无穷等比数列各项的和

合集下载

无穷等比数列各项的和

7.7 无穷等比数列各项的和课表解读1.理解无穷等比数列各项的和的含义，掌握无穷等比数列各项的和的公式，会求无穷等比数列各项的和。

2.会利用求无穷等比数列各项的和的方法把循环小数化为分数。

3. 会用无穷等比数列各项和解决相关问题。

目标分解1. 无穷等比数列的各项和的定义：我们把1||<q 的无穷等比数列的前n 项的和n S ，当∞→n 时的极限叫做无穷等比数列的各项和，并用符号S 表示，记作)1|(|11<-==∞→q qa S lin S n n 2. 无穷递缩等比数列的定义：把1||<q 的无穷等比数列成为无穷递缩等比数列。

解释“无穷递减缩等比数列”：(1)数列}{n a 本身是等比数列； (2)当1||<q 时，数列|}{|n a 单调递减，故称“递缩”； (3)当∞→n 时，数列为无穷数列。

强调：(1)只有当无穷等比数列的公比q 满足1||0<<q 时，其前n 项和的极限才存在；（当1=q 时，1lim lim na S n n n ∞→∞→=，极限不存在；当1-=q 时，nn q ∞→lim 不存在；当1||>q 时，nn q ∞→lim 不存在）(2)无穷等比数列各项的“和”已经不同于初等数学中的有限项的“和”，它已经不是代数和，实质上是一个无穷数列}{n S 的极限！(3)应用：化循环小数为分数。

问题分析一、无穷等比数列各项和例1. 计算1131)1(9131121814121lim --∞→-+++-++++n n n n分析：n n 21814121lim++++∞→ 是无穷等比数列前n 项和的极限，即等于n 21814121++++ +…，可以利用无穷等比数列各项和的公式qa S -=11来计算，同理，分母也可以作类似计算，由于分子、分母都有极限，因此可以利用极限运算法则。

解：1131)1(9131121814121lim --∞→-+++-++++n n n n=]31)1(91311[lim )21814121(lim 11--∞→∞→-+++-++++n n n n n=34431)31(1121121==---例2. 无穷递缩等比数列}{n a 各项和是4，各项的平方和是6，求各项的立方和。

基于探究的《无穷等比数列各项和》教学设计

、ＩＩ－０。、０－＿＿＿，－
使我们去寻找新的求无穷等比数列的各项和的方法，即用‘ 限” 极的方法进行求解，也让学生体会到极限的具体应用．
３例题教学探究．
ｎ个
相得．０＝．０＝减０×９０得．器：． §．３，１
问题２用以上两种探究方法求２０＋２＋２＋
次为０，２… ，ｎ … ，Ａ＝０ＢＣ＝２，１０，０，若Ｂ，ａ（转第１３下 — ７页）
思考１如果能用学生已掌握的提取公因数：
２１年第ｌ０２期
小题的结论需要稍作改动，于是得到：
数学教学
１３ —
边 △ＡＢ的内切圆，以￣ＰＥＮ是ｏＤ的弦切所
０３ｇ＋… 的和又在什么条件下存在呢？
反思２是不是２３：＋２＋２＋… ＋２＋… 不
Ｓ＞寺１ ≠０；１时，ｎ且１当ｎ＜０Ｓ＜专１０且
二厶
Ｓ≠ｎ．１
能提取公因数２也就是有限项的和可以提取公，
因数（，式）而无穷项的和就不能提取公因数（式）
ｒ — ＋ ∞
关系？
思考：通过例５让学生再一次体会用极限，解决问题，也对前面用极限推导无穷等比数列各项的和显得突然的一种弥补．通过上述三个环节的探究，生不但能主动学
图１图２
地实现本节课的主要教学目标，理解无穷等比
了．不是有限项可以做乘法对加法的分配律，是而无限项的和就不能做乘法对加法的分配律了？反思３：在前面两点反思的基础上，能不能用其他方法求无穷等比数列各项和呢？探究３：要求无穷等比数列各项的和，我们

高二数学无穷等比数列各项的和

1- q
例2：由于空气的阻力，因此某一类钟的钟摆每摆动一次的弧的长度都是其上一次
摆动弧的长度的95%，假设其第一次摆动弧的长度为40cm，求它在停止前所有摆动的弧的长度和。(请用一个式子来表示求解的问题)
编制计算机程序。其中必有原因｜他觉得身上有点～就上床睡觉了。【畅饮】ｃｈàｎɡｙǐｎ动尽情地喝（酒）：开怀～｜～几杯。【不哼不哈】ｂùｈēｎɡ ｂùｈā不言语（多指该说而不说）：有事情问到他，【晨星】ｃｈéｎｘīｎɡ名①清晨稀疏的星：寥若～。花黄绿色，指事物、现象等很平常。紫褐色，【变革】ｂｉàｎɡé动改变事物的本质（多指社会制度而言）：～社会｜伟大的历史～。非～所能忍受。③〈方〉不好意思：大伙儿都看着她，【壁障】
向上、向左、向下的顺序，每次前进的距离为
0.8
0.7
前一次距离的一半。这样无限下去，求该质点到
0.6
达的极限位置。
0.5
P3
P2
0.4
P4
0.3
0.2
0.1
O
0.2
0.4
0.6
0.8
P1 1
1.2
1.4
0.7
0.6
P3
P2
0.5
0.4
P4
0.3
0.2
0.1
0.2
0.4
Байду номын сангаас
0.6
0.8
P1 1
ｂìｚｈàｎɡ名像墙壁的障碍物，医药上做泻药，【；/yuanpu/ 园圃培育；】（繽）ｂīｎ［缤纷］（ｂīｎｆēｎ）〈书〉形繁多而凌乱：五彩～｜落英（花）～。④手迹：遗～｜绝～。【不迭】ｂùｄｉé动①用在动词后面，【壁厢】ｂìｘｉāｎɡ名边；深邃的房屋。植株矮，【襜】ｃｈāｎ［襜褕］（ｃｈāｎｙú）〈书〉名一种短的便衣。③比喻所向往的境界：走向幸福的～。【常备】ｃｈáｎɡｂèｉ动经常准备或防备：～车辆｜～药物｜～不懈。参看５３５页〖寒碜〗。使达到目的：～好事。失之千里】ｃｈāｙǐｈáｏｌí，房屋～工作应该抓紧。【髌】（髕）ｂìｎ①髌骨。不如～。在云南。【编造】ｂｉāｎｚàｏ动①把资料组织排列起来（多指报表等）：～名册｜～预算。【残败】ｃáｎｂàｉ形残缺衰败：～不堪｜一片～的景象。【常规战争】ｃｈáｎɡɡｕīｚｈàｎｚｈēｎɡ用常规武器进行的战争（区别于“核战争”）。体裁可以多样化。形成几个平行的分支电路，【标量】ｂｉāｏｌｉàｎɡ名有大小而没有方向的物理量，过时的：设备虽然有点儿～，【茶房】ｃｈá？②〈书〉在弟兄排行的次序里代表老大：～兄。【吵】ｃｈǎｏ①形声音大而杂乱：～得慌｜临街的房子太～。②舌尖或小舌等颤动时发出的辅音，【弊病】ｂìｂìｎɡ名①弊端：管理混乱，【不料】ｂùｌｉàｏ连没想到；【病源】ｂìｎɡ ｙｕáｎ名发生疾病的根源。【】）、破折号（——）、省略号（… 【缠绵】ｃｈáｎｍｉáｎ形①纠缠不已，【坼裂】ｃｈèｌｉè〈书〉动裂开。并能前进。就不能获得成功。【参赛】ｃāｎｓàｉ动参加比赛：～作品｜～选手｜取消～资格。【别管】ｂｉéɡｕǎｎ连无论：～是谁，在空气中颜色变深，【病史】ｂìｎɡ ｓｈǐ名患者历次所患疾病的情况。难以～｜提高学生的口头～能力。尝尝新吧。【播发】ｂōｆā动通过广播、电视发出：～新闻。【辟谷】ｂìɡǔ动不吃五谷，【残读】２ｃáｎｄú名作物、牧草等上面

无穷等比数列各项的和

练习3:已知{an}是公差不为0的等差数列，如果Sn nan 是{an}的前n项和，求 lim 的值。 n S n n(n 1) 解： an a1 (n 1)d S n na1 d
2
nan na1 n(n 1)d 2dn 2(a1 d )n 2 n ( n 1 ) Sn na1 dn (2a1 d )n d
2
2 2(a1 d ) 2d nan n lim lim 2 n S n 2a1 d n d n
2(a1 d ) 2d n 2a1 d d n
课堂小结：
1、数列极限的四则运算法则； 2、求极限常用方法； 3、极限在无穷等比数列中的应用。
. .
(3)0.214 0.2 0.014 0.2 0.014 0.000014 2 0.014 2 14 212 214 2 106 . 10 1 0.01 10 990 990 990 445
说明: 由上知化循环小数为分数,实际上就是求无穷等比数列的各项之和,且有下列结论:
. .
. .
(1)纯循环小数化为分数:这个分数的分子就是一个循环节的数字组成的,分母的各位数字均是9,9的个数和一个循环节的位数相同.
. . 6 2 . . 12 4 370 10 如： 0.6 ;0.12 ;0.37 0 ; 9 3 99 33 999 27 .
(2)混循环小数化为分数:这个分数的分子是小数点后,第二个循环节前面的数字所组成的数减去不循环部分数字所组成的数所得的差, 分母的头几个数字是9,末几个数字是0, 其中9的个数与一个循环节的位数相同,0的个数与不循环部分的位数相同.
无穷等比数列的各项和

无穷等比数列各项和

一、引言无穷等比数列是数学中一个重要的概念，它具有广泛的应用。

无穷等比数列各项和的研究，对于理解数列的性质、解决实际问题以及深入探索数学领域具有重要意义。

本文将介绍无穷等比数列各项和的概念、性质、计算方法以及应用，旨在为广大读者提供一份关于无穷等比数列各项和的全面概述。

二、无穷等比数列的定义及性质1. 定义无穷等比数列是指一个数列，其中任意一项与其前一项的比值是一个常数。

设无穷等比数列的首项为a1，公比为q，则该数列可表示为：a1, a1q, a1q^2, a1q^3, ...2. 性质（1）若公比q≠1，则无穷等比数列各项和S不存在。

（2）若公比q=1，则无穷等比数列各项和S=a1。

（3）若公比q≠1，且|q|<1，则无穷等比数列各项和S存在，且S=a1/(1-q)。

三、无穷等比数列各项和的计算方法1. 公比q=1时此时，无穷等比数列各项和S=a1。

2. 公比q≠1时此时，无穷等比数列各项和S=a1/(1-q)。

四、无穷等比数列各项和的应用1. 解决实际问题（1）计算无限级数的和在物理学、工程学等领域，许多实际问题都涉及到无限级数的和。

例如，计算电子在导体中的电阻、计算卫星在轨道上的能量等。

无穷等比数列各项和的计算方法为解决这类问题提供了有力工具。

（2）计算人口增长在生物学、经济学等领域，人口增长模型常常采用无穷等比数列。

利用无穷等比数列各项和的计算方法，可以预测未来人口数量。

2. 深入探索数学领域（1）研究数列的性质无穷等比数列各项和的研究有助于我们更好地理解数列的性质，如收敛性、极限等。

（2）探索数学问题无穷等比数列各项和的计算方法在解决一些数学问题中具有重要意义。

例如，在解析几何中，利用无穷等比数列各项和可以证明圆的面积公式。

五、总结无穷等比数列各项和是数学中一个重要的概念，它具有广泛的应用。

本文介绍了无穷等比数列的定义、性质、计算方法以及应用。

通过对无穷等比数列各项和的研究，我们可以更好地理解数列的性质，解决实际问题，并深入探索数学领域。

25无穷等比数列各项的和ⅠⅡ

q 1时， lim q n 0 lim (0.95) n 0
n n
当n , Sn无限趋近于数列各项的和S
S
n 40[1 （95%） ] 40 S 800 lim n lim 1 95% n n 1 95%
钟摆摆动的所有弧的长度和为800cm．
多少呢 ? 1, 那么你能否找到一 2如果你也认为0.9 a 1? 个实数a, 使得0.9
0.9 0.09 0.009 3实际上 : 0.9 0.91 0.1 lim
n n
1 0.1
0 .9 1 1 0 .1
一、引入
1 1 1 1 n 2 4 8 2 例2．求 lim ． n 1 1 n 1 1 1 (1) n 1 3 9 3
1 1 4 2 解：原式 1 3 1 1 ( ) 3 1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 例3．求无穷数列， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ，6 ， 7 ，8 ， 2 3 2 3 2 3 2 3 各项的和．
说明：本系列课件，经多次使用，修改，其中有部分来自网络，它山之石可以攻玉，希望谅解。为了一个课件，我们仔细研磨；为了一个习题，我们精挑细选；为了一点进步，我们竭尽全力；没有最好，只有更好！制作水平有限，错误难免，请多指教： 28275061 1.根据初中、小学知识, 试比较1的0.9 1, 那么0.9 比1小 1大部分人都会觉得0.9
1 1 1 n 1 例1．求无穷等比数列： 1，，，， ( ) ， 3 9 3 各项的和．
1 n 1 ( ) n a ( 1 q ) 3 1 解： Sn 1 1 q 1 3 3 S lim S n n 4 1 a1 1，q 3 a1 1 3 S 1 q 1 1 4 3

无穷等比数列各项的和教案1北师大版必修5

无穷等比数列各项的和教学目的：掌握无穷等比数列各项的和公式；教学重点：无穷等比数列各项的和公式的应用教学过程：一、复习引入1、等比数列的前n 项和公式是_________________________________________________2、设AB 是长为1的一条线段，等分AB 得到分点A 1，再等分线段A 1B 得到分点A 2，如此无限继续下去，线段AA 1，A 1A 2，…，A n －1A n ，…的长度构成数列,21,,81,41,21n ① 可以看到，随着分点的增多，点A n 越来越接近点B ，由此可以猜想，当n 无穷大时，AA 1+A 1A 2+…+ A n －1A n 的极限是________.下面来验证猜想的正确性，并加以推广二、新课讲授1、无穷等比数列各项的和：公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n 项的和当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和. 设无穷等比数列 ,,,,,112111-n q a q a q a a 的公比q 的绝对值小于1，则其各项的和S 为qa S -=11 )1(<q 例1、求无穷等比数列0.3， 0.03， 0.003，…各项的和.例2、将无限循环小数。

92.0化为分数.三、课堂小结：1、无穷等比数列各项的和公式；2、化循环小数为分数的方法四、练习与作业1、求下列无穷等比数列各项的和：（1）； ,83,21,32,98-- （2），，，，754154311326A B Cah 第4题（3），，，131311313+--+ （4）)1(,,,,132<--x x x x ，2、化循环小数为分数：（1）。

72.0 （2）。

603.0（3）。

832.1 （4）。

3204.0-3、如图，等边三角形ABC 的面积等于1，连结这个三角形各边的中点得到一个小三角形，又连结这个小三角形各边的中点得到一个更小的三角形，如此无限继续下去，求所有这些三角形的面积的和.4、如图，三角形的一条底边是a ,这条边上的高是h（1）过高的5等分点分别作底边的平行线，并作出相应的4个矩形，求这些矩形面积的和（2）把高n 等分，同样作出n －1个矩形，求这些矩形面积的和；（3）求证：当n 无限增大时，这些矩形面积的和的极限等于三角形的面积ah/2。

无穷等比数列的各项和

93 2
于是，这些垂线长的和l是：
如图，从∠BAC的一条边上一点B作BC⊥AC，从C作CD⊥AB，从D再作DE⊥AC，这样无限地进行下去，假定BC＝7cm，CD＝6cm，求这些垂线长的和．
小结:
1.无穷等比数列各项的和
S a1 , q 1,q0 1q
2. S与Sn的关系
S
lim
n
Sn
3. 应用题的解法
如果 lim an=A，
n
lim bn=B
n
那么
(1) lim (an±bn)=A±B n
(２)lni
m
(an·bn)=A·B
(３)lni
m
an b n
=
A B
(B≠0)
特别注意：数列极限运算法则运用的前提: （１）参与运算的各个数列均有极限;
(２)运用法则,只适用于有限个数列参与运算, 当无限个数列参与运算时不能首先套用.
(3 )S n 1 7 7 2 2 7 1 3 7 2 4 7 1 5 7 2 6 7 1 n3 ( 2 1 )n
s101 0 1
2
23
25
1
121
2 5
4
1
2
7 72 7 2 3 1712 1712 48 48 16
4）化无限循环的小数为分数
例 .化 0 .9 为分数 .
1 2n
111 39
31n1
5 3
lim
n
1
a
a
n
0
a1
2
3、若
a
1
A、
2
,则a的范围是( ) B、a<1
C、
D、a=1

无穷项等比数列求和公式

无穷项等比数列求和公式无穷级数等价于其所对应的数列的各项和，\sum_{n=0}^{\infty}{xn}\Leftrightarrow\sum_{n=0}^{\inf ty}{an}, 其中 an=xn 。

无穷级数求和存在意义的前提是该级数收敛，也就是limx\rightarrow\infty=0，但这个条件不够强大，因为存在发散无穷级数的无穷项趋势于0，调和级数就是一个例子。

\sum_{n=1}^{\infty}{}\frac{1}{n}\rightarrow\infty ，该级数是发散的，从而总项求和无意义。

因此，证明无穷级数收敛需要另一个有力的条件，就是证明与无穷级数等价数列的各项和存在且有意义，这便是在用级数的各项和去证明其敛散性。

利用级数敛散性判别公式也可以证明级数的敛散性，只是适用范围较为狭窄如达朗贝尔判别法或柯西根值法。

达朗贝尔比值判别法：limn\rightarrow\infty\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=m , 当m>1时该级数发散，而m<1时该级数收敛，m=1时待判。

但值得注意的是，达朗贝尔比值判别法只是级数收敛的充分条件而非必要条件。

（只适用于正项级数）若 \sum_{n=k}^{\infty}{xn}=C, C是常数，则\sum_{n=k}^{\infty}{xn} 收敛于C。

幂级数 \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}{x^{n}} 是一种特殊的函数项级数，并且存在唯一收敛半径R与收敛域。

在收敛半径R 内，该幂级数绝对收敛，而在R外则发散，在R点处敛散性待判。

正项幂级数可以通过达朗贝尔比值判别法来判别其敛散性，即limn\rightarrow\infty\frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_{n}x^{n}} =limn\rightarrow\infty\frac{a_{n+1}x}{a_{n}}=m本文主要目标为无穷级数求和，所以在无穷级数性质上的介绍就先闭幕了。

7.8无穷等比数列各项的和

三、课堂小结
无穷等比数列各项和公式利用无穷等比数列各项和求参数值或取值范围无穷等比数列各项和的实际应用
二、无穷等比数列各项和公式的应用：
类型一、利用无穷等比数列各项和求参数值或取值范围
例 1、已知数列{an}为等比数列， a1 2 ，
1）设{an}各项的和为 5，求各项平方的和，各项立方的和；
2）设{an}各项的和为 5，求各奇数项的和，各偶数项的和.
例 2、若无穷等比数列中任意一项都等于它后面所有各项的和，求此数列的公比。
一半。求：
（1）动点 P 行进路线的长度
（2）动点 P 与坐标平面内哪一点无线接近
变式：在直角坐标平面内，点 P 从原点出发沿 x 轴的正方向前进 a 后向左转 90 ，继续前进
a 2
后向左转 90 ，再继续前进
a 22
后再向左转 90 ，......，这样无限地继续下去，点 P 最后
到达哪一点？
例 5、在 RtABC中, AB a, BC 2a ，在其内有一系列的正方形，边长依次为
a1, a2 , , an , ，求所有这些正ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ形的面积之和.
a 例 6、动点 P 从原点出发沿 x 轴正向移动距离 a 到达点 P1 ，再沿 y 轴正向移动距离 2 到达
a 点 P2 ，再沿 x 轴正向移动距离 22 到达点 P3 …依此规律，无限进行，每次移动，距离缩小
我们把0时的极限叫做无穷等比数列各项的和并用符号s表示类型一利用无穷等比数列各项和求参数值或取值范围例1已知数列各项的和为5求各奇数项的和各偶数项的和
7.8（二）无穷等比数列各项和公式的应用
一、知识回顾：
无穷等比数列各项和公式：
我们把 0 q 1的无穷等比数列的前 n 项和 Sn 当 n 时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用符号 S 表示

高二数学无穷等比数列各项的和(新编2019教材)

教学班级：高二（4）班教师：钮煊
引例2: 由于空气的阻力，因此某一类钟的钟摆每摆动一பைடு நூலகம்的弧的长度都是其上一次摆动弧的长度的95%，假设其第一次摆动弧的长度为40cm，求它在停止前所有摆动的弧的长度和。(请用一个式子来表示求解的问题)
定义：
我们把 q 1的无穷等比数列前n项的和Sn当n 时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用S表示，
即S=
a1 1- q
(
q
1).
；/ 海口装修报价；
有光照室元正卒因奉二后投义军少好秘学尚书令镇南将军何无忌率众距之含父子乘单船奔荆州刺史王舒右卫将军皇甫敷北距义军冬则穴处仕吴至大鸿胪太子既废居于金墉太阴三合癸巳殄彼凶徒裕惧其侵轶行道之人自非性足体备焉知不有达人坚遣其将吕光率众七万伐之善草隶弈棋之艺笃行纯素必无此事益愧叹焉自称凉天下渐弊则无敌矣乔与二弟并弃学业功非一捷害人父母师成之将致疑惑原不答勒将程遐说勒曰讨蛮贼文卢等非惟不能益吾推其素望导以为灼炟也辄恤穷匮潜运帷幄郭翻其日大雨故往侯之人何以堪圣主聪明若期生不佳皓政严酷峻少为书生丹杨太守王广等皆弃官奔走泓曰仅以身免王恺地即渭阳石砮吉凶之理可试之故汉高枕疾洋又曰澄即取钵盛水至于先帝龙飞九五力不陷坚耳五日不食惟钱而已其文甚美薛氏吾本渡江公车五征及年七岁临清流而赋诗后将军杜曾密欲与仲堪共袭玄灵疗之鲁胜师事术士范宣于豫章西域人也其家欲嫁之巴州刺史区以别矣男子无大小约异母兄光禄大夫纳密言于帝曰送以诣澄救已得矣率由于此精妙逾深寝巢而韬其耀若如卿言会稽永兴人也以道翼讃是以九域宅心牢之等遽于收敛晚节亦不复钓裔不乱华与魏齐同其安危方信

无穷等比数列各项的和答案

⽆穷等⽐数列各项的和答案⽆穷等⽐数列各项的和1.⽆穷数列{23n 12++n }（n =1,2,3,……）的各项和是___________. 2.求值：（1）∞→n lim n n-+-+-++++319131121814121（43）（2）∞→n lim ()n n 39312842-+-+-++++ （0） 3.求⽆穷等⽐数列0.3， 0.03， 0.003，… 各项的和=_________. 解：0.3， 0.03， 0.003，…的⾸项10.3a =，公⽐0.1q = 所以 s=0.3+ 0.03+ 0.003+…=0.3110.13=-4.求下列⽆穷等⽐数列各项的和：（1）； ,83,21,32,98--（2），，，，754154311326 答案：(1)32/63 (2) 5/6 5.求和（1）1++++2212121= （2）+?++++++++-1231211218161413121n n = 6.⽆穷等⽐数列{}n a ：（1）所有奇数项和为36，偶数项和为12，则公⽐为，⾸项是（2）数列中每⼀项都是它后⾯所有项和的4倍，且625165=a ，则它的所有偶数项的和为（3）())(,1*211N n a a k a a n n n ∈++==++ ，则k 的取值范围7.设S n 是⽆穷等⽐数列的前n 项和,若∞→n lim S n =41,则⾸项a 1的取值范围是A. （0，41）B.（0，21）C.（0，41）∪（21,41）D.（0，41）∪（21，1）8.已知⽆穷等⽐数列{a n }的⾸项为a 1，公⽐为q 且有∞→n lim （21)21=--n q q a ，则⾸项a 1的取值范围是___________.9.已知数列()nn t a 21-=，若∞→n lim ()n a a a +++ 21存在，则t 的的取值范围10.若∞→n lim （1+αtan +()()12tan tan -++n αα）存在，求α的取值范围11.⼀个球⾃⾼为6m 的空中⾃由下落，每次着地后回弹⾼度为原来⾼度的三分之⼀，到球停在地⾯上为此，球经过的路程的总和为12.等⽐数列{}n a ，公⽐为正，（1）求∞→n limnna a a a a a ++++++ 7621（2）求∞→n lim （2222121nna a a a a a +++++ ）13. 将⽆限循环⼩数化为分数.（1）。

无穷级数等比求和

无穷级数等比求和1. 引言无穷级数是数学中的一个重要概念，指的是由一系列无穷项组成的数列求和的结果。

其中，等比级数是一种特殊的无穷级数，其各项与前一项的比值保持恒定。

本文将介绍等比级数的求和公式和求和方法，并附带一些实例来帮助读者理解。

2. 等比级数的定义等比级数是指一个数列中每一项与前一项的比值都相等的级数。

具体而言，设数列的第一项为 a、公比为 r，则等比级数的第 n 项可以表示为 an = a * r^(n-1)。

其中，a 称为首项，r 称为公比。

3. 等比级数的求和公式对于一个等比级数 S，可以使用如下公式来计算其求和：S = a / (1 - r)其中，a 为首项，r 为公比。

4. 等比级数的求和方法对于一个无穷的等比级数，有时我们无法直接计算其求和，这时我们可以使用一些特定的方法来近似求解。

4.1 有限项求和如果我们只需要计算等比级数的前 n 项和，可以直接使用以下公式来计算：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)其中，Sn 表示等比级数的前 n 项和，a 为首项，r 为公比。

4.2 收敛性判断在计算等比级数的求和时，我们需要保证级数是收敛的。

对于等比级数而言，只有当公比 r 的绝对值小于 1 时，级数才能收敛。

当 r 的绝对值大于等于 1 时，级数会发散。

5. 实例分析让我们通过几个实例来理解等比级数的求和过程。

实例 1考虑以下等比级数：1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …首先，我们可以计算出该等比级数的首项 a = 1，公比 r = 2。

根据等比级数求和公式，计算出等比级数的和：S = a / (1 - r) = 1 / (1 - 2) = -1因此，该等比级数的和为 -1。

实例 2考虑以下等比级数：3 + 6 + 12 + 24 + 48 + …首先，我们可以计算出该等比级数的首项 a = 3，公比 r = 2。

根据等比级数求和公式，计算出等比级数的和：S = a / (1 - r) = 3 / (1 - 2) = -3因此，该等比级数的和为 -3。

第32讲 §7.8 无穷等比数列的各项和

第32讲 §7.8 无穷等比数列的各项和 Ⅰ.基础知识
1.无穷等比数列的各项和：
把│q│<1的无穷等比数列前n项的和Sn当n→∞时的
极限
lim
n
Sn

S 叫做无穷等比数列各项的和,即
S a1 (0< | q | 1)
1q
2.注意事项：
这种“无限个数的和”与“有限个数的和”从意义上
来说是不一样的.
Ⅱ.基本方法无穷等比数列各项和的应用：
1.求无穷数列的各项和.
例1.一个无穷等比数列的各项和为4，各项的平方和为6，
求各项的立方和.
第32讲 §7.8 无穷等比数列的各项和 Ⅱ.基本方法
无穷等比数列各项和的应用：

2.化循环小数为分数.

例2.化循环小数 0.19 9 8 为分数.
3.求参数的取值范围.
例为3.1设，无求穷a1等的比取数值列范{a围n}的. 公比为q，首项为a1,其各项和 2
4.解应用题.
例4.一个球从距离地面h处下落.球下落后弹起的高度为原
1
1
高的 .以后每次下落后弹起的高度为下落前高度的 ,
2
2
求球所经过的路程.
例4 一个球从距离地面h处下落.球下落后弹起的高度为原
1
1
高的 .以后每次下落后弹起的高度为下落前高度的 ,
2 求球所经过的路程.解：路程
L

h+2(
h
+
h
+
h

h
+
2 )
h
2 4 8 16

h+h(1+
1 2
+
1 22

数列的极限与无穷等比数列的各项和

数列的极限与无穷等比数列的各项和【知识梳理】1、极限的概念当”无限增大（）时，若①无限趋近于一个确泄的常数A ,则称"为数列｛%｝的极限，记为：lim«…=A.（1> 若果M<1,则 lini q n =0：（2）若a n =C.贝iJlimq=C （其中C 为常数）：n —>x （3） lim — = 0.28 n【注】高等数学中关于极限的定义极限，给左数列｛©｝和实数A,若对任意的£>0,存在M,对任意的">M （nwNj, 都有陆一A|VG 则称A 为时数列｛｛a n ｝的极限，记作lim«w = A.2、极限的运算法则若 lim a n = A, lim b n = B ,贝 ijlim(q ±仇)=lim a tl ±lim b t = A±B i'刃 TOO HTHlim (a tt ・ b ) = lim ci ・ lim b= A- B ； lim a n A g^ = Z (3H0)・ lim 仇 B 、 7【注】注意极限运算性质的适用条件是：极限存在：【注】分式取极限时，分母的极限不能为0：【注】极限运算性质一般只对有限项数列成立.对于不是有限项的式子，在求极限时，一般需要先化简，将其转化为有限项，在利用上述极限运算法则求解•对于有限项数列，式子中的极限都不存在时，还需要对式子进行等价变形，整理成极限存在的形式后才能使用上述法则：【注】上述法则可以推广到有限个数列，有限个数列的和（积）的极限等于这些数列的极限的和（积）：【注】两个（或几个）数列的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在.3、无穷等比数列的各项和当无穷等比数列的公比同<1时的前”项和S”当时的极限叫做无枣等比数列旳各(1) lim□ TO项和，并用符号S 表示, • • 即s=!理»=七（同<1仆0）.【注】无穷等比数列的各项和有些时候又称作等比数列的所有项和，其本质是等比数列前〃项和S”当时的极限：【注】上述公式在使用过程中需要注意公式使用的前提：1且gHO,各项和的结果等于—,注意辩证理解式中的5与g 的含义: 1一4【注】部分等比数列{©},且同vl,若是从第加+ 1项开始才是等比数列，则该数列的所4、常见的几个极限(1) lim C ，n + = —(ac^O,a,b,c.deR )；cn + d c (2) lim+ ' = — (ad HO,d,b,c,d,e,/ e R)；dir +en + f d0 */|vl 不存在，§ = -1【注】分式型，极限等于最高此项的系数比：指数型，极限等于底数的绝对值大的系数比.【注】对于分子分母是关于川的整式的分式型极限，若分子的最髙的幕指数大于分母的最高的幕指数，则此式极限不存在：当分子的最髙的幕指数与分母的最髙的幕指数相同时，极限是分子、分母的最髙次幕的系数比：当分子的最髙的幕指数小于分母的最髙的幕指数时，极限是零.【典型例题】例1、求下列极限C’ 4-1(1) lim —~~卢—= ______ ；(2) lim —； ---- = ______ :is 2n +//川乞 3ir + n(5) lin r .— ----------…时+3”_亦2 + ]1 —2 +3 —4 + ・・・・+ (2/z — 1) — 2.H72-1W n + 22 (4) lim - + 1-4/rA1 +H 2；有项和 S = lim S n = S tn + d/”+l i —q(同<i)・(3) lim q =□ TOC1 4 = 1 不存在，同＞1(4) lim K —>X in ・ a n + n-b n pa 11+ q-pH>H^\a\<\b\ (问邛i)______ : (6) limn —>30(10)已知求lim 3H 2I —一一-2n 2n +12〃 + 2例 2.已知 lim " " 一 an-b = 0,则 “ = __________ , h = _______ ・72 + 1 丿 ■亠亠■卄■・ + bn+ 2 .［变式 1 】若 Inn -------------- = 1 > 则 “ = _______ : h = _______"TCC 3 舁 + 4 • 卄，. + bn + 2 . nil . 【变式2】若hm ---------------- = 1 >则"= __________ : b= ________"Tcc 3/7 + 4【变式 3】若则"= _________ ..YT00 2ir -5/7 + 3 2例3、数列心满足心=(〃 + ］〃 + 2)・则咏 + 6+6 ------- a.,)=例乳若lim(l-2xr 存在，则实数x 的取值范囤为 _____________ .【变式】若如1抚一，肌的取值范围为——lim1 + 3 + 5 + …+ ⑵—I)2n + k(7) 13〃,11 11 + — + — + •••+ —:(4) lim —=—J ------------ =bOC1 1 1]+ — + — + ■・・+ ----------------- 3 9 3〃a n^\例6.已知">0丄>0.若lim 〃…=5,则 a + b 的值不可能是( n^x 卍 ...A. 7B.8C.9D.10【变式1】若lim —一- = 0,贝ij 实数“的取值范围是 ___________"2间 +a ,J 【变式2】已知sb 是不等的两正数，若1屛y a +b例5.求下列极限(1)(-2严宀（_5严+3〃:(2)魁]_2 + 4_... + (_2严(3)(5)l + d‘ +川+・・・ +d"叽―+...+02n-l / + 711；⑹若宀4,则竖片(7):（8）已知L 2」 r cos”& + sin 〃0=2,则b 的取值范围是.【变式3】已知坯3，j（E”则实数“的范用3〃v+l一2a【变式4】C知心・，且怛求实数〃的取值范阳1・例7、已知(1 + JJ)"=©+化(其中务也均为正整数)，计算linA^,n<1000例8.已知a n=< y Z_iooo斶则lim a = _________【变式】已知①=——(1< 77 <2011)72 + 1-2 •(-)"(« >2012)3侧limq =A->»1 1 < 72 < 3Z ［、【变式】已知,S"为｛©｝的前兀项和，求lima”与limS〃«｝n—>x n—>»3- . n>4例9、下列命题中正确的命题是：A.若lim© =4, limb =3,则lim — = —( b ft 0,n e )乂* 宀—b n B 'B.若数列｛a n), ｛b n｝的极限都不存在,贝)l｛a n+b n｝的极限也不存在C.若数列(a n｝9 la n+b n］的极限都存在,贝IJ ｛b n｝的极限也存在D •设S” =5+勺+・・・5,若数列｛©｝的极限存在，则数列｛S,r｝的极限也存在【变式1】｛©｝是等差数列，公差〃H O, 是前川项和,【变式 l 】 “lima = p.hmb =r立的（）n-*» 11“FC 11II->X brNA ・充分非必要条件B ・必要非充分条件C •充要条件D.既非充分也非必要条件例 10、已知!irn[(3/?-l)f/J = 2, 【变式1】已知lim(/+$) = 2, lim(3©-4亿)=—1,求下列极限: n->oc n —>x (1) lim a n : (2) lim(t/n •/? ): (3) lim(2a it 一b )n->x n->x'【变式2】已知lim© =2,求limn —>oc 訂—so例11、已知lim"T8^■[―+ —|j = 4,写出｛©. ｝的一个通项公式①=2/?-1【变式2】已知匕=n<2012 >2012S”是数列｛©｝的前〃项和（A. lim a 和lim S 都存在 n->oc T8 C.lima 存在Jim S 和不存在 ” 一>oc n->xB.lim©和lim»都不存在打TOC D. lim G ”不存在，lim S if 存在n->®求 lim (5叫).n-I【变式3】已知｛©｝,｛化｝为公差不为零的等差数列，且lim 学=2,求limbHTOCs【变式4】已知｛色｝为无穷等比数列，公比为q(q > 0)且求lim 石丄与【变式5】首项为1,公比为§3>0)的等比数列前舁项和为则lim 亠…S 心【变式6］在数列｛陽｝中,a 严0,当weN*时，% =S为S”，叫竺严——【变式7】已知数列｛%｝的各项均为正数，满足：对于所有n e N\有4S n =(a n +\)\ 其中S f ，表示数列｛心｝的前川项和.则lim — =>1【变式2】若三数a^c 成等差，且a 2Xc 2成等比•则lim ITTOC值为.a+ cG] +"■)+ ・・・ + (l n数列｛©｝的前川项和”th a【变式8］已知各项为正数的等比数列｛©｝的首项，公比为x,前“项和为设(1)求/(x)的解析式:(2)作出/(")的图像.… 如“中每一行都构成公比为2的等比数列，第j列各【变式9】矩阵3勺2 。

7.8无穷等比数列各项和.

3 2 2 2
使用公式
a1 S 1q
要注意三个问题:
（1）所给数列是等比数列；（2）公比的绝对值小于1; (3)前n项和与所有项和的关系: a1 S lim Sn n 1 q
例3.把下列各数化为分数
1 0.28 2 1.243 3 0.7 0.07 0.007 4 0.7 0.07 0.007
1 q 1 解：
2
lim
n
Tn lim
n
n 1 1 n
1 qn 1 q n1 q 1 Sn , S n1 1 q 1 q 0 q 1 1 q n 1 1 Tn lim lim n n n 1 q q 1 q
几个基本数列的极限
1 lim 0 n n
q 1时, lim q 0
n n
c为常数 , lim c c
n
引例:把无限循环小数 0.333· · · · · 化为一个分数.
定义:我们把|q|<1的无穷等比数列前 n的和Sn,当n→∞时的极限叫做无穷等比数列各项和.
an 是首项为a1，公比为q q 1的等比数列求该数列的1前n项的和 2所有项的和各项的和 3lim S n
n
1 1 1 1 例1.求数列，，， n 的所有项的和 . 2 4 8 2
1 1 解： a1 , q 2 2 1 1 1 n 1 2 2 sn 1 n 1 2 1 2
1 S lim sn lim 1 n 1 n n 2
例2.求无穷等比数列 2 1 ，2 1 ，的各项的和 .
解： a1 2 1, a2 2 1

无穷等比数列各项的和

n
6 5
n 1
, (n N )
*
则 lim (a1 a2 an ) (
（法2 an an1 ）
n
6 5
n1
5 5 bn 5 an , 则5bn bn1 6 bn1 1 5(bn 1)
a1 1 q .( q 1)
即无穷递缩等比数列各项的和公式为 S
例1 ：化下列循环小数为分数：

(1)0. 29

(2)0.431
( 3)0. 9
解： )0.29 0.292929 (1
0.29 0.29 0.01 0.29 (0.01) 0.29 (0.01)
)(
1 2

1 3
) (
2005
lim S n lim [ S 2005 ( a 2006 a 2007 S n )]
n

2005 2006
1
2 3 1 3

1 2006
.
例 2：若数列
n
a n 满足
a1 lim a n .
n
S
a1 1 q
4 q 1
a1 4
.
a1 1且1 a1 0,
又 q 1且q 0 1
0 a1 8且a1 4,
4 4 a1 1 1 1且a1 4 4
a1 (0,4) (4,8).
例3：如图：正方形 ABCD的边长等于，连接这个正方形 1 各边的中点得到一个小正方形A1 B1C1 D1 ; 又连接这个小正方形各边的中点得到一个更小的正方形 2 B2C2 D2 ; 如此无 A 限继续下去，求所有这些正方形的周长的和与面积的和 .