二倍角公式的两个特殊变式及应用
(完整版)两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
成功是必须的:两角和与差及其二倍角公式知识点及典例知识要点： 1、 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C( a — 3 ): cos( a — 3 )= S( a + 3 ): sin( a + 3 )=T( a + 3 ): tan( a + 3 )=2、 二倍角的正弦、余弦、正切公式 S 2 : sin2 a = C( a + 3 ): cos( a + 3 )= S( a — 3 ): T( a — 3 )： 2h例 2 设 cos a —21 9’T 2 : tan2 . asin 2 — 23,其中n 2,n0, 2，求 cos( a+ 3).sin( a — 3 )= tan( a — 3 )= C 2 : cos2 a =— — ,3、 在准确熟练地记住公式的基础上 ，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等。
如T( a± 3可变形为：tan a± tan 3= 考点自测： 1、已知tan A 、7 11 B、 tan 3 = 3, 7 11 变式2:已知03.ncos(— 4 435，sin( 4)—,求 sin( a + 3 )的值. 13则 tan( a C 、？ 13 tan a an 3= 3)=( 13 题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围;值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调 )；(3)求出角。
1 1例 3 已知 a, 3^ (0, n,且 tan (a — 3 ="2, tan 3=— 7 求 2 a — 3 的值.(2)求角的某一个三角函数n a — 6 +A —症A . 5 2、已知cos 3、在厶ABC 中，若 sin a= 43」 B辺B.5 4 q 5cosA = 5，cosB = 13, B 56 B.65sin 7 n a+舀的值是( C . — 4 5 则cosC 的值是( c 丄或56 C.65或65 4、若 cos2 9+ cos 0= 0,贝U sin2 0+ sin B 的值等于( )C . 0 或 3 4D ・516 65 0或土 3A . 0B . ± 3 一.卜 2cos55 — j‘3sin55、二角式 A 辽 2 题型训练 题型1给角求值 一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系(与特殊角的联系)化为特殊角 cos5B.o■值为( 例 1 求[2si n50 sin 10 (1 3tan10)]? 2sin 280 的值• 11变式3:已知tan a =, tan 3 =-，并且a , 3均为锐角，求a +23的值.7 3题型4辅助角公式的应用J 22asinx bcosx a b sin x (其中 角所在的象限由 a, b 的符号确定，角的值由btan —确定)在求最值、化简时起着重要作用。
二倍角公式课件
2
π π 2 (2) sin cos 8 8 π π 解题点拨：对比公式 2 2 (cos sin ) 8 8 π 2 2 cos cos2α cos α sin α 4 2 2
四、例题教学(公式变形用)
1 tan22.5 2 2 1 tan 22.5 2
1、两角和、差角的余弦公式
复 习 旧 知
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
2、两角和、差角的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin
tan22.5 (3). 1 tan 2 22.5
利用公式
2tanα tan2α 1 tan 2 α
1 tan 2 22.5 2 1 tan 45 2 1 2
四、例题教学(公式变形用)
例2. (1). sin2230' cos2230'
π π 2 (2) sin cos 8 8
3、两角和、差的正切公式 tan tan tan( ) 1 tan tan tan tan tan( ) 1 tan tan
一、研究两角和的三角公式
cos cos cos sin sin
; 3 2 1 3 (3)原式 tan 30° ; 2 6 (2)原式 cos
2 4 原式=cos45° . 2
五、练习深化
3 1 、 已知sin( - ) , 求 cos 2的值 5
1 2、 已知tan2 , 求 tan 的值。 3 3 、 已知函数f ( x) (cos x sin x)(cos x sin x) 求函数f ( x)的最小正周期。
二倍角公式及辅助角公式综合应用
2
x 2 x (2) cos sin ; 8 8
2
(4)1 2sin x.
2
2
sin 2 2 sin cos
公式从右向左用即为：
2 sin cos sin 2
两边同时除以2，即得
1 sin cos sin 2 2
课堂小结
2 2 y A sin x B sin x cos x C cos x 类问题的步骤： D 解
1.利用下列公式，将y化成y=asin2x+bcos2x+k的形式
1 1 cos 2 2 sin cos sin 2 sin 2 2 1 cos 2 2 cos 2 2.再利用辅助角公式将y化成 y a 2 b2 sin 2 x 形式 c
1 ）, (12分)(2013·陕西高考)已知向量a=（cos x, 2
b=(
sin x,cos 2x),x∈R,设函数f(x)=a·b.
(1)求3 f(x)的最小正周期. (2)求f(x)在 [0, ] 上的最大值和最小值.
2
(2)当x [0, ]时，(2x－ ) [ , 5 ] ②,…………………8分
例4、 求函数y sin x +2sinx cosx+ 3 cos x的最值.
2 2
11
针对练习
1、求下列三角函数的最值及最小正周期
(1)2sin x 2 3 cos x (2) 6 cos 2 x 2 sin 2 x 1 1 (2) sin x cos x 2 2 1 1 (3)5sin x 12cox x 2 2
高考数学：三角函数与解三角 第七讲二倍角
1
2
＝sin 15°cos 15°＝2sin 15°cos 15°
＝sin 230°＝4.
sin 20°
sin 20°＋2sin 40°
(2)原式＝cos 20°＋4sin 20°＝
cos 20°
＝sin
20°＋2sin 60°－20° cos 20°
3
1
2．(2015·衡水中学高三第二学期二调)cos 10°－sin 170°＝( )
A．4 C．－2
B．2 D．－4
3.(2015·东北三校联考)已知 sin α＋cos α＝13，则 sin2π4 －α＝(
)
A.118
B.1178
8
2
C.9
D. 9
4．(2015·唐山市第一次模拟)若 sinπ6 －α＝13，
3
2.(1)已知 sin 2 = 3 ，那么 cosα=
.
3
(2)设α为第二象限角，sinα= 5 ，则sin2α=
.
知识运用 2
給角求值
【例 2】（1）sin 110°－cos 130°；(2)cos 20°cos 40°cos 80°.
【变式实践 2】 求下列各式的值： (1)tan 15°＋csoisn 1155°°； (2)tan 20°＋4sin 20°的值．
（Ⅰ）求 f（ ）的值；
（Ⅱ）求函数 f（x）的最小正周期； （Ⅲ）求函数 g（x）=f（x）+f（x+ ）的最大值．
（2）. 【重庆市巴蜀中学高 2016 级高三学期期中考试 17】（本题满分 12 分）已 知 a = (sinx, −cosx) ， b = (cosx, 3 cosx) ,函数 f (x) = a b+ 3 .
知识讲解_二倍角的正弦、余弦、正切公式_提高
二倍角的正弦、余弦和正切公式【学习目标】1．能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的内在联系.2．能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式．但不要求记忆），能灵活地将公式变形并运用．3．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用.【要点梳理】要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式2sin 22sin cos ()S αααα=⋅22222cos 2cos sin ()2cos 112sin C αααααα=-=-=-222tan tan 2()1tan T αααα=-要点诠释：(1)公式成立的条件是：在公式22,S C αα中，角α可以为任意角，但公式2T α中，只有当2k παπ≠+及()42k k Z ππα≠+∈时才成立； (2)倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其它如4α是2α的二倍、2α是4α的二倍、3α是32α的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键. 如：2cos2sin2sin ααα=；11sin2sincos ()222nn n n Z ααα++=∈2．和角公式、倍角公式之间的内在联系在两角和的三角函数公式βαβαβαβα=+++中，当T C S ,,时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下：要点二：二倍角公式的逆用及变形 1．公式的逆用2sin cos sin 2ααα=；1sin cos sin 22ααα=．2222cos sin 2cos 112sin cos 2ααααα-=-=-=．22tan tan 21tan ααα=-．2．公式的变形21sin 2(sin cos )ααα±=±；降幂公式：221cos 21cos 2cos,sin 22αααα+-==升幂公式：221cos 22cos ,1cos 22sin αααα+=-=要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型求值题、化简题、证明题 1．对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换元等；2．掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如(),2()()ααββααβαβ=-+=++-等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之间的规律(如互余、互补、和倍关系等等)；3．将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接. 【典型例题】类型一：利用二倍角公式的简单应用 例1.求下列各式的值： （1）sincos1212ππ；()2152sin 212π-；（3）224sin 1533-︒． 【思路点拨】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式． 【答案】（1）14；（2）4-（3）3【解析】()1111112sin cos sin 2121226224πππ⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭原式 ()21515212sin cos 21226111cos cos 2626224πππππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎛⎫=-=-=-⨯=- ⎪⎝⎭原式（3）222422sin 15(12sin 15)cos3033333-︒=-︒=︒=． 【总结升华】 解答本类题型重要的是抓住公式的特征，如角的关系、次数的关系等，抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起至关重要的作用，而且抓住了公式的特征，有利于在解题时观察分析题设和结论中所具有的与公式相似的结构特征，并联想到相应的公式，从而找到解题的切入点．举一反三：【变式1】求值：（1）cossincos sin 12121212ππππ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）22cos 18π-；（3）22tan 751tan 75-．【答案】（1）2；（2）2；（3）【解析】（1）原式=22cossin cos121262πππ-==；（2）原式=cos(2)cos842ππ⨯==； （3）原式=3tan150tan(18030)tan 30=-=-=-． 类型二：利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值例2. 求sin6°·sin42°·sin66°·sin78°的值．【思路点拨】解这类题型有两种方法：方法一：将原式中角度成二倍角的正弦形式全部转化为余弦形式，利用sin 2cos 2sin ααα=进行化简．方法二：把原式作为A 式，然后把A 式中正弦形式全部化为余弦形式，把这个式子作为B 式，再两式相乘．【答案】116【解析】 方法一：原式︒︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅︒=cos6248cos cos24cos12cos62sin6︒⋅︒⋅︒⋅︒=︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅︒=6cos 248cos cos242sin246cos 248cos cos2412cos 2sin1232 .1616cos 61cos66cos 1696sin 6cos 248cos sin4824=︒⋅︒=︒⋅︒=︒⋅︒⋅︒=【总结升华】一般地，对于ααααncos24cos cos2cos ⋅⋅，可以通过乘以sin α后连结使用二倍角公式化简，这样便可以生产“连锁反应”．方法二：设所求为A ，即A=sin6°·sin42°·sin66°·sin78° 设B=cos6°·cos42°·cos66°·cos78°则︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅=156sin 132sin 84sin 12sin 161AB B 66cos 42cos 6cos 78cos 161=︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅==116B .161,0=∴≠A B 【总结升华】在不能观察到所求角的互余角的倍数关系以前．通过设B 来构造可以利用二倍角公式的“对偶”式，算出乘积再约去B ．从而得到原式的值．这也是处理类似问题的一种常见方法． 举一反三：【变式1】248cos cos cos cos .17171717ππππ求值： 【解析】442482sincoscoscos cos17171717172sin17ππππππ=原式 17sin 2178cos 174cos 172cos 172sin 243πππππ=17sin2178cos174cos 174sin 242ππππ= 17sin 2178cos 178sin 24πππ=17sin 21716sin 4ππ=.16117sin217sin17sin 2)17sin(44==-=πππππ 例3．求值：[2sin 50sin10(1︒+︒+︒． 【思路点拨】化正切为正弦、余弦，便于探索解题思路．【解析】原式[2sin50sin10(1tan60tan10)]=︒+︒+︒⋅︒cos 60cos10sin 60sin102sin 50sin10cos 60cos10︒︒+︒︒⎛⎫=︒+︒⋅︒ ⎪︒︒⎝⎭cos502sin 50sin10cos10cos 60︒⎛⎫=︒+︒⋅︒ ⎪︒︒⎝⎭50cos10cos50sin10)=︒︒+︒︒10)602=︒+︒=︒== 【总结升华】逆用二倍角余弦公式和和角的正弦公式，使得问题简单化． 举一反三：【高清课堂：两角和与差的三角公式 401863 例4】 【变式1】求值：1sin10cos10-︒︒【解析】原式cos103sin10-=132(cos10sin10)22sin10cos10-=2sin 201sin 202=4【高清课堂：两角和与差的三角公式 例5】【变式2】求值：sin 50(1)︒+︒ 【解析】原式=sin 50(1)cos10+=13sin 502(cos10sin10)22cos10⋅+=2sin 40cos 40cos10=sin 80cos10=1类型三：利用二倍角公式化简三角函数式例4．化简：22221sin sin cos cos cos 2cos 22αβαβαβ+-⋅． 【思路点拨】观察式子的结构，把倍角展开成单角，然后再进行化简． 【答案】12【解析】 方法一：原式2222221sinsin cos cos (2cos 1)(2cos 1)2αβαβαβ=+-⋅-⋅-222222221sin sin cos cos (4cos cos 2cos 2cos 1)2αβαβαβαβ=+---+2222221sin sin cos cos cos cos 2αβαβαβ=-++-222221sin sin cos sin cos 2αβαββ=++-22111sin cos 1222ββ=+-=-=．方法二：原式22221sinsin (1sin )cos cos 2cos 22αβαβαβ=+--22221cos sin (cos sin )cos 2cos 22βαββαβ=---221cos sin cos 2cos 2cos 22βαβαβ=--221cos cos 2sin cos 22ββαα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1cos 21cos 2cos 2cos 2222βααβ+-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1cos 2cos 21222ββ+=-=． 方法三：原式1cos 21cos 21cos 21cos 21cos 2cos 222222αβαβαβ--++=⋅+⋅-111(1cos 2cos 2cos 2cos 2)(1cos 2cos 2cos 2cos 2)cos 2cos 2442αβαβαβαβαβ=--+++++-111442=+= 方法四：原式21(sin sin cos cos )2sin sin cos cos cos 2cos 22αβαβαβαβαβ=-+-211cos ()sin 2sin 2cos 2cos 222αβαβαβ=++-21cos ()cos 2()2αβαβ=+-+2211cos ()[2cos ()1]22αβαβ=+-+-=．【总结升华】 在对三角函数作变形时，以上四种方法提供了四种变形的角度，即分别从“角”的差异，“名”的差异，“幂”的差异以及“形”的特征四个方面着手研究，这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法．举一反三：【变式1】化简下列各式：(1)sin sin 21cos cos 2θθθθ+++（2【答案】（1）tan θ（2）2sin 4-【解析】(1).tan )cos 21(cos )cos 21(sin cos 2cos cos sin 2sin 2cos cos 12sin sin 2θθθθθθθθθθθθθθ=++=+⋅+=+++(2) 原式=2|cos 4|+=2cos 42|sin 4cos 4|-+- =2cos42cos42sin 4-+- =2sin 4-【变式2】（1）化简：2sin()42cos2sincos1222παααα++-（2）若tan 3α=-，求sin 2cos 5cos sin αααα+-的值．【答案】（1；（2）18- 【解析】（1）2sin()sin()sin()444sin cos 22cos 2sin cos 1)2224πππααααααπααα+++===++-+； （2）sin 2sin 2cos tan 2321cos sin 5cos sin 5tan 5(3)85cos αααααααααα+++-+====------．类型四：二倍角公式在三角函数式给值求值题目中的应用例5．已知3cos 45x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且77124x ππ<<，求2sin 22sin 1tan x x x +-的值． 【思路点拨】观察所求的角与已知角的关系，发现它们是二倍的关系，所以用二倍角公式去求解． 【答案】2875-【解析】 原式2sin sin 22sin cos sin 22sin cos 1tan 1tan x x x x x xx xx+⋅+==--sin 2(1tan )sin 2tan 1tan 4x x x x x π+⎛⎫==⋅+ ⎪-⎝⎭．∵77124x ππ<<，∴5264x πππ<+<．∵3cos 045x π⎛⎫+=>⎪⎝⎭，∴3224x πππ<+<．∴4sin 45x π⎛⎫+==-⎪⎝⎭，∴sin 44tan 43cos 4x x x πππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+==- ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭． 又∵2sin 2cos 212cos 24x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23712525⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭， ∴2sin 22sin sin 2tan 1tan 4x x x x x π+⎛⎫=⋅+ ⎪-⎝⎭742825375⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭． 【总结升华】要注意本题中的角“2x ”与“4x π+”的变换方法，即sin 2cos 2cos 224x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2212cos 2sin 144x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．举一反三：【高清课堂：倍角、半角公式370633 例2】 【变式1】求值： （1）已知3sin()1225πθ-=，求cos()6πθ-．（2）已知sin()4m πα+=，求sin2α．【答案】（1）725（2）221m - 【解析】 （1）cos()cos cos 266122πππθθθ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=212sin 122πθ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ =91225-⨯ =725（2）sin 2cos(2)2παα=-+=212sin 4πα⎡⎤⎛⎫--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ =212sin 4πα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=221m -【变式2】 已知：tan θ=2，求θθ2sin 21sin 412+的值． 【答案】35 解法一：θθ2sin 21sin 412+=θθθθθθθθθ222222cos sin cos sin sin 41cos sin 2sin 21sin 41++=++（转化成了齐次式） =531424411tan tan tan 4122=++⨯=++θθθ解法二： ∵tan θ=2,∴sin θ=2k ，cos θ=k原式221122(2)342k k k k =+⋅⋅=（） 又∵sin 2θ+cos 2θ=1即（2k ）2+k 2=1∴22113;33555k k =∴==⋅=原式 例6．已知223sin 2sin 1αβ+=，3sin 22sin 20αβ-=，且α、β都是锐角，求2αβ+． 【答案】90︒【解析】 由223sin 2sin 1αβ+=，得2212sin 3sin βα-=，即2cos 23sin βα=． 由3sin 22sin 20αβ-=，得3sin 2sin 22βα=． cos(2)cos cos 2sin sin 2αβαβαβ+=-23cos 3sin sin sin 22αααα=⋅-⋅223sin cos 3cos sin 0αααα=⋅-⋅=．∵0°＜α＜90°，0°＜β＜90°，∴0°＜2αβ+＜270°． 在0°与270°之间只有90°的余弦值为0，故290αβ+=︒．【总结升华】给值求角题的求解一般按如下两个步骤进行（这两个步骤缺一不可）：①根据题设条件，求角的某一三角函数值；②讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小．类型五：二倍角公式的综合应用例7．（2015春 广州期末）已知函数f （x ）=a sin x +cos x 的图象经过点(,1)2π-．（1）求函数f （x ）的最小正周期与单调递增区间． （2）若(0,)2πθ∈，且1()2f θ=，求sin2θ的值． 【答案】（1）2π，5[2,2]44k k ππππ-+-，k ∈Z ；（2）3sin 24θ= 【解析】（1）因为函数()sin cos f x a x x =+的图象经过点(,1)2π-，所以()12f π=-，即sincos122a ππ+=-，解得：a =－1，()cos sin )4f x x x x π=-=+，221T ππ==，所以函数f （x ）的最小正周期为2π．因为函数y =cos x 的单调递增区间为[2k π－π，2k π]，k ∈Z ， 所以224k x k ππππ-≤+≤，解得：52244k x k ππππ-+≤≤- 所以函数f （x ）的单调递增区间为5[2,2]44k k ππππ-+-，k ∈Z （2）解法1：∵1()2f θ=，1)42πθ+=．∴cos()44πθ+=．∴223sin 2cos(2)12cos ()12(2444ππθθθ=-+=-+=-⨯=．解法2：∵1()2f θ=1)42πθ+=．1cos sin sin )442ππθθ-=．∴1cos sin 2θθ-=．两边平方得221cos 2cos sin sin 4θθθθ-+=．∴3sin 24θ=．【总结升华】本题主要考查了由sin()y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式，二倍角公式的应用，正弦函数的图象和性质，三角函数恒等变换的应用．举一反三：【变式1】（2016 广东中山市模拟）已知函数2()sin 2cos f x x a x =-，a 为常数，a ∈R ，且()04f π=． （1）求函数f （x ）的最小正周期．（2）当11[,]2424x ππ∈时，求函数f （x ）的最大值和最小值．【答案】（1）π；（21；最小值为12--． 【解析】（1）由已知得2()sin cos 0424f a πππ=+= 即1102a +=， 所以a=－2所以22()sin 22cos sin 2cos 1)14f x x x x x x π=-=--=-- 所以函数f （x ）的最小正周期为π（2）由11[,]2424x ππ∈，得22[,]463x πππ-∈- 则1sin(2)[,1]42x π-∈-所以1)1124x π--≤--≤所以函数y=f （x 1；最小值为1-． 例8．已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量P ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量q ＝(sinA －cosA ，1＋sinA)是共线向量.（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求函数y ＝2sin 2B ＋cos 32C B -的最大值. 【思路点拨】 首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式，由于可求得A 角的正弦值，再根据角的范围即可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅱ)小题根据第(Ⅰ)小题的结果及A 、B 、C 三个角的关系，结合三角恒等变换公式将函数转化为关于角B 的表达式，再根据B 的范围求最值.【答案】（Ⅰ）3π（Ⅱ）2 【解析】 （Ⅰ）∵P 、q 共线，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA ＋sinA)(sinA －cosA)，则sin 2A ＝34，又A 为锐角，所以sinA A ＝3π.（Ⅱ）y ＝2sin 2B ＋cos 32C B -＝2sin 2B ＋cos 332B B ππ⎛⎫--- ⎪⎝⎭， ＝2sin 2B ＋cos(3π－2B)＝1－cos2B ＋12cos2B＋2sin2B＝2sin2B －12cos2B ＋1＝sin(2B －6π)＋1. ∵B ∈(0，2π)，∴2B －2π∈(－6π，56π)，∴2B －6π＝2π，解得B ＝3π，y max ＝2. 【总结升华】 本题主要考查向量共线(平行)的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有界性.本题解答有两个关键：（1）利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题；（2）根据条件确定B 角的范围.一般地，由于在三角函数中角是自变量，因此解决三角函数问题确定角的范围就显得至关重要了. 举一反三：【变式1】已知向量m =（sinA ，cosA ），=-n ，m ·n =1，且A 为锐角．（1）求角A 的大小； （2）求函数()cos 24cos sin f x x A x =+（x ∈R ）的值域．【答案】（1）3π（2）33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】（1）由题意，得cos 1m n A A ⋅=-=，2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 由A 为锐角得66A ππ-=，3A π=．（2）由（1）知1cos 2A =， 所以2213()cos 22sin 12sin 2sin 2sin 22f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=-⋅-+ ⎪⎝⎭．因为x ∈R ，所以sinx ∈[－1,1]． 因此，当1sin 2x =时，()f x 有最大值32，当sin x=－1时，()f x 有最小值－3，所以所求函数()f x 的值域是33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．。
(整理版)二倍角公式的两个特殊变式及应用
二倍角公式的两个特殊变式及应用一、变式变式1：sin2α＝sin 2(α＋4π)－cos 2(α＋4π) ＝2sin 2(α＋4π)－1 ＝1－2cos 2(α＋4π)． 变式2：cos2α＝2sin(α＋4π) cos(α＋4π)＝2sin(4π＋α) sin(4π－α)． 以上两个变式的形式与二倍角正、余弦形式恰相反，角度变为(α＋4π)．其实证明只需运用诱导公式再结合倍角公式即可解决．由sin2α＝－cos(2α＋2π)＝－cos2(α＋4π)，及cos2α＝sin2(α＋4π)，再用倍角公式即可． 二、应用变式1、2主要用于题中含有2α与4π±α问题的转化． 例1 cos(α＋4π)＝35，求sin 2sin 4απα⎛⎫- ⎪⎝⎭． 分析：此题只需将sin2α及sin(4π－α)，运用变式及诱导公式转化成cos(α＋4π)形式即可解决问题． 解：∵cos(α＋4π)＝35，由变式1，得 sin2α＝1－2cos 2(α＋4π)＝725． sin(4π－α)＝cos(α＋4π)＝35． ∴ 原式＝77253155=． 例2 sin(4π＋x )sin(4π－x )＝16，x ∈(2π，π)，求sin4x 的值． 分析：此题只需求cos2x 即可，又由变式2并结合题意即可解决．解：由变式2，得cos2x ＝2sin(4π＋x )sin(4π－x )＝31，又2x ∈(π，2π)，∴ sin2x 3．∴ sin4x ＝2sin2x cos2x ＝－9． 例3 x ∈(－2π，2π)，且sin2x ＝2sin(x －4π)，求x 的值． 分析：将角2x 与x －4π统一即可，又运用变式1即可到达目的． 解：由变式1，原方程可化为1－2cos 2(x ＋4π)＝－cos(x ＋4π)． 解得cos(x ＋4π)＝1或cos(x ＋4π)＝－21． 又x ∈(－2π，2π)， ∴x ＋4π＝0或x ＋4π＝23π， ∴ x ＝－4π或x ＝－512π．。
(江苏专用)高考数学一轮复习 第五章 三角函数、解三角形 第24课 二倍角的三角函数教师用书-人教版
第24课 二倍角的三角函数[最新考纲]内容要求AB C 二倍角的正弦、余弦及正切√1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 2．二倍角公式的变形及逆用 (1)公式C 2α的变形： ①sin 2α＝12(1－cos 2α)；②cos 2α＝12(1＋cos 2α)．(2)公式的逆用：①1±sin 2α＝(sin α±cos α)2； ②sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对∀α∈R ，sin 2α＝2sin α均不成立．( ) (2)sin2π8－cos 2π8＝cos π4＝22.( ) (3)sin α＋cos α＝1＋sin 2α.( ) (4)等式1＋cos α＝2sin 2α2对∀α∈R 均成立．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．下列各式中值为32的是________．(填序号) ①2sin 15°cos 15°；②cos 215°－sin 215°；③2sin 215°－1；④sin 215°＋cos 215°. ② [2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12，cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32，2sin 215°－1＝－cos 30°＝－32， sin 215°＋cos 215°＝1.]3．若sin α＝255，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan 2α＝________.－43 [∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝255，∴cos α＝1－sin 2α＝55， ∴tan α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43.] 4．(2017·某某模拟)若tan α＝3，则sin 2α1＋cos 2α＝________.3 [sin 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α2cos 2α＝tan α＝ 3.] 5．(教材改编)函数 f (x )＝3sin x ＋cos x 的最小值为________．－2 [函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的最小值是－2.]应用倍角公式求值(2017·某某模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.(1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值． [解] (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2， ∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3·sin π3＝12.(2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π. 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32.∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.[规律方法] 给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．如本题中⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝π2，从而先利用诱导公式变换函数名，进而逆用二倍角公式求值．[变式训练1] (2017·某某、某某二模)已知α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝55.(1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值. 【导学号：62172133】 [解] (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝255，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2.(2)因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝－35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2sinπ6＝43＋310.应用倍角公式化简(1)化简：sin 2α－2cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.(2)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .(1)22cos α[原式＝2sin αcos α－2cos 2α22sin α－cos α＝22cos α.](2)原式＝－2sin 2x cos 2x ＋122sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝121－sin 22x2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝12cos 22x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝12cos 2x .[规律方法]1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最常见的是“切化弦”．(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．2．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．[变式训练2] 化简sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin 2α＝________.12 [法一：原式＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π32＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π32－sin 2α ＝1－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－sin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 法二：令α＝0，则原式＝14＋14＝12.]三角变换的简单应用已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值. 【导学号：62172134】[解] (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.[规律方法] 1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．2．把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．[变式训练3] 已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性．[解](1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32.因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减．[思想与方法]1．三角函数的求值与化简要注意观察角、函数名称、式子结构之间的联系，然后进行变换．2．利用三角函数值求角要考虑角的X 围．3．与三角函数的图象与性质相结合的综合问题．借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后借助三角函数图象解决．[易错与防X]1．利用辅助角公式a sin x ＋b cos x 转化时，一定要严格对照和差公式，防止弄错辅助角．2．计算形如y ＝sin(ωx ＋φ)，x ∈[a ，b ]形式的函数最值时，不要将ωx ＋φ的X 围和x 的X 围混淆．课时分层训练(二十四)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于________．16 [因为cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16.]2．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________.【导学号：62172135】3 [∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α， ∴cos α＝－12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－－32＝ 3.]3．(2016·全国卷Ⅲ改编)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝________.45 [∵cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ. 又∵tan θ＝－13，∴cos 2θ＝1－191＋19＝45.]4．已知sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.－75[cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α.∵sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45.∴原式＝－75.]5．(2017·某某模拟)已知sin(α－45°)＝－210且0°<α<90°，则cos 2α的值为________. 【导学号：62172136】725 [∵sin(α－45°)＝－210， ∴sin α－cos α＝－15，∴2sin αcos α＝2425，∴sin α＋cos α＝1＋sin 2α＝75，∴sin α＝35，cos α＝45.∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝725.]6．(2016·某某高考改编)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是________．π [法一：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝4⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.法二：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.]7．(2017·某某模拟)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝________. 【导学号：62172137】－78 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－2α＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝－78.]8．化简2＋2cos 8＋21－sin 8＝________. －2sin 4 [2＋2cos 8＋21－sin 8 ＝21＋cos 8＋21－2sin 4cos 4＝2×2cos 24＋2sin 4－cos 42＝－2cos 4＋2(cos 4－sin 4)＝－2sin 4.] 9．(2017·某某模拟)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α的值为________．－1718 [∵3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，∴3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，∴3×2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α≠0，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，即sin α＋cos α＝26， ∴sin 2α＝－3436＝－1718.]10．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝______________.2－156[∵cos 4α－sin 4α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α＝23， 又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)．∴sin 2α＝53. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝cos 2αcos π3－sin 2αsin π3 ＝12cos 2α－32sin 2α ＝12×23－32×53 ＝2－156.] 二、解答题11．(2017·某某期中)已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期； (2)若f (x )＝－1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2x 的值．[解](1)因为f (x )＝32sin 2x －1＋cos 2x 2＝32sin 2x －cos 2x 2－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )＝－1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝－1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－12， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－12. 12．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值； (2)若sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24. [解](1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 2π6＋sin π6cos π6 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋12×32＝3＋34. (2)因为f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋12sin 2x ＝12＋12(sin 2x ＋cos 2x )＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π4 ＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α. 又因为sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以cos α＝－45， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫12×35－32×45 ＝10＋32－4620. B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．函数f (x )＝3sin x 2cos x 2＋4cos 2x 2(x ∈R )的最大值等于________． 92 [由题意知f (x )＝32sin x ＋4×1＋cos x 2＝32sin x ＋2cos x ＋2≤94＋4＋2＝92.] 2．如图241，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－513，∠AOC ＝α.若|BC |＝1，则3cos 2α2－sin α2cos α2－32的值为________．图241 513 [由题意得|OB |＝|OC |＝|BC |＝1，从而△OBC 为等边三角形，∴sin ∠AOB ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513， ∴3cos 2α2－sin α2·cos α2－32＝3·1＋cos α2－sin α2－32＝－12sin α＋32cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513.] 3．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值． [解]∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－171＋12×17＝13＞0， ∴0＜α＜π2. 又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34＞0， ∴0＜2α＜π2， ∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17＜0，∴π2＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－3π4. 4．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域． [解] (1)f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32. 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π.由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z . (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1， f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32. 故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32.。
二倍角公式及辅助角公式综合应用
2
4
2
得 2k x 2k 5 .
4
4
则函数f(x)的单调递减区间是 [2k , 2k 5]，k Z.
4
4
(2)由 x ， 3得 x 7 .
4
2
2
44
则当 x 即3x，= 时5，f(x)取得最小值－ . 2 1
(1)求 f (的x) 最小正周期及最小值；
(2)令
g(x)
f
(
x， 若)
8
1 对任 g (
x)
意x [ ， ] 恒成立，求 a 的范围.
63
【变题】变式训练，能力迁移
(2014·朝阳模拟)已知函数f(x)= sin x cos(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间.
函数的性质求解.
f(x)=2sin xcos x+2cos2x
=sin 2x+cos 2x+1=2sin(2x ) 1,
4
（1）f (5) 2sin 11 1
4
4
2sin 1 2.
4
(2)T= 2=π.由
2k 2x 2k , k Z,
(2)求函数f(x)在
[
4
,
3 2
]上的最小值.
【解析】(1) f x sin x cos x 1 cos x－1
22 2
1 sin x 1 cos x－1 2 sin(x )－1 .
2
2
22
42
所以函数f(x)的最小正周期为2π.
由 2k x 2k 3，k Z，
2
cos2 1 cos 2
二倍角公式
二倍角的三角函数【学习目标】1、理解二倍角公式的意义；2、应用二倍角公式进行三角的化简求值．【学习重点】二倍角的正弦、余弦、正切公式及二倍角余弦公式的两种变形； 【学习难点】倍角公式与同角三角函数基本关系式、诱导公式和角公式的综合应用. 一、自主学习 1、基本公式：sin 2α＝ ； cos2α＝ ＝ ＝ ；tan 2α＝ . 2、公式的变用：2cos α＝ ； 2sin α＝ ．二、课前热身1、已知5sin 13α=,(,)2παπ∈,则sin 2α= ，cos2α= ，tan 2α= 2、已知==⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈x x x 2tan ,54cos ,0,2则π ．3、5sin 2,,sin 4,tan 41342ππαααα=<<已知求 4、已知1sin cos 3αα+=，且0απ<<，求sin ,sin 2,cos 2ααα的值.5.已知==ααcos ,32tan 则_________________三、典型例题分析 例1o o o变式练习：（1）25cos 203cos 10o o --；（2）若tan 2,x =求cos 2sin 2(1cos 2)(1tan 2)x xx x ---值.例2、已知α为第二象限角，且cossin22αα+=，求sin cos 22αα-，sin 2cos2αα-值.变式练习：已知cos 2sin()4k απα=-，42ππα<<，用k 表示sin cos αα-.例3、已知函数2()2sin ()24f x x x π=+，,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （1）求()f x 的最大值和最小值；（2）若不等式|()|2f x m -<在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围.变式练习：已知函数2()2cos cos f x x x x =-.（1）求()f x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域； （2）在ABC 中，若()2f C =，2sin cos()cos()B A C A C =--+，求tan A 的值.四、小结五、随堂检测 1、(cossin)(cossin)12121212ππππ-+＝_______________________2、若22)4sin(2cos -=-παα，则ααsin cos +的值为_________________3、若,2cos 2sin 12sin 2tan 2)(2x x x x x f -+=则)12(πf 的值为________________4、已知2sin 2sin 2cos cos 21αααα+-=，(0,)2πα∈，求sin α、tan α的值．5、已知310tan 1tan ,43-=+<<ααπαπ，（1）求αtan 的值； （2）求)2sin(282cos 112cos2sin82sin 522πααααα--++的值6、设2()6cos 2f x x x =-．求()f x 的最大值及最小正周期；7、已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求()f x 的最值六、高考再现1、（福建文数2）．计算212sin 22.5-的结果等于 . 2、（全国卷2理数13） 已知a 是第二象限的角，4tan(2)3a π+=-，则tan a = ． 3、（浙江理数11）函数2()sin(2)4f x x x π=--的最小正周期是___________ . 4、（浙江文数12）函数2()sin (2)4f x x π=-的最小正周期是 .5、（上海文数19） 已知02x π<<，化简：2lg(cos tan 12sin))]lg(1sin 2)22x x x x x π⋅+-+--+.6、（湖南文数16）（12分）已知函数2()sin 22sin f x x x =-（I ）求函数()f x 的最小正周期；(II) 求函数()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合。
015两角和与差的三角函数及二倍角公式
页眉内容两角和与差的三角函数及二倍角公式、三角恒等式证明1．两角和的余弦公式的推导方法：2．基本公式sin(α±β)＝sinα cosβ±cosα sinβcos(α±β)＝ ;tan(α±β)＝ .3．公式的变式tanα＋tanβ＝tan (α＋β)(1－tanα tanβ)1－tanα tanβ＝)tan(tan tan βαβα++ 4．常见的角的变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝2βα+＋2βα- α＝(α＋β)－β ＝(α－β)＋β2βα+＝(α－2β)－(2α－β)； )4()4(x x ++-ππ＝2π 5.二倍角公式sin2α＝ ；cos2α＝ ＝ ＝ ；tan2α＝ .6．公式的变用：1＋cos2α＝ ；1－cos2α＝ ．7．三角函数式的化简的一般要求：① 函数名称尽可能少；② 项数尽可能少；③ 尽可能不含根式；④ 次数尽可能低、尽可能求出值．8．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次．9．求值问题的基本类型及方法① “给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解．② “给值求值”即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于：变角，使其角相同；③ “给值求角”关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角．基础过关10．三角恒等式的证明实质是通过恒等变形，消除三角恒等式两端结构上的差异（如角的差异、函数名称的差异等）．11．证三角恒等式的基本思路是“消去差异，促成同一”，即通过观察、分析，找出等式两边在角、名称、结构上的差异，再选用适当的公式，消去差异，促进同一．12．证明三角恒等式的基本方法有：⑴ 化繁为简；⑵ 左右归一；⑶ 变更问题．13．三角条件等式的证明就是逐步将条件等价转化为结论等式的过程，须注意转化过程确保充分性成立．14．三角条件等式的证明，关键在于仔细地找出所附加的条件和所要证明的结论之间的内在联系，其常用的方法有：⑴ 代入法：就是将结论变形后将条件代入，从而转化为恒等式的证明．⑵ 综合法：从条件出发逐步变形推出结论的方法．⑶ 消去法：当已知条件中含有某些参数，而结论中不含这些参数，通过消去条件中这些参数达到证明等式的方法．⑷ 分析法：从结论出发，逐步追溯到条件的证明方法，常在难于找到证题途径时用之．例1．求［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］· 80sin 22的值.变式训练1：(1)已知α∈(2π,π)，sin α=53,则tan(4πα+)等于（ ） A.71 B.7 C.－ 71 D.－7 (2) sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 （ ）A.－21B.21 C.－23 D.23 例2. 已知α∈(4π，43π)，β∈(0，4π),cos (α－4π)＝53，sin(43π＋β)＝135，求sin(α＋β)的值．典型例题变式训练2：设cos （α－2β）=－91，sin （2α－β）=32，且2π＜α＜π，0＜β＜2π， 求cos （α+β）.例3. 若sinA=55,sinB=1010,且A,B 均为钝角,求A+B 的值.例4．化简sin 2α·sin 2β+cos 2αcos 2β-21cos2α·cos2β.变式训练4：化简：（1）2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π+6cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π; (2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--απαπα4sin 4tan 21cos 222.1．三角函数式的化简、求值、证明等是三角变形常见的题型，三角函数式变形的过程就是分析矛盾、发现差异，进而消除差异的过程。
两角和与差的正弦、余弦和正切(二倍角公式)
两角和与差的正弦、余弦和正切(二倍角公式)一．【学习目标】1、掌握并熟练使用两角和与差的余弦、正弦、正切进行证明、化简和求值；2、能针对不同情况进行寻找已知角之间的关系，灵活使用两角和与差的余弦、正弦、正切公式，二倍角公式进行证明、化简和求值.二．重点、难点、易错（混）点、常考点灵活使用两角和与差的余弦、正弦、正切进行证明、化简和求值三．【知识梳理】1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式： C (),cos()αβαβ--= ； C (),cos()αβαβ++= S (),sin()αβαβ--= ； S (),sin()αβαβ++= ． T (),tan()αβαβ++= 由T ()αβ+可得公式变形tan tan αβ+= T (),tan()αβαβ--=由T ()αβ-可得公式变形得：tan tan αβ-= 2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式2:sin 2S ________________；2:tan 2T ________________。
2:cos 2C ________________=________________=________________；四．【基础题达标】 1．12cos312sinππ-=2．sin15°sin30°sin75°＝__________．3．cos20°cos40°cos60°cos80° =4．),0(πθ∈，θθsin 1sin 1--+=5.313sin 253sin 223sin 163sin +的值等于 6．12cos312sinππ-=7．化简：x x sin 6cos 2-= 8．若51cos sin =+θθ，则θ2sin 的值 9．81cos sin =x x 且24ππ<<x ，则=-x x sin cos 10．),0(πθ∈，θθsin 1sin 1--+=11．函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值为 12．.若223tan 1tan 1+=-+αα，则=-αα2cos 2sin 113．50tan 10tan 350tan 10tan ++=14．化简：15tan 115tan 1-+=15．已知cos （6πα-）+sin α76)πα+的值是考点一： 运用公式求值、求角问题【例1】 (1)已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos(α－β)的值． (2)已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值； (3)已知π2＜β＜α＜34π，sin(α－β)＝1213，cos(α＋β) =－35，求sin2α的值(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．【训练1】已知βα,是锐角且1010sin ,55sin ==βα，求βα+【训练2】(2012·江苏卷)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________．考点二： 公式的变形应用【例2】已知：)tan(βα+=βtan 2。
课题7 二倍角的三角函数
课题7 二倍角的三角函数学习目标1、掌握两角和与差的正弦 余弦 正切公式，了解它们的内在联系。
2、能运用上述公式进行简单的恒等变换。
知识梳理1．二倍角公式sin2α＝ ；cos2α＝ ＝ ＝ ； tan2α＝ .注：（1）正切公式中，角α是有限制的，即≠α 且≠α 。
（2）“倍角”的意义是相对的，如α4是 的二倍角。
2．公式的变用：降幂公式 2sin α= ________ _____，2cos α=_________ ____．升幂公式 1cos 2α+＝ ，1cos 2α-＝ ．基础过关1、函数x x y ππcos sin =的最小正周期是 。
2、若23cos sin =+αα，则α2sin = 。
3、“21si n =α”是“212cos =α”的 条件。
4、函数x x x f 2sin cos 2)(2+=的最小值是 。
典型例题例1、（1）求值：0013sin 10cos10-=___________________．（2）计算cos20 cos40 cos80 = ．（3）已知43cos()sin 65παα-+=，则7sin()6πα+的值为 ．（4）10cos 320cos 5--= 。
例2．求x x x x f sin cos cos )(2+=的值域。
例3．已知α为第二象限角，5cos sin222αα+=-，求si n c o s22αα-和sin 2cos 2αα+的值．变式拓展 已知点)2,(sin -θA 与)cos ,1(θB 且OB OA ⊥,其中)2,0(πθ∈，（1） 求θθcos ,sin （2）若201010)sin(πϕϕθ<<=-，，求ϕcos例4.设函数()22()sin cos 2cos (0)f x x x x w ωωω=++>的最小正周期为23π（1） 求ω的值；（2） 若函数()y g x =的图像是由()y f x =的图像向右平移2π个单位长度得到的，求的()y g x =单调增区间。
3.1 二倍角公式课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版必修2
=cos=tan
=
=
2sin2 +sin2
2cos2 +sin2
2sin(sin+cos)
2cos(sin+cos)
θ=右边,所以等式成立.
规律方法
1.对于三角函数式的化简,要注意以下两点:
(1)三角函数式的化简有四个方向,即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分
析,消除差异.
(2)寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和
角之间的二倍关系.
变式训练 2 已知 sin α=
4 3-3
A.
10
10
α= ,α∈
10
1-sin2
所以 sin 2α=2sin αcos
所以 cos 2
π
0, 2
4 3+3
B.
10
解析 因为 sin
所以 cos α=
10
,α∈
.
5
探究点三
利用二倍角公式解决化简与证明问题
【例3】 (1)化简:cos2(θ+15°)+sin2(θ-15°)+sin(θ+90°)cos(90°-θ);
1+cos(2+30°)
1-cos(2-30°)
解原式=
+
+cos
2
2
1
=1+2(cos
θsin θ
2θcos 30°-sin 2θsin 30°-cos 2θcos 30°-sin 2θsin
(2)求 f(x)在区间
π π
- ,
3 4
上的最大值和最小值.
解 (1)由已知,有
高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
(1)2cos2 =
(2) sin
;
.
解析:(1)原式=1+cos 2 ×
π
π
12
π
6
3
2
=1+cos =1+ .
2
(2)原式=1+sin 4=1+ 2 .
3
答案:(1)1+
2
2
(2)1+
2
第9页
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的
打“×”.
(1)sin 2θ=2sin θ.
3.1.3 二倍角正弦、余弦、正切公式
第1页
课
标 阐 释
1.会推导二倍角的正弦、余弦、正
切公式.
2.能够灵活运用二倍角公式解决求
值、化简和证明等问题.
思
维 脉 络
二倍角公式
二倍角公式的推导
二倍角公式的变形
二倍角公式的应用
第2页
一
二
一、二倍角正弦、余弦和正切公式
【问题思索】
1.在两角和正弦、余弦、正切公式中,令β=α,将得到怎样结果?
形式?
提醒:1±sin 2α=sin2α±2sin αcos α+cos2α=(sin α±cos α)2.
2.依据二倍角余弦公式,sin α,cos α与cos 2α关系分别怎样?
提醒:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α,
1-cos2
1+cos2
2
2
sin α=
,cos α=
1
2
3
6
(2)原式= tan 150°=- tan 30°=- .
新教材高中数学第五章三角函数5.5.1.4二倍角的正弦余弦正切公式课件新人教A版必修第一册
【解题策略】 1.化简三角函数式的常用方法 (1)切化弦；(2)异名化同名；(3)异角化同角；(4)高次降低次. 2.化简三角函数式的常用技巧 (1)特殊角的三角函数与特殊值的互化； (2)对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因 式后进行约分； (3)对于二次根式，注意倍角公式的逆用； (4)利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等.
【思路导引】结合题目特点，利用二倍角的正弦、余弦公式化简.
【变式探究】
本例(2)若改为：1＋sin 4＋cos 4 ，试化简.
1＋sin 4－cos 4
【解析】原式=1＋2sin 2cos 2＋2cos2 2－1
1＋2sin 2cos 2＋2sin2 2－1
＝2cos2 2＋2cos 2sin 2 2sin2 2＋2sin 2cos 2
【思考】
(1)所谓的“二倍角”公式，一定是角α与2α之间的转化关系吗？为什么？
提示：不一定.对于“二倍角”应该广义的理解，如：8α是4α的二倍角，3α
是 3α的二倍角，α是 的二倍角， 是 的二倍角，…，这里蕴含着换
2
2
24
元思想.这就是说“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间关系的.
(2)公式中的角α是任意角吗？ 提示：对于公式S2α、C2α中的角α是任意角，但是T2α中的角α要保证 tan 2α，tan α有意义且分母1-tan2α≠0.
【题组训练】
1.cos4 -sin4 的化简结果为
(
2
2
A.cos
B.cos α
C.cos 2α
2
【解析】选B.cos4 -sin4
2
2
=(cos2 －sin2 )(cos2=c＋ossinα2. )
二倍角的正弦、余弦、正切公式_提高讲义
二倍角的正弦、余弦和正切公式【学习目标】1．能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的内在联系.2．能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式．但不要求记忆），能灵活地将公式变形并运用．3．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用.【要点梳理】要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式2sin 22sin cos ()S αααα=⋅22222cos 2cos sin ()2cos 112sin C αααααα=-=-=-222tan tan 2()1tan T αααα=-要点诠释：(1)公式成立的条件是：在公式22,S C αα中，角α可以为任意角，但公式2T α中，只有当2k παπ≠+及()42k k Z ππα≠+∈时才成立； (2)倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其它如4α是2α的二倍、2α是4α的二倍、3α是32α的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键. 如：2cos2sin2sin ααα=；11sin2sincos ()222nn n n Z ααα++=∈2．和角公式、倍角公式之间的内在联系在两角和的三角函数公式βαβαβαβα=+++中，当T C S ,,时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下：要点二：二倍角公式的逆用及变形 1．公式的逆用2sin cos sin 2ααα=；1sin cos sin 22ααα=．2222cos sin 2cos 112sin cos 2ααααα-=-=-=．22tan tan 21tan ααα=-．2．公式的变形21sin 2(sin cos )ααα±=±；降幂公式：221cos 21cos 2cos,sin 22αααα+-==升幂公式：221cos 22cos ,1cos 22sin αααα+=-=要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型求值题、化简题、证明题 1．对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换元等；2．掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如(),2()()ααββααβαβ=-+=++-等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之间的规律(如互余、互补、和倍关系等等)；3．将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接. 【典型例题】类型一：利用二倍角公式的简单应用 例1.求下列各式的值： （1）sin cos1212ππ； ()2152sin 212π-； （3）224sin 1533-︒．举一反三：【变式1】求值：（1）cos sincos sin 12121212ππππ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）22cos 18π-；（3）22tan 751tan 75-．类型二：利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值例2. 求sin6°·sin42°·sin66°·sin78°的值．举一反三：【变式1】248cos cos cos cos .17171717ππππ求值：例3．求值：[2sin 50sin10(1︒+︒+︒．举一反三：【变式1】求值：1sin10︒【变式2】求值：sin 50(1)︒+︒类型三：利用二倍角公式化简三角函数式例4．化简：22221sin sin cos cos cos 2cos 22αβαβαβ+-⋅．举一反三：【变式1】化简下列各式： (1)sin sin 21cos cos 2θθθθ+++（2【变式2】化简：222cos 12tan sin 44αππαα-⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．类型四：二倍角公式在三角函数式给值求值题目中的应用例5．已知3cos 45x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且77124x ππ<<，求2sin 22sin 1tan x x x +-的值．举一反三：【变式1】求值： （1）已知3sin()1225πθ-=，求cos()6πθ-．（2）已知sin()4m πα+=，求sin2α．【变式2】 已知：tan θ=2，求θθ2sin 21sin 412+的值．例6．已知223sin 2sin 1αβ+=，3sin 22sin 20αβ-=，且α、β都是锐角，求2αβ+．类型五：二倍角公式的综合应用例7．已知函数2()2cos 2sin cos 1f x x x x ωωω=++（x ∈R ，ω＞0）的最小正周期是2π． （1）求ω的值；（2）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合．举一反三：【变式1】已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x+=．（Ⅰ）求)(x f 的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46ππ，上的最大值和最小值．例8．已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量P ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量q ＝(sinA －cosA ，1＋sinA)是共线向量. （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求函数y ＝2sin 2B ＋cos 32C B-的最大值.举一反三：【变式1】已知向量m =（sinA ，cosA ），1)=-n ，m ·n =1，且A 为锐角． （1）求角A 的大小；（2）求函数()cos 24cos sin f x x A x =+（x ∈R ）的值域．【巩固练习】 1．若1sin(),33πα+=则2cos(2)()3πα+= A ．79- B ． 13 C ． 13- D ．792的结果是（ ）A ．－cos1B ．cos1CD ．3得（ ）A B ．1cos 20sin 20︒-︒C ．1D ．―14．已知sin 76α=，则cos 7的值为（ ）A B C ．2a D ．2a5．函数22cos 14y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数 6．若3sin cos 0αα+=，则21cos sin 2αα+的值为（ ） A ．103 B ．53 C ．23D ．－27．若(0,)απ∈，且1cos sin 3αα+=-，则cos2α=( )A ．917 B ．9± C ．9- D ．3178．若(sin )3cos 2f x x =-，则(cos )f x =（ ）A ．3―cos2xB ．3―sin2xC ．3+cos2xD ．3+sin2x 9．若1tan 2008,1tan αα+=-则1tan 2cos 2αα+= ．10．22cos cos 44x x ππ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的取值范围是 ．11．已知sincos22θθ+=那么sin θ的值为 ,cos2θ的值为 ． 12．ABC ∆的三个内角为A 、B 、C ，当A 为 时，cos 2cos 2B CA ++取得最大值，且这个最大值为 ． 13．已知1sin sin 446ππαα⎛⎫⎛⎫+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin 4α．14．在△ABC 中，cos A =35,tan B =2，求tan(2A +2B )的值．15．已知04πα<<，β为()cos 28f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期，向量1tan ,14a αβ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(cos ,2)b α=，且a ·b=m ，求22cos sin[2()]cos sin ααβαα++-的值．16．已知cos 410x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （1）求sin x 的值；（2）求sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考数学复习点拨：二倍角公式的两个
特殊变式及应用
二倍角公式的两个特殊变式及应用
浙江周宇美
一、变式
变式1：sin2＝sin2(＋)－cos2(＋)
＝2sin2(＋)－1
＝1－2cos2(＋)．
变式2：cos2＝2sin(＋) cos(＋)＝2sin(＋) sin(－)．
以上两个变式的形式与二倍角正、余弦形式恰相反，角度变为(＋)．其实证明只需运用诱导公式再结合倍角公式即可解决．由sin2＝－cos(2＋)＝－cos2(＋)，及cos2＝
sin2(＋)，再用倍角公式即可．
二、应用
变式1、2主要用于题中含有2与±问题的转化．
例1 已知cos(＋)＝，求．
分析：本题只需将sin2及sin(－)，运用变式及诱导公式转化成cos(＋)形式即可解决问题．
解：∵cos(＋)＝，由变式1，得
sin2＝1－2cos2(＋)＝．
sin(－)＝cos(＋)＝．
∴ 原式＝．
例2 已知sin(＋x)sin(－x)＝，x∈(，)，求sin4x的值．
分析：本题只需求cos2x即可，又由变式2并结合题意即可
解决．
解：由变式2，得
cos2x＝2sin(＋x)sin(－x)＝，又2x∈(，2)，
∴ sin2x＝－＝－．
∴ sin4x＝2sin2xcos2x＝－．
例3 已知x∈(－，)，且sin2x＝2sin(x－)，求x的值．
分析：将角2x与x－统一即可，又运用变式1即可达到目的．解：由变式1，原方程可化为
1－2cos2(x＋)＝－cos(x＋)．
解得cos(x＋)＝1或cos(x＋)＝－．
又x∈(－，)，
∴x＋＝0或x＋＝，
∴ x＝－或x＝－．。