球的表面积及体积计算公式球面积公式
球的表面积与体积的计算
球的表面积与体积的计算球是一种几何图形，具有许多有趣的性质。
在数学和物理学中，计算球的表面积和体积是非常重要的。
本文将介绍球的表面积和体积的计算方法，并通过示例进行详细说明。
一、球的表面积计算球的表面积是指球体外侧的曲面总面积。
为了计算球的表面积，我们需要知道球的半径。
公式：球的表面积= 4πr²其中，π是圆周率，约等于3.14159；r是球的半径。
示例一：假设半径为5厘米的球的表面积应该怎么计算呢？解答：根据公式，我们代入r = 5厘米进行计算：表面积= 4π × 5² = 4π× 25 ≈ 314.16平方厘米。
所以，半径为5厘米的球的表面积约为314.16平方厘米。
二、球的体积计算球的体积是指球内部可以容纳的三维空间大小。
要计算球的体积，同样需要知道球的半径。
公式：球的体积= (4/3)πr³示例二：如果球的半径为8厘米，那么它的体积是多少？解答：根据公式，我们代入r = 8厘米进行计算：体积= (4/3)π × 8³ = (4/3)π × 512 ≈ 2144.66立方厘米。
所以，半径为8厘米的球的体积约为2144.66立方厘米。
综上所述，球的表面积和体积的计算方法如上所示。
了解和掌握这些公式可以帮助我们更好地理解球体的特性，以及在实际问题中应用数学知识进行计算。
需要注意的是，在应用这些公式进行计算时，应该保持输入数据的一致性，确保使用相同的单位进行计算。
此外，还要注意精度的问题，结果应适当进行四舍五入或保留小数位数，以满足实际需求。
希望本文对你理解球的表面积和体积的计算方法有所帮助，如果有任何疑问，请随时向我提问。
球体的表面积和体积计算
球体的表面积和体积计算球体是一种简单而常见的几何图形，它具有很多独特的性质和特点。
在数学和物理学中，计算球体的表面积和体积是一个基本而重要的问题。
在本文中，我们将介绍如何准确计算球体的表面积和体积。
一、球体的表面积计算公式要计算球体的表面积，我们可以使用以下公式：S = 4πr²其中，S表示球体的表面积，π是圆周率（约为3.14159），r是球体的半径。
这个公式的推导过程较为复杂，我们可以简单解释一下。
我们可以将球体看作由无数微小的面元组成，每个面元都是一个微小的圆形。
球体的表面积就是这些微小圆形的面积之和。
而每个微小圆形的半径都等于球体的半径r，因此我们可以将每个微小圆形的面积表示为πr²。
最后，将所有的微小圆形面积之和即得到了球体的表面积。
二、球体的体积计算公式要计算球体的体积，我们可以使用以下公式：V = (4/3)πr³其中，V表示球体的体积，π是圆周率，r是球体的半径。
这个公式的推导也较为复杂，我们可以简单解释一下。
我们可以将球体看作无数个微小的圆柱体叠加而成。
每个微小圆柱体的体积可以表示为πr²h，其中h是圆柱体的高度，也就是球体半径r对应的微小圆柱体的高度。
由于球体是各向同性的，每个微小圆柱体的高度都等于r。
因此，我们将微小圆柱体的体积表示为πr²r，即πr³。
最后将所有微小圆柱体的体积之和即得到了球体的体积。
三、实例应用假设我们需要计算一个半径为5cm的球体的表面积和体积。
根据上述公式，我们可以按照以下步骤进行计算：1. 计算表面积：S = 4πr²= 4 × 3.14159 × 5²≈ 314.159 cm²2. 计算体积：V = (4/3)πr³= (4/3) × 3.14159 × 5³≈ 523.599 cm³因此，半径为5cm的球体的表面积约为314.159 cm²，体积约为523.599 cm³。
球体的体积与表面积关系推导
球体的体积与表面积关系推导在数学中，球体是一种具有无限多个对称中心的几何体。
球体的特点是其表面上的每一点到中心的距离都相等，这个距离被称为半径。
通过研究球体的体积与表面积之间的关系，我们可以更深入地了解球体的性质和特点。
一、球体的定义及基本公式球体是由三维空间中所有到中心点距离小于等于给定半径的点构成的集合。
球体的体积和表面积可以通过以下公式计算得出：1. 球体的体积公式：V = (4/3)πr^3其中，V表示球体的体积，π是圆周率，r是球体的半径。
2. 球体的表面积公式：A = 4πr^2其中，A表示球体的表面积，π是圆周率，r是球体的半径。
二、推导球体体积与表面积的关系我们可以通过对球体的切割和展开来推导球体的体积与表面积之间的关系。
1. 切割与展开球体将球体沿着两个垂直于彼此的坐标轴切割，并沿着这两个切割面将球体展开。
2. 形成球冠和圆盘我们可以看到，切割后的球体被分成许多球冠和圆盘。
球冠是由球的表面和两个切割面构成的部分，圆盘是由两个切割面和球的表面构成的部分。
3. 计算球冠的体积对于一个球冠，它的体积可以通过计算一个圆台的体积得出。
圆台的体积公式为：Vc = (1/3)π(h^2)(R + r)其中，Vc表示球冠的体积，h表示球冠的高度，R表示球冠的大半径，r表示球冠的小半径。
4. 计算圆盘的面积对于一个圆盘，它的面积可以通过计算一个矩形的面积得出。
矩形的面积公式为：Ac = 2πr * h其中，Ac表示圆盘的面积，r表示圆盘的半径，h表示圆盘的周长。
5. 求和计算球体的体积将所有球冠的体积相加，可以得到整个球体的体积。
同理，将所有圆盘的面积相加，可以得到整个球体的表面积。
V = Vc1 + Vc2 + Vc3 + ... + VcnA = Ac1 + Ac2 + Ac3 + ... + Acn三、结论与应用通过上述的推导过程，我们可以得出一个结论：球体的体积与表面积之间存在着特殊的关系。
球的表面积和体积计算
球的表面积和体积计算球是一种常见的几何图形，其表面积和体积的计算是我们在数学和物理学中经常遇到的问题。
本文将介绍如何准确计算球的表面积和体积，并提供相应的公式和计算步骤。
一、球的表面积计算表面积是指球外部各个点的总面积，计算球的表面积可以使用球的半径来确定。
使用以下公式计算球的表面积：S = 4πr²其中，S表示球的表面积，π表示圆周率，r表示球的半径。
例如，如果球的半径为5厘米，则可以通过代入公式计算出球的表面积：S = 4π * (5²) = 4π * 25 ≈ 314.16 cm²所以，半径为5厘米的球的表面积约为314.16平方厘米。
二、球的体积计算体积是指球所占据的空间大小，计算球的体积同样使用球的半径作为计算依据。
使用以下公式计算球的体积：V = (4/3)πr³其中，V表示球的体积，π表示圆周率，r表示球的半径。
以半径为5厘米的球为例，可以通过代入公式计算出球的体积：V = (4/3)π * (5³) = (4/3)π * 125 ≈ 523.6 cm³因此，半径为5厘米的球的体积约为523.6立方厘米。
综上所述，球的表面积和体积的计算分别使用了公式S = 4πr²和V = (4/3)πr³，其中S表示球的表面积，V表示球的体积，r表示球的半径，π表示圆周率。
通过代入球的半径值，可以准确计算出球的表面积和体积。
请注意，在实际计算过程中，需要注意单位的统一，并按照所需精度进行四舍五入。
此外，要正确使用圆周率π的值，常见的取值为3.14或3.1415926。
总结：球的表面积和体积计算是一种常见的数学问题，掌握计算球的表面积和体积的公式和步骤能够帮助我们更好地理解和应用几何学和物理学知识。
在实际应用中，需要注意单位的转换和精度的控制，以获得准确的计算结果。
球体体积和表面积的公式
球体体积和表面积的公式球体是一种几何体，具有独特的性质和特征。
在数学中，对于球体的体积和表面积有着严格的计算公式。
本文将对球体的体积和表面积进行介绍，并详细解释其计算公式。
一、球体的体积公式球体的体积是指球体所占据的空间大小。
我们可以通过计算球体的体积来了解其大小和容量。
球体的体积公式如下：V = (4/3)πr³其中，V表示球体的体积，π是一个数学常数，约等于3.14159，r 表示球体的半径。
通过这个公式，我们可以方便地计算出球体的体积。
例如，如果一个球体的半径r为5厘米，则可以使用上述公式计算出其体积V为(4/3)π(5³) ≈ 523.6立方厘米。
二、球体的表面积公式球体的表面积是指球体外部的总面积。
我们可以通过计算球体的表面积来了解其外部曲面的大小和形状。
球体的表面积公式如下：A = 4πr²其中，A表示球体的表面积，π是一个数学常数，约等于 3.14159，r表示球体的半径。
通过这个公式，我们可以方便地计算出球体的表面积。
例如，如果一个球体的半径r为5厘米，则可以使用上述公式计算出其表面积A为4π(5²) ≈ 314.16平方厘米。
三、球体的体积和表面积的关系通过球体的体积公式和表面积公式，我们可以看出，球体的体积和表面积之间存在一定的关系。
具体而言，当半径r固定时，球体的体积和表面积是不同的。
体积与r³成正比，而表面积与r²成正比。
这意味着，当半径增大时，球体的体积和表面积都会增大；当半径减小时，球体的体积和表面积都会减小。
这一关系可以通过计算公式得到验证。
四、应用举例球体的体积和表面积公式在实际生活中有着广泛的应用。
以下是一些具体的举例：1. 建筑领域：在建筑设计中，设计师需要计算球形穹顶的体积和表面积，以确保其结构的稳定性和合理性。
2. 化学实验：在化学实验中，需要计算球形试剂瓶中所装液体的体积，以便准确调配实验药液。
球体的面积公式和体积公式
球体的面积公式和体积公式球体是我们身边最常见的几何体之一，它在数学、物理、化学等领域中都有广泛的应用。
在研究球体时，我们会常用到球体的面积公式和体积公式，它们分别是：球体的面积公式：$4πr^2$，其中r为球体的半径。
球体的体积公式：$\frac{4}{3}πr^3$，其中r为球体的半径。
这两个公式是研究球体时必须掌握的基本公式，下面我们将详细讲解它们的含义和应用。
球体的面积公式球体的面积公式是指球体表面积的计算公式。
在生活中，我们经常会用到这个公式，比如计算篮球、足球等球体的表面积。
球体的面积公式为：$4πr^2$，其中r为球体的半径。
这个公式的推导可以通过将球体划分为无数个微小的平面元素，然后对这些平面元素的面积进行累加求和，最终得到球体的表面积。
由于球体具有旋转对称性，因此可以通过旋转体积公式得到。
球体的面积公式也可以用于计算球冠的表面积。
球冠是由一个平面截过球体而得到的，因此球冠的表面积就是球体表面积的一部分，可以通过球体面积公式进行计算。
球体的体积公式球体的体积公式是指球体的体积计算公式。
在生活中，我们也会经常用到这个公式，比如计算篮球、足球等球体的体积。
球体的体积公式为：$\frac{4}{3}πr^3$，其中r为球体的半径。
这个公式的推导可以通过将球体划分为无数个微小的立体元素，然后对这些立体元素的体积进行累加求和，最终得到球体的体积。
由于球体具有旋转对称性，因此可以通过旋转体积公式得到。
球体的体积公式也可以用于计算球冠的体积。
球冠是由一个平面截过球体而得到的，因此球冠的体积就是球体体积的一部分，可以通过球体体积公式进行计算。
结语球体是一个非常重要的几何体，它在数学、物理、化学等领域中都有广泛的应用。
通过掌握球体的面积公式和体积公式，我们可以更加方便地计算球体的表面积和体积，进而应用到实际生活中。
球体的体积与表面积计算
球体的体积与表面积计算球体是一种具有特殊形状的几何体，具有很多有趣的性质。
其中最基本的性质就是它的体积和表面积，而这两个数值的计算也是球体的基本问题之一。
本文将就球体的体积与表面积的计算方法进行详细的介绍。
一、球体的体积计算球体的体积表示了球体所包含的三维空间的大小。
下面介绍两种常见的球体体积计算方法。
1. 球体体积计算公式根据数学原理，球体的体积可以通过以下公式进行计算：V = 4/3 * π * r^3其中，V表示球体的体积，π是一个数学常数，约等于3.14159，r 是球体的半径。
2. 球体体积计算实例假设有一个球体，其半径为5厘米，我们可以利用上述公式进行计算：V = 4/3 * 3.14159 * 5^3≈ 523.599厘米^3所以，该球体的体积约为523.599厘米^3。
二、球体的表面积计算球体的表面积表示了球体外部所覆盖的曲面的大小。
下面介绍两种常见的球体表面积计算方法。
1. 球体表面积计算公式根据数学原理，球体的表面积可以通过以下公式进行计算：A = 4 * π * r^2其中，A表示球体的表面积，π是一个数学常数，约等于3.14159，r是球体的半径。
2. 球体表面积计算实例假设有一个球体，其半径为5厘米，我们可以利用上述公式进行计算：A = 4 * 3.14159 * 5^2≈ 314.159厘米^2所以，该球体的表面积约为314.159厘米^2。
结语通过以上的介绍，我们可以得知，球体的体积和表面积计算并不复杂，只需要了解相应的计算公式，即可准确计算出结果。
在实际应用中，球体的体积和表面积计算常常被用于建筑、工程、数学等领域，具有广泛的应用前景。
以上就是本文关于球体的体积与表面积计算的介绍。
希望本文能够对读者有所帮助，并对球体的性质有更深入的了解。
如有任何疑问或错误之处，请指正。
圆球表面积体积公式
圆球表面积体积公式
一、圆球表面积公式。
1. 公式。
- 圆球的表面积公式为S = 4π r^2，其中S表示圆球的表面积，r表示球的半径，π是圆周率，通常取3.14。
2. 推导（简单理解）
- 可以把球的表面想象成由无数个小的三角形组成。
当把这些小三角形的面积加起来时，通过极限的思想就可以得到球的表面积公式。
从数学上更严谨的推导需要用到高等数学中的积分知识。
- 例如，我们知道圆的周长公式C = 2π r，如果我们把球沿着某条直径切开，得到的圆的周长就和球的表面积有一定的联系。
把球的表面展开（一种想象的展开），可以发现球的表面积和半径的关系是S = 4π r^2。
二、圆球体积公式。
1. 公式。
- 圆球的体积公式为V=(4)/(3)π r^3，其中V表示圆球的体积，r表示球的半径，π是圆周率，通常取3.14。
2. 推导（简单理解）
- 一种简单的理解方式是通过祖暅原理。
祖暅原理指出：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
- 我们可以把球看成是由无数个小的圆锥组成（一种极限的思想）。
从数学上更严谨的推导同样需要用到积分知识。
例如，我们可以通过将球与圆柱、圆锥等几何体建立联系，利用已知几何体的体积公式，通过积分运算推导出球的体积公式。
球的体积与表面积公式
球的体积与表面积公式球体是一种三维几何体，其特点是每一点到中心点的距离都相等。
计算球的体积和表面积是在数学和几何学中的基本问题。
本文将介绍球的体积和表面积的计算公式，并且通过实例演示如何应用这些公式进行计算。
一、球的体积公式球体的体积是指球内部所占据的空间大小，用于描述球体的容积。
球的体积公式如下：V = (4/3)πr³其中，V表示球的体积，π是一个数学常数，近似值为3.14159，r 表示球的半径。
例如，如果已知一个球的半径为5单位长度，我们可以使用体积公式计算该球的体积。
V = (4/3)π(5)³≈ 523.6因此，该球的体积近似为523.6个单位体积。
二、球的表面积公式球体的表面积是指球的外部曲面的总面积，用于描述球的大小。
球的表面积公式如下：A = 4πr²其中，A表示球的表面积，π是一个数学常数，近似值为3.14159，r表示球的半径。
举个例子，如果已知一个球的半径为5单位长度，我们可以使用表面积公式计算该球的表面积。
A = 4π(5)²≈ 314.159因此，该球的表面积近似为314.159个单位面积。
三、应用实例为了更好地理解球的体积和表面积公式的应用，我们举个具体的实例。
假设有一个网球，其半径为3.5单位长度，我们可以通过体积公式计算该网球的体积。
V = (4/3)π(3.5)³≈ 179.592因此，该网球的体积近似为179.592个单位体积。
同时，我们可以通过表面积公式计算该网球的表面积。
A = 4π(3.5)²≈ 153.937因此，该网球的表面积近似为153.937个单位面积。
这个实例向我们展示了如何使用球的体积和表面积公式进行计算。
通过掌握这些公式，我们可以方便地计算不同半径的球体的体积和表面积，为实际问题解决提供了数学工具和便利。
总结：本文介绍了球的体积和表面积的公式，并通过实例演示了如何应用这些公式进行计算。
球面积公式和体积公式
球面积公式和体积公式
球面积公式和体积公式是非常重要的数学公式，在很多地方有着广泛的应用，它们已经成为了数学家们求解问题的重要手段。
球面积公式是用来计算球的表面积的，它表达的是球面所占的平面积，它的公式为：S=4πr2，其中S是球面积，r是球的半径。
这个公式可以用来计算任何大小的球的表面积，只要知道球的半径就可以计算出球的表面积。
体积公式是用来计算球的体积的，它表示的是球体所占的空间体积，它的公式为：V=4/3πr3，其中V是球的体积，r是球的半径。
这个公式也可以用来计算任何大小的球的体积，只要知道球的半径就可以计算出球的体积。
球面积公式和体积公式能够让我们快速准确地计算出球的表面积和体积，它们不仅仅可以用于常见的球体，在物理学中，用它们也可以计算其他类型的球体，比如圆形的星球和行星等。
球面积公式和体积公式也可以应用于其他领域，比如建筑学、化学和工程等。
在建筑学中，它们可以用来计算柱体和圆顶的表面积和体积；在化学中，它们可以用来计算溶液体积；在工程中，它们可以用来计算金属材料的体积。
球面积公式和体积公式是非常重要的数学公式，它们在很多领域都
有广泛的应用，是数学家们求解问题的重要手段。
球的表面积及体积计算公式
球的表面积及体积计算公式：V球
=4/371 r A3；S球=4n产2。
（r为球的半径）
讨论：公式的特点；球面是否可展开为一个平面图形？（证明的基本思想是：“分割-求体积和-求极限-求得结果”，以后的学习中再证明球的公式）
练习：一个气球的体积扩大2倍，那么它的表面积、体积分别扩大多少倍？ 2.体积公式的实际应用：
示例：一种空心钢球的质量是142g,外
径是5.0cm ,求它的内径.（钢密度7.9kg/cm3）讨论：如何求空心钢球的体积？
列式计算-小结：体积应用问题.
示例：有一个倒圆锥形容器，它的轴截而是一个正三角形，在容器内放入一个半径为R的球，并注入水，使水而与球正好相切，然后将球取出，求此时容器中水的深度.
圆柱容球定理是这样的：
圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球。
在圆柱容球中，球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表而积也是圆柱全面积的三分之
—A e
在今天看来这个泄理不难证明，事实上：
设圆的半径为R,球的体积与圆柱的体积分別为V球及V柱，球的表而积与圆柱的全而积分别为S球及S柱，则有：
V 柱=底而积x高=71 r'2x2r=2n r'3
V 球=4/3n <2
V球=3/2V柱
S柱=侧而枳+上下底面积=2JI r«2r+2n r*2 = 6n r*2
S 球=4TT <2
S球=3/2S柱。
计算球体的体积和表面积之比
计算球体的体积和表面积之比球体是几何学中的一种特殊几何体，由一组和一个固定点距离相等的点构成，这个固定点就是球心，而点与球心的距离称为半径，用符号r表示。
球体是一个三维的几何体，其体积和表面积是非常重要的性质，可以通过简单的公式进行计算。
一、球体的体积公式球体的体积表示的是球体所包含的三维空间的大小，用公式可以表示为：V = (4/3)πr³其中，V表示球体的体积，π表示圆周率，它约等于3.14159，r表示球体的半径。
二、球体的表面积公式球体的表面积表示的是球体外表面的大小，用公式可以表示为：A = 4πr²其中，A表示球体的表面积，π表示圆周率，r表示球体的半径。
三、体积和表面积之比的计算要计算球体的体积和表面积之比，可以使用上述的公式进行计算，将体积和表面积代入计算。
假设球体的半径r为5单位，那么根据公式计算可得到：V = (4/3)π(5)³ ≈ 523.6A = 4π(5)² ≈ 314.16将计算结果代入比值公式可得：比值= V/A ≈ 523.6 / 314.16 ≈ 1.67所以，球体的体积和表面积之比约为1.67。
结论：通过计算，我们得到了球体的体积和表面积之比为1.67。
这一比值在几何学和物理学中具有一定的意义。
体积和表面积之比的大小取决于球体的半径，当半径增大时，比值也会增大，反之亦然。
这个比值可以用来比较不同球体之间的大小关系，也可以在数学和科学研究中应用。
在实际生活中，球体的体积和表面积之比也可以用来解决一些应用问题，例如在建筑设计、工程计算等领域。
总结：通过本文的介绍，我们了解了如何计算球体的体积和表面积之比，并通过一个实际的例子进行了计算。
体积和表面积是球体的两个重要性质，它们之间的比值可以用来描述球体的大小关系。
了解和掌握这一比值的计算方法对于进一步研究和应用球体的相关问题非常有帮助。
对于读者来说，通过学习本文，可以更深入理解球体的性质和应用，为未来的学习和研究打下坚实的基础。
球的表面积和体积比例关系
球的表面积和体积比例关系球是一种非常常见的几何体，在日常生活、体育运动、科学研究等领域都有广泛应用。
球的特点是具有无限个相同大小的面，这些面都是圆形的，且中心点均在球心上。
在球与我们之间建立各种关系时，球的表面积和体积比例关系也非常重要，它不仅能够帮助我们计算球的各项属性，还能够启示我们在许多问题中寻找解决方案的思路。
一、球的表面积和体积的计算公式在了解球的表面积和体积的比例关系之前，我们首先需要了解两者如何计算。
球的体积公式为：V=4/3πr^3其中，r为球的半径，π是一个常数3.14。
球的表面积公式为：S=4πr^2同样是r为球半径，π为常数，这个公式代表了整个球体所有的表面积。
二、球的表面积和体积的比例关系我们不妨一起来思考一下，当球的半径r不同时，球的表面积和体积的比例关系是怎样的？首先，我们可以将球的表面积公式和体积公式同时改写为：S=r^2×4πV=r^3×4/3π可以看出，球的表面积与半径的平方成正比，而球的体积与半径的三次方成正比。
这个结论告诉我们，随着半径的增大，球的表面积和体积将以不同的速率增大。
具体来说，当我们将球的半径增大一倍时，球的表面积将增大4倍，而体积将增大8倍；增大两倍时，球的表面积将增大16倍，而体积将增大64倍。
由此可见，球的表面积与体积的增长速度不同，两者的比例关系也就随之不同。
三、球的表面积和体积比例关系的应用球的表面积和体积比例关系可以在各种领域中应用。
以下是其中的几个例子：1、体育运动领域如篮球、足球、网球等各种运动球类，它们的大小是有规定的。
这样，在比赛的计分和规则制定中就需要去考虑每个球的大小对于比赛和运动员的影响，而这就需要了解球的体积和表面积之间的关系。
2、科学研究领域在化学、物理、生物等领域中，常常需要运用球的表面积和体积比例关系来推导、证明某种理论或基本定理。
例如：利用球计算颗粒性质、表面积及质量等方面，发展纳米技术，这就需要利用球的表面积和体积相对的特性。
球的表面积体积公式
球的表面积体积公式球的表面积体积公式是有关球体物理学上最基本的几何概念之一。
它指的是由一个定义在三维空间中的球所围成的外形，拥有一个完整的表面，并且拥有一个确定的体积。
由于球体的特殊性，它们可以被用来描述很多自然界中的物体，例如地球、月球、火星、行星、星云等，而球的表面积体积公式可以用来计算它们的表面积和体积。
球的表面积体积公式是由法国数学家拉格朗日在1700年代提出的，它表示球体的表面积S和它的体积V的关系，即:S=4πR² (1) V= 4/3πR³ (2)其中R为球的半径。
从数学角度来看，球的表面积体积公式的推导是基于变分原理的：假设存在一个球体的表面，其体积为V，这时将该球体的表面分割成许多小的正方体，每个小正方体的体积都相同，假设为dV，那么该球体的表面积S就可以写成以下形式：S=∫dS = ∫n dS (3)其中n表示正方体的数量，dS为每个正方体的表面积，分析可知，dS可表示为：dS = 6dV (4)将（3）式代入（4）式，可得：S=6∫dV (5)现在，要求求得球体的表面积，只需要求得该球体的体积，将其代入（5）式即可。
接下来，要求得球体的体积V，可以采取积分的方法：V=∫dV (6)将球体的半径R代入（6）式，可得：V=∫R²sinθdφdθ (7)将（7）式积分，可得：V= 4/3πR³ (8)将（8）式代入（5）式，可得：S=4πR² (9)将（9）式代入（1）式，可得：S=4πR² (10)由此可见，球的表面积体积公式S=4πR²和V=4/3πR³是由变分原理推导出来的，其中R为球的半径，π为常数π，它们可以用来计算球体的表面积和体积。
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球的表面积及体积计算公式： V球=4/3πr^3；=4πr^2。
（r为球的半径）?
讨论：公式的特点；球面是否可展开为一个（证明的基本思想是：“分割→求体积和→求极限→求得结果”，以后的学习中再证明球的公式）?
练习：一个气球的体积扩大2倍，那么它的表面积、体积分别扩大多少倍 2.?的实际应用：?
示例：一种空心钢球的质量是142g，外径是，求它的内径. （钢密度cm3）
讨论：如何求空心钢球的体积
列式计算→ 小结：体积应用问题.?
示例：有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放入一个半径为R的球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求此时容器中水的深度.?
圆柱容球定理是这样的：?
圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球。
在圆柱容球中，球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱全面积的三分之二。
?
在今天看来这个定理不难证明,事实上：?
设圆的半径为R，球的体积与圆柱的体积分别为V球及V柱，球的表面积与圆柱的分别为及S柱，则有:?
V柱=×高=πr^2×2r=2πr^3
V球=4/3πr^2
V球=3/2V柱?
S柱=+上下底面积=2πr×2r+2πr^2=6πr^2
S球=4πr^2
S球=3/2S柱。