基本不等式基础知识(题目与答案)

基本不等式基础类型题复习

一：求下列函数的值域

1. y ＝x ＋1x

(x>0) 2. y ＝x ＋1x

3. （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x

＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x

）≤－2x ·1x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

3.y ＝3x 2＋12x

2 解：（1）y ＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x

2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） 4求1 (3)3

y x x x =

+>-的最小值. 5：已知54x <，求函数14245

y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)

45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝

⎭231≤-+= 当且仅当15454x x

-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

6. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。

当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。

评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。

7：设2

30<-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y

当且仅当,232x x -=即⎪⎭

⎫ ⎝⎛∈=23,043x 时等号成立。 8. 已知0,0x y >>，且191x y

+=，求x y +的最小值。 正解：190,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y

⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当9y x x y

=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += 。 9.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 .

分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且b a 33⋅定值，因此考虑利用均值定理求

最小值，

解： b a 33和都是正数，b

a 33+≥632332==⋅+

b a b a 当b a 33=时等号成立，由2=+b a 及b a 33=得1==b a 即当1==b a 时，

b a 33+的最小值是6．

10：若44log log 2x y +=，求11x y

+的最小值.并求x,y 的值

11. 若+∈R y x ,且12=+

y x ，求y x 11+的最小值

12．若正数b a 、满足3++=b a ab ，则b a +的取值范围是Ｂ

A ．),9[+∞ Ｂ．),6[+∞ C ．]9,0( D ．)6,0(

13．已知0,0>>y x ，且082=-+xy y x ，

求（1）xy 的最小值；（2）y x +的最小值。

解：（1）由08=-+xy y x ，得128=+y

x ，

又0,0>>y x ，则xy

y x y x 8282281=⋅≥+=，得64≥xy ， 当且仅当y x =时，等号成立。

（2）法1：由08=-+xy y x ，得2

8-=y y x ，20>∴>y x 则28-+=+y y y y x 18102

16)2(≥+-+-=y y ， 当且仅当2

16)2(-=-y y ，即12,6==x y 时，等号成立。 法2：由08=-+xy y x ，得

128=+y x ， 则y x +==+⋅+)()28

(y x y x ≥++x y y x 82101882210=⋅+x

y y x 。 14. 求2710(1)1

x x y x x ++=>-+的值域。 解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。

解：令24(2)x t t +=≥，则2254x y x +=+221

14(2)4x t t t x =

++=+≥+ 当,即时,421)591

y x x ≥+⨯+=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。 15：求函数225

4x y x +=+的值域。 因10,1t t t >⋅=，但1t t =解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。 因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52y ≥。 所以，所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭

。

16：某造纸厂拟建一座平 面图形为矩形且面积为162平方

米的 三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示), 如

果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔 墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/平方米,水池所有墙的厚度忽略不计.

（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；

（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价

最低，并求 出最低总造价.

17．某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，

正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：

（1）仓库面积S 的最大允许值是多少？

（2）为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？

8．解：设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，则顶部面积为xy S =

依题设，32002045240=+⨯+xy y x ，由基本不等式得

xy xy xy y x 2012020904023200+=+⋅≥S S 20120+=，

01606≤-+∴S S ，即0)6)(10(≤+-S S ，故10≤S ，从而100≤S

所以S 的最大允许值是100平方米，

取得此最大值的条件是y x 9040=且100=xy ，求得15=x ，即铁栅的长是15米。