概率论与数理统计期末复习题

计算题

1、一箱产品共100件,其中次品个数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中随机抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收。若已知该箱产品已通过验收，求该箱产品中确实没有次品的概率。

解：设 i A =“箱中有i 件次品”，由题设，有()()1

03

i P A i =

=，1，2， 又设 =B “该箱产品通过验收”，由全概率公式，有

()2

()()|i i i P B P A P B A ==∑1010

99

981010100100111 2.7133C C C C ⎛⎫=++=⨯ ⎪⎝⎭

故()()()

()000||P A P B A P A B P B =1130.371 2.713

⨯==⨯

即通过验收的该箱产品确实没有次品的概率是0.37。

2、设随机变量X 与Y 独立同分布，且都服从标准正态分布)1,0(N ，

求随机变量Z =

解：

因为X 与Y 独立同分布，且都服从标准正态分布)1,0(N

所以2

2

221),(y x e y x f +-

=

π

首先求Z 的分布函数

)()()(22z Y X P z Z P z F ≤+=≤=

当0≤z 时，0)(=z F

所以当0>z 时，⎰⎰⎰⎰≤++-

≤+==2

222

22222

21),()(z y x y x z y x dxdy e dxdy y x f z F π

令θθsin ,cos r y r x ==

则上式⎰⎰

⎰-

-

==z

r z

r rdr e

rdr e d 0

2

2

20

2221π

θπ

所以密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-0

,00,)()(2

`2

z z ze z F z f z

3、设二维随机变量),(Y X 在矩形},10|),{(2x y x x y x G <<<<=上服从均匀分布，（1）求),(Y X 的联合概率密度（2）求),(Y X 关于X 、Y 的边缘概率密度（3）判断X 与Y 的独立性。

解：（1）区域G 的面积为

6

1

)(1

2

1

2=-==⎰⎰⎰⎰⎰dx x x dy dx dxdy x

x

G

（X 、Y ）的联合概率密度为

⎩⎨⎧<<<<=其它,0

,10,6)(2x

y x x x f

（2）X 的边缘概率密度为 ==

⎰∞

∞

-dy y x f x f X ),()(⎪⎩⎪⎨⎧<<⎰其它,0

1

0,62x dy x x

=⎩⎨⎧<<-其它,0

1

0),(62x x x

Y 的边缘概率密度为 ==

⎰∞

∞

-dx y x f y f Y ),()(⎪⎩⎪⎨⎧<<⎰其它,0

1

0,6y dx y y

=⎩

⎨

⎧<<-其它

,0

10),(6y y y

（3）显然)()(),(y f x f y x f Y X ≠，所以X 与Y 不独立。

4．对敌人阵地进行100次炮击。每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是4，标准差是1.5. 求100次炮击中有380至420颗炮弹命中目标的概率. 解答：设 i X 表示第i 次炮击命中目标的炮弹数，

由题设，有 4i EX =

()1.51i ==，2，，100

则100次炮击命中目标的炮弹数 100

1

i

i X X

==

∑，100

1

400i

i EX EX

==

=∑

100

21

100 1.5i i DX DX ===⨯∑

因 12100X X X ，，，相互独立，同分布，则由中心极限定理知

100

1

i i X X ==∑近似服从正态分布()400N ⨯2，100 1.5

于是 {}380420P X ≤≤≈4204003804001515--⎛⎫⎛⎫

Φ-Φ

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

202115⎛⎫

=Φ- ⎪⎝⎭

()2 1.331=Φ-0.8164=

.应用题

1、 由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数10λ=的普哇松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？ （供参考：X )(~λP ，)9513.0)15(,9166.0)14(≈≤≈≤X P X P ）

解 设该商店每月销售某种商品ξ件，月底的进货为a 件，则当（a ξ≤）时就不会脱销，因而按题意要求为

()0.95P a ξ≤≥

因为已知ξ服从10λ=的普哇松分布，上式也就是

10

100.95!k a

k e k -=≥∑

由题意，)9513.0)15(,9166.0)14(≈≤≈≤X P X P ，即

95.09513.0!1095.09166.0!

10150

10

14

010

>≈<≈∑∑=-=-k k

k k e k e k

于是，这家商店只要在月底进货某种商品15件（假定上个月没存货），就可以95%以上的把握保证这种商品在下个月内不脱销.

2、据预测，假设国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量X 服从[2000,4000] （单位：

吨）上的均匀分布。每销售一吨，可赚外汇3万元；而销售不出，每吨需库存费1万元。问应组织多少货源，才能使收益最大？

解： 设应组织货源t

吨，显然40002000

≤≤t