，3，5，7}，集合M ＝{1，a －5}，M ⊆U ，U M ð＝{5，7}，则实数a ＝ ．
3．某工厂生产了某种产品3000件，它们来自甲、乙、丙三条生产线．为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样．若从甲、乙、丙三条生产线抽取的个数分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 构成等差数列，则乙生产线生产了 件产品．
4．若()f x ＝sin()4a x π
+
＋3sin()4
x π
-是偶函数，则实数
a ＝ ．
5．从分别写有0，1，2，3，4五张卡片中取出
一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片．两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率是 ．
6．如右图，函数y ＝()f x 的图象在点P 处的切线方程，y ＝－x ＋5，在(3)f －/(3)f ＝ ．
7．定义某种新运算⊗：S ＝a ⊗b
的运算原理如图所示，则5⊗4－3⊗6＝ ．
8．如图，四边形ABCD 中，若AC
BD ＝1，
则AB DC AC BD ⋅
(+)(+)＝
．
9．有三个球和一个正方体，第一个球与正方体的各个面相切，第二个球与正方体的各条棱相切，第三个球过正方体的各个顶点，则这三个球的表面积之比为 ．
10．若A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，则4
A ＋1
B C
+的最小值
为 ．
11．双曲线22
22
x y a b
-＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是1F ，2F ，
过1F 作倾斜角30︒的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝ ．
12．在平面直角坐标系中，点集A ＝{( x ，y ) |2x ＋2y ≤1}，B ＝{( x ，y ) | x ≤4，y ≥0，3x －4y ≥0}，则点集Q ＝{( x ，y ) |x ＝1x ＋2x ，y ＝1y ＋
2y ，(1x ，1y )∈A ，(2x ，2y )∈B }所表示的区域的面积为
．
13．已知函数()f x ＝3x ＋2(1)a x -＋3x ＋b 的图象与x 轴有三个不同交点，且交点的横坐标分别可作为抛物线、双曲线、椭圆的离心率，则实数a 的取值范围是 ．
14．定义函数()f x ＝[[]]x x ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数， 如：
[1.5]＝1，[ 1.3]-＝－2．当
x ∈[0，)n (n ∈*N )时，设函数()f x 的值域为
A ，记集合A 中的元素个数为n a ，则式子
90
n a n
+的最小值为 ．
二、填空题：本大题共6小题，共计70分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
已知ABC △的面积为S ，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，32
AB AC S
= ．
⑴求cos A 的值；
A
C
D
E
F
O
第15题
⑵若,,a b c 成等差数列，求sin C 的值．
16．（本小题满分14分）
在棱长都相等的斜三棱柱ABC －DEF 中，BF ⊥AE ，BF ∩CE ＝O ，AB ＝AE ．
（1）求证AO ⊥平面FEBC ； （2）求证四边形BCFE 为正方形．
17．（本小题满分14分）
某市近郊有一块大约400m×400m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S
（1）分别用x表示y和S
（2）怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值
18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F1，F2分别是椭圆E：
的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且．
（1）求椭圆E的离心率；
（2）已知点D（1，0）为线段OF2的中点，M 为椭圆E上的动点（异于点A、B），连接MF1并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2，试问是否存在常数λ，使得k1+λk2=0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
19．已知数列{}n a 满足：12(0)a a a =+≥，1n a +=
*n ∈N ．
⑴若0a =，求数列{}n a 的通项公式； ⑵设1n n
n b a a +=-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：1n S a <．
20．（本小题满分16分）
对于函数y ＝()f x ，x ∈(0，)+∞，如果a ，b ，c 是一个三角形的三边长，那么()f a ，()f b ，()f c 也是一个三角形的三边长， 则称函数()f x 为“保三角形函数”
． 对于函数y ＝()g x ，x ∈[0，)+∞，如果a ，b ，c 是任意的非负实数，都有()g a ，()g b ，()g c 是一个三角形的三边长，则称函数()g x 为“恒
三角形函数”．
（1）判断三个函数“
1()f x ＝x ，2()f x ，3()f x ＝23x (定义域均
为x ∈(0，)+∞)”中，那些是“保三角形函数”？请说明理由；
（2）若函数()g x ＝221
1
x kx x x ++-+，x ∈[0，)+∞是“恒三角形函数”，试
求实数k 的取值范围；
（3）如果函数()h x 是定义在(0，)+∞上的周期函数，且值域也为(0，)+∞，试证明：()h x 既不是“恒三角形函数”，也不是“保三角形函数”．
江苏省赣榆县清华园学校高三培优班考前测验试题2
参考答案
1．若一个数的平方是正数，则它是负数．解析：因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为：“若一个数的平方是正数，则它是负数”．
2．8．解析：由a －5＝3，得a ＝8．
3．1000．解析：因为a ，b ，c 构成等差数列，根据分层抽样的原理，所以甲、乙、丙三条生产线生产的产品数也成等差数列，其和为3000件，所以乙生产线生产了1000件产品．
4．－3．解析：由()f x 是偶函数可知，()f x -＝()f x 对任意的x ∈R 恒成立，即sin()4a x π
-+＋3sin()4x π--＝sin()4a x π+＋3sin()4
x π
-，化简得
2a
＝－6，a ＝－3．
5．15
．解析：从0，1，2，3，4五张卡片中取出两张卡片的结果有5×5＝25种，数字之和恰好等于4的结果有(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)，所以数字和恰好等于4的概率是P ＝15
．
6．3．解析：函数y ＝()f x 的解析式未知，但可以由切线y ＝－x ＋5的方程求出(3)f ＝2，而/(3)f ＝k 切＝－1，故(3)f －/(3)f ＝3．
7．1．解析：由题意知5⊗4＝5×(4＋1)＝25，3⊗6＝6×(3＋1)＝24，所以5⊗4－3⊗6＝1．
8．2．解析：AB DC AC BD ⋅ (+)(+)＝AC CB DB BC AC BD ⋅
(+++)(+) ＝AC DB AC BD ⋅ (+)(+)＝AC BD AC BD ⋅
(-)(+)＝22AC BD - ＝2．
9．1︰2︰3．解析：不妨设正方体的棱长为1，则这三个球的半
径依次为12，从而它们的表面积之比为1︰2︰3．
10．9
π
．解析：因为A ＋B ＋C ＝π，且(A ＋B ＋C )·(4
A
＋1B C +)
＝5＋4·
B C A
+＋
A B C
+≥5＋9，因此4
A ＋
1B C
+≥9
π
，
当且仅当4·
B C A
+＝A B C
+，即A ＝2(B ＋C )时等号成立．
11
．解析：如图，在
Rt △
12MF F 中，∠12
MF F ＝
30︒，12F F ＝2c ，所以1MF ＝
2cos30c ︒＝，2MF ＝
2tan 30c ⋅︒．所以2a ＝1MF －2MF
，故e ＝c
a ． 12．18＋
π．解析：如图所示，点集Q 是由三段圆弧以及连接它们的三条切线围成的区域，其面积为：OPQ S ∆＋OABP S ＋PCDQ S ＋OFEQ S ＋π＝1
2
×4
×3＋(3＋4＋5)×1＋π＝18＋π．
13．(－3，－2)．解析：由题意知，三个交点分别为(1，0)，(1x ，0)，(2x ，0)，且0＜1x ＜1＜2x ．
由(1)f ＝0可知b ＝－a －3，所以()f x ＝3x ＋2(1)a x -＋3x ＋b ＝(x －1)(2x ＋ax ＋a ＋3)，故2x ＋ax ＋a ＋3＝0的两根分别在(0，1)，(1，+∞)内．
令()g x ＝2x ＋ax ＋a ＋3，则(0)0(1)0g g >⎧⎨
<⎩，，
得－3＜a ＜－2．
14．13．解析：当x ∈[0，1)时，()f x ＝[[]]x x ＝[0]x ⋅＝0； 当x ∈[1，2)时，()f x ＝[[]]x x ＝[1]x ⋅＝[]x ＝1；
当x ∈[2，3)时，再将[2，3)等分成两段，x ∈[2，5
)2
时，()f x ＝[[]]x x ＝[2]x ⋅＝[2]x ＝4；x ∈5[2
，3)时，()f x ＝[[]]x x ＝[2]x ⋅＝[2]x ＝5．
类似地，当x ∈[3，4)时，还要将[3，4)等分成三段，又得3个函数值；将[4，5)等分成四段，得4个函数值，如此下去．当x ∈[0，
)n (n ∈*N )时，函数()f x 的值域中的元素个数为n a ＝1＋1＋2＋3＋4
＋…＋(n －1)＝1＋(1)2n n -，于是90n a n +＝2n ＋91n －12＝1182()2n n +－1
2
，所以当n ＝13或
n ＝14时，90
n a n
+的最小值为13．
15． ⑴由3
2
AB AC S =
，得31cos sin 22bc A bc A =
⨯，即4
sin cos 3
A A =．……………2分 代
入
22sin cos 1
A A =+，化简整理得，
29
cos 25
A =
．……………………………………4分
由
4
sin cos 3
A A
=，知
cos 0
A >，所以
3
cos 5
A =
．………………………………………6分
⑵由2b a c =+及正弦定理，得2sin sin sin B A C =+， 即
2sin()sin sin A C A C =++，……………………………………………………
…………8分
所以2sin cos 2cos sin sin sin A C A C A C =++．① 由
3cos 5
A =
及
4
sin cos 3
A A
=，得
4
s i n 5
A =
，……………………………………………10分
代入①，整理得4sin cos 8
C
C -=．
代入
22sin cos 1
C C =+，整理得
265sin 8sin 480C C --=， (12)
分
解得12sin 13C =或4sin 5
C =-． 因
为
(0,)
C ∈π，所以12
sin 13
C =
．…………………………………………………………14分
16．16．（1）因为BCFE 是菱形，所以，BF ⊥EC ．
又BF ⊥AE ，AE ∩EC ＝E ，所以，BF ⊥平面AEC ． 因为AO ⊂平面AEC ， 所以，
BF ⊥AO ……………………………………………………………4分 因为AE ＝AB ＝AC ，OE ＝OC ，所以，AO ⊥EC ，
由BF ∩EC ＝O ，，所以，AO ⊥平面
BCFE …………………………8分 （2）因为AO ⊥平面BCFE ，所以，AO ⊥OE ，AO ⊥OB ， ………………10分
又因为AE ＝AB ，所以OE ＝OB ，EC ＝BF 所以，四边形BCFE 为正方形 …… 14分
17．（1）由题设得 xy ＝3000，即y ＝3000
x ，其定义域是(6,400)． S ＝(x －4)a +(x －6)a ＝(2x －10)a ．
因为 2a +6＝y ，所以a ＝y 2－3＝1500
x －3，
所以(2x －10)·(1500x －3)＝3030－(1500
x +6x )，其定义域是(6,400)．
（2）S ＝3030－(1500
x +6x )≤3030－26x ·1500
x ＝3030－
2×300＝2430．
当且仅当1500
x ＝6x ，即x ＝50∈(6,400)时，上述不等式等号成
立，
此时，x ＝50，y ＝60，S max ＝2430(m 2)． 答：设计x ＝50m ，y ＝60m 时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．
18．解：（1）∵
，∴
．
∴a+c=5（a ﹣c ），化简得2a=3c ， 故椭圆E 的离心率为． （2）存在满足条件的常数λ，
．
∵点D （1，0）为线段OF 2的中点，∴c=2，从而a=3，，
左焦点F 1（﹣2，0），椭圆E 的方程为
．
设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），P （x 3，y 3），Q （x 4，y 4），则直线MD 的方程为，
代入椭圆方程，整理得，．
∵，∴．
从而
，故点
．同理，点
．
∵三点M 、F 1、N 共线，∴，从而x 1y 2﹣x 2y 1=2（y 1﹣y 2）． 从而
．
故
，从而存在满足条件的常数λ，
．
19.⑴若0a =时，12a =，1n a +=，所以212n n a a +=，且0n a >．
两边取对数，得1lg 22lg lg n n a a +=+， (2)
分
化为11
lg lg 2(lg lg 2)2
n n a a +=
++， 因为1lg lg 22lg 2a =+， 所以数列
{lg lg 2}
n a +是以
2lg 2
为首项，
12
为公比的等比数
列．……………………4分 所
以
11
l g l g 22()
l g 2
2
n n a -=+，所以
22
1
2n n a --=．………………………………………6分
⑵由1n a +=212n n a a a +=+，①
当2n ≥时，212n n a a a -=+，② ①
-
②，得111
2()()n n n n n n a a a a a a ++--=-+，…………………………………………8分 由已知
n a >，所以
1n
n a a +-与
1
n n a a --同
号．…………………………………………10分 因为
2a =，且0a >，所以22
2212
(2)(1)330a a a a a a -=-=>++++恒成立， 所
以
210
a a -<，所
以
10n n a a +-<． (12)
分
因为1n n
n b a a +=
-，所以1()n n n b a a +=--，
所以21321[()()()]n n n S a a a a a a +=----+++
11111()n n a a a a a ++=--=-<．…………………………………………………
………16分
20．解析：（1）对于1()f x ＝x ，它在(0，)+∞上是增函数，不妨设a ≤b ≤c ，则1()f a ≤1()f b ≤1()f c ，因为a ＋b ＞c ，所以1()f a ＋1()f b ＝a ＋b ＞c ＝1()f c ，故1()f x 是“保三角形函数”．
对于2()f x
它在(0，)+∞上是增函数，，不妨设
a ≤
b ≤
c ，则
2()f a ≤2()f b ≤2()f c ，因为a ＋b ＞c ，所以2()f a ＋2()f b
＝
＝2()f c ，故2()f x 是“保三角形函数”．
对于3()f x ＝23x ，取a ＝3，b ＝3，c ＝5，显然a ，b ，c 是一个三角形的三边长，但因为
3()f a ＋3()f b ＝223(33)
⨯+＜235⨯＝
3()f c ，所以
3()f a ，3()f b ，3()f c 不是三角形的三边长，
故3()f x 不是“保三角形函数”． （2）解法1：因为()g x ＝1＋2(1)1
k x
x x +-+，所以当x ＝0时，()g x ＝1；
当x ＞0时，()g x ＝1＋
1
11
k x x
++-． ①当k ＝－1时，因为()g x ＝1，适合题意． ②当k ＞－1时，因为()g x ＝1＋1
11k x x ++-≤1
＝k ＋2，所以()g x ∈(1，2]k +．从而当k
－1时，()g x ∈[1，2]k +．由1
＋1＞k ＋2，得k ＜0，所以－1＜k ＜0．
③当k ＜－1时，因为()g x ＝1＋
1
11k x x ++-≥1
＝k ＋2，所以()g x ∈[2k +，1)，从而当k ＞－1时，所以()g x ∈[2k +，1]．由
20(2)(2)1
k k k +>⎧⎨
+++>⎩，
得，k ＞32-，所以32-＜k ＜－1． 综上所述，所求k 的取值范围是(3
2
-，0)．
解法
2：因为
/
()
g x ＝
2222
(2)(1)(1)(21)
(1)x k x x x kx x x x +-+-++--+＝
22
(1)(1)(1)
(1)k x x x x ++--
-+，
①当k ＝－1时，因为()g x ＝1，适合题意．
②当k ＞－1时，可知()g x 在[0，1)上单调递增，在(1，)+∞上单调递减，而(0)g ＝1，(1)g ＝k ＋2，且当x ＞1时，()g x ＞1，所以此时()g x ∈[1，2]k +．
③当k ＜－1时，可知()g x 在[0，1)上单调递减，在(1，)+∞上单调递增，而(0)g ＝1，(1)g ＝k ＋2，且当x ＞1时，()g x ＜1，所以此时()g x ∈[2k +，1]．
（以下同解法1）
（3）①因为()h x 的值域是(0，)+∞，所以存在正实数a ，b ，c ，使得()h a ＝1，()h b ＝1，()h c ＝2，显然这样的()h a ，()h b ，()h c 不是一个三角形的三边长．
故()h x 不是“恒三角形函数”．
②因为()h x 的最小正周期为T (T ＞0)，令a ＝b ＝m ＋kT ，c ＝n ，其中k ∈*N ，且k ＞
22n m
T
-，则a ＋b ＞c ，又显然b ＋c ＞a ，c ＋a ＞b ，所
以a ，b ，c 是一个三角形的三边长．
但因为()h a ＝()h b ＝()h m ＝1，()h c ＝()h n ＝2，所以()h a ，()h b ，()h c 不是一个三角形的三边长．
故()h x 也不是“保三角形函数”．
（说明：也可以先证()h x 不是“保三角形函数”，然后根据此知()
h x
也不是“恒三角形函数”．）。